harmonska analiza

More documents

Recommendations

Info

12 da z naraščanjem števila členov narašča frekvenca iznihanja in se krajša čas iznihanja. Gibbsov pojav, ki nastane pri tem, si torej lahko predstavljamo kot medsebojni vpliv vrednosti z obeh strani nezveznosti. V skladu z Dirichletovimi pogoji, oziroma analitično rešitvijo, ki jo je izpeljal de Fourier, pojav nastane tik pred in za točko nezveznosti x(t). Vzrok Gibbsovem pojavu je lastnost Fourierove vrste, ki v točki nezveznosti x(t) ne more hkrati prečkati levo in desno limito x(t) ter srednjo vrednost med njima. To zahteva neskončno strmino vsote baznih funkcij v točki nezveznosti, kar pa je v nasprotju z naravo trigonometrijskih funkcij. To je tudi v nasprotju s fizikalno predstavo. Spomnimo se, da je J. B. J. de Fourier z analitičnim opisom prehoda temperature na robu med vročim in hladnim pokazal, da ima tam temperatura srednjo vrednot, torej ne more biti hkrati “vroče” in “hladno”. 1.1.4 Ocena konvergentnosti Fourierovih vrst Pri aproksimaciji signalov je v praksi zelo pomembno, s koliko členi Fourierove vrste lahko tvorimo dovolj dobro aproksimacijo signala. Metode, ki bi določila dolžino delne vsote v Fourierovi vrsti, ki da srednji kvadratni pogrešek med signalom in njegovo aproksimacijo manjši od neke meje, žal ni. Zakonitost, ki pove, kako z naraščanjem indeksa členov v Fourierovi vrsti upada velikost Fourierovih koeficientov lahko izrazimo s številom zaporednih odvajanj funkcije x(t), ki da še omejen odvod. Izkaže se, da za Fourierove koeficiente velja neenakost: osnutek |c n | ≤ M n k+1 , n 1 , (1.15) kjer je c n = a n ali b n ali √ a 2 n + b 2 n in k število zaporednih odvajanj. Konstanta M je odvisna le od funkcije x(t) in ne indeksa n. Znak enakosti predstavlja zgornjo mejo. Iz (1.15) sledi, da je za signale x(t) pravokotne oblike upadanje vrednosti Fourierovih koeficientov v razmerju 1/n (slika 1.8) – odvod signala, ki ga sestavlja periodično zaporedje pulzov gre v točkah nezveznosti čez vse meje. Pri signalih žagaste oblike je upadanje koeficientov z 1/n 2 , saj šele njen drugi odvod gre čez vse meje in tako dalje. Slika 1.8 Konvergenčnost Fourierove vrste vlaka sodih pravokotnih pulzov. c n 1/n 0 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1
Iz (1.15) tudi sledi, da funkcijo x(t), ki je invariantna na odvajanje, aproksimira že prvi člen Fourierove vrste. Primer takega signala je Asin(ω 0 t +φ), ki ga že (natančno) opiše člen z b 1 oziroma člena c ±1 . Drugo skrajnost predstavlja periodični signal, ki se sestavljajo Diracovi. Pri njih lahko sklepamo, da velja k = −1 ter zato zanje Fourierova vrsta ni konvergentna (res, njihov spekter ima pri vseh frekvencah nω 0 , ω 0 = 2π/T 0 in n ∈ Z, enako visoke harmonske komponente). 13 1.2 Kompleksna Fourierova vrsta Kompleksne Fourierove vrsto dobimo iz realne z Eulerovim obrazcem, ki smo ga že srečali pri predstavitvi harmonskih nihanj. Če v zapisu realne Fourierove vrste (1.5) upoštevamo Eulerova obrazca: dobimo: x(t) = a 0 + cosα = e jα + e − jα 2 ∞ ∑ n=1 , sinα = e jα − e − jα 2 j e (a jnω0t + e − jnω 0t e jnω0t − e − jnω ) 0t n + b n 2 2 j osnutek . (1.16) Zgornjo enačbo preuredimo tako, da združimo člene s pozitivnimi in člene z negativnimi eksponenti: x(t) = a 0 + ∞ ∑ n=1 ( an − jb n e jnω0t + a n + jb n 2 2 e − jnω 0t ) vpeljimo nov koeficient c n , za katerega velja: c −n = a n − jb n 2 c 0 = a 0 c n = a n + jb n 2 (1.17a) (1.17b) (1.17c) ter z njimi zapišimo Fourierovo vrsto: x(t) = c 0 + ∞ ∑ n=1 c n e jnω 0t + ∞ ∑ n=1 c −n e − jnω 0t . (1.18)
Page 1 and 2: UNIVERZA V MARIBORU osnutek Žarko
Page 3 and 4: Kazalo Kazalo I Harmonska in multir
Page 5 and 6: iii 3.4.2 Fourierovi pari pri zapor
Page 7 and 8: Del I Harmonska in multiresolucijsk
Page 9 and 10: ZRAZVOJEM periodičnih signalov v F
Page 11 and 12: Funkcijo x(t), ki izpolnjuje Dirich
Page 13 and 14: 7 Liha simetrija signala Ko je sign
Page 15 and 16: 9 Upoštevajmo, da je: cosn 2π T 0
Page 17: 11 x( t) A x( t) A T 0 /2 T 0 /4 0
Page 21 and 22: ☞ ☞ 15 Integral v (1.20) je pod
Page 23 and 24: 17 1.2.4 Fourierov par Če pomnoži
Page 25 and 26: potem upoštevamo, da je kompleksni
Page 27 and 28: 21 REŠITEV: Koeficiente spektra iz
Page 29 and 30: 23 A A T 2 A A T 4 (a) τ/T 0 =
Page 31 and 32: 2 AJE MOGOČE TUDI APERIODIČNE SIG
Page 33 and 34: 27 OPOMBA 2.1 Za argument transform
Page 35 and 36: 29 sledi, da vsi signali, ki imajo
Page 37 and 38: 31 Časovni pomik. Zakasnite signal
Page 39 and 40: Lastnost frekvenčnega pomika je te
Page 41 and 42: Vidimo, da je transformiranka odvaj
Page 43 and 44: med tema točkama je W(ω) = 4π/a.
Page 45 and 46: 39 2.3.2 Transformacija konstante,
Page 47 and 48: 41 DOKAZ 2.4 in F { Acosω c t }
Page 49 and 50: 43 2.5 Gostota energijskega spektra
Page 51 and 52: 45 2.7 Gostota močnostnega spektra
Page 53 and 54: V poglavjih Fourierove vrste in Fou
Page 55 and 56: 49 v( t) |V ( ) | 0 t m 0 m ( tn
Page 57 and 58: 51 a |V ( ) | m 0 m b n s m 0
Page 59 and 60: 53 3.1.5 Shannonova interpolacijska
Page 61 and 62: 55 Spomnimo se, da x p (ω) opisuje
Page 63 and 64: frekvence vzorčenja ω s . Čeprav
Page 65 and 66: 59 sinteza x[n] = ∑ k∈N 0 c k e
Page 67 and 68: 61 { e -j(2 /N0 ) nk} e -j(2 /N ).
Page 69 and 70:
☞ 63 od koder lahko izpeljemo ∑
Page 71 and 72:
65 x N0 [n] X[ k 0 ]e jk 0 n 0 Sli
Page 73 and 74:
Če je x[n] realen, je amplitudni s
Page 75 and 76:
69 Diferenciranje x[n] − x[n −
Page 77 and 78:
71 |X [ m ] | x[ n] N . T s T s DFT
Page 79 and 80:
73 REŠITEV: Najprej določimo koef
Page 81 and 82:
75 DFT X[m] = √ 1 N−1 x[n] WN n
Page 83 and 84:
Časovni pomik Zakasnitev vzorca x[
Page 85 and 86:
Vidimo, da DFT algoritem zahteva v
Page 87 and 88:
4 Fourierova transformacija pri nak
Page 89 and 90:
ZGLED 4.1.1 Določimo karakteristi
Page 91 and 92:
Predpostavimo, da avtokorelacijska
Page 93 and 94:
87 ∣ rxx (τ) − r xx (τ ± ε)
Page 95 and 96:
izrek še na močnostne signale - t
Page 97 and 98:
91 2T 2T 2T t 1 2T t 2 Xt t 1 X t T
Page 99 and 100:
2. Srednja kvadratna vrednost staci
Page 101 and 102:
Avtokorelacijo belega šuma teoreti
Page 103 and 104:
97 vpeljemo tako imenovani integral
Page 105 and 106:
99 vrednost poenostavi v: µ y (t)
Page 107 and 108:
osnutek
Page 109 and 110:
138 [17] Ludvig Gyergyek: Teorija o
show all

harmonska analiza

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?