harmonska analiza
harmonska analiza
harmonska analiza
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
12<br />
da z naraščanjem števila členov narašča frekvenca iznihanja in se krajša čas<br />
iznihanja. Gibbsov pojav, ki nastane pri tem, si torej lahko predstavljamo kot<br />
medsebojni vpliv vrednosti z obeh strani nezveznosti. V skladu z Dirichletovimi<br />
pogoji, oziroma analitično rešitvijo, ki jo je izpeljal de Fourier, pojav<br />
nastane tik pred in za točko nezveznosti x(t).<br />
Vzrok Gibbsovem pojavu je lastnost Fourierove vrste, ki v točki nezveznosti<br />
x(t) ne more hkrati prečkati levo in desno limito x(t) ter srednjo vrednost<br />
med njima. To zahteva neskončno strmino vsote baznih funkcij v točki<br />
nezveznosti, kar pa je v nasprotju z naravo trigonometrijskih funkcij. To je<br />
tudi v nasprotju s fizikalno predstavo. Spomnimo se, da je J. B. J. de Fourier<br />
z analitičnim opisom prehoda temperature na robu med vročim in hladnim<br />
pokazal, da ima tam temperatura srednjo vrednot, torej ne more biti hkrati<br />
“vroče” in “hladno”.<br />
1.1.4 Ocena konvergentnosti Fourierovih vrst<br />
Pri aproksimaciji signalov je v praksi zelo pomembno, s koliko členi Fourierove<br />
vrste lahko tvorimo dovolj dobro aproksimacijo signala. Metode, ki bi<br />
določila dolžino delne vsote v Fourierovi vrsti, ki da srednji kvadratni pogrešek<br />
med signalom in njegovo aproksimacijo manjši od neke meje, žal ni.<br />
Zakonitost, ki pove, kako z naraščanjem indeksa členov v Fourierovi vrsti<br />
upada velikost Fourierovih koeficientov lahko izrazimo s številom zaporednih<br />
odvajanj funkcije x(t), ki da še omejen odvod. Izkaže se, da za Fourierove<br />
koeficiente velja neenakost:<br />
osnutek<br />
|c n | ≤ M<br />
n k+1 , n 1 , (1.15)<br />
kjer je c n = a n ali b n ali √ a 2 n + b 2 n in k število zaporednih odvajanj. Konstanta<br />
M je odvisna le od funkcije x(t) in ne indeksa n. Znak enakosti predstavlja<br />
zgornjo mejo.<br />
Iz (1.15) sledi, da je za signale x(t) pravokotne oblike upadanje vrednosti<br />
Fourierovih koeficientov v razmerju 1/n (slika 1.8) – odvod signala, ki ga<br />
sestavlja periodično zaporedje pulzov gre v točkah nezveznosti čez vse meje.<br />
Pri signalih žagaste oblike je upadanje koeficientov z 1/n 2 , saj šele njen drugi<br />
odvod gre čez vse meje in tako dalje.<br />
Slika 1.8<br />
Konvergenčnost Fourierove vrste<br />
vlaka sodih pravokotnih pulzov.<br />
c n<br />
1/n<br />
0 1<br />
2 1<br />
3 1<br />
4 1<br />
5 1<br />
6 1<br />
7 1<br />
8 1