harmonska analiza

8
Soda simetrija signala
Ko je signal x(t) sodo simetričen, sta produkta x(t)cosnω 0 t in x(t)sinnω 0 t
sodo oziroma liho simetrična. Zato velja:
a 0 = 2 ∫ T0 /2
x(t) dt
T 0
0
a n = 4 ∫ T0 /2
x(t)cosnω 0 t dt
T 0
b n = 0
0
(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)
Slika 1.3
Primer sodega signala.
ZGLED 1.1.3
Izračunajmo Fourierovo vrsto za sodo simetrični signal, ki ga kaže slika 1.3.
REŠITEV:
Računanje a 0 ne dela težav:
x( t)
1
t
T 0 /2 0 T 0 /2 T 0 3T 0 /2
a 0 = 2 ∫ T 0 /2
x(t) dt = 2 ∫ T 0 /2
(1 − 2t ) dt = 1 − 1 T 0 0
T 0 0 T 0 2 = 1 2
Pri a n upoštevamo sodo simetrijo, zato si pomagamo z (1.8b):
T 0
osnutek
a n = 4 ∫ T 0 /2
(1 − 2t/T 0 ) cosnω 0 t dt
T 0 0 } {{ }
=x(t)
= 4 [ ∫ T 0 /2
∫ T
]
0 /2 2t
cosnω 0 t dt − cosnω 0 t dt
T 0 0
0 T 0
,
kjer z upoštevanjem izračuna integrala štev. 318, Matematični priročnik [16, stran 878],
dobimo:
= 4 sinω 0 t
∣ ∣∣ T 0 /2
− 4 2 cosnω 0 t
T 0 nω 0 0 T
} {{ } 0 T 0 n 2 ω0
2 ∣ T 0/2
− 4 2
t sinω ∣
0t ∣∣ T 0 /2
0 T 0 T 0 nω 0 0
} {{ }
=0
=0
Za edini od nič različni člen v gornji enačbi velja:
− 4 2 cosnω 0 t
T 0 T 0 n 2 ω0
2 ∣ T 0/2
0
= − 8
T 2
0
1
[
cosn 2π
T 0
T 0
2 − cosn2π T 0
·0
n 2 ω0
2
= − 2 [
1
π 2 n 2 cosn 2π ]
T 0
T 0 2 − 1
.
]