harmonska analiza

6
ZGLED 1.1.1
Primer funkcije, ki izpolni Dirichletov pogoj je
x(t) = 1
1 +t 2 .
Ta jih izpolni na intervalu (−∞,∞) Funkcija
x( t)
Slika 1.1
Primer stopničastega
signala
t
x(t) = 1
1 −t
izpolni Dirichletov pogoj le, če interval (a,b) ne zajema vrednosti t = 1. V tej točki ima
neskončno nezveznost. Če je v definicijskem intervalu (a,b) tudi koordinatno izhodišče,
funkcija
sin 1 t
ne izpolni Dirichletov pogoj, čeprav je v tem intervalu vedno omejena. Vzrok: v koordinatnem
izhodišču ima neskončno mnogo maksimumov in minimumov. V teoriji signalov
pogosto uporabljamo stopničaste funkcije. Te izbiramo tako, da izpolnijo Dirichletov pogoj
(slika 1.1).
♦
1.1.2 Uporaba simetrij signala
pri računanja Fourierovih koeficientov
osnutek
Računanje z Fourierovih koeficientov z Eulerovimi obrazci (1.6) se poenostavi,
če ima integrand v obrazcu katero izmed simetrij. Pri a 0 simetrijo
integranda določa kar signal x(t) sam, pri koeficientih a n in b n pa moramo
upoštevati, da sta integranda produkta signala s sodo funkcijo cosnω 0 t oziroma
z liho funkcijo sinnω 0 t.
Simetrije sestavljenih signalov smo opisali že v [24, str. 31 – 33], zato le
ponovimo pravila:
Vsota dveh sodih signalov je soda.
Vsota dveh lihih signalov je liha.
Vsota sodega in lihega signala ni ne soda ne liha.
Produkt dveh sodih funkcij je sod.
Produkt dveh lihih funkcij je sod.
Produkt sode in lihe funkcije je liha funkcija.
Vpliv simetrij na računanje Fourierovih koeficientov povzemamo v naslednjih
razdelkih.