harmonska analiza

4
1.1 Realne Fourierove vrste
Realne Fourierove vrste imajo ime po francoskem matematiku J.B.J de Fourier
(1758-1830), ki je pri proučevanju pretoka toplote med dvema medijema
različnih temperatur pokazal, da lahko “skoraj vse” periodične funkcije na
intervalu (a,b) ponazorimo s polnim zaporedjem Φ:
Φ = {1, cosnω 0 t, sinnω 0 t} ; n ∈ (0,∞) ; ω 0 = 2π/T 0 . (1.1)
1.1.1 Dirichletov pogoj
Z izrazom “skoraj vse” opozarjamo na dejstvo, da mora signal izpolniti določene
pogoje, da njegov opis s Fourierovo vrsto konvergira proti originalni
obliki signala. Prvi pogoj je na dlani: signal mora imeti končno jakost:
‖x(t)‖ 1 < ∞. Z drugimi besedami, funkcija, ki opisuje signal, mora biti absolutno
integrabilna, torej:
∫ T0 /2
−T 0 /2
|x(t)| dt < ∞ . (1.2)
Funkcije, ki izpolnjujejo (1.2) običajno izpolnijo tudi Dirichletova pogoja 1 .
Glasita se:
1. Funkcija x(t) sme imeti v končnem časovnem intervalu le končno število
maksimumov in minimumov.
osnutek
2. V končnem časovnem intervalu sme x(t) imeti le končno število končnih
nezveznosti.
Če je funkcija x(t) absolutno integrabilna in izpolni Dirichletova pogoja, tedaj
njen približek ˆx(t), ki ga določa Fourierova vrsta, konvergira k vsaki točki
t = t i , ki je znotraj intervala (a,b), k vrednosti:
ˆx(t) = 1 2
[
x(t
−
i ) + x(t + i ) ] , (1.3)
kjer sta x(t − i ) in x(t + i ) leva in desna limita funkcije x v točki t i :
ˆx(t i − ) = limx(t) , ˆx(t t→ti
i + ) = limx(t) . (1.4)
t→ti
tt i
Iz (1.4) sledi, da pri funkciji, ki je zvezna v tej točki, ˆx(t) konvergira
k vrednosti x(t i ), če pa je x(t) v tej točki nezvezna, tedaj ˆx(t) v tej točki
konvergira k srednji vrednosti leve in desne limite.
1 V nekaterih učbenikih pogoj (1.2) navajajo kot sestavni del Dirichletovih pogojev.