harmonska analiza

UNIVERZA
V
MARIBORU
osnutek
Žarko ČUČEJ
SIGNALI
Harmonska analiza
MARIBOR 14. APRIL 2004

osnutek
naslov
SIGNALI:
Harmonska (in multiresolucijska) analiza
avtor
Žarko ČUČEJ
revizija 20040414 14. april 2004
recenzija
nerencenzirano
jezik
nelektorirano
uredil in oblikoval
Žarko ČUČEJ
risbe
Žarko ČUČEJ
uporabljani programi MikTeX 2.2, WinEdt 5.4, CorelDraw 7
založba
SPaRC
knjižna oblika
elektronska, datoteka signal_B.pdf
vse pravice pridržane

Kazalo
Kazalo
I Harmonska in multiresolucijska analiza 1
1 Harmonska analiza periodičnih signalov 3
1.1 Realne Fourierove vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Dirichletov pogoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Uporaba simetrij signala
pri računanja Fourierovih koeficientov . . . . . . . . 6
Liha simetrija signala . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Soda simetrija signala . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Polvalna simetrija signala . . . . . . . . . . . . . . 10
Četrtvalna simetrija sodega signala . . . . . . . . . . 10
Četrtvalna simetrija lihega signala . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Gibbsov pojav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Ocena konvergentnosti Fourierovih vrst . . . . . . . 12
1.2 Kompleksna Fourierova vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Izračun kompleksnih Fourierovih koeficientov . . . 14
1.2.2 Kompleksni spekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Simetrije v spektru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Fourierov par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Parsevalov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Funkcija Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Zaključek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
osnutek
i
2 Harmonska analiza aperiodičnih signalov 25
2.1 Fourierova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Uporaba simetrij signala
pri Fourierove transformacije . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Obstoj Fourierove transformacije . . . . . . . . . . 28
i

ii
2.1.3 Dirichletov pogoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Gibbsov pojav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5 Enota v spektru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Lastnosti Fourierove transformacije . . . . . . . . . . . . . 30
Linearnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Časovni pomik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Skaliranje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Dualnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Frekvenčni pomik (amplitudna modulacija). . . . . . 32
Odvajanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Integriranje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Povezava časovne in frekvenčne širine signala. . . . 36
2.3 Fourierova transformacija v limiti . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Transformacija eksponentne funkcije . . . . . . . . 37
2.3.2 Transformacija konstante, frekvenčni impulzi . . . . 39
2.3.3 Fourierov transform harmonskega signala . . . . . . 40
2.3.4 Fourierova transformacija močnostnih signalov . . . 41
2.4 Parsevalov stavek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Gostota energijskega spektra . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Fourierova transformacija avtokorelacije . . . . . . . . . . . 43
2.7 Gostota močnostnega spektra . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
osnutek
3 Harmonska analiza zaporedij 47
3.1 Vzorčenje signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Idealno vzorčenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 Spekter vzorca signala . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Tipalno razmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.4 Rekonstrukcija zveznega signala . . . . . . . . . . . 51
3.1.5 Shannonova interpolacijska formula . . . . . . . . . 53
3.2 Pogreški pri končnih vzorcih . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Diskretna Fourierova vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Periodična zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Zapis diskretnih Fourierovih vrst . . . . . . . . . . . 58
3.3.3 Konvergenca diskretne Fourierove vrste . . . . . . . 59
3.3.4 Lastnosti diskretne Fourierove vrste . . . . . . . . . 59
3.3.5 Vrednosti e jΩ 0kn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.6 Zgledi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Fourierova transformacija zaporedja . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Od diskretne Fourierove vrste
do Fourierove transformacije zaporedja . . . . . . . 63

iii
3.4.2 Fourierovi pari pri zaporedjih . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Spekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.4 Konvergenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.5 Lastnosti Fourierove transformacije zaporedij . . . . 67
3.5 Diskretna Fourierova transformacija . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Diskretna Fourierova transformacija . . . . . . . . . 70
3.5.2 Definicija DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.3 Simetrična obrazca za DFT in IDFT . . . . . . . . . 74
3.5.4 DFT in IDFT in periodično ponavljanje signala
ter spektra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.5 Podobnost DFT in Fourierove transformacije zaporedja 76
3.6 Lastnosti DFT in IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Računanje DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Fourierova transformacija pri naključnih signalih 81
4.1 Značilna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1 Določanje momentov iz karakteristične funkcije . . 82
4.1.2 Značilna funkcija Gaussovega procesa . . . . . . . . 83
4.2 Avtokorelacija naključnih signalov . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Lastnosti avtokorelacije naključnih signalov . . . . . 85
4.3 Einstein-Wiener-Hinčinov izrek . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Izpeljava Einstein-Wiener-Hinčinov izreka . . . . . 89
4.3.2 Gostota močnostnega spektra . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3 Lastnosti gostote močnostnega spektra . . . . . . . . 92
4.4 Fourierova transformacija avtokorelacije Gaussovega procesa 94
4.5 Beli šum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Kumulativni močnostni spekter . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7 Linearni sistemi z naključnim vhodom . . . . . . . . . . . . 98
osnutek
5 Časovno kratka Fourierova transformacija 99
5.1 Časovni in frekvenčni opis signala . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.1 Časovni opis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.2 Frekvenčni opis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.3 Trenutna frekvenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.4 Kovarianca signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Neaditivnost energijskega spektra . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Princip nedoločenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 Princip nedoločenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.2 Principa nedoločenosti pri
časovno kratki Fourierovi transformaciji . . . . . . . 109
5.4 Časovno kratka Fourierova transformacija . . . . . . . . . . 111

iv
5.4.1 STFT in spektrogram . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ozko frekvenčno časovna transformacija . . . . . . 112
Značilna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.2 Splošne lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.3 Globalne količine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.4 Lokalna povprečja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.5 Oženje in širjenje okna . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.6 Skupinska zakasnitev . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Wignerova porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5.1 Področje Wignerove porazdelitve . . . . . . . . . . 116
5.5.2 Značilna funkcija Wignerove porazdelitve . . . . . . 116
5.5.3 Nepozitivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5.4 Lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5.5 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5.6 Wignerova porazdelitev vsote dveh signalov . . . . . 119
5.5.7 Psevdo Wignerova porazdelitev . . . . . . . . . . . 119
5.5.8 Primerjava Wignerove porazdelitev s spektrogramom 119
Literatura 121
A Izpeljava Fourierove transformacije 151
A.1 Realni Fourierov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.2 Kompleksni Fourierov integral . . . . . . . . . . . . . . . . 154
osnutek
A Dirichletov integral 123
A.1 Konvergenca integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2 Enakomerna konvergenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.3 Končne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.4 Fourierov integralski izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Literatura 137

Del I
Harmonska in multiresolucijska analiza
osnutek
Harmonska analiza periodičnih signalov
Harmonska analiza aperiodičnih signalov
Harmonska analiza zaporedij
Fourierova transformacija pri naključnih signalih
Časovno kratka Fourierova transformacija
Multiresolucijska analiza
1

osnutek

ZRAZVOJEM periodičnih signalov v Fourierovo vrsto naredimo (harmonsko)
analizo periodičnega signala. Rečemo, da z njo dobimo
vpogled v frekvenčno vsebino signala. Ta je pomembna v mnogih
področjih uporabe teorije signalov. Na primer, v močnostni elektroniki z njo
analiziramo frekvenčno vsebino izhoda stikalnega pretvornika za na primer
rezervno napajanje električnih naprav, oziroma načrtujemo njegovo preklopno
strategijo z določitvijo frekvenčne vsebine njegovega izhoda ter v inverznem
postopku sinteziramo zaporedje pravokotnih pulzov, ki ima želeno
frekvenčno vsebino.
Kot že vemo, za periodične signale velja:
osnutek
1
Harmonska analiza
periodičnih signalov
x(t + T 0 ) = x(t)
kjer je T 0 perioda signala. Zato morajo biti periodični signali večni, torej brez
začetka in konca, oziroma matematično povedano, signalna os T obsega
interval (−∞,∞), kar označimo tudi s T ∈ R.
V naravi takih signalov ni, vsi dejanski signali imajo vsaj svoj začetek (v
prapoku) in verjetno bodo doživeli svoj konec. Kljub temu dejanske signale
pod določenimi pogoji obravnavamo kot periodične. Na primer, če je bil
njihov začetek toliko pred trenutkom opazovanja, da se je prehodni pojav ob
njihovem nastanku že iztekel, ter še traja mnogo period pred svojim koncem,
lahko signal v intervalu opazovanja - v njem mora biti signal v stacionarnem
stanju - obravnavamo kot periodični signal.
3

4
1.1 Realne Fourierove vrste
Realne Fourierove vrste imajo ime po francoskem matematiku J.B.J de Fourier
(1758-1830), ki je pri proučevanju pretoka toplote med dvema medijema
različnih temperatur pokazal, da lahko “skoraj vse” periodične funkcije na
intervalu (a,b) ponazorimo s polnim zaporedjem Φ:
Φ = {1, cosnω 0 t, sinnω 0 t} ; n ∈ (0,∞) ; ω 0 = 2π/T 0 . (1.1)
1.1.1 Dirichletov pogoj
Z izrazom “skoraj vse” opozarjamo na dejstvo, da mora signal izpolniti določene
pogoje, da njegov opis s Fourierovo vrsto konvergira proti originalni
obliki signala. Prvi pogoj je na dlani: signal mora imeti končno jakost:
‖x(t)‖ 1 < ∞. Z drugimi besedami, funkcija, ki opisuje signal, mora biti absolutno
integrabilna, torej:
∫ T0 /2
−T 0 /2
|x(t)| dt < ∞ . (1.2)
Funkcije, ki izpolnjujejo (1.2) običajno izpolnijo tudi Dirichletova pogoja 1 .
Glasita se:
1. Funkcija x(t) sme imeti v končnem časovnem intervalu le končno število
maksimumov in minimumov.
osnutek
2. V končnem časovnem intervalu sme x(t) imeti le končno število končnih
nezveznosti.
Če je funkcija x(t) absolutno integrabilna in izpolni Dirichletova pogoja, tedaj
njen približek ˆx(t), ki ga določa Fourierova vrsta, konvergira k vsaki točki
t = t i , ki je znotraj intervala (a,b), k vrednosti:
ˆx(t) = 1 2
[
x(t
−
i ) + x(t + i ) ] , (1.3)
kjer sta x(t − i ) in x(t + i ) leva in desna limita funkcije x v točki t i :
ˆx(t i − ) = limx(t) , ˆx(t t→ti
i + ) = limx(t) . (1.4)
t→ti
tt i
Iz (1.4) sledi, da pri funkciji, ki je zvezna v tej točki, ˆx(t) konvergira
k vrednosti x(t i ), če pa je x(t) v tej točki nezvezna, tedaj ˆx(t) v tej točki
konvergira k srednji vrednosti leve in desne limite.
1 V nekaterih učbenikih pogoj (1.2) navajajo kot sestavni del Dirichletovih pogojev.

Funkcijo x(t), ki izpolnjuje Dirichletova pogoja in je absolutno integrabilna,
torej zanjo obstaja ‖·‖ 1 ), lahko natančno ali približno nadomestimo s
Fourierovo vrsto 2 :
x(t) = a 0 +
∞
∑
n=1
a n cos(nω 0 t) +
∞
∑
n=1
5
b n sin(nω 0 t) . (1.5)
Koeficiente a 0 , a n in b n imenujemo Fourierovi koeficienti. Obrazce za njihov
izračun imenujemo Eulerovim obrazci. Izpeljemo jih lahko z uporabo lastnosti
ortogonalnih funkcij ali pa po metodi najmanjšega srednjega kvadratnega
pogreška 3 . Obrazci za izračun Fourierovih koeficientov so:
a 0 = 1 T 0
∫T 0
x(t) dt (1.6a)
a n = 2 T 0
∫T 0
x(t)cos(nω 0 t) dt , n ∈ N (1.6b)
b n = 2 T 0
∫T 0
x(t)sin(nω 0 t) dt , n ∈ N (1.6c)
V (1.6) smo zaradi krajšega pisanja določenega integrala na intervalu T 0 vpeljali
novo oznako:
∫ b ∫
= , T 0 = b − a .
a T 0
osnutek
Ta zapis smo uporabili že v prvi knjigi [24] in tudi v tej nadaljujemo z njegovo
uporabo.
2 V matematiki je običajen naslednji zapis Fourierove vrste:
kjer je a o določen z:
x(t) = a ∞ ∞
0
2 + ∑ a n cos(nω 0 t) + ∑ b n sin(nω 0 t) ,
n=1
n=1
a 0 = 2 x(t) dt .
T 0
∫T
Vidimo, da ima ta obrazec enak koeficient pred integralom kot obrazci za ostale Fourierove
koeficiente, oziroma ga lahko izračunamo kar z obrazcem (1.6b) z upoštevanjem n = 0.
Zato v matematičnih učbenikih ne navajajo (1.6a).
Razlika v zapisih izhaja zaradi tega, ker v elektrotehniki komponento pri frekvenci 0 Hz
imenujemo enosmerna vrednost, ki jo izračunamo z obrazcem (1.6a).
3 Obe metodi smo opisali v prvi knjigi:
[24, str. 105-108] Žarko Čučej (ured.): Signali, Uvod v teorijo in statistično obdelavo (s
primeri uporabe programa MATLAB), FERI 2004.

6
ZGLED 1.1.1
Primer funkcije, ki izpolni Dirichletov pogoj je
x(t) = 1
1 +t 2 .
Ta jih izpolni na intervalu (−∞,∞) Funkcija
x( t)
Slika 1.1
Primer stopničastega
signala
t
x(t) = 1
1 −t
izpolni Dirichletov pogoj le, če interval (a,b) ne zajema vrednosti t = 1. V tej točki ima
neskončno nezveznost. Če je v definicijskem intervalu (a,b) tudi koordinatno izhodišče,
funkcija
sin 1 t
ne izpolni Dirichletov pogoj, čeprav je v tem intervalu vedno omejena. Vzrok: v koordinatnem
izhodišču ima neskončno mnogo maksimumov in minimumov. V teoriji signalov
pogosto uporabljamo stopničaste funkcije. Te izbiramo tako, da izpolnijo Dirichletov pogoj
(slika 1.1).
♦
1.1.2 Uporaba simetrij signala
pri računanja Fourierovih koeficientov
osnutek
Računanje z Fourierovih koeficientov z Eulerovimi obrazci (1.6) se poenostavi,
če ima integrand v obrazcu katero izmed simetrij. Pri a 0 simetrijo
integranda določa kar signal x(t) sam, pri koeficientih a n in b n pa moramo
upoštevati, da sta integranda produkta signala s sodo funkcijo cosnω 0 t oziroma
z liho funkcijo sinnω 0 t.
Simetrije sestavljenih signalov smo opisali že v [24, str. 31 – 33], zato le
ponovimo pravila:
Vsota dveh sodih signalov je soda.
Vsota dveh lihih signalov je liha.
Vsota sodega in lihega signala ni ne soda ne liha.
Produkt dveh sodih funkcij je sod.
Produkt dveh lihih funkcij je sod.
Produkt sode in lihe funkcije je liha funkcija.
Vpliv simetrij na računanje Fourierovih koeficientov povzemamo v naslednjih
razdelkih.

7
Liha simetrija signala
Ko je signal x(t) liho simetričen, sta produkta x(t)cosnω 0 t in x(t)sinnω 0 t
liho oziroma sodo simetrična. Zato velja:
a 0 = 0
a n = 0
b n = 4 ∫ T0 /2
x(t)sinnω 0 t dt
T 0
ZGLED 1.1.2
Izračunajmo Fourierovo vrsto za liho simetrični signal, ki ga kaže slika 1.2!
x( t)
A
t
T 0 /2 T 0 /2 T 0 3T 0 /2
T 0
A
0
Slika 1.2
Primer lihega signala
osnutek
(1.7a)
(1.7b)
(1.7c)
REŠITEV: Iz lastnosti lihih signalov vemo, da so pri njih Fourierovi koeficienti a 0 in a n
enaki nič, zato izračunamo samo koeficiente b n . Pri tem upoštevamo, da potek signala
med 0 in T 0 /2 opišemo z daljico, ki leži na premici
Torej:
x 1 (t) = k ·t , k = tanα = A
T 0 /2 = 2A .
T 0
b n = 4 ∫ T 0 /2
x(t)sinnω 0 t dt = 4 ∫ T 0 /2 2A
t sinnω 0 t dt
T 0 0
T 0 0 T 0
= 8A [ sinnω0
T0
2 (nω 0 ) 2 −t cosnω ] T0 /2
0t
nω 0 0
[
= 8A sinn
2π T 0
T0 2
T0
2 (nω 0 )
} {{ 2 − sinn2π T 0
·0
T 0
2
cosn 2π T ]
0
T
(nω 0 )
} } {{ 2 −
0 2
+ 0· cosnω 0 ·0
nω 0 nω
}
} {{ 0
}
sinnπ=0 sin0=0
=0
= − 8A T 0 cosnπ
T0
2 2 n 2π
T 0
= − 4A
T 0
T 0
2π
cos(nπ)
n
= 2A π
(−1) n+1
Fourierova vrsta, s katero opišemo signal na sliki 1.2, se glasi:
x(t) = 2A ( sinω0 t
− sin2ω 0t
+ sin3ω )
0t
− ···
π 1 2 3
n
, n = 1,2,...
♦

8
Soda simetrija signala
Ko je signal x(t) sodo simetričen, sta produkta x(t)cosnω 0 t in x(t)sinnω 0 t
sodo oziroma liho simetrična. Zato velja:
a 0 = 2 ∫ T0 /2
x(t) dt
T 0
0
a n = 4 ∫ T0 /2
x(t)cosnω 0 t dt
T 0
b n = 0
0
(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)
Slika 1.3
Primer sodega signala.
ZGLED 1.1.3
Izračunajmo Fourierovo vrsto za sodo simetrični signal, ki ga kaže slika 1.3.
REŠITEV:
Računanje a 0 ne dela težav:
x( t)
1
t
T 0 /2 0 T 0 /2 T 0 3T 0 /2
a 0 = 2 ∫ T 0 /2
x(t) dt = 2 ∫ T 0 /2
(1 − 2t ) dt = 1 − 1 T 0 0
T 0 0 T 0 2 = 1 2
Pri a n upoštevamo sodo simetrijo, zato si pomagamo z (1.8b):
T 0
osnutek
a n = 4 ∫ T 0 /2
(1 − 2t/T 0 ) cosnω 0 t dt
T 0 0 } {{ }
=x(t)
= 4 [ ∫ T 0 /2
∫ T
]
0 /2 2t
cosnω 0 t dt − cosnω 0 t dt
T 0 0
0 T 0
,
kjer z upoštevanjem izračuna integrala štev. 318, Matematični priročnik [16, stran 878],
dobimo:
= 4 sinω 0 t
∣ ∣∣ T 0 /2
− 4 2 cosnω 0 t
T 0 nω 0 0 T
} {{ } 0 T 0 n 2 ω0
2 ∣ T 0/2
− 4 2
t sinω ∣
0t ∣∣ T 0 /2
0 T 0 T 0 nω 0 0
} {{ }
=0
=0
Za edini od nič različni člen v gornji enačbi velja:
− 4 2 cosnω 0 t
T 0 T 0 n 2 ω0
2 ∣ T 0/2
0
= − 8
T 2
0
1
[
cosn 2π
T 0
T 0
2 − cosn2π T 0
·0
n 2 ω0
2
= − 2 [
1
π 2 n 2 cosn 2π ]
T 0
T 0 2 − 1
.
]

9
Upoštevajmo, da je:
cosn 2π
T 0
T 0
2 − 1 = {
1 − 1 = 0 pri n = 2k
−1 − 1 = −2 pri n = 2k + 1
k = 0,1,2,···
in dobimo
a n = a 2k+1 = 4
π 2 1
n 2 .
Pri b n preverimo, ali ugotovitev, da so pri sodih funkcijah Fourierovi koeficienti b n enaki
nič, drži. Velja:
b n = 2 ∫
x(t)sinnω 0 t dt = 2 ∫ T
(
0 /2
1 − 2t )
sinnω 0 t dt
T 0 T 0
T 0 −T 0 /2 T 0
= 2 { ∫ T 0 /2
(1)sinnω 0 t dt − 2 ∫ T
}
0 /2
t sinnω 0 t dt
T 0 T 0
−T 0 /2
−T 0 /2
= − 2 {[
− cosnω ]
0
− 2 [ sinnω0 t
T 0 nω 0 T 0 (nω 0 ) 2 −t cosnω ]}∣
0t ∣∣∣ T 0 /2
nω 0
[
(
= 2 − cosn2π T 0
T 0 2
cosn 2π
T 0
− T )
]
0
2
+
−
T 0 nω
} {{ 0 nω
} } {{ 0
}
cosnπ=±1
cosnπ=±1
−T 0 /2
[
2
− sinn2π T 0
T 0 2
T 0 (nω 0 )
} {{ 2 + sinn2π T 0
(− T 0
2
)
(nω 0 )
}
2 +
} {{ }
sinnπ = 0 −sinnπ = 0
T 0
2
cosn 2π T 0
T 0 2
− (−T 0
2
)cosn 2π
T 0
(− T ]
0
2
)
nω
} {{ 0
nω
} } {{ 0
}
T 0
2 cosnπ = ±T 0
− T 0
2 2 cos(−nπ) = ∓T 0
2
= 2 {[ ]
1
± 1 ± 1 − 2 [
0 − 0 ± T 0
T 0 nω 0 T 0 2 ± T ]}
0
2
b n = 2 { }
1
± 2 ∓ 2 = 0 .
T 0 nω 0
osnutek
Vidimo, da res velja!
Fourierove koeficiente smo izračunali, zato še zapišimo Fourierovo vrsto, ki aproksimira
opazovani signal:
x(t) = 1 2 − 4 [ 1
π 2 1 cosω 0t + 1 9 cos3ω 0t + 1 25 cos5ω 0t+
]
1
··· +
(2k + 1) 2 cos(2k + 1)ω 0t + ···
, k = 0,1,2,3,··· ♦

10
Polvalna simetrija signala
Polvalna simetričnost ni ne liha ne soda (slika 1.4). Zanjo velja:
x(t) = −x(t ± T 0 /2) (1.9)
in
Slika 1.4
Primer polvalno simetričnega signala.
a 0 = 0
a 2k+1 = 4 ∫
T 0
b 2k+1 = 4 T 0
∫
T 0 /2
T 0 /2
cos(2k + 1)ω 0 t dt
Četrtvalna simetrija sodega signala
(1.10a)
(1.10b)
sin(2k + 1)ω 0 t dt , k = 0,1,2,... (1.10c)
x( t)
A
t
T 0 /2 T 0 /2 T 0 3T 0 /2
Signal ima četrtvalno sodo simetrijo, če velja (slika 1.5):
T 0
A
osnutek
x(t) = x(−t) in x(t) = x(t + T 0 /2) . (1.11)
V tem primeru Fourierove koeficiente lahko izračunamo z:
a 0 = 0
a 2k+1 = 8 ∫
T 0
T 0 /4
(1.12a)
x(t)cos(2k + 1)ω 0 t dt , k = 0,1,2,... (1.12b)
b n = 0 . (1.12c)
Četrtvalna simetrija lihega signala
Signal ima četrtvalno liho simetrijo, če velja (slika 1.6):
x(t) = x(−t) in x(t) = x(t + T 0 /2) . (1.13)

11
x( t)
A
x( t)
A
T 0 /2 T 0 /4 0 T 0 /4 T /2
0
3T 0 /4
t
T 0 /2 T 0 /4 0 T 0 /4 T /2
0
3T 0 /4
t
A
A
Slika 1.5
Primer četrtvalno simetričnega sodega signala.
V tem primeru Fourierove koeficiente lahko izračunamo z:
a 0 = 0
a n = 0
b 2k+1 = 8 ∫
T 0
T 0 /4
1.1.3 Gibbsov pojav
osnutek
Slika 1.6
Primer četrtvalno simetričnega lihega signala.
(1.14a)
(1.14b)
x(t)sin(2k + 1)ω 0 t dt , k = 0,1,2,3,... (1.14c)
Dirichletova pogoja dovoljujeta, da ima funkcija x(t) končno število nezveznosti
z levo in desno limito in določajo, da je v točki nezveznosti aproksimacija
originalnega signala enaka srednji vrednosti leve in desne limite signala
v tej točki (glej enačbo (1.2) na strani 4). Zato ima aproksimacija signala s
Fourierovo vrsto v okolici nezveznosti x(t) prenihaj, ki ga imenujemo Gibbsov
pojav.
Izgled prenihaja in pridušenega nihanja pri različno dolgih delnih vsotah
iz Fourierove vrste kaže slika 1.7. Prenihaj znaša 8,95% skoka amplitude.
Njegova velikost je neodvisna od števila členov v Fourierovi vrsti. Vidimo,
t t t
N=5
N=21 N=500
Slika 1.7
Gibbsov pojav. N je število harmonskih komponent, ki jih upoštevamo v Fourierovi vrsti.

12
da z naraščanjem števila členov narašča frekvenca iznihanja in se krajša čas
iznihanja. Gibbsov pojav, ki nastane pri tem, si torej lahko predstavljamo kot
medsebojni vpliv vrednosti z obeh strani nezveznosti. V skladu z Dirichletovimi
pogoji, oziroma analitično rešitvijo, ki jo je izpeljal de Fourier, pojav
nastane tik pred in za točko nezveznosti x(t).
Vzrok Gibbsovem pojavu je lastnost Fourierove vrste, ki v točki nezveznosti
x(t) ne more hkrati prečkati levo in desno limito x(t) ter srednjo vrednost
med njima. To zahteva neskončno strmino vsote baznih funkcij v točki
nezveznosti, kar pa je v nasprotju z naravo trigonometrijskih funkcij. To je
tudi v nasprotju s fizikalno predstavo. Spomnimo se, da je J. B. J. de Fourier
z analitičnim opisom prehoda temperature na robu med vročim in hladnim
pokazal, da ima tam temperatura srednjo vrednot, torej ne more biti hkrati
“vroče” in “hladno”.
1.1.4 Ocena konvergentnosti Fourierovih vrst
Pri aproksimaciji signalov je v praksi zelo pomembno, s koliko členi Fourierove
vrste lahko tvorimo dovolj dobro aproksimacijo signala. Metode, ki bi
določila dolžino delne vsote v Fourierovi vrsti, ki da srednji kvadratni pogrešek
med signalom in njegovo aproksimacijo manjši od neke meje, žal ni.
Zakonitost, ki pove, kako z naraščanjem indeksa členov v Fourierovi vrsti
upada velikost Fourierovih koeficientov lahko izrazimo s številom zaporednih
odvajanj funkcije x(t), ki da še omejen odvod. Izkaže se, da za Fourierove
koeficiente velja neenakost:
osnutek
|c n | ≤ M
n k+1 , n 1 , (1.15)
kjer je c n = a n ali b n ali √ a 2 n + b 2 n in k število zaporednih odvajanj. Konstanta
M je odvisna le od funkcije x(t) in ne indeksa n. Znak enakosti predstavlja
zgornjo mejo.
Iz (1.15) sledi, da je za signale x(t) pravokotne oblike upadanje vrednosti
Fourierovih koeficientov v razmerju 1/n (slika 1.8) – odvod signala, ki ga
sestavlja periodično zaporedje pulzov gre v točkah nezveznosti čez vse meje.
Pri signalih žagaste oblike je upadanje koeficientov z 1/n 2 , saj šele njen drugi
odvod gre čez vse meje in tako dalje.
Slika 1.8
Konvergenčnost Fourierove vrste
vlaka sodih pravokotnih pulzov.
c n
1/n
0 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1

Iz (1.15) tudi sledi, da funkcijo x(t), ki je invariantna na odvajanje, aproksimira
že prvi člen Fourierove vrste. Primer takega signala je Asin(ω 0 t +φ),
ki ga že (natančno) opiše člen z b 1 oziroma člena c ±1 .
Drugo skrajnost predstavlja periodični signal, ki se sestavljajo Diracovi.
Pri njih lahko sklepamo, da velja k = −1 ter zato zanje Fourierova vrsta ni
konvergentna (res, njihov spekter ima pri vseh frekvencah nω 0 , ω 0 = 2π/T 0
in n ∈ Z, enako visoke harmonske komponente).
13
1.2 Kompleksna Fourierova vrsta
Kompleksne Fourierove vrsto dobimo iz realne z Eulerovim obrazcem, ki
smo ga že srečali pri predstavitvi harmonskih nihanj. Če v zapisu realne
Fourierove vrste (1.5) upoštevamo Eulerova obrazca:
dobimo:
x(t) = a 0 +
cosα = e jα + e − jα
2
∞
∑
n=1
, sinα = e jα − e − jα
2 j
e
(a jnω0t + e − jnω 0t
e jnω0t − e − jnω )
0t
n + b n
2
2 j
osnutek
.
(1.16)
Zgornjo enačbo preuredimo tako, da združimo člene s pozitivnimi in člene z
negativnimi eksponenti:
x(t) = a 0 +
∞
∑
n=1
(
an − jb n
e jnω0t + a n + jb n
2
2
e − jnω 0t
)
vpeljimo nov koeficient c n , za katerega velja:
c −n = a n − jb n
2
c 0 = a 0
c n = a n + jb n
2
(1.17a)
(1.17b)
(1.17c)
ter z njimi zapišimo Fourierovo vrsto:
x(t) = c 0 +
∞
∑
n=1
c n e jnω 0t +
∞
∑
n=1
c −n e − jnω 0t
. (1.18)

14
Ker je e 0 = 1, lahko c 0 vključimo v seštevanje na desni strani (1.18). Ne da
bi kaj spremenili v (1.18), lahko drugo vsoto na desni strani (1.18) zapišemo
kot:
∞
∑
n=1
c −n e − jnω 0t =
1
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
S tem dobimo običajni, kompaktni zapis kompleksne Fourierove vrste:
.
☞
x(t) =
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
. (1.19)
Značilnost te Fourierove vrste so kompleksni koeficienti – zato jo imenujemo
kompleksna Fourierova vrsta in negativne frekvence. Vpeljane so z (1.16).
1.2.1 Izračun kompleksnih Fourierovih koeficientov
Bazne funkcije kompleksne Fourierove funkcije so e jnω 0t
in tvorijo polno
zaporedje ortogonalnih funkcij Φ. Z njimi lahko po že uhojeni poti določimo
koeficiente c n iz lastnosti ortogonalnih funkcij:
pomnožimo enačbo (1.19) z e jkω 0t ter integriramo:
∫
∫
x(t) e − jkω0t dt =
T 0
=
izpostavimo koeficient c n
∞
T 0
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t e − jkω 0t dt
osnutek
c n
∫T 0
e j(n−k)ω 0t dt =
{
cn T 0 , k = n
0 , k ≠ n
c n = 1 T 0
∫T 0
x(t) e − jnω 0t dt . (1.20)
Enačba (1.20) velja tako za pozitivne kot za negativne n ter tudi za n = 0.
Iz metode računanja koeficientov po metodi najmanjšega kvadratnega pogreška
vemo, da koeficient 1/T 0 določa energija baznih funkcij:
1
= 2
∫
∫
(
, E φ = φ(t) dt = e
jnω 0 t ) 2
dt = 2T0 .
T 0 E φ T 0 T 0
Razlika, ki je tu med realnimi in kompleksnimi Fourierovimi vrstami, ima
vzrok v tem, da pri kompleksnih vrstah mora Parsevalova identiteta veljati za
dvojno število harmonskih komponent, torej mora vsaka vsebovati pol manj
(trenutne) moči kot pri realnih Fourierovih vrstah.

☞
☞
15
Integral v (1.20) je podoben integralu, s katerim računamo povprečno vrednost
signala na intervalu T 0 :
u(t) = 1 T 0
∫T 0
u(t) dt . (1.21)
Z upoštevanjem zapisa (1.21) lahko (1.20) zapišemo v obliki:
c n = x(t)· e − jnω 0t . (1.22)
Pri računanju koeficientov z enačbo (1.20) je pomembno zaporedje računanja.
Najprej moramo izbrati n, nato izračunamo integracijsko funkcijo,
šele nato smemo integrirati. V nasprotnem primeru lahko pri n = 0 dobimo
nedoločljivo vrednost.
1.2.2 Kompleksni spekter
Kompleksni spekter določajo koeficienti c n . Ker so ti pri pozitivnih frekvencah
(n·2π/T 0 ) in pri negativnih (−n·2π/T 0 ), kompleksna Fourierova vrsta
določa dvostranski spekter.
V prikazu spektra ponavadi uporabimo polarni zapis:
c n = |c n |∠c n (1.23)
osnutek
∠c n = φ n = tan I{c n}
R{c n }
. (1.24)
ter ga pokažemo v dveh diagramih (slika 1.9). Diagram, ki ponazarja (1.23),
imenujemo amplitudni spekter, diagram, ki pa ponazarja (1.24), pa fazni
spekter.
| c n |
c 1 c 1
c 2
c c c 0 c 0
2
3
c 3
1 1 0 1 1 1
n
1
2
3
0
1
3
1
2
Slika 1.9
Kompleksni spekter. Zgoraj amplitudni,
spodaj fazni spekter.

16
1.2.3 Simetrije v spektru
Tudi pri kompleksnih Fourierovih vrstah imajo simetrije pomembno vlogo.
To uvidimo, če (1.22) zapišemo v obliki:
c n = x(t)cosnω 0 t − j x(t)sinnω 0 t
in predpostavimo, da je x(t) realen. Takrat velja:
(
) 2 ( ) 2
|c n | 2 = x(t)cosnω 0 t + x(t)sinnω 0 t
ϕ n = −arctan x(t)sinnω 0t
x(t)cosnω 0 t
Če nadomestimo n z −n, potem dobimo:
oziroma
.
|c n | = |c −n | in ϕ n = −ϕ −n (1.25)
c −n = |c n | e − jϕ n
= c ∗ n .
Torej so za realne signale (kar fizični signali večinoma so) amplitudni spektri
sodo simetrični, fazni pa liho simetrični (slika 1.9 na predhodni strani).
To je lastnost, ki smo jo opazili pri konjugirano kompleksnih kazalcih – njihova
vsota je vedno realni kazalec. Ker s kazalci lahko opišemo harmonsko
nihanje, vidimo, da dajo realni signal x(t).
Z upoštevanjem (1.25) lahko člene Fourierove vrste uredimo po parih:
osnutek
c n e jnω 0t + c n e − jnω 0t = 2|c n |cos(nω 0 t + ϕ)
oziroma jo zapišemo v obliki:
x(t) = 2
∞
∑
n=0
|c n |cos(nω 0 t + ϕ n ) . (1.26)
☞
S tem smo prišli do trigonometrijske Fourierove vrste. Z njo x(t) opišemo
z vsoto sinusoid z le pozitivnimi frekvencami. Zato z njo določimo le enostranski
spekter, ki pa nima simetrij, ki smo jih malo prej spoznali. Zato je ta
oblika Fourierove vrste manj uporabna kot je kompleksna Fourierova vrsta.
Opisani simetriji kompleksnega spektra sta značilnost realnih signalov.
Če signal ima še kakšno simetrijo v časovnem prostoru, se to odraža v podobnem
poenostavljenem računanju spektra, kar smo širše opisali pri računanju
Fourierovih koeficientov pri realnih Fourierovih vrstah.

17
1.2.4 Fourierov par
Če pomnožimo (1.20) s T 0 in uvedemo novo oznako
c n T 0 = X(n) , (1.27)
lahko obrazca za kompleksno Fourierovo vrsto in za izračun kompleksnih
Fourierovih koeficientov zapišemo v bolj pomenljivi obliki:
X(n)e jnω 0t
analiza x(t) = 1 ∞
T 0
∑
n=−∞
∫
sinteza X(n) = x(t)e − jnω0t dt
T 0
Enačbi (1.28) določata Fourierov par pri zveznih perodičnih signalih. Povezanost
med x(t) in njegovim diskretnim spektrom X(n) simbolično označimo
z:
F
x(t) ←−−−→ X(n) . (1.29)
osnutek
DOKAZ 1.1
Dokaz, da to velja za spekter v (1.28), je naslednji:
X(n) = 1 ∞
T 0
∫T 0
∑
[X(k)e ]
jkω 0t
e − jnω0t dt .
k=−∞
} {{ }
=x(t)
Ker sta seštevanje in integracija linearni operaciji, lahko zamenjamo zaporedje njunega
izvajanja:
X(n) = 1 ∞ ∫
T 0
∑ X(k)e jkω0t e − jnω0t dt
k=−∞ T 0
⎧
⎨X(n) 1 dt = X(n) , k = n
= T 0
∫T
⎩
0 ,
0 , k ≠ n
Enačbi (1.28) povezujeta časovni in frekvenčni prostor. Prehod iz časovnega
v frekvenčni prostor imenujemo analiza signala, prehod iz frekvenčnega v
časovni prostor pa imenujemo sinteza signala (slika 1.10). Ta prehoda ime-
nujemo tudi preslikava.
Od preslikave zahtevamo, da je enolična. Zato, če neko časovno funkcijo
preslikamo v frekvenčni prostor, od tam pa ponovno nazaj, moramo dobiti
spet prvotno funkcijo.
èas
(1.28a)
(1.28b)
X( n) = F -1 { x( t)
}
frekvenca
x( t )= x( t+ ) = F { X( n)}
T 0
Slika 1.10
Fourierov par.
kjer smo upoštevali ortogonalnost baznih funkcij e jkω 0t in e
− jnω 0 t in časovno neodvisnost
X(n).
□

18
1.3 Parsevalov izrek
Kolikšna je moč signala V [24, str. 78 – 82] smo zapisali, da je trenutna
moč signala x(t) enaka x 2 (t), za povprečno moč periodičnega signala pa:
P x = x 2 (t) = 1 T 0
∫T 0
x 2 (t) dt . (1.30)
Kolikšna pa je moč spektra Če v (1.30) x 2 (t) nadomestimo s produktom
signala in njegovega kompleksnega spektra dobimo:
P x = x 2 (t) = 1 T 0
∫T 0
x(t)
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
} {{ }
=x(t)
Zamenjajmo zaporedje seštevanja in integriranja:
P x = 1 [ ∫ ]
c n x(t)e jnω0t dt
T 0 T 0
dt .
. (1.31)
Sedaj prestavimo 1/T 0 v oglati oklepaj, ter se poigramo z predznaki v eksponentu
e:
∞
[ ]
1
P x = ∑ c n x(t)e
n=−∞ T 0
∫T − j(−n)ω0t dt
(1.32)
}
0
{{ }
=c −n
in dobimo:
P x = x 2 (t) =
∞
∑
n=−∞
c n c −n =
∞
∑
n=−∞
osnutek
|c n | 2 . (1.33)
Zgornja enačba je tako imenovani Parsevalov izrek. Parsevalov izrek pove
naslednjo pomembno lastnost:
Pri popolnem opisu signala s Fourierovo vrsto je moč spektra
signala enaka moči signala.
Oglejmo si še Parsevalov izrek pri realnih spektrih. Pri njih lahko do
Parsevalovega izreka pridemo tako, da preuredimo (1.33):
najprej iz vsote v (1.32) izvzamemo člen c 0 :
P x = c 2 0 +
∞
∑
n=−∞
n≠0
|c n | 2 ,

potem upoštevamo, da je kompleksni amplitudni spekter sodo simetričen
(torej velja |c n | = |c −n |), zato zapišemo:
∞
∑
n=−∞
n≠0
|c n | 2 = 2
∞
∑
n=1
|c n | 2 ,
19
amplitude v realnem spektru so dvakrat višje od amplitud v kompleksnem
spektru:
A n = |2c n | → |c n | = A n /2 ,
kjer je A n = √ a 2 n + b 2 n ,
in Parsevalov izrek je na dlani:
P x = c 2 0 + 2
= a 2 0 + 1 2
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
|c n | 2 = c 2 0 + 2
∞
∑
n=1
|A n /2| 2 = c 2 0 + 2
osnutek
∞
∑
n=1
1
4 |A n| 2
|A n | 2 (1.34)
V (1.34) smo upoštevali (1.17b), torej da imata kompleksnem spekter
in realni spekter isto enosmerno komponento: c 0 = A 0 = a 0 .
K (1.34) še kratek komentar. Realen spekter določajo amplitude harmoničnih
nihanj (torej sinusoid), katerih vsota določa trigonometrično (to je realno)
Fourierovo vrsto. Povprečna moč sinusoide Acosω 0 t je:
∫
∫ (
1
A 2 1 cos 2 ω 0 t dt = A2 1 1
T 0 T 0 T 0 T 0 2 + 1 )
2 cos2ω 0t dt
∫
∫
= A2 1
dt + A2 1
cos2ω 0 t dt
2T 0 T
} {{ 0 2T
} 0 T
} 0
{{ }
=A 2 1 /2 =0
.
Povprečna moč periodičnega signala določa (1.30). Sledi
x 2 (t) = 1 T 0
∫T 0
x 2 (t)dt = c 2 0 = a 2 0 . (1.35)
Vidimo, da povprečno moč realnega spektra tvori povprečna moč signala,
kateri je superponirana moč harmonikov, s katerimi opišemo signal x(t). Pri
tem moramo poudariti, da ta ugotovitev velja le za povprečne moči, pri trenutnih
močeh temu ni tako.

20
1.4 Funkcija Sa
V spektralni analizi je zelo pogosta funkcija (sinx)/x. Zanjo se uporablja
različne oznake, med matematiki je razširjena oznaka sinc. V tej knjigi jo
bomo označevali s Sa:
Sa = sinx
x
s čimer bomo poudarili njeno pomembnost pri vzorčenju signalov (Sa: Sample
- vzorec), o čemer bo še govora pozneje. Potek funkcije Sa kaže slika 1.11.
Slika 1.11
Diagram funkcije S a .
Sa( x)
1
Sa( ) = 0
Značilne točke S a funkcije so pri x = 0 in v točkah S a = 0. Vrednost
S a (0) določimo z limitnim postopkom v katerem sinx nadomestimo z vrsto,
s katero je definiran:
[
sinx 1
Sa(0) = lim = lim x − 1
x→0 x x→0 x 3! x3 + 1 ]
5! x5 − ···
= lim 1 − 1 3! x2 + 1 ]
5! x4 − ··· = 1
x→0
[
S a seka absciso, ko je S a = 0. Torej:
osnutek
x
S a (x = nπ) = 0 . (1.36)
ZGLED 1.4.1
Določimo spekter vlaka pravokotnih pulzov, ki ga kaže slika 1.12.
x( t)
A
Slika 1.12
Primer vlaka pravokotnih pulzov.
0
T 0
t
T 0

21
REŠITEV: Koeficiente spektra izračunamo z (1.20):
∣
c n = 1 ∫ τ/2
A e − jnω0t dt = A ∫ τ/2
cosnω 0 t dt = A sinnω 0 t ∣∣∣∣
τ/2
T 0 T 0 T 0 nω 0
−τ/2
= 2A
T 0
[ sinnω0
τ
2
nω 0
] τ/2
τ/2 = 2 A T 0
τ
2
−τ/2
(
sin
n 2π
T 0
τ
2
)
(
n 2π
T 0
τ
2
)
osnutek
−τ/2
= A τ Sa
(nπ τ )
T 0 T 0
kjer smo upoštevali ω 0 = 2π/T 0 in da je vlak pravokotnih pulzov soda funkcija. Uvedemo
še novo spremenljivko d = τ/T 0 :
x(t) = Ad
∞
∑
n=−∞
Sa(nπ d) e jnω 0t
. (1.37)
Spekter, ki ga določa (1.37), kaže slika 1.13.Vidimo, da je funkcija S a (·) ovojnica spek-
c n
Ad d/T 0
Slika 1.13
S a ( nd
)= S a ( )
Spekter vlaka pravokotnih pulzov s
slike 1.12.
0
tralnih črt – koeficientov c n , to je amplitud harmonikov signala x(t). Ker je x(t) soda
funkcija, na tem diagramu lahko pokažemo tako amplitudo kot fazo c n . Drugače je potrebno
posebej prikazati amplitudni in posebej fazni spekter. Vidimo tudi, da v primeru,
ko je T 0 mnogokratnik τ, odpadejo vsi harmoniki pri frekvencah, kjer je kvocient nτ/T 0
celo število.
♦
,
Srednja vrednost, to je enosmerno komponento vlaka pulzov s slike 1.12 je
enaka c n = Aτ/T 0 in je pri dani amplitudi odvisna od razmerja d = τ/T 0 . To
razmerje v pulzni elektroniki imenujemo razmerje aktivnosti (duty cycle). Z
njim nastavljajmo izhodno napetost pri preklopnih napajalnikih.
Moč spektra tega signala lahko izračunamo s pomočjo Parsevalovega izreka.
Iz (1.37) sledi:
P x =
∞
∑
n=−∞
(dA) 2 S 2 a(nπd) . (1.38)
Seveda je računanje z (1.38) neizvedljivo, saj bi morali sešteti neskončno
mnogo členov. To lahko zavede do sklepa, da Parsevalov izrek nima praktične
vrednosti, saj ga že pri tako preprostem signalu, kot je pravokotni val,

22
ne moremo uporabiti pri izračunu moči. Z direktnim računanjem moči tega
signala v časovnem prostoru do rezultata pridemo takoj:
P x = 1 T 0
∫ τ/2
0
A 2 dt = A2
T 0
( τ
2 − 0 )
= d A2
2
Zakaj pa se potem mučimo s Parsevalovim izrekom Prav nam pride, če želimo
na primer vedeti, kolikšna je moč določenega števila harmonskih komponent
signala.
ZGLED 1.4.2
Kolikšna je moč signala s slike 1.12 (zgled 1.4.1 na strani 20) na frekvenčnem intervalu,
ki ga omejujeta prva prehoda S a skozi absciso
REŠITEV: Ker je signal periodičen, izračunamo moč harmonskih komponent v interval
med prvima prehodoma S a skozi absciso. Število prehodov izračunamo iz (1.36).
Prvi prehod je pri:
Sa(nω 0 τ/2) = 0 ⇒ nω 0 τ/2 = n 2π
⌊ ⌋
τ
T 0 2 = π ⇒ n = T0
,
τ
kjer smo z ⌊·⌋ označili, da nas zanima najbližje manjše ali enako celo število, na primer:
⌊5/2⌋ = 2.
Moč izračunamo za dva primera. Pri prvem je razmerje T 0 /τ = 2 in pri drugem
T 0 /τ = 4!
prvi primer: T 0 /τ = 2 → n = 2
osnutek
2
) A 2
P x = ∑ S
n=−2( 2 2
a(nπ 1 2 ) = A2
A2
(0 + 0,405 + 1 + 0,405 + 0) =
4 4 1,81
P ′ = 1 ∫ τ/2
A 2 dt = A2
τ/2
t
= 1 T 0 T 0 ∣ 2 A2 → P A 2
P ′ = 2 1,81 = 0,905
−τ/2
−τ/2
A 2
4
drugi primer: T 0 /τ = 4 → n = 4
P x =
4
∑
n=−4
(A 1 4 )2 S 2 a(nπ 1 4 )
= A2
A2
(0 + 0,09 + 0,405 + 0,811 + 1 + 0,811 + 0,405 + 0,09 + 0) =
16 16 3,612
P ′ = 1 ∫ τ/8
A 2 dt = A2
t
T 0 T 0 ∣
−τ/8
τ/8
−τ/8
= 1 4 A2 → P A 2
P ′ = 16 3,62 = 0,903 .
A 2
4
Vidimo, da je v obeh primerih v tem frekvenčnem intervalu vedno približno 90% moči
signala. Sklepamo, da to velja za poljubno razmerje τ/T 0 .
♦

23
A
A T 2
A
A T 4
(a) τ/T 0 = 1/2
(b) τ/T 0 = 1/4
Slika 1.14
Moč signala s slike 1.12 na frekvenčnem intervalu, ki ga omejujeta prva prehoda S a skozi absciso
1.5 Zaključek
S Fourierovimi vrstami lahko opišemo pomemben razred vseh tistih periodičnih
signalov, ki izpolnijo Dirichletov pogoj. Pri tem koeficiente Fourierove
vrste, s katero izrazimo signal, predstavimo kot spekter signala. Poudarimo:
Spekter periodičnih signalov je diskreten.
Dejstvo, da je spekter periodičnih signalov diskreten, s pridom uporabljamo
v razlikovanju signalov, kar bomo uvideli v nadaljnji obravnavi signalov.
Poudariti moramo tudi pomen Parsevalovega izreka. Ohranitev moči signala
pri njegovi predstaviti s spektrom imamo takrat in samo takrat, ko je
srednji kvadratni pogrešek med njima enak nič. To, razen v posebnih primerih,
ko je signal invarianten na odvajanje ali je neskončno krat odvedljiv,
dosežemo le z neskončnimi Fourierovimi vrstami. Zato imajo izhodni signali
pri pasivnih sistemih, ki prepuščajo le določen del spektra signala, vedno
manjšo moč kot vhodni.
osnutek

osnutek

2
AJE MOGOČE TUDI APERIODIČNE SIGNALE izraziti s Fourierovimi
vrstami Na to vprašanje lahko gledamo kot na vprašanje, kaj se
zgodi s Fourierovo vrsto pri opisu periodičnega signala, ki mu narašča
perioda T 0 proti neskončnosti To je v večini učbenikov razloženo z
opazovanjem funkcije S a (nω 1 τ/T ).
Iz zgleda 1.4.1 na strani 20 vemo, da se z večanjem razmerja T 0 /τ ne
premakne prvi prehod ovojnice Sa(nω 1 τ/T 0 ) skozi časovno os, poveča se le
število harmonskih komponent med prvima prehodoma skozi S a (nω 1 τ/T 0 )
skozi nič. Sklepamo lahko, da se pri T → ∞ harmonske komponente zlijejo
v zvezni spekter, vsota v Fourierovi vrsta pa preide v integral (slika 2.1).
osnutek
Harmonska analiza
aperiodičnih signalov
2.1 Fourierova transformacija
Pri aperiodičnih signalih vlogo Fourierovih vrst prevzema Fourierov integral.
Ta preslika funkcijo iz originalnega prostora (v našem primeru časovnega) v
frekvenčni prostor:
∫ ∞
harmonska analiza X(ω) =
−∞
x(t)e − jωt dt
sinteza x(t) = 1 ∫ ∞
X(ω)e jωt dω
2π −∞
(2.1a)
(2.1b)
25

26
T . X( n 1 )
τ/T = 1/2
τ/T = 1/4
τ/T = 1/16
τ/T → dω
T . X( n 1 )
T . X( n 1 )
X( )
osnutek
Slika 2.1
Primer zlivanja diskretnega spektra pri T → ∞ v zveznega.
Enačba (2.1a) definira Fourierovo transformacijo, (2.1b) pa inverzno Fourierovo
transformacijo. Simbolično ju zapišemo z:
X(ω) = F {x(t)} in x(t) = F −1 {X(ω)} (2.2)
Za (2.1a) in (2.1b) pravimo, da določata Fourierov par. Simbolično ga označimo
z
F
x(t) ←−−−→ X(ω) (2.3)

27
OPOMBA 2.1
Za argument transformiranke smo zapisali krožno frekvenco:
ω = 2π f
kot je uveljavljen način zapisa v teoriji signalov. S tem poudarimo obliko integracijske spremenljivke.
V matematičnih učbenikih, mnogih komunikacijskih učbenikih, pa tudi učbenikih s področja
obdelave signalov, za integracijsko spremenljivko upoštevajo le f . V tem primeru je definicija
Fourierovega para:
2.1.1 Uporaba simetrij signala
pri Fourierove transformacije
osnutek
∫ ∞
X( f ) = x(t)e − j2πt dt (2.4)
−∞
∫ ∞
x(t) = X( f )e j2π f d f (2.5)
−∞
Definicija (2.5) se razlikuje od (2.1b) za faktor 2π. Zato moramo biti pri uporabi Fourierove
transformacije pazljivi, pametno se je držati vedno iste definicije. Razlika med obema oblikama
zapisa transformacije nastane zaradi povezave med frekvenco in krožno frekvenco:
ω = 2π f → dω = d(2π f ) = 2π d f in d f = 1
2π dω
Priljubljenost uporabe definicij (2.4) in (2.5) izhaja iz simetričnosti zapisa. Zato mnogi (predvsem
matematiki) kot kompromis med definicijami (2.1a),(2.1b) in (2.4),(2.5) uporabljajo naslednji simetrični
zapis:
X( f ) = √ 1 ∫ ∞
2π
Če za transformacijsko jedro upoštevamo Eulerov obrazec
−∞
e jωt = cosωt + j sinωt ,
x(t)e − j2πt dt , x(t) = 1 √
2π
∫ ∞
X( f )e j2π f dω (2.6)
−∞
iz katerega sledi, da je e jω vsota sodega (cosωt) in lihega (sinωt) signala,
lahko (2.1a) zapišemo v obliki:
∫ ∞
−∞
∫ ∞
x(t)cosωt dt + j x(t)sinωt dt
−∞
kjer lahko podobno kot pri Fourierovih vrstah izkoristimo simetrije signalov.
Pri realnih signalih, v naravi je večina takih, lahko z upoštevanjem simetrij
vsote in produktov signalov [24] pri sodih x(t) poenostavimo izračun Fourierove
transformacije v
∫ ∞
∫ ∞
X(ω) = x(t)cosωt dt = 2 x(t)cosωt dt (2.7)
−∞
0

28
pri lihih x(t) pa v:
∫ ∞
∫ ∞
X(ω) = x(t)sinωt dt = j 2 x(t)sinωt dt (2.8)
−∞
0
Ti povezavi imenujemo tudi Fourierova kosinusna in Fourierova sinusna
transformacija.
2.1.2 Obstoj Fourierove transformacije
Fourierova transformacija obstaja seveda le za signale, za katere lahko izračunamo
Fourierov integral. Takšne integrale matematiki imenujejo posplošeni
integrali z argumentom ω. Zato obstoj Fourierove transformacije vežemo na
obstoj posplošenega integrala vsaj v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti 1 .
To pomeni, da Fourierova transformiranka X(ω) obstaja, torej je omejena,
zvezna in z |ω| → ∞ limitira k nič:
če je izpolnjena neenačba:
|X(ω)|
∫ ∞
−∞
lim X(ω) = 0 ,
|ω|→∞
∣
∣x(t)e − jωt∣ ∣ dt
∫ ∞
−∞
|x(t)| dt ∞ . (2.10)
Povedano z besedami, Fourierov integral obstaja, če je funkcija x(t) v intervalu
(−∞,∞) absolutno integrabilna. Zato ne obstaja Fourierova transformacija
konstant, periodičnih funkcij, eksponentnih funkcij in nekaterih polinomov.
Ker so nekatere izmed teh funkcij, na primer harmonski signal cosωt
in sinωt, zelo pomembne v obdelavi signalov, bomo kasneje pokazali, kako
z limitnim postopkom obiti omejitev absolutne integrabilnosti (razdelek 2.5
na strani 43).
Katere funkcije, oziroma signali, ki so z njimi opisani, pa so absolutno
integrabilne (imajo normo ‖·‖ 1 ) Iz neenakosti:
∫ ∞
−∞
|x(t)| dt
∫ ∞
−∞
|x(t)| 2 dt =
osnutek
∫ ∞
−∞
x(t)x ∗ (t) dt ∞ (2.11)
1 Cauchyjeva glavna vrednost je povezana z definicijo posplošenega integrala funkcije, na
primer f (u), ki je definirana na (odprtem) intervalu [a,b] z izjemo notranje točke c, a
c b, v kateri ima f (u) neskončno limito. Če obstaja:
lim
ε→0
[ ∫ c−ε
∞
∫ ∞
f (u) du + f (u) du
c−ε
]
, (2.9)
potem je (2.9) glavna vrednost posplošenega integrala ali tudi Cauchyjeva glavna vrednost.
Matematični priročnik [16], stran 339

29
sledi, da vsi signali, ki imajo končno energijo 2 .
2.1.3 Dirichletov pogoj
Absolutna integrabilnost funkcij x(t) je nujen, ne pa zadosten pogoj. Funkcije
x(t) morajo izpolnjevati tudi Dirichletov pogoj. Zapisali smo ga že v
razdelku 1.1.1 na na strani 4. Zato tu le uskladimo zapis Fourierove transformacije
z Dirichletovim pogojem. Za (2.1b) pravzaprav velja:
x(t − 0) + x(t + 0)
2
= 1
2π
∫ ∞
−∞
X(ω)e jωt dt . (2.12)
Zgornja enačba pove, da se original in inverzna transformacija slike originala izpeljava integrala (2.12)
povsem ujemata nad vsemi tistimi točkami signalne osi x(t), torej točkami iz je v dodatku A na strani
intervala (a,b) ⊂ T, pri katerih ima signal x(t) zvezni potek, tam velja 123
x(t − 0) = x(t + 0) = x(t) ,
v točkah, kjer ima funkcija x(t) (omejeno) nezveznost, pa inverzna transformacija
povrne le srednjo vrednost nezveznosti. Iz tega lahko zaključimo, da
tudi pri aperiodičnih signalih nastopi Gibbsov pojav.
2.1.4 Gibbsov pojav
Gibbsov pojav pri periodičnih funkcijah smo opisali v razdelku 1.1.3 na strani
11. Od tam vemo, da je velikost prenihaja neodvisna od tega, koliko spektra
upoštevamo pri rekonstrukciji originala. Razlika, ki pri tem nastane, je le
v trajanju iznihavanja, amplituda prenihaja pa vedno znaša približno 8,9%
velikosti nezveznosti, torej ≈ 0,089|x(t − 0) − x(t + 0)| (slika 2.1.4).
2.1.5 Enota v spektru
osnutek
Fourierova transformacija Diracovega impulza določa enoto v spektru:
∫ ∞
∫ +0 +
F {δ(t)} = δ(t)e jωt dt = δ(t) dt = 1 . (2.13)
−∞
−0 −
Ker je δ(t) od nič različen le pri t = 0, kjer velja e 0 = 1, je Fourierov transformacija
Diracovega impulza enaka definiciji Diracovega impulza in določa
enoto v Fourierovi transformaciji. Iz (2.13) sledi, da sta δ(t) in 1 Fourierov
par:
F
δ(t) ←−−−→ 1
2 V [24] smo pri obravnavi norm pokazali, da so signal z normo ‖·‖ 1 podmnožica signalov
z normo ‖·‖ 2 . Energijo signala pa določa (‖·‖ 2 ) 2 .

30
osnutek
Slika 2.2
Gibbsov pojav pri aperiodičnih signalih. M določa mejno frekvenco, do katere upoštevamo spekter pri
rekonstrukciji originalnega signala. Pove, kolikokrat je ta frekvenca večja od 1/τ, kjer je τ širina narisanega pulza.
Tudi zaradi tega Diracov impulz imenujemo enotski impulz. Spekter Diracovega
impulza ima konstantno vrednost – enako ena – pri vseh frekvencah.
2.2 Lastnosti Fourierove transformacije
Linearnost.
Ker je integracija linearna operacija, je tudi Fourierova transformacija in inverzna
Fourierova transformacija linearna. Zato velja v obe smeri:
a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)
F
←−−−→ a 1 X 1 (ω) + a 2 X 2 (ω) . (2.14)

31
Časovni pomik.
Zakasnite signala x(t) za čas t 0 ne spremeni amplitudnega
DOKAZ 2.1
V Fourierovem integralu
x(t −t 0 )
F
←−−−→ X(ω)e − jωt 0
. (2.15)
F { x(t −t 0 ) } ∫ ∞
= x(t −t 0 )e − jωt dt . (2.16)
−∞
naredimo zamenjavo spremenljivke u = t −t 0 . SLedi t = u +t 0 in dt = du:
F { x(t −t 0 ) } =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
x(u)e − jω(u+t 0
du
= x(u)e − jωu e − jωt 0
du
−∞
[ ∫
]
∞
= x(u)e − jωu du e − jωt 0
.
Člen v oglatem oklepaju je Fourierov transform, ki določa X(ω), zato:
−∞
F { x(t −t 0 ) } = X(ω)e − jωt 0
. □
osnutek
Na časovno zakasnitev (v časovno neodvisnih sistemih) lahko gledamo tudi
kot na premik izhodišča merjenja časa.
Skaliranje.
Merilo časovne osi lahko povečamo, zmanjšamo in celo obrnemo. Tako
lahko na x(at), a je poljubna realna konstanta, gledamo kot na stisnjeno
obliko x(t), če je a pozitiven in manjši od ena, ali kot na časovno raztegnjeno,
to je razširjeno verzijo x(t), ko je a > 1. Če je a negativen, dobimo v času
obrnjeno skrčeno ali razširjeno verzijo x(t).
Skaliranje časovne osi signalu x(t) ima za posledico tudi skaliranje signalovega
spektra:
F
x(at) ←−−−→ 1 X (ω/a) . (2.17)
|a|
Z (2.17) smo pravzaprav formalizirali že opažene povezave med trajanjem
signala in širino njegovega spektra. Opazili smo, da imajo ozki signali širok
spekter, in obratno, široki signali imajo ozek spekter.

32
Dualnost.
Zelo uporabna lastnost v Fourierovi transformaciji je soda simetričnost amplitudnega
spektra realnega signala. Ta omogoča lastnost dualnosti med časovnim
in frekvenčnim svetom.
Dualnost izhaja iz podobnosti integralov v Fourierovi in inverzni Fourierovi
transformaciji. Velja, če sta x(t) in X(ω) Fourierov par, potem sta tudi
X(t) in x(−ω) Fourierov par:
Slika 2.3
Dualnost enotskih impulzov .
x(t)
F
←−−−→ X(ω) ⇒ X(t)
F
←−−−→ 2πx(−ω) . (2.18)
Z uporabo dualnosti lahko preprosto poiščemo nove Fourierove pare. Na
primer, pokazali smo, da sta Diracov impulz in enota v Frekvenčnem spektru
Fourierov par: δ(t) ↔ 1. Na temelju izreka o dualnosti, nam zamenjava
spremenljivk daje povezavo:
1
F
←−−−→ 1
2π δ(ω) oziroma 1 F
←−−−→ δ( f ) , (2.19)
kjer s simbolom δ(ω) označujemo frekvenčni Diracov impulz (slika 2.3).
x( t ) = ( t)
0
x( t ) = 1
1
1
t
F
X( )
1
osnutek
F
X( )
0
2
0
t
0
Frekvenčni pomik (amplitudna modulacija).
Izrek o zamenjavi spremenljivk ni uporaben le pri iskanj Fourierovih parov,
ampak tudi določanju novih lastnosti Fourierove transformacije. Tako je dualna
časovni zakasnitvi naslednja lastnost:
x(t)e jω ct
F
←−−−→ X(ω − ω c ) . (2.20)
To lastnost imenujemo frekvenčni premik ali amplitudna modulacija. Vidimo,
da ima množenje časovne funkcije z e jωct za posledico premik spektra
signala za (krožno) frekvenco ω c .

Lastnost frekvenčnega pomika je temelj linearnih modulacij. Učinek frekvenčnega
pomika si oglejmo na primeru signala, ki ga kaže slika 2.4. Iz
33
X( )
X( )
|X ( )
|
arg X( )
Slika 2.4
Frekvenčni premik.
0
0 c c
c+
slike lahko zaključimo:
spekter signala smo iz njegove originalne lege premaknili v okolico
frekvence ω c
Novi spekter ima dvojno širino realnega dela originalnega spektra. Ta
nastane zato, ker se k pozitivnim frekvencam premakne tudi del pri negativnih
frekvencah in seveda k negativnim frekvencam tudi pozitivni
del prvotnega spektra
X(ω − ω c ) ni hermitska funkcija, vendar ima simetrijo okoli ω c
Frekvenco f c v modulacijskih postopkih imenujemo nosilna frekvenca.
ZGLED 2.2.1 (Spekter radio-frekvenčnega (RF) pulza)
Določimo spekter RF pulza (slika 2.5)a:
{
Acosωc t −τ/2 ≤ t ≤ τ/2
x(t) = Ap τ cosω c t =
0 sicer
kjer p τ določa trajanje pulza.
osnutek
, (2.21)
REŠITEV: Spekter RF pulza lahko določimo direktno s Fourierovo transformacijo signala
(2.21) ali pa s pomočjo modulacijskega izreka (2.20).
(i) direktno računanje
∫ ∞
∫ τ/2
X(ω) = Ap τ cosω c t e − jωct dt = A cosω c t e − jωct dt
−∞
−τ/2
∫ τ/2
= A cosω c t (cosωt − j sinωt) dt
−τ/2
∫ τ/2
∫ τ/
= A cosω c t cosωt dt − jA cosω c t sinωt dt
−τ/2
−τ/2
} {{ }
∫
(soda f.)·(liha f.) dt=0
∫ τ/2 1
= A
−τ/2 2 [cos(ω c − ω)t + cos(ω c + ω)t] dt , (2.22)

34
kjer smo upoštevali Eulerov obrazec e − jα = cosα − j sinα in adicijski izrek
cosα cosβ = 1 2 cos(α + β) + 1 2
cos(α − β). Po integriranju dobimo:
∣
∣
X(ω) = A 2
sin(ω c − ω)t
ω c − ω
od koder po znani poti izpeljemo:
∣
τ/2
−τ/2
+ A 2
sin(ω c + ω)t
ω c + ω
∣
τ/2
−τ/2
X(ω) = Aτ [S a (ω c − ω) + S a (ω c + ω)] . (2.23)
Slika 2.5
RF pulz in lastnost frekvenčnega
premika.
Vidimo (slika 2.5), da je spekter RF pulza zbran okoli krožne frekvence ω c , njegov
potek pa je enak spektru pravokotnega pulza.
A
x( t)
(ii) modulacijski izrek
- c
t
X( )
- c
0
- c
c
c +
c+
osnutek
RF pulz določa pravokotni pulz p τ , ki je pomnožen s harmoničnim valoma Acosω c t.
Spekter p τ je:
∫ τ/2
∫ τ/2
X p (ω) = e − jωt dt = 2 cosωt dt = τS a (ωτ/2) .
−τ/2
0
Upoštevamo modulacijski izrek:
X(ω) = X p (ω − ω c ) ⇒ τS a (ωτ/2 − ω c )
izpeljava je nedokončana ...
♦
Odvajanje.
Tudi v obdelavi signalov je odvod pomembna matematična operacija. Če za
funkcijo x(t) obstaja Fourierova transformiranka X(ω), potem velja:
d
dt x(t)
F
←−−−→ jωX(ω) (2.24)

Vidimo, da je transformiranka odvajanja v časovnem prostoru množenje
v frekvenčnem prostoru. To pomeni, da s Fourierovo transformacijo prevedemo
diferencialne enačbe v algebraične.
Veljavnost (2.24) dokažemo z naslednjo izpeljavo:
DOKAZ 2.2
Če funkcija x(t) ima Fourierovo transformiranko
35
F { x(t) } ∫ ∞
= X(ω) = x(t)e − jωt dt
−∞
potem za transformiranko odvoda velja:
{ } 1
F
dt x(t) = d dt X(ω) = d ∫ ∞
x(t)e − jωt dt
dt −∞
∫ ∞ d
=
−∞ dt x(t)e− jωt dt
∫ b
Zadnji integral v gornji enačbi rešimo po delih: a udv = u[v]b a − ∫ b
a vdu. Izberemo
u = e − jωt in dv = dx(t) in računamo:
{ } 1
F
dt x(t) = e jωt[ x(t) ] ∫ ∞
∞
−∞ − x(t)[− jωe − jωt ] dt .
−∞
V primeru, ko velja lim t→−∞ x(t) = lim t→∞ x(t) = 0 od enačbe ostane:
{ } ∫ 1 ∞
F
dt x(t) = jω x(t)e − jωt dt = jωX(ω) □
−∞
} {{ }
osnutek
=X(ω)
Podobno lahko dokažemo, da za odvode x(t) višjega reda velja:
{ } d
n
F
dt n x(t) = ( jω) n X(ω) . (2.25)
Integriranje.
Če sta x(t) in X(ω) Fourierov par, potem sta Fourierov par tudi:
∫ t
−∞
x(t ′ ) dt ′
F
←−−−→ 1 X(ω) , (2.26)
jω
kjer je spremenljivka t ′ bila uporabljena le zaradi jasnosti zapisa.
Za večkratno integriranje velja:
∫ t
−∞
∫ t
−∞
∫ t
··· x(t 1 ) dt 1 dt 2 ··· dt n
−∞
F
←−−−→ 1 X(ω) (2.27)
( jω) n

36
Lastnosti odvajanja in integriranja sta posebej uporabna v analizi sistemov.
Iz transformiranke odvoda sledi, da odvajanje poudarja visoko frekvenčne
komponente signala, iz transformiranke integracije pa, da integriranje priduši
visoko frekvenčne komponente. To se ujema z rezultatom odvajanja v
časovnem prostoru. Tam odvajanje signala poudari spreminjanje funkcije v
času, integriranje pa spremembe gladi.
2.2.1 Konvolucija
Pregled lastnosti Fourierove transformacije zaključimo s Fourierovo transformacijo
konvolucije. Ta konvolucijo v časovnem prostoru prevede v množe-
nje v frekvenčnem prostoru, inverzna Fourierov transformacija konvolucijo v
frekvenčnem prostoru prevede v množenje v časovnem prostoru:
v novi reviziji se mora
upoštevati zadnja verzija
poglavja o sistemih!
x(t) ∗ y(t)
x(t)·y(t)
F
←−−−→ X(ω)·Y (ω) (2.28)
F
←−−−→ X(ω) ∗Y (ω) (2.29)
Veljavnost (2.28) lahko dokažemo z naslednjo izpeljavo:
DOKAZ 2.3
in
[
∫ ∞ ∫
]
∞
F [x(t) ∗ y(t)] = x(t ′ )y(t −t ′ ) dt ′ e −ωt dt
−∞ −∞
} {{ }
=
∫ ∞
−∞
osnutek
konvolucijski integral
[ ∫ ∞
]
x(t ′ ) y(t −t ′ )e − jωt dt dt ′
−∞
} {{ }
uporabimo izrek
o časovnem premiku:
Y (ω)exp(− jωt ′ )
∫ ∞
F [x(t) ∗ y(t)] = Y (ω) x(t ′ )e − jωt′ dt ′ = X(ω)Y (ω)
−∞
□
Ta lastnost Fourierove transformacije ima velik praktični pomen pri obravnavi
sistemov, saj integriranje prevede v preprostejše množenje. Pa ne samo
to, vpogled nam da v lastnosti sistemov, ki v časovnem prostoru niso tako
očitne.
2.2.2 Povezava časovne in frekvenčne širine signala.
Pri spektru lahko definiramo širino spektra W(ω), ki je določena s prvima
prehodoma spektra skozi nič - pri ω = −2π/a in pri ω = 2π/a. Širina spektra

med tema točkama je W(ω) = 4π/a. Ker je širina časovnega signala W(t) =
a, velja:
W(ω)W(t) = 4π oziroma W( f )W(t) = 2 (2.30)
Vidimo, da je produkt frekvenčne širine in časovne širine signala konstanten.
Zato ima časovno ozek signal ima širok spekter in obratno, časovno širok
signal ima ozek spekter. Ta lastnost velja na splošno. Uporabljamo jo kot
osnovno pri prenosu signalov.
37
2.3 Fourierova transformacija v limiti
Uporabo Fourierovih vrst in Fourierove transformacije omejujejo Dirichletovi
pogoji, ki zahtevajo, da morajo periodični signali imeti končno moč,
aperiodični signali pa končno energijo. Omejitve pri moči in energiji signalov
izločijo iz Fourierovega opisa mnoge signale - tako periodične kot neperiodične,
ki so zelo pomembni pri obravnavi signalov, komunikacijah in tudi
pri regulacijah. Mnogokrat imamo tudi hkrati opravka s periodičnimi in neperiodičnimi
signali, pri katerih je frekvenčni opis štorast in neuporaben, če
posebej računamo diskretne in posebej zvezne spektre.
Dirichletove omejitve lahko v nekaterih primerih obidemo z razširitvijo
Fourierove transformacije na na signale, ki sicer nimajo končne energije,
imajo pa končno moč. Za te signale velja:
osnutek
lim
∫
1
T →∞ T
T |x(t)|2 dt < ∞
kar pomeni, da lahko periodične signale opišemo v limitnem postopku tudi
s Fourierovo transformacijo. To Fourierovo transformacijo imenujemo tudi
Fourierova transformacija v limiti. S tem imenom poudarimo, da pri njenem
izračunu uporabimo limitni postopek.
2.3.1 Transformacija eksponentne funkcije
Oglejmo si še primer transformacije eksponentne funkcije. Ker je integral
eksponentne funkcije neregularen (neomejen), si pomagajmo z limitnim postopkom.
Videli bomo, da ta vodi do enotskega frekvenčnega impulza.

38
oziroma
∫ ∞
−∞
∫ a
e ± j2πuv dv = lim e ± j2πuv dv
a→∞ −a
∫ a
= lim cos(2πuv) dv ± j lim
a→∞ −a
sin2πu·v
= lim
a→∞ 2πu ∣
a
−a
a→∞
∫ a
sin(2πuv) dv
−a
} {{ }
=0, sin(·) je liha funkcija
= lim 2 sin(2πu·a)
a
a→∞ 2πu ∣a = lim 2asin2πau
a→∞ 2πua
= lim
a→∞
2aS a (2πau) = 2πδ(u) (2.31)
= lim
a→∞
aS a (2πau) = πδ(u) . (2.32)
Dokaz za (2.31) lahko izpeljemo s pomočjo izreka A.7 v dodatku A.3 na
strani 126, ki pove, da je ploščina pod funkcijo S a (x) enaka π, in pri tem
upoštevamo, da je lim a→∞ Sa(a) = 0. Ta rezultat ima osrednjo vlogo v integralskih
transformacijah. Poglejmo zakaj. Na primer, inverzna Fourierova
transformacija je definirana z:
x(t) = F −1{ X(ω) } = 1 ∫ ∞
[ ∫ ∞
x(t ′ )e − jωt′ dt
]e ′ jωt dω .
2π −∞
−∞
osnutek
Pokazati želimo, da je integral v gornji enačbi v limitnem postopku z T → ∞
je enak x(t). Zaradi tega najprej spremenimo zaporedje integriranja:
∫ ∞
I = dt ′ x(t ′ ) 1 ∫ ∞
e − jω(t′ −t) dω
−∞ 2π −∞
potem pa ponovimo postopek, ki je pripeljal do (2.31):
∫ ∞
I =
=
−∞
∫ ∞
−∞
dt ′ x(t ′ ) lim
T →∞
1
2π
∫ a
−a
e − jω(t′ −t) dω
x(t ′ ) 1
2π lim T →∞ 2aS a(a(t ′ −t)) dt =
∫ ∞
in zaključimo z upoštevanjem definicije Diracovega impulza:
∫ ∞
x(t) = x(t ′ )δ(t ′ −t) dt ′ = x(t)
−∞
Podana izpeljava seveda velja, če je x(t) v tej točki zvezen.
−∞
x(t ′ ) 1
2π 2πδ(t′ −t) dt

39
2.3.2 Transformacija konstante, frekvenčni impulzi
Ali obstaja Fourierova transformacija signala x(t) = A Ker ima signal neskončno
energijo, ne izpolnjuje Dirichletovih pogojev. A zato zanj res ne
obstaja Fourierova transformacija
Spomnimo se lastnosti dualnosti Fourierove transformacije. Iz nje sledi,
F
da zaradi δ(t) ←−−−→ 1 velja tudi
1
F
←−−−→ 2πδ(ω) = δ( f ) .
To pričakovanje potrdimo z izračunom Fourierovega transformacije v limitnem
postopku. V njem bomo uporabili signal, katerega Fourierov transform
obstoja in ga bomo z limitnim postopkom približevali dejanskemu signalu.
Na primer, primeren signal je Gaussov pulz (slika 2.6):
x( t)
A
v limitnem
postopku
T 0
0 t
y(t) = A·e −π(t/T )2 .
osnutek
Slika 2.6
Graf Gaussove funkcije
A·e −π(t/T )2 .
Najprej preverimo, če v limitnem postopku dobimo naš signal – konstanto A:
x(t) = lim y(t) = lim
T →∞ T A·e−π(t/T )2 = A·e 0 = A
→∞
nato pa še izračunamo njegov spekter:
∫ ∞
X(ω) = lim Y (ω) = lim
T →∞ T →∞ −∞
∫ ∞
[
]
= lim
−∞ T Ae−π(t/T )2 →∞
} {{ }
=A
= 2πAδ(ω) .
[
Ae −π(t/T )2] e − jωt dt
∫ ∞
e − jωt dt = A
e − jωt dt
−∞
} {{ }
=2πδ(ω)
Torej sta Fourierov par:
A
F
←−−−→ 2πAδ(ω) . (2.33)
Veljavnost (2.33) preverimo z izračunom inverzne Fourierove transformacije:
F −1{ Aδ(ω) } = 1
2π
∫ ∞
−∞
2πAδ(ω)e jωt dω = A
∫ ∞
−∞
δ(ω)e ωt dω

40
kar je po definiciji Diracovega impulza enako:
= Ae jω ·0 = A .
Do istega rezultata lahko pridemo tudi po drugih poteh. Na primer, namesto
Gaussovega pulza uporabimo pravokotni pulz dolžine T in višine A. Iz
njega v limitnem postopku, ko povečamo interval T čez vse meje, dobimo
signal x(t) = A. Spekter pravokotnega pulza X T (ω) je enak:
∫ T /2
X T (ω) =
= A
−T /2
∫ T /2
−T /2
= A sinωt
ω
Ae − jωt dt
∫ T /2
cosωt dt + jA sinωt dt
−T /2
} {{ }
∣
T /2
−T /2
=0
= AT S a (ωT /2)
iz njega pa v limitnem postopku s T → ∞ dobimo:
osnutek
X(ω) = lim
T →∞ AT S a(ωT /2) = 2πAδ(ω) .
Vidimo, da ni pomembna oblika aproksimacije konstante. Mora samo imeti
Fourierovo transformacijo, katero lahko v limitnem postopku prevedemo v
Fourierovo transformacijo konstante.
2.3.3 Fourierov transform harmonskega signala
Tako, kot smo ugotovili, da ima signal x(t) = A spekter X(ω) = 2πAδ(ω),
lahko iz poznavanja Fourierovih vrst sklepamo, da ima harmonski signal s
krožno frekvenco ω 1 in amplitudo A (kompleksni) spekter sestavljen iz frekvenčnih
impulzov pri krožnih frekvencah −ω 1 in +ω 1 :
Acosω c t
F
←−−−→ πAδ(ω − ω c ) + πAδ(ω + ω c ) . (2.34)

41
DOKAZ 2.4
in
F { Acosω c t } ∫ a
= lim Acosω c te − jωt dt ,
a→∞ −a
[ ∫ a
= A lim
a→∞ −a
= A lim
a→∞
∫ a
= A [
lim
2
−a
a→∞ aS a
∫ a
Acosω c t cosωt dt +
Acosω c t sinωt dt
−a
} {{ }
=0
1
2 [cos(ω − ω c) dt + cos(ω + ω c ) dt]
(
(ω − ωc )a ) (
+ lim aS a (ω + ωc )a )]
a→∞
F { Acosω c t } = πAδ(ω − ω c ) + πAδ(ω + ω c )
Iz (2.34) sledi, da je zvezni spekter harmoničnega signala (sinusoide ali kosinusoide)
par frekvenčnih impulzov uteženih z amplitudo signala. Do enakega
rezultata pridemo tudi z opisom harmoničnega signala s Fourierovo vrsto. Ta
ima le dva člena, ki določata harmonski komponenti - spektralni liniji - pri
krožnih frekvencah ω − ω c in ω + ω c z iznosom enakim A.
2.3.4 Fourierova transformacija močnostnih signalov
osnutek
Iz primerov ki so opisani v razdelkih 2.3.4, 2.3.4 in 2.3.4, lahko zaključimo,
da Fourierova transformacija obstaja tudi za močnostne signale. Izračunamo
jo lahko (le) s Fourierovo transformacijo z limitnim postopkom.
]
□
2.4 Parsevalov stavek
Energijo signala
∫ ∞
E x = |x(t)| 2 dt < ∞ (2.35)
−∞
lahko izračunamo za amplitudno omejene prehodne ali neprehodne aperiodične
signale. Slednji se morajo, ko t narašča preko vseh meja, asimptotsko
približevati k ničli. Če en x(t) v (2.35) izrazimo z inverzno Fourierovo transformacijo
njegovega spektra:
x(t) = 1 ∫ ∞
X(ω)e jωt dω ,
2π −∞

42
lahko (2.35) preoblikujemo v:
∫ ∞
[ ∫ 1 ∞
]
E x = x(t) X(ω)e jωt dω dt
−∞ 2π −∞
in ker je integriranje linearna operacija, lahko zamenjamo zaporedje integriranja:
∫ ∞
[ ∫ 1 ∞
]
E x = X(ω) x(t)e jωt dt dω .
−∞ 2π −∞
Oglati oklepaj vsebuje definicijo Fourierove transformacije. To uvidimo, če
zamenjamo ω z −ω:
X(−ω) =
Torej je energija signala enaka:
E x = 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)e − jωt dt .
X(ω)X(−ω) dω . (2.36)
Signala X(ω) in X(−ω) sta kompleksna. Njuna medsebojno povezavo vidimo
iz definicije Fourierove transformacije, v kateri upoštevamo Eulerov
obrazec e ± jωt = cosωt ± j sinωt:
∫ ∞
X(±X) =
=
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)e ∓ jωt dt
osnutek
x(t)cosωt dt ∓ j
= A(ω) ∓ jB(ω)
∫ ∞
−∞
x(t)sinω dt
od koder vidimo, da je X ∗ (ω) = X(−ω). Zato lahko (2.36) izpeljemo v:
∫ ∞
E x =
= 1
2π
|x(t)| 2 dt = 1
2π
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X(ω)X ∗ (ω) dω
|X(ω)| 2 dω . (2.37)
Obrazec (2.37) imenujemo Parsevalov stavek za aperiodične signale, za katere
obstaja Fourierova transformacija.

43
2.5 Gostota energijskega spektra
Trenutno moč v časovnem prostoru smo izrazili s p x = |x(t)| in jo v obrazcu
za izračun energije predstavili kot gostoto energije v trenutku t. Podobno
lahko energijo
|X(ω)| 2 dω
predstavlja infinitezimalno energijo pri frekvenci ω in je zato za |X(ω)| 2
upravičeno ime gostota energijskega spektra.
2.6 Fourierova transformacija avtokorelacije
Avtokorelacijo signala x(t) smo označili z r xx (τ) in jo definirali z:
r xx (τ) =
∫ ∞
−∞
x(t)x(t + τ) dt .
Pri premiku τ = 0 z avtokorelacijo izračunamo energijo signala
E x = r xx (0) =
∫ ∞
−∞
x(t)x(t + 0) dt =
Z upoštevanjem Parsevalovega stavka dobimo:
kjer je
E x = r xx (0) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
∫ ∞
−∞
x(t) 2 dt .
osnutek
−∞
∫ ∞
−∞
X(ω)X ∗ (ω) dω
R(ω) dω , (2.38)
R(ω) = |X(ω)| 2 (2.39)
gostota energijskega spektra. Z upoštevanjem lastnosti pomika v Fourierovi
transformaciji lahko zapišemo:
r xx (0 + τ) = r xx (τ) = 1
2π
∫ ∞
Vidimo, da sta r xx (τ) in R(ω) Fourierov par:
r xx (τ)
−∞
F
←−−−→ R(ω) ,
R xx (ω)e jωτ dω
(2.40a)
zato tudi velja
∫ ∞
R xx (ω) = r xx (τ)e − jωτ dτ
(2.40b)
−∞
Obrazca (2.40) definirata Fourierovo transformacijo oziroma inverzno Fourierovo
transformacijo avtokorelacije energijskega signala.

44
ZGLED 2.6.1 (Gostota energijskega spektra)
Kakšen potek ima funkcija porazdelitve gostote energijskega spektra pravokotnega
pulza višine A nad intervalom (−T /2,T /2)
REŠITEV: Spekter x(t) izračunamo s Fourierovo transformacijo, v kateri upoštevamo
sodo simetričnost pulza:
x( t)
A
-T T
∫ T /2
X(ω) = Acosωt dt = AT S a (2π/T ) .
0
Funkcijo porazdelitve gostote določa (2.40):
Oba spektra sta prikazana na sliki 2.7.
t
R xx (ω) = |X(ω)| 2 = A 2 T 2 S 2 a(2π/T )
AT
2 2
A T
osnutek
-4
-2
2
4
6
T T T T T
♦
Slika 2.7
Spekter pravokotnega signala in potek gostote energijskega spektra.

45
2.7 Gostota močnostnega spektra
Močnostni signali so signali z neskončno energijo in končno močjo. Njihova
povprečna moč je:
P x = lim
T →∞ T
∫
1 T /2
|x(t)| 2 dt < ∞ .
−T /2
Primeri determinističnih močnostnih signalov so periodične funkcije, konstantni
signal, enotska stopnica, signum funkcija in podobno. Problem močnostnih
signalov je neskončna energija, zato zanje lahko izračunamo Fourierovo
transformacijo le z limitnim postopkom. V takih primerih si lahko
pomagamo z množenjem signala s pravokotnim pulzom višine 1 in trajanjem
na primer 2T .
x T = x(t)·p(t/2T ) (2.41)
= x(t) , −T t T .
Z njim izsekamo iz signala del s končno dolžino (slika 2.8). Takšni signali
xt
rect( t/2 T)
T
xt 0
rect( t/2 T)
t
osnutek
T
t
Slika 2.8
Primer odrezave signala.
T
T
t
izpolnjujejo Dirichletov pogoj, zato zanje obstaja Fourierova transformacija.
Zato zanj z upoštevanjem Parsevalovega stavka lahko zapišemo:
P x = 1
2T
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
|x(t)p(t/2T )| 2 dt = 1
2T
|X 2T (ω)| 2 dω .
∫ ∞
−∞
|x 2T (t)| 2 dt

46
V limitnem postopku potem večamo T preko vseh meja:
oziroma
P x = lim
1
∫ ∞
T →∞ 2T −∞
∫ ∞
= lim
T →∞
1
2π
−∞
|x 2T (t)| 2 dt (2.42)
|X 2T (ω)| 2 dω (2.43)
= 1 ∫ ∞
|X(ω)| 2 dω . (2.44)
2π −∞
Energija signala, ki ju določa integral v (2.42) je sorazmerna 2T . To pomeni,
da je končna, dokler je T končen, ko pa T večamo preko vseh mej, tudi
energija narašča proti neskončnosti. Da pri tem ostane moč končna, mora
energija naraščati v istem razmerju kot narašča T .
Če moč izrazimo z avtokorelacijo, velja
P x = r xx (0) ,
je Fourierova transformacija te avtokorelacije:
R xx (0) =
∫ ∞
−∞
r xx (0)e − jωt dt . (2.45)
osnutek
Ker je r xx (ω) soda funkcija, lahko moč signala računamo tudi z:
P x = 1 π
∫ ∞
0
R xx (ω) dω . (2.46)

V poglavjih Fourierove vrste in Fourierova transformacija smo opisali njihovo
uporabo pri harmonski analizi zveznih periodičnih in aperiodičnih signalov.
Poleg teh signalov obstaja pomembna družina časovno diskretnih
signalov in zaporedij podatkov. Tudi te delimo na periodične in aperiodične
in za njih prav tako obstaja harmonska analiza.
Sodobna obdelava signalov temelji na digitalni obdelavi signalov, ki jo izvajajo
splošni računalniki ali namenske naprave zgrajene na osnovi digitalnih
signalnih procesorjev. Algoritmi, ki jih le-ti lahko vršijo, lahko povezujejo
le podatke. V primeru harmonske analize časovno zaporedje z zaporedjem v
frekvenčnem prostoru.
Pomen digitalne obdelave signalov je tolikšen, da so razvite tehnike in
metode pretvorbe analognih signalov v digitalne oziroma v zaporedje podatkov
tako, da je iz njih mogoča poljubno natančna povrnitev originalnega
signala analognega signala. Zato je v naslednjih razdelkih poleg harmonske
analize zaporedij opisan postopek pretvarjanja zveznih signalov v zaporedja
in obratno.
osnutek
3
Harmonska
analiza zaporedij
3.1 Vzorčenje signalov
Vzorčenje analognih signalov da časovno diskretni signal. Princip vzorčenja,
ki je opisan v [23], dopolnjujemo s prikazom spektrov in izpeljavo Shannonovega
pravila.
47

48
3.1.1 Idealno vzorčenje
Z vzorčenjem v izbranih trenutkih izmerimo vrednost analognega signala. To
izmero imenujemo otipek. Pri idealnem vzorčenju se v enakomernih časovnih
intervalih otipa signal. Vrši ga množenje analognega signala z vlakom
Diracovih impulzov (slika 3.1).
v( t)
v( nT s ) = v( t)
( tnT s) , n = ( oo , oo )
v[ n]
( tnT s )
v( t) ( t)
v( nT s )
v[ n]
Slika 3.1
Postopek idealnega vzorčenja.
t t
t n
3.1.2 Spekter vzorca signala
Predpostavimo, da je spekter analognega signal frekvenčno omejen in oblike,
ki jo kaže slika 3.2. Iz obravnave periodičnih signalov pa vemo, da je spekter
vlaka Diracovih impulzov ∆(ω) tak kot ga kaže slika 3.2. Kakšen pa je
spekter vzorca signala Vzorec signala dobimo iz produkta dveh časovnih
funkcij. Prva opisuje analogni signal, druga pa vlak Diracovih impulzov.
Vemo, da spekter izračunamo s Fourierovo transformacijo. Izpeljali ga bomo
v naslednjem poglavju. Tukaj pa se omejujemo le na uporabo znanih lastnosti
Fourierove transformacije. Vemo, da Fourierova transformacija produkta
v časovnem prostoru da konvolucijo spektrov v frekvenčnem prostoru:
osnutek
v(t)·
∞
∑
k=−∞
δ(t − nT s )
F
←−−−→ V (ω) ∗
∞
∑
m=−∞
∆(ω − mω s ) , (3.1)
kjer je ω s = 2π/T s osnovna frekvenca vlaka Diracovih impulzov. Desna stran
(3.1) določa konvolucijo aperiodičnega in periodičnega signala:
X(ω) = V (ω) ∗ ∆(ω − mω s ) =
∫ ∞
−∞
δ(ω − mω s )V (ξ − ω) dω . (3.2)
Vidimo, da postopek računanja (3.2) obsega frekvenčni premik za ξ , obrat
frekvenčne osi pri V (ω) okoli ordinate. Iz definicije Diracovega impulza,

49
v( t)
|V ( )
|
0
t
m 0 m
( tnT s )
( m
s )
0
t
s s s
T s 1 2
s
T s
Slika 3.2
Opazovani signal in njegov spekter (zgoraj) ter neskončno zaporedje Diracovih impulzov in njihov spekter (spodaj).
ponovimo:
sledi
δ(t) =
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − nT ) dt = x(nT ) , (3.3)
X(ω) = V (ω − nω s ) , n ∈ (−∞,∞) . (3.4)
osnutek
Pomen (3.3) in (3.4) podaja grafični prikaz računanja konvolucije na sliki 3.3.
Iz prikaza na sliki 3.3 vidimo, da je spekter produkta analognega signal
in vlaka Diracovih impulzov periodično se ponavljajoči spekter analognega
signala. Vidimo tudi, da je periodično ponavljanje posledica ∆(ω), ki je
periodičen s periodo ω s . S to periodo se tudi ponavlja spekter V (ω).
3.1.3 Tipalno razmerje
Iz (3.4) in prikaza konstrukcije spektra signala v(nT s ) sledi, da se spekter
V (ω) ponavlja v ritmu ω s – krožne frekvence ponavljanja Diracovih impulzov.
Rezultirajoči spekter X(ω) = V (ω) ∗ ∆(ω − mω s ) je pri tem odvisen
od razmerja med ω m in ω s . Trije značilni primeri tega razmerja so prikazani
na slikah 3.4. Iz slike 3.4 vidimo, da se periodično ponavljajoči se spektri
analognega signala ne prekrivajo, če je ritem otipavanja vsaj dvakrat večji od
mejne frekvence analognega signala. Iz prikaza spektrov vzorca signala na
sliki 3.4 lahko postavimo naslednji temeljni izrek vzorčenja signalov:

50
V( )
V( )
Slika 3.3
Prikaz računanja konvolucije
(3.1) in (3.2).
m m
m 0 m m
m 0
m 0 m m
( )
X( )
m
m
m
osnutek
m
m
0
0
0
0
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m 0 m m
DEFINICIJA 3.1.1 (Shannonov izrek)
Da periodično ponavljanje spektra analognega signala, ki ga povzroči vzorčenje, ne
spremeni njegove začetne oblike, je nujen in zadosten pogoj, da velja neenačba:
f s ≥ 2 f m oziroma ω s ≥ 2ω m , (3.5)
kjer sta f s frekvenca vzorčenja (otipavanja) analognega signala in f m mejna frekvenca
analognega signala oziroma ω m in ω s ustrezni kotni hitrosti: ω s = 2π f s in ω m = 2π f m .

51
a
|V ( )
|
m
0
m
b
n
s
m
0
m
s
s
c
d
e
s
m
m
0
|X ( )
| = | V( ) n |
m
|X ( )
| = | V( ) n |
m
s
s
0
s
|X ( )
| = | V( ) n |
0 s s
s
s m m
obmoèje prekrivanja (aliasing)
s
s
osnutek
Slika 3.4
Prikaz nastanka spektra vzorca
signala;
a: spekter signala,
b: spekter neskončnega vlaka
Diracovih impulzov,
c: spekter vzorca pri ω s > 2ω m .
d: spekter vzorca pri
ω s = 2ω m . e: spekter vzorca
pri ω s < 2ω m .
Frekvenco f s = 2 f m imenujemo tudi Nyquistova frekvenca.
3.1.4 Rekonstrukcija zveznega signala
Časovni potek zveznega, determinističnega signala je povsem določen z inverzno
Fourierovo transformacijo njegovega spektra. Če pri vzorčenju spoštujemo
Shannonovo pravilo, potem lahko iz spektra vzorca izrežemo osnovni
spekter med −ω m in ω m , ki pripada analognemu signalu. Iz njega lahko z inverzno
Fourierovo transformacijo rekonstruiramo originalni signal (slika 3.5).
Osnovni spekter izrežemo z idealnim nizkim sitom z mejno frekvenco ω m .
Tako sito imenujemo tudi pravokotno frekvenčno okno in ga označimo z Π m .

52
Slika 3.5
Spekter vzorca signala.
|X ( )
| = | V( ) n |
s
m
0
m
|V ( )
| = | X( )| | |
| |
0 | |
1, m
m =
, m
s
m
s
Zanj velja:
s
m
Π m =
0
m
{
1 ω ≤ |ωm |
0 drugje
s
s
osnutek
(3.6)
Inverzna transformacija izrezanega dela spektra - ta je enak spektru zveznega
signala - je določena z:
v(t) = 1
2π
∫ ∞
−∞
Izrazimo pravokotno okno Π m z mejami integriranja:
v(t) = 1
2π
= 1
2π
∫ ωm
X(ω) Π m e jωt dω (3.7)
−ω m
X(ω)e jωt dω
∫ ∞
−∞
V (ω)e jωt dω .
(3.8)
Iz (3.8) sledi, da lahko zvezno funkcijo v(t) povsem natančno rekonstruiramo
iz njenega vzorca:
(i) če poznamo zaporedje v[n], ki določajo vzorec signala,
(ii) če je signal v(t) frekvenčno omejen
(iii) če je vzorčenje bilo izvedeno v skladu s Shannonovim teoremom.
OPOMBA 3.2 Zahtevo, da ima signal končno mejno frekvenco, izpolnijo samo neprehodni signali
(signali z neskončnim trajanjem). Med njimi so na primer periodični signali. Pri vseh ostalih
signalih, torej prehodnih signalih, z odrezom spektra na izbrano mejno frekvenco, ne moremo več
natančno rekonstruirati originalni signal ampak lahko ga določimo le približno. Velikost pogreška,
ki pri tem nastane, opisujemo v razdelku 3.2 na strani 56.

53
3.1.5 Shannonova interpolacijska formula
Signal lahko iz vzorca rekonstruiramo tudi direktno, brez inverzne Fourierove
transformacije. To nam omogoča Shannonova interpolacijska formula:
v(t) =
∞
∑
n=−∞
v[n]S a [ω m (t − nT s )] . (3.9)
Iz (3.9) sledi, da je Shannonova interpolacijska formula konvolucija otipkov
s funkcijo S a (ω m ). Rekonstrukcijo signala v(t) iz znanih vzorcev v[n] s Shannonovo
interpolacijsko formulo kaže slika 3.6.
v( t)
T s
T s
T s T s T s T s
v( Ts
) Sa [ m ( t T )]
v(2 Ts
) Sa [ m ( t
s
2 Ts
)]
t
Slika 3.6
Rekonstrukcija analognega signala s
Shannonovo interpolacijsko formulo.
Veljavnost Shannonove interpolacijske formule lahko uvidimo iz križne
simetrije Fourierove transformacije (slika 3.7). Iz nje sledi, da je inverx(
t)
X( t)
X( )
osnutek
x( )
Slika 3.7
Križna simetrija signalov in njihovih spektrov.
zna Fourierova transformacija idealnega nizkega sita funkcija S a (•), vemo
pa tudi, da je inverzna Fourierova transformacija množenja konvolucija.
To intuitivno ugotovitev dopolnimo z dokazom. V njem upoštevajmo, da
je spekter vzorca periodično ponavljanje spektra originalnega signala. Zato
ga lahko opišemo s periodično funkcijo, katere perioda je enaka ω s , to funkcijo
pa izrazimo s Fourierovo vrsto. Spekter te funkcije ima komponente v
točkah:
n 2π = n 2π = n
2π = nT s , (3.10)
ω s 2π f s 2π/T s
torej so natančno tam, kjer se nahajajo otipki vzorca x(nT s ). Zato je od spektra,
ki ga določa ta Fourierova vrsta, pa do originalnega signala, le korak.
Da bomo lahko preprosto razlikovali periodične funkcije od ostalih, vpeljemo
naslednje nove oznake:

54
x p
X p
periodični signal oziroma funkcija, ki opisuje potek spektra vzorca
spekter periodične funkcije x p
DOKAZ 3.1 (Shannonov interpolacijski obrazec)
Periodično funkcijo, ki opisuje spekter vzorca originalnega signala, izrazimo s kompleksno
Fourierovo vrsto:
x p (ω) =
∞
∑
n=−∞
X p (nT s )e jnT sω , (3.11)
kateri je Fourierov par spekter X p (nT s ). Funkcija X p (nT s ) je določena z obrazcem za
izračun kompleksnega Fourierovega koeficienta:
X p (nT s ) = 1
2ω m
∫ ωm
OPOMBA 3.3 Tu smo opustili običajno gledanje, da je signal v časovna funkcija, spekter pa
frekvenčna. Na (3.11) in (3.12) gledamo kot na dve funkciji, od katerih je ena periodična, druga
pa je njen Fourierov par.
V mnogih učbenikih to razložijo z zamenjavo signalih osi (na primer v [17]). Ker želimo
pokazati, da je ”spekter” funkcije, ki opisuje spekter vzorca enak vzorcu, se bomo temu izognili
in dokaz izpeljali po direktni, krajši poti.
−ω m
x p (ω) e − jnT sω dω . (3.12)
Zapišimo sedaj enačbo (3.8), s katero smo določili originalni signal iz spektra vzorca,
tako, da je določena v trenutkih t = −nT s :
v(−nT s ) = 1 ∫ ωm
V (ω) e jω(−nTs) dω
2π −ω m
= 1 ∫ ωm
V (ω) e − jnTsω dω . (3.13)
2π −ω m
osnutek
Primerjava (3.12) in (3.13) pove, da se ti enačbi ujemata do multiplikativne konstante
natančno:
∫
1 ωm
V (ω) e − jnTsω dt
X p (nT s )
v(−nT s ) = 2ω m −ω
∫ m
1 ωm
x p (ω) e − jnT = π
st ω
dt m
2π −ω m
oziroma:
X p (nT s ) = π ω m
v(−nT s ) (3.14)
Povezavo v (3.14) izkoristimo pri določitvi funkcije x p (ω). Vstavimo jo v (3.11) in dobimo:
x p (ω) =
∞
∑
n=−∞
X p (nT s ) e jnT sω =
= π ∞
ω m
∑ v(−nT s ) e jnT sω
n=−∞
∞
∑
n=−∞
π
v(−nT s ) e jnT sω
ω m
(3.15)

55
Spomnimo se, da x p (ω) opisuje periodično ponavljanje spektra V (ω). To pomeni, da
se funkcija x p (ω) in spekter V (ω) na intervalu (−ω m ,ω m ) povsem ujemata. Zato
lahko V (ω) v (3.8) nadomestimo z x p (ω) oziroma z desno stranjo (3.15). Dobimo:
v(t) = 1 ∫ ωm
2π
= 1
2π
V (ω) e jωt dω = 1
−ω m 2π
(
π ∞∑
ω m
∫ ωm
−ω m
n=−∞
∫ ωm
v(−nT s ) e jnT sω
x p (ω) e jωt dω
−ω m
)
e jωt dω ,
pokrajšamo konstante ter zamenjamo vrstni red integriranja in seštevanja:
v(t) =
∞
∑
n=−∞
uredmo eksponente ter integriramo:
v(t) =
=
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
uporabimo še oznako S a za sin(·)/(·):
v(t) =
∞
∑
n=−∞
v(−nT s ) 1 ∫ ωm
e jnTsω e jnωt dω
2ω m
−ω m
(
)
v(−nT s ) 1 e jω m(t+T s )
2ω m j(t + T s ) − e− jω m(t+T s )
j(t + T s )
(
)
1 e jω m(t+T s ) − e − jω m(t+T s )
v(−nT s )
ω m (t + T s ) j2
v(−nT s ) sin[ jω(t + nT s ) ]
ω m (t + nT s )2
osnutek
v(−nT s ) S a
[
ωm (t + nT s ) ]
in zamenjamo (−nT s ) z (+nT s ):
v(t) =
∞
∑
n=−∞
v(nT s ) S a [ω m (t − nT s )] , (3.16)
kar je že znana Shannonova interpolacijska formula.
□
Iz izpeljave v dokazu sledi tudi že znana ugotovitev: Zvezni signal je
povsem določen, če poznamo njegov vzorec v diskretnih trenutkih nT s ; n =
0 ± 1,±2,...,. Ker je funkcija v(nT s ) soda, torej v(nT s ) = v(−nT s ), je že
popolnoma znana, če poznamo njen vzorec pri ne negativnih časih.

56
3.2 Pogreški pri končnih vzorcih
Shannonovo interpolacijsko formulo smo izpeljali za frekvenčno omejen signal.
Vemo, da frekvenčno omejeni signali imajo neskončni časovni obseg,
in obratno, časovno omejeni signali imajo neskončni frekvenčni obseg.
Pri praktični uporabi Shannonove interpolacijske formule smo omejeni na
končne vzorce, saj drugače ne moremo končati računanja. Posledica tega je,
da se rekonstrukcija frekvenčno omejenega signala razlikuje od originala za
nek pogrešek, imenujemo ga e N .
Število otipkov v vzorcu, ki jih upoštevamo pri rekonstrukciji analognega
signala bodi ”N + 1, približek označimo z v N (t). Iz (3.9) izračunamo:
in
v N (t) =
N
∑
n=−N
v N (nT s )S a [ω m (t − nT s )] (3.17)
e N = v(t) − v N (t) (3.18)
Zlahka uvidimo, da se (3.17) in (3.17) razlikujeta le v členih, ki jih (3.17)
nima, zato velja:
e N = ∑ v(nT s ) S a [ω m (t − nT s )] . (3.19)
n>N
Energija pogreška, označimo jo z E N je enaka:
E N =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
osnutek
|v(nT s ) − v N (t)| dt
|S a [ω m (t − nT s )]| dt (3.20)
Z upoštevanjem ortonormalnosti S a (•) izračunamo energijo pogreška:
E N = T s ∑ |v(nT s )| 2 . (3.21)
n>N
oziroma
e N √ 2 f m E N , f m = ω m
2π
3.3 Diskretna Fourierova vrsta
. (3.22)
Posledica vzorčenja je – kot smo spoznali v prejšnjem razdelku – periodično
ponavljanje spektra signala v ritmu frekvence vzorčenja f s oziroma krožne

frekvence vzorčenja ω s . Čeprav smo opis (zaradi nazornosti prikaza) temeljili
na vzorčenju frekvenčno omejenega aperiodičnega signala, vsa spoznanja
– posebej Shannonovo pravilo – veljajo na splošno. Na primer, vzorčenje
periodičnega signala, pri katerem se spoštuje Shannonovo pravilo ω s = 2ω m ,
rodi časovno diskretni signal (zaporedje otipkov), katerih značilnost je periodično
ponavljajoči se (zaradi vzorčenja!) diskretni spekter (zaradi periodičnosti!)
originalnega signala (slika 3.8).
57
x( t)
0
vzorèenje
x[ n]
0
T 0
osnutek
2T 0
T 0
2T 0
t
t
s
Slika 3.8
Spekter vzorca periodičnega signala. Pri vzorčenju se upošteva ω s = 2ω 0 .
.
m
m
|X m ] |
|X m ] |
0
0
0
T 2
m
s N
m
m s
m
3.3.1 Periodična zaporedja
Časovno in amplitudno diskreten signal – nadalje bomo govorili o zaporedjih
– označimo z
x[n] .
Tako že iz vrste oklepaja in neodvisne spremenljivke vemo, da imamo opravka
z zaporedjem. Zaporedje x[n] je periodično, če velja:
x[n + N] = x[n] pri vseh n . (3.23)
Osnovna perioda N 0 je najmanjša vrednost N, ki izpolni (3.23).

58
Pomembno periodično zaporedje je kompleksno eksponentno zaporedje
x[n] = e j(2π/N 0)n = e jΩ 0n
, (3.24)
kjer sta Ω 0 = 2π/N 0 in N 0 število otipkov v eni periodi. Med zveznim kompleksnim
harmoničnim signalom e jω 0t in zaporedjem e jΩ 0n je pomembna razlika:
zvezni harmonični signali se razlikujejo glede na krožne frekvence ω 0 ,
pri diskretnih pa ta razlika pri frekvencah, ki so mnogokratnik 2π, izgine:
Če označimo
Ψ k [n] = e jkΩ 0n
potem lahko zaradi (3.25) zapišemo:
e j(Ω0+2πk)n = e jΩ0n e
} j2πkn
{{ }
= e jΩ 0n
=1
, (3.25)
, Ω 0 = 2π , k = 0,±1,±2... , (3.26)
N 0
Ψ 0 [n] = Ψ N0 [n] , Ψ 1 [n] = Ψ N0 +1[n] , ...
oziroma na splošno:
... Ψ k [n] = Ψ N0 +k[n] ... , (3.27)
Ψ k [n] = Ψ k+mN0 [n] , m = celo število . (3.28)
Torej se zaporedja Ψ[n] medsebojno razlikujejo le na območju N 0 zaporednih
vrednosti k.
3.3.2 Zapis diskretnih Fourierovih vrst
osnutek
Kompleksna diskretna Fourierova vrsta, ki opiše periodično zaporedje x[n] z
osnovno periodo N 0 , se glasi:
N 0 −1
x[n] =
∑
k=0
c k e jkΩ 0n
kjer je c k Fourierov koeficient, ki ga izračunamo z:
, Ω 0 = 2π
N 0
, (3.29)
c k = 1 N 0 −1
N 0
∑ x[n]e − jkΩ 0n
n=0
. (3.30)
Obrazca (3.29) in (3.30) tvorita Fourierov par za zaporedja. Koeficienti c k
določajo diskretni spekter zaporedja. V literaturi se zanje najde tudi ime
spektralni koeficienti zaporedja x[n]. Zaradi lastnosti (3.27) lahko (3.29) in
(3.30) zapišemo tudi v naslednji obliki:

59
sinteza
x[n] = ∑
k∈N 0
c k e jkΩ 0n
analiza c k = 1 N 0
∑
n∈N 0
x[n]e − jkΩ 0n
, Ω 0 = 2π
N 0
(3.31a)
, (3.31b)
kjer ∑ k∈N0 pomeni seštevanje vseh otipkov v območju N 0 . Koeficient c 0 določa
srednjo vrednost zaporedja:
c 0 = 1 N 0
∑
n∈N 0
x[n] . (3.32)
Če je zaporedje liho simetrično, je c 0 = 0, enako kot pri zveznih liho simetričnih
signalih.
3.3.3 Konvergenca diskretne Fourierove vrste
Ker je diskretna Fourierova vrsta končna, tukaj v nasprotju pri z zveznimi
signali, ne moremo govoriti o konvergenci.
3.3.4 Lastnosti diskretne Fourierove vrste
Periodičnost Iz (3.26), (3.27) ali (3.31a) sledi, da velja
osnutek
c k+N0 = c k . (3.33)
Fourierovi koeficienti periodičnega zaporedja se periodično ponavljajo
s periodo N 0 .
Dualnost Iz (3.33) sledi, da Fourierovi koeficienti c k določajo periodično
zaporedje z osnovno periodo N 0 . Zato lahko, če c k zapišemo kot c[k],
(3.31b) preoblikujemo v:
1
c[k] = ∑ x[n]e − jkΩ 0n
n∈N 0
N 0
od koder z zamenjavo n = −m dobimo:
1
c[k] = ∑ x[−m]e jkΩ0m .
m∈N 0
N 0
V zgornji enačbi naredimo še zamenjavo k = n in m = k:
1
c[n] = ∑ x[−k]e jkΩ 0n
k∈N 0
N 0
, (3.34)
. (3.35)

60
èas
x[ n]
c[ n]
Slika 3.9
Dualnost.
fekvenca
c k = c[ k]
1 [ ]
N x k
Iz primerjave (3.35) in (3.31a) vidimo, da so (1/N 0 )x[−k] Fourierovi
koeficienti zaporedja c[n] (slika 3.9). Če priredimo zapis za Fourierove
pare pri diskretnih Fourierovih vrstah:
x[n]
DFV
←−−−−−→ c k = c[k] , (3.36)
lahko zapišemo dualno lastnost diskretne Fourierove vrste:
c[n]
DFV
←−−−−−→ 1 N 0
x[−k] . (3.37)
Konjugirano kompleksne vrednosti Če je zaporedje x[n] zaporedje realnih
vrednosti, iz (3.31a) – in tudi iz (3.31b) ter (3.33) – sledi, da velja:
c −k = c N0 −k = c ∗ k , (3.38)
kjer smo z ∗ označili konjugirano kompleksno vrednost.
Liha in soda simetričnost Kadar je x[n] zaporedje realnih vrednosti, ga lahko
razstavimo na liho in sodo komponento:
Če je
x[n] = x lih [n] + x sod [n] .
x[n]
DFV
←−−−−−→ c k ,
potem so diskretni Fourierovi pari tudi:
x sod [n]
x lih [n]
DFV
←−−−−−→ R{c k }
(3.39a)
osnutek
DFV
←−−−−−→ jI{c k }
(3.39b)
Zaradi lastnosti (3.39) so pri realnih in sodo simetričnih zaporedjih x[n]
diskretni Fourierovi koeficienti realni, pri realnih in liho simetričnih
zaporedjih x[n] pa imaginarni.
Parsevalov izrek Če x[n] opišemo z diskretno Fourierovo vrsto, potem lahko
dokažemo, da velja:
1
N 0
∑ |x[n]| 2 = ∑ |c k | 2 . (3.40)
k∈N 0 k∈N 0
3.3.5 Vrednosti e jΩ 0kn
Vrednosti e jΩ 0kn ležijo na enotski krožnici (|e jΩ 0kn | = 1). Razmik med njimi
določa Ω 0 = 2π/N 0 (slika 3.10). Zaradi tega je diskretne vrednosti e jΩ 0kn preprosto
določiti. Te vrednosti se po kn = N 0 ponavljajo. To lastnost s pridom
uporabimo pri načrtovanju hitrih algoritmov računanja Fourierove transformacije.

61
{ e -j(2
/N0
) nk}
e
-j(2 /N ).
6
0 = e
(2
= ... 0 ) 14
= j
-j /N .
e
-j(2 /N ).
0 5 ...
e
-j(2 /N ).
7
0 = e
-j(2 /N ).
15
= ...
0
e
-j(2 /N ).
0 5 ...
e
-j(2 /N ).
0
0 (2 ) 8
= e = ... =
-j /N . 0 1
{e -j
(2 /N0 ) nk}
Slika 3.10
Vrednosti e j 2π
N 0
kn pri N0 = 8.
e
-j(2 /N ).
0 5 ...
3.3.6 Zgledi
e
-j(2 /N ).
2
e
-j(2 /N ).
1
0 -j(2 /N ).
9
= e = ...
0 = e
(2
= ... 0 ) 10
= -j
-j /N .
Razlago o diskretnih Fourierovih vrstah utrdimo z nekaj zgledi!
ZGLED 3.3.1
Določimo spekter za periodično zaporedje s slike 3.11!
x[ n]
3
2
1
0
osnutek
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n
Slika 3.11
Primer zaporedja x[n].
REŠITEV:
Iz slike vidimo, da je N = 4. Zato
Ω 0 = 2π 4 = π 2
in e − jΩ 0
= e − jπ/2 = − j .
Fourierove koeficiente c k izračunamo z (3.31):
c k = 1 N 0 −1
N 0
∑ x[n]e − jkΩ 0n
n=0
(3.31)

62
oziroma
3
∑
c 0 = 1 j)
4 n=0x[n](− 0 = 1 4 (0 + 1 + 2 + 3) = 3 2
3
∑
c 1 = 1 j)
4 n=0x[n](− n = 1 4 (0 − j1 − 2 + j3) = −1 2 + j 1 2
3
∑
c 2 = 1 j)
4 n=0x[n](− 2n = 1 4 (0 − 1 + 2 − 3) = −1 2
3
∑
c 3 = 1 j)
4 n=0x[n](− 3n = 1 4 (0 − j1 − 2 − j3) = −1 2 − j 1 2
Iz izračuna vidimo tudi veljavnost (3.38), saj je c 3 = c 4−1 = c ∗ 1 .
ZGLED 3.3.2
Pokažimo, da je množica zaporedij Ψ k [n] = e jkω 0n ortogonalna na intervalu poljubne
dolžine.
REŠITEV: Dve kompleksni zaporedji, na primer Ψ m [n] in Ψ k [n] sta si na intervalu
(N 1 ,N 2 ) medsebojno ortogonalni, če izpolnita pogoj:
{
N 2
0
∑ Ψ m [n]Ψ ∗ k [n] =
n=N 1
α
m ≠ k
m = k
osnutek
♦
, (3.41)
kjer smo z ∗ označili konjugirano kompleksno vrednost. Seveda je α ≠ 0. Pri rešitvi si
pomagamo z naslednjo lastnostjo eksponentnih zaporedij:
⎧
N−1
⎪⎨ N α = 1
∑ α n = 1 − α
n=0
⎪⎩
N
(3.42)
α ≠ 1
1 − α
Če v (3.42) za α upoštevamo e jkω 0, dobimo:
N−1
∑ e jkω 0 n =
n=0
N−1
∑
n=0
⎧
⎪⎨ N
=
⎪⎩
e jk(2π/N)n (3.43)
1 − e jk(2π/N)N
1 − e jk(2π/N) = 0 sicer
k = 0,±N,±2N,...
, (3.44)
saj velja e jk(2π/N)N = e jk 2π = 1. Ker je vsaka vsota zaporedja eksponencialk v (3.43)
periodična s periodo N, veljavnost (3.43) velja pri katerikoli periodi N. Zato:
∑ e jkω 0 n =
n∈N
{
N k = 0,±N,±2N,...
0 sicer
, (3.45)

☞
63
od koder lahko izpeljemo
∑ Ψ m [n]Ψ ∗ k [n] = ∑ e jmω 0 n e − jkω 0 n
n∈N
n∈N
= ∑ e j(m−k)ω 0 n =
n∈N
{
N m = k
0 m ≠ k
(3.46)
, (3.47)
kjer so m.k < N. Enačba (3.46) pove, da so vsa zaporedja v množici
{e jkω 0 n
, k = 0,1,...,N − 1}
medsebojna ortogonalna na kateremkoli intervalu dolžine N.
3.4 Fourierova transformacija zaporedja
Aperiodična zaporedja, podobno kot aperiodične zvezne signale, ne moremo
opisati s Fourierovo vrsto. Pri njih harmonsko analizo naredimo s Fourierovo
transformacijo.
Pri opisu vzorčenja smo s konvolucijo spektra signala in spektra neskončnega
vlaka Diracovih impulzov pokazali, da ima vzorec aperiodičnega signala
zvezni, periodični spekter. Na splošno pri zaporedjih ne poznamo spektra
signala, ki ga zaporedja opisujejo, zato iščemo pot za določitev spektra
direktno iz zaporedja.
osnutek
3.4.1 Od diskretne Fourierove vrste
do Fourierove transformacije zaporedja
Opazujmo prehodno aperiodično zaporedje x[n], definirano naj bo nad območjem
−N 1 ,N 1 . Pot do Fourierove transformacije tega zaporedja bomo ubrali
preko periodičnega zaporedja x N0 [n], ki ga dobimo s ponavljanjem x[n] s periodo
N 0 , ki je daljša od 2N 1 (slika 3.12). Če večamo N 0 preko vseh meja,
dobimo:
lim x N 0
= x[n] , (3.48)
N 0 →∞
oziroma periodičnost, ki smo jo vpeljali, izgine. Zaporedje x N0 lahko opišemo
z diskretno Fourierovo vrsto:
x N0 = ∑
k∈N 0
c k e jkΩ 0n
, Ω 0 = 2π
N 0
. (3.49)
♦
kjer je
c k = 1 N 0
∑
n∈N 0
x N0 e − jkΩ 0n
. (3.50a)

64
x [n]
Slika 3.12
Primer zaporedja x[n] (zgoraj) in
njegove periodične razširitve
(spodaj).
N 1 0 N 1
N 0 N 1 0 N 1 N 0
x N0 [n]
Ker pri |n| N 1 velja x N0 = x[n], in ker je izven tega intervala x[n] = 0, lahko
(3.50a) zapišemo kot:
c k = 1 N 1
N 0
∑ x[n]e − jkΩ0n = 1
n=−N 1
N 0
Če definiramo X(Ω 0 ) z
X(Ω 0 ) =
∞
∑ x[n]e − jkΩ 0n
n=−∞
osnutek
∞
∑
n=−∞
lahko iz (3.50b) izračunamo koeficient c k s:
n
n
. (3.50b)
x[n]e − jΩn , (3.51)
Vstavimo (3.52) v (3.49):
c k = 1 N 0
X(kΩ 0 ) . (3.52)
1
x N0 = ∑ X(kΩ 0 )e jkΩ0n 1
=
n∈N 0
N 0
∑ X(kΩ 0 )e jkΩ 0n
n∈N 0
2π/Ω 0
kjer smo upoštevali, da je Ω 0 = 2π oziroma N 0 = 2π/Ω 0 . Uredimo še v bolj
pregledno obliko:
= 1
2π ∑
n∈N 0
X(kΩ 0 )e jkΩ 0n Ω 0 . (3.53)

65
x N0 [n]
X[ k 0 ]e jk 0 n
0
Slika 3.13
Grafična predstavitev (3.53).
0
Iz (3.51) sledi, da sta X(Ω 0 ) in e jΩn periodični funkciji s periodo 2π. Zato je
x N0 periodičen z isto periodo.
Vsak člen v vsoti v (3.53) predstavlja pravokotnik z višino X(kΩ 0 )e jkΩ 0n
in širino Ω 0 (slika 3.13). Z večanjem periode preko vseh mej, N 0 → ∞ postaja
Ω 0 = 2π/N 0 infinitezimalno majhen – preide v dΩ, seštevanje v (3.53) pa
preide v integracijo. Ker seštevanje v (3.53) poteka nad intervalom Ω 0 =
2π/N 0 , je interval integriranja vedno enak 2π. Zato (3.53) lahko pri N 0 → ∞
zapišemo kot
x[n] = 1 ∫
X(Ω)]e jΩn dΩ . (3.54)
2π
2π
Ker je X(Ω)e jΩn periodična funkcija s periodo 2π, lahko za integracijski interval
uporabimo katerikoli interval dolžine 2π.
3.4.2 Fourierovi pari pri zaporedjih
osnutek
Obrazca (3.51) in (3.54) definirata Fourierovo transformacijo zaporedja x[t]
in inverzno Fourierovo transformacijo (periodične funkcije) X(Ω). Obrazca
tvorita Fourierov par in ju pogosto zapišemo kot sledi:
analiza: X(Ω) = F {x[n]} =
∞
∑
n=−∞
sinteza: x[n] = F −1 {X(Ω)} = 1
2π
x[n]e − jΩn
∫
2π
X(Ω)e jΩn dΩ
(3.55a)
(3.55b)
Simbolično Fourierove pare, ki jih določata (3.55) označujemo enako kot pri
zveznih signalih. Da imamo opraviti s Fourierovimi pari zaporedij, vidimo iz
zapisa zaporedja:
F
x[n] ←−−−→ X(Ω) . (3.56)
Obrazca (3.55) sta časovno diskretni ekvivalent obrazcema (2.1), ki določata
obrazca za Fourierovo transformacijo in Fourierovo inverzno transformacijo
za zvezne signale. Pogosti Fourierovi pari zaporedij so povzeti v tabeli 3.1.

66
Tabela 3.1
Fourierovi pari pri zaporedjih
x[n]
δ[n − n 0 ] e − jΩn 0
X(Ω)
x[n] = 1 2πδ(Ω), |Ω| π
e jΩ 0n
2πδ(Ω − Ω 0 ), |Ω|,|Ω 0 | π
cosΩ 0 n
sinΩ 0 n
π[δ(Ω − Ω 0 ) + δ(Ω + Ω 0 )|Ω|,|Ω 0 | π
π[δ(Ω − Ω 0 ) + δ(Ω + Ω 0 )|Ω|,|Ω 0 | π
u[n] πδ(Ω) + 1
1−e − jΩ ,
−u[−n − 1] −πδ(Ω) + 1
1−e − jΩ ,
a n u[n], a < 1
1
1−ae − jΩ
−a n u[−n − 1], |a| > 1
1
1−ae − jΩ
(n + 1)a n u[n], a < 1
1
(1−ae − jΩ ) 2
a |n| 1−a
, |a| > 1 2
⎧
⎨1 |n| N 1
sin[Ω(N
x[n] =
1 + 2 1 )]
⎩
sinΩ/2
0 |n| > N 1
sinWn
1−2acosΩ+a 2
⎧
⎨
πn , 0 < W < π X(Ω) = ⎩
0 W π
|Ω|, π
|Ω|, π
1 0 |Ω| W
∑ ∞ k=−∞ δ[n − kN 0] Ω 0 ∑ ∞ k=−∞ δ(Ω − kΩ 0), Ω 0 = 2π
N 0
osnutek
3.4.3 Spekter
Fourierov transform zaporedja x[n] je X(ω) je v splošnem kompleksen. V
polarnih koordinatah ga izrazimo z
X(ω) = |X(ω)|e jφ(Ω) , tanφ(Ω) = I{X(Ω)}
R{X(Ω)}
. (3.57)
Enako kot pri zveznih signalih Fourierov transform X(ω) imenujemo spekter
zaporedja x[n]. Pri tem je |X(ω)| amplitudni spekter, θ(Ω) pa je fazni
spekter.

Če je x[n] realen, je amplitudni spekter soda funkcija, in fazni spekter liha
funkcija Ω (glej lastnosti Fourierove transformacije v naslednjem razdelku).
67
3.4.4 Konvergenca
Za konvergenco – to je obstoj Fourierove transformacije – velja enak pogoj
kot pri zvezni Fourierovi transformaciji: obstajati mora ‖x[n]‖ 1 , oziroma x[n]
mora biti absolutno seštevljiva:
∞
∑ |x[n]| < ∞ . (3.58)
n=−∞
3.4.5 Lastnosti Fourierove transformacije zaporedij
Osnovne lastnosti Fourierove transformacije zaporedij so enake lastnostim
Fourierove transformacije zveznih signalov. Nekatere lastnosti so tudi podobne
lastnostim z-transformacije, če ta vključuje tudi enotski krog (opisana
je v poglavju na strani ).
Periodičnost
X(Ω + 2π) = X(Ω) . (3.59)
Posledica (3.59) je, da pri zaporedjih zadostuje upoštevati vrednosti Ω
[radianov/s] le na območju 0 Ω < 2π ali −π Ω < π, med tem ko
moramo pri zveznih signalih upoštevati vrednosti ω [radianov/s] preko
vse signalne osi −∞,∞.
Linearnost
Časovni pomik
osnutek
a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] = a 1 X 1 (Ω) + a 2 X 2 (Ω) . (3.60)
x[n − n 0 ] = e − jΩn 0
X(Ω) . (3.61)
Frekvenčni pomik
e − jΩn 0
x[n] = X(Ω − Ω 0 ) . (3.62)
Konjugirano kompleksne vrednosti
x ∗ [n]
F
←−−−→ X ∗ (−Ω) . (3.63)
kjer smo z ∗ označili konjugirano kompleksno vrednost.
Časovni obrat
x[−n]
F
←−−−→ X(−Ω) . (3.64)

68
Skaliranje časa Pri zveznih signalih se ta lastnost Fourierove transformacije
glasi:
F
x(at) ←−−−→ 1 X(ω/a) . (3.65)
|a|
Pri zaporedjih sme biti a le celo število, drugače x[an] ne obstaja. Na
primer, pri a = 2, zaporedje x[2n] vsebuje le sode otipke vzorca x[n].
Zato ima časovno skaliranje zaporedij drugačno obliko kot pri zveznih
signalih.
Naj bo m pozitivno celo število, ki določa zaporedje
{
x[n/m] če n = km, k = celo število
x (m) [n] =
potem velja
0 če n ≠ km
x (m) [n]
F
, (3.66)
←−−−→ X(mΩ) . (3.67)
Obrazec (3.67) je ekvivalent (3.65) za zaporedja. Iz njega sledi, da
je X(mΩ) periodični spekter s periodo 2π/m, med tem ko ima X(Ω)
periodo 2π.
Dualnost Pri zveznih signalih se ta lastnost Fourierove transformacije glasi:
x(t)
F
←−−−→ 2πx(−Ω) . (3.68)
Take dualnosti pri zaporedjih ni. Je pa dualnost med časovno diskretno
Fourierovo transformacijo in zvezno Fourierovo vrsto:
Iz (3.55a) in (3.59) sledi
x[n]
osnutek
F
X(Ω + 2π) = X(Ω) =
←−−−→ X(Ω) .
∞
∑
n=−∞
x[n]e − jΩn . (3.69)
Ker je ω zvezna spremenljivka, lahko na desni strani (3.59) naredimo
zamenjavo Ω = t in n = −k. Dobimo:
X(t) =
∞
∑
k=−∞
x[−k]e jkt . (3.70)
Ker je X(t) periodičen s periodo T 0 = 2π in ima osnovno frekvenco
ω o = 2π/T 0 = 1, obrazec (3.70) nakazuje, da so koeficienti Fourierove
vrste X(t) enaki x[−k]. To dualnost označimo z:
X(t)
DFV
←−−−−−→ c k = x[−k] . (3.71)
kjer so c k kompleksni koeficienti Fourierove vrste.

69
Diferenciranje
x[n] − x[n − 1]
F
←−−−→ (1 − e − jΩ )X(Ω) . (3.72)
Zaporedje x[n] − x[n − 1] imenujemo zaporedje diferenc prvega reda.
Njeno definicijo v (3.72) lahko izpeljemo iz lastnosti linearnosti (3.60)
in lastnosti pomika (3.61).
Seštevanje ali akumulacija
∞
∑ x[k]
k=−∞
F
←−−−→ πX(0)δ(Ω) +
1
X(Ω) , |Ω| π .
1 − e− jΩ
(3.73)
Seštevanje oziroma akumulacija je pri zaporedjih ekvivalent integraciji
pri časovno zveznih signalih. Impulz πX(0)δ(Ω) zajema enosmerno
ali povprečno vrednost, ki je lahko dobimo pri seštevanju.
Konvolucija
Množenje
x 1 [n] ∗ x 2 [n]
F
←−−−→ X 1 (Ω)X 2 (Ω) . (3.74)
Ta lastnost je podobna pri z-transformaciji. Obe sta zelo pomembni pri
obravnavi časovno diskretnih sistemov.
F
←−−−→ 1
x 1 [n]x 2 [n]
2π X 1(Ω) ⊛ X 2 (Ω) , (3.75)
kjer smo z ⊛ označili ciklično konvolucijo. V [23] smo jo definirali z:
∫
X 1 (Ω) ⊛ X 2 (Ω) = X 1 (θ)X 2 (Ω − θ) dθ . (3.76)
osnutek
Lastnost množenja (3.75) je dualna lastnosti konvolucije (3.74).
2π
Liha in soda simetričnost Kadar je x[n] zaporedje realnih vrednosti, ga lahko
razstavimo na liho in sodo komponento:
Če je
x[n]
x[n] = x lih [n] + x sod [n] .
F
←−−−→ X(Ω) = A(Ω) + jB(Ω) = |X(Ω)|e jθ(Ω) , (3.77)
potem so diskretni Fourierovi pari tudi:
X(−Ω) = X ∗ (Ω)
x sod [n]
x lih [n]
F
←−−−→ R{X(Ω)}
F
←−−−→ jI{X(Ω)}
(3.78a)
(3.78b)
(3.78c)

70
Enačba (3.78a) je nujen in zadosten pogoj, da je x[n] realen. Iz (3.78a)
in (3.77) sledi:
A(−Ω) = A(Ω) B(−Ω) = B(Ω) (3.79a)
|X(−Ω)| = |X(Ω)| θ(−Ω) = −θ(−Ω) (3.79b)
Iz (3.78b), (3.78b) in (3.78b) vidimo, da če je x realen in sod, potem je
X(Ω) realen in sod, pri realen in lihem x, pa je X(Ω) imaginaren in lih.
Parsevalov izrek
∞
∑
n=−∞
∞
x 1 [n]x 2 [n] = 1 ∫
2π
|x[n]| 2 = 1 ∫
2π
∑
n=−∞
2π
2π
X 1 (Ω)X 2 (Ω) dΩ (3.80)
|X(Ω)| 2 dΩ . (3.81)
Obrazec (3.81) imenujemo Parsevalova identiteta za časovno diskretno
Fourierovo transformacijo.
3.5 Diskretna Fourierova transformacija
Z razširitvijo digitalnih računalnikov in njihove vse pogostejše integracije v
merilni instrumentarij, komunikacijske naprave itd - na to vpliva hiter razvoj
mikroelektronske tehnologije in cenenost njihove masovne proizvodnje
- je nastala želja in potreba po digitalni obdelavi signalov. Analogne metode
spektralne analize in na njej temelječe obdelave signalov seveda niso
primerne za reševanje z digitalnimi računalniki. Sicer obstajajo sistemi umetne
inteligence, ki na osnovi ekspertnih sistemov rešujejo enačbe analogne
obdelave signalov, vendar pa morajo biti ti predstavljeni v zaprti matematični
obliki. To in da za že najbolj preproste probleme potrebujemo obsežno
strojno in programsko opremo, so razlogi za iskanje preprostejših in učinkovitejših
poti digitalne obdelave signalov, ki povezujejo diskretni časovni in
frekvenčni svet.
osnutek
3.5.1 Diskretna Fourierova transformacija
Diskretna Fourierova transformacija (DFT) povezuje vzorec signala z vzorcem
spektra (slika 3.14). Obratno pot opravi inverzna diskretna Fourierova
transformacija (IDFT). DFT ima naslednje lastnosti:
DFT je definirana za končno dolge vzorce signala in spektra, zato je
primerna za računalniško realizacijo

71
|X [ m ] |
x[ n]
N . T s
T s
DFT
IDFT
Slika 3.14
DFT oziroma IDFT povezujeta vzorec signala in vzorec spektra.
Med x[n] in X[m] je bijektivna preslikava. To pomeni, da sta števili
otipkov signala in spektra enaki.
Obstajajo izjemno hitri algoritmi računanja DFT. Imenujemo jih FFT
(glej razdelek na strani ).
3.5.2 Definicija DFT
Definicija DFT je
osnutek
m 0 m
m =N .
analiza: DFT
N−1
X[m] = ∑ x[n]WN mn , m = 0,1,...N − 1 (3.82a)
n=0
sinteza: IDFT
x[n] = 1 N−1
N
∑ X[m]WN −mn
m=0
, m = 0,1,...N − 1 . (3.82b)
t
kjer je e − j 2π N mn jedro transformacije:
jedro DFT e − j 2π N = WN . (3.83)
Še matrična oblika DFT in IDFT:

72
analiza: DFT
sinteza: IDFT
[
X[m]
]N = [ WN
mn ]
·[x[n] ]
N×N N
[ ]
x[n]
N = 1 [ ]
W
−mn ·[X[m] ]
N
N
N×N N
(3.84a)
(3.84b)
Slika 3.15
Predstavitev
transformacijskega jedra
W mn
N
= W mn
8 .
V definiciji velikost N ni določena, njegova izbira je prepuščena načrtovalcu
algoritma. Če ima zaporedje x[n] dolžino N 1 < N, potem x[n] “podaljšamo”
na dolžino N tako, da dodamo N − N 1 ničel. To zaporedje pogosto
imenujemo N-točkovno zaporedje, definicijo X[m] v (3.84a) pa N-točkovno
DFT. Z izbiri N lahko vplivamo na hitrost izvajanja DFT. Ta se v primeru
N = 2 γ , γ ∈ N, zelo poveča (glej razdelek na strani ).
Vrednosti jedra WN
mn so koeficienti transformacijske matrike, ki povezuje
stolpec vektorja otipkov signala in stolpec vektorja otipkov spektra. Določeni
so z izbiro N. V kompleksni ravnini so enakomerno razorejeni po enotski
krožnici (slika 3.15), podobno kot e jΩ 0
= e j2π/N 0
pri diskretnih Fourierovih
vrstah (slika 3.10).
{ W N }
W 6 8 =W8 = ... = j
W 5 8 =W 13 8 = ... W 8 7 =W 15 8 = ...
W 4 8 =W 12 8 = ... =
W 0 8 =W 8 8 = ... =1
{ }
osnutek
W N
W 8 3 =W 8 11 = ...
W 8 1 =W 8 9 = ...
W 2 8 =W8 10 = ... = j
ZGLED 3.5.1
Določite diskretni spekter za zaporedje otipkov x[0] = 1, x[1] = 0, x[2] = 0 in x[3] = 1
(slika 3.18).
1 x[ n]
Slika 3.16
Zaporedje x[n]. 0
0 1 2 3 n

73
REŠITEV: Najprej določimo koeficiente transformacijskega jedra. Imamo štiri otipke,
torej je N = 4. Iz (3.83) sledi:
e − j 2π 4 = W 4 .
Vrednosti, ki jih lahko W 4 lahko zavzame, kaže slika 3.17. Prvo komponento spektra
{ W N }
W 3 4 =W4 7 = ... = j
W 4 2 =W 4 6 = ... =
W 1 4 =W8 5 = ... = j
W 4 0 =W 5 4 = ... =1
izračunamo z (3.82) pri m = 0 in n ∈ {0,3}. Dobimo:
X[0] =
3
∑
n=0
x[n]W4 0 = x[0] + x[1] + x[2] + x[3]
= 1 + 0 + 0 + 1 = 2 .
{W N }
Vidimo, da je X[0] realen, z amplitudo 2 in faznim kotom φ[0] = 0. Drugo komponento
spektra izračunamo pri m = 1 in n ∈ {0,3}. Dobimo:
X[1] =
3
∑
n=0
osnutek
x[n]W n 4 = x[0]W 0 4 + x[1]W 1 4 + x[2]W 2 4 + x[3]W 3 4
= 1·(1) + 0·(− j) + 0·(−1) + 1·(+ j)
= 1 + 0 + 0 + j = 1 + j .
Slika 3.17
Vrednosti, ki jih lahko zavzame W 4 .
Vidimo, da je ta komponenta kompleksna. Za njeno amplitudo velja
za fazni kot pa:
|X[1]| = √ |1| 2 + | j| 2 = √ 2 ,
φ[1] = arctan I{X[1]}
R{X[1]} = arctan 1 1 = 45o ,
Podobno računamo tretjo komponento spektra. Pri njej je m = 2 in n ∈ {0,3}. Dobimo:
X[2] =
3
∑
n=0
x[n]W 2n
4 = x[0]W 0 4 + x[1]W 2 4 + x[2]W 4 4 + x[3]W 6 4
= 1·(1) + 0·(−1) + 0·(1) + 1·(−1)
= 1 + 0 + 0 − 1 = 0 .

74
Zaključimo z izračunom zadnje komponente. Pri njej je m = 4 in n ∈ {0,3}. Dobimo:
X[3] =
3
∑
n=0
x[n]W 3n
4 = x[0]W 0 4 + x[1]W 3 4 + x[2]W 6 4 + x[3]W 9 4
= 1·(1) + 0·( j) + 0·(−1) + 1·(− j)
= 1 + 0 + 0 − j = 1 − j .
Tudi ta komponenta je kompleksna. Njena amplituda je enaka X[3] = √ 2 , fazni kot pa
je φ[3] = −45 o . Amplitudni in fazni spekter sta prikazana na sliki 3.18.
Slika 3.18
Spekter zaporedja x[n], ki smo ga izračunali z
DFT.
X[ m]
2
1,41
0
0
45 o [ m]
0
-45 o
Pa še matrični zapis uporabljene DFT. V tem primeru moramo najprej določiti koeficiente
transformacijske matrike [W N ]. V našem primeru je ta dovolj majhna, da si lahko
pomagamo s skico na sliki 3.17. Z uporabo (3.84a) lahko zapišemo:
0
1
1
2
2
osnutek
X[m] = W 4 · x[n]
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
X[0] W4 0 W4 0 W4 0 W4
0 x[0] 1 1 1 1 1 2
X[1]
W4 0 W4 1 W4 2 W4
3 x[1]
1 − j −1 j
0
1 + j
=
·
=
·
=
⎢
⎣X[2]
⎥ ⎢
⎦ ⎣W4 0 W4 2 W4 4 W4
6 ⎥ ⎢
⎦ ⎣x[2]
⎥ ⎢
⎦ ⎣1 −1 1 −1⎥
⎢
⎦ ⎣0⎥
⎢
⎦ ⎣ 0 ⎥
⎦
X[3] W4 0 W4 3 W4 6 W4
9 x[3] 1 j −1 − j 1 1 − j
3
3
.
m
m
Iz matričnega zapisa je lažje videti obsežnost računanja DFT. V obravnavanem primeru
imamo 16 množenj in 16 seštevanj.
♦
3.5.3 Simetrična obrazca za DFT in IDFT
Poleg definicije DFT v (3.82) in v (3.84) se pogosto uporablja simetrična
oblika obrazcev za DFT in IDFT:

75
DFT X[m] = √ 1 N−1
x[n] WN nm , (3.85)
N
∑
m=0
IDFT x[n] = √ 1 N−1
X[m] WN −nm . (3.86)
N
∑
m=0
Ta obrazca sta posebej uporabna, kadar je N = 2 2b . Takrat je √ N = 2 b in
se deljenje v (3.85) in (3.86) lahko izvede s preprostim pomikom rezultata v
registru digitalnega signalnega procesorja za b bitov v desno.
3.5.4 DFT in IDFT predpostavljata
periodično ponavljanje signala ter spektra
Glavna razlika med Fourierovo transformacijo in inverzno Fourierovo transformacijo
ter DFT in IDFT je, da sta DFT in IDFT definirani za periodično
ponavljajoča se zaporedja otipkov signala in spektra. To smo pokazali že na
sliki 3.14 na strani 71, sedaj pa se o tem prepričajmo še s primerjavo X[m] z
X[(m + N)Ω]:
X[m] =
X[(m + N)Ω] =
N−1
∑ x[n]W mn
N−1
N = ∑
n=0
n=0
N−1
∑ x[n]W (m+N)n N−1
N = ∑
n=0
n=0
x[n]e − j 2π N mn
osnutek
N−1
= ∑
n=0
N−1
=
∑
n=0
x[n]e − j 2π N mn e
} − {{ j2nπ
}
=1
x[n]W mn
N
= X[m]
x[n]e − j 2π N mn e − j 2π N Nn
N−1
=
∑
n=0
x[n]e − j 2π N mn
Pri tem ni odveč ponovno poudariti, da DFT in IDFT predpostavljata periodično
ponavljanje zaporedja N otipkov. Če to zaporedje slučajno obsega del
periodičnega signala, katerega perioda se ne ujema z začetkom in koncem
otipkov N zajetih v DFT, se perioda signala “izgubi” – DFT/IDFT upošteva,
da se periodično ponavlja vzorec N zaporednih otipkov (slika 3.19). Seveda
se Fourierovi vrsti originalnega signala in ponavljajočega se z oknom Π N določenega
dela periodičnega signala ne ujemata, oziroma se ujemata takrat in
samo takrat, ko se okno ujema s periodo originalnega signala!

76
x( t)
|X ( )
|
CFT
t
ICFT
m
0
m
Slika 3.19
Ilustracija DFT
periodičnega signala.
CFT: zvezna Fourierova
transformacija
ICFT: inverzna zvezna
Fourierova transformacija
N ( t)
N ( t)
x( t)
N( t) x( t)
( t)
t
t
t
CFT
ICFT
DFT
IDFT
|X ( )
|
m
|X( m )
|
m
3.5.5 Podobnost DFT in Fourierove transformacije zaporedja
Po definiciji je Fourierova transformacija zaporedja x[n] enaka:
[en. (3.55a)] X(Ω) =
∞
∑
m
m
osnutek
n=−∞
Primerjava (3.55a) in (3.82a) pokaže:
X[m] = X(Ω)
∣ = X(k 2π/N) ,
Ω=m2π/N
x[n]e − jΩn . (3.87)
0
0
torej je X[m] enak vzorcu X(Ω), ki ga dobimo z enakomerno otipavanjem
spektra pri frekvencah Ω = m2π/N.
3.6 Lastnosti DFT in IDFT
DFT smo izpeljali iz zvezne Fourierove transformacije. zato upravičeno pričakujemo,
da ima podobne lastnosti. Poglejmo.
Linearnost DFT je linearna operacija:
a x[m] + b y[m]
DFT
←−−−−−→ a X[m] + b Y [m] . (3.88)

Časovni pomik Zakasnitev vzorca x[n] za neko konstanto, ki jo odštejemo
od n, na primer x[n−n 0 ] povzroči fazni pomik frekvenčnega zaporedja,
ki ga izračunamo z DFT:
Frekvenčni premik
x[n − n 0 ]
77
DFT
←−−−−−→ X[m] mod N W mn 0
N . (3.89)
Časovni obrat
W mn 0
N
x[n]
x[−n] mod N
DFT
←−−−−−→ X[m − n 0 ] mod N . (3.90)
DFT
←−−−−−→ X[−m] mod N . (3.91)
Dualnost Tudi pri DFT obstaja dualnost med časovnim zaporedjem in pripadajočim
frekvenčnim zaporedjem:
X[n]
Konjugirano kompleksne vrednosti
x ∗ [n]
DFT
←−−−−−→ Nx[−m] mod N . (3.92)
DFT
←−−−−−→ NX ∗ [m] mod N . (3.93)
Liha in soda simetričnost Kadar je x[n] realno zaporedje, ga lahko razstavimo
na liho in sodo komponento:
Če je
osnutek
x[n] = x lih [n] + x sod [n] .
x[n]
DFT
←−−−−−→ X[m] = A[m] + jB[m] = |X[m]|e jθ[m] , (3.94)
potem so diskretni Fourierovi pari tudi:
X[−m] mod N = X ∗ [m]
x sod [n]
x lih [n]
DFT
←−−−−−→ R{X[m]} = A[m]
DFT
←−−−−−→ jI{X[m]} = jB[m]
(3.95a)
(3.95b)
(3.95c)
Iz (3.95a) sledi:
A[−m] mod N = A[m] B[−m] mod N = −B[m] (3.96a)
|X[−m]| mod N = |X[m]| θ[−m] mod N = −θ[−m] (3.96b)

78
Parsevalov izrek
N−1
∑ |x[n]| 2 = 1 N−1
n=0
N
∑ X[m] . (3.97)
m=0
Obrazec (3.97) imenujemo Parsevalova identiteta ali Parsevalov stavek
za DFT.
Linearna korelacija Linearno korelacijo dveh zaporedij podatkov lahko izračunamo
tudi z DFT. V prvi knjigi smo korelacijo dveh končnih zaporedij
podatkov definirali z:
r xy [k] = 1 N
3.7 Računanje DFT
∞
∑
n=−∞
x[n]x[n + k] , k ∈ {−∞,∞} (3.98)
V analizi (in sintezi) signalov je DFT zelo močno orodje. Iz definicij vemo,
da z DFT pravzaprav aproksimiramo zvezno Fourierovo transformacijo. zato
ponavadi želimo čim bolj velik N, da je pogrešek aproksimacije čim manjši.
Z večanjem N pa skokovito narašča število množenj in seštevanj. Že za izračun
ene komponente spektra potrebujemo (N − 1) množenj (množenje z
x[0] = 1·x[0] ne štejemo) in N seštevanj. Za vse komponente spektra pa potrebujemo:
osnutek
(N − 1) 2 množenj
N(N − 1)
seštevanj
seveda, če so vsi elementi transformacije samo realni ali samo imaginarni. V
splošnem pa imamo pri DFT opraviti s kompleksnimi števili. Pri računanju
DFT imamo šest različnih računanj glede na tip števila:
tip števila
tip števila
realno z realnim
imaginarno z imaginarnim
realno z imaginarnim
imaginarno z realnim
1 množenje ali 1 seštevanje
realno s kompleksnim
imaginarno s kompleksnim
2 množenje ali 1 seštevanje
kompleksno s kompleksnim
4 množenja + 2 seštevanji ali 2 seštevanji

Vidimo, da DFT algoritem zahteva v najbolj neugodnem (splošnem) primeru
4(N − 1) 2 množenj
4N 2 − 6N
seštevanj
V večini primerov so x(n) realna števila, tako da za izračun DFT ponavadi
potrebujemo:
79
(N 1 ) 2 množenj realnega števila s kompleksnim
N(N − 1)
W m N n je razen v posebnih primerih kompleksno število!
kompleksnih seštevanj
Iz tega kratkega pregleda postane razumljivo, zakaj so raziskovalci vložili
veliko truda v iskanje posebnih tehnik hitrega računanja DFT in IDFT.
osnutek

osnutek

4
Fourierova transformacija pri
naključnih signalih
Ker je naključni signali rezultat časovnega in naključnega procesa, bi morala
Fourierova transformacija naključnega signala dati naključni proces. Taka
transformacija ne obstaja.
Količina, ki jo lahko določimo za naključni signal in ima Fourierov transform,
je avtokorelacija. Vendar smo pri tem omejeni na stacionarne (najmanj
v širšem smislu) naključne procese.
4.1 Značilna funkcija
osnutek
Posebno pomemben moment je g(X) = e jωX Imenujemo ga značilna ali karakteristična
funkcija. Definiramo jo z:
φ X (ω) = E[e jωX ] =
∫ ∞
−∞
e jωx f X (x) dx , −∞ < ω < ∞ , (4.1)
ki je pravzaprav Fourierova transformacija funkcije gostote verjetnosti f X (x).
Od nje se razlikuje le v predznaku eksponenta, kar pa ni pomembno, dokler
ima inverzna transformacija nasprotni predznak:
f X (x) = 1 ∫ ∞
e − jωX φ X (ω) dω . (4.2)
2π −∞
Značilna funkcija pri diskretnih naključnih procesih je definirana z:
φ X (ω) =
∞
∑
k=−∞
e jωx k
P(X = x k ) . (4.3)
81

82
Ker je Fourierova transformacija enolična, je funkcija gostote verjetnosti (ali
porazdelitev verjetnosti) popolnoma določena s svojo značilno funkcijo. Vse
ostale pričakovane vrednosti so lahko iste za različne porazdelitvene funkcije.
Značilne funkcije imajo končno zgornjo mejo, enaka je 1:
‖φ X (ω)‖ 1 1 . (4.4)
DOKAZ 4.1 (zgornja meja značilne funkcije)
Veljavnost (4.4) dokažemo z naslednjo izpeljavo:
|φ X (ω)| =
∣
∫ ∞
−∞
e jωx ∫ ∞
f X (x) dx
∣ ∣
∣e jωx f X (x) ∣ dx .
ker je absolutna vrednost integrala manjša ali enaka integralu absolutne vrednosti,
lahko zapišemo: ∣ ∣ e jωX f X (x) ∣ ∣ = ∣ ∣e jωx∣ ∣ ∣ ∣ f X (x) ∣ ∣ = 1· f X (x) ,
od koder sledi
−∞
∫ ∞
|φ X (ω)| f X (x) dx = 1 .
−∞
Karakteristična funkcija ima zgornjo mejo pri ω = 0. Tam je φ(0) = E[e j0X ] =
E[1] = 1.
4.1.1 Določanje momentov iz karakteristične funkcije
osnutek
Karakteristična funkcija se izkaže za zelo pripravno pri določanju momentov.
Če je znana, lahko iz nje n-moment izračunamo z n-tim odvodom, kar je
mnogo bolj preprosto kot integracija produkta vrednosti naključne spremenljivke
in funkcije porazdelitve gostote verjetnosti.
Postopek računanja momentov iz karakteristične funkcije lahko razvijemo
iz:
d n[ E(e jωX ) ]
dω n
[ d n (e jωX ]
)
= E
dω n = E [ ( jX) n e jωX] .
Ker je pričakovana vrednost omejena, lahko medsebojno zamenjamo zaporedje
integriranja in odvajanja. Pri ω = 0 in po deljenju z ( j) n dobimo:
E[X n ] = (− j) n dn
dω
} {{ n φ X (ω)
∣
} ω=0
. (4.5)
Dω
n
□
D n ω je operator odvajanja (kompleksnih funkcij) po frekvenci. Njegov ekvivalent
v časovnem prostoru je D n
t = (− j) n d n / dt n .

ZGLED 4.1.1
Določimo karakteristično funkcijo za naključne spremenljivko z eksponencialno porazdelitvijo
verjetnosti:
{
ae
−ax
x 0, a > 0
f X (x) =
0 sicer
in iz nje izračunajmo prvi, drugi moment in varianco.
REŠITEV: Karakteristično funkcijo izračunamo z njeno definicijo v (4.1):
83
∫ ∞
∫ ∞
φ X (ω) = e jωx f X (x) dx = e jωx (ae −ax ) dx =
a
−∞
0
a − jω .
Prvi moment ali srednjo vrednost izračunamo z
E[X] = D ω φ X (ω) = (− j) d
∣
dω φ a( j) ∣∣∣ω=0
X(ω) = (− j)
(a − jω) 2 = 1 a .
Podobno pot uberemo pri računanju drugega momenta:
E[X 2 ] = D 2 ωφ X (ω) = (− j) 2 d 2
dω 2 φ X(ω) = (− j) 2 ja( j2)
(a − jω) 3 ∣
∣∣∣ω=0
= 2 a 2 .
Varianco pri znani pričakovani srednji vrednosti in znanem drugem momentu izračunamo
po znani povezavi:
var[X] = E[X 2 ] − (E[X]) 2 = 2 a 2 − ( 1
a) 2
= 1 a 2 .
osnutek
4.1.2 Značilna funkcija Gaussovega procesa
Nesporno je Gaussov naključna spremenljivka ena najpomembnejših naključnih
spremenljivk. Zaradi tega ima njena karakteristična funkcija enak pomen.
Najprej jo izpeljimo za normirano Gaussovo porazdelitev (µ = 0,σ 2 = 1):
∫ ∞
{ } 1
φ X (ω) = e jωx √ e −x2 /2
dx
−∞ 2π
= 1 √
2π
∫ ∞
−∞
= 1 √
2π
∫ ∞
= e −ω2 /2
−∞
e −x2 /2+ jωx dx = 1 √
2π
∫ ∞
−∞
e −(x+ jω)2 −ω 2
2 dx = e −ω2 /2 1
√
2π
∫ ∞
e −x2 − j2ωx−ω 2 +ω 2
2 dx
e −(x+ jω)2 /2 dx
}
−∞
{{ }
=1
. (4.6)
♦

84
Vidimo, da ima karakteristična funkcija enako zvonasto obliko kot funkcija
porazdelitve gostote verjetnosti. Zapišimo še splošno obliko, ko je pričakovana
srednja vrednost enaka µ x in varianca enaka σ 2 :
∫ ∞
{ [ 1 −(x − µ)
2
φ X (ω) = exp{ jωx} √ exp dx
2πσ 2
−∞
[
jµω − σ 2 ω 2 ]
2
∫ ∞
]}
2σ 2
exp
[− (x − µ − jσ 2 ω) 2 ]
2σ 2 dx
1
= exp
√
2πσ 2 −∞
} {{ }
=1
= exp [ jµω − σ 2 ω 2 /2 ] . (4.7)
Tudi sedaj ima značilna funkcija enak potek kot Gaussova porazdelitvena
funkcija. V obeh primerih ima φ X (ω) maksimum, enak je 1, pri ω = 0.
Podano izpeljavo oziroma rezultat v (4.8) posplošimo še za Gaussovo naključno
spremenljivko Y = aX + b:
[ ] [
φ Y (ω) = E e jωY = E e jωaX+b] = e jωb E
[e jωaX]
z vpeljavo nove oznake ω ′ = aω lahko zapišemo:
[ ] [
]
φ Y (ω) = e jωb E e jω′ X
= e jωb exp jµω ′ − σ 2 (ω ′ ) 2 /2
[
] [
]
= exp jµaω − σ 2 a 2 ω 2 /2 = exp jω(µa + b) − (aσ) 2 ω 2 /2
osnutek
.
(4.8)
Ker je to Gaussova karakteristična funkcija, je Y Gaussova naključna spremenljivka
z srednjo vrednostjo aµ x + b in varianco a 2 σ 2 .
4.2 Avtokorelacija naključnih signalov
V analizi signalov, pri katerih je različnost njihovih oblik takšna, da jih ni
možno opisati oziroma predvideti, vpeljemo določene skupne značilnosti, ki
jih je možno določiti. Ena zelo pomembna značilnost je avtokorelacija.
Opazujmo množico naključnih signalov {X(t)} z omejeno srednjo kvadratno
vrednostjo. Za signal X 1 (t) ∈ {X(t)} tvorimo izraz:
∫
1 T
r xx (τ) = lim
T →∞ 2T
X 1(t)X 1 (t + τ) dt . (4.9)
−T
Ta obrazec imenujemo avtokorelacija naključne funkcije X 1 (t) iz družine
{X(t)}. V smislu klasifikacije signalov so naključni signali močnostni signali.
Zato za njih lahko definiramo avtokorelacijo podobno kot pri periodičnih
signalih, torej kot povprečno vrednost korelacije na definicijskem
intervalu, torej tako, kot je zapisano v (4.9).

Predpostavimo, da avtokorelacijska funkcija obstaja za vse realne vrednosti
τ in da je ista za vse funkcije iz družine {X(t)}. V tem primeru je r xx (τ)
značilnost cele družine in ne samo funkcije X 1 (t) iz {X(t)}.
85
4.2.1 Lastnosti avtokorelacije naključnih signalov
Avtokorelacija r xx (τ) naključnega signala X 1 (t) ∈ {X(t)} ima naslednje lastnosti:
1. Avtokorelacija je soda funkcija
r xx (τ) = r xx (−τ) . (4.10)
DOKAZ 4.2
Vemo, da je r xx (τ) za periodične in aperiodične signale soda funkcija. Pričakujemo,
da je takšna tudi pri naključnih signalih. To dokažemo z zamenjavo τ s −τ. Dobimo:
1
∫ T
r xx (−τ) = lim
T →∞ 2T −T X 1(t)X 1 (t − τ) dt
1
∫ T −τ
= lim X 1 (t)X 1 (t + τ) dt
T →∞ 2T −T −τ
1
∫ T
= lim
T →∞ 2T −T X 1(t)X 1 (t + τ) dt = r xx (τ) .
Torej je r xx (τ) = r xx (−τ), kar je lastnost sodih funkcij
osnutek
2. Avtokorelacija naključne funkcije vzeta pri τ = 0 določa srednjo moč signala
X 1 (t):
∫
1 T
r xx (0) = lim
T →∞ 2T −T x2 1(t) dt . (4.11)
DOKAZ 4.3
Če v (4.9) vstavimo τ = 0, dobimo:
r xx (0) = lim
T →∞
1
∫ T
2T −T X 1 2 (t) dt .
□
to je srednja kvadratna vrednost signala X 1 (t) ali tudi srednja moč.
□
3. Vrednost avtokorelacije čistega naključnega signala, – to je signala, ki
ne vsebuje periodičnih ali aperiodičnih komponent – je pri neskončnem
argumentu enaka nič:
r xx (∞) = 0 . (4.12)

86
Te lastnosti ne bomo dokazali – dokaz zahteva nekaj izrekov verjetnostnega
računa, ki jih nismo opisali. Zato le krajša intuitivna razlaga te
lastnosti. Če je signal čisto naključen, s to lastnostjo ugotavljamo, da
sta “začetek” in “konec” naključnega signala statistično neodvisna. To
se pravi, da med njima ni vzročne povezave, oziroma povedano drugače,
“konec” signala se ne “spominja” svojega “začetka”. To fizikalno dejstvo
je razmeroma lahko umljivo, saj časovno med seboj oddaljeni dogodki
običajno niso medsebojno povezani.
4. Če je avtokorelacija zvezna v izhodišču, je zvezna povsod:
če
potem
1
∣
lim ∣r xx (0) − r xx (±ε) ∣ = 0 (4.13)
ε→0 2T
1
∣
lim ∣r xx (τ) − r xx (τ ± ε) ∣ = 0 (4.14)
ε→0 2T
To znamenito lastnost je dokazal Wiener s pomočjo Schwartzove neenačbe
(glej razdelek na strani ), ki pravi: če obstajata integrala
∫
∫
g 2 (t) dt in f 2 (t) dt
realnih funkcij g(t) in f (t), potem velja neenakost
∫
[ ∫ ∫ ]
∣ g(t) f (t) dt
∣ x dt][ 2 y 2 dt
Poglejmo!
DOKAZ 4.4 (zveznost avtokorelacije)
Izhajamo iz (4.14) pri τ > 0:
osnutek
∣
∣r xx (τ) − r xx (τ ± ε) ∣
=
∣ lim 1
∫ T
ε→0 2T −T X 1
∫ T
1(t)X 1 (t + τ) dt − lim
ε→0 2T −T X 1(t)X 1 (t + τ ± ε) dt
∣
=
∣ lim 1
∫ T
ε→0 2T −T X 1(t) [ X 1 (t + τ) − X 1 (t + τ ± ε) ] dt
∣ .
.
Uporabimo Swartzovo neenačbo. Signalu x 1 (t) damo vlogo funkcije f (t), signalu
[x 1 (t + τ) − x 1 (t + τ ± ε) ] pa funkcije g(t):

87
∣ rxx (τ) − r xx (τ ± ε) ∣ ∣ 2
1
∫ T
lim
ε→0 2T −T x2 1(t) dt
} {{ }
=r xx (0)
1
∫ T [
· lim x1 (t + τ) − x 1 (t + τ ± ε) ] 2 dt
ε→0 2T −T
1
∫ T [
= r xx (0) lim x
2
ε→0 2T 1 (t + τ) − x 1 (t + τ)x 1 (t + τ ± ε) + x1(t 2 + τ ± ε) ] dt
−T
[
1
∫ T
1
∫ T
= r xx (0) lim
ε→0 2T −T x2 1(t + τ) dt − lim
ε→0 2T
} {{ }
−T x 1(t + τ)x 1 (t + τ ± ε) dt
} {{ }
=r xx (0)
ε→0
1
∫ T
+ lim
2T −T x2 1(t + τ ± ε) dt
} {{ }
=r xx (0)
= r xx (0) [ r xx (0) − 2r xx (±ε) + r xx (0) ]
= 2r xx (0) [ r xx (0) − r xx (±ε) ] .
osnutek
]
=r xx (±ε)
Če velja (4.13), potem izraz v oglatem oklepaju z manjšanjem ε proti nič upada
proti nič, s tem pa upada proti nič tudi |r xx (τ)−r xx (τ ± ε)| 2 , oziroma tudi |r xx (τ)−
r xx (τ ± ε)|. Torej je (4.14) res.
□
5. Vrednost avtokorelacijske funkcije je največja pri premiku τ = 0:
4.3 Einstein-Wiener-Hinčinov izrek
|r xx (0) r xx (τ) pri τ ≠ 0 . (4.15)
Spomnimo se definicija avtokorelacije funkcije kompleksnega aperiodičnega
signala x(t):
∫ ∞
r xx (τ) = x ∗ (t)x(t + τ) dt . (4.16)
−∞
Izrazimo konjugirano kompleksno vrednost x ∗ (t) z inverzno transformacijo
njunih spektrov:
x ∗ (t) = 1 ∫ ∞
X ∗ (ω)e − jωt dω (4.17)
2π −∞
in signal x(t + τ) z:
x(t + τ) = 1
2π
∫ ∞
−∞
X(ω)e jω(t+τ) dω . (4.18)
Vstavimo (4.17) in (4.18) v obrazec za avtokorelacijo (4.16), zamenjamo ω
z v ter u, oziroma dω z dv ter du, in dobimo:

88
∫ ∞
r xx (τ) =
=
−∞
∫ ∞
−∞
[ 1
2π
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
][ 1
X ∗ (v)e jvt dv
2π
1
2π
∫ ∞
−∞
= 1 ∫ ∞
∫ ∞
X ∗ (v)X(u)e − juτ
2π −∞
−∞
povrnemo originalno oznako za krožno frekvenco:
oziroma:
= 1 ∫ ∞
X ∗ (ω)X(ω)e − jωτ dω
2π −∞
= 1 ∫ ∞
|X(ω)| 2 e − jωτ dω
2π −∞
= F {|X(ω)| 2 } .
r xx (τ)
F
←−−−→ |X(ω)| 2
∫ ∞
−∞
]
X(u)e −u(t+τ) du dt
X ∗ (v)X(u)e
} jvt e − {{ ju(t+τ)
}
dv du dt
e j(v−u)t e
∫ − juτ
∞
1
e j(v−u)t dv dt du
2π −∞
} {{ }
=δ(v−u)
} {{ }
=1
Povezavo (4.19), oziroma simbolični zapis (4.20) imenujemo Einstein-Wiener-
Hinčinov izrek 1,2,3 . Ta izrek velja na splošno, za vse signale, katerim lahko
izračunamo avtokorelacijo, oziroma Fourierovo transformacijo, ter za vse τ.
Pri τ = 0 (4.19) preide v znano Parsevalovo identiteto:
E x = r xx (0) = 1
2π
osnutek
∫ ∞
−∞
|X(ω)| 2 dω . (4.21)
Ker je družina signalov, za katero lahko izračunamo Fourierovo transformacijo,
omejena na energijske signale, posplošimo Einstein-Wiener-Hinčinov
1 V literaturi je ta izrek običajno imenovan Wiener-Hinčinov izrek v čast pionirskega dela,
ki sta ga na tem področju neodvisno drug od drugega opravila opravila Norbert Wiener [41,
1930] in A.I. Hinčin [42, 1934]. Kasneje je bil odkrit pozabljen članek Alberta Einsteina,
ki ga je leta 1914 predstavil na srečanju Švicarskega združenja fizikov v Baslu. V njem je
diskutiral o avtokorelacijski funkciji in njeni povezavi s spektralno vsebino signala. Angleški
prevod članka je doživel ponatis šele leta 1987 v reviji IEEE ASSP Magazine in tako
postal znan širši strokovni javnosti.
2 Angleški transkripcija ruskega imena A.J. Hinčina je A.Ya. Khintchine.
3 Za razumevanje in uporabo Einstein-Wiener-Hinčinov izreka v inženirski praksi pa je
zaslužen predvsem odlični učbenik “Statistical Theory of Communications” [44, 1960], ki
ga je napisal Wienerov učenec Y.W. Lee.

izrek še na močnostne signale – to so periodični in naključni signali. Če upoštevamo,
da je avtokorelacija soda funkcija, potem lahko Fourierov transformacijo
v (4.19) poenostavimo v kosinusno Fourierovo transformacijo, oziroma
pri naključnih signalih pomembnost te Fourierove transformacije poudarimo
z zapisom v obliki izreka:
89
IZREK 4.1 (Einstein-Wiener-Hinčinov izrek)
Statistična avtokorelacija r xx (τ) signala, ki ga rojeva naključni proces – stacionaren
vsaj v širšem smislu – in gostota močnostnega spektra R xx (ω) tega signala, tvorita
Fourierov par:
r xx (τ)
F
←−−−→ R xx (ω) ,
ki ju povezuje kosinusna Fourierova transformacija:
∫ ∞
R xx (ω) = r xx (τ)cosωτ dτ
(4.22a)
−∞
r xx (τ) = 1 ∫ ∞
R xx (ω)cosωτ dω
2π −∞
. (4.22b)
Pri tem morata biti izpolnjena pogoja ‖r xx (τ)‖ 1 < ∞ in ‖R xx (τ)‖ 1 < ∞.
Spomnimo se, da smo s Parsevalovo identiteto pri periodičnih signalih povezali
moč signala z močnostnim spektrom, pri aperiodičnih signalih pa energijo
signala z energijskim spektrom; ter da z avtokorelacijo pri τ = 0 pri
periodičnih signalih izračunamo moč signala, pri aperiodičnih pa energijo signala.
Ker iz (4.21) sledi, da je Einstein-Wiener-Hinčinov izrek posplošitev
Parsevalove identitete, zato glede na vrsto signala določa:
osnutek
1. Fourierova transformacija avtokorelacije periodičnega signala močnostni
spekter,
2. Fourierova transformacija avtokorelacije aperiodičnega signala energijski
spekter,
3. Fourierova transformacija avtokorelacije naključnega signala pa gostoto
močnostnega spektra.
4.3.1 Izpeljava Einstein-Wiener-Hinčinovega
izreka za naključne signale
Zakaj Einstein-Wiener-Hinčinov izrek pri naključnih signalih povezuje avtokorelacijo
in gostoto močnostnega spektra, najlažje uvidimo iz izpeljave tega
izreka za te signale.
Opazujmo naključni signal X(t), ki ga rojeva stacionarni naključni proces.
Ta signal naj ima srednjo vrednost enako nič. Zamislimo si, da smo končno

90
dolgo opazovali ta signal, na primer med trenutkoma t 1 in t 2 . Trajanje opazovanja
označimo z intervalom t 2 − t 1 = 2T , sredino intervala pa upoštevamo
kot referenčno točko opazovanja t = 0 (slika 4.3). Opazovani del naključnega
signala X(t) lahko definiramo kot nov, aperiodični, prehodni signal z znano
obliko:
{
X(t) −T t T
X T (t) =
, (4.23)
0 sicer
za katerega lahko izračunamo Fourierov transform, oziroma lahko v skladu z
(4.19) avtokorelacijo i r xx (τ) aperiodičnega signala izrazimo z inverzno Fourierovo
transformacijo energijskega spektra:
∫ T
i r xx (τ) = X T (t)X T (t + τ) dt
−T
= 1 ∫ ∞
|X T (ω)| 2 e jωτ dω . (4.24)
2π
−∞
Predeksponent i označuje izbrani interval 2T . Ker bomo kasneje interval 2T
večali preko vseh meja, normiramo (4.24) na interval 2T . S tem zagotovimo
obstoj inverzne Fourierove transformacije:
i r xx (τ)
2T = 1
2T
= 1
2π
∫ T
X T (t)X T (t + τ) dt
−T
|X T (ω)| 2
e − jωτ dω
2T
. (4.25)
∫ ∞
−∞
osnutek
Avtokorelacija v (4.25) velja le za opazovani interval naključnega signala in
ne za ves signal. Boljši približek k avtokorelaciji naključnega signala X(t)
dobimo, če izračunamo avtokorelacijo za množico intervalov na X(t), ki jih
raztrosimo po naključnem signalu tako, da je razdalja med njimi zagotovi
t 1 2T t 2
Xt
t
Slika 4.1
Ilustracija definicije signala XT (t).
X t T
t
-T T

91
2T 2T
2T
t 1 2T t 2
Xt
t
1 X t T
1rr xx
osnutek
-T
-T
-T
2 X t T
3 X t T
n X t T
T
T
T
t
t
t
t
2rr xx
3rr xx
nrr xx
-T
T
Slika 4.2
Zbirka signalov i XT (t) in pripadajoče vrednosti avtokorelacij
i r xx (τ).
statistično neodvisnost (slika 4.3.1). Na ta način lahko oblikujemo populacijo
neskončno mnogo funkcij i X T (t) in pripadajočih vrednosti avtokorelacij
i r xx (τ). Če je populacija stacionarna vsaj v širšem smislu, lahko določimo
avtokorelacijo signala X(t) v trenutku t kot povprečje vseh avtokorelacij na
izbranih intervalih 2T :
r xx (τ) = i r xx (τ) = i X T (t) i X T (t + τ) . (4.26)

92
S povprečenjem vseh intervalov smo določili statistično avtokorelacijo naključnega
signala X(t):
r xx (τ)
2T
= i {
r xx (τ) 1
2T = 2π
= 1
2π
∫ ∞
∫ ∞
−∞
| i X T (t)| 2 }
e jωτ dω (4.27)
2T
{ | i X T (t)| 2 }
e jωτ dω . (4.28)
2T
−∞
Sedaj večajmo interval |2T | tako, da se i X T (t) zlijejo v X(t). Pri ergodičnih
procesih v tem primeru zaviti oklepaj v (4.28) opiše gostoto močnostnega
spektra:
{ |
lim
i X T (t)| 2 }
= R xx (ω) , (4.29)
T →∞ 2T
oziroma (4.28) preide v:
r xx (τ)
r xx (τ) = lim
T →∞ 2T = 1 ∫ ∞
R xx (ω)e jωτ dω
2π −∞
. (4.30)
4.3.2 Gostota močnostnega spektra
Funkcija R xx (ω) določa gostoto v močnostnega spektra naključne funkcije
x(t). Opravičimo to ime! V ta namen v (4.30) postavimo τ = 0:
To vodi do:
lim
1
T →∞ 2T
r xx (0) = 1
2π
∫ T
−T
∫ ∞
osnutek
−∞
X 2 (t) dt = 1
2π
R xx (ω) dω . (4.31)
∫ ∞
Leva stran (4.32) določa srednjo moč signala x(t), izraz:
−∞
R xx (ω) dω . (4.32)
R xx (ω) dω
pa infinitezimalno moč x(t), ki jo vsebuje frekvenčni pas dω. Končni prispevek
moči dobimo le znotraj končnega frekvenčnega pasu. Zato R xx (ω)
predstavlja gostoto moči v točki ω.
4.3.3 Lastnosti gostote močnostnega spektra
1. Vrednost gostote močnostnega spektra stacionarnega naključnega procesa
pri frekvenci ω = 0 je enaka površini pod avtokorelacijsko funkcijo:
R xx (0) =
∫ ∞
−∞
r xx (τ) dτ . (4.33)

2. Srednja kvadratna vrednost stacionarnega naključnega procesa je enaka
površini pod funkcijo gostote močnostnega spektra:
E[X 2 (t)] = 1
2π
∫ ∞
−∞
93
R xx (ω) dω . (4.34)
Ta lastnost dobimo direktno iz (4.22b), če izberemo τ = 0. Velja r xx (0) =
E[X 2 (t)].
3. Gostota močnostnega spektra naključnega stacionarnega procesa je vedno
nenegativna:
R xx (ω) 0 pri vseh ω . (4.35)
Ta lastnost je posledica dejstva, da je srednja kvadratna vrednost procesa
vedno negativna: E[X 2 (t)] > 0.
4. Funkcija gostote močnostnega spektra realnega naključnega procesa, X(t) :
x ∈ R je soda funkcija:
R xx (−ω) = R xx (ω) . (4.36)
DOKAZ 4.5
V definiciji Fourierove transformacije avtokorelacije (4.22a) zamenjamo ω z −ω:
R xx (−ω) =
∫ ∞
−∞
r xx (τ)e jωt dt .
osnutek
Z zamenjavo −τ s τ in upoštevanjem, da je avtokorelacija r xx (τ) soda funkcija,
dobimo
∫ ∞
R xx (−ω) = r xx (τ)e − jωt dt = R xx (ω) .
−∞
□
5. Lastnosti primerno normalizirane funkcije (porazdelitve) gostote močnostnega
spektra so ponavadi povezane z lastnostmi funkcijo porazdelitve
gostote verjetnosti.
Z normalizacijo želimo doseči, da je površina pod normalizirano porazdelitvijo
gostote močnostnega spektra enaka ena. To dosežemo z:
ρ X (ω) =
1
2π
∫ ∞
R xx (ω)
−∞
R xx (ω) dω
Funkcija R X (ω) ima podobne lastnosti kot f X (x):
a) ρ X (ω) > 0
b) ∫ ∞
−∞ ρ X(ω) dω = 1
. (4.37)

94
4.4 Fourierova transformacija
avtokorelacije Gaussovega procesa
Fourierova transformacija funkcije porazdelitve gostote verjetnosti pri Gaussovem
naključnem procesu ...
4.5 Beli šum
S terminom beli šum označujemo signal, katerega gostota močnostnega spektra
je konstantna za vse frekvence:
R xx (ω) = N 0
2
, −∞ < ω < ∞ (4.38)
kjer je deljenje z 2 zaradi tega, ker upoštevamo šum tudi pri negativnih frekvencah
4.3. Moč šuma, ki jo izračunamo s (4.38), je videti neskončna. Če je
Slika 4.3
Spekter močnostne gostote
belega šuma.
šum takšen, da je njegov spekter omejen, kot je to primer pri vseh fizikalnih
procesih, imamo opravka z obarvanim šumom.
Koncept belega šuma v obdelave signalov izjemno pomemben. Iz kvantne
mehanike vemo, da ima termični (toplotni) šum gostoto močnostnega spektra
določeno z:
R xx (ω) = 1 2Rh|ω|
2π e h|ω|kT − 1
N___
2 0
S
0
osnutek
, −∞ < ω < ∞ (4.39)
kjer je k Boltzmanova konstanta (1,37×10 −23 ), h Planckova konstanta (6,62×
10 −34 ) in T temperatura v stopinjah Kelvina. Njena maksimalna gostota je
pri ω = 0 in znaša:
max{R xx (ω)} = r xx (0) = 1 π RkT ,
ki jo lahko izračunamo z limitnim postopkom. Pri frekvenci | f | 0,1kT 0 /h =
6 × 10 11 Hz gostota močnostnega spektra upade le za 5%. Čeprav ta šum
nima povsem konstante gostote močnostnega spektra, ga do te visoke frekvence
v inženirstvu upoštevamo kot konstantnega. To frekvenčno območje
presega danes v praksi uporabljana frekvenčna področja.

Avtokorelacijo belega šuma teoretično lahko dobimo z inverzno Fourierovo
transformacijo:
95
r xx (τ) = 1 ∫ ∞ N 0
2π −∞ 2 e jωτ dω = N ∫
0 1 ∞
e jωτ dω ,
2 2π −∞
Ta integral ne moremo direktno oceniti, je pa sorazmeren Diracovem impulzu
pri τ = 0.
r xx (0) = N 0
δ(τ) (4.40)
2
Zato v analizi sistemov pogosto uporabljamo beli šum (realiziranega s toplotnim
šumom) namesto Diracovega impulza.
4.6 Kumulativni močnostni spekter
Da bi tudi fizikalno ponazorili spekter močnostne gostote, si oglejmo preprosto
metodo, po kateri bi ta spekter mogli meriti, ilustrira jo slika 4.4.
x( t)
idealno
nizko
sito
P
R = 1
Slika 4.4
Ilustracija k meritvi moči P(ω), ki se troši na
uporu 1 Ω.
Na sliki 4.4 vidimo generator g, ki poganja v idealno nizko sito funkcijo
funkcijo x(t), ki bodi ali električni tok ali električna napetost. Pri idealnem
nizkem situ lahko spreminjamo mejno kotno frekvenco ω c . Na sito imamo
priključen upor R, R = 1 Ω, na katerem se troši moč, ki teče od generatorja
preko sita v upor.
Pri situ spreminjamo mejno frekvenco in istočasno merimo uporabljeno
moč P(ω) na uporu R. mejna frekvenca ω c naj se veča od nič preko ω 1 ,ω 2 ,...
naprej: 0 < ω 1 < ω 2 < ....Vrednosti porabljene moči, ki pripada frekvenčnim
intervalom (0,ω 1 ), (0,ω 2 ), (0,ω 3 ),... so P(ω 1 ), P(ω 2 ), P(ω 3 ) in tako
naprej. Razmere ponazarja slika 4.5. Moč P(ω) je tako moč, ki se uporabi na
osnutek
P
0
Slika 4.5
Na uporu porabljena moč, če
večamo prepustno področje sita
preko katerega teče naključni
električni val od generatorja k
porabniku.
uporu in ki pripada frekvenčnemu področju med frekvenco nič in ω. Strmino
krivulje 4.5 kaže slika 4.6.

96
Slika 4.6
Strmina ali odvod krivulje s slike
4.6.
strmina P
0
ustrezne enačbe v tekstu
še ni
Slika 4.7
Črtkana krivulja še enkrat predstavlja krivuljo s slike
4.6. Debelo izvlečena črta predstavlja spekter s x (ω)
gostote moči. Dobili smo ga tako, da smo razpolovili
ploščino pod črtkano krivuljo in polovico narisali na
negativni strani osi ω.
Krivulja na sliki 4.6, ki smo jo dobili z z meritvijo, je tako imenovani
integralni močnostni spekter ali tudi kumulativni močnostni spekter. Odvod
te krivulje, ki ga kaže slika 4.6, je spekter močnostne gostote ali gostote
moči. Da bi bili v soglasju z definicijo spektra R xx (ω), po enačbi [4.9], ki
je soda funkcija spremenljivke ω, razpolovimo ploščino pod krivuljo na sliki
4.6 in eno polovico narišemo na levi strani po osi ω. Dobimo razmere, ki jih
ilustrira slika 4.7.
S
0
strmina P
Ploščina pod krivuljo na intervalu (−∞,∞) predstavlja do multiplikativne
konstante 1
2π
natančno moč, ki je na tem intervalu.
Če vsebuje naključna funkcija tudi periodične komponente, je spekter
močnostne gostote sestavljen iz dveh delov: iz zvezne krivulje R n (ω), ki
ustreza čistemu naključnemu valu n(t) in iz zaporedja impulzov r xx (mω 1 ) za
periodični val x(t). Razmere ponazarja slika 4.8.
osnutek
Slika 4.8
Spekter močnostne gostote za naključne signale, ki
vsebujejo tudi periodične komponente.
Sm
0
S
Pri mnogokratnikih mω 1 osnovne krožne harmonične frekvence ω 1 so
amplitude impulzov, ki ponazarjajo gostoto moči posameznih periodičnih
komponent, neskončno visoke. Integrali impulzov - to so ploščine impulzov,
ustrezajo močem, ki jih imajo harmonične komponente pri posameznih frekvencah
in so zato končni. Da bi mogli na istem diagramu prikazati prispevke
moči za periodične in naključne signale tudi količinsko in ne le kakovostno,

97
vpeljemo tako imenovani integralni močnostni spekter S n (ω) z zvezo:
S n (ω) =
∫ ω
−∞
R n (ω) dω . (4.41)
Integralni močnostni spekter je je pozitivna naraščajoča funkcija, kajti spekter
močnostne gostote R n (ω) je pozitivna funkcija. Integralni močnostni
spekter S x (mω 1 ) za periodične signale je:
∞
∑
S x (ω) = xx (mω 1 ) =
m=−∞r 1 4
∞
∑
m=−∞
(
a
2
mω1 + b 2 mω 1
)
osnutek
. (4.42)
Če imamo val z naključno in s periodično komponento, je integralni spekter
vsota vseh ustreznih spektrov:
Tovrstni spekter ponazarja slika 4.9.
S S + Sm
S(ω) = S n (ω) + S x (mω 1 )
0
S
Kot že vemo, je celotna moč periodičnega signala dana z vrednostjo ustrezne
avtokorelacije pri premiku nič. Imamo:
r xx (0) =
∞
∑
m=−∞
r xx (mω 1 ) = S x (∞) .
Podobno je skupna moč naključne komponente dana z avtokorelacijo ustrezne
funkcije pri τ = 0:
r n (0) = 1 ∫ ∞
R n (ω) dω = S n (∞) .
2π −∞
Tako je
S(∞) = r n (0) + r xx (0) .
Integralni močnostni spekter S(ω) ima naslednje lastnosti:
1. S(ω) je ne negativna funkcija,
2. S(ω) je realna funkcija in
3. S(ω) ni padajoča funkcija.
Slika 4.9
Integralni močnostni spekter naključnega
signala, ki vsebuje tudi periodično
komponento.

98
4.7 Linearni sistemi z naključnim vhodom
V opisu prehoda naključnih signalov skozi sistem smo zapisali, da linearni
sistem ne spremeni naključnega procesa. Če je na vhodu Gaussov proces, potem
je tudi na izhodu Gaussov proces. Določa ga funkcija srednje vrednosti
in avtokorelacije ali kovariančna funkcija
Imejmo sistem z impulznim odzivom h(t), pri katerem sta srednja vrednost
in avtokorelacija naključnega procesa na vhodu enaki µ x in R xx (t 1 ,t 2 ).
V tem primeru je srednja vrednost signala na izhodu sistema določena z:
ali
µ y (t) = E[Y (t)]
[ ∫ ∞
]
= E X(u)h(t − u) du =
−∞
[ ∫ ∞
µ y (t) = E[Y (t)] = E
−∞
∫ ∞
−∞
]
X(u)h(t − u) du
E[X(u)h(t − u)] du
∫ ∞
= E[X(u)h(t − u)] du . (4.43)
−∞
Podobno, avtokorelacijsko funkcijo določa:
R yy (t 1 ,t 2 ) = E[Y (t 1 ),Y (t 2 )]
[ ∫ ∞
∫ ∞
]
= E X(t 1 − u)h(u) du X(t 2 − u)h(v) dv
−∞
−∞
[ ∫ ∞ ∫ ∞
]
= E X(t 1 − u)X(t 2 − u)h(u)h(v) du dv
∫ ∞
=
−∞
−∞ −∞
∫ ∞
−∞
osnutek
EX(t 1 − u)X(t 2 − u)h(u)h(v) du dv
ali
∫ ∞ ∫ ∞
R yy (t 1 ,t 2 ) = R xx (t 1 − u,t 2 − u)h(u)h(v) du dv . (4.44)
−∞ −∞
Iz (4.43) in (4.44) sledi, da funkcija srednje vrednosti in avtokorelacijska
funkcija veljata za katerikoli naključni proces na izhodu linearnega sistema.
Ti funkciji imata pri naključen proces Gaussovem procesu poseben pomen,
saj ga določata.
V posebnem primeru, ko je X(t) stacionarni proces v širšem smislu, torej
µ x (t) = µ x , in R xx (t 1 ,t 2 ) = R xx (τ), kjer je τ = t 2 − t 1 , se funkcija za srednjo

99
vrednost poenostavi v:
µ y (t) =
∫ ∞
−∞
µ x h(u) du
ali
∫ ∞
µ y (t) = µ x h(u) du = µ y , (4.45)
in je konstanta. Poenostavi se tudi avtokorelacijska funkcija:
ali
R yy (t 1 ,t 2 ) =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
−∞
R xx (t 2 − v(t 1 − u)h(u)h(v) du dv
∫ ∞ ∫ ∞
R yy (τ) = R xx (τ − v + u)h(u)h(v) du dv . (4.46)
−∞ −∞
Torej, če vhodni signal stacionaren v širšem smislu, je tudi izhodni signal
stacionaren v širšem smislu.
Gostoto močnostnega spektra na izhodu linearnega sistema lahko izpeljemo
iz (4.46):
R yy (τ) = 1
2π
∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
−∞
S x (ω)e jω(τ−v+u) h(u)h(v) dω du dv
osnutek
kjer z zamenjavo zaporedja integriranja dobimo:
R yy (τ) = 1 ∫ ∞
[ ∫ ∞
][ ∫ ∞
]
S x (ω) h(u)e jωu du h(v)e jωv dv e jωτ dω .
2π −∞
−∞
−∞
(4.47)
Pri realnem impulznem odzivu h(t) integral z neodvisno spremenljivko v določa
prenosno funkcijo H(ω), integral z neodvisno u pa njen konjugirano
kompleksni potek H ∗ (ω). Zato se (4.47) v tem primeru poenostavi v:
R yy (τ) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
S x (ω)|H(ω)| 2 e jωτ dω
S y (ω)e jωτ dω , (4.48)
kjer smo upoštevali znano relacijo |H(ω)| 2 = H(ω)H ∗ (ω). Ker je Fourierova
transformacija enolična, sta integranda v (4.48) enaka. Zato velja:
S y (ω) = S x (ω)|H(ω)| 2 . (4.49)

100
Slika 4.10
Prenosna (frekvenčna)
karakteristika idealnega nizkega
sita.
1
S
0
ZGLED 4.7.1 (izhod linearnega sistema pri belem šumu na vhodu)
Določimo izhodni signal idealnega nizkega sita (slika 4.10), ko je na vhodu sita naključni
signal belega šuma.
REŠITEV:
Za beli šum velja
R xx (τ) = N 0
2 δ(τ) in S x(ω) = N 0
2 , −∞ < ω < ∞ .
Potek gostote močnostnega spektra na izhodu sita določimo z (4.49):
S x (ω) = N 0
2 , −Ω < ω < Ω .
Avtokorelacijo izhodnega signala določimo z ():
∫ Ω N 0
R yy (τ) =
Ω 2 e jωτ dω = ΩN 0 S a (ωτ) , −∞ < τ < ∞ .
♦
osnutek

osnutek

Literatura
[1] H. Kwakernaak, R. Sivan: Modern signals and systems (third edition). The
McMillan Press LTD., ISBN 0–13–812728–X
[2] A.V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing.
Prentice Hall Processing Series, 1989, ISBN 0–13–216292–X
[3] Charles L. Phillips, John M. Parr (1995). Signals, systems, and transformas,
Prentice Hall Inc., ISBN 0–13–795253–8
[4] E.C. Ifeachor, B.W. Jervis: Digital signal procesing, A practical approach.
Addison-Wesley, 1997, ISBN 0–201–54413–X
[5] H. S. Carslaw: An introduction to Fourier’s series and integrals (third
edition). Dover Publications, inc. (ponatis 1960)
[6] I.N. Sneddon: Fourier transforms. Dover publications Iinc., (ponatis 1995),
ISBN 0–486–68522–5 (pbk)
[7] H.F. Davis: Fourier series and orthogonal functions. Dover publications Inc.,
1963, ISBN 0–486–65973–9
osnutek
[8] M. Reed, B. Simon: Fourier analysis, Self-Adjaintness. Academic press Inc.,
1975, ISBN 0–12–585002–6(v.2)
[9] M. R. Spiegel: Theory and problems of Fourier analysis with applications to
boundary value problems. Schaum’s outline series, McGraw-Hill
(18.izdaja 1994). ISBN 0-07-060219-0
[10] M. R. Spiegel: Theory and problems of Lapalace transform. Schaum’s
outline series, McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN 0-07-06231-X
[11] M. E. van Valkeburg: Network Analysis.
[12] D. Lange (19xx). Methoden der Signal und sistemanalise.
[13] Dietmar Achilles: Die Fourier-Transformation in der Signalverabeitung.
Springer Verlag, 1985
[14] Charles K. Chui, Guanrong Chen: Signal Processing and System Theory
(Selected topics). Springer Verlag, 1992
[15] Paul A. Lynn (1994). An introduction to the analysis and Processing of
signals. MacMillan Press LTD. 1994, ISBN 0–333–48887–3
[16] I.N. Bronštein, K.A. Semendjajev, G. Musol, H. Mühlig: Matematični
priročnik. Tehniška založba Ljubljana.
137

138
[17] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične metode. Založba
FER Ljubljana, 1987.
[18] Tine Zorič, Dali Ðonlagić, Rajko Svečko: Teorija linearnih diskretnih
sistemov. Založba FERI Maribor, 1994 ISBN 86–436–0053–4
[19] Rajko Svečko, Tine Zorič: Teorija linearnih diskretnih sistemov. Založba
FERI Maribor, 1994 ISBN 86–435–0076–3
[20] Rajko Svečko: Teorija sistemov. Založba FERI Maribor, 2000 ISBN
86–435–0366–5
[21] Žarko Čučej: Komunikacije v sisteih daljinskega vodenja, Založba FERI
Maribor, 1998, ISBN 86–435–0217–0
[22] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Uvod v teorijo, Založba FERI
Maribor, 1999, ISBN 86–435–0267–7
[23] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Harmonična analiza in
obdelava, Založba FERI Maribor, 2001, (trenutno dosegljiva kot datoteka
Signal_B na http://SPaRC.feri.uni-mb/ ⇒ digitalna knjižnica)
[24] Žarko Čučej (ured.): Teorija signalov: Uvod v teorijo in statistično obdelavo
(s primeri uporabe programa MATLAB), Založba FERI Maribor, 2004,
http://SPaRC.feri.uni-mb/ ⇒ digitalna knjižnica
[25] Erhard Stepanek Praktische analyse linearer systeme durch
faltungsoperationen, Academishe verlagsgesellschaft, Geest & Portig
k.g. Leipzig, 1976
[26] John J. Komo: Random Signal Annalysis in Engineering Systems, Acaddemic
Press. Inc., 1987, ISBN 0–12–418660–2.
osnutek
[27] Harry Urkowitz: Signal theory and random processes. Artech house. Inc.,
1983, ISBN 0–89006–121–1
[28] Igor Grabec, Janez Gradišek: Opis naključnih pojavov, Univerza v Ljubljani,
Fakulteta za strojništvo, 2000, ISBN 961–6238–42–6.
[29] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične metode. Univerza
v Ljubljani, Založba FER Ljubljana, 1987
[30] Rajko Jamnik: Verjetnostni račun. Univerza v Ljubljani, Mladnska knjiga,
1987
[31] Rajko Jamnik: Matematična statistika. Državna založba Slovenije, 198o
[32] Georgije Lukatela: Statistička teorija telekomunikacija i teorija informacija 1
Gra ¯devinska knjiga Beograd, 1991, ISBN 86–395–0280–3
[33] Ian A. Glover, Peter M. Grant: Digital Communications Prentice Hall
Europe, 1998, ISBN 0–13–5653391–6
[34] John G. Proakis: Digital Communications (third edition) McGraw-Hill
International editions, 1995, ISBN 0–07–113814–5
[35] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and sciences
Brooks/Cole Publishing company 1991, ISBN 0–534–14352–0

139
[36] Yannis Viniotis: Probability and random processes for electrical engineers
McGraw-Hill International editions, 1997, ISBN 0–07–067491–4
[37] Claude E. Shannon: A mathematical theory of communications
[38] Kemin Zhow, John c. Doyle and Keith Glower: Robust and optimal control
Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458, 1996 ISBN
0-13-456567-3
[39] Slovar Slovenskega knjižnega jezika Slovenska akademija znanosti in
umetnosti, Državna založba SLoenije, 1980
[40] Random Hause Dictionary of the English Language Edit. Jess Stein, Random
Hause Inc., 1966, ISBN: 0–394–47176–8
[41] Norbert Wiener: Generalized Harmonic Analysis Acta Mathematica, Vol. 55,
str. 117–258, 1930
[42] A.J. Hinčin: Teorija korreljaciii stacionarnih slučajnih funkcij Uspehi
matematičeskih nauk, vip. 5, 42, 1938
[43] A.Ya. Khintchine: Korrelationstheorie der stacionören stochaschen Prozese
Matematiche Annalen, vol.1, No. 109, str. 415–458, 1934
[44] Y.W. Lee: Statistical Theory of Communications John Willey & Sons, New
York, 1960
[45] Leon Cohen: Time-Frequency Analysis Prentice Hall PTR, 1995
[46] M.H. Ackroyd: Instataneous and time-varying spectra – An introduction,
objavljeno v Radio Electron. Eng., vol 239, str. 145–152, 1970
[47] R.M. Lerner: Representation of signals, objavljeno v E.J. Baghdady (editor)
Lectures on Communication System Theory, McGraw-Hill Book Co.,
1961
osnutek
[48] M.I. Skolnik: Introduction to Radar Systens McGraw-Hill Book Co., 1980
[49] J.G. Kikwood: Quantum statistics of almost classical ensembles Phys. Rev.,
vol. 44, str. 31–37, 1933
[50] Ya. P. Terletsky: Z. Eksp.. Teor. Fiz., vol. 7, str. 1290, 1937
[51] Vinay K. Ingle and John G. Proakis: Digital Signal Processing using
MATLAB R○ Brooks/Cole: BookWare Companion Series TM , 2000, ISBN
0-534-3717-4