METRICKI PROSTORI Definicija 1 Uredeni par (X, d) koji se sastoji ...

METRIČKI PROSTORI
Definicija 1 Uredeni par (X, d) koji se sastoji od nepraznog skupa X i preslikavanja
d : X × X → R je metrički prostor ako vrijedi:
M1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X (pozitivnost),
M2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y, gdje su x, y ∈ X (strogost),
M3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (simetričnost),
M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X (nejednakost trokuta).
Preslikavanje d nazivamo metrika.
Ako umjesto M2) vrijedi M2’) x = y ⇒ d(x, y) = 0 , onda je d pseudometrika.
Ako umjesto M4) vrijedi M4’) d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(y, z)} , onda je d
ultrametrika.
Svaki je ultrametrički prostor metrički, a svaki metrički prostor je pseudometrički.
Obrat ne vrijedi.
Definicija 2 Neka su (X, d) i (X ′ , d ′ ) metrički prostori.
Za preslikavanje f : X → X ′ kažemo da čuva udaljenost ako je
d ′ (f(x 1 ), f(x 2 )) = d(x 1 , x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ X.
Ako je f još i bijekcija, nazivamo je izometrija.
Dva su metrička prostora X i X ′ izometrična ako postoji izometrija sa X
u X ′ .
Definicija 3 Neka je (X, d) metrički prostor, x 0 ∈ X, A, B ⊆ X.
- udaljenost točke x 0 od A: d(x 0 , A) = inf {d(x 0 , a) : a ∈ A},
- udaljenost skupova A i B: d(A, B) = inf {d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Definicija 4 Neka je (X, d) metrički prostor.
A ⊆ X je omeden ako je skup {d(a, a ′ ) : a, a ′ ∈ A} omeden u R.
Dijametar skupa A ⊆ X: diamA = sup {d(a, a ′ ) : a, a ′ ∈ A}.
Skup je potpuno omeden ako za svako ɛ > 0 postoji konačan pokrivač
skupa čiji su članovi svi dijametra manjeg od ɛ.
Definicija 5 Neka je (X, d) metrički prostor i r > 0.
• Otvorena kugla: K(x 0 , r) = {x ∈ X : d(x 0 , x) < r},
• Zatvorena kugla: K[x 0 , r] = {x ∈ X : d(x 0 , x) ≤ r},
• Sfera: S(x 0 , r) = {x ∈ X : d(x 0 , x) = r}.
2

TOPOLOGIZACIJA METRIČKIH PROSTORA
Definicija 1 Neka je (X, d) metrički prostor i U ⊆ X.
Kažemo da je U otvoren u skupu X ako se može prikazati kao unija otvorenih kugala.
Prazan skup je otvoren skup.
Teorem 1 Neka je (X, d) metrički prostor i U ⊆ X.
U je otvoren u X ako i samo ako za svaki x 0 ∈ X i r > 0 postoji otvorena kugla
K(x 0 , r) t.d. je K(x 0 , r) ⊆ U.
Definicija 2 Familija svih otvorenih skupova T d u X naziva se topologija na X. Uredeni
par (X, T d ) nazivamo topološki prostor.
Teorem 2 (X, T d ) ima sljedeća svojstva:
T1) ∅, X ∈ T d
T2) zatvorenost na proizvoljne unije,
T3) zatvorenost na konačne presjeke.
Definicija 3 Neka su d 1 i d 2 metrike na X. Kažemo da su d 1 i d 2 topološki ekvivalentne
ako je T d1 = T d2 . Oznaka d 1 ∼ t d 2 .
Teorem 3 Dvije metrike na X su topološki ekvivalentne ako i samo ako
(∀x 0 ∈ X)(∀r 1 > 0)(∃r 2 > 0) t.d. K(x 0 , r 2 ) ⊆ K(x 0 , r 1 ) i
(∀x 0 ∈ X)(∀r 2 > 0)(∃r 1 > 0) t.d. K(x 0 , r 1 ) ⊆ K(x 0 , r 2 ).
Definicija 4 Neka su d 1 i d 2 metrike na X.
Kažemo da su d 1 i d 2 (uniformno) ekvivalentne (oznaka d 1 ∼ d 2 ) ako postoje µ 1 , µ 2 > 0
t.d. ∀x, y ∈ X vrijedi
d 1 (x, y) ≤ µ 1 d 2 (x, y) i
d 2 (x, y) ≤ µ 2 d 1 (x, y).

TOPOLOŠKI PROSTORI
Definicija 1 Neka je X neprazan skup i T familija podskupova od X. T je
topološka struktura (topologija) na X ako vrijedi:
(T1) ∅, X ∈ T ,
(T2) U α ∈ T , α ∈ A ⇒ ⋃
U α ∈ T ,
α∈A
(T3) U i ∈ T , i ∈ {1, . . . , n} ⇒
n⋂
U i ∈ T .
i=1
Primjer 1 Neka je X proizvoljan neprazan skup;
(1) T = {∅, X} → indiskretna topologija na X,
(2) T = P(X) → diskretna topologija na X.
Definicija 2 Točka x 0 ∈ X je točka gomilanja (gomilište) skupa A ⊆ X ako
svaki otvoren skup U koji sadrži x 0 siječe skup A \ {x 0 }, tj. (A \ {x 0 }) ∩ U ≠ ∅.
Skup svih točaka gomilanja skupa A nazivamo derivat skupa A i označavamo
A ′ .
Definicija 3 Skup A ⊆ X je zatvoren u topološkom prostoru X ako je X \ A
otvoren u X.
Teorem 1 Familija svih zatvorenih skupova u X ima svojstva:
(T1’) ∅, X ∈ T c ,
(T2’) F α ∈ T c , α ∈ A ⇒ ⋂
F α ∈ T c ,
α∈A
(T3’) F i ∈ T c , i ∈ {1, . . . , n} ⇒
n⋃
F i ∈ T c .
i=1
Definicija 4 Neka je (X, U) topološki prostor i Y ⊆ X. Topološki prostor
(Y, U Y ), gdje je U Y = {Y ∩ U : U ∈ U} zove se topološki potprostor od X, a
familija U Y relativna topologija na Y .
Definicija 5 Neka je (X, T ) topološki prostor. Baza topologije T na X je familija
B ⊆ T otvorenih skupova sa svojstvom da se svaki otvoren skup U ∈ T može
prikazati kao unija elemenata od B.
1

Teorem 2 Baza topologije B u topološkom prostoru (X, T ) ima svojstva:
(B1) B je pokrivač od X, tj. X = ⋃
B,
B∈B
(B2) Ako su B 1 , B 2 ∈ B, x ∈ B 1 ∩ B 2 , onda postoji B ∈ B takav da je
x ∈ B ⊆ B 1 ∩ B 2 .
Definicija 6 Okolina točke x 0 ∈ X je svaki skup O koji sadrži x 0 i za koji
postoji otvoren skup U takav da vrijedi da je x 0 ∈ U ⊆ O.
Familiju svih okolina točke x 0 označavamo sa O(x 0 ).
Definicija 7 Topološki prostor X je T 1 -prostor ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ X) (x 1 ≠ x 2 )
(∃U ∈ O(x 1 )) t.d. (x 2 /∈ U) i (∃V ∈ O(x 2 )) t.d. (x 1 /∈ V ).
2

NUTRINA I ZATVARAČ SKUPA
Definicija 1 Neka je (X, T ) topološki prostor i A ⊆ X;
Nutrina (interior) Int A je unija svih otvorenih skupova koji su sadržani
u A, tj. najveći otvoreni skup sadržan u A.
Zatvarač (clausura) Cl A je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A,
tj. najmanji zatvoren skup koji sadrži A.
Vanjština (exterior): Ext A =Int (X \ A).
Granica (fronta) Fr A =Cl A ∩ Cl (X \ A).
Teorem 1 Neka je (X, T ) topološki prostor i A ⊆ X. Int A ima ova svojstva:
(1) Int A ⊆ A,
(2) Int (Int) A =Int A,
(3) Int (A ∩ B) =Int A ∩ Int B,
(4) Int X = X,
(5) A ⊆ B ⇒ Int A ⊆ Int B,
(6) A je otvoren ⇔ A = Int A.
Teorem 2 Neka je (X, T ) topološki prostor i A ⊆ X. Cl A ima ova svojstva:
(1) Cl A ⊇ A,
(2) Cl (Cl) A =Cl A,
(3) Cl (A ∪ B) =Cl A ∪ Cl B,
(4) Cl ∅ = ∅,
(5) A ⊆ B ⇒ Cl A ⊆ Cl B,
(6) A je zatvoren ⇔ A = Cl A.
Teorem 3 Neka je (X, T ) topološki prostor, x 0 ∈ X, A ⊆ X.
(x 0 ∈ Cl A) ⇔ svaka okolina (U ∈ O(x 0 )) siječe A, tj. (U ∩ A ≠ ∅).
Definicija 2 Skup A ⊆ X je gust na X ako je Cl A = X.
1

SEPARABILNOST
Definicija 3 Topološki prostor (X, T ) je separabilan ako postoji prebrojiv podskup
D ⊆ X koji je gust na X.
Definicija 4 Familija C otvorenih skupova iz T je podbaza topologije T na X
ako konačni presjeci elemenata iz C čine bazu topologije T .
Teorem 4 Neka je X neprazan skup i C pokrivač od X. Tada je C podbaza
točno jedne topologije na X.
Definicija 5 Topološki prostor (X, T ) je:
• T 0 -prostor ⇔ (∀x, y ∈ X) (x ≠ y) (∃ O ∈ O(x)) t.d. (y /∈ O).
• T 2 -prostor (Hausdorffov prostor) ⇔ (∀x, y ∈ X) (x ≠ y) ∃ (U ∈ O(x) ∧
V ∈ O(y)) t.d. (U ∩ V = ∅).
• T 3 -prostor ako svaki zatvoren skup F ⊆ X i svaka točka x /∈ F imaju
disjunktne okoline, tj. (∀F ⊆ X)(F ∈ T c )(x ∈ X \ F ) ∃ (U ∈ O(F ) ∧ V ∈
O(x)) t.d. (U ∩ V = ∅).
• T 4 -prostor ako svaka dva zatvorena disjunktna skupa u X imaju disjunktne
okoline.
• Regularan ako je T 1 i T 3 -prostor.
• Normalan ako je T 1 i T 4 -prostor.
2

KONVERGENCIJA NIZOVA
Definicija 1 Neka je (x n ) niz u topološkom prostoru X i x 0 ∈ X. Kažemo da
niz (x n ) konvergira (teži) prema x 0 ako vrijedi:
(∀O ∈ O(x 0 ))(∃n 0 ∈ N)(∀n ∈ N) n ≥ n 0 ⇒ x n ∈ O.
Definicija 2 Kažemo da topološki prostor X zadovoljava 1.aksiom prebrojivosti
ako svaka točka ima prebrojivu bazu okolina.
KONVERGENCIJA NIZOVA FUNKCIJA
Definicija 3 Neka je (x n ) niz funkcija x n : T → R i x 0 : T → R. Niz funkcija
(x n ) konvergira prema funkciji x 0 u točki t 0 ∈ T ako niz realnih brojeva (x n (t 0 ))
konvergira prema broju x 0 (t 0 ).
Ako je A ⊆ T i niz funkcija (x n ) konvergira prema funkciji x 0 u svakoj
točki t ∈ A, onda kažemo da niz funkcija (x n ) konvergira po točkama ili obično
prema funkciji x 0 na skupu A.
Ako niz funkcija (x n ) konvergira prema funkciji x 0 za svaki t ∈ T , onda
kažemo da niz funkcija (x n ) konvergira obično prema funkciji x 0 .
Običnu konvergenciju niza funkcija (x n ) prema funkciji x 0 na T možemo iskazati
i na sljedeći način:
(∀t ∈ T )(∀ ɛ > 0)(∃n 0 ∈ N)(∀n ∈ N) n ≥ n 0 ⇒ |x n (t) − x 0 (t)| < ɛ.
Definicija 4 Neka je T neki skup te x n : T → R, n ∈ N, i x 0 : T → R realne
funkcije. Niz funkcija (x n ) uniformno konvergira prema funkciji x 0 na T ako
vrijedi:
(∀ɛ > 0)(∃n 0 ∈ N)(∀t ∈ T ) n ≥ n 0 ⇒ |x n (t) − x 0 (t)| < ɛ.
1

ZATVARAČ SKUPA I KONVERGENCIJA.
PODNIZOVI I KONVERGENCIJA
Teorem 1 Neka je (X, d) metrički prostor i A ⊆ X. Ako je (x n ) niz u A koji
konvergira ka x 0 ∈ X, tada je x 0 ∈ ClA. Obratno, ako je x 0 ∈ ClA, tada postoji
niz (x n ), x n ∈ A, koji konvergira ka x 0 .
Definicija 5 Neka je (x n ) niz u prostoru X. x 0 ∈ X je točka gomilanja niza
(x n ) ako vrijedi:
(∀V ∈ O(x 0 ))(∀n ∈ N)(∃n ′ ∈ N) n ′ > n ⇒ x n ′ ∈ V.
Teorem 2 Neka je (X, d) metrički prostor. Točka x 0 ∈ X je točka gomilanja
niza (x n ) u X ako i samo ako postoji podniz (x nk ) koji konvergira ka x 0 .
POTPUNI METRIČKI PROSTORI
Definicija 6 Niz (x n ) iz metričkog prostora (X, d) je Cauchyjev (C - niz) ako
za taj niz vrijedi:
(∀ ɛ > 0)(∃n 0 ∈ N)(∀m, n ∈ N) m, n ≥ n 0 ⇒ d(x m , x n ) < ɛ.
Teorem 3 Svaki konvergentan niz u metričkom prostoru je Cauchyjev niz.
Teorem 4 Neka je (x n ) Cauchyjev niz i (x nk ) podniz koji konvergira ka x 0 .
Tada niz (x n ) konvergira prema x 0 .
Definicija 7 Metrički prostor je potpun ako u njemu svaki Cauchyjev niz konvergira.
Definicija 8 Preslikavanje f : X → X je kontrakcija ako ∃ κ, 0 ≤ κ < 1, tako
da vrijedi:
d(f(x), f(y)) ≤ κ d(x, y), ∀x, y ∈ X.
κ je koeficijent kontrakcije preslikavanja f.
2

NEPREKIDNA PRESLIKAVANJA
Definicija 1 Neka su X, Y topološki prostori i f : X → Y preslikavanje.
Kažemo da je f neprekidno u x 0 ∈ X ako
(∀V ∈ O(f(x 0 )))(∃U ∈ O(x 0 )) f(U) ⊆ V.
Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i x 0 ∈ X te f : X → Y . Preslikavanje
f je neprekidno u x 0 ako i samo ako
(∀ɛ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X) d X (x, x 0 ) < δ ⇒ d Y (f(x), f(x 0 )) < ɛ.
Teorem 1 Neka su X, Y topološki prostori i f : X → Y preslikavanje. Sljedeće
tvrdnje su ekvivalentne:
(i) f je neprekidno preslikavanje,
(ii) (∀V ⊆ Y ) otvoren u Y ⇒ f −1 (V ) otvoren u X,
(iii) (∀F ⊆ Y ) zatvoren u Y ⇒ f −1 (F ) zatvoren u X.
Definicija 2 Topološki prostor X je povezan ako ne postoje A, B ⊆ X,
A, B ≠ ∅, zatvoreni (otvoreni) za koje je A ∩ B = ∅ i A ∪ B = X.
KOMPAKTNOST
Definicija 3 Topološki prostor X je kompaktan ako svaki otvoreni pokrivač od
X ima konačan potpokrivač.
Primjeri
1. Svaki zatvoren i ograničen skup u R n je kompaktan.
2. Svaki konačan podskup topološkog prostora je kompaktan.
3. Podskup kompaktnog prostora ne mora biti kompaktan
(I = (0, 1) ⊆ [0, 1] ⊆ R nije kompaktan).
Teorem 2 Svaki zatvoren podskup kompaktnog prostora je kompaktan.
1

Teorem 3 Neka je X Hausdorffov prostor i F ⊆ X kompaktan. Tada je F
zatvoren u X.
Teorem 4 Svaki Hausdorffov kompaktan prostor je normalan.
Teorem 5 Neka je X Hausdorffov prostor, F ⊆ X kompaktan i x 0 ∈ X\F .
Tada postoje otvoreni disjunktni skupovi U, V ⊆ X takvi da vrijedi F ⊆ U i
x 0 ∈ V .
Teorem 6 Za metrički prostor X sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:
(1) X je kompaktan,
(2) Svaki beskonačan podskup od X ima bar jednu točku gomilanja,
(3) Svaki niz u X ima bar jednu točku gomilanja,
(4) Svaki niz u X ima konvergentan podniz,
(5) Svaki niz F 1 ⊃ F 2 ⊃ . . . nepraznih zatvorenih podskupova u X ima neprazan
presjek.
Teorem 7 Neka je f : X → Y neprekidna surjekcija i X kompaktan topološki
prostor. Tada je i Y kompaktan.
2