PRORAČUN PUKOTINA AB ELEMENATA Postupak prema EC2 i ...

IDEJA…
PRORAČUN PUKOTINA
AB ELEMENATA
Postupak prema EC2 i neki
Eksperimentalni rezultati
Od svih proračuna ab konstrukcija, proračun širina
pukotina zasigurno je najmanje pouzdan i
vjerodostojan. Razlog ovoj konstataciji
prvenstveno leži u činjenici da su pukotine u
betonu direktna posljedica prekoračenja njegove
male vlačne čvrstoće, koja je različita u pojedinim
dijelovima konstrukcije i koja je u suštini
nepoznata. Kod formiranja i razvoja pukotina
lokalni efekti u betonu, koje je teško obuhvatiti,
imaju odlučujući utjecaj.
Kontrola raspucavanja betona danas se isključivo
obavlja s pomoću pojednostavljenih inženjerskih
postupaka, koji su uglavnom bazirani na
eksperimentalnim ispitivanjima. Oni su dovoljno
pouzdani za praktične potrebe. Međutim, ovi se
postupci odnose samo na slučajeve s
jednostavnom geometrijom betonskih presjeka,
armaturom i uvjetima opterećenja (naprezanja).
Za složenije probleme oni su, nažalost,
neupotrebljivi.
IDEJA…
Cilj rada je bio eksperimentalno proučiti ovaj fenomen i dati smjernice kako ga
modelirati za slučajeve složene geometrije i armature presjeka.
Posebna pažnja obraćena je na komparaciju rezultata koji se dobiju prema
izrazima različitih autora.
Što kaže Pravilnik
Potrebno je dokazati da je karakteristična širina pukotina
(w k ) manja od granične vrijednosti dane propisima (w g ).
wk ≤ w g
Pojam karakteristične širine pukotina uvodi se radi
uzimanja u obzir stvarne neujednačenosti širina pukotina,
do koje dolazi zbog različitih lokalnih vlačnih čvrstoća
betona, uvjeta prionjivosti betona i armature i sl.
Granična širina pukotina dana je u nacionalnim dodacima
(NAD). EC2 propisuje osnovne orijentacijske vrijednosti.
Ako nema posebnih zahtjeva za vodonepropusnost,
propisuje se w g =0.3 mm za armiranobetonske
konstrukcije, a za prednapete sustave w g =0.2 mm.
1

EUROCODE-2
EUROCODE-2
Koeficijenti sigurnosti – granična na stanja uporabe
•Koeficijenti sigurnosti na materijal
Materijal
Beton Čelik
Kombinacija
(γ c
) (γ s
)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
•Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Djelovanje
Stalno
(γ G
)
Pokretno
(γ Q
)
Prednap.
(γ P
)
•Koeficijenti kombinacije (ψ)
Promjenjivo djelovanje
Uporabna opterećenja u zgradama
-Stambeni prostori
-Uredi
-Prostori za veće skupove ljudi
-Trgovine
-Skladišta
Prometna opterećenja u zgradama
-Težine vozila ≤ 30 kN
-Težine vozila ≤ 30 kN
-Krovovi
Vrijednost u
kombinaciji
ψ 0
0.7
0.7
0.7
0.7
1.0
0.7
0.7
0.0
Česta
vrijednost
ψ 1
0.5
0.5
0.7
0.7
0.9
0.7
0.5
0.0
Kvazistalna
vrijednost
ψ 2
0.3
0.3
0.6
0.6
0.8
0.6
0.3
0.0
Nepovoljno
Povoljno
1.35
1.00
1.50
0.00
1.0-1.2
0.9-1.0
Opterećenje vjetrom na zgrade
Opterećenje snijegom
Temperatura u zgradama (ne požar)
0.6
0.6
0.6
0.5
0.2
0.5
0.0
0.0
0.0
• Nazovi-stalna (Kvazi-stalna) kombinacija – koristi se kod proračuna
ograničenja naprezanja i kontrolu širine pukotina u elementima
sd = ∑Gk,i
+ ∑
i
i
( ψ2,i
⋅ Qk,i
) Pk
S +
EUROCODE-2
Koeficijenti sigurnosti – granična na stanja uporabe
•Koeficijenti sigurnosti na materijal
Materijal
Beton Čelik
Kombinacija
(γ c
) (γ s
)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
•Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Djelovanje
Nepovoljno
Stalno
(γ G
)
1.35
Pokretno
(γ Q
)
1.50
Prednap.
(γ P
)
1.0-1.2
Povoljno 1.00 0.00 0.9-1.0
•Koeficijenti kombinacije (ψ)
Promjenjivo djelovanje
Uporabna opterećenja u zgradama
-Stambeni prostori
-Uredi
-Prostori za veće skupove ljudi
-Trgovine
-Skladišta
Prometna opterećenja u zgradama
-Težine vozila ≤ 30 kN
-Težine vozila ≤ 30 kN
-Krovovi
Opterećenje vjetrom na zgrade
Opterećenje snijegom
Temperatura u zgradama (ne požar)
• Česta kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba –
privremena lokalna oštećenja i deformacije, te kod proračuna
ograničenja naprezanja
sd = ∑Gk,i
+ ψ1,1
⋅ Qk,i
+ ∑
i
i>
1
( ψ2,i
⋅ Qk,i
) Pk
S +
Vrijednost u
kombinaciji
ψ 0
0.7
0.7
0.7
0.7
1.0
0.7
0.7
0.0
0.6
0.6
0.6
Česta
vrijednost
ψ 1
0.5
0.5
0.7
0.7
0.9
0.7
0.5
0.0
0.5
0.2
0.5
Kvazistalna
vrijednost
ψ 2
0.3
0.3
0.6
0.6
0.8
0.6
0.3
0.0
0.0
0.0
0.0
EUROCODE-2 – Minimalna armatura
Kad se želi spriječiti raspucavanje elemenata uvijek je potrebno ugraditi minimalnu
količinu armature koja je čvrsto vezana s betonom (bonded) u vlačnom dijelu
presjeka.
Količina ove armature se može odrediti iz uvjeta da se sila u vlačnom dijelu betona
u trenutku otvaranja pukotine izjednači sa silom u armaturi pri naprezanju tečenja ili
manjem, pri čemu treba biti ograničena širina pukotine.
Ukoliko se ne želi ulaziti u dublje analize, moguće je koristiti sljedeću formulu:
kc
⋅k⋅fct,eff
⋅ A ct
A s,min =
σs
( σs
⋅ A s,min = fct,eff
⋅ A ct
)
gdje je:
A s,min
- minimalna površina armature u vlačnom dijelu presjeka;
A ct
- površina betona u vlačnom dijelu presjeka. Ovo je u biti površina
betona koji je u vlaku u trenutku neposredno prije pojave prve
pukotine (homogeno stanje);
σ s
- apsolutna vrijednost maksimalnog dozvoljenog naprezanja u armaturi
neposredno nakon pojave pukotine. Može se uzeti kao naprezanje
tečenja u armaturi (f yk
), međutim nekad je potrebno uzeti i nižu
vrijednost da se zadovolji ograničenje širine pukotine.
2

gdje je:
f ct,eff
Karakteristika betona
f ck (MPa)
f c,cub (MPa)
f ctm (MPa)
A
s,min
kc
⋅k⋅f
=
σ
ct,eff
s
⋅ A
- srednja vrijednost vlačne čvrstoće betona u trenutku očekivane
pojave pukotine. Obično se uzima kao: f ct,eff
= f ctm
, međutim ponekad
se može uzeti i niža vrijednost kada se pojava pukotine očekuje prije
28 dana.
Čvrstoća na
valjku
Čvrstoća na kocki
Srednja vlačna
čvrstoća
C12/15
12
15
(MB 15)
1.6
C16/20
16
20
(MB 20)
1.9
C20/25
20
25
(MB 25)
2.2
C25/30
30
(MB 30)
k - koeficijent nejednolikosti naprezanja, k = (0.65 ÷ 1.00)
k c
- koeficijent raspodjele naprezanja po presjeku: k c
= (0.5 ÷ 1.00)
25
2.6
ct
C30/37
30
37
(MB 40)
2.9
C35/45
35
45
(MB 45)
3.2
C40/50
40
50
(MB 50)
3.5
C45/55
45
55
(MB 55)
3.8
C50/60
50
60
(MB 60)
4.1
EUROCODE-2 – Kontrola pukotina bez proračuna
Za armiranobetonske ili
prednapete elemente
opterećene na savijanje
bez značajne uzdužne
vlačne sile, a armirane
minimalnom armaturom,
posebne mjere za
kontrolu pukotina nisu
potrebne kada ukupna
debljina (h) ne prelazi
200 mm, a raspon je veći
od 5h.
U dominantno tlačno opterećenim elementima u kojima vlačno naprezanje betona
pri bilo kojoj kombinaciji opterećenja ne prelazi f ct,eff
, nije potrebna minimalna
armatura.
Kod ovih elemenata obično se ograničava debljina šipke armature i udaljenost
šipaka, koja se daje u obliku tablice.
EUROCODE-2 – Kontrola pukotina bez proračuna
Debljina šipaka se mora korigirati za:
Savijanje (bar jedan dio presjeka u tlaku):
∗ ⎛ fct,eff
⎞ kc
⋅hcr
φs
= φs
⋅⎜
⎟⋅
⎝ 2.9 ⎠ 2⋅
Vlak (jednoliko vlačno naprezanje):
∗ ⎛ fct,eff
⎞ h
φs
= φs
⋅⎜
⎟⋅
⎝ 2.9 ⎠ 8⋅
( h−
d)
cr
( h − d)
Pri čemu je:
φ s
- prilagođeni profil šipke
φ
*
s
- maksimalni profil dan u tablici
h - ukupna debljina presjeka
h cr
- ukupna visina vlačne zone za kvazi stalnu kombinaciju opterećenja
d - statička visina presjeka
3

PRIMJER
Pretpostavimo ploču, debljine h=16.0 cm, jednako armiranu u gornjoj i donjoj zoni s
mrežom Q-503 (A s1
=A s2
=5.03 cm 2 /m). Neka je w g
=0.3 mm, a napadni moment
(kvazi-stalna kombinacija) M sd
=16.0 kNm.
Six
= 0
A
Es
200
s2
n = = = 6.56
Ec
30.5
A s1
2
x
b + [ nA
s2( x − d2
)] −[ nA
s1( d − x)
] = 0 ⇒
2
2
x
100⋅
+ [ 6.56⋅5.03⋅( x − 3)
] −[ 6.56⋅5.03⋅( 13 − x)
] ⇒
2
2
50⋅
x + 66⋅
x − 528 = 0
x = 2.7 cm
x 2.7
z = d − = 13 − = 12.1cm
3 3
kc
= 0.5
M 1600
2 k = 1.0
σs
= = = 26.3 kN/cm
A
s1z
5.03⋅12.1
h 16
2
2
2 A ct = b⋅
= 100⋅
= 800 cm
fct,eff
= fctm
= 2.6 N/mm = 0.26 kN/cm
2 2
kc
⋅k⋅fct,eff
⋅ A ct 0.5⋅1.0⋅0.26⋅100
2
A s,min =
=
= 0.50 cm m'
σ
26.3
d 1
h
d
s
d 1
h
d
PRIMJER
σs
= 26.3 kN/cm
A s2 2
A s,min = 0.50 cm m'
A s1 fct,eff
= fctm
= 2.6 N/mm
x = 2.7 cm
2
2
∗ ⎛ fct,eff
⎞ kc
⋅h
φs
= φs
⋅⎜
⎟⋅
⎝ 2.9 ⎠ 2
∗ ⎛ fct,eff
⎞ k
= φs
⋅⎜
⎟⋅
⎝ 2.9 ⎠ 2
⎛ 2.6 ⎞ 0.5
= 12⋅⎜
⎟⋅
⎝ 2.9 ⎠ 2
φ = 11.91mm
s
cr
⋅( h−
d)
c ⋅( h−
x)
⋅( h−
d)
⋅( 16 − 2.7)
⋅( 16 −13)
EUROCODE-2 – Kontrola pukotina bez proračuna
EUROCODE-2 – Proračun prema prednormi
Grede visine 1000 mm ili veće, kod kojih je armatura koncentrirana u manjim
dijelovima same grede, moraju biti dodatno armirane po bočnim plohama da se
izbjegne raspucavanje izvan sudjelujućeg vlačnog područja.
Ova armatura se mora jednoliko raspodijeliti na vlačnom dijelu presjeka (između
glavne uzdužne armature i neutralne osi).
Količina ove armature također se izračunava prema formuli:
A
s,min
kc
⋅k
⋅f
=
σ
pri čemu je k=0.5, a σ s
=f yk
.
Također treba imati na umu da se veće pukotine mogu očekivati u presjecima gdje
postoji iznenadna promjena naprezanja, npr.
Na mjestima promjene dimenzija presjeka;
Na mjestima djelovanja koncentrirane sile;
Na mjestima prekida uzdužnih šipki;
Na mjestima visokih naprezanja prianjanja (prekidi tlačnih šipki i sl.).
ct,eff
s
⋅ A
ct
Prema prednormi karakteristična širina pukotina može se prognozirati prema
izrazu:
wk = β ⋅s rm ⋅εsm
β=1.7 za naprezanje
izazvano
gdje je:
β - omjer karakteristične i srednje širine pukotine
direktnim
opterećenjem
β=1.3 za naprezanje
s rm
- srednji razmak između dviju uzastopnih pukotina izazvano
prinudnim
ε sm
- srednja deformacija armature
deformacijama
Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:
2
σ ⎡ ⎛
s
σ ⎞ ⎤
sr
σs
εsm
= ζ ⋅ = ⎢1−β
⎥
1β2
⋅
Es
⎢
⎜
⎟
s ⎥ Es
⎣ ⎝ σ ⎠ ⎦
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
s p
i
i
s/2 p
A s
i
4

2
σ ⎡ ⎛
s
σ ⎞ ⎤
sr σs
εsm
= ζ ⋅ = ⎢1−β1
β ⎥
2 ⋅
Es
⎢
⎜
⎟
s ⎥ Es
⎣ ⎝ σ ⎠ ⎦
gdje je:
β 1
- koeficijent kojim se uvodi stupanj prianjanja između betona i
armature (RA ili GA)
β 1 = 1.0 - za rebrastu armaturu
β 1 = 0.5 - za glatku armaturu
Srednji razmak pukotina definiran je sa:
φ
k 1
s
rm
= 50 + 0.25⋅k
k
1 2
φ
ρ
r
( mm)
- promjer šipke armature (mm)
- koeficijent koji uzima u obzir prionjivost
betona i čelika (RA ili GA)
k 1
=0.8 za rebrastu armaturu
k 1
=1.6 za glatku armaturu
β 2
- koeficijent kojim se uvode reološke karakteristike betona tijekom
vremena (kratkotrajno ili dugotrajno opterećenje)
σ sr
- naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine
bh
Msr = fct,eff
σ 6
sr
N = f A
sr
β 2 = 1.0 - za kratkotrajno opterećenje
β 2 = 0.5 - za dugotrajno opterećenje
ct,eff
c
2
moment pojave prve pukotina
(za elemente izložene čistom savijanju)
normalna sila pri pojavi prve pukotine
(za elemente izložene čistom vlaku)
k 2
ε 2
ε 1
- koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj
raspodjele deformacija
A
ρr
=
A
k 2
=0.5 savijanje niskog presjeka
k 2
=1.0 centrični vlak
k 2
= (ε 1
+ε 2
)/2ε 2
s1
c,eff
površina glavne vlačne armatura
efektivna vlačna površina presjeka
d 1
h
d
b
2,5(h-d)
težište
armature
EUROCODE-2 – Proračun prema normi (XII 2004.)
Prema normi karakteristična širina pukotina može se prognozirati prema izrazu:
w
=
k s r,max
( ε − ε )
gdje je:
s r,max
- maksimalni razmak pukotina
ε sm
- srednja deformacija armature pod relevantnom kombinacijom
opterećenja, s uključenim efektom od prinudnih deformacija.
ε sm
- srednja deformacija betona između pukotina
Vrijednost (ε sm
-ε cm
) može se proračunati iz
( ε − ε )
sm
cm
σs
− k
=
f
⋅
ct,eff
t
ρp,eff
Es
sm
cm
( 1+ α ⋅ρ )
e
p,eff
σ
≥ 0.6⋅
E
s
s
Vrijednost (ε sm
-ε cm
) može se proračunati iz
( ε − ε )
sm
cm
σs
− k
=
f
ct,eff
t
ρp,eff
Es
( 1+ α ⋅ρ )
e
p,eff
σ
≥ 0.6⋅
E
gdje je:
σ s
- naprezanje vlačne armature u potpuno raspucalom betonskom
presjeku,
α e
- odnos modula elastičnosti čelika i betona (E s
/E c
),
ρ p,eff
- efektivni koeficijent armiranja vlačne zone betona (A s
/A c,eff
),
k t
- faktor trajanja opterećenja:
k t
=0.6 - za kratkotrajno opterećenje
k t
=0.4 - za dugotrajno opterećenje
s
s
5

Maksimalni razmak pukotina (s r,max
) može se proračunati iz
s
rm
= k c + k k k
3
1 2 4
( mm)
gdje je:
φ - promjer šipke. Ako presjek ima više šipki različitih promjera, tada se
koristi zamjenjujući promjer. Za presjek koji ima npr. n 1
šipaka
promjera φ 1
i n 2
šipaka promjera φ 2
, zamjenjujući promjer se može
odrediti prema izrazu:
2 2
n1φ1
+ n2φ2
φ =
n φ + n φ
1 1
φ
ρ
c - zaštitni sloj betona za uzdužne šipke
k 1
- faktor prionjivosti šipaka i betona:
k 1
=0.8 - za šipke s dobrom prionjivošću (rebrasta armatura)
k 1
=1.6 - za šipke glatke površine (užad za prednaprezanje)
k 2
- faktor razdiobe deformacija po presjeku:
k 2
=0.5 - za savijanje
k 2
=1.0 - za čisti vlak
k 3
- =3.4 (NAD)
k 4
- =0.425 (NAD)
2
2
p,eff
Postupak prema Gergely-Lutzu (ACI)
Na osnovi velikog broja eksperimenata, Gergely i Lutz su predložili izraz za
prognoziranje širine pukotina elemenata armiranih rebrastom armaturom.
Maksimalna širina pukotina (koja je analogna karakterističnoj širini pukotina kod
EC-2) određuje prema izrazima :
3 −6
• za centrični vlak wmax
= 14.5⋅σs
Ad′
⋅10
(mm)
h2
3 −6
• za savijanje wmax
= 11⋅
σs
Ad′
⋅10
(mm)
h1
Gdje je:
σ N.O.
s
- naprezanja u arm. na mjestu pukotine (N/mm 2 )
A - sudjelujuća vlačna površina presjeka
A=2bc/n s
(mm2) – savijanje (vidjeti Crtež )
A=2d′s (mm2) – čisti vlak
n s - broj šipki armature u vlačnoj zoni
s - razmak šipki armature (mm)
d′ - udaljenost težišta prvog reda šipki od vlačnog ruba (mm)
h 1 - udaljenost neutralne osi do vlačnog ruba (mm)
h 2 - udaljenost neutralne osi do težišta vlačne armature (mm)
h
x
h 2
d'
b
c c
h 1
Kada se element armira
glatkim čelikom, širinu
pukotina treba povećati
približno za 20%.
PRORAČUN PREMA DIN 1045-1
Prema DIN propisima iz 1998. god, karakteristična širina pukotina w k
određuje se
prema:
w = ε − ε
Odnosno:
s max
ε sm
ε cm
α e
k s max
f
( )
sm
cm
( 1+ α ⋅ ρ )
ct,eff
σs
− 0.4
e eff p
eff ρp
σs
wk
= smax
≥ smax
0.6
Es
Es
- maksimalni razmak između dviju uzastopnih pukotina
- srednja deformacija vlačne armature
- srednja deformacija vlačnog ruba betona
- odnos modula elastičnosti armature E s i srednje vrijednosti modula
elastičnosti E cm betona u vlaku (α e =E s / E cm )
f ct,eff - efektivna vlačna čvrstoća betona (može se uzeti srednja vlačna čvrstoća betona f ct )
σ s - naprezanje armature na mjestu pukotine
effρp - efektivni koeficijent armiranja, koji se određuje prema:
eff
2
1
A s + ξ A
ρp
=
A
c,eff
p
A s
A p
A c,eff
ξ 1
Maksimalni razmak pukotina s max određuje se prema:
- površina vlačne armature
- površina prednapete armature
- sudjelujuća vlačna površina presjeka (kao kod EC-2)
- koeficijent
s
max
ds
=
3.6 ρ
eff
p
σ d
≤
3.6 f
s s
ct,eff
PRIMJER
Potrebno je izračunati širinu pukotina armirane betonske grede pravokutnog
poprečnog presjeka, opterećene momentom savijanja. Geometrija presjeka, podaci
o armaturi, svojstva materijala, opterećenje i ostali podaci vidljivi su na crtežu.
h=55 cm
d=50 cm
d =5
d =5
2
A =2Ø16
s2
M sd=85.00 kNm
A =4Ø16
s1
1b=30 cm
A s1
= 8.04 cm 2 4 φ 16
A s2
= 4.02 cm 2 2 φ 16
B 500B
E s
= 205000.0 N/mm 2
C 25/30
E c
= 30500.0 N/mm 2
n = E s
/ E c
= 6.7
M = 85.0 kNm
6

(i) Proračun prema EUROCODE-2 - Prednorma
Za beton zadane klase, tlačna čvrstoća iznosi f ck = 25 N/mm 2 , a vlačna čvrstoća f ct = 2.6 N/mm 2 .
Položaj neutralne osi:
Six
= 0
2
x
b + [ nA s2( x − d2
)] −[ nA s1( d − x)
] = 0 ⇒ x = 11.3 cm
2
x 11.3
z = d − = 50 − = 46.2 cm
3 3
M 8500
2
σs
= = = 22.9 kN/cm
A s1z
8.04⋅
46.2
2
2
fctbh
0.26⋅30⋅55
Msr
= =
= 3932.5 kNcm
6 6
Msr
3932.5
2
σsr
= = = 10.6 kN/cm
A z 8.04⋅46.2
s1
β1
= 1.0; β2
= 0.5
2
2
σ ⎡
s
⎛ σsr
⎞ ⎤ 22.9 ⎡ ⎛ 10.6 ⎞ ⎤
εsm
= ⎢1−β1β
⎥
2 = ⎢1−
1⋅0.5⎜
⎟ ⎥ = 0.001
Es
⎢
⎜
⎟
s ⎥ 20500 22.9
⎣ ⎝ σ ⎠ ⎦ ⎢⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦
2
A c,eff = 2.5⋅b
( h−
d) = 2.5⋅30⋅( 55 − 50)
= 375 cm
A s1 8.04
ρr
= = = 0.021
A c,eff 375.0
k1
= 0.8; k2
= 0.5
φ
16
srm
= 50 + 0.25⋅k1
k2
= 50 + 0.25⋅0.8⋅0.5
= 126 mm
ρ
0.021
r
h=55 cm
d=50 cm
d =5
d 2 =5
A s2=2Ø16
M sd=85.00 kNm
A s1=4Ø16
1b=30 cm
Naprezanje vlačne armature
Naprezanje pojave prve
pukotine:
Srednja deformacija
vlačne armature:
x=12.4
Srednji razmak pukotina:
Srednja širina pukotina:
Karakteristična širina pukotina:
(iii) Proračun prema Gergely-Lutz
h=55 cm
d=50 cm
d =c=5
d 2 =5
A s2=2Ø16
M sd=85.00 kNm
A s1=4Ø16
1b=30 cm
wm = εsmssm
= 0.001⋅126
= 0.13 mm
x=11.3
h 1 =38.7
h 2 =43.7
wk = 1.7 wm
= 1.7⋅0.13
= 0.21mm
h 1 =38.7 cm
h 2 =43.7 cm
d’=5.0 cm
c=5.0 cm
σ s =23.0 kN/cm 2 =230 N/mm 2
2bc 2⋅30⋅5
2
2
A = = = 75 cm = 7500mm
ns
4
Maksimalna (karakteristična) širina pukotina:
h2
3
−6
437 3
−6
wmax = 11 σs
A ⋅d′
⋅10
= 11⋅
⋅230⋅
7500⋅50
⋅10
= 0.21mm
h
387
1
(iii) Proračun prema DIN 1045-1
M 8500
2
σs
= = = 23.0 kN/cm
A z 8.04⋅45.9
c,eff
s1
A
effρ
=
A
2
( h − d) = 2.5⋅30⋅( 55 − 50) 375 cm
A = 2.5⋅b
=
w
s
ds
=
3.6 effρ
8.04
=
375
s
p =
c,eff
1.6
σsd
= = 21.2 cm <
3.6⋅0.021
3.6 f
0.021
22.9⋅1.6
=
3.6 ⋅0.26
s
max =
p
ct,eff
f
( 1+ αe
⋅effρp
) 0.26
22.9 − 0.4 ( 1+
6.7⋅0.021)
39.3 cm
ct,eff
σs
− 0.4
effρp
0.021
−3
k = smax
= 21.2⋅
= 1.79⋅10
Es
20500
w = 0.0179 cm ≥ s
k
w = 0.18 mm
k
max
σs
22.9
0.6 = 21.2⋅0.6
= 0.014 cm
E
20500
s
(iv) Proračun prema EUROCODE-2 (NORMA)
x = 11.3 cm
x 11.3
z = d − = 50 − = 46.2 cm
3 3
M 8500
2
σs
= = = 22.9 kN/cm
A s1z
8.04⋅46.2
2
2
fct,eff
= fctm
= 2.6 N/mm = 0.26 kN/cm
Es
205
αe
= = = 6.72
Ec
30.5
A c,eff = 2.5⋅b
( h−
d) = 2.5⋅30⋅( 55 − 50)
= 375 cm
A s 8.04
ρp,eff
= = = 0.021
A 375
k1
= 0.4 ( dugotrajno opt. )
fct,eff
σ ( ) 0.26
s − k1
1+ αe
⋅ρp,eff
ρ
22.9 − 0.4 ( 1+
6.72⋅0.021)
p,eff
( ε )
0.021
sm − εcm
=
=
Es
20500
σs
22.9
−4
( ε − ε ) > 0.6 = 0.6 = 6.702⋅10
sm
Es
φ
srm
= k3c
+ k1k
2k4
ρ
w = s
k
cm
max
c,eff
20500
= 3.4⋅
42 + 0.8⋅0.5⋅0.425
−4
( ε − ε ) = 272.3⋅8.414⋅10
= 0.230 mm
sm
cm
p,eff
2
φ
ρ
p,eff
h=55 cm
d=50 cm
d =c=5
d 2 =5
1b=30 cm
= 8.414⋅10
−4
16
= 142.8 + 0.17 = 272.3 mm
0.021
A s2=2Ø16
M sd=85.00 kNm
A s1=4Ø16
x=11.3
h 1 =38.7
h 2 =43.7
4.2
7

(v) Usporedba rezultata
EUROCODE –2
(Prednorma)
EUROCODE –2
(Norma)
Gergely-Lutz, ACI
DIN 1045-1
Karakteristična
širina pukotina
(mm)
0.21
0.23
0.21*
0.18
Srednji
razmak
pukotina
(mm)
126
* maksimalna širina pukotina
-
-
-
Maksimalni
razmak
pukotina
(mm)
Iz tablice je vidljivo da svi razmatrani postupci daju podjednake širine pukotina, pri
čemu postupak prema usvojenoj normi daje najveću prognoznu širinu pukotina.
-
272
-
212
NUMERIČKI MODEL ZA PRORAČUN
ŠIRINA PUKOTINA
σ
Za adekvatno modeliranje širina
pukotina betonskih elemenata, od
iznimnog je značaja poznavanje
ponašanja betona u vlaku.
Karakteristična veza između jednoosnog
vlačnog naprezanja σ i jednoosne
deformacije betona ε u vlaku prikazana
je na crtežu.
σ
Ona je gotovo linearna sve do dosezanja
vlačne čvrstoće betona f ct
, nakon čega se
javlja tzv. omekšanje materijala. Početni
modul elastičnosti betona u vlaku E ct
nešto je
manji od onoga u tlaku E c
. Pokusi su
pokazali da vlačna čvrstoća betona značajno
ovisi o veličini uzorka, te da oblik veze σ−ε
nakon dosezanja maksimalne vlačne
čvrstoće izrazito ovisi o tzv. lokalizaciji
deformacija.
σ
U zoni pucanja betona (Crtež), s porastom vlačnog
naprezanja dolazi do razvoja vrlo sitnih mikropukotina.
Dosezanjem vlačne čvrstoće, mikropukotine se šire i
množe, što uzrokuje opadanje naprezanja i povećanje
deformacija. Dosezanjem granične deformacije ε u
,
mikropukotine se ujedinjuju u jednu dominantnu glavnu
(makro) pukotinu. Izvan ravnine glavne pukotine, koja je
približno okomita na pravac glavnog vlačnog naprezanja,
uslijed rasterećenja materijala dolazi do stabiliziranja i čak
do zatvaranja lokalnih mikropukotina.
U slučaju armiranog betona, armatura koja prolazi kroz ravninu pukotine utječe na
njen razvoj i širinu. Mehanizam razvoja pukotina i ponašanje raspucalog betona
između pukotina vrlo je složen. Zbog razlike u naprezanju unutar armaturne šipke i
okolnog beton, dolazi do relativnog pomaka (proklizavanja) između betona i
armature. Veličina proklizavanja ovisi o velikom broju faktora (razini naprezanja,
kvaliteti betona, kvaliteti i vrsti armature, promjeru i razmaku šipki i sl.) i teško ju je
odrediti. Osim pojave primarnih globalnih pukotina vidljivih na licu betona, dolazi do
razvoja sekundarnih pukotina u betonu na spoju s armaturom (osobito u zonama
orebrenja šipke). Dakle, očito je da u ispucanoj vlačnoj zoni armiranog betona
nema više kompatibilnosti pomaka armature i okolnog betona. Relativna pomicanja
između betona i armature očito su najveća u zoni pukotina, a najmanja po sredini
razmaka pukotina.
Dakle, beton oko armaturnih šipki ne može u potpunosti pratiti globalne uzdužne
vlačne deformacije armature pod prirastom opterećenja, već dolazi do relativnog
pomaka između beton i armature. On je najveći na mjestu otvaranja pukotine.
Relativni pomak (deformacija) betona u odnosu na armaturu smanjuje njegovu
globalnu vlačnu deformaciju od vanjskog opterećenja, što ima za posljedicu
mogućnost njegovog daljnjeg vlačnog nošenja između pukotina. Sveukupna
najveća nosivost betona, ali i najveća vlačna deformacija, je u sredini razmaka
pukotina. S porastom vanjskog opterećenja, kada dođe do prekoračenja
maksimalne vlačne deformacije betona, dolazi do otvaranja novih pukotina približno
u sredini razmaka prethodno otvorenih pukotina.
Mehanizam pojave i razvoja pukotina u betonu (nearmiranom i armiranom) veoma
je složen i još uvijek nedovoljno fizikalno razjašnjen, pa i nije iznenađujuće da su
postojeći modeli proračuna širina pukotina još uvijek znatno pojednostavljeni.
F
F
8

Kvalitativna razdioba naprezanja i
deformacija između dviju
uzastopnih pukotina nekog
armiranobetonskog elementa
izloženog savijanju prikazana je
na Crtežu.
Na mjestu ravnine pukotine
maksimalne su vrijednosti
naprezanja i deformacija
armature, te deformacija vlačnog
ruba presjeka, dok je krutost
presjeka minimalna. Minimalna
naprezanja i deformacije vlačne
armature, te minimalne
deformacije vlačnog ruba
presjeka, približno su u polovini
razmaka pukotina. Na tom je
mjestu ujedno i najveće vlačno
rubno naprezanje betona i
ukupna krutost presjeka, a
položaj neutralne osi se spušta u
odnosu na onaj na mjestu
ravnine pukotine.
w p
i
2
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
i
τ p,m
x
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
τ p,max
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
∆(x)
i
s/2 p
A s
i
Dijagram relativnih pomaka
betona u odnosu na vlačnu
armaturu između pukotina,
odnosno tzv. proklizavanje
armature, također je vidljivo s
crteža. Očito je da između
pukotina nema kompatibilnosti
pomaka šipke armature i okolnog
betona. Oblici svih dijagrama su
kvalitativni i ovise o nizu
parametara.
Srednja vrijednost vlačnog
napona u promatranoj šipci
armature između pukotina
aproksimirana je izrazom:
i
i
3 i i
σs,m
= σs,max
− ( σs,max
− σs,min)
8
gdje σ s,max
označava naprezanje
armature u ravnini pukotine, σ s,min
naprezanje armature u sredini
razmaka pukotine, a i promatranu
šipku.
w p
i
2
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
i
τ p,m
x
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
τ p,max
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
∆(x)
i
s/2 p
A s
i
Srednja deformacija vlačnog ruba
presjeka između pukotina ε ct,m
aproksimirana je na isti način, tj.
s pomoću:
ε
ct,m
= ε
ct,max
3
− ( ε
8
ct,max
− ε
ct,min
gdje ε ct,max
označava rubnu
deformaciju betona u ravnini
pukotine, ε ct,min
rubnu deformaciju
betona u sredini razmaka
pukotina.
Analogno tome, prosječna krutost
presjeka na savijanje (EI) m
aproksimirana je s pomoću:
5
( EI) m = (EI) max − max min
8
[(EI)
− (EI) )]
gdje (EI) min
označava tangentnu
(tekuću) krutost presjeka na
mjestu pukotine, a (EI) max
tangentnu krutost presjeka u
sredini razmaka pukotina.
)
w p
i
2
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
i
τ p,m
x
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
τ p,max
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
∆(x)
i
s/2 p
A s
i
Proklizavanje ∆ pojedine šipke
armature između pukotina u
odnosu na okolni beton
aproksimirano je izrazom:
i
wp
2
∆ = 2 x
i 2
(s )
gdje w p
označava širinu pukotine
na mjestu promatrane šipke
armature. Proklizavanje šipke na
mjestu pukotine upravo iznosi
polovicu širine pukotine na tom
mjestu, tj.:
w i p
∆
(x =
i =
sp
2)
2
Budući da je približno:
i
i
εs,max
w p = wp
εct,max
izraz se može napisati u obliku:
∆ = 2
ε
ε
p
i
s,max
ct,max
(s
w
p
i 2
p )
x
2
w p
i
2
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
i
τ p,m
x
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
τ p,max
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
∆(x)
i
s/2 p
A s
i
9

PRORAČUN RAZMAKA
PUKOTINA
Razlika vlačnog naprezanja
pojedine šipke armature na mjestu
ravnine pukotine i u sredini
razmaka susjednih pukotina, kao
što je već navedeno, prenosi se na
okolni beton preko napona
prianjanja, tj. vrijedi:
i
s
∆σ A
pri čemu je:
i
s
=
∆σ
i
sp
/ 2
i i
∫ p
0
i i
s
= σs,max
τ φ πdx
− σ
i
s,min
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
s/2 p
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
A s
i
Naponi prianjanja betona i armature
ovise o brojnim faktorima, a posebno o
kvaliteti betona, vrsti armature, profilu i
razmaku šipki, uvjetima prionjivosti i sl.
Veza između proklizavanja armature ∆ i
napona prianjanja τ p
kvalitativno je
prikazana na crtežu. U numeričkim
analizama korištene su različite
računske veze τ p
−∆.
Stvarna
veza τ p
-∆
Ovdje su korištena tri računska oblika veze τ p
-∆ (Crtež), na temelju kojih su
izvedena tri modela proračuna razmaka širina pukotina.
U gornjim izrazima ∆σ si
označava
razliku naprezanja promatrane
šipke armature između ta dva
presjeka, A si
površinu šipke, φ i
promjer šipke, s pi
teorijski minimalni
razmak na kojemu se vrši prijenos
sile sa šipke na beton i τ p
napon
prianjanja.
w p
i
2
i
τ p,m
x
(EI) max
(EI) min (EI)m
i
τ p,max
∆(x)
Model a
Model b
Model c
PRORAČUN ŠIRINE PUKOTINA
PRORAČUN ŠIRINE PUKOTINA
Širina promatrane pukotine w p
približno iznosi
p
ct,m
cp
pri čemu je:
ε
p
w = ( ε
w = 0
- ε
)s
cp
p
za
za
fct
=
E
ct,m
ct,m
> ε
U gornjim izrazima ε cp
označava
računsku deformaciju betona kod
pojave pukotina i f ct
računsku
vlačnu čvrstoću betona. Budući da
s p
predstavlja teorijski minimalni
razmak pukotina, to w p
označava
minimalnu širinu pukotine.
c
ε
ε
≤ ε
cp
cp
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
s/2 p
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
A s
i
Budući da maksimalni mogući
razmak pukotina iznosi približno
2s p
, to prosječni razmak pukotina
s rm
i prosječna širina pukotina w m
iznose približno:
srm
= 1.5⋅sp
wm
= 1.5⋅
wp
Za tzv. karakterističnu širinu
pukotina w k
usvaja se vrijednost
koja je 70% veća od w m
, tj.
w = 1.7⋅
k w m
i
w p
w p
A s
i
i
s/2 p
s p
i
i
σ s,min
∆σ s
i
σ ct,max
ε ct,min
i
s/2 p
i
i
σ
σ s,m
s,max
ε ct,max
ε ct,m
(EI) max
(EI) min (EI)m
A s
i
i
τ p,m
i
τ p,max
i
τ p,m
i
τ p,max
x
x
w p
i
2
∆(x)
w p
i
2
∆(x)
10

U ovom je modelu
veza τ p
-∆ definirana
s:
i i
τp
= τr
Razmak i širina
pukotina se dobivaju
iz izraza:
n i
1 ∆σs
i
sp
= ∑ φ
i
2n i=
1 τr
w = ( ε - ε ) ⋅s
p
ct,m
cp
čvrstoća prianjanja:
τr
= ( 0,36 fck
)/
γ c − GA
τ = 2,25f / γ −
r
( ) RA
ctk;0,05
Model a
c
p
U ovom je modelu
veza τ p
-∆ definirana s:
i
p
τ = K ∆
Razmak i širina
pukotina se dobivaju
iz izraza:
3εct,max
wp
= ( εct,m
− εcp
)
n
ε n i i
3 ct,max ∆σ sφ
sp
= ∑ i i
nwp
i=
1 K ε s,max
Model b
i
n i i
∆σsφ
∑ i i
i=
1 K ε
s,max
Veza τ pi
- ∆ u ovom modelu je
uzeta oblika
i
p
i
p
τ = K ∆
τ
= τ
Razmak i širina pukotina se
dobivaju iz izraza:
1
sp
=
4n
n
i
0
∑
i=
1
( ε − ε )
ct,m
za 0 < ∆ < ∆
za
cp
i 3 2 wp
i i
i i
( α ) K εs,max
+ ( β −α )
3 ε
∆
s − w = 0
ct,max
0
p
i i
∆σ φ
Model c
s
p
0
< ∆ < ∆
1
i
τ
0
ISPITIVANJA ŠIRINA PUKOTINA NEKIH BETONSKIH
ELEMENATA
Ispitivani su klasično armirani prizmatični betonski elementi, opterećeni na čisto
savijanje i centrični vlak. Kod toga je zadržana jednaka geometrija elemenata i
kvaliteta betona, a varirana je vrsta armature (rebrasta RA 400/500; glatka GA
500/560), promjer šipki (Ø8, Ø10, Ø12) i razina naprezanja elementa (od
uporabnih do sloma). Treba napomenuti da se u praksi GA 500/560 koristi
samo kod armaturnih mreža (sa zavarenom uzdužnom i poprečnom
armaturom), a ne kao samostalne pojedinačne šipke (što je ovdje uzeto radi
ilustracije velike razlike u širini pukotina elemenata armiranih rebrastom i
glatkom armaturom).
Da bi dobiveni rezultati bili što vjerodostojniji, svako je ispitivanje provedeno na tri
identična uzorka. Kao mjerodavna vrijednost, uzeta je aritmetička sredina
dobivenih rezultata. Mjerene su vrijednosti širina i razmaka (položaja) pukotina
pri niskim uporabnim naprezanjima pa do sloma. Kod toga su prikazane
maksimalne širine pukotina za pojedinu razinu opterećenja (naprezanja).
Mjerene su širine samo vidljivih pukotina. Mjerenja su obavljena s pomoću optičkog
mikroskopa.
Korišten je beton s najvećim zrnom agregata Ø16 mm. Starost betona u vrijeme
ispitivanja iznosila je 90 dana.
Eksperiment
ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA
UZDUŽNU SILU
Osnovna svojstva ispitanih uzoraka vidljiva su na crtežu.
F
70 cm
F
φ s
7 cm
7 cm
f
c=20.5 MPa
f
ct=1.8 MPa
Promjer šipke
armature φ s
(mm)
Rebrasta armatura
RA 400/500
8
10
12
Glatka armatura
GA 500/560
8
10
12
Elementi duljine 70 cm i dimenzija poprečnog presjeka 7/7 cm ispitani su na
centrični vlak. Armirani su jednom šipkom u težištu presjeka. Varirana je vrsta
armature (RA 400/500 i GA 500/560) i njen promjer (Ø s
=8 mm, Ø s
=10 mm,
Ø s
=12 mm).
Tlačna čvrstoća betona određena je na valjku promjera 15 cm i visine 30 cm.
11

ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA
UZDUŽNU SILU
F
F
φ s
7 cm
70 cm
7 cm
Vlačna čvrstoća f ct
=1.8 MPa određena je na uzorcima opterećenim na centrični vlak
(zato što je i gredica opterećena na centrični vlak), sukladno važećim propisima.
Element je rastezan hidrauličkom prešom preko istaka armature na čeonim
plohama. Kako položaj šipaka nije idealno u težištu presjeka, te zbog
vjerojatnog ekscentričnog uklinjenja istaka u čeljust preše, prisutna su
dopunska naprezanja elementa od savijanja. Ona su približno obuhvaćena tako
da su širine pukotina mjerene na sve četiri bočne plohe elementa, a kao
mjerodavna vrijednost uzeta je aritmetička sredina izmjerenih rezultata.
U nastavku su prikazani neki dobiveni rezultati odvojeno za rebrastu armaturu (RA
400/500), te odvojeno za glatku armaturu (GA 500/560).
Razvoj (položaj) pukotina
F
F
Razmak pukotina
φ s
=12mm - RA 400/500 φ s
=12mm - GA 500/560
12

(RA 400/500) -φ 8
(RA 400/500) -φ 10
ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE
(RA 400/500) -φ 12
Osnovna svojstva ispitanih uzoraka vidljiva
su na crtežima.
F
2 8 2
φ4.2 φ4.2
φ s φ s
12 cm
f cc=22.5 MPa
f
ct,b
=2.8 MPa
5
7 cm
7.5
85 cm
7.5
Promjer šipke
armature φ s
(mm)
100 cm
Rebrasta armatura
RA 400/500
8
10
12
Glatka armatura
GA 500/560
8
10
12
Gredice duljine 100 cm i dimenzija poprečnog presjeka 7/12 cm ispitane su na
savijanje opterećivanjem koncentriranom silom u polovini raspona. U tlačnoj
zoni gredice su armirane s 2Ø4.2 (GA 500/560), a u vlačnoj zoni s dvije šipke
promjera Ø s
. Varirana je vrsta armature vlačnih šipki (RA 400/500 i GA
500/560) i njihov promjer (Ø s
=8 mm, Ø s
=10 mm, Ø s
=12 mm). Treba primijetiti
da je element relativno kratak (L/h≈7.1), te da je prisutna konstantna poprečna
sila na njegovoj čitavoj duljini (kod praktičnih kontinuiranih nosača, maksimalni
momenti savijanja su praćeni s maksimalnim poprečnim silama).
13

ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE
F
7.5
5
85 cm
7.5
2 8 2
φ4.2 φ4.2
φ s φ s
12 cm
f cc=22.5 MPa
f ct,b=2.8 MPa
100 cm
7 cm
Vlačna čvrstoća f ct
=1.8 MPa određena je na uzorcima opterećenim na na savijanje
(zato što je i gredica opterećena na savijanje), sukladno važećim propisima.
Gredica je slobodno oslonjena na dva valjkasta ležaja promjera 40 mm, s
rasponom 85 cm. Opterećenje se nanosi postupno u polovini raspona, preko
tvrdog podmetača širine 50 mm. Za svaki prirast (inkrement) opterećenja mjeri
se položaj i širina pukotina.
U nastavku su prikazani neki dobiveni rezultati odvojeno za rebrastu armaturu (RA
400/500), te odvojeno za glatku armaturu (GA 500/560).
Razvoj (položaj) pukotina
F
Razmak pukotina
φ s
=12mm - RA 400/500 φ s
=12mm - GA 500/560
14

(RA 400/500) -φ 8 (RA 400/500) -φ 10
(RA 400/500) -φ 12
15

τ*
τ*
τ*
y*
b
IDEJA…
UTJECAJ OBRADE POVRŠINE
NA NOSIVOST I DUKTILNOST
SPREGNUTIH OMNIA PLOČA
Nijedna konstrukcija ne nastaje odjednom, posebno to vrijedi za betonske konstrukcije.
A kad govorimo o montažnim betonskim konstrukcijama, tada ta tvrdnja dobiva i
dodatni značaj.
Kako se novi beton veže za stari i koliko taj spoj možemo smatrati “čvrstim”, a koliko je
on popustljiv
Osnovni cilj je bio analizirati više slučajeva očvršćivanja novog betona na starom. Za
primjer su uzete omnia ploče, kao element koji je često prisutan u standardnoj
inženjerskoj praksi.
Posebna pažnja posvećena je obradi plohe spoja.
Model betona
Stresses
y
Model armature
σ y
τ xy
τ xy
Crushing
pukotine
εµ
tlak-vlak
f
ct
f
cd
vlak-vlak
Compression
σ
2
f
ct
Load -
Unload
Usvojeni uvjet
popuštanja
tečenje
pukotine
E0
ft
Os simetrije
σ1=
σ2
fc'
Cracking
0.3 fc'
Kupfer-ov uvjet
popuštanja
Von Mises-ov uvjet
popuštanja
vlak-tlak
tlak-tlak
f
cd σ
1
Tension
Strains
Tension Stiffening Model
Work-Hardening Model
Perfect Plastic Model
te č enje
Nema pukotina
Otvorena prva
pukotina
Prva pukotina
zatvorena
α p
σ 2 σ 2
σ 1 x*
σ x
σ 1 α cr
α
τ cr σ x
xy E = 0
σ 1 σ 1
σ 2
σ 2
x
τ xy
σ y
(a) predpukotinsko stanje
σ x
*
τ *
σ n
*
α cr
xy
τ *
(c) naprezanje nakon pojave pukotine
(b) pojava pukotine
Otvorena druga
pukotina
y,v
± σ s
σ sy
y',v'
P( ζ,η)
x,u
E s
x',u'
η
H ′
σ sy E s
Razvijeni model uključuje najvažnije nelinearne efekte ponašanja armiranobetonskih konstrukcija i
materijala, kao što su: tečenje (puzanje) u tlaku, otvaranje, razvoj i zatvaranje pukotina u vlaku, vlačno i
posmično omekšanje raspucalog betona, kao i nelinearno ponašanje armaturnog čelika.
σ t
*
σ y
*
τ * xy
σ y
*
τ * xy
σ t
*
σ n
*
τ * xy
σ x
*
Obje pukotine
zatvorene
Obje pukotine
otvorene
ζ
E s
η=η c
ε su
± ε s
Modeliranje spregnutog spoja:
Kontaktni (Interface) elementi:
w
y,v
4
w
1
Base element
η
5
2
4
1
ξ=−1
y',v' 6
x',u'
3
η
5
2
2D interface element
ξ
6
3
ξ=+1
ξ
x,u
τo
τs
Go
(i) location
γ o
(i) shear in contact surface
j
i
Štapni elementi (moždanici)
base element
composite surface
base element
G'
γ so
failure
γ s
εt
failure
E't
i
Fyi , vi
θ F xi , ui
εo,t
Et
compression
σn,v
ασn,v
σn
σyc
Ev
εo,v
E' v
tension
(ii) axial stress perpendicular to contact surface
L
(ii) plane 2-noded beam element
y
x
j
Fy j , vj
Fxj ,uj
εv
failure
εn

Numerički primjer
f ck = f ct = 34.5 MPa
30 30
Zadana je prosta greda dimenzija i opterećenja kao na slici, te sa zadanim karakteristikama materijala
u tablici. Ovu gredu ćemo izračunati za elastično stanje, za nelinearno stanje s nekoliko različitih
zadanih parametara, te na kraju kao spregnutu gredu od dvije grede.
15
41 42 43 44
45 46
34
35
36
37
38
39
7 8 9 10 11 12
21 22 23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
14 15
16
1 2 3
1 2 3 4
5 6
P
47 48
49 50
51 52
17
18
19
4 5 6
7 8
9 10
11 12
53
40
33
20
13
0.5669 cm
f = 0.00556 m
100 100 100 100 100 100
600
Neka analitička rješenja:
Karakteristika Vrijednost Opis
Ec 30.0 GPa Modul elastičnosti
P = 100.0 kN
ν 0.15 Poissonov koeficijent
P ⋅ l 100.0 ⋅ 6.0
M = = = 150.0 kNm
W 0.009 m 3 Moment otpora
4 4
I 0.0027 m 4 Moment inercije
M 150.0
2
σg,d
= = = 16666.7 kN m
W 0.009
3
3
P ⋅ l 100.0 ⋅ 6.0
f = =
= 0.00556 m
48⋅
E ⋅ I 48⋅30000000
⋅ 0.0027
σ
g,d
= 16666 .7 kN
m
2
16 450.41
-16 450.41
Tlak
Vlak
-16450.4126
-14100.3536
-11750.2947
-9400.2358
-7050.1768
-4700.1179
-2350.0589
0.0000
2350.0589
4700.1179
7050.1768
9400.2358
11750.2947
14100.3536
16450.4126
σ xx
f ck = 34.5 MPa ; f ct = 0.0 MPa
Spregnuta greda sastoji se od dvije jednake grede. Za osnovni materijal usvojit ćemo linearno
elastično ponašanje, a parametre ponašanja kontaktnih elemenata ćemo varirati.
15
P
3 fi 20
1.0840 cm 1.0840 cm
29.95 29.95
0.1
54 55 56 57
58 59
60 61
62 63
64 65
66
47
48
49
50
51
52
53
13 14 15 16 17 18
34 35 36 37
38 39
40 41
42 43
44 45
46
7 8 9 10 11 12
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
14 15
16
17
18
19
20
1 2 3
4 5 6
13
1 2 3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
100 100 100 100 100 100
600
τs
σn
τo
G'
σn,v
E' v
slom
α
σn,v
vlak
slom
Tlak
Vlak
-23610.3506
-20237.4434
-16864.5361
-13491.6289
-10118.7217
-6745.8145
-3372.9072
0.0000
3372.9072
6745.8145
10118.7217
13491.6289
16864.5361
20237.4434
23610.3506
σ xx
Go
γ s
γ o
γ so
(i) posmik u ravnini sprezanja
slom
εt
E't
tlak
εo,t
Et
σyc
Ev
εo,v
(ii) normalno naprezanje okomito na plohu sprezanja
εv
εn

Potpuno sprezanje
Nespregnute grede
0.3513 cm
0.5957 cm
2.2962 cm
σ
g,d
= 16666 .7 kN
m
2
16 450.41
-16 971.11
Tlak
Vlak
-16971.1082
-14546.6641
-12122.2201
-9697.7761
-7273.3321
-4848.8880
-2424.4440
0.0000
2424.4440
4848.8880
7273.3321
9697.7761
12122.2201
14546.6641
16971.1082
σ xx
P = 100.0 kN ; M = 150.0 kNm
b ⋅
W = 2⋅
6
( )
2
h 2 0.15 ( 0.60 2 )
2
⋅
= 2⋅
3
3
( h 2) 0.15⋅
( 0.60 2)
= 0.0045 m
b ⋅
3
I = 2 ⋅ = 2 ⋅
= 0.000675 m
12
12
M 150.0
2
σg,d
= = = 33333.3 kN m
W 0.0045
3
3
P ⋅l
100.0 ⋅6.0
f = =
= 0.0222 m
48⋅
E ⋅ I 48⋅30000000
⋅ 0.000675
6
3
Tlak
Vlak
-31620.5998
-27103.3712
-22586.1427
-18068.9141
-13551.6856
-9034.4571
-4517.2285
0.0000
4517.2285
9034.4571
13551.6856
18068.9141
22586.1427
27103.3712
31620.5998
σ xx
Eksperimentalna ispitivanja
Eksperimentalna ispitivanja nosivosti i duktilnosti elemenata od omnia-ploča sprovedena
su u sklopu istraživanja provedenih u sklopu izrade magistarskog rada mr. Dragana Ćubele
s Građevinskog fakulteta Sveučilišta u Mostaru.
Praćeno je ponašanje spregnutih nosača pod monotono rastućim statičkim opterećenjem
sve do sloma. Opterećenje je nanošeno postupno u sredini raspona. Svi su elementi ispitani
za nosivi sustav slobodno položenog nosača. Mjereni su progibi u sredini raspona nosača.
Za svaki tip sprezanja i svaku vrstu sredstava za sprezanje izrađena su i ispitana po tri
jednaka uzorka. Kao mjerodavna, prikazana je srednja vrijednost izmjerenih podataka.
P
ČELIČNI I NOSAČ
10
65
v
130 cm
65
10
VALJKASTI LEŽAJ
PROMJERA 30 mm

4
uzdužni presjek
Q-196
C 25/30
poprecni presjek
Q-196
C 25/30
uzdužni presjek
Q-196 MOŽDANICI
C 25/30
NAULJENA ploha
poprecni presjek
MOŽDANICI
Q-196
C 25/30
10
4 6
Q-196
Q-196
Q-196
Q-196
150
100
150
100
(a) Ploca S1 - monolitna ploca
(d) Ploca S4 - Sprezanje moždanicima preko nauljene kontaktne plohe
uzdužni presjek
poprecni presjek
uzdužni presjek
poprecni presjek
NAULJENA ploha
OHRAPAVLJENA ploha
MOŽDANICI
Q-196
MOŽDANICI
C 25/30 Q-196 C 25/30
Q-196
C 25/30
Q-196
C 25/30
4 6
10
10 10
Q-196
Q-196
150
100
(b) Ploca S2 - ploca s nauljenom plohom sprezanja
Q-196
Q-196
150
100
(e) Ploca S5 - Sprezanje moždanicima preko ohrapavljene kontaktne plohe
uzdužni presjek
Q-196
C 25/30
Q-196
150
OHRAPAVLJENA ploha
4 6
poprecni presjek
Q-196 C 25/30
Q-196
100
(c) Ploca S3 - ploca s ohrapavljenom plohom sprezanja
10
uzdužni presjek
Q-196
Q-196
MOŽDANICI
150
C 25/30
SPECIJALNO OBRAĐENA
PLOHA
4 6
poprecni presjek
MOŽDANICI
Q-196
Q-196
100
C 25/30
(f) Ploca S6 - Sprezanje moždanicima preko specijalno obradene kontaktne plohe
10
35
30
P
25
ČELIČNI I NOSAČ
Sila P (kN)
20
15
Ploča S1 - Monolitna
10
65
v
65
10
VALJKASTI LEŽAJ
PROMJERA 30 mm
10
Ploča S2 - Nauljna površina
Ploča S3 - Ohrapavljena površina
Ploča S4 - Nauljena površina s moždanicima
130 cm
5
Ploča S5 - Ohrapavljena površina s moždanicima
Ploča S6 - Specijalno obrađena površina
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Pomak v (mm)
OPIS ISPITIVANIH PLOČA
Kako je navedeno, za svaki tip sprezanja i svaku vrstu sredstava za sprezanje izrađena su i
ispitana po tri jednaka uzorka. Kao mjerodavna, prikazana je srednja vrijednost izmjerenih
podataka.
Kao etalon poslužila je Ploča S1 – monolitna ploča.
Ploča S1 – Monolitna ploča
PločaS1 je klasična monolitna armiranobetonska ploča, izbetonirana u punoj visini od 10 cm.
Ploča S2 - nauljena ploha sprezanja
Prije betoniranja gornje ploče, gornja ploha donje ploče premazana je uljem. Uporabljen je
OPLATAN, ulje za premazivanje oplata. Ovim se željelo što više umanjiti efekt sprezanja
ploča.
uzdužni presjek
Q-196
Q-196
150
C 25/30
NAULJENA ploha
4 6
poprecni presjek
Q-196
Q-196
100
(b) Ploca S2 - ploca s nauljenom plohom sprezanja
C 25/30
10
uzdužni presjek
Q-196
C 25/30
10
poprecni presjek
Q-196
C 25/30
Ploča S3 - ohrapavljena ploha sprezanja
Gornja ploha donje ploče dobro je ohrapavljena da bi se ostvarila što bolja veza s gornjom
pločom druge faze.
Q-196
150
(a) Ploca S1 - monolitna ploca
Q-196
100
uzdužni presjek
Q-196
C 25/30
OHRAPAVLJENA ploha
4 6
poprecni presjek
Q-196
C 25/30
10
Q-196
150
Q-196
100
(c) Ploca S3 - ploca s ohrapavljenom plohom sprezanja

NAULJENA ploha
OPIS ISPITIVANIH PLOČA
Kod ploča S4, S5 i S6, uporabljeni su moždanici za sprezanje omnia ploča. Moždanici su
izrađeni od glatkog betonskog čelika promjera 5 mm, kvalitete 500/560. Ugrađeni su u donjim
pločama prve faze na uzdužnom osnom razmaku od 10 cm. Postavljena su dva reda moždanika u
poprečnom presjeku, na osnom razmaku od 50 cm.
3
Ploča S5 - Sprezanje moždanicima preko ohrapavljene plohe sprezanja
Sprezanje je također izvršeno s moždanicima, uz ohrapavljenje gornje plohe donje ploče
kao kod pločeS3.
uzdužni presjek
Q-196
MOŽDANICI
OHRAPAVLJENA ploha
C 25/30
4
poprecni presjek
MOŽDANICI
Q-196
C 25/30
10
Ploča S4 - sprezanje moždanicima preko nauljene kontaktne plohe
Kod ove ploče, sprezanje je izvršeno s moždanicima. Pri tome je gornja površina donje ploče
premazana uljem (OPLATAN).
uzdužni presjek
Q-196
Q-196
MOŽDANICI
150
C 25/30
4 6
poprecni presjek
MOŽDANICI
Q-196
(d) Ploca S4 - Sprezanje moždanicima preko nauljene kontaktne plohe
Q-196
100
C 25/30
10
8
7 7
8
Q-196
150
(e) Ploca S5 - Sprezanje moždanicima preko ohrapavljene kontaktne plohe
Ploča S6 - Sprezanje moždanicima preko specijalno obrađene kontaktne plohe
Ovdje je sprezanje moždanicima kombinirano s premazivanjem gornje plohe donje ploče
SN vezom. Uporabljena je jednokomponentna akrilatna veza NOVACRYL UV,
proizvođača NOVA-chem Karlovac.
uzdužni presjek
Q-196
Q-196
MOŽDANICI
150
C 25/30
SPECIJALNO OBRAĐENA
PLOHA
4 6
Q-196
Q-196
100
poprecni presjek
MOŽDANICI
Q-196
100
C 25/30
(f) Ploca S6 - Sprezanje moždanicima preko specijalno obradene kontaktne plohe
10

.
.
.
.
.
.
.
MATERIJAL
Kvaliteta betona obiju faza utvrđena je eksperimentalno na dan ispitivanja. Ispitana su sljedeća
svojstva betona: tlačna čvrstoća, vlačna čvrstoća i modul elastičnosti (vidjeti tablicu).
35
REZULTATI ISPITIVANJA PLOČA
Faza
betoniranja
Tlačna
čvrstoća
(MPa)
Vlačna
čvrstoća
(MPa)
Modul
elastičnosti
(GPa)
30
25
I faza (donja ploča) 32.4 2.41 30.5
II faza (gornja ploča) 31.5 2.40 30.0
Eksperimentalno je utvrđena i kvaliteta uporabljene mrežaste armature. Dobivena granica kidanja
armaturnog čelika je iznad nominirane vrijednosti i iznosila je 650 MPa.
Način oslanjanja i opterećenja ploča prikazan je na crtežu. Ploče su sustava slobodno položenog
nosača raspona 1.3 m. Oslonjene su na podlogu preko valjkastih čeličnih ležajeva promjera 30
mm. Prijenossilenaploču izvršen je preko krutog čeličnog I profila (radi ravnomjerne raspodjele
po širini ploče).
10
65
P
v
130 cm
ČELIČNI I NOSAČ
65
10
VALJKASTI LEŽAJ
PROMJERA 30 mm
Sila P (kN)
20
15
Ploča S1 - Monolitna
Ploča S2 - Nauljna površina
10
Ploča S3 - Ohrapavljena površina
Ploča S4 - Nauljena površina s moždanicima
5
Ploča S5 - Ohrapavljena površina s moždanicima
Ploča S6 - Specijalno obrađena površina
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Pomak v (mm)
NUMERIČKI MODEL
Prostorna diskretizacija nosača prikazana je na
crtežu (495 elemenata s 1516 čvorova).
Usvojena je jedinstvena diskretizacija sustava
za sve tipove ispitanih ploča (S1 do S6)
10
30x2.5=75cm (L/2)
65
a) uzdužna dispozicija
OSNOVNI ELEMENT
6
4
10
1.25
ARMATURA
1.58
1.58
KONTAKTNI ELEMENT (debljina w=1mm)
1.59
1.38
MOŽDANIK
1.37
1.25
b) detalj diskretizacije po visini ploče
os simetrije
Osnovni parametri za beton
Parametar
E b =30500 MPa
Opis
modul elastičnosti
f b,t =-32.4 MPa tlačna čvrstoća
f b,v =2.41MPa vlačna čvrstoća
ν b =0.17
ε cr =f b,v/E b =0.000079
ε b,v =0.0014
ε b,p =0.001
Poissonov koeficijent
deformacija kod pojave prve
pukotine
granična vlačna deformacija za
model vlačne krutosti
granična vlačna deformacija za
model posmične krutosti
ε b,t = -0.0035 lomna deformacija u tlaku
Osnovni parametri za čelik
Parametar
Opis
E a = 210000 MPa modul elastičnosti
f a,v =-f a,t =580 MPa računska čvrstoća
'
E a =0
modul ojačanja
ε a,v =-ε a,t =0.01 lomna deformacija
Usvojene karakteristike za moždanike
31.5
τ(MPa)
G=12800 MPa
0,0025
(i) shear
γ so =
γ
-0,01
-0,0024
500
σ (MPa)
-500
E=210000 MPa
0,0024 0,01
(ii) axial stresses
Usvojene karakteristike za kontaktne elemente
τo
τ(MPa)
G
γ = τ /
o
o G
(i) Shear
γ so =
γ
γ z
σ (MPa)
-0,0035 -0,00106
ε
E=30500 MPa γ z /E
-32,4
(ii) uniaxial (vertical) stress
ε
Sila P (kN)
Tip
ploče
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Pomak v (mm)
Ploča S1 - Monolitna
Ploča S2 - Nauljna površina
Ploča S3 - Ohrapavljena površina
Ploča S4 - Nauljena površina s moždanicima
Ploča S5 - Ohrapavljena površina s moždanicima
Ploča S6 - Specijalno obrađena površina
Način sprezanja τ o [Mpa] G [MPa] γ z [MPa]
S1 monolitna ploča 2.40 12800 2.40
S2
S3
S4
S5
S6
nauljena ploha
sprezanja
ohrapavljena ploha
sprezanja
nauljena ploha s
moždanicima
ohrap. ploha
s moždanicima
SN veza
s moždanicima
0.20 1150 0
0.60 2875 0.24
0.20 1150 0
0.60 2875 0.24
1.20 5750 1.20

35
30
30
25
sila P (kN)
25
20
15
10
5
0
Eksperiment
Numerika
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
pomak u sredini raspona (mm)
sila P (kN)
20
15
10
5
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
pomak u sredini raspona (mm)
Eksperiment
Numerika
sila P (kN)
35
30
25
20
15
10
5
Eksperiment
Numerika
sila P (kN)
35
30
25
20
15
10
5
Eksperiment
Numerika
25
a) Ploča S1 – Monolitna ploča
c) Ploča S3 – ohrapavljena ploha sprezanja
30
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
pomak u sredini raspona (mm)
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
pomak u sredini raspona (mm)
sila P (kN)
20
15
10
5
Eksperiment
Numerika
sila P (kN)
25
20
15
10
5
Eksperiment
Numerika
e) Ploča S5 –ohrapavljena ploha sprezanja
s moždanicima
f) Ploča S6 – SN veza s moždanicima
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
pomak u sredini raspona (mm)
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
pomak u sredini raspona (mm)
b) Ploča S2 – nauljena ploha sprezanja
d) Ploča S4 –nauljena ploha sprezanja s moždanicima
Monolitna ploča S1
scale factor = 25
190 MPa
120 MPa
Progibi monolitne ploče S1 neposredno pred slom (P=34.6 kN)
445 MPa
580 MPa
370 MPa
P=13.9 kN (first cracks occurrence)
Naprezanja u armaturi u monolitnoj ploči u trenutku neposredno pred slom
P=19.0 kN
P=24.0 kN
P=29.0 kN
P=34.6 kN (just before collapse)
Naprezanja u betonu (σ xx
) u monolitnoj ploči u trenutku neposredno pred slom
Propagacija pukotina u ploči

Ploča S3 – ohrapavljena ploha sprezanja
185 MPa
308 MPa 304 MPa
377 MPa
97 MPa
scale factor = 25
Naprezanja u armaturi u spregnutoj ploči u trenutku neposredno pred slom
Progibi pločeS3neposrednopredslom (P=23.9kN)
Pukotine u ploči u trenutku neposredno pred slom
Naprezanja u betonu (σ xx
) u spregnutoj ploči u trenutku neposredno pred slom
Ploča S6 – SN veza s moždanicima
237 MPa
388 MPa
580 MPa
454 MPa
108 MPa
scale factor = 25
Naprezanja u armaturi u spregnutoj ploči u trenutku neposredno pred slom
Progibi pločeS6neposrednopredslom (P=32.5kN)
Pukotine u ploči u trenutku neposredno pred slom
Naprezanja u betonu (σ xx
) u spregnutoj ploči u trenutku neposredno pred slom

IDEJA…
UTJECAJ SPONA NA NOSIVOST I
DUKTILNOST AB
GREDA I STUPOVA
Poznato je da se beton pokazuje znatno veću
čvrstoću i duktilnost u uvjetima višeosnog stanja
naprezanja nego u uvjetima jednoosnog
naprezanja.
Također je poznato da guste spone u stupovima
izazivaju stanje višeosonog naprezanja. Iako je
ova činjenica opće poznata, u literaturi je ovaj
problem slabo opisan.
Cilj rada je bio eksperimentalno proučiti ovaj fenomen
i dati smjernice kako ga uključiti pri proračunu
realnih elemenata i konstrukcija.
Osnovni cilj je dakle bio analizirati utjecaj spona na
ponašanje armirano betonskih greda i stupova
opterećenih kratkotrajnim mirnim opterećenjem.
Posebno pažnja obraćena je na analizu utjecaja
oblika, položaja i količine spona na tlačnu nosivost
i deformabilnost betona.
TEORIJSKA RAZMATRANJA
Jedoosni model betona u tlaku
(prema važećoj regulativi)
Ispitivanje jedoosne čvrstoće betona
na kocki i valjku
OSNOVNA MEHANIČKA SVOJSTVA BETONA:
f cd
σ c
σc = f cd
‣ Velika tlačna čvrstoća (15-60 MPa – normalni betoni)
‣ Mala vlačna čvrstoća (10-15 % tlačne čvrstoće) koja se obično zanemaruje
‣ Nehomogena i anizotropna svojstva zbog same tehnologije izrade
‣ Izrazito nelinearno ponašanje već nakon male razine naprezanja (~30%)
‣ Deformacijska svojstva su podložna promjeni ovisno o razredu čvrstoće,
količini i položaju armature u presjeku te vrsti i trajanju opterećenja
(statičko, dinamičko,kratkotrajno,dugotrajno)
‣ Trenutno je u svijetu još najzastupljeniji materijal za izradu nosivih
konstrukcija građevina, te je kao takav zanimljiv za znanstveno istraživanje
kako bi što bolje razumjeli ponašanje u raznim situacijama
σ
σ
fcd
c = 4
4
Neki modeli ponašanja betona u
vlaku
σ
( −εc)
εc
2 ‰
3.5 ‰
f ct f ct f ct f ct
β f ct
ε c2
σ
εcv
ε
v max
Deformacija pojave prve pukotine= f ct /E c
Maksimalna vlačna deformacija betona iza koje čvrstoća
pada na 0
σ ε
v
= 15 − 30 ε
vp
max
α f ct
E c E c E c E c
ε
ε
ε
εvp
εvp
εv max
εvp
εv max
εvp
εv max
ε

Čvrstoća i deformacija pod
troosnim tlakom je značajno
veća u odnosu na one dobivene u
uvjetima stanja jednoosnog tlaka
(uzdužna deformacija
je veća i 20-30 puta, a granična
naprezanja i do 7 puta).
Čvrstoća betona u uvjetima stanja dvosmjernog
naprezanja
Veza naprezanje-deformacija za beton
u području dvosmjernog tlaka
Tlačna čvrstoća u području dvosmjernog tlaka raste za
približno 25% u odnosu na jednosmjernu tlačnu
čvrstoću i to za omjer poprečno naprezanje/uzdužno
naprezanje = 0,5.
Pri omjeru poprečno naprezanje/uzdužno naprezanje =
1,0 prirast čvrstoće iznosi približno 16%.
U području dvosmjernog tlaka modul elastičnosti betona
je nešto veći nego u području jednosmjernog tlaka.
Na slici je prikazana veza naprezanje-deformacija za
područje dvosmjernog tlaka, gdje je uočljivo da je u
odnosu na jednoosni tlak povećana duktilnost i modul
elastičnosti betona.
Veza naprezanje-deformacija za beton u uvjetima trosmjernog tlaka
NEKA TEORETSKA RAZMATRANJA
Aas f ys
f l
φs
Aas f ys
Ds
Ds
φs
S
Za slučaj centrično tlačno
opterećenog stupa kružnog
poprečnog presjeka, spone su
naprezane kao stjenke
kružnog rezervoara
opterećenog tlakom tekućine .
Stanje naprezanja u betonu u
ravnini poprečnog presjeka je
približno homogeno.
f l f l
Kako bi spone proizvele što
veći reaktivni bočni tlak na
beton, poželjno je koristiti
višerezne spone.
Treba nastojati da rasponi
tlačnih svodova u betonu
budu što manji jer će se na taj
način kasnije iscrpiti nosivost
betona, tj. bolje iskoristiti
spone.
Naprezanje u sponi ili spirali stupa kružnog poprečnog presjeka
Bočni tlakovi betona kod stupa kvadratnog poprečnog presjeka s
dvoreznim sponama
f l
Kod stupa kvadratnog
poprečnog presjeka s
klasičnim dvoreznim sponama
stanje naprezanja betona u
ravnini presjeka nije
homogeno. Potisak betona na
spone koncentriran je prema
njenim uglovima.
U betonu se formiraju tlačni
svodovi koji se razupiru u
uglovima spone.
Spone su zatege tlačnih
lukova.
Bočni tlakovi betona kod složenih oblika spona
f l
f l

UTJECAJ RAZMAKA SPONA U STUPOVIMA
P
φag
φag
f l
razmak spona razmak spona
S S
spona
(zatega)
Inženjerska predodžba prijenosa sila i deformacija u
smjeru osi stupa
σ2
σ1
σ1
P
σ2
deformacijska ploha
početna ploha
tlačni svod
Horizontalni potisak betona se prenosi na
spone preko tlačnih svodova u betonu.
Uzdužne šipke u stupu predstavljaju zatege
ovih svodova.
Spone predstavljaju elastične oslonce
svodova, koje preuzimaju horizontalne sile
u svojoj ravnini.
Oblik i nosivost tlačnih svodova ovise o vrsti
betona (ponajviše o veličini zrna agregata),
razmaku spona i dimenzijama presjeka
stupa, odnosno o omjeru razmaka spona i
širine presjeka.
Horizontalna popustljivost spone ovisiti će o
njenoj površini i kvaliteti čelika.
S S
Deformacijska ploha
Početna ploha
a
s/φag=3
S S
S S
s/φag=5
a
a
s/a=1
s/a=1/2
s/a=1/4
Inženjerska predodžba utjecaja veličine zrna agregata i razmaka spona na
formiranje tlačnih svodova u stupovima
S
S
S S
φag
φag
s/φag=10
S
S
Za velike odnose s/a,
naprezanja u sponama pri
slomu betona su relativno
niska i stanje naprezanja u
betonu između spona je
izrazito nehomogeno.
Za manje odnose s/a,
stanje naprezanja u betonu
između spona je sve
homogenije i iskoristivost
spona pri slomu sve veća.
UTJECAJ EKSCENTRICITETA UZDUŽNE TLAČNE SILE U STUPOVIMA
P
f l
A P
B
e
Ds
Deformacijska ploha
Početna ploha
σ1
S
OVIJENI STUPOVI OPTEREĆENI NA CENTRIČKI TLAK
U stručnoj regulativi se izdvaja proračun centrično tlačno opterećenih armiranobetonskih
stupova kružnog poprečnog presjeka ovijenih gustom spiralnom armaturom.
Kod ovih se stupova uključuje doprinos nosivosti poprečne armature na uzdužnu nosivost
stupa.
Spirala sprječava poprečne deformacije
betonske jezgre nastale aksijalnim tlakom,
što će u njoj izazvati vlačna, a u betonskoj
jezgri tlačna naprezanja. Bočni tlak betona
djeluje radijalno na spiralu, a isto takav
reaktivni na beton, Beton je višeosno tlačno
naprezan.
P e
σ1
Stup kružnog poprečnog presjeka opterećen ekscentričnom tlačnom silom
Utjecaj ekscentriciteta je značajan i za male vrijednosti ekscentriciteta.
Javljaju se nesimetrični potisci betona na spone, što dovodi do manjih reaktivnih tlakova spona na
beton i manjem doprinosu tlačnoj uzdužnoj nosivosti stupa.
Doprinos spona uzdužnoj tlačnoj nosivosti betonskih stupova praktično iščezava ako je tlačna sila
izvan ruba jezgre presjeka.
Utjecaj vitkosti stupa na njegovu tlačnu nosivost je vrlo značajan.
Kad se uključuje doprinos nosivosti tlačnih armaturnih šipki u tlačnu nosivost stupa, od presudne je
važnosti razmak spona tj. vitkost šipki.
Presjeci ovijenih stupova
''e'' je ekscentricitet uzdužne sile, a D s
promjer stupa (D s /8 – promjer jezgre).
Ovijeni se stupovi u pravilu projektiraju
samo kao kratki stupovi s pridržanim
čvorovima i kad nisu naprezani
momentom savijanja.

UTJECAJ SPONA U ŠTAPOVIMA IZLOŽENIM ČISTOM SAVIJANJU
U dostupnoj literaturi nisu pronađena nikakva eksperimentalna istraživanja utjecaja spona na
graničnu nosivost greda kod kojih slom nastaje drobljenjem tlačnog betona pri čistom
savijanju.
Znatno su efikasnije
spone koje opasuju beton
u tlačnoj zoni od klasičnih
dvoreznih spona uz obod
presjeka.
Vertikale klasičnih
dvoreznih spona treba
povezati horizontalnom
poprečnom šipkom
približno u razini neutralne
osi, ili tlačno područje
presjeka opasati
dodatnom
zatvorenom sponom.
EKSPERIMENTALNA ISPITIVANJA I
MODELIRANJE UTJECAJA SPONA NA
TLAČNU NOSIVOST I DEFORMABILNOST
BETONA
Ispitivani su elementi opterećeni na centrični tlak (stupovi), te elementi opterećeni na čisto
savijanje (grede).
Pri tome je istražen utjecaj različitih kvaliteta betona, različitih razmaka spona i različitih
površina presjeka spona na naponsko-deformacijsko stanje elemenata.
Shema utjecaja oblika spona na raspodjelu bočnih potisaka na beton i
deformacije spone pri tlačnom slomu grede
Grede u fazi ispitivanja
ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE
Istraženi razmaci spona S 1 i S 2 prikazani su na slici.
Razmatrani slučajevi greda (s odgovarajućom kakvoćom
betona, te oblikom i razmakom spona) sumarno su
prikazani u Tablici. Istražena su ukupno 21 različita
slučaja. Kako su za svaki tip grede izrađena po 3
istovjetna uzorka, ispitane su sveukupno 3 x 21 = 63
grede.
Tablica: Razmatrani slučajevi greda
Jednoosna tlačna čvrstoća Razmak spona e (cm)
betona f c (MPa)
Spone S 1 Spone S 1
24.9 Bez spona Bez spona
35.2 15 15
45.1 10 10
5 5
Istraženi razmaci spona S 1 i S 2
Geometrija i armatura ispitanih betonskih greda, te
tipovi ispitanih spona
Sila P je nanošena u jednakim prirastima od 5 kN, s tim
da su pred slom grede prirasti smanjivani. Mjereni su
progibi u sredini raspona i deformacije gornjeg tlačnog
pojasa betona u sredini grede za svaki prirast sile.
Rezultati su aritmetičke sredine od tri uzorka.

Na dijagramu je prikazana su izmjerene vrijednosti sila (P) – progib (∆) u sredini raspona
grede
Izmjerene vrijednosti veze sila (P) – tlačna deformacija gornjeg pojasa grede u sredini
raspona (ε) u ovisnosti od f c prikazana je na dijagramu
Ponašanje greda je približno elastično do oko 0,35 f c za f c =24,9 MPa, do oko 0,50 f c za f c =35,2
MPa i do oko 0,60 f c za f c =45,1 MPa.
Granična nosivost i deformabilnost grede ovisi o tipu spona i razmaku spona. Povećavaju se
sa smanjenjem razmaka spona, pri čemu su spone S 2 efikasnije od spona S 1 .
U odnosu na gredu bez spona, granično povećanje nosivosti grede sa sponama S 2 na
razmaku e=5 cm iznosi oko 15 % i povećanje graničnih progiba oko 20 %.
Slom svih greda nastao je drobljenjem betona u gornjem tlačnom
pojasu.
Mjesto sloma bilo je uvijek na potezu grede s manjom visinom, na spoju
s dijelom grede veće visine ili neposredno uz njega.
Tipični oblik sloma greda ovisio je o razmaku spona, a izgled nekih
greda nakon sloma na prikazan je na fotografijama.
ISPITIVANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA TLAK
h = 60 cm ; a = 10 cm
P = tlačna uzdužna sila
∆ = uzdužno skraćenje stupa
ε = ∆/h = tlačna uzdužna deformacija
σ = P/a 2 = tlačno uzdužno naprezanje
Razmatrani slučajevi sumarno su prikazani u
Tablici. Istraženo je ukupno 39 različitih slučajeva
(s odgovarajućom kakvoćom betona, te
razmakom i promjerom spona), odnosno izrađeno
je i ispitano sveukupno 3 x 39 = 117 stupova.
Tablica : Razmatrani slučajevi stupova
Na dijagramima ispod prikazana je izmjerena vrijednost veze sila-skraćenje (P - ∆) za stupove
od betona čvrstoće 35.2 MPa
Geometrija,armatura i položaj opterećenja ispitanih betonskih stupova
Granična nosivost i granično skraćenje stupa značajno se povećavaju s količinom poprečne armature,
odnosno prije svega sa smanjenjem razmaka spona (e) i potom s povećanjem poprečnog presjeka spona (φ).
Omjer nosivosti stupa koji ima poprečnu armaturu i istog takvog stupa bez spona gotovo da ne ovisi o čvrstoći
betona.

Na dijagramu ispod prikazan je dijagram σ-ε razmatranih stupova od betona čvrstoće
35.2 MPa ,pri čemu su σ i ε izračunati iz izmjerenih veličina P i ∆ (σ=P/a 2 , ε=∆/h).
Mehanizam sloma svih stupova nastao je drobljenjem betona po sredini njihove visine, uvijek
između dviju susjednih spona. Pojava sloma po sredini visine stupa posljedica je najvećeg
utjecaja vitkosti elementa u toj zoni.
Potvrđeno je da je razmak
spona e, odnosno omjer
e/a g , ključan za graničnu
nosivost i skraćenje stupa.
Karakteristični mehanizmi sloma stupova (zone drobljenja betona)
Stupovi iz betona većih čvrstoća imaju veću graničnu nosivost i manje skraćenje (duktilnost) od stupova iz
betona manjih čvrstoća. Za stupove bez spona, elastično ponašanje je do oko 0,35f c za f c =24,9 MPa, do
oko 0,50f c za f c =35,2 MPa i do oko 0,60f c za f c =45,1 MPa. Početni moduli elastičnosti betona stupova koji
imaju spone i onih bez spona su praktično jednaki. U odnosu na stupove bez spona, stupovi armirani
sponama φ8 mm na razmaku e=5 cm imaju povećanje čvrstoće za oko 80% za sve betone.
Koeficijent povećanja duktilnosti '' '' centrično opterećenih betonskih stupova čvrstoće fc=35,2MPa
Koeficijent povećanja čvrstoće '' α '' centrično opterećenih betonskih stupova čvrstoće fc=35,2MPa
1.80
Koeficijent povećanja čvrstoće α
2,00
1,76
1,80
1,70
1,64
1,60
1,55
1,60
1,49
1,43
1,36
1,40
1,28
1,22
1,15
1,20 1,08
1,00
1,00
0,80
0,60
Krivulja koeficijenta povećanja čvrstoće '' α '' za fc=35,2 MPa
0,40
0,20
0,00
0 0,84 1,88 3,35 1,26 2,82 5,02 1,68 3,77 6,7 2,51 5,65 10
s
o
tiln
k
u
d
ja
n
a
ć
e
v
o
t
p
n
ije
fic
e
o
K
1.60
1.40
1.20
1.00
1.00
1.59
1.55
1.48
1.44
1.40
1.34
1.30
1.24
1.14
1.18
1.10
1.05
0.80
0.60
Krivulja koeficijenta povećanja duktilnosti '' ß '' za fc=35,2 MPa
0.40
0.20
0.00
0 0.84 1.88 3.35 1.26 2.82 5.02 1.68 3.77 6.7 2.51 5.65 10
ti Koeficijent armiranosti sponama s (%)
Koeficijent armiranosti sponama µs (%)
Na osnovu eksperimentalnih rezultata prikazana je ovisnost
povećanja čvrstoće ovijenih stupova u odnosu na neovijene preko
koeficijenta '' α '' za razne čvrstoće i postotke armiranja sponama.
σ
α =
σ
ovijeno
neovijeno
Na osnovu eksperimentalnih rezultata prikazana je ovisnost povećanja duktilnosti ovijenih
stupova u odnosu na neovijene preko koeficijenta '' β '' za razne čvrstoće i postotke armiranja
sponama.
ε
ovijeno
β =
ε
neovijeno