Sčítanie a odčítanie viacciferných čísel v 6. triede - Univerzita Karlova

Univerzita Karlova v Prahe – Pedagogická fakulta
Katedra pedagogickej a školskej psychológie
Sčítanie a odčítanie viacciferných
čísel v 6. triede
Kristína Holúbková
Psychológia – špeciálni pedagogika
3. ročník – 2004/2005

OBSAH:
1. ÚVOD..................................................................................................................................... 3
2. HISTÓRIA VÝSKUMU......................................................................................................... 3
3. Analýza dát..............................................................................................................................4
3.1 Viackrokový aritmetický príklad – ako cesta........................................................................4
3.1.1 Prvý viackrok – násobenie a delenie v zátvorkách.............................................................4
3.1.2 Druhý viackrok - sčítanie a odčítanie v zátvorkách .......................................................... 5
3.1.3 Tretí viackrok - odstránenie zátvoriek............................................................................... 6
3.1.4 Štvrtý viackrok - násobenie bez zátvoriek ........................................................................ 7
3.1.5 Piaty viackrok – sčítanie a odčítanie.................................................................................. 7
3.1.6 Zhrnutie..............................................................................................................................7
3.2 Viackrokový aritmetický príklad - typ sčítania a odčítania viacciferných desatinných čísel.
8
3.2.1 Príklady prvej zátvorky a ich obdoby ................................................................................8
3.2.1.1 Príklad I.A a jeho obdoby................................................................................................8
3.2.1.2 Príklad I.B a jeho obdoby................................................................................................9
3.2.1.3 Príklad I.C a jeho obdoby..............................................................................................10
3.2.2 Príklady druhej zátvorky a ich obdoby.............................................................................11
3.2.2.1 Príklad II.A a jeho obdoby............................................................................................ 11
3.2.2.2 Príklad II.B a jeho obdoby.............................................................................................11
3.2.3 Príklady sčítania a odčítania po vyriešení oboch zátvoriek a ich obdoby........................12
3.2.3.1 Príklad III.A a jeho obdoby........................................................................................... 12
3.2.3.2 Príklad III.B a jeho obdoby........................................................................................... 13
3.2.4 Zhrnutie............................................................................................................................13
4. DISKUSIA............................................................................................................................ 16
4.1 "Know about" - Rešpektovanie desatinného rádu...............................................................16
4.2 “Know how“ - Rešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku........................................18
5. ZÁVER................................................................................................................................. 19
6. LITERATÚRA......................................................................................................................20
Príloha 1. Zápis pozorovania z hodín 6.B.................................................................................21

1. ÚVOD
Na hodine matematiky ma zaujala výnimočná dôslednosť, usporiadanosť a
organizovanosť pani učiteľky, ktorá sa prejavovala v štruktúre hodiny, v spôsobe
vysvetľovania učiva, zápisu na tabuľu i v opravovaní písomných prác a testov. Z rozhovorov
so žiakmi som sa dozvedela, že túto vlastnosť majú na pani učiteľke veľmi radi a matematika
je jedným s najobľúbenejších predmetov v triede.
K výskumu ma potom inšpirovala nasledujúca situácia: Pani učiteľka zadala žiakom
viackrokový aritmetický príklad, v ktorom sa spájalo niekoľko operácií, ktoré predtým deti
riešili izolovane. Príklad bol oproti cvičeniam, na ktoré boli deti zvyknuté, zložitejší, ale
neobsahoval žiadne žiakom neznáme elementy. Žiakom vyšli prekvapivo rôzne výsledky.
V súhrne sa jednalo o aritmetické chyby. Na prvý pohľad však bolo jasné, že nie všetci
žiaci chybovali v rovnakých aritmetických operáciách. Niektorí žiaci akoby dokonca
chybovali skôr len z nepozornosti pri písania. V súhrne teda bola prácnosť riešenia daného
príkladu skôr záhadou.
2. HISTÓRIA VÝSKUMU
Pozorovanie sa odohrávalo na jednej cirkevnej škole v Prahe, v šiestej triede.
Z rozhovoru s triednou pani učiteľkou som sa dozvedela, že má trieda 24 žiakov, s ktorých u
troch pozorovala vážnejšie ťažkosti pri učení, jeden žiak má osobnú asistentku.
Žiaci majú hodinu matematiky každý deň štvrtú hodinu. V laviciach sedia každý sám.
Zasadací poriadok je zrejme jedným s aspektov, ktoré ovplyvňujú disciplínu v triede. Na
hodine matematiky sú deti tichšie a pozornejšie ako na hodine občianskej výchovy, kde môžu
sedieť ako chcú.
Pani učiteľka veľmi usporiadane píše na tabuľu a na rozlíšenie používa veľa farebných
kried. Z jej hodiny cítiť organizovanosť, všetko má svoje miesto a svoj čas. Učiteľka vytvára
dojem poriadku, má jasné pravidlá. Pani učiteľka okrem toho, že podá inštrukcie potrebné
k vypočítaniu príkladu ústne, precízne napíše pokyny i na tabuľu – takto sa k nim môžu vrátiť
aj žiaci, ktorí práve počas vysvetľovania nedávali pozor, alebo ešte presne nevedeli k čomu sa
pokyny budú vzťahovať, a tak im správne neporozumeli. K písanému textu sa dá na rozdiel od
ústnej inštrukcie vždy vrátiť.
Deti sú vyvolávané k tabuli a riešia príklady na tabuľu. Vždy si výsledok overia so
spolužiakmi čo sedia v laviciach, či im vyšiel ten istý.
V prílohe prikladám popis pozorovania s ostatných hodín, prostredníctvom ktorého je
možné utvoriť si lepší obraz o atmosfére v triede. V priloženom materiále sú pozorovania
z hodín matematiky označené hrubým písmom. Tu ešte uvádzam pravidlá, ktoré pani učitelia
deťom písala na tabulu k preberanej látke.
Sčítání
Pozor!!!
1. Píšeme číselné řády pěčlivě pod sebe
2. Píšeme desetinné čárky pečlivě pod sebe
Odčítání
Pozor: stejné jako u sčítaní
1. Odčítáme postupně
2. Postupujeme s leva do prava
Desetinné číslo vydělíme číslem 10, 100, 1000 tak,
že desetinnou čárku tohoto čísla
posuneme o jedno, dvě, tři místa.
Výsledek dělení bude menší jako dělenec.
Při násobení těmito čísly (10, 100, 1000) bude
výsledek vždy větší.
Priorita početních operací – přednost – co se
počítá nejdřív, co potom, co naposled
1. Početní úkony v závorkách
2. Násobení, dělení
3. Sčítání, odčítání

Veta, ktorá sa často na hodine matematiky opakuje: “Jde li vám to pomalu,
nepanikařte. Raději méně a pečlivě, než všechno a špatně.”
Ako som sa už zmienila v úvode, predmetom mojeho skumania bola situácia, ked pani
učiteľka zadala žiakom nasledujuci viackrokový aritmetický príklad, v ktorom sa spájalo
niekoľko operácií, ktoré predtým deti riešili izolovane.
1,2817.1000-(12,33.10-1872:1000+12,2-7,8)+100.(27,1:10-2,7+15,1)=
Ich úlohou bolo tento príklad vyriešiť a ohlásiť svoj výsledok, aby mohol byť
porovnaný s výsledkami ostatných. Žiaci hlásili prekvapivo odlišné výsledky. Po hodine som
príklady zozbierala. Celkom som zozbierala riešenie príkladu od 19 žiakov, ktorí boli v ten
deň prítomní v triede. Zaznamenané postupy riešenia jednotlivých žiakov uvádzam v prílohe.
V úvode som už taktiež spomenula že záhadou pre mňa bola prácnosť riešenia daného
príkladu.
3. Analýza dát
3.1 Viackrokový aritmetický príklad – ako cesta
23. 3. 2004 mali žiaci písomne vyriešiť nasledujúci ”viackrokový aritmetický príklad”:
1,2817 . 1000 - (12,33 . 10 - 1872 : 1000 + 12,2 - 7,8) + 100 . (27,1 : 10 - 2,7 + 15,1) =
3.1.1 Prvý viackrok – násobenie a delenie v zátvorkách
Podľa pravidiel je nutné sa najprv venovať (a) operáciám v zátvorkách, potom (b)
násobeniu a deleniu a nakoniec nezabudnúť na dôležitosť (c) postupovania zľava doprava.
Po prvom ”trojkroku” či po prvých troch krokoch (prvé násobenie/delenie desatinných čísel
násobkami desiatky) by sme mali dostať nasledujúci ”zápis postupu riešenia príkladu”:
1,2817 . 1000 - (123,3 - 1,872 + 12,2 - 7,8) + 100 . (2,71 - 2,7 + 15,1) =
K identickej či ekvivalentnej podobe zápisu riešenia úlohy po prvom trojkroku vôbec
nemohli dospieť žiaci, ktorí nezvládli opísať zadanie: č. 7 (píše”27,1.10”); č. 14 (píše
”27:10”).
K identickej či ekvivalentnej podobe zápisu riešenia úlohy po prvom trojkroku dospeli
nasledujúci žiaci:
č. 3 (aj keď riadok zápisu zadania úlohy v priestore formátu stránky pretiekol v
”+15,1) =”
do prvého riadku zápisu riešenia úlohy);
č. 5; č. 6; č. 9 a č. 16.
A vlastne aj č. 2 (avšak až vo svojom druhom riadku zápisu riešenia úlohy; v prvom
”zpomalovacom” riadku opisuje ”1872 : 1000”, ktoré potom prevádza písomne na samostatný
list papiera s pomocnými výpočtami).
Svojím spôsobom hraničnými prípadmi kombinujúcimi spomalenie i urýchlenie sú:
č. 1 (síce na jedenej strane zavedie ”spomaľujúci” opis pre ”1872 : 1000”, ktoré potom
vo svojom druhom riadku zápisu riešenia správne prevedie na "1,872"; na druhej strane, pre
svoj druhý riadok zápisu riešenia urýchľuje postup výpočtom "2,71 - 2,7");
a č. 12 ("spomaľujúci" opis zaviedol pre "27,1 : 10", ktorý rieši až pre svoj štvrtý

iadok zápisu riešenia; na druhej strane v druhom riadku zápisu riešenia počíta "123,3 -
1,842") - vlastne však ide o prípady nie priamo porušujúce, avšak predsa len nerešpektujúci
pravidlo "b".
Medzi dané prípady potom môžeme započítať tiež žiakov č. 4 a č. 10 (obidvaja naviac
násobia "1,217 . 1 000") - teda s prijateľným "urýchľujúcim" povýšením priority platnosti
pravidla "c"; tj. s využitím toho, že platnosť pravidla "a" sa týka len operácie bezprostredne
zátvorku predchádzajúcej, len prípravy na odstraňovanie zátvoriek. I celkom atypický prípad
č. 11 (nepoužíva štruktúru riadkov, ale vlastnú "urýchľujúcu" stratégiu zápisu pomocných
výpočtov; v prípade "27,1 : 10" však rozpísaného do troch riadkov tzv. zbytkov "7,1; 10; 0").
K chybnej podobe zápisu riešenia prvého (troj)kroku dospeli nasledujúci žiaci:
č. 18 (z "12,33 . 10" vyjde "1233");
č. 8 (z "27,1: 10" vyjde "271");
č. 19 (z "1872: 1000" vyjde "18,72");
č. 13 (nezvláda, vlastne vynecháva "1872 : 1000", a to i napriek odlúčeniu daného
kroku pre svoj prvý riadok zápisu riešenia a pokus o riešenie pomocným výpočtom; naviac
opisuje "1000" pred druhou zátvorkou ako "1000.");
č. 15 (do svojho prvého riadku zápisu riešenia odloží delenie "1000", neopíše však
"1872", a tak v druhom riadku získa "0,1233", a pritom prekvapivo, akoby zo zápisu zadania,
opíše "- 1872").
K prvému (troj)kroku vlastne nedospel ani žiak č. 17 (najskôr odloží výpočet delenia
v druhej zátvorke, a potom prestane počítať, keď z "123,3 - 1,872" dostane v pomocnom
výpočte "11,428") - ktorý (podobne ako č.12 či č.1) síce pravidlo "b" neporušuje, ale ani
nerešpektuje.
K druhému "viackroku" sa bez predchádzajúcej chyby v riešení z 19 žiakov dostalo
žiakov 11 (pokiaľ započítame ako chybný i sporný prípad č. 17). Jedná sa o 58% žiakov.
3.1.2 Druhý viackrok - sčítanie a odčítanie v zátvorkách
Podľa vyššie spomenutých pravidiel "a - c" by druhým viackrokom, celkom
"paťkrokom", malo byť sčítanie a odčítanie v zátvorkách, pre ktoré platí, že vzhľadom k
tomu, že sa jedná o sčítanie a odčítanie viacciferných čísel, je i každý z týchto piatich krokov
celkom o viacerých krokoch. Sčítanie a odčítanie v zátvorkách by potom malo byť zapísané
ako tzv. pomocné výpočty za/pod čiarou, a to ako tzv. sčítanie/odčítanie pod seba. Podľa
pravidla "c" o postupu zľava doprava by malo byť vykonaných nasledujúcich päť zápisov
riešenia úlohy:
(I.A)
123,3
- 1,872
121,428
(I.B)
121,428
12,2
133,628
(I.C)
133,628
- 7,8
125,828
(II.A)
2,71
- 2,7
0,01
(II.B)
0,01
15,1
15,11
Výsledný zápis postupu/stavu riešenia úlohy z daného "paťkroku", a tak vlastne druhý

iadok zápisu riešenia celej úlohy by mal mať nasledujúcu podobu:
1,2817. 1000 - (125,828) + 100. (15,11) =
K identickej podobe zápisu riešenia po druhom (päť)kroku teda vôbec nemohli
dospieť žiaci č. 7, 8, 13, 14, 15, 18 a 19. A ako postupovali žiaci č. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11,
12, 16 a 17
K identickej či ekvivalentnej podobe zápisu riešenia úlohy po druhom (päť)kroku
dospeli nasledujúci žiaci:
č. 1 a č. 9 ( bez zápisu zátvoriek; zátvorky už neopisujú, keď z pomocného výpočtu
opisujú konečné jedno viacciferné číslo);
č. 2 (bez zápisu zátvoriek; urýchľuje násobenie "100.15,11 ", tj. Násobí zároveň s
doriešením prvej zátvorky);
č. 3 (bez zápisu zátvoriek; urýchľuje násobenie "1,2817. 1000" pre svoj tretí riadok
zápisu riešenia, tj. počíta ho skôr ako rieši zátvorku "(133,628 - 7,8)", a násobenie "100 .
15,11" pre svoj štvrtý riadok zápisu riešenia, tj. počíta ho zároveň s doriešením prvej
zátvorky);
č. 4 (bez zápisu zátvoriek, i keď aspoň otvorenie zátvorky "(" urobil, a až potom škrtol;
urýchľuje násobenie "1,2817 . 1 000" už pri svojom prvom riadku zápisu riešenia).
K chybnej podobe zápisu riešenia druhého (päť)kroku dospeli nasledujúci žiaci:
č. 5 (z I.A "123,3 - 1,872" vyjde "111,428");
č. 6 (z I.A "123,3 - 1,872" vyjde "121,328");
č. 17 (z I.A "123,3 - 1,872" vyjde "11,428"; a prestane počítať);
č. 10 (z II.A "2,71 - 2,70" síce vyjde "0,01" v pomocnom výpočte, do svojho tretieho
riadku zápisu riešenia však opíše "(2,71 + 15,1)");
č. 16 (potom, čo vyrieši I.A a z II.A "2,71 - 2,7" vyjde "1 ", naviac neopíše druhú
zátvorku pre svoj tretí riadok zápisu riešenia a prvú pre štvrtý);
č. 11 (vlastnou stratégiou zápisu pomocných výpočtov zvládol I.A, potom miesto I.B
počíta prijateľné "12,2 - 7,8", miesto I.C rovnako prijateľné "121,428 + 4,4 = 125,828"; a
ďalej zvláda II.A, v prípade II.B však z "15,1 + 0,01" vyjde "15,2");
č. 12 (miesto II.A rieši "2,7 + 15,1", tj. chyba nie je v sčítaní/odčítaní, ale v porušení
pravidiel "b" a "c").
K tretiemu "viackroku" sa bez predchádzajúcej chyby v riešení dostalo 5, teda 26% z
19 žiakov.
3.1.3 Tretí viackrok - odstránenie zátvoriek
Vyššie spomenuté pravidlá "a - c" neupravujú "odstraňovanie zátvoriek" ako
aritmetickú operáciu, ale, zamlčane, ako niečo, čo samozrejme vyplynie z vyriešenia operácií
v zátvorkách. Preto, že ide o operáciu i v prípade používania daných pravidiel, by mohli
svedčiť prípady obdobné vyššie spomenutému postupu žiaka č. 4 (otvorenie zátvorky "("
urobil, a až potom škrtol ). Tretí "dvojkrok", odstránenia zátvoriek, však v každom prípade
vedie k zápisu, ktorý by mal mať nasledujúcu podobu:
1,2817. 1000 - 125,828 + 100. 15,11 =
K identickej podobe zápisu riešenia teda dospeli žiaci: č. 1 a 9 (vo svojom piatom
riadku). K podobe ekvivalentnej č. 2 (vo svojom piatom riadku má "100. 15,11" vyriešené pri
prechode z riadku štvrtého); č. 4 (vo svojom štvrtom riadku má "1,2817 . 1000" vyriešené pri

prechode zo zápisu zadania k riadku prvému); č. 3 (vo svojom štvrtom riadku má "1,2817.
1000" vyriešené pri prechode z riadku druhého a "100. 15,11" z riadku tretieho).
Pre žiadneho z 5 žiakov, ktorí ostali na správnej ceste k riešeniu celého príkladu
nebolo odstránenie zátvoriek problémom.
3.1.4 Štvrtý viackrok - násobenie bez zátvoriek
Tento "dvojkrok", druhé násobenie/delenie, vlastne len násobenie desatinných čísel
násobkami desiatich, by malo viesť k nasledujúcej podobe zápisu riešenia: 1281,7 -125,828 +
1511 =
Násobenie nespôsobilo ťažkosti žiadnemu z 5 zostávajúcich bezchybne postupujúcich
žiakov.
3.1.5 Piaty viackrok – sčítanie a odčítanie
Po poslednom ”dvojkroku”, ktorý by opäť mal byť sprostredkovaný zápisom
sčítania/odčítania pod seba:
(III.A)
1281,7
-125,828
1155,872
a
(III.B)
1155,872
1511
2666,872
sa dostávame k riešeniu celej úlohy – správny výsledok je 2666,872.
Identické číslo nachádzam u žiakov č. 1, č. 2, č. 3. K chybe došlo u žiačky č. 4 (pre
operáciu III.A tri krát za sebou nevráti požičanú desiatku, a tak dostáva výsledok 1166,972)
a žiaka č. 9 (ktorý pri vedľajšom výpočte namiesto pôvodného čísla 125,828 opíše číslo
152,828 a ďalej ho prepíše na 155,828 a nakoniec vyjde i tak chybných "1025,872", tj.
namiesto "1125,872"; výsledných "2536,872" potom však odpovedá bezchybnému pričítaniu
"1511 ").
Príklad správne dopočítali 3 žiaci z 19 – dalo by sa hovoriť o 16% úspešnosti riešenia
viackrokového príkladu.
3.1.6 Zhrnutie
Na ceste za správnym výsledkom neuspelo 16 žiakov, z ktorých sa 8 “stratilo” príčinou
nesprávneho riešenia operácií sčítania a odčítania. 50% z žiakov, ktorým sa nepodarilo dostať
k správnemu výsledku, urobilo prvú chybu v riešení – prvý odklon z cesty pri sčítaní
a odčítaní. V zostávajúcich prípadoch sa potom jednalo nielen o chyby v násobení a delení, ale
tiež o chybný opis zadania či zápisu postupu riešenia a porušenia pravidiel “b” a “c”. Pravda,
z celkového počtu krokov bolo sčítanie a odčítanie najpočetnejšie (7x vs. 5x násobenie a

delenie a 2x odstraňovanie zátvoriek). Na druhej strane pre daný druh príkladu by žiaci vlastne
mali mať sčítanie a odčítanie viacciferných čísel osvojené už rutinne. Tato sama o sebe
aritmetická operácia o viac krokoch teda vystupuje ako hodná ďalšieho preskúmania z dôvodu
kvantitatívnej i kvalitatívnej obtiažnosti. V nasledujúcom kroku analýzy práce žiakov sa teda
budem zaujímať predovšetkým o povahu obtiažnosti daného druhu aritmetické operácie,
aritmetického príkladu.
Venovať sa však budem nielen príkladom identickým so vzorovými, ale tiež ich
obdobám. Ako správne vyriešené nepokladám len príklady identické so vzorovým, ale i ich
ekvivalenty, ktoré vznikli chybou v opise či predchádzajúcom výpočte; alebo s tým, keď si
žiaci vytvorili vlastné, nami nepredpokladané varianty (ako napr. č. 11, keď vlastnou
stratégiou zápisu pomocných výpočtov zvládol I.A, a potom miesto I.B počíta prijateľné "12,2
- 7,8", namiesto I.C taktiež prijateľné "121,428 + 4,4 = 125,828"), a keď nám nepôjde ani tak
o to, či sú ne/prijateľné pre riešenie úloh ako celku, ale o to, či sú alebo nie sú správne
vypočítané. Mala by som tak zároveň zistiť i koľko príkladov daného typu žiaci riešili, keď už
viem, že to nebolo maximálne možných 7 x 19 = 133.
3.2 Viackrokový aritmetický príklad - typ sčítania a odčítania
viacciferných desatinných čísel
3.2.1 Príklady prvej zátvorky a ich obdoby
3.2.1.1 Príklad I.A a jeho obdoby
123,3
- 1,872
121,428
Identická podoba príkladu: 15 žiakov (1, 2, 3, 4,5,6, 7,8, 9, 10,11,12,14,16,17)
Správne:11 žiakov (1,2,3,4,7,8,9,10,11,12,16)
Nesprávne: 4 žiaci (5,6,14,17)
Obdobná podoba: 3 žiaci (13,18,19)
Správne: 1 žiak (19)
Nesprávne: 2 žiaci (13,18)
Ani obdobný príklad neriešil 1 žiak (15)
Akých chýb sa žiaci dopúšťali, keď riešili identickú podobu príkladu
Nadbytočné vracanie desiatok
č. 5 získal výsledok "111,428". Vysvetliteľný je tým, že keď po odčítaní v prvom,
druhom i treťom stĺpci od konca správne pričítal, vracal požičanú desiatku do spodného
riadku nasledujúceho stĺpca, v prípade štvrtého stĺpca postup zo zotrvačnosti zopakoval: "dva
a jedna sú tri, nula a jedna je jedna, jedna a jedna sú dva";
č. 17 získal výsledok "11,428", vysvetliteľný obdobne ako u žiaka č. 5, s tým, že
požičanú desiatku "vracal" nielen do piateho, ale i do šiesteho stĺpca stoviek.
Numerické chyby pri vracaní desiatky alebo chyby pri odčítaní cez desiatku
č. 6 dostala výsledok 121,328. V stĺpci tisícin i stotín si správne desiatku požičala.
V stĺpci stotín vrátila desiatku, ktorú využila v stĺpci tisícin. V stĺpci desatín však namiesto
jednej desiatky, ktorú si požičala , vrátila desiatky dve – tj. počítala Dva plus osem je desať a
koľko je trinásť A tri je trinásť. Zotrvačnosť by sa v tomto prípade teda netýkala celého

kroku vracania desiatky, ako v prípade žiakov č. 5 a 17, ale použitia čísla 2 pri vracaní
desiatky, teda čísla, ktoré bolo práve použité pre zápis počtu jednotiek. Mohlo by sa však
jednať, alternatívne, tiež o numerickú chybu pri odčítaní cez desiatku – deväť a koľko je
trinásť, a tri.
č. 14 sa pomýlil o jednu stotinu, jeho výsledok bol 124,418. Myslím, že mohlo dojsť k
podobnému úkazu ako u predchádzajúcej žiačky č. 6, teda: dva a koľko je desať a osem, dva
(s ktorou pred krátkym časom pracoval) a sedem je deväť a koľko je desať a jedna, a tú zapíše.
Mohlo teda dojsť k zámene čísla, ktoré si bolo treba zapamätať- teda požičaná desiatka,
s číslom, s ktorým žiak práve pracoval - dvojka. Numerická chyba typu - osem a koľko je
desať, a jedna. – vyzerá menej pravdepodobne, než v predchádzajúcom prípade.
Chyby pri obdobnej podobe príkladu sa dopustili dvaja žiaci.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic + Odčítanie väčšieho čísla od menšieho
č. 13 nerešpektuje pozičnú hodnotu číslic a zapisuje si čísla nesprávne pod seba:
123,3
-187 2
936,1
Pri pomocnom výpočte pod seba zarovnala čísla z pravej strany, to spôsobilo, že
desatiny prvého čísla sa dostali do rovnakého stĺpca s jednotkami čísla druhého atď. Žiačka
navyše odčítala číslo s väčšou hodnotou od čísla s menšou hodnotou. A nakoniec si požičiava
desiatku z prázdneho stĺpca – dva a koľko je jedenásť, a deväť. - a zastiera, že ju musela
zostať desiatka pri vrátení do piateho stĺpca sprava a že sa dostala do slepej uličky postupu,
ktorý sa nedá dokončiť.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic
č. 18 zapísal čísla pod seba tak, aby boli zarovnané zľava, nedbajúc na pravidlo
hovoriace, že ak chceme sčítať či odčítať dve čísla pomocou vedľajšieho výpočtu pod seba,
desatinné čiarky oboch čísel musia byť napísané presne pod sebou.
48,7
-1,878
29,92
Správne postupoval len v prípade prvého stĺpca sprava. Potom podľahol nesprávne
urobenému zápisu čísel do stĺpcov a odčítal stotiny od desatín. Numericky však dielčie kroky
robil bezchybne.
3.2.1.2 Príklad I.B a jeho obdoby
121,428
12,2
133,628
Identická podoba príkladu: 10 žiakov (1, 2, 3, 4, 7, 8, 9,10,12,16)
Správne:10 žiakov (1,2,3,4,7,8,9,10,12,16)
Nesprávne: 0 žiakov
Obdobná podoba: 6 žiakov (5,6,11,13,14,19)
Správne: 5 žiakov (5,6,11,14,19)
Nesprávne: 1 žiak (13)
Ani obdobný príklad neriešili 3 žiaci (15,17,18)
Pri identickej podobe príkladu neurobil chybu žiadny zo žiakov. Pri obdobnej

podobe príkladu sa jednalo o nasledujúce chyby.
Numerické chyby pri sčítaní
č. 13 riešila príklad 936,1+12,1=958,2. Správny výsledok by v jej prípade mal byť
948,2. K tomuto príkladu nemá pomocný výpočet. Žiačka buď počítala, že tri plus jedna je
päť, alebo, opäť zo zotrvačnosti, si z čísla dvanásť opäť pozrela namiesto desiatok jednotky a
počítala dva a tri je päť.
3.2.1.3 Príklad I.C a jeho obdoby
133,628
- 7,8
125,828
Identická podoba príkladu: 9 žiakov (1,2,3,4,7,8,9,10,12)
Správne: 9 žiakov (1,2,3,4,7,8, 9,10,12)
Nesprávne: 0 žiakov
Obdobná podoba:7 žiakov (5,6,11,13,14,16,19)
Správne: 4 žiaci (5,6,11,16)
Nesprávne: 3 žiak (13,14,19)
Ani obdobný príklad neriešili 3 žiaci (15,17,18)
Pri identickej podobe príkladu sa neobjavila žiadna chyba. Pri obdobnej podobe
príkladu sa jednalo o nasledujúce chyby.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic + nedostatočné vracanie desiatok
č. 13 počítala s nesprávnym predchádzajúcim výsledkom, čísla si navyše zapísala
nesprávne pod seba, a to v tom slova zmysle, že pomocný výpočet nezapísala a “v duchu”
abstrahovala od pozičnej hodnoty číslic:
958,2
-7,8
980,2
Žiačka pravdepodobne uvažovala nasledovne: Nula a dva sú dva, osem a nula je osem,
sedem a osem je pätnásť. Jednotku, ktorá nám ostane z pätnástky ignorovala a opísala
deviatku. Došlo teda k opaku nadbytočného vracania desiatok – nedostatočné vracanie
desiatok.
Numerické chyby pri vracaní desiatky alebo chyby pri odčítaní cez desiatku
č. 14 počítal príklad 12,2-7,8 s výsledkom 3,4. Zrejme k sedmičke namiesto jednotky
pripočítal dvojku, s týchto dvoch čísel sa skladá dvanástka, s ktorou okamih predtým počítal, a
preto predpokladám, že si tieto dve čísla mohol zameniť, druhou možnosťou je, že došlo
k chybe počítania cez desiatku.
Sčítanie namiesto operácie odčítania
č. 19 odčítal druhý člen od prvej zátvorky a následne pracoval s tretím a štvrtým
členom, podobne ako žiaci č.11 a č.14, riešil operáciu 12,2 – 7,8 bez pomocného výpočtu
s výsledkom 20. Namiesto odčítania teda čísla sčítal. (To by mohlo ukazovať na našu
prirodzenú tendenciu spokojnosti s celými číslami. Zdá sa, že sčítanie mu naozaj ide, pretože
ďalej pokračoval 104,58+20=124,58 bez pomocného výpočtu, s tým, že “rovná sa” napísal
0

priamo do hlavného zápisu príkladu.)
3.2.2 Príklady druhej zátvorky a ich obdoby
3.2.2.1 Príklad II.A a jeho obdoby
2,71
- 2,7
0,01
Identická podoba príkladu: 12 žiakov (1,2,3,4,5,6,9,10,11,13,15,16)
Správne: 10 žiakov (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9,10,11,13)
Nesprávne: 2 žiaci (15,16)
Obdobná podoba: 5 žiakov (7,8,12,14,19)
Správne: 3 žiaci (7,12,14)
Nesprávne: 2 žiaci (8,19)
Ani obdobný príklad neriešili 2 žiaci (17,18)
Pri identickej podobe príkladu sa vyskytli nasledujúce chyby.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic + Sčítanie namiesto operácie odčítania
č. 15 dostal výsledok 29,8. Jedná sa teda o zámenu typu operácie. Čísla pravdepodobne
zoradil sprava nedbajúc na pozíciu desatinných čiarok v číslach. Jeho “mentálny zápis” zrejme
vyzeral nasledovne:
2,7 1
2,7
29,8
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic
č. 16 abstrahoval od pozičnej hodnoty číslic v čísle ku ktorému pričítal. Príklad
vypočítal bez pomocného výpočtu 2,71-2,7 = 1.
Pri obdobnej podobe príkladu sa vyskytli nasledujúce chyby.
Nedostatočné vracanie desiatok
č. 8 získala výsledok (269,3). Žiačka neposunula alebo nezapísala desatinnú čiarku v
čísle 271. Počítala teda príklad “271 – 2,7”. V pomocnom výpočte “nevrátila požičanú”
desiatku v stĺpci jednotiek – správny výsledok mal v jej prípade byť 268,3.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic + Sčítanie namiesto operácie odčítania
č. 19 riešil príklad 2,71 – 178 = 198,71, pričom ignoroval záporné znamienko pred
číslom 178 a pri výpočte pod seba urobil nasledovný posun:
178
2, 71
198,71
3.2.2.2 Príklad II.B a jeho obdoby
0,01
15,1
15,11
Identická podoba príkladu: 9 žiakov (1,2,3,4,5,6,9,11,13)
Správne: 8 žiakov (1,2,3,4,5,6,9,13)
1

Nesprávne: 1 žiak (11)
Obdobná podoba: 7 žiakov (7,8,10,12,14,16,19)
Správne: 7 žiakov (7,8,10,12,14,16,19)
Nesprávne: 0 žiakov
Ani obdobný príklad neriešili 3 žiaci (15,17,18)
Pri identickej podobe príkladu sa vyskytli nasledujúce chyby.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic
č. 11 sčítal i tento príklad lineárne a dospel k výsledku “15,2”; pričom je zrejmé, že
abstrahoval od pozičnej hodnoty číslic v čísle ku ktorému pričítal.
Pri obdobnej podobe príkladu všetci žiaci riešili príklad úspešne.
3.2.3 Príklady sčítania a odčítania po vyriešení oboch zátvoriek a ich
obdoby
3.2.3.1 Príklad III.A a jeho obdoby
1281,7
- 125,828
1155,872
Identická podoba príkladu: 8 žiakov (1,2,3,4,7,10,11,12)
Správne: 6 žiakov (1,2,3,10,11,12)
Nesprávne: 2 žiaci (4,7)
Obdobná podoba: 8 žiakov (5,6,8,9,13,16,18,19)
Správne: 5 žiakov (5,6,8,18,19)
Nesprávne: 3 žiaci (9,13,16)
Ani obdobný príklad neriešili 3 žiaci (14,15,17)
Pri identickej podobe príkladu sa vyskytli nasledujúce chyby.
Nedostatočné vracanie desiatok
č. 4 dospela k výsledku 1166,972. V stĺpci desatín, jednotiek a desiatok nepričítala
desiatku, ktorú si v predchádzajúcom stĺpci “požičala”.
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic
č. 7 v pomocnom výpočte za čiarou zle zapísal čísla pod seba:
128 1, 7
- 125, 828
2, 872
Z výpočtu mu teda celkom vypadla jednotka v čísle 1281,7, čo spôsobilo, že stĺpec
desiatok mylne pokladal za stĺpec jednotiek atď.
Pri obdobnej podobe príkladu sa vyskytli nasledujúce chyby.
Nedostatočné vracanie desiatok
č. 13 zabudla “vrátiť” desiatku požičanú zo stĺpca tisícok: 1281,7 - 980,2 = 1301,5.
(Žiačka zrejme neuvažuje nad hodnotami čísel, pretože pri odčítaní by nemalo vychádzať
číslo, ktoré bude mať väčšiu hodnotu ako číslo od ktorého odčítavame.)
2

Nadbytočné vracanie desiatok
č. 9 má nasledujúci zápis odčítania:
1281,700
-155, 828
1025,872
Žiačka v stĺpci stoviek pripočítala desiatku, ktorá v stĺpci desiatok nebola vypožičaná,
a preto ju nebolo potrebné vrátiť. (Pôvod čísla 155,828 mohol byť nasledovný: 125,828
prepísané na 152,828 a ďalej prepísané na 155,828. Číslica dva v stĺpci jednotiek bola
prepísaná na päťku, čo danému výsledku viac odpovedá.)
Odčítanie väčšieho čísla od menšieho
č. 16 počítal príklad:
133,628
-1281,7
851,928
Žiak akoby mechanicky postupoval správne. Jednotku na mieste tisícok a desiatku na
vrátenie zo stĺpca stoviek však nakoniec musel viac či menej uvedomele ignorovať, inak by
nemohol postup ukončiť.
3.2.3.2 Príklad III.B a jeho obdoby
1155,872
1511
2666,872
Identická podoba príkladu: 3 žiaci (1,2,3)
Správne: 3 žiaci (1,2,3)
Nesprávne: 0 žiakov
Obdobná podoba: 10 žiakov (4,5,6,7,8,9,10,11,12,16)
Správne: 10 žiakov (4,5,6,7,8,9,10,11,12,16)
Nesprávne: 0 žiakov
Ani obdobný príklad neriešilo 6 žiakov (13,14,15,17,18,19)
3.2.4 Zhrnutie
Žiaci, ako skupina 19 jedincov, neriešili maximálne možných 133 príkladov daného
typu. Identickú podobu vzorových príkladov riešilo 66 žiakov a obdobnú podobu 46. Celkom
teda riešili príkladov 112 a z toho v 92 prípadoch, tj. 82% správne. Ich chyby som roztriedila
na desať skupín, pričom v troch skupinách šlo vlastne o kombináciu odhliadania od pozičnej
hodnoty číslic s ďalšími tromi z celkom siedmich jednoduchých druhov chýb. Pre
percentuálne porovnanie počtu jednotlivých druhov chýb teda jednotlivé príklady v
zmienených troch skupinách počítam dvakrát, čím získavam celkom 24 chýb. Ak zoradím
jednotlivé druhy chýb podľa množstva ich výskytu, získam nasledujúci prehľad o ich podiele
na celkovej chybovosti či prácnosti daných príkladov.
1. Numerické chyby pri sčítaní 4,2% (č. 13)
2. Odčítanie väčšieho čísla od menšieho 8,3% (č. 16, č. 13)
3.-5. Sčítanie namiesto operácie odčítania 12,5% (č. 19, č. 15, č. 19)
3.-5. Numerické chyby pri vracaní desiatky alebo chyby pri odčítaní cez desiatku 12,5% (č.
3

6, č. 14, č. 14)
3.-5. Nadbytočné vracanie desiatok 12,5% (č. 5, č. 17, č. 9)
6. Nedostatočné vracanie desiatok 16,7% (č. 8, č. 4, č. 13, č. 13)
7. Odhliadnutie od pozičnej hodnoty číslic 33,3% (č. 18, č. 16, č. 11, č. 7, č. 13, č. 13, č.
15, č. 19)
Suverénne najčastejším druhom chýb je teda odhliadnutie od pozičnej hodnoty
číslic. Jedná sa o sedem žiakov, ktorí chybovali odhliadnutím od pozičnej hodnoty číslic,
pretože žiačka č.13 urobila chybu spadajúcu do tejto kategórie dvakrát, budem pracovať s
ôsmimi prípadmi chýb v pozičnej hodnote. V troch prípadoch (č.19, č. 13, č.7) sa jedná
o fyzickú podobu zápisu, v piatich prípadoch (č. 11, č. 13, č. 15, č. 16, č. 18) ide o podobu
”mentálneho zápisu”. Zdá sa, že napísanie pomocného výpočtu je o niečo bezpečnejšou
cestou, ktorá navyše umožňuje spätnú kontrolu. Na druhej strane vidíme, že ani pomocný
zápis nezaručuje bezchybnosť. Naviac, ako som už naznačila v samotnom pomenovaní
daného druhu chýb, by bolo asi chybné považovať tento druh chýb za zhodný s inými
prípadmi chýb v krokoch zápisu a stavať ho tak do protikladu k chýb v krokoch aritmetických
operácii. Vynechanie či nedisciplinované zapísanie stĺpcov viacciferných čísel pod seba
samozrejme nie je ”nevinné”. Ale nie je to to isté ako napr. chyba už pri samotnom opisovaní
zadania príkladu z tabule. Rešpektovanie pozičnej hodnoty číslic, ktoré by ešte
bezprostredne pred či pri vlastných aritmetických operáciách mohlo zaistiť bezchybný postup
bez ohľadu na nedisciplinovanosť zápisu do stĺpcov, tu teda chýba dvakrát; po prvý krát pri
samotnom neprevedení či nedisciplinovanom prevedení zápisu pod seba, po druhý krát pri
prevádzaní aritmetických operácií.
(V prípade žiakov č. 11 a č. 16 by som mohla naviac uvažovať o hľadaní dobrého
tvaru. Č. 11 sčítal 15,1 + 0,01 v lineárnej podobe a dospel k výsledku ”15,2”; č. 16 vypočítal
bez pomocného výpočtu 2,71-2,7 = 1; medzi oboma príkladmi vidím spojnicu vtom, že na
prvý pohľad sa zdajú ľahšie ako v skutočnosti sú. Žiaci nepoužili vedľajší výpočet na riešenie,
pri mentálnom počítaní si nesprávne určili pozičnú hodnotu číslic, čo spôsobilo nesprávnosť
výsledku. Je však zrejmé, že v prvom prípade získava žiak jednu číslicu miesto dvoch a v
druhom prípade jednu miesto troch, resp. celú jednotku miesto stotiny.
Pokiaľ si teraz uvedomím, že rešpektovanie pozičnej hodnoty číslice je vlastne
rešpektovaním desatinného rádu čísla číslicou označeného, môžem vidieť spoločný
menovateľ pre chyby spočívajúce v odhliadaní od pozičnej hodnoty a v odčítaní väčšieho
čísla od menšieho, aspoň v daných dvoch prípadoch. Celkom teda na túto súhrnnú kategóriu
pripadá 41,6% chýb.
Pre kategórie nadbytočné vracanie desiatok a ich opak, nedostatočné vracanie
desiatok by síce bolo spoločné s numerickými chybami pri prechode cez desiatku alebo pri
odčítaní cez desiatku, že do hry vstupuje zotrvačnosť (nezvládaná, v prípade nadbytočného
vracania, či potlačovaná, v prípade vracania nedostatočného). Rozdiel však vidím v tom, že
zotrvačnosť sa v prvých kategóriách týka samotného požičiavania a vracania desiatok, týka sa
kroku, ktorý je špecifický pre daný algoritmus sčítania a odčítania pod seba, týka sa
samotného zápisu prechodu cez desiatku, pri sčítaní/ odčítaní (u mojich žiakov)
viacciferných čísel pod seba. Pritom ide vlastne tiež o prípady odhliadania, a to od logickej
súvislosti dielčích krokov, ktoré tvoria záväzný celok. Ak si požičiame desiatku, potom jej
tzv. vrátením vlastne len zapisujeme vypožičanie, aj keď nie pomyselným prepísaním hodnoty
čísla, od ktorého sa odčíta, zmenšeného o jednotku, ale pomyselným prepísaním čísla
odčítaného, o jednotku zväčšeného, čím vlastne dosiahneme toho istého v hodnote ich
rozdielu. Formulácia, ktorá by charakterizovala danú súhrnnú kategóriu a pritom vystihovala
4

ozdiel tejto súhrnnej kategórie od prvej vyššie vyčlenenej súhrnnej kategórie, by mohla znieť
- rešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku. Celkom teda na túto súhrnnú kategóriu
pripadá minimálne 29,2% chýb.
O minimálnom percente výskytu chýb kategórie rešpektovania algoritmu prechodu cez
desiatku uvažujem kvôli nejasnej povahe stopy po chovaní žiakov, pre ktorých som
sformulovala alternatívnu kategóriu numerických chýb pri vracaní desiatky alebo pri
odčítaní cez desiatku. Pokiaľ nebudem považovať prechod cez desiatku za doplnkovú záťaž,
ale za celok, s ktorým by jeho dielčie kroky mali byť v súlade, pokiaľ sa teda prikloním
k tomu, že šlo predovšetkým o chybu v kroku prechodu cez desiatku, pri ktorom by sa malo
rešpektovať i to, že požičiame/vraciame len jednu desiatku, tento krok potom spadá do
súhrnnej kategórie rešpektovania algoritmu prechodu cez desiatku. Maximálne percento chýb
tejto kategórie sa rapídne zvýši na 41,7% a tým táto súhrnná kategória dobieha počtom prvú
súhrnnú kategóriu.
Ako zásadne odlišné od predchádzajúcich dvoch súhrnných druhov chýb sa mi javí
sčítanie namiesto operácie odčítania, ktoré má s numerickými chybami pri sčítaní
spoločné to, že sú to chyby v samotnej aritmetickej operácií sčítania/odčítania, resp. v ich
dielčích krokoch, a to ešte v prípadoch, kedy nie je komplikovaná prechodom cez desiatku,
cez hranice desatinného rádu. Minimálne percento chýb danej súhrnnej kategórie je 16,5%.
Obdobne, vlastne len s komplikáciou možno neuvedomovaným prechodom cez
hranice desatinného rádu, je to pri alternatívnom druhu numerických chýb pri vracaní
desiatky alebo pri odčítaní cez desiatku. Ani v ich prípade nemusí ísť o špecifickú
komplikáciu sčítania a odčítania viacciferných čísel ako takú, o samotné požičiavanie si či
vracanie desiatky ako o špecifický krok pre daný postup sčítania a odčítania pod seba. To by
tak mohlo vstupovať do hry ako doplnková záťaž zvyšujúca pravdepodobnosť
nekontrolovaného pohybu v rámci štruktúry čísel, s ktorými sa operuje, či priamo zotrvačného
znovuuchopenia čísel už použitých. Ak predpokladám, že žiaci nechybovali pri vracaní
desiatky, ale ich chybu spôsobilo odčítanie cez desiatku, stúpne percento chýb tejto kategórie
maximálne na 29,2% chýb.
Podiely kategórií chyb na celkovom počte
Rešpektovanie desatinného rádu 41,6%
Odhliadnutie od pozičnej hodnoty 33,3%
Odčítanie väčšieho čísla od menšieho 8,3%
Rešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku min. 29,2% - max. 41,7%
Nadbytočné vracanie desiatok 12,5%
Nedostatočné vracanie desiatok 16,7%
Numerické chyby pri vracaní desiatky alebo chyby pri 12,5%
odčítaní cez desiatku
5

Chyby v aritmetickej operácií sčítania a odčítania min. 16,5% - max. 29,2%
Sčítanie namiesto operácie odčítania 12,5%
Numerické chyby pri sčítaní 4,2%
Numerické chyby pri vracaní desiatky alebo chyby pri 12,5%
odčítaní cez desiatku
Teda, pokiaľ budem chyby a ich druhy považovať za výraz hľadanej povahy
obtiažnosti sčítania a odčítania viacciferných čísel, tak môžem konštatovať, že do hry
vstupuje i obtiažnosť samotnej aritmetickej operácie sčítania a odčítania, možno
aktualizovaná jej zapojením do komplikovanejšieho celku. Avšak len v menej ako tretine
prípadov bola dôvodom zlyhania žiakov. Viac ako dve tretiny prípadov potom idú na vrub
prácnosti špecifickej pre sčítanie a odčítanie viacciferných čísel, pre prípady, kedy je táto
aritmetická operácia operáciou viackrokou, kedy sa žiaci učia používať špecifický postup jej
výpočtu pod seba, a kedy si musí uvedomiť rešpektovanie desatinného rádu čísla a algoritmu
prechodu cez desiatku.
4. DISKUSIA
Kvantitatívnej evidencií jednotlivých druhov chýb som sa venovala pri analýze dát. To
podstatné však spočíva v kvalitách operácií či krokov, ktoré žiakom odporujú, a ktoré žiaci
preferujú na miesto správnych postupov. O povahe prácnosti sčítania a odčítania viacciferných
čísel pre daných žiakov som pri analýze dát vyvodila závery, ktoré sa v nasledujúcej časti
pokúsim konfrontovať s poznatkami Fusonovej. Fusonová sa venuje skúmaniu vytvárania
konceptuálnych štruktúr pre viacciferné čísla, ich sčítanie/odčítania a uvedomenie si pozičnej
hodnoty. Jej poznatky vychádzajú z pozorovania žiakov na prvom stupni, žiaci figurujúci v
mojom výskume sú žiakmi druhého stupňa. Fusonová pozoruje elementárnejšie chyby ako
som objavila v práci mojich žiakov, ale jej závery vysvetľujú mnohé z fenoménov, ktoré sa
vyskytli v mojom výskume.
Vo výskume uvažujem o troch spoločných menovateľoch obtiaží pri sčítaní a odčítaní,
na základe ktorých zaraďujem chyby do troch veľkých súhrnných kategórií:
Rešpektovanie desatinného rádu
Rešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku
Chyby v aritmetickej operácií sčítania/odčítania
V diskusií spolu s Fusonovou sa venujem prvým dvom kategóriám chýb, na základe
ktorých uvažujem o dvoch veľkých celkoch:
1. Rôzne podoby odhliadania, ignorovania, abstrakcie od dekadického/desiatkového
rádu/poriadku čísla by mohli odkazovať k zmistrovaniu pojmu - "know about".
2. Rôzne podoby podliehania či popierania zotrvačnosti, opakovania by mohli odkazovať
k zmistrovaniu algoritmu - "know how".
4.1 "Know about" - Rešpektovanie desatinného rádu
V mojom výskume aktívne pracujem s Fusonovej pojmom pozičná hodnota, ktorý
vysvetľujem v teoretickej časti. Tento pojem je vo svojej podstate zhodný so slovenským
"desatinným rádom čísla". Desatinný rád je slovenským ekvivalentom pre z angličtiny
pochádzajúcu pozičnú hodnotu – place value. Pojem pozičná hodnota upriamuje pozornosť na
to, že každá cifra v čísle tým, že je zapísaná v určitom stĺpci získava určitú hodnotu,
upriamuje pozornosť na jednotlivé cifry. Pojem desatinný rád ukazuje, že každá číslica v čísle
má svoj presný rád, postavenie. Tento rád či poriadok treba dodržiavať – pokiaľ porušíme
poriadok čísel, nikdy sa nám nepodarí získať správny výsledok. Súhrnne označujem
6

ešpektovanie pozičnej hodnoty číslice ako rešpektovanie desatinného rádu čísla číslicou
označeného.
Analýza dát ukazuje, že najčastejším druhom chýb je práve odhliadnutie od pozičnej
hodnoty číslic - vynechanie či nedisciplinované zapísanie stĺpcov viacciferných čísel pod seba.
Rešpektovanie pozičnej hodnoty číslic by ešte bezprostredne pred či pri vlastných
aritmetických operáciách mohlo zaistiť bezchybný postup bez ohľadu na nedisciplinovanosť
zápisu do stĺpcov. Z výskumu však vyplýva, že mnoho žiakov pozičnú hodnotu jednotlivých
cifier ignoruje, nevie o nej, chýba im "know about". Túto skutočnosť podporuje Fusonovej
postreh, že pozičná hodnota číslic nie je určená žiadnou špeciálnou značkou, je daná len
umiestnením číslice v čísle. Každá má svoju pozíciu, svoj stĺpec, ktorá určuje jeho hodnotu.
Žiaci v mojom výskume písali čísla v pomocnom výpočte chybne pod seba postupujúc
na princípe predchádzajúcich skúseností so zaznamenávaním písaného textu. Vo viacciferných
číslach sú číslice zoradené za sebou sprava doľava od najmenších po najväčšie, zapisujeme
ich však zľava doprava podobne ako písaný text. Fusonová si všíma, že z tohto dohodnutého
spôsobu vyplývajú komplikácie pri zapisovaní čísel do pomocných výpočtov pod seba. Čísla
musíme pod seba zapísať tak, aby stĺpce rovnakých kategórií boli správne pod sebou. To nie je
problém, pokiaľ majú obe čísla rovnaký počet číslic, pokiaľ sa však počet číslic líši, môžeme
mať pochybnosti pod ktorú kategóriu – do ktorého stĺpca začať zapisovať prvú číslicu druhého
čísla. Táto komplikácia, ktorú Fusonová popísala sa v mojom výskume prejavuje ako fenomén
zarovnávania čísel v pomocnom výpočte vľavo, ktorý tvorí podkategóriu chýb vzniknutých
odhliadnutím od pozičnej hodnoty.
Ďalšou kategóriou, ktorá je v zhode s Fusonovej výskumom je nesprávne zapísanie
desatinnej čiarky pod seba. Chyták prichádza v tom, že pravidlo zmenšujúcej sa pozičnej
hodnoty zľava doprava stále platí. Čím viac je číslica v pravo, tým menšia je jej pozičná
hodnota. Na pravej strane desatinnej čiarky sú teda pozície usporiadané od najmenšej po
najväčšiu, na ľavej stranu sa naopak rozbiehajú kategórie od najväčšej po najmenšiu hodnotu.
Pomenovanie pozičnej hodnoty a pomenovania jednotlivých stĺpcov na pravej a na ľavej
strane čísla je klamlivé. Problém vidím v tom, že žiaci sa pri zapisovaní nesústredia na
jednoduché pravidlo " desatinná čiarka pod desatinnú čiarku". Toto ignorovanie dôležitosti
zapísania čiarok pod seba je zrejme dané množstvom ďalších krokov, na ktoré sa musia pri
ďalších operáciách koncentrovať. ďalej sa v niektorých prípadoch potvrdilo, že i keď sú čiarky
zapísané správne pod seba, žiaci stlačili dve cifry do jedného stĺpca alebo niektoré cifry čísla
celkom vynechali. Dôslednosť zápisu pomocného výpočtu je pre správne riešenie kľúčová.
7

4.2 “Know how“ - Rešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku
Fusonovej konceptuálna štruktúra výmeny desiatky za jednotku a jednotky za
desiatku sa využíva v situácií, keď máme prebytok (pri sčítaní) alebo nedostatok (pri
odčítaní) na niektorej pozícií. Pri konceptuálnej štruktúre desať za jednu funguje pravidlo,
že desať jednotiek dá jednu desiatku – platí všeobecne desať na hociktorej pozícií musíme
preniesť ako jednotku na prvú pozíciu v ľavo. Pochopenie tohto konceptu je nevyhnutné
pre sčítanie a odčítanie viacciferných čísel, pri ktorých presahuje hodnota na niektorej
pozícií desiatku.
Nedokážem určiť do akej mieri žiaci tomuto konceptu, ktorý Fusonová veľmi jasne
a výstižne popisuje rozumejú a do akej mieri ide len o naučenú mechanickú stratégiu, o
"know how". Túto mechanicitu, automatickosť operácií prejavujúcu sa v nadbytočnom
vracaní desiatok a ich opaku, nedostatočnom vracaní desiatok som pomenovala ako
zotrvačnosť (nezvládaná je v prípade nadbytočného vracania, či potlačovaná, v prípade
vracania nedostatočného). Zotrvačnosť sa vzťahuje ku kroku, ktorý je špecifický pre
Fusonovej algoritmus sčítania a odčítania pod seba, týka sa samotného zápisu prechodu cez
desiatku, Ak si požičiame desiatku, potom jej tzv. vrátením vlastne len zapisujeme
vypožičanie, aj keď nie pomyselným prepísaním hodnoty čísla, od ktorého sa odčíta,
zmenšeného o jednotku, ale pomyselným prepísaním čísla odčítaného, o jednotku
zväčšeného, čím vlastne dosiahneme toho istého v hodnote ich rozdielu. Formulácia, ktorá
by charakterizovala danú súhrnnú kategóriu a pritom vystihovala rozdiel tejto súhrnnej
kategórie od prvej vyššie vyčlenenej súhrnnej kategórie, by mohla znieť - rešpektovanie
algoritmu prechodu cez desiatku.
Zaujalo ma popísanie postupu sčítania/odčítania rozfázované v jednotlivých
krokoch, na základe ktorých si môžeme uvedomiť zložitosť pravidiel pri operovaní
s viaccifernými číslami. Fuson určuje tri základné pravidlá.
1. Prvé pravidlo je napísať čísla vertikálne pod seba a súvisí s rešpektovaním
pozičnej hodnoty, o ktorej som písala vyššie.
2. Druhé pravidlo sa týka samotných operácií sčítania, odčítania čísel
neprechádzajúcich cez desiatku – minimálna chybovosť u žiakov z môjho
výskumu.
3. Tretie pravidlo je pre žiakov nové – jedná sa o postup pri sčítaní čísel
v pomocnom výpočte pod sebou v prípade, že ich súčet prekračuje desiatku.
Existuje celý mechanizmus, celé know how, ktoré žiaci musia zvládnuť,
zautomatizovať. Fusonová veľmi podrobne popisuje následnosť jednotlivých
krokov:
Pre sčítanie ak je suma desať alebo viac:
(A) Nenapísať obe cifry medzisúčtu väčšieho ako desať
(B) 1 z dvojcifernej sumy musí byť niekam zapísaná
(C) 1 z dvojcifernej sumy musí byť pričítaná k súčtu cifier vedľajšieho stĺpca
(D) 1 z dvojcifernej sumy musí byť pričítaná k súčtu cifier vedľajšieho stĺpca naľavo
Pre odčítanie ak veľkosť spodnej cifry presahuje veľkosť hornej cifry:
(A)Nie je možné tieto čísla odčítať
(B) Je potrebné pridať k vrchnej cifre, aby bola väčšia ako spodná cifra.
(C) Aby som mohol pridať k hornej cifre, musím si požičať z iného stĺpca
(D) Aby som mohol pridať desiatku k hornej cifre, musím si požičať jednotku z iného
stĺpca
(E) Aby som mohol pridať desiatku k hornej cifre, musím si požičať jednotku zo susedného

stĺpca
(F) Aby som mohol pridať desiatku k hornej cifre, musím si požičať jednotku z ľavého
susedného stĺpca
Neporozumenie princípu “výmeny” nemusí byť evidentné, pokiaľ žiaci majú za
úlohu sčítať pod seba zapísané viacciferné čísla a ak súčet žiadneho zo stĺpcov nepresiahne
10. Žiaci jednoducho sčítajú cifry v stĺpcoch a pod čiaru napíšu výsledok.
Chyby sa ukážu až keď je príklad zapísaný horizontálne, keď si žiak zapíše
nesprávne kategórie stĺpcov pod seba alebo ak majú viacciferné čísla rôzny počet cifier –
pretože všetky tieto situácie vyžadujú znalosť, že sčítavať/odčítavať sa môžu len cifry,
v rovnakých stĺpcoch. Pokiaľ sa jedná o sčítanie, odčítanie cifier cez desiatku, ani správne
zapísanie čísel do stĺpcov nezaručí správnosť výsledku. Teda pri prechode cez desiatku ani
správne "know about" nezaručí dobrý konečný výsledok bez znalosti "know how".
Pravidlá, ktoré Fusonová popisuje je možné dať do pomeru s kategóriami chýb,
ktorých sa žiaci pri sčítaní, odčítaní dopúšťajú. Pravidlo správneho zápisu je ekvivalentné
chybám, ktoré vznikajú nerešpektovaním desatinného rádu čísla. Žiaci ignorujú pozičnú
hodnotu číslic, chýba im poznanie podstaty tohto konceptu, nemajú "know about", preto
zapisujú čísla nesprávne pod seba a prichádzajú k chybnému výsledku.
Druhé pravidlo jednoduchého sčítania a odčítania do desať je podľa Fusonovej
žiakmi dobre zvládané. Pri tomto kroku vznikajú chyby v aritmetickej operácií
sčítania/odčítania, ktoré majú najmenší podiel na nesprávnosti konečného výsledku. Pri
pravidle treťom je dôležité pochopiť, že pri dvojcifernom súčte v stĺpci nemôžme zapísať
obe cifry a že desiatky z tohto súčtu musia byť pričítané ako jednotky do vedľajšieho
stĺpca, je potrebné uchopiť mechanizmus počítania s prechodom cez desiatku. Pri tomto
kroku dochádza k chybám spôsobeným nerešpektovaním algoritmu prechodu cez desiatku,
teda chybe v "know how".
5. ZÁVER
Na záver sa pokúsim v skratke zhrnúť výsledky výskumu. Zistila som, že žiaci
urobili najviac chýb v operáciách sčítania a odčítania. nešlo však o (1) aritmetické chyby
ako k tomu môže toto všeobecné pomenovanie zavádzať. Aritmetické chyby naopak tvorili
najmenšiu podmnožinu z množiny urobených chýb. Podstatne vo väčšom množstve sa
ukázali chyby, ktoré som zaradila do dvoch súhrnných kategórií: (2) nerešpektovanie
desatinného rádu čísla a (3) nerešpektovanie algoritmu prechodu cez desiatku. Na základe
analýzy prác žiakov a poznatkov Fusonovej je možné povedať, že prepísanie
horizontálneho zápisu do vertikálneho pomocného výpočtu je efektívne len za predpokladu
uvedomenia si desatinného rádu čísla a rešpektovaní algoritmu prechodu cez desiatku.
Podmienkou dosiahnutia správneho výsledku pomocou výpočtu pod seba je tzv. "know
about" i "know how".
Nakoniec by som sa rada vrátila k počiatočným otázkam, ktoré som si kládla.
V prvom rade ma na hodine matematiky zaujala nápadná precíznosť pani učiteľky a jej
nepretržité opakovanie pravidiel, ktoré sa ukazuje ako opodstatnené. Zdá sa že pani
učiteľka presne vie, ktoré chyby žiakom najčastejšie zabraňujú dospieť k správnemu
výsledku a pravidlá, ktoré s týmito chybnými krokmi súvisia žiakom neustále pripomína,
aby zabránila príliš častému neúspechu žiakov a vštiepila žiakom správne algoritmy
počítania. O tom, že opatrnosť ku ktorej svojich žiakov pani učiteľka vedie je jedným
s faktorov ovplyvňujúcim úspešnosť riešenia svedčí i to, že dvaja z troch žiakov, ktorí
dosiahli správny výsledok potrebovali na výpočet nadpriemerný počet riadkov, pretože sa
venovali každému kroku zvlášť podľa vzoru pani učiteľky.
9

6. LITERATÚRA
FUSON, K. C. Conceptual Structures for Multiunit Numbers: Implications for Learning
and Teaching Multidigit Addition, Substraction, and Place Value. Cognition and
Instruction, 1990, Vol. 7, No. 4, s. 343 – 403.

Príloha 1. Zápis pozorovania z hodín 6.B
(Cieľ: Priblížiť atmosféru triedy a jej každodenné fungovanie – uviesť výskum do
kontextu.)
V utorok ráno začínajú šiestaci až druhou hodinou. Prvú hodinu idú spoločne na
omšu. Z nej postupne prichádzajú do svojej kmeňovej triedy, ktorá je zároveň chemickou
učebňou. Čakám na chodbe, aby som sa predstavila triednej učiteľke. Poprosí ma, aby som
sa v triede predstavila. Zavolá Paľka, ktorý pochádza zo slovenskej rodiny aby ma usadil.
Zvonilo. Ďalší žiaci pomaly prichádzajú. Začína hodina občianskej výchovy.
Učiteľka vyzve žiakov, aby sa posadili do dvojíc, v ktorých predchádzajúcu hodinu
robili. Hovorí, že je v poriadku ak si vytiahnú desiatu, kým budeme čakať na spolužiakov,
ktorí sa postupne vracajú z omše. ”Svačíme, snídáme, nežvaníme.”
“Kdo dnes chybí” Ozvú sa hlasy. “Dobře, Maruško skus spočítat jestli nás je
dvadset!” Maruška napočíta 20. Učiteľka hovorí, že nás nie je 20, pretože máme hosťa.
Predstavila som sa. Niektoré deti (hlavne dievčatá) sa návštevníkovi v triede tešili,
spiklenecky na mňa pozerali. Chlapci boli slušní, ale známky záujmu (úsmev, pohľad,
otázky) o novú osobu neprejavovali v takej miere ako niektoré dievčatá. Dievčatá sa mi
zdali prekvapivo vyspelejšie ako v sociálnej interakcií tak po fyzickej stránke.
Prechádzame ku kontrole úlohy z predchádzajúcej hodiny. Žiaci dostali desať
otázok:
1. Obľúbené číslo
2. Čo by si urobil s výhrou 100 000 korún
3. Aké tri veci by si si zobral na opustený ostrov
4. Akým živočíchom by si chcel byť
5. Aké jedlo by si si objednal
6. Ktorá známa osobnosť je ti sympatická
7. Ktorá ľudská vlastnosť sa ti prieči
8. V ktorej zemi by si chcel žiť
9. Osobné prianie
“V kolika bodech jste se shodli, na tolik procent druhého znáte. Jestli jste měli tři
odpovědi dobře, znáte druhého na třicet procent. Na tolik se umíte do druhého vcítit.” “To
je empatie.” hovorí Anička. Veľa detí malo 20%, málo dosiahlo i 60%. “Jaký závěr by jsme
mohli udělat” “Musíme se lépe poznávat,”hovorí Adrianka.
Začíname s čítaním z učebnice. Maria mi svoju ochotne požičala. Čítame o úlohu
riaditeľa, aristokrata, prominenta. Učiteľka si všimla, že Pavlík nedáva pozor. Vyvoláva ho,
ale on nevie pokračovať. Po chvílke ho vyvolá znovu a Pavlík sa už chytí a predčítava.
Namiesto morový stĺp prečíta motorový stĺp. Učiteľka na to zareaguje a pýta sa, či by
niekto vedel vysvetliť tento pojem. Deti sa hlásia. Dávid vysvetľuje, že mramor je taký
kameň....učiteľka ho zastaví a pokračuje Katka:”Mor bola choroba, ktorá si v stredoveku
vyžiadala tisíce obetí.” Učiteľka dodáva, že morové stĺpy boli podobnou poverou ako
svätenie hromničných sviečok na Hromnice. Dávid na to hovorí: ”Já to vědel.” Učiteľka:
”Tady vidíš, co múže udělat jedno písmenko.” Palko: ”Dvě písmenka.”
Deti si zvláštne sadli. Dievčatá sedeli vo dvojiciach a chlapci každý sám vo
vzdialenejšej časti triedy. Pokračujeme v čítaní. Potom učiteľka povie, že na dnes bolo už
čítania dosť. Učiteľka napíše na tabuľu “15.hodina, Téma : Rovnost, nerovnost.” Katka
šeptá polohlasne: ”Klárko, Klárko, ní učitelka píše našou křídou!” Učiteľka si to všimne a
hovorí: ”Ano děvčata píši vaši křídou.” Zaujalo ma, že dievčatá pokladali kriedu za svoju.
1

Deti si majú obkresliť tabuľku z učebnice a do nej doplniť, koho z triedy považujú za
aristokrata, koho za prominenta atď. A doplniť k nemu tri charakteristické vlastnosti. Deti
nechápu najmä pojem aristokrat. Učiteľka vysvetľuje, že to je niekto so šľachtickým
správaním a dáva príklad prváčika, ktorý sa jediný na zápise pozdravil a pri odchode
pozdravil. Niektoré deti stále tomuto pojmu presne nerozumejú. Katka vysvetľuje:
“Aristokrat to je šlechtic, někdo urozený. Třeba Karel 4. Nebo královna Alžběta.” Učitelka
k tomu dodáva, že je to niekto kto má určitý spôsob chovania, niekto koho chovanie nás
zaujalo.
“Je tady strašný hluk” hovorí učiteľka, “nechovajte sa jako nezodpovědní dospělí,
co řeknou, že něco udělají a pak je s toho světová ostuda.”
“Tabulku rýsujeme tuškou”. Anička sa obracia na Katku:: ”Koho jsi dala jako
boháče” “No kdo asi může být boháč, no kdo asi” hovorí Katka a pohľadom sleduje
chlapca na druhom konci triedy. Anička: ”A na prominenta mám Davida, ten má samé
výhody. Debil!” “A koho máte na velitele” pýta sa Diana. “Já dám Aničku,” hovorí Katka.
Dievčatá za nami si píšu lístočky. “Vy prostě nemůžete spolu sedět,” upozorňuje ich
učiteľka. “Já ti říkala, že nemáš psát dopisy.”
Učiteľka pristúpi ku mne a pýta sa :”Rozeznáte, které ditě je integrované” Dovtedy
som si však nič nevšimla. Učiteľka mi vysvetľuje, že Dávid má normálne asistentku, ktorá
mu pomáha zapisovať poznámky, čo som si potom všimla na ďalšej hodine, na ktorej s ním
naozaj asistentka bola. Mala som pocit, že za neho robí príliš veľa. Chlapec, ktorí pri ňom
sedel na prvej hodine mal podľa mňa k Dávidovi odmeraný, profesionálny prístup, ešte si
to však musím overiť pri ďalšom pozorovaní. Dávid je vraj dysgrafik aj dyslektik. Ďalším
dievčatkom, o ktorom mi pani učiteľka hovorila je Diana, ktorá má neurologické poruchy.
Všimla som si, že je roztekaná, veľa pobehuje, stále sa hlási, i keď nevie správnu odpoveď,
veľa sa pýta a nechá si od učiteľa vysvetliť časti učiva, ktoré nepochopila samostatne pri
lavici, zatiaľ čo ostatní pracujú na cvičeniach. Nakoniec pokývla učiteľka smerom
k dievčatku v červenom svetri a povedala, že je trochu pomalšia. Keď sa na ďalšej hodine
písal testík, tak som si všimla, že sa obzerala, kto by jej pomohol, ale keď nenašla u nikoho
pomoc, mávla rukou a niečo tam napísala, zdalo sa mi, že odpoveď nevedela. Dievča, čo
sedelo pri mne písalo do testu presne naučenú vetu, tak ako ju fyzikár chcel. Hodina
občianskej výchovy skončila s tým, že si študenti majú zistiť ako sa odohral príbeh o
Ctiradovi a Šárke, o ktorom budú nabudúce písať.
Veľká prestávka
Cez veľkú prestávku ma dievčatá zobrali do oratória. Je to útulná miestnosť úplne
na vrchu budovy školy v podkroví. Tam už kľačali prevažne starší žiaci a jedna učiteľka,
ktorá odriekala ruženec. Každý z prítomných zopakoval modlitbu zdravás Maria. Pôsobilo
to na mňa ukľudňujúco. Napadlo ma, čo asi môžu žiaci prežívať, keď odriekajú modlitby.
Je to pre nich fyzický a psychický relax, alebo je za tým niečo hlbšie a spirituálnejšie
Predstavujú si niečo, keď modlitbu odriekajú, alebo je to skôr formulka, ktorá čistí ich
myseľ od otravných myšlienok na písomku a pod.
Po tom ako skončilo stretnutie v oratóriu, zobrali ma dievčatá k sestre, kam si vždy
chodia pokecať, zjesť si desiatu, vyrozprávať sa s problémov, posťažovať si, robiť plány,
dohadovať stretnutia.
3.hodina bola fyzika. Presunuli sme sa o triedu vyššie do fyzikálnej učebne. Deti
hneď na začiatku dostali testík – Napíš Newtonov gravitačný zákon. Učiteľ im rozdal malé
papieriky. Väčšina študentov nevyzerala zhrozene či vystrašene, s toho som usúdila, že
testíky píšu často. Katka, čo sedela pri mne, povedala, že ich píšu každú hodinu. Učiteľ
rozpažil ruky, dlane niekoľkokrát zovrel do pästi a povedal: ”Tělesa se přitahují tím více...a
víc už vám neřeknu.”

Na fyzike je trochu tichšie ako na hodine o. výchovy. žiaci sedia v laviciach
chlapec, dievča. Po teste rozdáva učiteľ laboratórne práce(“Udelali jste mi radost.”) a
testíky(“Byl jsem přísný a sklamaný”) z minulej hodiny.
Túto hodinu sa bude hovoriť o gravitačnej sile. “Narýsujeme vodorovnou čáru,
Adrianka budeš mi dělat asistentku.” Adrianka na triedu prevrátila očami.
Zápis na tabuli:
Opakování: Newtnův gravitačný zákon – tělesa se přitahují tím více, čím mají
věčší hmotnost a jsou si blíže.
Chlapec v prvej lavici sa opýtal: ”Může to být i opačně” Učiteľ: ”Jo, ale já to chci
takhle.”
1kg závaží – 10Newtnow – na Zemi
na Měsíci - 1,6N
Katka: ”Dalo by se to zjistit i mezi Zemí a Měsícem”
Učiteľ: ”Dobrá otázka, to víš, že by to šlo. Broučkové dost, já musím taky něco
napsat.”
Působení tělesa znázorňujeme sílou. Na Zemi působí na závaží hmotnosti 1kg sílou
10N. Jednotka síly je N – Newton.
Zatiaľčo učiteľ píše na tabuľu deti sa ohadzujú papierikmi, čo vytrhávajú zo zošitu.
V triede je jeden chlapec, ktorý má zlomenú pravú ruku, nemusí zapisovať, zrejme sa nudí
a tak s ohadzovaním začal.
Sílu znázorňujeme pomocí úsečky. Na Zemi je tedy poměr tíhy a hmotnosti 10
Newtonů na 1kg.
Učiteľ nahlas číta, to čo píše na tabuľu, jeho hlas je monotónny a uspáva ma.
Dievčina si namiesto Newtonů rovno napísala N.
Zapisujeme takto: g=10N/kg
“Co to je g To je gravitace”
“My tomu budeme říkat poměr tíha a hmotnosti, kdybys chvilinku počkala.”
g- poměr tíhy a hmotnosti
Jak velikou tíhou působí na Zem jiné těleso
1kg....10N
2kg...20N
G=m.g
G - tíha
m - hmotnost
g - poměr tíhy a hmotnosti
Pr.: Jak velikou tíhovou sílou působí na Zemi závaží m=100g
G=10N/kg
M=100g=0,1kg
Jedno dievča sa bavilo a nedávalo pozor, učiteľ k nej znenazdajky prišiel, pokvákal
ju a povedal, že nabudúce jej dá poznámku. Zvoní. Pokračujeme cez prestávku.
G=m.g
3

G=0,1kg.10N/kg
G=1N
Domáca úloha je napísať si odpoveď.
4.hodina je matika. Na tejto hodine i keď ostávame v rovnakej triede každý sedí
sám. Je veľmi zaujímavé pozorovať ako sediaci poriadok pôsobí na disciplínu - ticho či
hurhaj v triede.
Učiteľka úhľadne napíše na tabuľu
76.hodina
Téma: Sčítání a odčítání desetinných čísel
Na hodinu sa decká s toho čo som vyrozumela tešia. Hovoria, že veľmi dobre
vysvetľuje. Pýtam sa ich či je prísna, hovoria, že vôbec nie. To ma prekvapuje. Hovoria
že je veľmi “pečlivá”.
Učiteľka požiada aby niekto rozdal príklady z minula. Veľa detí sa hlási a chce
rozdávať. “Jedničky dávám jen když je to hodně v pořádku, jnak dáváme
plusky.”komentuje rozdané papiere.
Učiteľka používa na rozlíšenie veľa farebných kried a veľmi usporiadane píše na
tabuľu. Z jej hodiny cítiť organizovanosť, všetko má svoje miesto a svoj čas.
Sčítání
Pozor!!!
1. Píšeme číselné řády pěčlivě pod sebe
2. Píšeme desetinné čárky pečlivě pod sebe.
14,708 – Palko číta:”14 celých 708 tisícin
324,03 – Diana sa rýchlo prihlási, ale nevie:”324...”
Př.:
a) 258,72+25,47=284,19
b) 51,8+76,6=128,4
c) atd
Deti sú vyvolávané k tabuli a riešia na tabuľu. Vždy si výsledok overia so
spolužiakmi čo sedia v laviciach, či im vyšiel ten istý.
Diana: ”Já pořád nemohu pochopit, jak se to přenáší.”
Dievčina vedľa mňa si píše príklady rovno pod seba, namiesto toho, aby
prepisovala celý príklad do riadku a tak si šetrí čas.
Odčítání
Pozor: stejné jako u sčítaní
Př.: Odečtěte:
a)66,32-8,79=57,53
b)196,71-61,34=135,37
c)62,39-32,8-16,5=29,59-16,5=13,09
1)Odčítáme postupně
2)postupujeme s leva do prava
Učiteľka vytvára dojem poriadku, má jasné pravidlá, úhľadná tabuľa.

Je treba rozdať papiere. Deti sa hlásia. ”Děkuji za nabídky, ještě se nehlaste.”
Maruška rozdáva papiere. !Až se Maruška vrátí na své místo, začneme.”
Žiaci precvičujú počítanie uhlov, učiteľka zatiaľ chodí od lavice k lavici,
podpisuje žiacke a vysvetľuje deckám, čo urobili zle v písomke a ako to má byť správne.
Zatiaľ čo ona individuálne vysvetľuje ostatní žiaci pilne počítajú príklady, ktoré sú na
meotare. Keď potrebujú, môžu deti vstať a ísť si pre papier.
“Jde li vám to pomalu, nepanikařte. Raději méně pečlivě, než všechno a špatně.”
“Víš co Diano, já potřebuji vědět, co dokážeš sama. Zítra je den před tématickou
písemkou, pak ti to vysvětlím.”
“Hezky dodělejte, to co máte rozdělané.” ”Jěšte nééé.” ”Komu to nejde, tak si
včas řekne.”
Deti odovzdajú príklady a končí hodina.
5.hodina je Francúžština. Žiaci si možu vybrať s angličtiny, nemčiny a franiny. Na
tejto hodine sa spájajú deti s viacerých tried. Učiteľka príde neskoro a zdá sa mi, že je
nervózna. Ospravedlňuje sa, že prišla neskôr. Žiaci sa hlásia, že nerozumejú cvičeniu, čo
mali na úlohu. V tomto cvičení sú dané odpovede a majú vymyslieť otázky. Niektoré deti
úlohu vôbec nemajú a tak si ju rýchlo píšu. Iné vykrikujú odpovede. Zdá sa mi to ako
hrozný chaos, s ktorého je ťažko zistiť, čo vlastne bola správna odpoveď. “Dám vám toto
cvičení na známku, takže ho už všichni víme.” zakončuje učiteľka.
Combien de...
Ne.........que je jako seulement
Est-ce qu on peut pas traverser Mais si.
Čítanie článku nahlas, pri ktorom veľa detí nedáva vôbec pozor a tak je ťažko
počuť čítajúceho.
“Jeanne est terrible.” Učiteľka číta a deti si majú z prečítaného pripraviť otázky.
“Teda poslouchejte, nevím, co se s vámi děje, ale nějak se mi to nelíbí.” Rozsadí ich po
jednom a píšu a,b,c test. Učiteľka rozpráva čiastočne francúzsky a čiastočne česky. Na jej
otázky odpovedajú hlavne štyri žiačky, ostatní sa bavia alebo nudia, strúhajú si ceruzky.
Neviem či rozumejú, čo majú robiť.
Jana sa tvári zmätene, otáča sa dozadu. Učiteľka stojí vzadu a kontroluje či sa
neopisuje. ”To se předvádíte” “Ne.” “Nikdo se tě neptal. ...Dneska se mi to vůbec
nelíbí.” Zadáva domácu úlohu. Keď hodina skončí učiteľka mi vysvetľuje, že to takto
nebýva vždy.
Utorok, 9.marca
Deti postupne prichádzajú do triedy po omši. 2.hodina je Občianska výchova.
Učiteľka občianskej výchovy je zároveň triedna učiteľka a tak využíva začiatok hodiny na
doriešenie triednických vecí – jedná sa o žiadosť o chodenie na školské hrište. Žiaci sa
majú rozhodnúť o tom, či to podpíšu všetci, alebo budú stačiť len zástupcovia triedy. Jeden
chlapec, ktorý spísal pravidlá správania sa na ihrisku si stane pred triedu a prečíta ich –
medzi inými: správať sa ohľaduplne a slušne k ostatným atd. Deti sú pri prejednávaní
ticho. Niektoré jedia, chlapec vedľa mňa číta pod lavicou knižku, keď si všimne, že som sa
na neho pozrela spozornie.
Učiteľka začne občiansku výchovu pripomenutím pôstnej doby. Každý rok k nej
niečo študenti kreslia, tento rok im učiteľka rozdala papiere s predlohou mozaikovej
dlaždičky, ktorú je treba vymaľovať. “ V jeruzalémě si cestu dláždili, my si tu naši taky
vydláždíme. Co vám tyto dlaždice připomínají” “Puzzle, mozaiku!”
“Ano a vzpomeňte si na mozaiku při vchodu do školy, je barevná i vy se snažte ji
udelat co nejbarevnější. Udělejte každý čtvereček jiné barvy.” ”Tolik barev na světe není!”
5

“Tolik barev nemám!” Požiadavka, aby vyfarbili každý štvorček inou farbou vyvolala
veľký nesúhlas u detí, že toľko farieb nemajú a ani ich toľko na svete neexistuje.
Pred tým, ako sa pustia do dlaždíc, musia študenti zodpovedať na otázky v učebnici
. Jednu možu vynechať. “Měli by ste pracovat samostatně, ať je tady ticho....ty tašky jsou
jako kdyby tady vybuchla atomovka. Všichni mají zešit Ty nemáš zešit Na co tedy píšeš
Na papír Ukaž mi ten papír.”
Otázky:1. Kdo jsou to prarodiči 2. Co to znamená 3+1 3. Kdy vznikla
samostatná Československá republika 4. 3 funkce správné rodiny -deti okolo mňa mali
s touto otázkou ťažkosti...odpovedali napr. úklid. 5. Co jsou to vesničky SOS 6. Kdo
nemůže uzavřít manželstvo 7. Co je to antikoncepce 8. Jaké jsou dvě položky domácího
rozpočtu
“Paní učitelko, mohou mentálně postižení uzavřít manželství” “Ano mohou pokud
nejsou zbaveni svéprávnosti.” “Múže se vzít žena a žena” “Ne u nás za tím ne.” “Co jsou
to ty vesničky” “To je zvláštní typ dětského domova, kdy maminka....” “má postižené
dítě...” “Proč stále máte představu postižených dětí Vesnička SOS je jako dětský domov
rodinného typu.”
Zazvoní. Deti odovzdajú vyfarbené dlaždičky, je zaujímavé pozorovať ako každé
dieťa použilo inú techniku ako vyfarbiť veľa tvarov – pravdepodobne to bude súvisieť
s trpezlivosťou, sústredením, schopnosťou udržať pozornosť.