Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 5

Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki
Zestaw nr 5
1. Oblicz pochodne funkcji f(x) = x 2 oraz g(x) = x 3 wiedząc, że pochodna funkcji wyraża
się następująco:
f ′ f(x + ∆x) − f(x)
(x) = lim
.
∆x→0 ∆x
2. Wiedząc, że (sin x) ′ = cos x, (cos x) ′ = − sin x, (e x ) ′ = e x , (x n ) ′ = n · x n−1 , (ln x) ′ = 1 x
oblicz pochodne funkcji:
(a) f(x) = √ 2x,
(b) g(x) = sin x cos x,
(c) h(x) = (sin 2x) 5 ,
(d) j(x) = e 7x+3 ,
(e) k(x) = tg x,
(f) v(x) = x x .
3. Znajdź minimum funkcji f(x) = x 2 + 2 oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x 2 . Określ,
dla jakich wartości x funkcja jest malejąca, a dla jakich rosnąca. Jaki to ma związek z
wartością pochodnej Zauważ związek między drugą pochodą a wklęsłością i wypukłością
funkcji.
4. Czy funkcja f(x) = x 3 posiada ekstremum dla x = 0 Przedyskutuj różnice w zachowaniu
pierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x 2 + 2 i f(x) = x 3 . Jak odróżnić
ekstremum funkcji od punktu przegięcia
5. Korzystając z twierdzenia de l’Hospitala:
oblicz granice funkcji dla x → 0:
(a) f(x) =
sin 5x
x ,
(b) g(x) = e3x −3x−1
sin 2 5x .
6. Oblicz granicę lim x→1 ( 1
twierdzenia de l’Hospitala.
− 1
x−1 ln x
f(x)
lim
x→x 0 g(x) = lim f ′ (x)
x→x 0 g ′ (x)
) przekształcając wyrażenie tak, by móc skorzystać z
7. Wyznacz przedziały, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x 2 − 2x 3 jest malejąca.
8. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji y = x 3 −3x 2 +6x+2 w przedziale [−1, 1].
9. Zbadaj przebieg zmienności funkcji
f(x) =
5x
1 + x 2 .
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

Zadania domowe
1. Proszę wykazać, że funkcja f(x) = x 5 − 5x 3 + 25x nie ma ekstremum.
2. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x + 2 − 2 w przedziale [1, 4].
x
3. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = x2 +2
x+1 .
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni