KINEMATIKA A DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

KINEMATIKAADYNAMIKATUHÉHOTĚLESA 

StudijnítextprořešiteleFOaostatnízájemceofyziku 

BohumilVybíral 

Obsah 

Úvod 3 

1 Kinematikatuhéhotělesa 4 

1.1 Polohatuhéhotělesapřipohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2 Translačnípohybtuhéhotělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Rotačnípohybtuhéhotělesakolemnehybnéosy . . . . . . . . 6 

1.4 Rovinnýpohybtuhéhotělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

a)Popispohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

b)Rychlostazrychleníbodůtělesapřirovinnémpohybu . . . 8 

c)Pólrovinnéhopohybutělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

d)Zvláštnípřípadypolohypólupohybu . . . . . . . . . . . . . 11 

e)Polodienehybnáapolodiehybná . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2 Dynamikatuhéhotělesa 16 

2.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.2 Prvníimpulsovávěta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

a)Vnějšíavnitřnísíly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

b)Hybnostsoustavy,hmotnýstřed . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

c)Formulaceprvníimpulsovévěty . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.3 Druháimpulsovávěta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

a)Obecnáformulacedruhéimpulsovévěty . . . . . . . . . . . . 20 

b)Momenthybnostituhéhotělesavzhledemknehybnéose . . 21 

c)Formulacedruhéimpulsovévětyprorotacikolemnehybnéosy 22 

2.4 Momentsetrvačnostituhéhotělesavzhledemknehybnéose . . 24 

a)Výpočetmomentusetvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

b)Steinerovavěta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

c)Momentysetrvačnostihomogenníchtělesjednoduchéhogeometrickéhotvaruohmotnosti 

m . . . . . . . . . . . . . 29 

2.5 Dynamikaobecnéhorovinnéhopohybutuhéhotělesa . . . . . . 31 

a)Pohybovérovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

b)Valivýpohybtělesaponakloněnérovině . . . . . . . . . . . 36 

1

2.6 Kinetickáenergietuhéhotělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

a)Kinetickáenergiepřitranslačnímpohybu . . . . . . . . . . . 40 

b)Kinetickáenergiepřirotačnímpohybukolemnehybnéosy . 41 

c)Kinetickáenergiepřirovinnémpohybu . . . . . . . . . . . . 42 

2.7 Zákonzachovánímechanickéenergie . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2.8 Srovnánírotačníhopohybustranslačnímpohybem . . . . . . . 48 

3 Úlohy 49 

Výsledkyúloh 60 

Literatura 67 

2

Úvod 

Mechanikajepřirozenýmzáklademfyziky,neboťpodáváobrazorelativním 

kliduapohybufyzikálníchtěles.Pokudsebudemezabývatpodmínkamirovnováhytěles,použijememetod,kterénámdávástatika.Tabylapředmětem 

studijníhotextu[11].Bude-linászajímatpopispohybutěles,anižbychomse 

zabývalipříčinamijehozměn,použijememetodkinematiky.Tapopisujepolohu,rychlostazrychlenítěles.Královnoumechanikyjedynamika,pomocí 

nížvyšetřímesouvislostmezipohybemtělesasilamiajejichmomenty,které 

natělesapůsobí. 

Vpředloženémtextusesoustředímenakinematikuadynamikutuhého 

tělesa.Mechanikaobecnéhoprostorovéhopohybutělesjevelmisložitá,aproto 

sebudemepodrobnějizabývatjenobecnýmrovinnýmpohybemtuhéhotělesa. 

Naúvodproberemezvláštnípřípadypohybu-translačnípohybarotačnípohyb 

kolemnehybnéosy.Tímsefyzikálníamatematickýaparátzjednodušídoté 

míry,žebudezvládnutelnývyspělýmistudentystředníchškol. 

Vtextusevyužívávektorovéalgebry,jednoduchýchmetoddiferenciálníhoa 

integrálníhopočtu.Přiřešeníúlohnarazímeinajednoduchédiferenciálnírovnice,kterésedajířešitseparacíproměnných.Tojetakováúpravadiferenciální 

rovnice,přinížsenaopačnéstranyrovniceodsebeoddělí(separují)nezávisle 

proměnnáazávisléproměnnáveličinaajejichdiferenciály.Takovourovnicijiž 

paklzezpravidlaintegrovat. 

Pokudbychomsechtělizabývatobecnýmprostorovýmpohybemtuhého 

tělesa,narazilibychomnatenzorovéveličiny,natenzorovoualgebruaanalýzu 

anasoustavydiferenciálníchrovnic.Tímbychomvšakvýrazněpřekročilirámec 

středoškolskýchmožností. 

Vpředloženémtextujsmesesnažiliorigorozníobecnývýklad,kterýběžné 

středoškolskéučebnicepostrádají.Použitíobecnýchzákonitostíjeilustrováno 

najedenáctiřešenýchpříkladech.Určitouzběhlostprořešeníúloh,např.ve 

fyzikálníolympiádě,získástudující ažposamostatnémřešenípředložených 

úloh,kterýchjevtextučtyřicet.Prokontrolusprávnostijsounazávěrtextu 

uvedenyvýsledkyúloh. 

3

1 Kinematikatuhéhotělesa 

1.1 Polohatuhéhotělesapřipohybu 

Vestudijnímtextu[11]jsmesezabývalivyšetřovánímpodmínekrovnováhytuhéhotělesa.Nynísebudemevěnovatpohybutuhéhotělesaamusímepředevším 

znát,kolikanezávislýmisouřadnicemibudeurčenapolohatuhéhotělesa,tedy 

kolikstupňůvolnostimátuhétěleso.Tentoproblémbylvysvětlenjižvúvodním 

textu[11],aprotosivýsledkyúvahjenpřipomeneme. 

Volnétuhétělesokonajícíobecnýprostorovýpohybmášeststupňůvolnosti. 

Kurčeníjehopolohyjetedytřebaudatšestnezávislýchskalárníchsouřadnic,za 

kteréjezdynamickéhohlediskavýhodnévolittřisouřadnice(např.kartézské) 

udávajícípolohuhmotnéhostředutělesa(resp.jehotěžiště)adalšítřiúhlové 

souřadnice,kteréurčujíorientacitělesavzhledemkevztažnésoustavěpevně 

spojenéstělesemaprocházejícíhmotnýmstředem. 

Důležitýmzvláštnímpřípadempohybutuhéhotělesajetranslační(posuvný) 

pohyb.Přitomtopohybulibovolnápřímkaspojenástělesemzůstávástálerovnoběžnáskteroukolisvoupředchozípolohou.Protokpopisupolohytělesapři 

translačnímpohybustačíudatpolohujedinéhojehobodu—např.hmotného 

středu.Tělesopřitranlačnímpohybumátřistupněvolnosti. 

Zamezíme-lipohybujednohobodutělesa,odeberememutřistupněvolnosti.Tělesuzůstanoutřistupněvolnostiabudevykonávatprostorovourotaci 

kolemokamžitéosyrotace,kteráprocházípevnýmbodem.Příklademjepohyb 

setrvačníku. 

Zamezíme-lipohybudvoubodůtělesa,určímetímnehybnouosurotace, 

kolemnížbudetělesovykonávatrotační(otáčivý)pohyb.Tytodvabodyjsou 

určenyšestisouřadnicemi,avšakmezinimijejedenvztah,vyjadřujícístálou 

vzdálenostmezitěmitobody.Protojepohybtělesaomezenpětipodmínkamia 

tělesutudížzůstanejedenstupeňvolnosti.Polohutělesanejlépeurčímeúhlem 

ϕotočeníkolempevnéosy. 

Důležitýmzvláštnímpřípadempohybutělesajejehorovinnýpohyb, při 

kterémbodytělesaopisujírovinnétrajektorie,kteréležívevzájemněrovnoběžnýchrovinách.Kpopisupolohytělesapakstačípopsatpolohujedinéúsečky 

vrovině.Tatopolohajezřejměurčenatřeminezávislýmisouřadnicemi,např. 

dvěmakartézskýmisouřadnicemijednohoboduúsečkyaúhlem,kterýúsečka 

svíráslibovolnoupřímkouvroviněpohybu.Tuhétělesokonajícírovinnýpohyb 

mátřistupněvolnosti. 

Obecnýpohybtuhéhotělesavprostorulzerozložitnadvanezávislépohyby: 

natranslačnípohyburčitéhobodutělesa,tzv.vztažného(referenčního)bodu,a 

nasledokamžitýchrotačníchpohybůkolemtohotobodu,přičemžtentorozklad 

závisínavolběvztažnéhobodu.Obecnýdůkaztohototvrzenípodalr.1830 

4

fancouzskýmatematikM.Chasles[čtiŠál]auvádísejakoChaslesovavěta 

(viznapř.[9]). 

Vzhledemktomu,ževolnétuhétělesovprostorumášeststupňůvolnosti,je 

kúplnémupopisujehopohybutřebařešitšestsložkovýchpohybovýchrovnic. 

Tytorovniceobsahujíjakoneznáméšestveličin,kterépopisujípohybovýstav 

tělesa.Pohybovérovnicedostanemeaplikacíimpulsovýchvět,přičemžI.impulsovávětadávápopistranslacetělesaaII.impulsovávětapopisrotacetělesa. 

Vpřípaděobecnéhorovinnéhopohybuřešímetřisložkovérovnice,přičemždvě 

popisujítranslaciatřetírotacitělesa. 

1.2 Translačnípohybtuhéhotělesa 

aB= dvB 

dt 

= dvA 

dt 

=aA . (2) 

Jakjsmesiuvedli,zůstávápřitranslačnímpohybuúsečkaspojujícílibovolné 

dvabodytělesastálerovnoběžnásesvouvýchozípolohou.Protomajítrajektorievšechbodůtělesapřijehotranslacishodnýtvarastejnoudélku— 

trajektoriejsoushodné,vzájemněposunutékřivky.Přitranslačnímpohybu 

libovolnápřímkaspojenástělesemneměnísvůjsměr. 

UvažujmedvabodyA,Btělesapři 

translačním pohybu (obr. 1). Pro 

jejichpolohovévektoryplatí 

B 

rA=rA(t), 

B 

r0 0 

rB=rB(t)=rA+r0 , 

A kdevektorr0jekonstantní.Proto 

prorychlostazrychlenídvoulibovolnýchbodůtělesadostaneme 

A 0 

rBrA 

O Obr.1 vB= drB = drA =vA , (1) 

dt dt 

Všechnybodytuhéhotělesasetedypřitranslačnímpohybupohybujístejnou 

rychlostí ase stejným zrychlením. Pohybovýstavtuhéhotělesajepři 

translačnímpohybujednoznačněurčenpohybemjedinéhobodu,zakterýzpravidlavolímehmotnýstředtělesa.Křešenítranslačníhopohybutedypoužijeme 

poznatkůpropohybjednohohmotnéhobodu. 

5

1.3 Rotačnípohybtuhéhotělesakolemnehybnéosy 

Přirotacituhéhotělesakolemosynehybnévtěleseivevztažnésoustavěvykonávajívšechnybodytělesa(svýjimkoubodůosy)trajektorievetvarukružnic 

∆ 

ležícíchvroviněkolmékosesestředemnaose.Vezvolenéinerciálnívztažné 

soustavějepohybovýstavtělesapopsánjedinousouřadnicí—úhlemotočení 

=(t),kterýdefinujemejakovektorležícívoserotace(obr.2).Jehosměr 

určímenejsnázepravidlempravéruky:ukazují-liprstypravérukysměrorientovanétrajektoriebodůtělesa,ukážepalecsměrvektoru.Rychlostzměny 

úhluotočenípopisujevektorúhlovárychlost,kterýdefinujemevýrazem 

∆ 

=d = lim 

∆t→0∆t dt ≡˙. 

Rychlostzměnyúhlovérychlostipopisujevektorúhlovézrychlení,kterýdefinujemevýrazem 

=d=d2 

= lim 

∆t→0∆t dt dt 2 ≡¨. 

Obavektory,ležívoserotace(obr.2). 

 

v r 

at A 

s 

an 

ϕ 

ϕ 

r 0 

α 

O 

Obr.2 Obr.3 

NynímůžemeurčitrychlostazrychleníboduAtělesarotujícíhokolemnehybnéosy(obr.3),kteráprocházípočátkemOvztažnésoustavy.Jezřejmé,že 

prodráhu savelikostrychlostivboduAplatí 

s=r 0 ϕ=|r|ϕsinα, 

|v| ≡ v= ds 

dt = r dϕ 

0 

dt = r 0ω= |||r|sinα, 

kderjepolohovývektorboduA.Druhýzevztahůnásvedekvýpočtuúhlové 

rychlostijakovektorupodleEulerovavztahu 

v=×r. (3) 

6

Jehoderivacípodlečasupodlevzorceproderivacisoučinudvoufunkcípřizachovánípořadífunkcí(provektorovýsoučindvouvektorůvevztahu(3)neplatí 

komutativnízákon)dostanemeprozrychleníboduApostupněvýrazy 

dv a= 

dt = d dt 

d 

(×r)= 

dt 

dr 

×r+× dt =×r+×(×r). (4) 

Prvnísložkazrychlenív(4)mázřejměsměrtečnykekružnicivboděAajetedy 

tečnýmzrychlenímat boduA.Druhásložkazrychlenív(4)mázřejměsměr 

normálykekružnicivboděAajetedynormálovýmzrychleníman boduA. 

Neboli 

at=×r, (5) 

1.4 Rovinnýpohybtuhéhotělesa 

a)Popispohybu 

an=×v=×(×r). (6) 

Jakjsmeuvedli,bodytělesapřirovinnémpohybuopisujírovinnétrajektorie, 

kteréležívevzájemněrovnoběžnýchrovinnách.Protopropopisrovinného 

pohybupostačípopisovatprůmět(S)tělesadojednéztěchtorovin,kterou 

volímezazákladní(obr.4).Takmístotrojrozměrnéhotělesavyšetřujemepohyb 

plošnéhoútvaruvrovině. 

Polohatělesapřirovinnémpohybubude 

y 

jednoznačněurčenapolohouúsečkyAB 

(S) ve vztažné soustavěvzákladní rovině, 

B 

tedy polohou referenčního (vztažného) 

bodu(např.A)asměremúsečkyAB.Pohybbudoupopisovatrovnice 

ϕ 

A 

y A 

x A = x A (t), 

y A = y A (t), (7) 

O x A x 

Obr.4 

ϕ=ϕ(t), 

vsouladuspoznatkem,žetělesovykonávajícírovinnýpohybmátřistupně 

volnosti. 

Sohledemnapopispohyburovnicemi(7)lzerovinnýpohybtělesarozložit 

natranslačnípohybreferenčníhobodu(A)anarotačnípohybkolemreferenčníhobodu(A)—vizobr.5.Přitomlzeukázat,žerotačnísložkarovinného 

pohybunezávisínavolběreferenčníhobodu.Naobr.6jeznázorněnrozklad 

pohybupropřípad,žereferenčnímbodemjebodB. 

7

y 

O 

 

(2) y (2) 

B 1 B 2 

B 1 B 2 

B’ 2 

ϕ 

ϕ 

A 1 A 1 A’ 

A 2 

(1) 2 A 

(1) 2 

x 

x 

Obr.5O 

Obr.6 

b)Rychlostazrychleníbodůtělesapřirovinnémpohybu 

 

PolohulibovolnéhoboduBtělesa,popsanoupolohovýmvektoremrB=rB(t), 

lzevyjádřitvetvaru 

rB=rA+rBA , 

kderA=rA(t)jepolohovývektorboduAarBA=rBA(t)jepolohovývektor 

boduB vzhledemkboduAvevztažnésoustavě,jejížpočátekjevboděA. 

DerivacítohotovztahupodlečasudostanemevztahprorychlostboduB: 

vB=vA+vBA=vA+×rBA , kde 

y ′ 

|vBA|=ω· AB , (vBA ⊥ AB). y 

ProtožepohybemboduBvsoustavě vA 

vBAvB 

Ax ′ y ′ jerotaceokoloboduA,jerychlostvBAkolmákúsečceAB.Pakje 

rBA 

ω 

B 

zřejmé,žepřirovinnémpohybuprůmětyrychlostídvoulibovolných 

bodů 

vA 

tělesanapřímku,kterájespojuje,jsou 

sirovny—větaoprůmětechrychlostí. 

A 

x 

rArB 

′ 

ProzrychleníboduBanalogickyplatí O x 

Obr.7 

(srovnejsvýrazem(4)): 

aB=aA+aBA=aA+×rBA+×(×rBA). 

ZvýrazůprorychlostazrychleníboduBjezřejmýrozkladrovinnéhopohybu 

tělesanatranslačnípohybreferenčníhobodu(A)anarotačnípohybkolem 

tohotobodu. 

8

Příklad1 

Tyčsepohybujetak,žejejíkoncovébodyA,Bsetrvalenacházejínaosách 

x, y .UrčeterychlostboduB,je-lidánaokamžitárychlostvAboduAaúhel 

ϕ(obr.8). 

y 

Podlevětyoprůmětechrychlostí 

A 

platí 

v A sinϕ=v B cosϕ, ϕ ∈ 〈0 , 

vA 

ϕ vB 

O B x 

Obr.8Řešení: 

π 2 ). 

Neboli 

sinϕ 

v B = v A 

cosϕ = v Atg ϕ. 

c)Pólrovinnéhopohybutělesa 

Rychlostibodůtělesapřijehorovinnémpohybulzejednodušeurčitužitím 

pólupohybu.Pólempohybuneboliokamžitýmstředemotáčenísenazývábod 

Pprůmětutělesadorovinypohybu,jehožrychlostjevdanémokamžikunulová: 

v P =0—vizobr.9. 

A 

vA 

B 

B 1 

B 

vB 

P 

b a 

Obr.9 

ω 

C 

A 

M 

ϕ 

vC 

Obr.10 A 1 

Nyníjeotázkou,zdapólpohybumůžemeprokaždýokamžiklibovolného 

rovinnéhopohybunalézt.Ukážeme,žeano.UvažujmelibovolnouúsečkuAB 

vprůmětutělesadorovinypohybu(obr.10),kterápřipohybupřejdedopolohy 

jinéhosměruA 1 B 1 .PrůsečíkMsymetrálúsečekAA 1 ,BB 1 jetotižbod,kolem 

něhožseúsečkaABotočíoúhel ϕdonovépolohyA 1 B 1 ,neboťtrojúhelníky 

ABM,A 1 B 1 MjsoushodnéapohyblzepovažovatzaotočenítrojúhelníkuABM, 

kněmužnáležíiúsečkaAB,kolemboduM≡Poúhel ϕ.Pokudnastanezvláštní 

9

případ,žeosyúsečekAA 1 ,BB 1 splynou(obr.11)budebodMpřímoprůsečíkem 

úsečekAB,A 1 B 1 . 

Obr.10a11ukazuje,žekaždépřemístěníúsečkyABdonovépolohyA 

 

1 B 1 , 

kteréneníposunutím(pakbyúsečkyAB,A 1 B 1 bylyrovnoběžné)jeotočením 

okolonějakéhoboduM,kterývlimitě |AA 1 | →0 , |BB 1 | →0nazývámepól 

pohybuP. 

ÚsečkyAA 1 ,BB 1 naobr.10a11jsousečnamitrajektoriípříslušnýchbodů. 

Vlimitěprokaždýčasovýintervaltytosečnypřejdouvtečny(vizobr.12)aosy 

úsečekAA 1 ,BB 1 přejdouvnormálytrajektorií.Jejichprůsečíkjepólpohybu 

P. 

B 1 

 

vB B 

B 

M 

M ≡P 

ϕ 

A 

A 

A 1 

vA 

Obr.11 Obr.12 

Vraťmesenyníkpopisuobecnéhorovinnéhopohybupodleobr.9.Zvolme 

sibodyA,B,jejichžrychlostivA ,vBnejsouparalelní.PakpólPjeprůsečíkem 

přímky a ,kteráprocházíbodemAkolmokvA ,apřímky b ,kteráprochází 

bodemBkolmokvB .Pak v P =0 .Kdybychompředpokládali v P ≠0musel 

bypodlevětyoprůmětechrychlostíbýtvektorvPsoučasněkolmýkaib ,což 

nenímožné. 

ProvelikostirychlostíbodůA,Bplatí 

neboli 

v A = ω · PA, 

v B = ω · PB , 

v A 

PA = v B 

PB = ω . (8) 

Velikostirychlostíbodůtělesapřirovinnémpohybujsouúměrnéjejichvzdálenostiodpólupohybu. 

10

Je-liznámpól,lzeurčitrychlostlibovolnéhoboduC: 

v C = ω · PC , 

kde ω= v A 

PA . 

Pólnejlépeurčímegraficky(vizpříklad2)zeznalostineparalelníchrychlostí 

dvoulibovolnýchbodůtělesa. 

d)Zvláštnípřípadypolohypólupohybu 

1.Jestližesetělesopřirovinnémpohybuodvalujebezskluzu,jepólempohybu 

boddotykutělesaspodložkou(obr.13).Vdanémokamžikuje 

v 

v P =0 ,jinak 

bysebodP muselsmykat.PolohaboduP jevšakokamžitá—bodP se 

přesouvájistourychlostípopodložce.Bude-liseodvalovatkouleneboválecpo 

rovnépodložce,buderychlostpřemisťovánípólurovnarychlostivstředutělesa. 

Vjinýchpřípadech,napříkladpřivaleníoválu,budoutytorychlostirůzné. 

2.Jsou-lirychlostivA ω 

,vBbodůA,B 

tělesapřirovinnémpohybuvzájemně 

rovnoběžné a kolmé na úsečku AB a 

mají-lirůznévelikosti,ležípólPvprůsečíku 

přímky spojující body A, B a 

P 

přímkyspojujícíkoncovébodyvektorů 

Obr.13 vA ,vB(obr.14a,b). 

3.Budou-limítsouhlasněrovnoběžnévektoryvA ,vB ,narozdílodpřípadu 

ad2,stejnouvelikostastejnýsměrjdeolimitnípřípadpolohypólupohybu, 

kterýzřejměležívnekonečnu(obr.15). 

4.Jsou-lirychlostivA ,vB ,bodůA,Btělesapřirovinnémpohybusouhlasně 

rovnoběžnévektoryanejsou-likolmékúsečce AB(obr.16),takpředevším 

podlevětyoprůmětechrychlostímusíbýt v A cosα=v B cosα,neboli v A = v B . 

Ztohojepakzřejmé,žepól P → ∞. 

a) b) 

vA 

A A vA 

A 

α vA 

ω 

vBvA 

B P 

vB 

AvB α 

B B 

ω 

P→ P B 

∞ 

vB 

Obr.14 Obr.15 Obr.16 

11

Příklad2 

JedánopevnékoloostředuO 1 apoloměru 

r ,poněmžsebezskluzuodvalujedruhékolo 

o středu O a poloměru R tak, že unašeč, 

kterýspojujestředyO 1 ,Oseotáčíúhlovou 

rychlostí0(obr.17).Určetesměravelikosti 

rychlostíbodůO,A,B,Cpohyblivéhokola. 

Řešení 

A 

C 

R O 

ω 

B 

r O 

Obr.17 

0 

1 

ProblémřešímepomocípólupohybuP,kterýmjezřejměboddotykuobou 

kol,kolemněhožsepohyblivékolootáčíokamžitouúhlovourychlostí.Její 

velikosturčímezúvahy,žebodOjespolečnýunašečiikolu.Proto 

vA 

A 

v 0 = ω 0 (R+r)=ωR. 

C 

vC Ztoho 

ω 

O R 

v0 

ω=(1+ 

ω 0 

B 

P 

O 1 

r 

Obr.18 r R )ω 0 . 

Pak 

v A =2Rω=2(R+r)ω 0 , 

v B = v C = √ 2Rω= √ 2(R+r)ω 0 . 

vB 

Směryvektorůrychlostíjsouzřejmézobr.18.Problémlzeřešitrovněžpřímo 

(bezvýpočtu ω)užitímvztahu(8),přičemžvýchozíbuderychlost v 0 . 

e)Polodienehybnáapolodiehybná 

Přirovinnémpohybutělesasepolohapóluobecněměnísčasem.Protose 

určujíkřivky,kteréjsoumnožinamipolohtěchtobodůpřipohybuanazývají 

sepolodie.Rozlišujemepolodiinehybnouapolodiihybnoupodletoho,vjaké 

vztažnésoustavěpolohupólupřipohybuurčujeme. 

Polodienehybná(p p h n )jemnožinapolohpólů 

p n určenýchvevztažnésoustavěnehybněspojenésrovinou,vnížsepohybtělesauskutečňuje.Polodiehybná(p 

h )jemnožinapolohpólůurčenýchvevztažnésoustavěpevně 

P 

spojenéstělesem.Okamžitoupolohoupólu 

Obr.19 

jepakbodP,vekterémseoběpolodiedo- 

12

týkají(obr.19).Přirovinnémpohybutělesasepolodiehybnáodvalujepo 

polodiinehybné. 

Zvlášťjednoduchéjeurčenípolodiíuvaleníválcenebokoule(obr.13).Polodiíhybnoujezřejměobvodovákružniceválce(hlavníkružnicekoule),polodií 

nehybnoujeprůsečniceplochy,ponížseválec(koule)valí,srovinoupohybu. 

Příklad3 

Tyčdélky lkloužepovedení,kteréseskládáze 

čtvrtkruhovéčástiopoloměru a < lazpřímé a O 

části podle obr. 20. Výchozí poloha tyče je l a 

naznačenanaobrázku.Určetenehybnoupolodii: 

α 0 

a) graficky, 

b) analyticky. 

Obr.20 

Řešení 

a)Graficky(vizobr.21) 

Přigrafickékonstrukcihledámeprůsečíkkolmicvztyčenýchvkoncových 

bodechA,B tyčekolmoktečnámtrajektorietěchtobodů(obr.21).Pro 

bodAtytokolmiceprocházejístředemO,probodBjsoutorovnoběžky. 

Pro α →0nehybnápolodiezřejměasymptotickyubíháknekonečnu. 

b)Analyticky 

PočátekkartézkévztažnésoustavypoložímedoboduO,osa xbuderovnoběžnáspřímoučástívedení(obr.21).Rovnicinehybnépolodievyjádříme 

vpolárníchsouřadnicích.Zřejměplatí 

kde 

přičemž 

Pak 

cosα= 

r(ϕ)= CB 

cosϕ , 

CB= lcosα − acosϕ, 

√ 

√ 

1 −sin 2 α= 1 − a2 

l 2(1 −sinϕ)2 . 

√ 

r(ϕ)=l cosα 

cosϕ − a= l 1 − a2 

cosϕ l 2(1 −sinϕ)2 − a . 

PočátečníbodP(0)mápolohu 

r(0)= √ l 2 − a 2 − a . 

13

asymptota 

ϕ ∈ 〈0; π 2 ) 

α ∈ 〈α 0 ;0) 

y 

a 

ϕ 

r(ϕ) 

P(ϕ) 

ϕ 

O P(0) 

x 

A 

l 

a 

C 

α 

r(0) 

B 

l 

Obr.21 

14

Příklad4 

Tenkátyčkadélky lkloužesvýmikonciA, 

Bpoosách x, ykartézskésoustavysouřadnic(obr.22).Grafickynajdětenehybnou 

polodiiahybnoupolodii. 

Řešení(obr.23) 

Polodienehybnáječtvrtkružniceopoloměru 

lsestředemvpočátkuO. 

Polodiehybná jepůlkružniceopoloměru 

l/2sestředemSvestředutyčky. 

OkamžitýpólpohybuPjeboddotyku 

oboukružnic. 

Poznámka:Bodytyčky,svýjimkoubodů 

A, B aS, opisují eliptické trajektorie. 

BodSsepohybujepokružnici. 

y 

A 

l 

B 

O 

x 

Obr.22 

y 

p n 

p h 

A P 

l/2 

S 

l/2 

O 

l B x 

Obr.23 

15

2 Dynamikatuhéhotělesa 

2.1 Úvod 

Modeltuhéhotělesaneuvažujesložitoumikrostrukturureálnýchtělesapředpokládá,žejehohmotnostjerozloženaspojitěshustotou,kteroudefinujeme 

limitníhodnotoupoměruhmotnosti∆m,obsaženévobjemu∆V ,atohoto 

objemupro∆V →0 ,tj. 

∆m 

̺= lim 

∆V →0∆V =dm dV . 

Přechodemnanekonečněmaléelementyajejichnáslednouintegracíseuveličinmakroskopickýchtělesdopouštímejennepatrnézcelazanedbatelnéchyby, 

neboťprůměrmolekulymávelikostřádu10 −10 m.Hustotajeobecněspojitou 

funkcípolohybodutělesa ̺=̺(x,y,z).Přiřešenínašichúlohzdynamiky 

budemepředpokládat ̺=konst. 

PřiodvozovánípohybovýchrovnictuhéhotělesabudemevycházetzNewtonovýchpohybovýchzákonůprohmotnýbod.Zmetodickéhohlediskabudeme 

tuhétělesopovažovatzasoustavu n →+∞hmotnýchbodů,kteréjsoupodrobenytuhýmvazbám.Konečnésoučtypakpřecházejívnekonečnéřady,tj. 

n∑ 

→ 

i=1 

lim 

n∑ 

n→+∞ 

i=1 

−projednoduchostoznačíme ∑ i 

. 

Prozachovánílepšísouvislostianázornostivýkladutedyponechámeoznačení 

vetvarusumačníchznamének,avšakbezuvedeníintervalu,vněmžležíhodnotyindexu 

n .Budemevždypředpokládat,žesumace,resp.integrace,probíhá 

přescelétěleso.Rovněžprohmotnostihmotnýchbodů,resp.elementůtělesa, 

ponechámeoznačení m i ,kterémajíhmotnostmnohemmenšínežjehmotnost 

celéhotělesa.Vmatematickémvyjádřenípředstavujíelementyhmotnostidm. 

Připraktickýchvýpočtechnahradímesumacenekonečnýchřadpřímourčitými 

(Riemannovými)integrály. 

Vúvaháchodynamicetuhéhotělesasenejprvezaměřímenatranslačnípohyb—příslušnáobecnápohybovárovnicesenazýváprvníimpulsovávěta—a 

poténarotačnípohyb—příslušnáobecnápohybovárovnicesenazývádruhá 

impulsovávěta.Potépřejdemenadynamikurovinnéhopohybu,okterémvíme, 

žejejlzerozložitnatranslačnípohyb(aplikaceI.impulsovévěty)anarotační 

pohybkolemokamžitéosy(aplikaceII.impulsovévěty).Dynamickýpopistělesavtétokapitolebudemeprovádětzásadněvinerciálnívztažnésoustavě. 

16

2.2 Prvníimpulsovávěta 

a)Vnějšíavnitřnísíly 

Nasoustavuhmotnýchbodůatedyinatuhétělesoobecněpůsobídvěsoustavy 

sil—sílyvnějšíasílyvnitřní. 

Vnějšísílysouvisejíspůsobenímjinýchbodůnebotěles,kterékdanésoustavěnepočítáme.Výslednicivnějšíchsil,působícína 

i-týbod,označímeFi . 

Patřísemnapř.tíhovásíla,kteroupůsobíZeměnauvažovanétělesonajejím 

povrchu.Vnějšímisilamijsouisílyvzájemnéhopůsobenípřibezprostředním 

dotykutělesasjinýmitělesy,dálesílyelektrickéasílymagnetické. 

Vnitřnísílysouvisejísevzájemnýmpůsobenímbodůuvažovanésoustavy. 

m i tuhého tělesa jsou to např. vazbové síly, 

ri 

Fij 

O s 

Fji 

rj 

m 

Obr.24U j 

které uskutečňují soudržnost tělesa. Protože 

vnitřnísílyjsousilamivzájemnéhopůsobení, 

platíproněNewtonůvprincipakceareakce. 

Označíme-liFijsílu,kteroupůsobí j-týbodna 

i-týbod,aFjisílu,kterounaopakpůsobí i-tý 

bodna j-týbod(obr.24),bude 

Fij+Fji=0 . 

Ztohoplyne,žesoučetvnitřníchsilprocelousoustavuhmotnýchbodů(resp. 

protěleso)jenulový. 

Promomentyuvedenýchsilvzhledemklibovolnémumomentovémubodu 

Opodobněplatí 

ri ×Fij+rj ×Fji=0 , 

neboťoběsílymajístejnérameno sajsouvzájemněopačnéhosměru(obr.24). 

Tedyisoučetmomentůvnitřníchsil klibovolnémubodujenulový.Přivyšetřovánídynamickýchúčinkůsilnatuhétělesojakocelektedystačízkoumat 

jenúčinekvnějšíchsil.Ktomujetřebapoznamenat,žeivnitřnísílymohou 

mítvlivnapohybsoustavyhmotnýchbodů,mohouzpůsobovatpřeskupování 

bodůuvnitřdanésoustavy.Utuhéhotělesaktomuvšakdojítnemůže,protože 

unějjevzdálenostmezibodypodledefinicestálekonstantní(tvartělesaje 

konstantní). 

b)Hybnostsoustavy,hmotnýstřed 

Jednouzdůležitýchdynamickýchcharakteristiksoustavyhmotnýchbodůje 

hybnostsoustavy,definovanájakovektorovýsoučethybnostíjednotlivýchbodů 

soustavy: ( 

n∑ n∑ dri 

p= m ivi= m i 

dt = d n 

) 

∑ 

m iri . (9) 

dt 

i=1 

i=1 

17 

i=1

i=1 

PoloharShmotnéhostředusedefinujezevztahu 

neboli 

mrS= 

rS= 1 m 

n∑ 

m iri , (10) 

i=1 

n∑ 

m iri . (11) 

i=1 

Zdejsmemohliprovéstnaznačenouúpravuderivacepodlečasu,neboťpodle 

klasickémechanikymůžemebrát m i = konst. 

Nynívýraz(9)upravímeužitímpojmuhmotnýstřed.Jetobod,pomocíněhožzjednodušímevýpočethybnostisoustavytím,žedonějumístímecelkovou 

hmotnost msoustavy,tj. 

n∑ 

m= m i . 

Prosoustavuhmotnýchbodůneboprotuhétěleso,kterésenacházejívhomogennímtíhovémpoli,jehmotnýstředzřejmětotožnýstěžištěm. 

Hmotnýstřednemusíbýtreálnýmbodemsoustavyhmotnýchbodůnebotuhého 

tělesa(jetomunapř.uanuloiduneboudutéhoválce).Jetofiktivníbodohmotnosti 

rovnéhmotnosticelésoustavyhmotnýchbodůnebotuhéhotělesa,kterýumístíme 

dotakovépolohy(11)vprostoru,žepomocínějmůžemedynamickypopsatpohyb 

soustavybodůnebotuhéhotělesazpůsobenývýslednicívnějšíchsil(nikolivšakmomentemvýslednicevnějšíchsil).Budeme-livdalšímtextuhovořitopohybuhmotného 

středu,budemetímmítnamyslivýšepopsanoudynamickouekvivalencituhéhotělesa. 

Zavedeme-livztah(10)do(9),můžemeprohybnostsoustavypsát 

p= d dt 

(mrS)=m 

drS 

dt = mvS , (12) 

kdevSjerychlosthmotnéhostředu.Nebolihybnostsoustavyhmotnýchbodů 

jerovnahybnostijedinéhohmotnéhobodu,kterýbysepohybovaljakohmotný 

středtělesaavekterémbybylasoustředěnaceláhmotnostsoustavy. 

Přivýpočtuhybnostituhéhotělesavykonávajícíhovezvláštnímpřípadě 

posuvnýpohybneníaninutnépracovatshmotnýmstředem,neboťpodle(1) 

jsourychlostivšechbodůstejnéatudížjemožnévevztahu(9)vivytknout 

předsumu.Pakjehybnosttělesarovnasoučinuhmotnostiarychlostilibovolnéhobodutělesapřijehotranslačnímpohybu.Zhlediskauniverzálnostipojmu 

hmotnýstředproobecnépřípadysoustavyhmotnýchbodů,např.urovinného 

18

c)Formulaceprvníimpulsovévěty 

Uvažujmetuhétěleso,kterésepohybujevinerciálnívztažnésoustavě.Bude-li 

na i-týbodtohototělesapůsobitvnějšísílaFiavýslednicevnitřníchsil ∑ jFij 

odostatníchbodůtělesa,budepročasovouzměnujehohybnostipiplatit 

dpi 

dt =Fi+ ∑ jFij . (13) 

Sumacípřescelétělesoprolevoustranurovnice(13)dostaneme 

∑ 

i 

dpi 

dt = d ∑ 

dt 

ipi= d dt (mvS) , (14) 

pohybutuhéhotělesa,sestímtopojmempracujeiutranslačníhopohybutuhéhotělesa. 

tedyčasovouzměnuhybnostitělesa,vyjádřenouivztahem(12).Podobněsumacípropravoustranurovnice(13)dostaneme 

⎛ 

∑ 

⎝Fi+ ∑ dp 

⎞ 

⎠= ∑ 

i jFij 

iFi=F, 

tedyvýslednouvnějšísílupůsobícínatěleso,neboťvýslednicevšechvnitřních 

siljenulová.Změnuhybnostitělesatudížzpůsobujevýslednicepůsobícíchsil 

podlerovnice 

dt =F. (15) 

Jeformálněshodnáspohybovourovnicíjedinéhohmotnéhoboduajepohybovourovnicítranslačníhopohybutuhéhotělesa.Rovnice(15)seoznačujejako 

prvníimpulsovávětaprotuhétěleso. 

Časová změna hybnosti tělesa je rovna výsledné síle působící 

natěleso. 

Protožepodleklasickémechanikyneuvažujemezávislosthmotnostitělesa 

najehorychlostivevztažnésoustavěaprotožehmotnosttuhéhotělesasei 

jinaksčasemnemění(jinakjetomunapř.uraket),můžemerovnici(15)přepsat 

svyužitímvztahu(12)dotvaru 

m dvS 

dt 

= maS=F, (16) 

19

dp 

kdeaSjezrychleníhmotnéhostředu. 

Je-livýslednicevnějšíchsilFnulová,je 

dt =0atedyp=konst.Nebo-li 

hybnosttělesajekonstantní.Dospívámetakkzákonuzachováníhybnosti. 

 

Dílčíplatnosttohotozákonadostanemeiproprůměty.Je-liprůmětvýsledné 

sílydourčitéosyinerciálnísoustavynulový,jevesměrutétoosyhybnosttělesa 

konstantní.Např.proFx=0je mvSx=konst. 

2.3 Druháimpulsovávěta 

a)Obecnáformulacedruhéimpulsovévěty 

AnalogickymomentusílyvzhledemkdanémupevnémuboduO 

M=r×F(viznapř.[11]) 

definujeme moment hybnosti např. 

i-tého bodu soustavy bodů vzhledem 

k danému pevnému bodu O Li 

jako vektorový součin polohového 

vektoruriahybnostipi= m ivi ,tj. 

pi 

α 

Li=ri ×pi . (17) 

O ri m i 

Má velikost L i = r i p i sinα , jeho Obr.25 

směrjezřejmýzobr.25. 

Budemenyníhledatsouvislostmezičasovouzměnoumomentuhybnostia 

výslednýmmomentemsíly,kterýpůsobínatuhétělesopřirotacikolemokamžitéosyrotacevinerciálnívztažnésoustavě.Potébudemevýpočetspecializovat 

narotacikolemnehybnéosy.Promomenthybnosti i-téhoboduplatívztah(17). 

Jehoderivacípodlečasu(jakosoučinudvoufunkcí)dostaneme 

dLi 

dt =dri 

dt ×pi+ri × dpi 

dt . 

Prvnísoučinnapravéstranějenulovýneboťvektorhybnostimástejnýsměr 

jakovektorrychlosti.Vedruhémsoučinudosadímesílupodlevztahu(13).Tedy 

⎛ ⎞ 

dLi 

dt =ri × ⎝Fi+ ∑ ⎠ . 

jFij 

Provedeme-lisumacitěchtopříspěvkůvzhledemkokamžitéoseprocelétěleso, 

20

dL 

dostanemepohybovourovnici,jejížlevástranabudemíttvar 

∑dLi 

dt = d ∑ 

dt 

i 

iLi= 

dt . 

Jdetedyočasovouzměnumomentuhybnostituhéhotělesa.Pravástranarovnicebudemítposumacitvar 

⎡ ⎛ ⎞⎤ 

∑ 

⎣ri × ⎝Fi+ ∑ ⎠ 

dL 

⎦= ∑ ×Fi= ∑ 

i 

jFij 

iri 

iMi=M, 

půjdetedyovýslednýmomentvnějšíchsilpůsobícínatuhétěleso,neboťvýslednýmomentvšechvnitřníchsiljenulový.Tentomomentmásměrokamžité 

osyrotace.Obecnápohybovárovnicerotačníhopohybutedyzní 

dt =M. (18) 

Výsledek(18)seoznačujejakodruháimpulsovávěta. 

Časovázměnamomentuhybnostitělesavzhledemklibovolnému 

pevnémubodujerovnavýslednémumomentuvnějšíchsilvzhledemktémužbodu. 

Aplikacedruhéimpulsovévěty(18)natělesokonajícíobecnýprostorový 

pohybjenáročná,neboťvedeksoustavědiferenciálníchrovnicstenzorovými 

veličinami.Protosenynísoustředímejennařešeníjednoduššíchúlohatona 

rotacituhéhotělesakolemnehybnéosyapoténaobecnýrovinnýpohybtuhého 

tělesa. 

b)Momenthybnostituhéhotělesavzhledemknehybnéose 

Výrazem(17)jedefinovánmomenthybnosti i-téhobodutělesvzhledemkbodu 

(O).Bude-litělesorotovatkolemnehybnéosy,budenutnépočítatjehomoment 

hybnostivzhledemkose(analogickymomentusílyvzhledemkose—vizčl. 

1.3v[11]).Abychomzjednodušilioznačeníveličinavýpočetmomentuhybnosti 

tělesaknehybnéose,uvědomímesi,žebodytělesaopisujípřitomtopohybu 

kruhovétrajektoriesestředemnanehybnéose. 

21

Pro výpočet příspěvku i-tého bodu tělesa 

kjehocelkovémumomentuhybnostizvolíme 

počátekO i vestředutétokružnice(obr.26). 

Pakbudevelikostjehopolohovéhovektoruri 

totožnáspoloměrempříslušnékruhovétrajektorie.Protoževedletohorychlostvi 

i-tého 

bodujekolmákprůvodičiri ,můžemeprovelikostmomentuhybnosti 

i-téhobodupsát 

L i = r i p i sin90 ◦ = r i m i v i = ωm i r 2 i , 

kde ωjeúhlovárychlostrotace.Protožetakto 

vypočtené příspěvky od jednotlivých bodů 

majístejnýsměr—směrnehybnéosyrotace 

—budemítmomenthybnosticeléhotělesa 

velikost 

L= ∑ i 

L i = ω ∑ i 

m i r 2 i 

LiM 

O i 

ri 

vi 

m i 

o 

Obr.26 

= ωJ , (19) 

kde 

J= ∑ i m ir 2 i (20) 

jemomentsetrvačnostituhéhotělesavzhledemknehybnéose o.Otéto 

veličiněpojednámesamostatněvčlánku2.4.Jelikožúhlovárychlostjevektor 

ležícívoserotace,jemomenthybnostituhéhotělesarotujícíhokolemnehybné 

osyvektor 

L=J, (21) 

ležícírovněžvnehybnéoserotace. 

c)Formulacedruhéimpulsovévětyprorotacikolemnehybnéosy 

Vyjádříme-limomenthybnostituhéhotělesarotujícíhokolemnehybnéosy 

pomocívztahu(21)auvážíme-li,žeprodanérozloženíhmotnostituhéhotělesa 

vzhledemknehybnéoserotaceje J= konst.,můžemevýsledek(18)přepsat 

dojednoduchéhotvaru 

dL 

dt =0atedyL=konst. 

d 

dt 

d 

(J)=J 

dt = J=M, (22) 

kdejevektorúhlovéhozrychlení,kterýrovněžležívoserotace. 

Je-livýslednýmomentsilMnulový,je 

(23) 

22

Tímjsmedospělikzákonuzachovánímomentuhybnosti.Protože J= konst., 

dostávámevzhledemk(21)současněivýsledek 

=konst.. (24) 

Příklad5 

Nahřídelsnasazenýmsetrvačníkemopoloměru raocelkovémmomentusetrvačnosti 

Jvzhledemkosehřídelepůsobíhnacímomentsílyovelikosti 

N 

M= M 0 − kω , 

kde M 0 a k jsou konstanty a ω je okamžitá 

úhlová rychlost. Na obvod strvačníku(obr.27)současněpůsobíčelistbrzdy, 

r přičemž přítlačná síla jeNa součinitel 

smykovéhotření f.Hřídelserozbíházklidovéhostavu.Určete 

M(ω) 

a) Maximální úhlovou rychlost ω m hřídele. 

Obr.27 b) Závislost ω=ω(t)ačas t m ,kdyhřídel 

dosáhneúhlovérychlosti ω m . 

Řešení 

a)Protožehnacímomentsílyjezávislýnaúhlovérychlostiabrzdnýmoment 

síly Nfrjekonstantní,dosáhnehřídelmaximálníúhlovérychlosti ω m při 

vyrovnánívelikostitěchtomomentůsil,tedykdyž 

odtud 

M 0 − kω m = Nfr , 

ω m = M 0 − Nfr 

k 

b)Pohybovárovnicepodle(22)veskalárnímtvarubude 

J dω 

dt = M 0 − kω − Nfr . 

Abysehřídelvůbecroztočila,musíbýt 

M 0 − Nfr=M ′ 0 >0 . 

. 

23

Rovniciupravímedotvaruvhodnéhokintegracitím,žeoddělíme(separujeme)proměnné 

ωa t: 

dω 

J 

M 0 ′ − kω=dt . 

Integrujemevmezíchod ω=0do ωaod t=0do t: 

Integrací 

Odtud 

− J k 

− J k 

∫ ω 

0 

∫ 

− kdω t 

M 0 ′ − kω = dt . 

[ 

ln(M ′ 0 − kω) ] ω 

0 = J k ln M ′ 0 

M ′ 0 − kω= t . 

ω= M 0 − Nfr 

k 

0 

(1 − e − k J t ) 

Zčasovéhoprůběhu ωvidíme,žehřídeldosáhnemaxima ω m ažvlimitním 

případě t m → ∞. 

2.4 Moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k nehybnéose 

a)Výpočetmomentusetvačnosti 

Momentsetrvačnostitělesavzhledemknehybnéosedefinujemevýrazem(20): 

. 

J= ∑ i 

m i r 2 i . 

Jetoveličina,kterájemírousetrvačnýchúčinkůtělesapřirotačnímpohybu. 

Tatovelčinazřejmězávisínejennahmotnostechelementůtělesa,alepředevšímnajejichrozloženívzhledemkrotačníose.Přitomsetrvačnosthmotných 

elementůseuplatňujesdruhoumocninoujejichvzdálenostíodosyrotace.JednotkoumomentusetrvačnostivsoustavěSIjekg·m 

2 . 

Přivýpočtumomentusetrvačnostitělespředpokládámespojitěrozloženou 

hmotnost.Paksumacenekonečnéřady(20)přejdenaurčitýintegrál 

J= ∫ (m) r2 dm, (25) 

kdeintergraciprovádímepřescelouhmotnost mtělesa.Je-litělesohomogenní, 

takdm=̺dV , ̺=konst.adV jeelementobjemu.Pakseintegrál(25) 

zjednodušídotvaru 

J= ̺ ∫(V) r2 dV (26) 

24

aintegraciprovádímepřescelýobjem V tělesa. 

Prochází-liosahmotnýmstředem,nazývásemomentsetrvačnosticentrální 

momentsetrvačnosti.Je-liuhomogenníhotělesatatoosaosousymetriejde 

ohlavnícentrálnímomentsetrvačnosti.ElementdV volímetak,abyintegrace 

bylaconejjednodušší,jaktobudeukázánonanásledujícíchpříkladech.Mámelipočítatmomentsetrvačnostikurčitéoseaznáme-limomentsetrvačnosti 

koserovnoběžnéstoutoosou,kteráprocházíhmotnýmstředem,použijeme 

kvýpočtusvýhodouSteinerovuvětu(viznásledujícíodstavecadb). 

Momentsetrvačnostijezřejměaditivníveličina.Toholzevýhodněvyužít 

přivýpočtumomentusetrvačnostitělessloženýchznčástí,jejichžmomenty 

J i známe.Pak 

n∑ 

J= J i . (27) 

i=1 

Tentopostupsevyužívánapř.přiřešeníúlohč.18a20.Má-lihomogenní 

tělesodutinunebootvor,odečtemeodcelkumomentsetrvačnostitělesa,které 

byvyplňovalodutinunebootvor.Tohotopostupusevyužijenapř.přiřešení 

úlohyč.22. 

Aditivnostimomentusetrvačnostivyužijemeipřivýpočtumomentusetrvačnostihomogenníhotělesa,kterésipředstavímesloženéznekonečnéhopočtu 

 

částí,jejichželementárnímomentydJznáme.Pakřada(27)přejdevintegrál 

∫ 

J= dJ . (28) 

(J) 

Tohotopostupujevyužitonapř.vpříkladě7avúloze14d),e),kdysitělesa 

představímesloženazelementárníchdesekproměnnéhopoloměru. 

Příklad6 

Vypočtětemomentsetrvačnostihomogenníhokruhovéhoválcekjehorotační 

ose.Válecmápoloměr Rahmotnost m. 

Řešení 

Křešeníužijemevzorce(26).Zválcevyjmeme R dr 

element souměrný k ose. Jeho průřez má tvar 

r 

mezikruží(obr.28)opoloměru ratloušťcedr . 

Označíme-livýškuválce l,bude 

dV=2πlrdr . 

Integrujemevmezíchod r=0do r= R .Pak Obr.28 

∫ R ∫ R 

J= ̺ r 2 dV=2π̺l r 3 dr= 1 

0 0 2 π̺lR4 = 1 2 mR2 , (29) 

25

kde m=πR 2 l̺jehmotnostválce. 

Momentsetrvačnostiválceprourčitouhmotnostzřejměnezávisínajeho 

výšce.Stejnývzorectedyplatíiprotenkoukruhovoudeskustejnéhopoloměru 

astejnéhmotnosti. 

Příklad7 

Vypočtětemomentsetrvačnostihomogenníkouleohmotnosti mapoloměru 

Rvzhledemkose,kteráprocházíjejímstředem. 

Řešení 

Prvnízpůsob 

Křešenípoužijemenejprvevzorec(28).Kouli 

r 

sipředstavímesloženouzelementárníchdesek 

dy (vrstev)opoloměru ratloušťcedy(obr.29). 

y 

R Deskamávsouladus(29)elementárnímoment 

O setrvačnosti 

dJ= 1 2 r2 dm, 

kde 

Obr.29 dm=πr 2̺dy , r 2 = R 2 − y 2 . 

Pakpointegracivmezíchod y= −R, y= R dostaneme 

J= π̺ 

2 

∫ R 

−R 

kde m= 4 3 πR3̺jehmotnostkoule. 

(R 2 − y 2 ) 2 dy= 8 

15 π̺R5 = 2 5 mR2 , (30) 

Druhýzpůsob 

Pro momenty setrvačnosti vzhledem k osám 

y 

x, y , z ,kteréprocházejíbodemO,platí 

∫ 

R dm 

J x = (y 2 + z 2 )dm, 

r 

y (m) 

O 

z 

x 

∫ 

x 

J y = (x 2 + z 2 )dm, 

(m) 

z 

∫ 

Obr.30 

J z = (x 2 + y 2 )dm. 

(m) 

UkoulevzhledemkjejísymetriipodlestředuO,platí 

J x = J y = J z = J . 

26

Takžesečtenímvýšeuvedenýchvztahůdostaneme 

∫ 

∫ 

3J=2 (x 2 + y 2 + z 2 )dm=2 

(m) 

(m) 

r 2 dm, 

kde rjevzdálenostelementuodboduO(nikolivodosyjakovevztahu(25)). 

Protouvedenýintegrálmávýznampolárníhomomentustrvačnosti.Provýpočettohotointegrálumůžemezvolithmotnýelement,jehožbodymajístejnou 

vzdálenostodboduO,tedyelementtvarukulovéskořepinyopoloměru ra 

tloušťcedr .Jejíhmotnostje 

dm=4π̺r 2 dr . 

Takžepřiintegraciod r=0do r=Rdostaneme 

∫ R 

3J=8π̺ r 4 dr= 8 

0 5 π̺R5 = 6 5 mR2 . 

Odtudjiždostanemevýsledek(30). 

Třetízpůsob 

Provýpočetmomentusetrvačnostikoulemámeještějednumožnostvolby 

elementu—vetvarutenkéválcovéskořepinyproměnnéhoprůměru2r ,tloušťky 

dravýšky2y(obr.31).Užijemevzorce(26),kde 

dV=2πr ·2ydr . 

Pakpřiintegraciod r=0do r= Rdostaneme 

y R dr 

∫ R 

O r 

J=4π̺ yr 3 dr . 

0 

y 

Souřadnice r , y ,elementujsouvázányPythagorovouvětou,kteroubudemeještědiferencovat: 

Obr.31 

r 2 = R 2 − y 2 , 2rdr=−2ydy . 

Jelikožpřejdemenaproměnnou y ,musímetransformovatimeze—užitím 

vztahu y= √ R 2 − r 2 .Takprospodnímezdostaneme y= Raprohornímez 

y=0 .Pak 

J= −4π̺ 

∫ 0 

R 

y 2 (R 2 − y 2 )dy=4π̺ 

] R 

=4π̺ 

[R 2y3 

3 − y5 

5 

0 

∫ R 

0 

(R 2 y 2 − y 4 )dy= 

= 8 

15 π̺R5 = 2 5 mR2 . 

27

)Steinerovavěta 

Nyní odvodíme větu, která umožní vypočíst moment setrvačnosti J tělesa 

vzhledemklibovolnéose,známe-limomentsetrvačnosti J S vzhledemkrovnoběžnéose,kteráprocházíhmotnýmstředem. 

ProvýpočetpoložímepočátekO ′ čárkovanévztažnésoustavydohmotného 

středuS (obr.32).Nečárkovanásoustavamáosyrovnoběžnésesoustavou 

y y ′ m i 

čárkovanou, přičemž osy x, x ′ splývají.Půjdenámotonajítvztahmezi 

r ′ y i = y i 

′ 

r 

momentem J k ose z a momentem z z ′ 

J S kose z ′ ,kteráprocházíhmotným O O ′ ≡ S x ≡ x ′ 

středemS.Osy z, z ′ majívzájemnou d x ′ i 

vzdálenost d.Podledefiničníhovztahu 

x i 

(20)platíprotytomomentysetrvačnostivztahy 

Obr.32 

J= ∑ i 

m i (x 2 i+ y 2 i), 

J S = ∑ i 

m i (x ′2 

i + y ′2 

i). 

Zobr.32jezřejmé,že 

x 2 i=(x ′ i+ d) 2 , y i = y ′ i . 

Podosazenídovýrazupro Jdostaneme 

J= ∑ i 

m i (x ′2 

i + y ′2 

i)+2d ∑ i 

m i x ′ i+ d 2 ∑ i 

m i = J S + md 2 , 

protožezačátekčárkovanésoustavyležívhmotnéstředutělesa(projehopolohu 

vtétosoustavěplatí x ′ S =0)atudížpodle(11)je 

∑ 

m i x ′ i =0 . 

Dostalijsmetakdůležitývztah 

i 

J= J S + md 2 , (31) 

28

kterýsenazýváSteinerovavěta: 

Momentsetrvačnosti Jtuhéhotělesavzhledemklibovolnéoseje 

rovensoučtumomentusetrvačnosti J S 

 

vzhledemkoseprocházejícíhmotnýmstředemSrovnoběžněsuvažovanouosouasoučinu 

hmotnosti mtělesasedruhoumocninouvzdálenosti dobouos. 

Příklad8 

Vypočtětemomentsetrvačnostisoustavydvoudotýkajícíchsepevněspojenýchstejnýchhomogenních 

o 

koulípodleobr.33kose o.Každázkoulímáhmotnost 

mapoloměr r . 

Řešení 

r r 

UžitímSteinerovyvětyavýsledku(30)dostaneme m m 

J=2(J S + mr 2 )=2( 2 5 mr2 + mr 2 )= 14 

5 mr2 . 

Obr.33 

c)Momentysetrvačnostihomogenníchtělesjednoduchéhogeometrickéhotvaruohmotnosti 

m 

Vnásledujícítabulceuvedememomentyněkterýchhomogenníchtělesjednoduchéhotvaru.Jednásevesměsohlavnícentrálnímomentysetrvačnosti 

(svýjimkoumomentu J 1 vprvnímpřípadě).Odvozenívětšinyuvedenýchvzorcůjepředmětemúlohvetřetíčástitétopublikace. 

Tenkátyč 

1 0 

l 

J 0= 1 12 ml2 , J 1= 1 3 ml2 

Kolmýválec 

Kruhovádeska 

l 

3 

2 

r 

1 

J 1= 1 2 mr2 

J 2= J 3= m 4 

( 

r 2 + l2 3 

) 

29

1 

Dutýkruhový 

1 J m 1= 

kolmýválec 2 (r2 1+ r2) 

2 

r 2 

r 

Tenkostěnná 

1 J 1= mr 2 

válcovátrubka 

2 

Koule 

3 

1 J 1= J 2= J 2 3= 

5 mr2 

r 

2 

Tenkostěnná 3 

kulováskořepina 

1 J 1= J 2= J 2 3= 

3 mr2 

r 

Kolmýkužel 1 

J 3 1= 

10 mr2 

r 

r 2 

Komolýkolmý 

J 3 1= 

kužel 

10 mr5 1 − r2 

1 

5 r1 3 − r2 

3 

r 1 

3 2 

Tenkýkruhový 

J 1= J 1 2= 

2 mr2 

prstenec 

1 

r J 3= mr 2 

3 2 

Krychle 

a 

1 

J 1= J 2= J 3= m 6 a2 

Hranol 

a 

3 

2 

c 

b 

1 

J 1= m 12 (b2 + c 2 ) 

J 2= m 12 (a2 + c 2 ) 

J 3= m 12 (a2 + b 2 ) 

Elipsoid 

!30 

b 

3 

c 

a 

2 

1 

J 1= m 5 (b2 + c 2 ) 

J 2= m 5 (a2 + c 2 ) 

J 3= m 5 (a2 + b 2 )

2.5 Dynamikaobecnéhorovinnéhopohybutuhéhotělesa 

a)Pohybovérovnice 

Přiobecnémrovinnémpohybutělesaležítrajektorie,rychlostiazrychleníjednotlivýchbodůtělesavnavzájemrovnoběžnýchrovináchrovnoběžnýchsezvolenouzákladnírovinou.Zatutorovinuzvolímerovinu(x, 

y)kartézkésoustavy. 

Pakpoloha,rychlostazrychleníi-téhoboduavnějšísílapůsobícínai-týbod 

tělesabudoumítsouřadnice 

ri= {x i , y i , 0} ,vi= {v ix , v iy ,0} , 

ai= {a ix ,a iy ,0} ,Fi= {F ix ,F iy , 0} . 

Osaokamžitérotacebudemítsměrosy z ,aprotoúhlovárychlost,úhlové 

zrychleníamomentvnějšísílypůsobícínai-týbodbudoumítsouřadnice 

dL dp 

={0 ,0 , ω} ,={0 ,0 , ε} ,Mi= {0 ,0 , M i } . 

Propohybtělesabudouplatitimpulsovévěty,kterémajíobecnýtvar(14) 

a(18): 

dt =F, (32) 

dt =M, (33) 

kde 

p= ∑ m ivi= mvS , 

i 

L= ∑ iri × m ivi (34) 

jehybnostamomenthybnostitělesapřirovinnémpohybu.Vtěchtovyjádřeních 

jeosa,vzhledemknížpočítámemomentovéveličiny(L,M),volenaobecnějako 

osa zvztažnésoustavy x, y , z .Výhodnéjetentovýpočetzjednodušitvolbou 

dvouzvláštníchpolohmomentovéosy,kterábudeprocházet 

1.hmotnýmstředem, 

2.pólempohybu. 

1.Momentováosaprocházíhmotnýmstředem 

ShmotnýmbodemSspojímepočátekvztažnésoustavyO’(obr.34).Pak 

propolohovývektori-téhoboduměřenývpůvodnísoustavěaprojehorychlost 

platí 

ri=rS+r′ i ,vi=vS+v′ i , 

31

a) b) 

m i 

r′ 

i 

viv′ i 

vS 

ri 

S≡O’ 

rS 

y y ′ x ′ x 

O 

Obr.34 

kderS jepolohovývektorhmotnéhostředuavS jehorychlost.Nejprve 

vypočtěmemomenthybnostitělesavzhledemkose zdosazenímtěchtovztahů 

dovýrazu(34): 

L= ∑ i 

∑ 

(rS+r′ i ) × m i (vS+v′ i )=rS ×vS m i + ∑ 

i i 

m ir′ i ×vS+ 

+rS × ∑ i 

m iv′ i + ∑ ir′ i × m iv′ i =rS × mvS+ ∑ ir′ i × m iv′ i , (35) 

neboť 

∑ 

m ir′ i = mr′ S =0 , 

i 

∑ 

m iv′ i = mv′ S =0 , 

i 

protožer′ S =0 ,v′ S =0 jepolohaarychlosthmotnéhostředuvzhledem 

kevztažnésoustavě x ′ , y ′ pevněspojenéshmotnýmstředem(vizobr.34a). 

Výraz(35)můžebýtformálněpřepsándotvaru 

L=LS+L′ , (36) 

kde 

LS=rS ×pS (37) 

jemomenthybnostihmotnéhostředutělesavzhledemkose z ,nazývaný 

téžorbitálnímomenthybnostia 

L′ = ∑ ir′ i × m iv′ i (38) 

32

dL 

jemomenthybnostitělesavzhledemkose z ′ procházejícíhmotnýmstředem, 

nazývanýtéžspinovýmomenthybnosti.Označení„orbitálnía„spinovýmají 

původvatomistice,kdesezavádínapř.orbitálnímomenthybnostielektronu 

aspinovýmomenthybnostielektronu,zvanýspin. 

Časovouzměnumomentuhybnostidostanemesoučtemderivovanýchvztahů 

(37)a(38): 

dt =vS ×pS+rS × maS+ ∑ } {{ } 

i × m iv′ i + ∑ i × m ia′ i . (39) 

0 

iv′ ir′ } {{ } 

0 

Prvníatřetíčlenjezřejměnulový(jdeovektorovýsoučinrovnoběžnýchvektorů).Upravímenyníčtvrtýčlen,kdyžsiuvědomíme,ževzhledemk(5)a(6) 

platí: 

a′ 

i =a′ it +a′ in =×r′ i +×v′ i , 

a′ 

it ⊥r′ i ,a′ in ‖r′ i . 

Vzájemnoupolohuvektorůvidímenaobr.35.Zuvedenýchvztahůplyne: 1 ) 

r′ 

i × m ia′ i =r′ i × m ia′ it +r′ i × m ia′ } {{ in = m ir′ } i ×(×r′ i )=·m i ri 2 , 

0 

∑ 

i × m ia′ i =∑ 

 

m i r i 

ir′ ′2 =J S , 

dL 

i 

"kde 

z ′ 

J S jemomentsetrvačnostivzhledemkose 

z ′ ,kteráprocházíhmotným 

ri ×a′ it středemS. 

Tak můžeme vztah (39) přepsat do 

ia′ tvaru 

m i 

iv′ ita′ r′ 

dt =rS × maS+ J S. (40) 

S 

in 

Výslednýmomentsil,kterýjeroven 

výslednémumomentuvnějšíchsil,můžemeanalogickyrozložitnadvačleny 

Obr.35 

M= ∑ iri ×Fi= ∑ i 

(rS+r′ i ) ×Fi=rS ×F+MS , (41) 

1 )Krigoróznější(avšakzdlouhavější)úpravěbychompoužilivzorecprorozpisdvojného 

vektorovéhosoučinu:a×(b×c)=b(a·c)-c(b·a). 

33

kdeMSjevýslednýmomentvnějšíchsilvzhledemkose z ′ procházejícíhmotnýmstředem.Porovnáme-lilevéapravéstranyvztahu(40),(41)dostanemeII. 

impulsovouvětu,zekterévyplývajípohybovérovnicetuhéhotělesakonajícího 

obecnýrovinnýpohyb: 

maS=F, J S=MS . 

Přivyjádřenívesložkáchdostaneme 

m d2 x S 

dt 2 = F x , (42) 

m d2 y S 

dt 2 = F y , (43) 

J S 

d 2 ϕ 

dt 2 = M S , (44) 

kde x S , y S jsousouřadnicetrajektoriehmotnéhostředu, F x , F y souřadnicevýslednicevnějšíchsil, 

J S momentsetrvačnostitělesakoseprocházejícíhmotným 

středemaM S velikostvýslednéhomomentuvnějšíchsilktéžeose. 

2.Momentováosaprocházípólempohybu 

Stělesemvykonávajícímobecnýrovinnýpohybspojímevztažnousoustavu 

x, y , ztak,žejejípočátekOpoložímedopólupohybu(obr.36).Momentovou 

osoutedybudeosa z. 

!Z 

y 

vlastností pólu vyplývá, že rychlosti 

všechbodůjsoukolmékprůvodičům,neboli 

vi 

m i vi=×ri . 

dL 

Pakmomenthybnosti(34)tělesakose zje 

ωri 

L= ∑ × m i (×ri) 

iri 

O≡P x 

aprojehoderivacipodlečasuplatí 

Obr.36 

dt = ∑ × m ivi+ ∑ ×(m ∑ i×ri)+ ×(m i×vi) . 

ivi 

iri 

iri 

} {{ } 

} {{ } 

0 

0 

34

Vektorvkulatézávorcevetřetímčlenujerovnoběžnýsvektoremri ,rovněž 

vektoryvevektorovémsoučinuprvníhočlenujsouvzájemněrovnoběžné,proto 

jsouobačlenynulové.Nyníupravímedruhýčlen.Vektoryri,avektorový 

součin×rijsouvzájemněkolmé.Proto 

∑ 

ri × m i (×ri)=·m i ri 2 , ×(m i×ri)=∑ 

m i ri=J iri 2 P . 2 ) 

i 

Veličina J P jemomentsetrvačnostikose zprocházejícípólempohybu.Moment 

vnějšíchsilpočítámerovněžkoseprocházejícípólem: 

∑ 

iri ×Fi=MP . 

Druháimpulsovávětatedydávápohybovourovnicivetvaru 

kteroulzepsátskalárně 

J P=MP , 

J P ε=J P 

d 2 ϕ 

dt 2 = M P . (45) 

gPřiřešeníúloh,podledispozicezadání,lzevýhodněužítjedennebodruhý 

způsobsestavenípohybovérovnice.Někdylzejednodušeužítpostupyoba,jak 

siukážemenanásledujícímpříkladě. 

Příklad9 

1 

l 

2 

"Homogennítenkátyčohmotnosti ma 

délce ljezavěšenanadvoustejnýchrovnoběžnýchvláknech1,2podleobr.37. 

Prookamžik,kdybudevlákno2přestřihnuto,určete: 

F1 

m a) TahovousíluF1vevlákně1. 

b) ZrychleníhmotnéhostředuSaúhlovézrychlenítyče. 

Obr.37 

Řešení 

Výslednátíhovásíla mgpůsobívtěžištiTtotožnémshmotnýmstředem 

S(obr.38),vzhledemkněmužbudemepsátpříslušnémomenty. 

2 )Úpravulzepřímoprovéstužitímdřívezmíněnéhovzorceprorozpisdvojnéhovektorovéhosoučinu. 

35

mg 

l/2 

y 

mẍ S =0 , 

F1 

J S 

ϕ, ω 

mÿ S = F 1 − mg , (46) 

P O S x 

l 

J S¨ϕ=−F 1 

2 

Obr.38#Pohybovérovnice(42)až(44)majítvar 

, 

kde J S = 1 

12 ml2 . 

Nakoncityče,vboděP,jeokamžitýpólpohybuatudížmezi y-ovousložkou 

okamžitéhozrychleníhmotnéhostředuaúhlovýmzrychlenímplatí 

ÿ S = 

l 

2¨ϕ. (47) 

Podosazenído(46)za J S a ÿ S řešenímdostaneme 

a) F 1 = mg 

4 , 

b) ẍ S =0 , ÿ S = − 3 4 g , ¨ϕ=−3g 2l . 

Tahovásílavevláknějezřejměpolovičnínežvestatickémpřípadě,kdyjsou 

včinnostioběvlákna. 

Nyníještěukážemedruhýzpůsob,kdymomentováosabudeprocházetpólemP,kterýjenalevémkoncityče.Pakpodlepohybovérovnice(45)bude 

platit: 

1 

3 ml2¨ϕ=−mg l 2 . 

Odtud 

¨ϕ=− 3g 

2l 

vsouladuspředchozímřešním.Zrychleníhmotnéhostředuvypočtemezvazbovépodmínky(47).TímtopostupemovšemnemůžemevypočítatsíluF1 

, 

protožejejímomentkPjezřejměnulový. 

b)Valivýpohybtělesaponakloněnérovině 

Budemezkoumatvalivýpohybtuhéhorotačníhotělesaponakloněnérovině. 

Abytototělesokonalorovinnýpohyb,musímítsnakloněnourovinoubuďbodovýdotyk(jdenapř.okouli,rotačníelipsoidneboanuloid),nebodvojbodový 

dotyk,přičemžpřímkaspojujícítytobodymusíbýtrovnoběžnásrotačníosou 

36

(např.soustavadvoustejnýchspojenýchkoulíaneborůznárotačnítělesasplňujícítutopodmínku)nebotělesadotýkajícíserovinypovrchovoupřímkou 

rovnoběžnousrotačníosou(např.válec,nikolivšakkužel). 

Abytělesobyloschopnoseodvalovat,musíbýtnakloněnárovinadrsnáa 

mezitělesemarovinoumusípůsobittření.Vdosavadníchúloháchjsmepředpokládali,žetělesoseodvalujedokonale,bezprokluzu.Nevždybudousplněny 

podmínkyprotentopředpoklad.Našímúkolemjetytopodmínkystanovit. 

Uvažujmehomogennírotačnítělesoohmotnosti mamomentusetrvačnosti 

J S vzhledemkrotačníose,kterésenapoloměru rdotýkánakloněnérovinyse 

sklonem α(obr.39).Mezitělesemarovinoupůsobísmykovétření,jehožkoeficientje 

f .Soustavusouřadniczvolímetak,žeosa xbudemítsměrspádnice 

nakloněnéroviny.Rovinapůsobínatělesoreakcí,kterámánormálovou(N)a 

tečnou(T)složku. 

Skalárnípohybovérovnice(42)až 

(44)prouvažovanétělesojsou 

mẍ S 

$ 

= mgsinα − T , (48) 

mÿ S = N − mgcosα , (49) S 0 

T 

y 

x0 

J S¨ϕ=Tr 

Nm, mg 

J S 

S r 

. (50) 

O A ′ 0 ϕ 

Vtěchtotřechrovnicíchjepětneznámých: 

N , T , x S , y S , ϕ.Aby 

A 0 A 

soustava byla řešitelná, musíme 

připojit ještě dvě rovnice (resp. 

podmínky).Jednouznichjepodmínkavazby,podlenížsehmotný 

x 

α 

Obr.39 

středpohybujepopřímcerovnoběžnésosou 

x,neboli 

y S = r= konst., resp. ÿ S =0 . (51) 

Pakzrovnice(39)pronormálovousložkureakceplyne 

N= mgcosα. (52) 

Dalšídoplňkovérovnicezávisínatom,zdatělesopřiodvalováníprokluzuje 

nebone.Mohounastattytopřípady: 

1.Tělesosedokonaleodvaluje,tedybezprokluzu.Pakmezibodemdotyku 

tělesaanakloněnourovinoujenulovárelativnírychlostaboddotykuAje 

okamžitýmpólempohybu(A≡P).Odtuddostanemevazbovourovnici 

x S = rϕ, resp. ẍ S = r¨ϕ . (53) 

37

2.Tělesoseodvalujeasoučasněsmýká,tedymezitělesemanakloněnourovinou 

jeprokluzatečnásložkareakcedosahujehodnotysílysmykovéhotření 

T= F t = fN= fmgcosα. (54) 

ad1)Řešeníprodokonaléodvalování 

Dosazenímz(53)za¨ϕdo(50)dostaneme 

T= J S 

r 2 ẍS . (55) 

Podosazení(55)do(48)dostanemepro x-ovousložkuzrychleníhmotného 

středuvýraz 

mr 2 

ẍ S = 

2 

gsinα. (56) 

J S + mr 

Zpětnýmdosazením(56)do(55)vycházíprotečnousložkureakcevýraz 

T= 

J S 

J S + mr 2 mgsinα= J S 

J P 

mgsinα, (57) 

kde J P = J S + mr 2 je,vsouladuseSteinerovouvětou,momentsetrvačnosti 

kose,kteráprocházíokamžitýmpólempohybuP. 

Dvojíintegracírovnice(56)přiuváženípočátečníchpodmínek x S (0)=x 0 , 

v S (0)=0je 

x S = x 0 + 1 mr 2 

2 J S + mr 2 gt2 sinα. (58) 

Abypřiodvalovánínedošlokprokluzumusíbýttečnésložkyreakce(57)menší 

nežsílasmykovéhotření,neboli T < fN .Musítedybýtsplněnapodmínka 

J S 

J P 

mgsinα < fmgcosα , 

neboliproúhel αsklonunakloněnérovinymusíplatit 

tg α < J P 

J S 

f . (59) 

Nyníbudemedosaženévýsledky(56)až(59)konkretizovatpronejdůležitější 

homogennítělesa:proválecaprokouli. 

38

α)Válec 

J S = 1 2 mr2 , J P = 3 2 mr2 , 

J P 

J S 

=3 , 

ẍ S = 2 3 gsinα, 

T= 1 3 mgsinα, 

x S = x 0 + 1 3 gt2 sinα, 

tg α

ϕ=f mgr 

2J S 

t 2 cosα. (63) 

Abyřešení(60)a(62)mělosmysl,musíbýtvýrazvzávorcekladný,tj.musí 

platit 

sinα > fcosα , 

tj. 

tg α > f . (64) 

Protoževyšetřovanýpřípadad2)nastáváažpřinesplněnípodmínky(59),tj. 

pro 

tg α ≥ J P 

f 

J S 

aprotoževždyje 

% 

J P 

>1 ,jepodmínka(64)vždysplněna. 

JS 

2.6 Kinetickáenergietuhéhotělesa 

a)Kinetickáenergiepřitranslačnímpohybu 

Natělesonechťpůsobívnějšísíly,kterémajívýsledniciFprocházejícíhmotnýmstředem.Všechnybodytělesaopisujístejnétrajektorie;budemesledovat 

drnαv 

trajektoriihmotnéhostředu,dokteréhopřitranslačnímpohybusoustřeďujeme 

F dn 

celkovouhmotnosttělesa.Hmotnýstřednechťsevčase tnacházívboděA 

(obr.40a),kdepůsobívýslednásílaF. 

a) τ b) 

A ′ 

A 

′ 

trajektorie 

Obr.40 

TatosílapřipřemístěníhmotnéhostředudosoumeznépolohyA’vykonáelementárnípráci 

dW=F·dr= Fdrcosα. (65) 

JestližesepřemístěnídoA’vykonázačasovýintervaldt ,jepůsobícíokamžitý 

výkon 

P= dW dt 

=F·dr 

dt =F·v. (66) 

40

dv dr 

VykonanáprácedW seprojevívzrůstemkinetickéenergietělesavuvažovanéinerciálnívztažnésoustavě:dW=dE 

k .Dosadíme-lizasíludo(65)zI. 

impulsovévěty(14),dostaneme 

dE k =F·dr= m 

dt ·dr= m 

dt ·dv= mv·dv. (67) 

Provýpočetskalárníhosoučinurychlostivajejíhopřírůstkudvsiuvědomíme, 

žev= v,kdejejednotkovývektorvesměrutečny τktrajektorii(obr.40a). 

Pakv·dv= v·d(v)=v·(dv+ vd)=vdv(·)+v 2·d=vdv , 

neboť·=1a·d=0(jekolmékdamásměrnormályn—vizobr. 

40b).Pak 

dE k = mvdv . 

Provedme-liintegracimezidvěmapolohami r 1 , r 2 hmotnéhostředu,vnichžmá 

tělesorychlosti v 1 , v 2 ,dostanemepropráciapropřírůstekkinetickéenergie: 

W 12 = 

∫ r2 

r 1F·dr= 

∫ v2 

v 1 

mvdv = 1 2 mv2 2 − 1 2 mv2 1= E k2 − E k1 . (68) 

Kinetickáenergietělesapřitranslačnímpohybuvuvažovanéinerciálnívztažné 

soustavě,vnížmárychlostv,je 

E k = 1 2 mv2 . (69) 

b)Kinetickáenergiepřirotačnímpohybukolemnehybnéosy 

Přirotacituhéhotělesakolemnehybnéosymávektorelementuúhlovédráhy 

d,vektorúhlovérychlostiivektorMmomentusíly(resp.silovédvojice) 

směrosyotáčení(viznapř.obr.26).Pakproelementpráce,kterouvykoná 

momentMpřielementárnímpootočenídϕ= ds 

r můžemevzhledemk(65) 

postupněpsát 

dW=F·dr= Fds=Frdϕ=Mdϕ. (70) 

Jestližesetatoelementárníprácevykonalavelementárnímčasovémintervalu 

dt ,budeokamžitývýkon 

P= dW dt 

= M dϕ 

dt = Mω=M·. (71) 

41

Práce(70)seopětprojevíelementárnímpřírůstkemkinetickéenergierotačníhopohybutělesavuvažovanéinerciálnívztažnésoustavě,vnížjeosaotáčení 

nehybná:dW=dE k .Dosadíme-lido(70)zeII.impulsovévěty(22)dostaneme 

dE k = J dω 

dt dϕ=Jdϕ dω= Jωdω . 

dt 

Jestližetělesomělovevýchozípoloze ϕ 1 úhlovourychlost ω 1 avkonečné 

poloze ϕ 2 úhlovourychlostí ω 2 ,budevykonanáprácerovnapřírůstkukinetické 

energie: 

W 12 = 

∫ ϕ2 

ϕ 1 

Mdϕ= 

∫ ω2 

ω 1 

Jωdω= 1 2 Jω2 2 − 1 2 Jω2 1= E k2 − E k1 . (72) 

Kinetickáenergietělesapřijehorotačnímpohybukolemnehybnéosyvuvažovanéinerciálnívztažnésoustavě,vnížmáúhlovourychlost,je 

E k = 1 2 Jω2 . (73) 

c)Kinetickáenergiepřirovinnémpohybu 

Tuhétělesonechťkonávuvažovanéinerciálnívztažnésoustavěrovinnýpohyb. 

Projehokinetickouenergiiplatí 

E k = ∑ i 

1 

2 m iv 2 i =1 2 

∑ 

m i (vi ·vi). (74) 

Rychlost i-téhoboduvinynívyjádřímepomocírychlostivShmotnéhostředu 

vuvažovanévztažnésoustavě.Zřejměplatí(vizobr.34b) 

vi=vS+v′ i , 

kdev′ i jerychlost i-téhoboduvzhledemkhmotnémustředu.Podosazenído 

(74)dostaneme 

E k = 1 ∑ 

m i (vS+v′ 2 

i ) ·(vS+v′ i )= 1 ∑ 

2 v2 S m i +vS · ∑ 

m iv′ i + 1 ∑ 

m i v i ′2 . 

2 

i 

i 

i 

i 

(75) 

Sumavedruhémčlenuvýrazu(75)představujehybnosttělesavevztažnésoustavěspojenéhmotnýmstředem.Srovnáme-livýrazy(9)a(12)můžemeanalogickypsát 

∑ 

m iv′ i = mv′ S , (76) 

i 

42 

i

kdev′ S jerychlosthmotnéhostředuvsoustavěsnímpevněspojené—zřejmě 

jev′ S =0ačlen(76)jenulový.Pakpřijdevztah(75)prokinetickouenergiido 

tvaru 

E k = 1 2 mv2 S +1 2 

∑i m iv ′2 

i = 1 2 mv2 S +1 2 ω2 ∑ i m ir 2 i =1 2 mv2 S +1 2 J Sω 2 , 

(77) 

kde J S jemomentsetrvačnostitělesakoseprocházejícíhmotnýmstředem. 

Vztah(77)vyjadřujeKönigovuvětu: 

Kinetickáenergietuhéhotělesapřijehoobecnémrovinnémpohybujerovnasoučtukinetickéenergiehmotnéhostředu(odpovídátranslačnísložcepohybu)akinetickéenergiepohybutělesa 

vzhledemkhmotnémustředu(odpovídárotačnísložcepohybu). 

2.7 Zákonzachovánímechanickéenergie 

Uvažujmepohybtělesavsilovémpoli,kteréjekonzervativní.Přitomkonzervativnípolejetakovépole,uněhožprácepůsobícísílyvykonanápouzavřené 

trajektoriitělesavtomtopolijenulová.Tomůžebýtjen,kdyžprácemezi 

dvěmabodytrajektoriezávisípouzenavýchozíakonečnépolozetělesa,nikoli 

natvarutrajektorie.Vtakovémpolimůžemedefinovatpotenciální(polohovou) 

energii E p .Příklademkonzervativníchpolívmechanicejepolegravitačnía 

polepružnýchsil,velektromagnetismujetopoleelektrostatické. 

Podlevýšeuvedenédefinice,tedypráce,kteroukonzervativnípolevykoná 

připřemístěnízpolohy1dopolohy2je 

W 12 = E p1 − E p2 . (78) 

Ztohojezřejmé,žepotenciálníenergiejedefinovánaažnakonstantu—ta 

sepřivýpočtuprácepodle(78)vyruší.Protojenutnépodlecharakteruúlohy 

volitnulovouhladinupotenciálníenergie. 

Jakjsmepoznalivčl.2.6,projevíseprácevykonanánatělesevzrůstemjeho 

kinetickéenergievuvažovanéinerciálnívztažnésoustavě—srovnejsvýrazy 

(68)a(72).Tedy 

W 12 = E p1 − E p2 = E k2 − E k1 , 

neboli 

E k1 + E p1 = E k2 + E p2 . 

43

Obecnětedyplatí 

E k + E p 

& 

= konst. (79) 

Tentovztahvyjadřujezákonzachovánímechanickéenergie: 

Celkovámechanickáenergietělesavkonzervativnímpolivuvažovanéinerciálnívztažnésoustavějekonstantní. 

Zákonzachováníenergie(79)spolusvýrazy(69),(73)a(77)prokinetickou 

energiimůžemesvýhodouvyužítpřiřešenímnohýchúlohzmechanikytělesa. 

Přitomnapř.přivýpočturychlostineboúhlovérychlostinemusímeřešitdiferenciálnípohybovourovnici,jaksiukážemenanásledujícíchdvoupříkladech. 

Příklad10 

A 

Tenkátuháhomogennítyčodélce l=2a m, l=2a 

ahmotnosti mkloužekoncovýmbodem 

B po dokonale hladké vodorovné ploše 

(obr.41).Tyčsezačalapohybovatzklidové, 

téměř svislé polohy (ϕ ≈ π/2). 

ϕ B 

Určete velikost úhlové rychlostijako 

funkciúhlu ϕ. 

' 

Obr.41 

Řešení 

Křešenívyužijemezákonazachovánímechanickéenergie(79).Vopěrnémbodě 

BpůsobínatyčreakceRBvodorovnéplochy,kterávšakvpřípaděneexistence 

třeníjekolmákploše,atudížpřipohybutyčenekonápráci(obr.42).Jedinou 

silou,kterázpůsobujezměnukinetickéenergievsoustavěspojenésvodorovnou 

plochoujetíhovásíla mg. 

Protožepočátečnírychlosttyčebylanulová 

a tíhová síla je svislá, pohybuje se ω 

A 

hmotnýstředposvislépřímce.Mechanická 

ω 

energievpočátečnípolozemásložky 

r 

P 

S a 

E k0 =0 , E p0 = mga , 

mgvS ϕ B 

vobecnépolozepodle(77)je 

E k = 1 2 mv2 S+ 1 2 J Sω 2 , E p = mgasinϕ. RBvB 

Obr.42 

44

ProvýpočetrychlostivShmotnéhostředuSmůžemesvýhodoupoužítpólu 

pohybuP(obr.42).Platí v S = ωr=ωacosϕ.Uvážíme-li,že J S = m(2a) 2 /12 

dostanemepodosazenídovztahu(79)prozákonzachováníenergierovnici 

neboli 

mga= 1 2 ma2 ω 2 cos 2 ϕ+ 1 2 ·1 

3 ma2 ω 2 + mgasinϕ, 

g(1 −sinϕ)= aω2 

6 (1+3cos2 ϕ). 

Odtuddostanemehledanéřešení 

√ 

6g 

ω= 

a · 1 −sinϕ 

1+3cos 2 ϕ . 

Příklad11 

Tenkátuháhomogennítyčohmotnosti madélce ljezestavuklidu,kdyje 

odkloněnaodsvisliceoúhel ϕ 0 ,volněpuštěna(obr.43). 

(a) 

y 

Vypočtěterychlostjejíhokoncového 

bodupřidopadunavodorovnourovinu. 

m 

b) Dojakévzdálenosti x R odosyOje 

ϕ 0 

nutné ve vodorovné rovině umístit 

l nárazníkotuhosti k ,abyzachytilcelousílunárazu,tj.abyreakcevzávěsuosytyčenezáviselanasílenárazu. 

O 

x 

k 

x 

c) Vypočtěte velikost síly nárazu při 

R 

umístěnínárazníkupodleboduadb). 

Obr.43 

Řešení 

a)Řešímeužitímzákonazachovánímechanickéenergie.Nulovouhladinupotenciálníenergievolímevevodorovnérovině.Celkováenergievevýchozí 

polozeje 

E 0 = E pmax = mg l 2 cosϕ 0 . (80) 

45

Celkováenergievevodorovnéroviněje 

E v = E kmax = 1 2 Jω2 = 1 ·1 ( ) 2 v 

2 3 ml2 = 1 l 6 mv2 . 

Zrovnostícelkovýchenergiívoboupoloháchdostanemeprorychlostkoncovéhobodutyčevýraz 

v= √ 3glcosϕ 0 . 

dF F 

q(x) 

Obr.44 

b)Přidopadutuhétyčenapružnýnárazníkokonstantnítuhosti kdojdeke 

zpomalenémuotočnémuzabrzděnítyče;úhlovézrychleníoznačíme ε . 

)Naelementdxtyčepůsobíelement 

x R síly(obr.44) 

x dx nárazník 

O 

dF= adm=εx m l dx. 

Délkováhustotasílytedyje 

q(x)= dF x. 

dx = εm l 

SílatedynarůstálineárněodosyO(vizobr.44).Výslednásílamávelikost 

F= 

∫ l 

0 

g(x)dx= εm l 

∫ l 

0 

xdx=ε ml 

2 . (81) 

Abynárazníkzcelazachytilnárazovousílu,musímejejumístittak,aby 

leželnanositelcevýslednice(81).Jejípolohu x R určímezpodmínky,že 

momentvýslednicejerovensoučtumomentůsložkovýchsil.Složkovésíly 

jsourozloženyspojitě,prototentosoučetpřejdevintegrál.Tedy 

neboli 

Fx R = 

ε ml 

2 x R= εm l 

∫ l 

0 

g(x) · xdx, 

∫ l 

0 

x 2 dx=ε ml2 

3 . 

Zprvníhoatřetíhočlenudostanemepropolohuvýsledniceatímipropolohu 

nárazníkuvýraz 

x R = 2 3 l . (82) 

Tatopolohasevdynamicenazývástředrázunebostředperkuze. 

46

c)Výševypočtenávelikostvýslednicesetrvačnýchsil,kterájedynamickousilounárazu,jepodmíněnaznalostíúhlovéhozrychlení 

ε .Tozávisínatuhosti 

nárazníkuajehovelikostběhemnárazuvzrůstá.Výpočetkonečnévelikosti 

sílyFmůžemevšakudělatpřímoúvahouoenergii.Celkovámechanická 

energie E 0 vypočtenávboděada)seponárazupřeměnínapotenciální 

pružnouenergii E pr nárazníkupodlevztahu 

E 0 = E pr = 1 2 ky2 max= 1 2 k ( F 

k 

) 2 

= F2 

2k , 

kde y max = F k jedynamickásložkadeformacepřinárazu.Podosazeníza 

E 0 zvýrazu(80)dostanemeprokonečnouvelikostsílynárazuvýraz 

F= √ mglkcosϕ 0 . (83) 

Podosazenítohotovýrazudo(81)bychommohlivypočítatvelikostpříslušnéhoúhlovéhozrychlenípřinejvětšídeformacinárazníku. 

Celkovásíla,působícípřinárazunanárazník,budekromědynamickésložky 

(83)zahrnovatještěstatickoutíhovousložku,kterázávisínapoloze x R podle 

(82).Celkovásílamávelikost 

F c = 3 4 mg+ √ mglkcosϕ 0 . 

47

2.8 Srovnánírotačníhopohybustranslačnímpohybem 

Zezavedenýchveličinaodvozenýchvztahůmeziveličinamiprotranslačnípohybtuhéhotělesaaprorotačnípohybtuhéhotělesakolemnehybnéosyje 

možnésledovatanalogie,kterémajíhlubšífyzikálnísouvislost.Prozískánílepší 

orientacemezitěmitoveličinamiavztahyjevhodnésiudělatjejichshrnutía 

vzájemnésrovnání. 

translačnípohyb rotačnípohyb 

elementdráhy dr,ds d d 

elementúhlovédráhy 

rychlost v= úhlovárychlost = 

ma=F Fmv dv dp M=r×F 

dt 

J=M 

L=J 

d dL 

dt 

zrychlení 

úhlovézrychlení 

dt dt 

hmotnost m momentsetrvačnosti J 

síla momentsíly 

hybnost p= momenthybnosti 

I.impulsovávěta F= II.impulsovávěta M= 

dt dt 

pohybovárovnice pohybovárovnice 

elementpráce dW=F·dselementpráce dW=M·d 

výkon P=F·v výkon P=M· 

kinetickáenergie E k = 1 2 mv2 kinetickáenergie 

E k = 1 2 Jω2 

48

1.KlikaABčtyřkloubovéhomechanismu(obr.45),jehožčlenytvoříparalelogramseotáčípodlerovnicepohybu 

ϕ=kt 3 ,kde k >0jekonstanta. 

UrčeterychlostazrychleníboduEojnicevčase t 1 .Dáno AB= CD= r= 

=0,10m, AD=BC , k=0,10s −3 , t 1 =10s . 

y 

E 

B C 

S 

r 

r v0 

ϕ 

A D 

A≡O 

x 

Obr.45* + Obr.46 

3 Úlohy 

2.Motorseroztáčítak,žesoučinúhlovérychlostiaúhlovéhozrychleníjehorotorujestálý,tj. 

ωε=k ,kde k >0 .Otáčkymotorunapočátkujsou n 0 .Vypočtěteotáčky 

n 1 motoruvčase t 1 .Jedáno: k=20s −3 , n 0 =190min −1 , 

t 1 =30s . 

3.OdvoďteparametrickérovnicetrajektorieboduA,kterýležínapovrchu 

válceopoloměru r ,zjehopočátečnípolohynaznačenénaobr.46.Válecse 

dokonaleodvalujeporovině.Zaparametrvolteúhel ϕotočeníválcekolem 

osyprocházejícístředemS.UrčetesouřadniceboduAvtěchtozvláštních 

π 

polohách: ϕ=0 , 

2 , π , 3π 

2 , 2πavypočtětevtěchtopoloháchivelikost 

rychlostiboduA,má-listředSrychlostv0 . 

a) b) 

y 

y 

A 

lO 

r 

C 

x 

A 

ϕ 

l 

ϕ ∈ 〈0, π 2 〉 x 

B 

O 

B 

Obr.47 

,49

-. 

4.TenkátyčkaABdélky lsekloužepovedenívetvaru 

a) půlkružnice(obr.47a)tak,žebodBpřejdedoboduC, 

b) dvouvzájemněkolmýchstěn(obr.47b). 

Odvoďterovnicinehybnépolodievsouřadnicíchkartézskýchsoustavnaznačenýchnaobr.47. 

5.Jedánklikovýmechanismuspodleobr.48,uněhož r: l=1:3 .Grafickou 

metodounajdětenehybnoupolodiiojniceABpro ϕ ∈ 〈0,2π〉. 

gJ r 

B 

l r ϕ 

s 

O 

A 

m 

Obr.48 Obr.49 

6.Parašutistaohmotnosti m=90kgseskočípadákemzbalónu,kterýje 

vrelativnímkliduvůčipovrchuZemě.Odporovásílavzduchujeúměrná 

druhémocniněrychlostipodlevztahu F 0 = kv 2 ,kdeprodanýpadákje 

k=35,3 .Vypočtěte,jakémaximálnírychlostimůžeparašutistadosáhnout. 

7.Jakýjemomentsetrvačnostikotoučekladkyopoloměru r = 180mm , 

jestližezávažíohmotnosti m=4,0kgproběhnedráhu s=1,2mzadobu 

t=1,3s .Napočátkujezávažívklidu(obr.49). 

8.Vypočtětemomentsetrvačnosti Jrotačníhotělesazesoustavynaobr.50, 

jestližezávažíohmotnostech m 1 , m 2 sepohybujípodrsnýchplochácha 

urazídráhu szestavukliduzadobu t 0 .Jedáno m 1 , m 2 , r , s , t 0 , α 1 , α 2 

asoučinitelsmykovéhotření f .Stanovtepodmínkuproto,abysesoustava 

vůbecpohybovala. 

9.Jedánasoustavasdvojitoukladkoupodleobr.51,unížznáme r, R, J, m 1 , 

m 2 .Určete: 

a) Úhlovézrychleníkladky. 

b) Úhlovourychlostkladkyvčase t ,je-livt 0 =0 ω= ω 0 . 

50

J r 

m 2 

s 

m 1 

α 1 α 

Obr.50/ 0 

g 

J 

R 

r 

kladná 

orientace 

2 

m 2 m 1 

Obr.51 

10.Rotoromomentusetrvačnosti J=2,25 ·10 −5 kg·m 2 ,jepoháněnkrokovým 

impulsnímmotorem.Momentsetrvačnostimotoruzanedbáváme.Hnacímomentmákonstantnívelikost 

M h =1,25 ·10 −4 N·maudělírotorujeden 

impulspodobu t 0 =0,220s .Pohybrotorujesoučasněbrzděnpasivními 

odpory,jejichžvýslednýmomentmávelikost M p =2,3 ·10 −6 N·m.Vypočtěte: 

a) Jakémaximálníúhlovérychlostirotordosáhne. 

b) Zajakdlouhoodpočátkuimpulsuserotorzastaví. 

c) Jakýúhelrotoropíšeodpočátkuimpulsudosvéhozastavení. 

11.Rotorturbínyomomentusetrvačnosti Jvolnědobíházpočátečníúhlové 

rychlosti ω 0 podpůsobenímodporovýchsil,kterémajímomentovelikosti 

M = kω 2 ,kde ωjeokamžitáúhlovárychlostak>0jekonstanta.Určete: 

a) Závislost ω= ω(t). 

b) Dobu t 1 ,zanížse ω 0 zmenšína ω 0 /10 . 

12.Stejnosměrnýelektromotorjepřiúhlovérychlosti ω 0 přepnutdodynamovéhochodu,přičemžnajehorotorzačnepůsobitbrzdicímomentsílyovelikosti 

M b = kω ,kde k >0jekonstanta.Rotormámomentsetrvačnosti J. 

Vypočtěte,zajakoudobu t 1 apokolikaobrátkách z 1 klesneúhlovárychlost 

rotorunapolovinu. 

13.Motorokonstantnímvýkonu Proztáčísetrvačníkzestavu,kdymápočátečníúhlovourychlost 

ω 0 .Soustavamotorusesetrvačníkemmámoment 

setrvačnosti J.Vypočtěte,jakouúhlovourychlostzískásetrvačníkzačas t 

apočet zotáček,kterépotomvykoná. 

51

14.Odvoďtevztahpromomentsetrvačnosti Jvzhledemkosegeometrickésouměrnostitěchtohomogenníchrotačníchtělesohmotnosti 

m: 

a) Tenkostěnnátrubkaostřednímpoloměru r . 

b) Tlustostěnnátrubkaovnějšímpoloměru 

1 

r 1 aovnitřnímpoloměru r 2 . 

c) Tenkostěnnákulováskořepinaostřednímpoloměru r . 

d) Kolmýkuželokruhovézákladněspoloměrem r . 

e) Kolmýkomolýkuželokruhovýchzákladnáchspoloměry r 1 , r 2 < r 1 . 

15.a) Odvoďtevztahpromomentsetrvačnosti Jtenkéhomogennítyčedélky 

lkose o,snížtyčsvíráúhel αakteráprocházíjejímkoncem(obr.52). 

Hmotnosttyčeje m. 

b) Jakýbudemomentsetrvačnosti J 1 

2 

,kdyžnavnějšíkonectyčepřidáme 

hmotnýbodotéžehmotnosti m 

o 

z 

m 

m 

S 

r 

α l 

y 

x 

Obr.52 Obr.53 

16.Odvoďtevztahpromomentsetrvačnostitenkého homogenníhoprstence 

ohmotnosti mastřednímpoloměru r: 

a) kose zprocházejícíhmotnýmstředemSkolmokjehorovině(obr.53), 

b) kosám x, y ,kteréležívroviněprstenceaprocházíbodemS. 

17.Odvoďtevztahpromomentsetrvačnosti Jhomogenníkrychleodélcehrany 

avzhledemkose,kteráprocházíjejímgeometrickýmstředemkolmokestěně 

krychle.Hmotnostkrychleje m. 

18.Vypočtětemomentsetrvačnosti J vzhledemkosesymetriehomogenního 

rotačníhotělesa,kterésestávázválcovéčástiadvoupolokulovýchčástí 

podleobr.54.Jedáno:rozměr rahmotnost mceléhotělesa. 

19.Odvoďtevztahpromomentsetrvačnostitenkéhomogennítyčkyohmotnosti 

maodélce l: 

52

34 

a) Koseprocházejícíjednímzkoncůkolmonatyčku. 

b) Koseprocházejícístředemtyčkykolmonajejíosu. 

c) Zvýsledkůada),b)ověřteplatnostSteinerovyvěty. 

m 

o 

r 

m m m 

2r 

r r 

r 6r 

Obr.54 Obr.55 

20.Vypočtětemomentsetrvačnostihomogenníčinkypodleobr.55kose o. 

Spojovacítyčkupovažujtezatenkou.Jedánrozměr r ,hmotnost mkaždé 

zkoulíastejnáhmotnost 5mspojovacítyčky. 

6 

21.Vypočtětemomentsetrvačnostitěchtohomogenníchtěles,jejichžhmotnost 

je mapoloměr r: 

a) válcekjehopovrchovépřímce, 

b) koulektečnějejíhlavníkružnice. 

22.Jedánahomogenníkruhovádeskaopoloměru rsotvorempodleobr.56. 

Deskamáhustotu ̺atloušťku a .Vypočtětemomentsetrvačnosti JvzhledemkoseprocházejícístředemOkolmonadesku. 

O a 

r 

O 2 gm a 

r 

m a 

m 

Obr.56 Obr.57 

23.Kyvadlosestávázetříhmotnýchbodů,každýohmotnosti m,rozmístěných 

podleobr.57sroztečí a.Vypočtětemomentsetrvačnostikyvadlaadobu 

Tmalýchkmitůvtěchtopřípadech: 

53

a) Hmotnostspojovacítyčkyjezanedbatelná. 

b) Hmotnostspojovacítyčkyje m. 

Stanovtepoměr T a /T b odpovídajícíchperiod. 

24.Válecohmotnosti mapoloměru rseotáčíkolemsvérotačníosyúhlovou 

rychlostí ω 0 .Jakoubymuselmítúhlovourychlost ωpřirotacikolemsvé 

povrchovépřímky,abysenezměnilajehokinetickáenergie 

8 

25.Setrvačník(obr.58)můžemeroztočittak,ženajehopouzdroopoloměru r 

navinemešňůrkuazajejívolnýkonectáhnemesilouaždojejíhoodvinutí. 

g 

Vypočtěteúhlovourychlostsetrvačníkuomomentusetrvačnosti Jodvinulalisezestavuklidudélka 

lšňůrkybezprokluzupřipůsobenísílyF=konst. 

7O 

h 

J 

m 

r 

R 

2r 

Obr.58 Obr.59 

26.JedánoMaxwellovokyvadlojakosoustavadvoublízkosebeumístěnných 

válcovýchkotoučůopoloměru Raocelkovéhmotnosti m,kteréjsouspojenyčepemopoloměru 

r ,jehožhmotnostzanedbáme(obr.59).Načepuje 

jednímkoncempřipevněnoanavinutoneroztažitelnévlákno,kteréjedruhýmkoncempřipevněnokzávěsu.Ponavinutívláknaapouvolněníkotoučů 

zhorníklidovépolohysevláknoodvijíbezprokluzu.Vypočtěte: 

a) Rychloststředukotoučůpřijejichpřemístěnídovzdálenosti hodklidové 

polohy. 

b) Zrychlenístředukotoučů. 

54

27.Vypočtětekinetickouenergiistřelyvokamžiku,kdyopouštíhlaveňzbraně 

(je totzv.úsťováenergie).Jedáno:ráže d, úhel α vývrtuhlavně(viz 

obr.60),počátečnírychlostv0 ,hmotnoststřely majejímomentsetrvačnosti 

J 0 

: 

g 

. 

m r A 

ω 1 

9h 

α 

C h 1 

d α 

R v0 

B 

Obr.60 Obr.61 

28.Kuličkaohmotnosti mapoloměru rsezklidovéhostavuvboděAvalíbez 

klouzánípodrázepodleobr.61avboděCjiopustí.Je-lidánavýška ha 

poloměr R ,vypočtěte: 

a) Sílu,kterábudenakuličkupůsobit,kdyžbudeprocházetnejnižšímbodemB. 

b) Největšívýšku h 1 

< 

,dokterévystoupíaúhlovourychlost ω 1 ,kterouzde 

g g 

budemít. 

m r 

y 

A 

m 

α 0 l 

h 

α 

α 1 x 

B 

l 1 k 

Obr.62;O 

Obr.63 

29.Nadrsnénakloněnéroviněsesklonem αsepovypuštěnízestavuklidu 

vboděA(viz.obr.62)dokonaleodvalujejednakkulička,jednakváleček. 

55

Obětělesamajístejnouhmotnost mastejnýpoloměr r .Vypočtěte: 

a) Zrychlení a k hmotnéhostředukuličky, a v válečku. 

b) Dobu t k ,resp. t v ,zakteroutělesaprojdoubodemB,kterýjevevýšce 

hpodbodemA.Jakoupřitomdosáhnoupostupnourychlosthmotné 

středytěles 

Stanovtepoměrvelikostijednotlivýchvypočtenýchveličinprokuličkua 

váleček. 

30.Homogennítenkátyčkonstantníhoprůřezujevestavukliduodkloněnaod 

svisliceoúhel α 0 .Tyčmáhmotnost madélku l . 

a) Určetejejíúhlovourychlost ω 1 vokamžikudopadunapružinovýnárazník,jehožhorníkonecsenacházívevodorovnérovině,kteráprochází 

čepemOtyče(obr.63). 

b) Jakábudenejvětšíúhlováodchylka α 1 tyčeodvodorovnérovinypo 

jejímdopadunanárazník,jehožtuhostje kavzdálenostodčepuOje 

l 1 

= 

.Přiřešenípředpokládejte,žetuhostnárazníkujetakvelká,ženení 

nutnépočítatsezměnougravitačnípotenciálníenergietyče,způsobenou 

jejíodchylkouomalýúhel α 1 . 

g 

31.Homogennítenkátyčkonstantníhoprůřezuodélce ljenajednomsvém 

konciotočnězavěšena(obr.64).Jakárychlostv1musíbýtudělenavolnému 

koncityče,abysetyčdostalazesvislépolohydopolohyvodorovné 

gO 

∆ϕ= π O 

2 

l T ϕ 1 

l 

l 1 

T 

m 1 v1 

v1 

Obr.64 

m, J 

Obr.65> 

32.Dobalistickéhokyvadlaprourčovánírychlostístřelproniknestřelaohmotnosti 

m 1 neznámourychlostív1(obr.65),přičemžstřelazůstanevtělese 

kyvadla.Působenímstřelysepodélnáosakyvadlavychýlíodsvisliceoúhel 

ϕ 1 .Jeznámahmotnost mkyvadla,poloha l T těžištěamomentsetrvačnosti 

J kyvadlakoseO.Určeterychloststřely,je-liznámavzdálenost l 1 

jejítrajektorieodosyO. 

56

33.Dřevěnátyčseotáčíúhlovourychlostí ω 0 kolemnehybnésvisléosyOamá 

vzhledemknímomentsetrvačnosti J 0 .Kolmonatyč,vevzdálenosti r 0 , 

narazístřelaohmotnosti m 0 rychlostív0protipohybutyče(obr.66). 

a) Určeteúhlovourychlost ω 1 otáčenítyče,jestližestřelavtyčiuvázne. 

b) Změníseúhlovárychlost ω 1 ,jestližestřelaponěkolikaotáčkáchztyče 

vypadne(předpokládámenulovourelativnírychlostí) 

(1) 

m 0 v0 

m 

r 0 

O 

r r 

J 

O 

l ϕ 

ω 

J 0 0 

@O 

Obr.66 Obr.67 AObr.68 

34.VodorovnákruhovádeskajedokonaleotočnákolemsvisléosyprocházejícíjejímstředemO;vzhledemktétoosemámomentsetrvačnosti 

J .Na 

desce,kterájevzhledemkuvažovanéinerciálnísoustavěvklidu,stojíve 

vzdálenosti rčlověkohmotnosti m(budemejejpovažovatzahmotnýbod). 

Ojakýúhel ϕ 0 sekotoučpootočí,oběhne-ličlověkdeskuvkladnémsměru 

pokružniciopoloměru rjednoudokola(obr.67) 

35.Tenkáhomogennítyčodélce ljevolněpuštěnazesvislépolohy(1)(obr.68) 

asezanedbatelnýmtřenímseotáčíokoločepuO. 

a) Užitímpohybovérovniceurčetezávislostúhlovéhozrychlení εtyčena 

úhluotočení. 

b) Užitímzákonazachováníenergieurčetezávislostúhlovérychlosti ωtyče 

naúhluotočení.Derivacívýsledkuověřteřešenívboděada). 

36.Svislestojícítenkáhomogennítyčodélce ljeotočněuloženávčepuO 

(obr.69).Uvolnímejizesvislépolohy(1).Tyčzačnevlivemtížepadat, 

tj.otáčetsekolemosy zprocházejícíbodemO.Připrůchoduvodorovnou 

rovinou(2)tyčuvolnímevložisku(např.vytaženímčepu)atyčsezačne 

volněpohybovatprostorem.Odvoďterovnicepropohybvolněsepohybující 

tyče,tj.funkce x S = x S (t), y S = y S (t), ϕ=ϕ(t). 

37.Tenkátuháhomogennítyčodélce lahmotnosti mserovnoměrněotáčí 

úhlovourychlostí ωkolemsvisléosy o(obr.70).TyčjevboděAklou- 

57

Bg 

C 

F 

bověpřipojenakesvislerotujícímuhřídeli,vboděBjekehřídelipřipojena 

prostřednictvímlanatak,žeosatyčesvírásosouhřídeleúhel α .Určete 

velikosttahovésílyvlaně. 

(1) 

B 

l 

o 

ω 

(2) 

l 

O 

x 

α 

S 

A 

y 

ϕ 

Obr.69 EObr.70 

38.Tenkátuháhomogennítyčodélce l=2aklouževkoncovýchbodechA,B 

podvoudokonalehladkýchstěnách,znichžjednajesvislá,druhávodorovná 

(obr.71).Tyčjenasvisléstěněvedenatak,abybodAbylneustálevdotyku 

sestěnou. 

Tyčsezačalapohybovatzklidové,téměřsvislépolohy(ϕ ≈90 ◦ ).Určete 

velikostúhlovérychlostityčejakofunkciúhlu ϕ. 

y 1 

A A(0,y A 

mg 

2 

F1 C 

) 

S(x S ,0)B(x B ,0) 

l=2a 

DO≡P 

x 

ϕ B 

Obr.71 Obr.72 

39.Tělesoobecnéhotvarujezavěšenonadvourovnoběžnýchvláknech1,2 

uchycenýchvbodechA,Cpodleobr.72.Tělesomáhmotnost mamoment 

58

setrvačnosti J S vzhledemkose,kteráprocházíhmotnýmstředemSrovnoběžněsosou 

zzvolenévztažnésoustavy.BodAmásouřadnice x A =0 , y A , 

polohahmotnéhostředuS jerovněžznáma: x S , y S =0 .Prookamžik, 

kdybudepřerušenovlákno2,určete: 

a) Sílu F 1 napínajícívlákno1. 

b) Zrychleníhmotnéhostředuaúhlovézrychlenírotačníhopohybutělesa. 

c) ZrychleníboduBosouřadnicích x B , y B =0 ,přičemžvyužijtejednak 

vlastnostipóluPpohybu,jednakrozkladupohybusreferenčnímbodem 

položenýmdohmotnéhostředu. 

40.Homogennírotačníválecohmotnosti mapoloměru rsedotýkádrsnévodorovnérovinyskoeficientemsmykovéhotření 

f .Válecjeprostřednictvím 

neroztažitelnéhovláknazanedbatelnéhmotnostitaženpřeskladkurovněž 

sezanedbatelnouhmotnostízávažímohmotnosti m 1 (obr.73). 

a) Napištepohybovérovniceválceazávaží. 

b) Řeštepohybovérovnicepropřípad,kdyseválecdokonaleodvaluje. 

Stanovtepodmínkuprokoeficientsmykovéhotření,abytentopřípad 

nastal. 

c) Proveďteřešeníproodvalováníprovázenésmykáním.Příslušnéveličiny 

označtečárkou. 

m 

r 

S 

m 

Obr.73F 

g 

1 

59

Výsledkyúloh 

1.TyčBCvykonávátranslačnípohyb,protovE=vB ,aE=aB .Pak 

v E =3krt 2 1=3,0m·s −1 , 

a Et =6krt 1 =0,60m·s −2 , a En = v2 E 

r =9k2 rt 4 1 =90m·s−2 . 

2.Diferenciálnírovniceseseparovanýmiproměnnými: ωdω= kdt , 

√ 

n 1 = 30 (πn0 ) 2 

+2kt 1 =381min −1 . 

π 30 

3. x=r(ϕ −sinϕ), y= r(1 −cosϕ) ...cykloida. 

ϕ=0: x=0 , y=0 , v=0 , 

ϕ= π 2 : x=r(π 2 −1), y= r , v= √ 2v 0 , 

ϕ=π: x=πr , y=2r , v=2v 0 , 

ϕ= 3π 2 : x=r(3π 2 +1), y= r , v=√ 2v 0 , 

ϕ=2π: x=2πr , y=0 , v=0 

4.a) x=y=0...bodO. 

b) x 2 +y 2 = l 2 ,pro x ≥0 , y ≥0...čtvrtkružniceopoloměru lsestředem 

vO. 

5.vizobr.74 

6.Parašutistakonátranslačnípohyb;jehomax.rychlostbude v max = 

=5,0m·s −1 . 

7. J= mr 2 ( 

gt 

2 

2s −1 ) 

=0,76kg·m 2 

8.Abysesoustavavůbecpohybovala,musíbýt 

m 2 sinα 2 > m 1 (sin α 1 + fcosα 1 )+m 2 fcosα 2 nebo 

√ 

mg 

k = 

60

m 1 sinα 1 > m 2 (sinα 2 + fcosα 2 )+m 1 fcosα 1 . 

Předpokládáme-liplatnostprvnípodmínky,budousezávažípohybovatse 

zrychlením 

a= m 2(sinα 2 − fcosα 2 ) − m 1 (sinα 1 + fcosα 1 ) 

J+(m 1 + m 2 )r 2 r 2 g=konst. 

Momentsetrvačnostikladkypakbude 

[ 

] [ 

] 

J= m 2 r 2 (sinα 2 − fcosα 2 ) gt2 0 

2s −1 −m 1 r 2 (sin α 1 + fcosα 1 ) gt2 0 

2s −1 . 

( ) 

( ) 

π 

ϕ → 

ϕ → 

G 

3π 

2 2 

+ + 

√ 

l2 − r 2 

vB 

l 

B 

vA r 

ϕ 

ϕ=π A O 

P 

( ) 

( ) 

3π π 

ϕ → 

ϕ → 

2 2 

− 

− 

Obr.74 

m 

9.a) ε= 1 R − m 2 r 

m 1 R 2 + m 2 r 2 + J g , b) ω= ω 0+ εt . 

10.a) ω max = M h − M p 

t 

J 0 =1,20rad·s −1 . 

61

) t 0 + t 1 = M h 

M p 

t 0 =11,96s . 

ω 

ω maxJ 

O 

t 0 t 0 + t 1 

t 

c) ϕ= M h − M p 

2J 

M h 

M p 

t 2 0 =7,18rad. 

11.Pohybovárovnicepřiseparaciproměnných: dω 

ω 2 = −k J dt . 

a) ω= Jω 0 

J+ kω 0 t , b) t 1= 9J 

kω 0 

. 

12. t 1 = J k ln2, z 1= Jω 0 

4πk . 

13. ω= 

√ 

ω 2 0 +2P J t, 

z= J 

[√ 

] 

(ω 

6πP 

0 2+2P J t)3 − ω0 

3 . 

14.a) J= mr 2 , b) J= 1 2 m(r2 1 + r2 2 ), c) J=3 2 mr2 , 

d) J= 3 

10 mr2 , e) J= 3 10 mr5 1 − r5 2 

r1 3 − r2 

3 . 

15.a) J= 1 3 ml2 sin 2 α, b) J= 4 3 ml2 sin 2 α. 

16.a) J z = mr 2 , b) J x = J y = 1 2 mr2 . 

17. J= 1 6 ma2 . Dásedokázat,žetentomomentsetrvačnostinezávisínasměru 

osy,kteráprocházístředemkrychle. 

18. J= 23 

50 mr2 . 

19.a) J= 1 3 ml2 , b) J 0 = 1 12 ml2 , c) 1 3 ml2 = 1 12 ml2 + m l2 4 . 

62

20. J= 179 

5 mr2 . 

21.a) J= 3 2 mr2 , b) J= 7 5 mr2 . 

22. J= 13 

32 π̺ar4 . 

√ 

7a 

23.a) J a =14ma 2 , T a =2π 

3g , 

√ 

b) J b =17ma 2 34a 

, T b =2π 

15g , 

T a 

T b 

= 

√ 

35 

34 

. 

=1,015 (odchylka1,5%). 

24. ω= √ ω 0 

. 3 

25. ω= 

√ 

2Fl 

J . 

26.a) v= 

√ 

2gh , b) a= 2r2 g 

2r 2 + R 2 . 

2r 2 

1+ R2 

27. E k = 1 ( 

m+ 2J ) 

0tg 2 α 

2 d 2 v0 2 . 

[ ] 

10(h − r) 

28.a) F B = mg 1+ 

b) h 1 = 5h+2R 

7 

7(R − r) 

, ω 1 = 

, 

√ 

10g(h − R) 

7r 2 . 

29.a) a k = 5 7 gsinα, a v= 2 3 gsinα, a k 

= 15 

a v 14 , 

b) t k = 1 

√ 

14h 

sinα 5g , t v= 1 

√ 

3h 

sinα g , t k 

= 

tv 

v k = 

√ 

10 

7 gh , v v= 

√ 

4 

3 gh, v k 

v v 

= 

√ 

15 

14 . 

√ 

14 

15 , 

63

√ 

3gcosα0 

30.a) ω 1 = 

l 

b) α 1 = mgl 

l 1 k 

31. v 1 = √ 3gl . 

, 

( 

1 

2l 1 

+ 

√ 

kcosα0 

mgl 

) 

(zahrnujestatickouadynamickousložku). 

32.Aplikujemezákonzachovánímomentuhybnostiazákonzachováníenergie. 

v 1 = 1 

m 1 l 1 

√ 

2g(1 −cosϕ 1 )(ml T + m 1 l 1 )(J+ m 1 l 2 1 ). 

33.a) ω 1 = J 0ω 0 − r 0 m 0 v 0 

J 0 + m 0 r0 

2 . 

Podlevztahumezimomentemhybnostityče J 0 ω 0 amomentemhybnosti 

r 0 m 0 v 0 střelysetyčbuďpouzezpomalí(ω 1 >0),zastaví(ω 1 =0)nebo 

seroztočívopačnémsměru(ω 1

J 

39.a) F 1 = S 

J S + mx 2 mg , 

S 

b) ẍ S =0 , ÿ S = − mx2 S g 

J S + mx 2 , ¨ϕ=− mx Sg 

S J S + mx 2 , 

H 

S 

c) Užitímpólupohybu 

ẍ B =0 , ÿ B = x mx Sx B g 

B¨ϕ=− 

J S + mx 2 , 

S 

Užitímhmotnéhostředu 

ẍ B = ẍ S =0 , ÿ B = ÿ S I+(x B 

mg 

− x S )¨ϕ=− mx Sx B g 

J S + mx 2 . 

S 

mg 

B F1 

m 

A ω y r 

RA 

P S 

a 

a 

F1 

vA 

S a O x 0 A x 

vS vB 

ϕ 

B 

RB 

Obr.75 Obr.76 

40.a) Závaží: 

m 1 a 1 = m 1 g − F 1 . 

Válec(rovinnýpohyb): 

mẍ S = F 1 + T , 

mÿ S = N − mg , 

NT 

J 0¨ϕ=F 1 r − Tr , J 0 = 1 2 mr2 , 

1g 

m 1a1 

m 

kde N , Tjsouvelikostinormálovéatečnésložkyreakce,kteroupůsobí 

rovinanaválecaF 1 jevelikostsílynapínajícívlákno(obr.76).Protože 

y S = r=konst.,je ÿ S =0 azrychleníhmotnéhostředu a S = ẍ S . 

Současně N= mg . 

b) BodAjepólpohybuaprozrychleníboduBatímizávažíplatí 

a 1 =2ẍ S =2a S 

65

adále x S = rϕ,neboli ε=¨ϕ= a S 

r 

.Pakpohybovérovnicejsou 

Řešením 

a S = 

T= 

ε= 

F 1 = m 1 (g −2a S ), 

(m+2m 1 )a S = m 1 g+ T , 

( m 2 +2m 1)a S = m 1 g − T . 

4m 1 

g , x S = x 0 + 2m 1gt 2 

, 

3m+8m 1 3m+8m 1 

4m 1 g 

3m+8m 1 r , ϕ= 2m 1 gt 2 

(3m+8m 1 )r , 

m 3m 

m 1 g , F 1 = m 1 g . 

3m+8m 1 3m+8m 1 

Abyodvalováníbylodokonalé,musíbýt 

T < Nf aproto f > 

m 1 

3m+8m 1 

. 

c) Připrokluzu T ′ = fmg .BodAnenípólempohybuaprozrychlení 

závažíplatí a ′ 1 = a′ S + ε′ r .Pohybovérovnicepakjsou 

F ′ 1= m 1 (g − a ′ S − ε ′ r), 

(m+m 1 )a ′ S+ m 1 rε ′ =(m 1 + fm)g , 

( m 2 + m 1)rε ′ + m 1 a ′ S=(m 1 − fm)g . 

Řešením 

a ′ S= m 1+ f(m+4m 1 ) 

m+3m 1 

g , 

ε ′ = m 1 − f(m+2m 1 ) 2g 

m+3m 1 r , 

F ′ = (1+f)m 

m+3m 1 

m 1 g . 

66

Literatura 

[1] Baník,I.,Baník,R.,Zámečník,J.:Fyzikanetradične,Mechanika.Alfa, 

Bratislava1990. 

[2] Brdička,M.,Hladík,A.:Teoretickámechanika.Academia,Praha1987. 

[3] Horák,Z.,Krupka,F.,Šindelář:Technickáfyzika.SNTL,Praha1961. 

[4] Chytilová,M.:Mechanika—studijnítextyprosoutěžícívefyzikálníolympiádě.Školamladýchfyziků,sv.21.SPN,Praha1988. 

[5] Novotný,J.:TechnickámechanikaII.díl(Kinematikaadynamika).Ministerstvonárodníobrany,Praha1965. 

[6] Schönfeldová,J.,Handlířová,J.,Pytela,V.:Teoretickámechanika.Vysokávojenskáškola,Vyškov1975. 

[7] Szabó,J.:Mechanikatuhýchtělesakapalin.SNTL,Praha1967. 

[8] Šedivý,P.:Valivýpohybponakloněnérovině.Školskáfyzika,IV.ročník, 

č.2. 

[9] Trkal,V.:Mechanikahmotnýchbodůatuhéhotělesa.Nakl.ČSAV,Praha 

1956. 

[10]Vybíral,B.:Základyteoretickémechaniky1.a2.díl.Gaudeamus,Hradec 

Králové1992. 

[11]Vybíral,B.:Statikatuhéhotělesa.Knihovničkafyzikálníolympiádyč.26. 

VydavatelstvíMAFY,HradecKrálové1996. 

[12]Juliš,K., Brepta,R. akol.:Mechanika I. díl (Statika a kinematika). 

SNTL,Praha1986. 

[13]Juliš,K.,Brepta,R.akol.:MechanikaII.díl(Dynamika).SNTL,Praha 

1987. 

67

KINEMATIKA A DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?