12. Pierwiastki pierwotne

ARYTMETYKA MODULARNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2012/13

Spis tre±ci
1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3
2 Systemy pozycyjne 8
3 Elementy odwrotne 12
4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17
5 Maªe Twierdzenie Fermata 19
6 Twierdzenie Eulera 22
7 Twierdzenie Lagrange'a 26
8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29
9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon 34
10 Kongruencje wy»szych stopni 38
11 Liczby pseudopierwsze 44
12 Pierwiastki pierwotne 49
13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53
14 Logarytm dyskretny 58
15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61
2

Wykªad 12
Pierwiastki pierwotne
Przypu±¢my, »e liczby a oraz n > 1 s¡ wzgl¦dnie pierwsze. rz¦dem elementu a
modulo n nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ dodatni¡ k, tak¡ »e a k ≡ 1 (mod n).
Zauwa»my, »e, z uwagi na twierdzenie Eulera, k ≤ ϕ(n). B¦dziemy pisa¢
k = ord n a.
12.1 Przykªad. Rz¦dem 1 modulo n jest jeden, a rz¦dem −1 modulo n > 2
jest dwa, ale dla dowolnej liczby nieparzystej l (wi¦c i dla −1), ord 2 l = 1.
Obliczaj¡c kolejne pot¦gi liczby 2 modulo 31, zauwa»amy, »e ord 31 2 = 5.
Podobnie obliczamy ord 31 3 = 30. W tym ostatnim przypadku ord n a = ϕ(n).
Przypu±¢my, »e x 5 ≡ 1 (mod n). Zatem ord n x ≤ 5. Je±li x ≢ 1 (mod n),
to rz¡d elementu x nie mo»e by¢ równy 1. Nie mo»e to by¢ te» 2, bo wówczas
x 5 ≡ (x 2 ) 2 x ≡ x ≢ 1 (mod n). Z podobnych przyczyn, rz¦dem elementu
x modulo n nie mo»e by¢ 3 ani 4. Podobnie mo»emy pokaza¢, »e je±li dla
dowolnej liczby pierwszej p, x p ≡ 1 (mod n), oraz x ≢ 1 (mod n) to wtedy
ord n x = p.
Poka»emy teraz kilka podstawowych wªasno±ci rz¦du elementu. W ka»-
dym z nast¦puj¡cych twierdze« zakªadamy, »e a jest wzgl¦dnie pierwsza z n.
12.2 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e a m ≡ 1 (mod n). Wówczas ord n a | m.
Dowód. Oznaczmy k = ord n a i zapiszmy m = qk+r, gdzie 0 ≤ r < k. Mamy
1 ≡ a m ≡ (a k ) q a r ≡ a r (mod n).
Poniewa» r < k, wi¦c r = 0, bo inaczej mieliby±my sprzeczno±¢ z denicj¡
rz¦du. zatem k | m.
49

12.3 Wniosek. 1. Je±li a i ≡ a j (mod n), to i ≡ j (mod ord n a),
2. ord n a jest dzielnikiem ϕ(n). W szczególno±ci, je»eli n jest liczb¡ pierwsz¡,
to ord n a | p − 1.
3. Je»eli ord n a = k, to 1, a, a 2 , . . . , a k−1 s¡ ró»ne modulo n.
Dowód. 1. Przypu±¢my, »e i ≥ j. Skoro a j jest elementem odwracalnym
modulo n, wi¦c istnieje element a i−j oraz a i−j ≡ 1 (mod n). Zatem i−j
musi by¢ wielokrotno±ci¡ rz¦du elementu a, czyli i ≡ j (mod ord n a).
2. Wynika bezpo±rednio z twierdzenia 12.2 oraz MaŠego Twierdzenia Fermata
lub Twierdzenia Eulera.
3. Wynika bezpo±rednio z punktu 1.
Twierdzenie 12.2 oraz wniosek po nim pozwalaj¡ w istotny sposób uªatwi¢
obliczenie rz¦du liczby. Dla przykªadu, rozwa»my n = 31. Poniewa» ϕ(31) =
30, wi¦c dla NWD(a, 31) mamy ord 31 a ∈ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Wystarczy
wi¦c sprawdzi¢ tylko 8 liczb zamiast 30.
Je±li ord n a = n−1, to zbiór {0, a, a 2 , . . . , a n−1 } jest peªnym ukªadem reszt
modulo n i mo»e on by¢ u»ywany w miejscu {0, 1, 2, . . . , n − 1}, zwªaszcza
je±li chcemy bada¢ wªasno±ci multyplikatywne modulo n.
Je»eli jest nam znany rz¡d liczby a modulo n, to dobrze byªoby zna¢
szybk¡ metod¦ wyznaczenia rz¦du dowolnej pot¦gi liczby a. Tak¡ metod¦
daje nam nast¦puj¡ce twierdzenie.
12.4 Twierdzenie. Je±li NWD(a, n) = 1, to ord n a k =
Dowód. Oznaczmy l =
ord n a
NWD(ord n a, k) . Poniewa»
ord n a
NWD(ord n a, k) .
(a k ) l ≡ a kl ≡ (a ordna ) (k/NWD(ordna, k)) ≡ 1 (mod n),
wi¦c ord n a k | l.
Oznaczmy teraz m = ord n a k . Wówczas (a k ) m ≡ a km ≡ 1 (mod n), wi¦c
ord n a | km. Zapiszmy km = c · ord n a dla pewnej liczby c. Obie strony
ostatniej równo±ci podzielmy przez NWD(ord n a, k). Otrzymamy
k
NWD(ord n a, k) m = cl.
50

Ale NWD
(
)
k
, l NWD(ord na,
= 1 gdy» istniej¡ takie liczby x oraz y, »e x · ord
k) n a +
k
NWD(ord na,
+ xl = 1. Zatem l | m, co wobec
k)
yk = NWD(ord n a, k), czyli y
wcze±niej udowodnionego daje nam l = m.
U»ywaj¡c wzoru z powy»szego twierdzenia i wiedz¡c, »e ord n a = 12,
otrzymujemy
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ord n a k 1 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12
Niech a b¦dzie liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z n. Liczba a jest pierwiastkiem
pierwotnym modulo n, je±li ord n a = ϕ(n). Pierwiastkiem pierwotnym modulo
31 jest liczba 3, ale nie jest nim liczba 2. Poniewa» a 2 ≡ 1 (mod 8) dla
dowolnej liczby a wzgl¦dnie pierwsej z 8, wi¦c nie ma pierwiastków pierwotnych
modulo 8. Ostatni fakt uogólnimy w nast¦puj¡cym twierdzeniu.
12.5 Twierdzenie. Je±li k ≥ 3, to nie ma pierwiastka pierwotnego modulo
2 k .
Dowód. Przypu±¢my, »e taki pierwiastek a istnieje. Poniewa» ϕ(2 k ) = 2 k−1 ,
wi¦c a, a 2 , . . . , a 2k−1 s¡ ró»nymi elementami modulo 2 k i wszystkie one s¡
odwracalne. Co wi¦cej, nie ma innego elemnetu odwracalnego modulo 2 k ni»
te, które znajduj¡ si¦ na li±cie. Istnieje zatem tylko jeden element modulo 2 k ,
który ma rz¡d 2, gdy» je±li
ord 2 ka i =
2 k−1
NWD(i, 2 k−1 ) = 2,
to NWD(
i, 2
k−1 ) = 2 k−2 , czyli i = 2 k−2 . Poka»emy teraz, »e kongruencja x 2 ≡
1 (mod 2 k ) ma przynajmniej 4 rozwi¡zania, wi¦c elementów odwracalnych
modulo 2 k rz¦du 2 jest wi¦cej ni» 1. St¡d otrzymamy sprzeczno±¢.
Rozwa»my wi¦c kongruencj¦ x 2 ≡ 1 (mod 2 k ). Jej pierwiastkami s¡ 1
oraz -1, ale tak»e y 1 = 2 k−1 − 1 i y 2 = 2 k−1 + 1, poniewa»
y 2 i = (2 k−1 ± 1) 2 = 2 2(k−1) ± 2 k + 1 ≡ 1 (mod 2 k ).
Udowodnione wªa±nie twierdzenie jest rezultatem negatywnym, poniewa»
mówi nam, dla jakich liczb nie nale»y szuka¢ pierwiastków pierwotnych. Zauwa»my,
»e dla n = 2 oraz n = 4, pierwiastki pierwotne modulo n istniej¡.
Istnieje te» pierwiastek pierwotny modulo 31.
51

12.6 Przykªad. Nie ma elementu rz¦du 8 modulo 16 (bo 16 = 2 4 oraz
ϕ(16) = 8). Mamy te» 8 elementów odwracalnych modulo 16. Jednym z
nich jest element neutralny 1, który ma rz¡d 1. Mamy te» trzy elementy
rz¦du 2: 7, 9 i 15. Pozostaªe 4 elementy (3, 5, 11, 13) s¡ rz¦du 4.
Je±li istnieje pierwiastek pierwotny modulo n, to z jego pomoc¡ mo»emy
rozwi¡zywa¢ kongruencje wykªadnicze. Dla przykªadu rozwa»my n = 17 oraz
liczb¦ 3. Mamy
k 1 2 3 4 5 6 7 8
3 k mod 17 3 9 10 13 5 15 11 16
k 9 10 11 12 13 14 15 16
3 k mod 17 14 8 7 4 12 2 6 1
Rozwi¡»emy kongruencj¦ 7 x ≡ 4 (mod 17). Poniewa» 7 = 3 11 oraz 4 =
3 12 , wi¦c nasza kongruencja sprowadza si¦ do 3 11x ≡ 3 12 (mod 17). Zatem
11x ≡ 12 (mod 16), czyli x = 4 + 16k, gdzie k ∈ Z.
U»ywaj¡c pierwiastków pierwotnych mo»emy te» ªatwo znale¹¢ liczb¦ odwrotn¡
do danej. Na przykªad, dla n = 17 oraz a = 3 mamy 13 ≡ 3 4
(mod 17). St¡d 13 −1 ≡ 3 16−4 ≡ 4 (mod 17).
Niestety, okazuje si¦, »e dla wi¦kszo±ci liczb zªo»onych nie ma pierwiastka
pierwotnego.
52