modeliranje in simuliranje samopodobnega prometa v ...

FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, 

RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO 

Matjaž Fras 

MODELIRANJE IN SIMULIRANJE 

SAMOPODOBNEGA PROMETA V 

TELEKOMUNIKACIJSKIH OMREŽJIH 

Magistrsko delo 

Maribor, oktober 2007

Magistrsko delo 

Avtor: Matjaž Fras 

Naslov: Modeliranje in simuliranje samopodobnega prometa v telekomunikacijskih omrežjih 

UDK: 621.391:004.7 

Gesla: omrežni promet, samopodobnost, Hurstov parameter, dolgo območje odvisnosti, 

porazdelitev verjetnosti 

Število izvodov: 5 

Število strani: 91

ZAHVALA 

Zahvaljujem se mentorju red. prof. dr. 

Žarku Čučeju za pomoč in vodenje pri 

opravljanju magistrske naloge ter somentorju 

doc. dr. Jožetu Mohorku za nasvete in pomoč 

pri delu. 

Zahvaljujem se tudi staršem za spodbude 

pri študiju.

VSEBINA 

I 

VSEBINA 

1. UVOD .................................................................................................................. 1 

1.1 Definicije ....................................................................................................... 1 

1.2 Pregled stanja ................................................................................................ 2 

1.3 Cilji in vsebina ............................................................................................... 3 

2. MERJENJE OMREŽNEGA PROMETA Z VOHLJAČEM ............................... 5 

3. ANALIZA OMREŽNEGA PROMETA .............................................................. 7 

3.1 Samopodobnost ............................................................................................. 7 

3.2 Lastnosti samopodobnega procesa ................................................................ 9 

3.2.1 Dolgo območje odvisnosti ..................................................................... 9 

3.2.2 Potrditev dolgega območja odvisnosti ................................................. 12 

3.2.3 Dolgo območje odvisnosti in samopodobnost ..................................... 14 

3.2.4 Šum 1/f ................................................................................................. 14 

3.2.5 Hurstov pojav ....................................................................................... 15 

3.2.6 Počasi padajoča varianca ..................................................................... 15 

3.3 Počasi pojemajoče porazdelitve .................................................................. 16 

3.3.1 Paretova porazdelitev ........................................................................... 17 

3.3.2 Statistične lastnosti Paretove porazdelitve ........................................... 18 

3.3.3 Weibullova porazdelitev ...................................................................... 19 

4. OCENJEVANJE PARAMETROV STOHASTIČNEGA PROCESA .............. 21 

4.1 Določanje Hurstovega parametra ................................................................ 21 

4.1.1 Variančna metoda ................................................................................ 22 

4.1.2 R/S metoda ........................................................................................... 24 

4.1.3 Metoda periodograma .......................................................................... 25 

4.2 Določanje parametrov porazdelitev verjetnosti ........................................... 26 

5. DOLOČANJE OSNOVNIH PARAMETROV .................................................. 28 

5.1 Ocenjevanje Hurstovega parametra ............................................................. 29 

5.2 Določanje porazdelitev verjetnosti časa med paketi ................................... 34 

5.3 Določanje porazdelitev verjetnosti velikosti paketov.................................. 36 

5.3.1 Odvisnost srednje vrednosti prometa od parametra oblike .................. 37

II 

VSEBINA 

5.3.2 Ocenitev parametra oblike (α).............................................................. 38 

5.3.3 Predlog metode ocenjevanja porazdelitve verjetnosti velikosti 

paketov ................................................................................................. 38 

6. GENERIRANJE OMREŽNEGA PROMETA V OPNET-U ............................. 42 

6.1 Simulacijsko okolje OPNET ....................................................................... 42 

6.2 Modeliranje prometa v simulacijskem okolju OPNET ............................... 42 

6.2.1 Porazdelitve verjetnosti ........................................................................ 42 

6.2.2 Aplikacijski podatkovni model ............................................................ 43 

6.2.3 Generator golih paketov ....................................................................... 43 

6.2.4 Zunanja datoteka .................................................................................. 43 

6.3 Generator golih paketov .............................................................................. 44 

6.3.1 Fraktalni točkovni procesi .................................................................... 45 

6.3.2 Proces obnovljenih fraktalov ................................................................ 47 

6.4 IP postaja ..................................................................................................... 48 

6.5 Simulacije v OPNET-u ................................................................................ 48 

6.5.1 Vpliv parametra H na modelirani promet ............................................ 49 

6.5.2 Vpliv parametra časovne enote pojavljanja fraktalov na modeliran 

promet ................................................................................................... 51 

6.5.3 Modeliranje testnega signala 1 ............................................................. 52 

6.5.4 Modeliranje testnega signala 3 ............................................................. 56 

6.5.5 Primerjava izmerjenih in modeliranih signalov ................................... 59 

7. VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST OMREŽJA 63 

8. ZAKLJUČEK ..................................................................................................... 67 

LITERATURA ........................................................................................................... 69 

DODATEK A ............................................................................................................. 72 

DODATEK B ............................................................................................................. 75 

DODATEK C ............................................................................................................. 76 

ŽIVLJENJEPIS .......................................................................................................... 78

MODELIRANJE IN SIMULIRANJE SAMOPODOBNEGA PROMETA V TELEKOMUNIKACIJSKIH 

OMREŽJIH 

III 

MODELIRANJE IN SIMULIRANJE SAMOPODOBNEGA PROMETA V 

TELEKOMUNIKACIJSKIH OMREŽJIH 

UDK: 621.391:004.7 

Povzetek: V zadnjih desetih letih so bili razviti novi modeli omrežnega prometa v 

Internetnem okolju, ki se razlikujejo od tradicionalnih modelov, kot sta Poissonov in 

Markov. Magistrsko delo opisuje ocenjevanje parametrov samopodobnega prometa 

za modeliranje v OPNET-u. Promet v omrežju izmerimo s pomočjo namenske 

programske opreme za zajemanje prometa. S pomočjo analize izmerjenega prometa 

ocenimo Hurstov parameter za čas med paketi s tremi različnimi metodami: 

variančno metodo, R/S metodo in metodo periodograma. Določimo še porazdelitve 

verjetnosti ter pripadajoče parametre porazdelitve za čas med paketi in velikost 

paketov. S pomočjo avtokorelacijske funkcije pripišemo prometu lastnost dolgega 

(LRD) ali kratkega območja odvisnosti (SRD). V simulacijskem okolju OPNET s 

pomočjo generatorja golih paketov (Raw Packet Generator – RPG) in IP postaje 

modeliramo izmerjene signale z različnimi verjetnostnimi porazdelitvami. 

Ključne besede: omrežni promet, samopodobnost, Hurstov parameter, dolgo 

območje odvisnosti, porazdelitev verjetnosti 

MODELING AND SIMULATION OF SELFSIMILAR TRAFFIC IN 

TELECOMMUNICATIONS NETWORKS 

UDK: 621.391:004.7 

Abstract: Over the last ten years, new models of network traffic in the Internet 

environment have been developed, which are different to traditional models such are 

Poisson and Markov. This Master of Science describes the estimating of measured 

self-similar traffic’s parameters for modeling in OPNET. Network traffic was 

captured using a sniffer. We estimated the Hurst parameter (H) for the arrival 

process with free different methods, and the fitted distributions for the measured data 

(packet size and inter-arrival processes). Using the autocorrelation function of the 

process, we determined long-range (SRD) or short-range dependence (LRD). 

Finally, we modeled the measured test signal in OPNET using raw packet generator 

(RPG), and IP stations. 

Key words: network traffic, self-similarity, Hurst parameter, long-range dependence, 

probability distribution

IV 

MODELING AND SIMULATION OF SELF‐SIMILAR TRAFFIC IN TELECOMMUNICATIONS 

NETWORKS

UPORABLJENI SIMBOLI 

V 


Samopodobnost in dolgo območje odvisnosti: 

X(t) 

X(k) 

E[X] 

t 

x 

H 

a 

σ 2 

γ(k) 

k 

r(k) 

r (m) (k) 

m 

X (m) 

var(X) 

b 

f 

λ k 

f(λ) 

S 2 (n) 

S(n) 

α 

X 0 … X N-1 

ˆ β 

Ĥ 

X () n 

S x 

zvezni stohastični proces 

diskretni stohastični proces 

srednja vrednost stohastičnega procesa 

čas 

naključna spremenljivka 

Hurstov parameter 

faktor razpona 

varianca 

kovariančna funkcija 

razmik (»lag«) 

avtokorelacijska funkcija 

avtokorelacijska funkcija agregiranega procesa 

velikost neprekrivajočega bloka 

agregiran proces 

varianca 

dolžina časovnega zaporedja (»bucket«) 

frekvenca 

frekvenca v radianih (frekvenčni prostor) 

spektralna gostota 

varianca pri R/S metodi 

standardna deviacija pri R/S metodi 

pozitivni eksponent 

diskretno časovno zaporedje dolžine N 

vrednost ocenjenega naklona asimptotične premice 

vrednost ocenjenega parametra H 

aritmetična srednja vrednost opazovanega zaporedja dolžine n 

vzorčni prostor

VI 


Porazdelitev verjetnosti: 

α 

k 

λ 

p(x) 

f(x) 

F(x) 

F ( x ) 

Diff(x) 

F n (x) 

parameter oblike 

parameter lokacije 

parameter intenzivnosti pri eksponentni porazdelitvi verjetnosti 

verjetnost 

porazdelitvena funkcija 

kumulativna porazdelitvena funkcija 

komplementarna kumulativna porazdelitvena funkcija 

porazdelitvena diferenca 

numerična porazdelitvena funkcija 

Fraktalni točkovni procesi: 

dN(t) 

T s 

F(T) 

S(f) 

α 

T 0 

f 0 

λ 

γ 

A 

M 

T 

točkovni proces 

trajanje intervala 

indeks razpršenosti 

spektralna gostota moči 

fraktalni eksponent 

pozitivna časovna konstanta 

pozitivna frekvenčna konstanta 

povprečna intenzivnost 

fraktalni eksponent 

parameter rezanja 

število izvorov 

časovna enota pojavljanja fraktalov 

Merske enote: 

b 

B 

p 

s 

bit 

Byte = 8 bitov = 1 zlog 

paket 

sekunda

UPORABLJENE KRATICE 

VII 

UPORABLJENE KRATICE 

AAR 

ACF 

CCDF 

CDF 

DFT 

ECDF 

FARIMA 

FMMP 

FOTS 

FPP 

FRP 

FSM 

FTP 

HTTP 

IP 

LAN 

LRD 

MTU 

P2MR 

PDF 

POP 

PSTN 

QoS 

R/S 

RPG 

SAR 

SRD 

SMTP 

TCP 

UDP 

WAN 

WWW 

Average Arrival Rate (povprečna hitrost prihodov) 

Autocorrelation Function (avtokorelacijska funkcija) 

Complementary Cumulative Distribution Function (komplementarna kumulativna 

porazdelitvena funkcija) 

Cumulative Distribution Function (kumulativna porazdelitvena funkcija) 

Discrete Fourier Transformation (diskretna Fourierova transformacija) 

Empirical Cumulative Distribution Function (empirična kumulativna 

porazdelitvena funkcija) 

Fractal Autoregressive Integrated Moving Average (fraktalno avtoregresivno 

pomično povprečje) 

Fractal Modulated Poisson Process (fraktalno moduliran Poissonov proces) 

Fractal Onset Time Scale (časovna enota pojavljanja fraktalov) 

Fractal Point Process (fraktalni točkovni proces) 

Fractal Renewal Processes (procesi obnavljanja fraktalov) 

Finite State Machine (končni avtomat) 

File Transfer Protocol (protokol za prenos datotek) 

Hypertext Transfer Protocol (protokol za prenos hiperteksta) 

Internet Protocol (internetni protokol) 

Local Area Network (lokalno omrežje) 

Long Range Dependence (dolgo območje odvisnosti) 

Maximal Transmission Unit (največja prenosna enota) 

Peak to Mean Ratio (razmerje med nivojem konic in srednjo vrednostjo) 

Probability Density Function (porazdelitvena funkcija) 

Post Office Protocol (poštni protokol) 

Public Switched Telephone Network (javno komutirano telefonsko omrežje) 

Quality of Service (kakovost storitev) 

Rescaled Adjusted Range (prilagojena lestvica) 

Raw Packet Generator (generator golih paketov) 

Source Activity Ratio (razmerje aktivnosti izvorov) 

Short Range Dependence (kratko območje odvisnosti) 

Simple Mail Transfer Protocol (preprosti protokol za prenos pošte) 

Transmission Control Protocol (protokol za nadzor prenosa) 

User Datagram Protocol (uporabniški datagramski protokol) 

Wide Area Network (prostrano omrežje) 

World Wide Web (svetovni splet)

VIII 

UPORABLJENE KRATICE

UVOD 

1 

1. UVOD 

Priča smo nenehni in hitri rasti telekomunikacijskih omrežij, v katerih se večajo 

zahteve uporabnikov po novih aplikacijah in storitvah. Zahteve se nanašajo na vedno 

večje zmogljivosti omrežja. Zmogljivost telekomunikacijskega omrežja je zelo 

odvisna od zasnove ter uporabljene programske in strojne opreme. Merjenje, 

analiziranje, modeliranje in simuliranje omrežja so orodja, ki omogočajo načrtovanje 

ali nadgradnjo omrežij z optimalnimi zmogljivostmi. 

1.1 Definicije 

Naloga načrtovalca telekomunikacijskega omrežja je zgraditi novo ali nadgraditi že 

obstoječe omrežje na podlagi zahtev naročnika (uporabnika omrežja), ki bo 

zadovoljilo vse potrebe naročnika, hkrati pa mora biti tudi ekonomično. Izgradnja ali 

nadgraditev omrežja poteka v naslednjih fazah: 

• merjenje, 

• analiziranje, 

• modeliranje, 

• simuliranje, 

• izgradnja omrežja. 

Merjenje je postopek, pri katerem skušamo natančno zajeti parametre 

telekomunikacijskega omrežja. Ti parametri so lahko parametri omrežnih naprav, 

parametri omrežnega prometa, aplikacije itd. Meritve lahko izvajamo le v realnem 

času, merilni rezultati veljajo le za čas merjenja, povrh pa za njih potrebujemo precej 

drago opremo. Možne so le v izgrajenih omrežjih, zato so neposredno uporabne le pri 

nadgradnji. Pri načrtovanju novih omrežij izvedene meritve lahko upoštevamo le kot 

izkušnjo, na njih pa lahko le potrdimo uspešnost načrtovanja, ko so izgrajena. 

Modeliranje je – običajno poenostavljeno – matematično opisovanje omrežja. 

Model podaja informacije, potrebne za razumevanje delovanja omrežja, in 

informacije o odzivu omrežja na številne dejavnike. Pri izdelavi modela uporabimo 

parametre, ki smo jih dobili z meritvami in analizami obstoječih omrežij. Model 

mora upoštevati vsaj ključne parametre in lastnosti omrežja. Tako mora biti čim bolj 

podoben realnemu sistemu, hkrati pa ne sme zahtevati preveč procesne zmogljivosti. 

Pravilnost modela telekomunikacijskega omrežja je zelo pomembna, zato ga 

preverimo s primerjavo simuliranih in izmerjenih lastnosti omrežja. To primerjavo 

imenujemo validacija. Modeli so lahko deterministični ali stohastični. Pri 

determinističnem modelu so vhodni in izhodni podatki določene vrednosti, pri 

stohastičnih modelih pa so vhodni ali izhodni parametri podani s spremenljivkami, ki 

jih določimo s statističnimi metodami. 

Simulacija je izvajanje algoritma delovanja sistema, ki ga določa model. Zanje 

uporabljamo različne programske pakete, ki jih imenujemo simulacijska orodja. S 

širjenjem računalniške tehnologije so postala nepogrešljiva orodja raziskovalnega 

dela na mnogih področjih znanosti, tudi na področju telekomunikacij. Simulacije 

delimo v dve skupini glede na vrsto modela:

2 UVOD 

• analogne, 

• diskretne. 

Pri analognih simulacijah uporabljamo zvezne modele, ki jih opišemo z 

zveznimi funkcijami, na primer z navadnimi ali parcialnimi diferencialnimi 

enačbami. Danes tudi analogne modele simuliramo na digitalnih računalnikih. 

Uporabljamo jih v primerih, ko proučujemo vpliv povratne vezave (vpliv vhoda na 

izhod), prenosne funkcije pa so zvezne funkcije. Analogne simulacije najdemo na 

primer v vremenskih in letalskih simulatorjih. 

Diskretne simulacije oziroma diskretno dogodkovne simulacije so enostavnejše 

v primerjavi z analognimi, saj njihovo stanje opišemo z diskretnimi spremenljivkami 

stanj, kar pomeni, da stanja sistema nastopajo diskretno in ne zvezno kot v primeru 

zveznih simulacij. Torej se v simulaciji obravnavajo dogodki le takrat, ko se 

spremenijo lastnosti opazovanega procesa, kar pomeni, da lahko v zelo kratkem času 

simuliramo daljša časovna obdobja. V istem času se lahko pojavi več diskretnih 

dogodkov hkrati. Ker so enostavnejše, so tudi manj natančne, ampak še vedno dovolj 

natančne, da zagotovijo zadovoljive rezultate. Diskretne dogodkovne simulacije 

uporabljamo v telekomunikacijah in računalniških omrežjih, kosovni proizvodnji itd. 

[1], [2]. 

Delitev simulacij je v nasprotju z delitvijo, ki jo uporabljamo pri teoriji 

diskretnih sistemov in signalov, kjer obravnavamo časovno diskretne in amplitudno 

diskretne signale, ki bi po prej opisani delitvi spadali v področje analognih simulacij. 

Merjenje, analiziranje, modeliranje in simuliranje so metode, ki nam podajajo 

osnovne informacije o telekomunikacijskem omrežju. Omogočajo nam vpogled v 

omrežje ter s tem razumevanje omrežja, testiranje različnih situacij (zamašitve, ozka 

grla), testiranje različnih scenarijev (hipotez), preizkušanje in iskanje novih izvedb 

ali modelov telekomunikacijskega omrežja, naprav ali protokolov. 

Pomembno vlogo v omrežjih ima omrežni promet, ki ga lahko opišemo s 

pomočjo stohastičnih modelov. V takšnih modelih so prisotne spremenljivke, ki jih 

opisujemo s funkcijo verjetnosti. Pri tem posamezne vrednosti naključne 

spremenljivke nimajo nobenega pomena. Zato je za ocenitev prave vrednosti 

naključne spremenljivke potrebno poznati veliko število posameznih podatkov. 

Poznavanje omrežnega prometa ter samega vpliva na zmogljivost omrežja je 

izrednega pomena, zato je nujno znanje o modeliranju omrežnega prometa v 

simulacijah. V simulacijah je tako pomembno modelirati promet, ki bo najboljši 

približek izmerjenega prometa v smislu srednje vrednosti v bitih ali paketih na 

časovno enoto, nivoja konic ali variance. Za opis omrežnega prometa so bili razviti 

in se še vedno razvijajo različni modeli, ki so nam v pomoč pri modeliranju 

omrežnega prometa. 

1.2 Pregled stanja 

V zadnjih 15-ih letih je bilo opravljenega veliko dela na področju raziskovanja 

omrežnega prometa, na podlagi katerega je bil vpeljan nov opis, in sicer s pomočjo 

samopodobnosti in dolgega območja odvisnosti (Long Range Dependence – LRD). 

Pionirji na tem področju so Leland, Willinger in drugi [3], ki so opis samopodobnega 

omrežnega prometa podali leta 1994. Pojavilo se je raziskovanje izmerjenega 

omrežnega prometa, analiziranje prometa ter tudi simuliranje samopodobnega 

prometa s pomočjo simulacijskih orodij. 

Statistične analize prometa v omrežjih ethernet [4] so pokazale, da lahko promet 

opišemo s pomočjo samopodobnosti, ki temelji na fraktalih. Nov opis se je pojavil

UVOD 

3 

kot alternativa tedanjim uporabljenim modelom, kot sta bila Poissonov in Markov 

[5]. Pri tem se je pokazalo, da so počasi pojemajoče porazdelitve (»heavy tailed 

distributions«) bolj primerne za opisovanje procesa rojevanja paketov, torej 

opisovanja časa med paketi. Sčasoma sta Paretova kot tudi Weibullova počasi 

pojemajoča porazdelitev postali glavni porazdelitvi verjetnosti za opisovanje 

naključnih procesov v omrežjih, tako časa med paketi kot tudi velikosti paketov [6], 

[7], [8], [9]. 

Pojavil se je tudi drugačen odziv na raziskovanje samopodobnosti in dolgega 

območja odvisnosti, in sicer z oceno Hurstovega parametra, ki predstavlja merilo 

samopodobnosti [6], [10], [11]. Razvitih je bilo veliko različnih metod ocenitve tega 

parametra, katerih rezultati so velikokrat različni ali si celo nasprotujejo [12], [13]. 

V zadnjem desetletju je bilo opravljenih veliko analiz izmerjenega prometa v 

različnih omrežjih različnih tehnologij, s katerimi so raziskovalci ugotovili, da lahko 

omrežni promet najučinkoviteje opišejo z lastnostjo samopodobnosti in dolgega 

območja odvisnosti [14], [15], [16], [17], [18]. Raziskovalci so proučevali opis 

prometa različnih aplikacij in protokolov, kot je npr. WWW [9] in HTTP [19] ali 

promet videa [20] ter opis samopodobnega prometa v različnih omrežnih 

tehnologijah [21], [22], [23]. Merjenje, analiziranje in simuliranje samopodobnega 

omrežnega prometa je bilo in še vedno ostaja eden glavnih raziskovalnih izzivov 

zadnjih let, saj je rdeča nit številnih raziskav po svetu. 

Eden pomembnih ciljev raziskovalcev je tudi modeliranje samopodobnega 

prometa v simulacijskih okoljih, kot je simulacijsko okolje OPNET [11], [24], [25], 

[26]. Razvitih je bilo več modelov generiranja samopodobnega prometa, in sicer na 

podlagi fraktalno točkovnih modelov [27], [28], ki nam omogočajo modeliranje 

takega prometa v simulacijskem okolju OPNET. Ta nam omogoča simuliranje 

samopodobnega prometa v različnih topologijah omrežja, z različnimi napravami ter 

protokoli [26]. Ker je samopodoben promet specifičen, ima tudi takšen vpliv na 

zmogljivosti omrežja, kot na primer na zakasnitve, na čakalne vrste ter na 

zagotovitev kvalitete storitev. Vpliv samopodobnega prometa na zmogljivosti 

omrežja je bila tema številnih raziskovalnih del [7], [29], [30] in bo deležna velike 

pozornosti tudi v prihodnosti. 

1.3 Cilji in vsebina 

Namen magistrske naloge je modeliranje in simuliranje izmerjenega samopodobnega 

omrežnega prometa v simulacijskem okolju OPNET. V različnih naključnih omrežjih 

bomo izmerili realni omrežni promet in ga na osnovi opravljene analize klasificirali v 

smislu samopodobnosti. Z opravljeno analizo bomo z različnimi metodami ocenili 

statistične parametre (Hurstov parameter, porazdelitve verjetnosti in njene 

parametre), ki bodo služili za modeliranje izmerjenega prometa v simulacijskem 

okolju OPNET. Uspešnost modeliranja izmerjenega prometa bomo ocenili s 

primerjavo izmerjenega in modeliranega prometa z merili, kot so npr. srednja 

vrednost prometa v bitih in paketih na časovno enoto. Na koncu bomo skušali 

pokazati, zakaj je pomembno v simulacijah omrežja modelirati promet, ki bo dober 

približek izmerjenega prometa. 

Drugo poglavje predstavlja merjenje omrežnega prometa z namensko 

programsko opremo, ki jo popularno imenujemo vohljač. Predstavlja orodje, s 

katerim zajamemo omrežni promet (velikost paketov, čas prihoda, IP naslove…) na 

podlagi katerega bomo opravili analizo prometa.

4 UVOD 

Analizo stohastičnih procesov podaja tretje poglavje s pomočjo matematičnih 

orodij, kot sta statistika in verjetnost. Sledijo definicije osnovnih pojmov, kot so 

samopodobnost, dolgo območje odvisnosti ter opis in potrditev njihovih lastnosti. 

Temu sledi še kratek pregled eksponentne in počasi pojemajočih porazdelitev 

(Paretova in Weibullova porazdelitev). 

Četrto poglavje opisuje pregled različnih metod za ocenjevanje parametrov 

stohastičnih procesov. Opisali bomo metode za ocenjevanje Hurstovega parametra 

ter nato še metodo za določanje porazdelitve verjetnosti in njenih parametrov na 

osnovi histograma. Natančneje bomo opisali tri metode za ocenjevanje Hurstovega 

parametra, in sicer variančno in R/S metodo ter metodo periodograma. 

Ocenitev osnovnih parametrov s pomočjo vohljača izmerjenega prometa v 

omrežju, z različnimi metodami, predstavlja peto poglavje. Predstavili smo tri testne 

signale, ki smo jih skušali modelirati v simulacijskem okolju na podlagi ocenjenih 

parametrov. Predstavljene so metode ocenitve Hurstovega parametra in določitve 

avtokorelacijske funkcije, ki nam služi kot analiza dolgega območja odvisnosti, 

katero potrdimo z metodo »bucket shuffling«. Analizo rezultatov opravimo tako za 

proces prihodov paketov kot za velikost paketov. Pri določanju porazdelitve velikosti 

paketov smo zaradi maksimalne dolžine paketov predlagali novo metodo, s katero 

smo lahko natančneje določili parametre izbrane porazdelitve verjetnosti. 

V šestem poglavju podajamo kratek opis simulacijskega orodja OPNET, njegove 

delovne postaje in rezultate simulacij. Izmerjen promet smo modelirali na dva načina 

s pomočjo dveh različnih postaj iz knjižnice simulacijskega orodja. Ti dve postaji sta 

generator paketov (Raw Packet Generator – RPG) in IP postaja. Pri modeliranju 

prometa z RPG postajo smo velikost paketov opisali s porazdelitvijo verjetnosti, 

proces prihodov paketov (število paketov na časovno enoto) pa s pomočjo 

Hurstovega parametra. Pri modeliranju z IP postajo smo tako velikost kot čas med 

paketi opisali s pomočjo porazdelitve verjetnosti. Pri vseh simulacijah smo uporabili 

tako eksponentne kot počasi pojemajoče porazdelitve. 

Sedmo poglavje predstavlja vpliv samopodobnega prometa na zmogljivost 

omrežja, kar je tudi vzrok za potrebe po natančnem in pravilnem modeliranju 

omrežnega prometa. Modeliran promet v tem poglavju temelji na pridobljenem 

znanju celotnega raziskovalnega dela. 

Sledi še komentar rezultatov in ugotovitve, pridobljene skozi celotno 

raziskovalno delo.

MERJENJE OMREŽNEGA PROMETA Z VOHLJAČEM 

5 

2. MERJENJE OMREŽNEGA PROMETA Z VOHLJAČEM 

Merjenje in zajemanje omrežnega prometa nam podajata informacije o dogajanju v 

telekomunikacijskem ali računalniškem omrežju. Izmerjen promet lahko 

ovrednotimo na podlagi opravljene analize s pomočjo matematičnih orodij. 

Matematična orodja, primerna za analizo in modeliranje omrežnega prometa, 

izhajajo predvsem iz verjetnosti in statistike. Z analizo omrežnega prometa skušamo 

dobiti informacije o stanju omrežja, ki jih uporabimo za izboljšanje omrežja in izrabo 

virov omrežja, gradnjo in razvoj novih omrežij in protokolov, zagotovitev kakovosti 

storitev v omrežjih… 

Promet v omrežjih merimo s posebnimi instrumenti – analizatorji, v 

računalniških omrežjih pa lahko promet merimo tudi s pomočjo posebnih programov, 

ki jih imenujemo vohljači. V nalogi smo se osredotočili na merjenje omrežnega 

prometa s slednjimi. 

Vohljači so namenska programska orodja, ki jih uporabljamo za analiziranje 

omrežnega prometa in protokolov ter za razvoj le-teh. Uporabljamo jih tudi za 

odkrivanje in odpravo pomanjkljivosti v omrežjih. Vohljači zajemajo dejanski 

omrežni promet tako, da postavijo omrežno kartico v promiskuitetni način delovanja. 

V tem načinu delovanja vohljač sprejme vse pakete v omrežju, torej tudi tiste, ki niso 

naslovljeni nanj. Vohljači so zelo priljubljeno in nepogrešljivo orodje vsakega 

hekerja. Z njimi je mogoče spremljati celotni omrežni promet v omrežju. Poznamo 

več vrst vohljačev, ki so prosto dostopni na svetovnem spletu. Nekaj najbolj znanih 

vohljačev: 

• Ethereal, 

• Wireshark, 

• dSniff, 

• Ettercap, 

• AiroPeek. 

Wireshark [31], [32] je eden izmed najpreprostejših, najpreglednejših in najbolj 

priljubljenih prosto dosegljivih vohljačev na spletu. Je nadgradnja že obstoječega 

programskega paketa Ethereal, ki je dodan tudi k simulacijskemu paketu OPNET 

(slika 2.1). 

Vohljač Wireshark lahko deluje v operacijskem sistemu Microsoft Windows, 

Linux, Solaris… Omogoča sprotno spremljanje in pregledovanje prometa in zapis v 

velikem številu različnih datotečnih formatov (tcpdump , NAI's Sniffer, 

SnifferPro, NetXray…). Poleg tega zmore še nekaj dodatnih funkcij, kot so 

osnovne statistične analize, na primer povprečna vrednost prometa in grafična 

predstavitev rezultatov (slika 2.2).

6 MERJENJE OMREŽNEGA PROMETA Z VOHLJAČEM 

Slika 2.1: 

Grafični vmesnik programskega paketa Wireshark, s katerim lahko spremljamo in/ali 

zajamemo omrežni promet. 

Slika 2.2: 

Grafični prikaz omrežnega prometa, ki smo ga zajeli s pomočjo vohljača. 

Potek omrežnega prometa (slika 2.2) si lahko predstavljamo kot signal, ki ga 

določata dva naključna procesa, in sicer (i) naključni proces velikosti paketov in (ii) 

naključni proces časa med paketi. Promet, ponazorjen s signalom, opišemo s 

statističnimi parametri, kot so srednja vrednost, razmerje med maksimalno in srednjo 

vrednostjo ali varianca.

ANALIZA OMREŽNEGA PROMETA 

7 

3. ANALIZA OMREŽNEGA PROMETA 

V podatkovnih omrežjih imamo opraviti z najrazličnejšimi omrežnimi napravami, ki 

vsebujejo najrazličnejše aplikacije. Te aplikacije med seboj izmenjujejo informacije 

(podatke), kar ustvari omrežni promet znotraj omrežja. Analiziranje in modeliranje 

omrežnega prometa v simulacijah postaja eden glavnih izzivov pri načrtovanju 

telekomunikacijskih omrežij in razvoju komunikacijskih omrežnih naprav. Iz 

analiziranja omrežnega prometa so se razvila matematična orodja in modeli, s 

katerimi skušamo opisovati omrežni promet tako v lokalnih (LAN) kot tudi v 

prostranih omrežjih (WAN). Ker si lahko izvore prometa v omrežju predstavljamo 

kot naključne procese, moramo poznati orodja, s katerimi lahko ovrednotimo 

naključne procese. 

Pri analizi omrežnega prometa v večini primerov ugotovimo, da je promet 

podoben v daljših (ure, minute) in krajših časovnih obdobjih (sekunde, milisekunde). 

Zaradi teh lastnosti označujemo takšen promet kot samopodoben. 

3.1 Samopodobnost 

V 90. letih prejšnjega stoletja so začeli razvijati nove modele omrežnega prometa, ki 

so pričeli izpodrivati uporabo naključnih procesov, kot sta Poissonov in Markov. 

Poissonov model je dobra aproksimacija telefonskih klicev v PSTN omrežjih. Čase 

med klici in dolžino klicev dobro opiše eksponentna porazdelitev verjetnosti. 

Dodaten razlog za široko uporabo Poissonovega modela je tudi analitična rešljivost, 

za razliko od mnogih ostalih modelov, pri katerih potrebujemo numerično računanje 

in aproksimacije. Model določa le parameter λ, to je število dogodkov na časovno 

enoto (dogodki/sekundo). 

Definiranje samopodobnosti prometa izpodriva Poissonov model iz modeliranja 

omrežnega prometa, ker ni bil ustrezen za natančen opis izbruhov v realnem 

prometu. Na široki časovni skali so se pojavljale konice, ki so se izkazale za 

škodljive. To je zelo pomembno v primerih multimedijskih aplikacij, pri katerih 

skušamo zagotoviti kakovost storitev (QoS). Zaradi tega so se razvili novi modeli, ki 

so bili sposobni napovedati realnejše zakasnitve in izgube paketov. 

Samopodobnost (»self-similarity«) lahko na preprost način opišemo z naslednjo 

splošno definicijo [15], [16], [21]: 

Definicija 1: (Samopodobnost – splošna definicija) 

Naj bo X(t) stohastični proces z zveznim parametrom t; X = {X(t), t ∈ T}. X(t) 

imenujemo samopodobni proces s parametrom H za vrednosti med 0 in 1, če je za 

vsako pozitivno vrednost faktorja razpona a skaliran proces s časovnim merilom at 

enak a -H X(at). Potem ima skaliran proces enako porazdelitev kot originalni proces 

X(t). 

□ 

−H 

X() t = a X( at), ∀t∈T, ∀ a > 0, 0≤ H < 1 

(3.1)

8 ANALIZA OMREŽNEGA PROMETA 

To pomeni, da če imamo časovno zaporedje točk t 1 , t 2 , …, t k in pozitivno konstanto 

a, ima proces a -H (X at1 , X at2 , …, X atk ) enako verjetnostno porazdelitev kot originalni 

proces (X t1 , X t2 , …, X tk ). Pomeni, da je opazovani vzorec samopodoben ne glede na 

skalo opazovanja. V bistvu se v realizacijah vzorec ne ponavlja povsem, ampak daje 

opazovalcu le takšen vtis. Merilo samopodobnosti je parameter H, ki ga imenujemo 

Hurstov parameter. 

Kadar proces X(t) zadovolji enačbo 3.1, ne more biti nikoli stacionarni, ampak 

dopušča stacionarne prirastke. Naslednja definicija samopodobnosti, ki vsebuje 

stacionarno zaporedje, je namenjena standardnim časovnim zaporedjem [6], [10], 

[15], [21], [33]. 

Definicija 2: (Samopodobnost časovnega zaporedja) 

Naj bo X = (X t , t = 0, 1, 2, …) kovariančno stacionarni stohastični proces s 

stacionarno srednjo vrednostjo µ = E[X t ], končno varianco σ 2 = E[(X t – µ) 2 ], 

avtokovariančno funkcijo γ(k) = E[(X t – µ)(X t+k – µ)], ki je odvisna le od vrednosti k, 

in avtokorelacijsko funkcijo r(k) [6], [15], [16]: 

[( −μ)( −μ) 

] 

γ ( k ) E Xt Xt+ 

k 

rk ( ) = = , k= 

0,1,2, K 

2 2 

σ E ⎡ 

⎣( Xt 

− μ ) ⎤ 

⎦ 

(3.2) 

Potem se avtokorelacijska funkcija asimptotično približuje 

− β 

rk ( ) ≈ k L( k), k→ ∞ , 0< β < 1, 

1 

(3.3) 

kjer je L 1 (k) počasi se spreminjajoča funkcija v neskončnosti in za katero velja 

lim = L ( tx) / L ( t) = 1 pri vseh x > 0 (npr. L 1 (t) = konstanta, L 1 (t) = log(t)). Če 

t→∞ 

1 1 

časovno zaporedje izpolnjuje pogoj v enačbi 3.3, potem takšno časovno zaporedje 

opisujemo kot samopodobno časovno zaporedje. 

□ 

Merilo samopodobnosti predstavlja Hurstov parameter, katerega določimo iz 

parametra β in sicer: 

β 

H = 1 − , 0< β < 1 

(3.4) 

2 

Iz enačbe 3.4 sledi, da se v primeru samopodobnega časovnega zaporedja vrednost 

Hurstovega parametra giblje med vrednostjo 0,5 in 1. 

Definicija 3: (Agregiran proces) 

Za vsak m = 1, 2, 3, … definirajmo agregiran proces X (m) = (X k (m) , k = 1, 2, …, m), ki 

ga dobimo iz stacionarnega procesa X s pomočjo povprečenja neprekrivajočih blokov 

velikosti m. Za vsak m = 1, 2, 3, … je X k 

(m) 

podan z: 

( m) 

1 

Xk = ( Xkm− m+ 

1 

+ ... + Xkm 

), k = 1,2,3, ... 

(3.5) 

m 

□ 

Definirajmo še pojma striktno in asimptotično samopodoben proces drugega reda 

[10], [15]:


9 

Definicija 4: (Samopodoben proces drugega reda) 

Proces X imenujemo striktno samopodoben proces drugega reda s parametrom 

samopodobnosti H = 1 – β/2, če imajo ustrezni agregirani procesi X (m) enako 

korelacijsko strukturo kot X in var( X ( m) 

) = σ 2 m 

−β za vse vrednosti m = 1, 2, … : 

( m 

r ) ( k) = r( k), 

za vse m= 1, 2, ... k = 1, 2, ... (3.6) 

Proces X imenujemo asimptotično samopodoben proces drugega reda s parametrom 

samopodobnosti H = 1 – β/2, če za dovolj velike vrednosti k velja: 

( m 

r ) ( k) →r( k), 

m→∞ (3.7) 

□ 

Iz definicije 4 sledi, da je proces X samopodoben proces drugega reda v striktnem ali 

asimptotičnem pomenu, če so pripadajoči agregirani procesi X (m) enaki procesu X ali 

pa postanejo od njega nerazločljivi v smislu avtokorelacijske funkcije. Najbolj 

striktna značilnost samopodobnega procesa, tako striktnega kot asimptotičnega je, da 

imajo agregirani procesi X (m) neizrojeno korelacijsko strukturo, ko gre m → ∞. To je 

v nasprotju s Poissonovim stohastičnim modelom, kjer njegov agregiran proces X (m) 

teži k šumu drugega reda pri m → ∞: 

( m 

r ) ( k) →0, m→∞ , k = 0,1, 2,... 

(3.8) 

Promet z izbruhi je samopodoben, če so značilne konice izbruhov prometa vidne na 

vseh ali vsaj večini časovnih skal opazovanja prometa. V tem se samopodobni model 

razlikuje od Poissonovega ali Markovega, ki sicer lahko prikažeta izbruhe v prometu, 

vendar se ti s povprečenjem v dovolj dolgem časovnem intervalu zgladijo. Razliko 

med samopodobnim prometom in prometom, generiranim s Poissonovim modelom, 

prikazuje slika 3.1. 

3.2 Lastnosti samopodobnega procesa 

Samopodobnost lahko preverimo na več različnih načinov, in sicer s pomočjo 

dolgega območja odvisnosti (Long Range Dependence – LRD), šumom 1/f, 

Hurstovim pojavom in s počasi padajočo varianco [15]. 

3.2.1 Dolgo območje odvisnosti 

Model samopodobnosti je učinkovit model za predstavitev omrežnega prometa v 

današnjih telekomunikacijskih in računalniških omrežjih. Samopodobnost lahko 

vsebuje lastnost dolgega območja odvisnosti, pri katerem je vrednost novega stanja 

zelo močno odvisna od prejšnjih stanj, kar pomeni, da imamo opravka s tako 

imenovanim spominskim efektom. V primeru procesa z lastnostjo dolgega območja 

odvisnosti imajo pretekla stanja značilen vpliv na sedanje stanje. Značilnost takega 

procesa je visok nivo spremenljivosti na različnih časovnih skalah. V primeru 

agregiranega procesa na dolgih časovnih skalah proces ne teži h glajenju. 

Definirajmo stohastični proces, ki izpolnjuje relacijo (3.3), ter avtokorelacijsko 

funkcijo samopodobnosti drugega reda s predpisom r(k) = γ(k)/σ 2 . Za vrednosti 

0 < H < 1, H ≠ 0,5 velja 

−2H 

−2 

rk ( ) ≈ H(2H−1) k , r→ ∞ (3.9)


Slika 3.1: 

Primerjava samopodobnega prometa (levo) in sintetičnega prometa, ki ga ustvari 

Poissonov model (desno) na različnih časovnih skalah (100, 10, 1, 0,1 in 0,01s). 

Samopodoben promet vsebuje izbruhe na vseh časovnih skalah za razliko od 

sintetičnega prometa, generiranega s Poissonovim modelom, ki teži h glajenju na daljših 

časovnih skalah in vsebuje vedno manj izbruhov [3].


11 

Za vrednosti 0,5 < H < 1 se avtokorelacijska funkcija r(k) asimptotično obnaša kot 

ck -β za vrednosti 0 < β < 1, kjer je konstanta c > 0, β = 2 – 2H in velja 

∑ ∞ 

k= 

−∞ 

r ( k) 

= ∞ 

(3.10) 

Avtokorelacijska funkcija pada počasi (hiperbolično), kar pomeni, da ni sumabilna. 

Proces, katerega avtokorelacijska funkcija r(k) pada hiperbolično in izpolnjuje pogoj 

3.9, označujemo kot stacionarni proces X(t) z dolgim območjem odvisnosti. Kadar 

ima avtokorelacijska funkcija r(k) procesa X(t) končno vsoto, potem govorimo o 

procesu s kratkim območjem odvisnosti. Eksponentno padanje avtokorelacijske 

funkcije 

k 

r( k) 

≈ ρ , k → ∞, 

0 < ρ < 1 

(3.11) 

povzroči, da ima avtokorelacijska funkcija končno vsoto 

∑ ∞ 

k= 

−∞ 

0 < r ( k) 

< ∞ 

(3.12) 

Glavno vlogo pri takšnem opisu ima parameter H, ki predstavlja merilo 

samopodobnosti. Z izbiro velikosti parametra H lahko določimo naslednje predpise, 

ki poleg dolgega območja odvisnosti predpisujejo še kratko območje odvisnosti, in 

sicer [6], [12], [15], [30]: 

• 0 < H < 0,5 →SRD – kratko območje odvisnosti, 

• 0,5 < H < 1 →LRD – dolgo območje odvisnosti. 

Primer modela z lastnostjo kratkega območja odvisnosti sta Poissonov in Markov 

model. Primer poteka avtokorelacijske funkcije procesa s kratkim in dolgim 

območjem odvisnosti prikazuje slika 3.2. 

Slika 3.2: 

Primerjava med avtokorelacijsko funkcijo procesa z lastnostjo kratkega območja 

odvisnosti (levo) in procesa z lastnostjo dolgega območja odvisnosti (desno) [34]. 

Dolgo območje odvisnosti (LRD) procesa z lastnostjo samopodobnosti se kaže v 

procesih, pri katerih se vrednost parametra H nahaja v mejah med 0,5 in 1. Pri tem 

avtokorelacijska funkcija pada hiperbolično in ne eksponentno, kot se to zgodi pri 

procesih s kratkim območjem odvisnosti (SRD). Avtokorelacijska funkcija zato ni 

sumabilna.


3.2.2 Potrditev dolgega območja odvisnosti 

Analizo dolgega območja odvisnosti spremljata dva problema, in sicer zapleteno 

določanje dolgega območja odvisnosti ter pogosto vprašljiva identifikacija in 

potrditev te lastnosti. Prevladujoč način določanja, tako kratkega kot dolgega 

območja odvisnosti, je s pomočjo vrednosti Hurstovega parametra. Glede na to, da ne 

obstaja točno določen način izračuna Hurstovega parametra, lahko le-tega ocenimo. 

Za ocenitev imamo na voljo več razvitih metod, ki nam podajajo odstopajoče 

ocenjene vrednosti parametra H. To še posebej velja za ocenjene vrednosti okoli 

vrednosti 0,5, ki predstavlja mejo med procesi z lastnostjo dolgega in kratkega 

območja odvisnosti. Thomas Karagianiss [12], [13] predlaga za potrditev dolgega 

območja odvisnosti metodo, imenovano »bucket shuffling«. Le-to bi lahko opisali 

kot mešanje zajetih podatkov. Avtor navedenih člankov predlaga to metodo kot test 

in validacijo dolgega območja odvisnosti. Metoda temelji na naključni zamenjavi 

določenih delov časovnega zaporedja, ki ga razdelimo na dele dolžine b. Nato lahko 

izvedemo dva načina mešanja časovnega zaporedja: 

• eksterno mešanje, 

• interno mešanje. 

Eksterno mešanje temelji na naključni zamenjavi delov časovnega zaporedja, pri 

katerem ostaja vsebina vsakega dela zaporedja nedotaknjena. S tem dobimo novo 

naključno zaporedje, sestavljeno iz naključno razdeljenih delov časovnega zaporedja. 

Z naključno zamenjavo delov časovnega zaporedja z lastnostjo dolgega območja 

odvisnosti dosežemo, da avtokorelacijska funkcija izkazuje dolgo območje 

odvisnosti (hiperbolično upadanje) le znotraj dela časovnega zaporedja dolžine b. 

Interno mešanje časovnega zaporedja dolžine b temelji na naključni zamenjavi 

posameznih vzorcev časovnega zaporedja znotraj delov zaporedja, pri čemer 

zaporedje delov časovnega zaporedja ostaja enako. Kot rezultat internega mešanja 

deformiramo lastnost kratkega območja odvisnosti, ob tem pa ostane lastnost dolgega 

območja skoraj nespremenjena. Naključni proces ali naključno časovno zaporedje z 

dolgim območjem odvisnosti ne vpliva na avtokorelacijsko funkcijo z internim 

mešanjem. V tem primeru sta avtokorelacijska funkcija originalnega časovnega 

zaporedja in interno zmešanega časovnega zaporedja podobni. 

Validacijo samopodobnosti s pomočjo robustne metode »bucket shuffling« 

opravimo za naključni proces ali časovno zaporedje s spodaj opisanim postopkom. 

Slika 3.3: 

Časovno diskretni naključni proces in pripadajoča avtokorelacijska funkcija, ki kaže na 

lastnost dolgega območja odvisnosti [13]. 

Za naključni proces ali časovno zaporedje na sliki 3.3 določimo avtokorelacijsko 

funkcijo. Počasi hiperbolično padajoča avtokorelacijska funkcija in nedoločljiva


13 

vsota avtokorelacijske funkcije kažeta na lastnost dolgega območja odvisnosti. 

Vendar, kot smo že omenili, sam potek avtokorelacijake funkcije ni dovolj za 

potrditev dolgega območja odvisnosti. 

Za validacijo samopodobnosti naključnega procesa opravimo metodo »bucket 

shuffling«. Najprej izvedemo eksterno mešanje z velikostjo delov zaporedja, enako 

1. S tem dosežemo popolnoma naključno porazdelitev časovnega zaporedja, kar je 

razvidno iz avtokorelacijske funkcije, prikazane na sliki 3.4. Drugič opravimo 

eksterno mešanje delov časovnih zaporedij z določeno dolžino b. V primeru dolgega 

območja odvisnosti časovnega zaporedja se pojavi avtokorelacijska funkcija, ki pada 

hiperbolično do vrednosti b. V primeru opazovanja nad vrednostjo b vrednost 

avtokorelacijske funkcije teži k vrednosti 0 (slika 3.4). 

Slika 3.4: 

Avtokorelacijska funkcija eksterno mešanega časovnega zaporedja z vrednostjo 

časovnega dela 1 (»bucket« = 1 - levo) in 50 (»bucket« = 50 - desno) [13]. 

Na koncu izvedemo še interno mešanje, torej naključno pomešamo časovno 

zaporedje znotraj razdeljenih delov. V primeru časovnega zaporedja z lastnostjo 

dolgega območja odvisnosti interno mešanje ne bo vplivalo na obnašanje 

avtokorelacijske funkcije ali pa bo nanjo vplivalo v zelo majhni meri. Tako ima 

avtokorelacijska funkcija interno mešanega časovnega zaporedja podobno obnašanje 

kot avtokorelcijska funkcija originalnega časovnega zaporedja. Avtokorelacijsko 

funkcijo internega naključnega mešanja z dolžino delov časovnega zaporedja 50 


Slika 3.5: 

Avtokorelacijska funkcija interno zmešanega časovnega zaporedja z dolžino časovnega 

zaporedja 50 (»bucket« = 50) [13].


3.2.3 Dolgo območje odvisnosti in samopodobnost 

Poudariti moramo, da obstajajo procesi, ki so samopodobni, ampak ne izkazujejo 

lastnosti dolgega območja odvisnosti in obratno [15]. Kot primer lahko navedemo 

Brownovo gibanje z Gaussovim šumom, ki je tipičen primer samopodobnega 

procesa, vendar ne vsebuje lastnosti dolgega območja odvisnosti. Zaporedja tipa 

FARIMA (Fractal Autoregressive Integrated Moving Average) imajo lastnost 

dolgega območja odvisnosti, ampak ne kažejo lastnosti samopodobnosti v smislu 

porazdelitve [6]. V primeru asimptotične samopodobnosti v širšem smislu s 

predpisom 0,5 < H < 1 v definiciji samopodobnost vsebuje dolgo območje odvisnosti 

in obratno. Zaradi tega za samopodoben model prometa velikokrat uporabljamo tako 

izraz samopodobnost kot dolgo območje odvisnosti. 

3.2.4 Šum 1/f 

Šum 1/f predstavlja signal ali proces z močjo spektralne gostote, ki je proporcionalna 

1/f α , kjer f predstavlja frekvenco, α pa pozitivni eksponent, ponavadi v mejah med 

vrednostjo 0 in 2. Šum 1/f nam omogoča ocenitev Hurstovega parametra v 

frekvenčnem območju, in sicer s pomočjo periodograma [12], [15]. Spektralna 

gostota časovnega zaporedja predstavlja alternativno predstavitev odvisnosti med 

vrednostmi procesa v različnih časih. Naj bo X 0 , X 1 , …, X N-1 diskretno časovno 

zaporedje dolžine N, ki opisuje obnašanje procesa na intervalu dolžine N – 1. Takšen 

interval diskretnega časovnega zaporedja lahko predstavimo kot eno iteracijo 

neskončno ponovljivega vzorca, ki opisuje X v odvisnosti od časa. Takšen proces 

lahko transformiramo iz časovnega prostora v frekvenčni prostor s pomočjo 

diskretne Fourierove transformacije (DFT). Rezultat transformacije je dekompozicija 

X v uteženo vsoto trigonometričnih funkcij s frekvenco λ k = 2πk/N v radianih na 

merjen interval, kjer je k = 0, 1, … [(N – 1)/2]. 

Periodogram je grafična predstavitev Fourierove transformacije avtokorelacijske 

funkcije v frekvenčnem prostoru. Samopodobnost lahko pokažemo s pomočjo 

periodograma, ki omogoča izračun spektralne gostote signala z obnašanjem 

spektralne gostote blizu izvora. Proces X vsebuje lastnost samopodobnosti, če velja 

[15]: 

− 

f ( λ) ≈ λ γ L ( λ), λ → 0 

(3.13) 

kjer je 0 < γ < 1 in je funkcija L 2 (λ) počasi spreminjajoča se v točki 0. Spektralno 

gostoto f(λ) izračunamo s pomočjo naslednje enačbe 

f 

2 

jkλ 

( λ ) = ∑r( 

k) 

e 

(3.14) 

k 

V primeru procesa z lastnostjo dolgega območja odvisnosti vrednost vsote 

avtokorelacijske funkcije teži k neskončnosti pri frekvenci 0. 

f(0) = ∑ r( k) 

=∞ 

(3.15) 

V primeru kratkega območja odvisnosti (SRD) je v primeru približevanja frekvence 

k 0 (λ = 0) spektralna gostota pozitivna in končna. 

k


15 

3.2.5 Hurstov pojav 

Samopodobnost lahko interpretiramo z empiričnim zakonom, ki ga imenujemo 

Hurstov zakon ali Hurstov pojav [15], [35]. Za opazovan proces (X k : k = 0, 1, 2, …, 

n) s srednjo vrednostjo in varianco S 2 (n) je prilagojena lestvica ali R/S statistika 

podana s: 

1 

Rn ( ) / Sn ( ) = [ max(0, W1, W2,..., Wn) − min(0, W1, W2,..., Wn) 

] (3.16) 

Sn ( ) 

Pri tem definiramo: 

( ) 

Wk 

= X1+ X2 + L + Xk 

− kX( n), k = 1, 2,..., n (3.17) 

Standardno deviacijo S(n) opazovanj X 1 , X 2 , …, X n definiramo: 

Sn ( ) = 

n 

2 

∑ ( X 

k 

− X( n)) 

(3.18) 

k = 0 

n 

Hurstov parameter predstavimo s prilagojeno lestvico: 

R / S _ statistika = R( n)/ S( n) 

Leta 1951 je Hurst odkril, da lahko veliko naravnih časovnih zaporedij asimptotično 

predstavimo z relacijo: 

⎡Rn 

( ) ⎤ H 

E⎢ 

→ cn 

1 

, n →∞ 

Sn ( ) 

⎥ 

(3.19) 

⎣ ⎦ 

s tipično vrednostjo Hurstovega parametra 0,73 in pozitivno konstanto c 1 , ki je 

neodvisna od vrednosti n. 

Leta 1968 sta Mandelbrot in Van Ness dokazala, da 

⎡Rn 

( ) ⎤ 

⎢ → →∞ 

Sn ( ) 

⎥ 

⎣ ⎦ 

0,5 

E c2n , n 

(3.20) 

s končno pozitivno konstanto c 2 , neodvisno od vrednosti n, zadošča zgornjemu 

predpisu, če opazovan proces X(k) izhaja iz procesa s kratkim območjem odvisnosti 

(Short Range Dependence – SRD). Razliko med zgornjima predpisoma Hursta in 

Mandelbrot-Van Nessa označujemo kot Hurstov efekt ali Hurstov pojav, ki nam služi 

za testiranje samopodobnosti. 

3.2.6 Počasi padajoča varianca 

Lastnost samopodobnega prometa je počasi padajoča varianca. Varianca povprečne 

vrednosti poskusa upada počasneje, kot upadajo recipročne vrednosti: 

( ) 

− 

var( X m 

β 

) ≈ c3m 

, m → ∞, 

0 < β < 1, c3 

> 0 

(3.21)


Pri tem dopustimo poenostavitve iz relacij (3.3) in (3.13), da sta funkciji L 1 in L 2 

počasi spreminjajoči se oziroma asimptotični konstanti. Če avtokorelacijska funkcija 

agregiranega procesa X (m) izpolnjuje pogoj (3.3) ali v primeru spektralne gostote 

pogoj (3.13), potem varianca procesa var(X (m) ) za vrednosti m ≥ 1 zadovolji: 

( ) 

− 

var( X m ) ≈ c4m 

β , m → ∞, 

c4 

> 0 

(3.22) 

kjer je c 4 pozitivna konstanta, neodvisna od vrednosti m, vrednost β se nahaja med 0 

in 1 ter je v razmerju s parametrom γ v pogoju (3.3) s predpisom β = 1 – γ. 

Stacionarni proces z agregiranim procesom X (m) , ki teži k šumu drugega reda, 

izpolnjuje naslednji pogoj 

var( X ) ≈ c m , m→∞ (3.23) 

( m) −1 

5 

kjer je c 5 pozitivna konstanta, neodvisna od vrednosti m. 

Lastnost počasi padajoče variance agregiranega procesa izkoriščamo za 

ocenjevanje Hurstovega parametra. 

3.3 Počasi pojemajoče porazdelitve 

Naključne procese opisujemo s porazdelitvami verjetnosti. Poleg že prej ugotovljenih 

lastnosti samopodobnosti in dolgega območja odvisnosti omrežnega prometa lahko 

procesa velikosti paketov in prihoda paketov opišemo tudi s pomočjo porazdelitev. 

Porazdelitve verjetnosti, ki omogočajo opis samopodobnega prometa 

telekomunikacijskih omrežij, se imenujejo počasi pojemajoče porazdelitve. Pri 

počasi pojemajočih porazdelitvah vrednost upada hiperbolično, kar je v nasprotju s 

hitro pojemajočimi porazdelitvami, kot je to eksponentna porazdelitev, kjer 

porazdelitev upada eksponentno. 

Promet so dolgo časa opisovali z eksponentno porazdelitvijo, saj je ta dobro 

opisovala Poissonov proces. Poissonov proces je primeren za opisovanje 

telefonskega prometa, časa med posameznimi klici in dolžine klicev. Ker Poissonov 

proces vsebuje lastnost kratkega območja odvisnosti, velja enako tudi za 

eksponentno porazdelitev, ki jo opisujemo z naslednjo porazdelitveno funkcijo: 

x 

1 

− 

p( x) 

= ⋅ e μ 

(3.24) 

μ 

Parameter 1/µ večkrat nadomestimo s parametrom λ, ki ga imenujemo parameter 

intenzivnosti. Slika 3.6 prikazuje vpliv parametra λ na potek eksponentne gostote 

verjetnosti in pripadajoče kumulativne porazdelitvene funkcije.


17 

Slika 3.6: 

Eksponentna gostota verjetnosti in kumulativna porazdelitev z različnimi vrednostmi 

parametra λ [36]. 

Počasi pojemajočo porazdelitev poznamo tudi pod imenom skalirno invariantna 

porazdelitev. Naključna spremenljivka X ima počasi pojemajočo porazdelitev 

verjetnosti, če je njena komplementarna kumulativna porazdelitvena funkcija enaka 

[6], [14], [42], [45] 

−α 

Fx () = PX ( > x) = 1 −Fx () ≈ cx , 0< α ≤ 2, c> 0 (3.25) 

kjer je α parameter oblike in c je pozitivna konstanta. Za počasi pojemajočo 

porazdelitev verjetnosti vrednost α znaša 0 < α ≤ 2 in ima za te vrednosti neskončno 

varianco. Za vrednosti 0 < α ≤ 1 ima počasi pojemajoča porazdelitev neomejeno 

srednjo vrednost. Zato nas s stališča modeliranja omrežnega prometa zanimajo le 

vrednosti parametra 1 < α < 2. Funkcijska odvisnost počasi pojemajoče porazdelitve 

je počasi padajoča hiperbola. To pomeni, da se izidi naključne spremenljivke s 

počasi pojemajočo porazdelitvijo verjetnosti spreminjajo ekstremno. Torej obstaja 

zelo majhna verjetnost, ki pa ni zanemarljiva, da je izid poskusa zelo (ekstremno) 

'velik', saj je ob poskusu zelo velika verjetnost, da bo izid poskusa zelo 'majhen'. Med 

osnovni počasi pojemajoči porazdelitvi sodita Paretova in Weibullova porazdelitev. 

3.3.1 Paretova porazdelitev 

Paretova porazdelitev je najpreprostejša počasi pojemajoča porazdelitev verjetnosti, 

ki je dobila ime po italijanskem ekonomistu Vilfredu Paretu. Podamo jo z naslednjo 

gostoto verjetnosti: 

α −α−1 

px ( ) = αk ⋅x , k≤ x, α, k> 0 

(3.26) 

Parameter α imenujemo tudi parameter oblike (»shape«), parameter k imenujemo 

parameter lokacije (»local«). Slednji je najmanjša možna vrednost naključne 

spremenljivke x. Vpliv parametrov na gostoto verjetnosti in kumulativno 

porazdelitev prikazuje slika 3.7.


Slika 3.7: 

Paretova gostota verjetnosti in kumulativna porazdelitev z različnimi vrednostmi 

parametra oblike α pri konstantni vrednosti parametra lokacije k = 1 [37]. 

Kumulativno porazdelitveno funkcijo Paretove porazdelitve zapišemo z naslednjo 

enačbo: 

⎛k 

⎞ 

Fx () = PX ( ≤ x) = 1− ⎜ ⎟ 

(3.27) 

⎝x 

⎠ 

Inverzna kumulativna fukcija F -1 Paretove porazdelitve verjetnosti je definirana pod 

pogojem, da je F kumulativna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke in je 

striktno naraščajoča na intervalu I z vrednostjo F = 0 na levi strani intervala I in F = 1 

na desni strani intervala I. Interval I je lahko neomejen. Za Paretovo porazdelitev je 

inverzna kumulativna porazdelitev enaka 

1 

F 

1 

k(1 x) 

α 

3.3.2 Statistične lastnosti Paretove porazdelitve 

α 

− = − (3.28) 

Matematično upanje E(X) ali srednja vrednost µ Paretove porazdelitve z gostoto 

verjetnosti p(x) izračunamo 

l 

l 

α −α−1 

( ) μ ( ) ( α ) 

∫ 

EX = = pxxdx= k ⋅ x xdx= 

k 

− α+ 

1 

l 

α 

α ⎡ x ⎤ αk 

− α+ 1 − α+ 

1 

= αk ⎢ ⎥ = ( l −k 

), 

⎣− α + 1⎦ 

− α + 1 

k 

∫ 

k 

(3.29) 

kjer sta parametra k in l spodnja in zgornja meja integrala (enačba 3.28). Če 

maksimum naključne spremenljivke X ni omejen (l je neskončen), izračunamo 

limito zgornjega izraza 

α 

⎧ αk 

αk 

− α+ 1 − α+ 

1 ⎪ , α > 1 

EX ( ) = μ = lim ( l − k ) = ⎨α 

−1 

l→∞ 

− α + 1 

⎪ 

⎩ ∞, α ≤1 

(3.30) 

Za podan parameter oblike α > 1 in srednje vrednosti µ za neskončno porazdelitev 

lahko izračunamo parameter lokacije na naslednji način:


19 

μ( α −1) 

k = (3.31) 

α 

V primeru omejene porazdelitve z maksimalno vrednostjo l ni analitične rešitve za 

izračun vrednosti parametra k. Numerična metoda za določitev vrednosti k je iskanje 

ničle v naslednjem izrazu: 

α 1 

( ) 0 

1 l − α+ 

k α 

− k − μ = 

(3.32) 

− α + 

Varianca Paretove porazdelitve je v primeru izbire parametra oblike α med 

vrednostma 0 in 2 neskončna. 

([ ] 

2 

) 

2 

Var( X ) = σ = E X − E( X ) =∞, 

0< α < 2 (3.33) 

Aritmetično sredino za 10000 vzorcev Paretove porazdelitve naključne 

spremenljivke s srednjo vrednostjo 6 prikazuje slika 3.8. 

vrednost naključne 

spremenljivke 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

1 

101 

201 

301 

401 

501 

601 

701 

801 

901 

srednja vrednost 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1 

85 

169 

253 

337 

421 

505 

589 

673 

757 

841 

925 

aritmetična sredina 

pričakovana vrednost 

Slika 3.8: 

Naključni proces, opisan s Paretovo verjetnostno porazdelitvijo z α = 1,2 (parameter 

oblike) in k = 10 (parameter lokacije) s 1000 vzorčnimi točkami (levo) ter pripadajoča 

aritmetična sredina in pričakovana vrednost naključnega procesa (desno). 

3.3.3 Weibullova porazdelitev 

Weibullovo porazdelitev imenujemo po Veloddi Weibullu in je poleg Paretove 

porazdelitve osnovna počasi pojemajoča porazdelitev verjetnosti. Weibullovo 

porazdelitev opisujemo z naslednjo porazdelitveno funkcijo. 

α −1 

α ⎛ x ⎞ −( x ) 

k 

px ( ) = ⋅⎜ 

⎟ ⋅e , x≥ 0, α, k> 

0 

k ⎝k 

⎠ 

(3.34) 

Parameter α imenujemo tudi parameter oblike. Parameter k imenujemo parameter 

lokacije. Vpliv parametrov na porazdelitev vidimo na sliki 3.9. Kumulativno 

porazdelitveno funkcijo Weibullove porazdelitve verjetnosti zapišemo z naslednjo 

enačbo: 

( x α 

− ) 

k 

F( x) = P( X ≤ x) = 1 −e , x≥ 0, α, k > 0 (3.35)


Slika 3.9: 

Weibullova gostota verjetnosti in kumulativna porazdelitev za različne parametre 

oblike α in parametre lokacije k [38].

OCENJEVANJE PARAMETROV STOHASTIČNEGA PROCESA 

21 

4. OCENJEVANJE PARAMETROV STOHASTIČNEGA PROCESA 

Naključni proces statistično ovrednotimo s pomočjo Hurstovega parametra ali z 

določanjem porazdelitvene funkcije. Kot smo že omenili, je promet skupek dveh 

stohastičnih procesov, in sicer procesa velikosti paketov in procesa časa med prihodi 

paketov. Modeliranje izmerjenega prometa bomo izvedli na dva načina, in sicer 

bomo proces velikosti paketov opisali s pomočjo porazdelitev verjetnosti, medtem ko 

bomo naključni proces prihodov paketov opisali s parametrom samopodobnosti H ter 

čas med paketi s porazdelitvami verjetnosti. Najprej se bomo posvetili ocenjevanju 

Hurstovega parametra stohastičnega procesa. 

4.1 Določanje Hurstovega parametra 

Hurstovega parametra H kot merilo samopodobnosti ne moremo natančno izračunati, 

ampak ga lahko le ocenimo. Obstaja kar nekaj različnih metod, s katerimi dobimo 

ocene parametra H, ki med seboj bolj ali manj odstopajo. Pri tem nimamo kriterijev, 

ki bi določili, katera metoda nam daje najboljši rezultat. 

Metode za ocenjevanje Hurstovega parametra lahko v 'grobi' osnovi razdelimo 

na dve kategoriji, in sicer ocenjevanje v časovnem prostoru in ocenjevanje v 

frekvenčnem ali valčnem prostoru [12]. 

Metode ocenjevanja v časovnem prostoru temeljijo na primerjavi originalnega 

procesa in povprečenega procesa z metodo agregacije: 

• variančna metoda (»variance method«) je grafična metoda, ki temelji na 

lastnosti počasi padajoče variance (poglavje 3.2.5), kjer v logaritemsko 

merilo rišemo varianco v odvisnosti od velikosti bloka m agregiranega 

procesa. V primeru samopodbnosti je naklon premice β večji kot –1 (H = 

1 – β/2). 

• R/S metoda (»rescaled adjusted range method«) ali prilagojena lestvica 

je prav tako grafična metoda, ki temelji na lastnosti Hurstovega pojava, 

opisanega v poglavju 3.2.4. Prilagojena lestvica je območje parcialnega 

seštevanja odklona časovnega zaporedja od srednje vrednosti. 

• varianca ostankov (»variance of residuals«) uporablja metodo 

najmanjših kvadratov prilagojene premice parcialnim seštevkom za vsak 

blok m agregiranega procesa. 

Metode za ocenjevanje v frekvenčnem ali valčnem (»wavelet«) prostoru so: 

• metoda periodograma (»periodogram method«) temelji na šumu 1/f in 

Fourierovi transformaciji, opisani v poglavju 3.2.3. Je grafična metoda v 

logaritemskem merilu, in sicer za odvisnost spektralne gostote od 

frekvence. 

• metoda po Whittleu (»Whittle estimator«) temelji na minimizaciji 

verjetnosti funkcije, uporabljene v metodi periodograma. Ni grafična 

metoda. 

• metoda Arby-Veitch (»AV method«) za ocenitev Hurstovega eksponenta 

uporablja valčno transformacijo naključnega zaporedja. Z metodo

22 OCENJEVANJE PARAMETROV STOHASTIČNEGA PROCESA 

najmanjših kvadratov določimo premico valčnim koeficientom na 

različnih časovnih skalah, s pomočjo katere določimo parameter H. 

Primer: 

Za časovno diskretni naključni proces, ki ga prikazuje slika 4.1, ocenimo vrednost 

Hurstovega parametra z zgoraj opisanimi metodami. 

0.6 


spremenljivke 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

1 

369 

737 

1105 

1473 

1841 

2209 

2577 

2945 

3313 

3681 

4049 

4417 

4785 

5153 

5521 

5889 

6257 

6625 

6993 

vzorčne točke 

Slika 4.1: 

Časovno diskretni naključni proces, za katerega določimo Hurstov parameter z 

različnimi ocenjevalnimi metodami. 

Tabela 4.1 prikazuje vrednosti Hurstovega parametra ocenjenega z različnimi 

metodami. Ocenitev je bila izvedena s pomočjo odprtokodne aplikacije Selfis [12], 

[13]. 

Tabela 4.1: Vrednosti Hurstovega parametra ocenjene s pomočjo različnih ocenjevalnih metod. 

variančna R/S varianca metoda Whittle metoda 

metoda metoda ostankov periodograma estimator Arby‐Veitch 

ocenjen H 0,806 0,825 1,116 0,810 0,686 0,656 

Poskusi ocenjevanja parametra H z različnimi metodami nam dajo rezultate, ki 

kažejo na precejšnje odstopanje. Najbolj odstopa rezultat, ocenjen z metodo varianca 

ostankov, ki je presegel vrednost 1. V nadaljevanju se bomo osredotočili na opis 

osnovnih in največkrat uporabljenih metod za ocenjevanje Hurstovega parametra: 

variančna metoda, R/S metoda in metoda periodogram. Za modeliranje procesa 

bomo vrednost Hurstovega parametra izračunali kot aritmetično sredino vseh 

ocenjenih parametrov z osnovnimi metodami. 

4.1.1 Variančna metoda 

Variančna metoda temelji na grafičnem določanju Hurstovega parametra. Lastnost 

samopodobnosti je, da varianca agregiranega procesa X (m) (m = 1, 2, 3, …) pada 

linearno (za velike vrednosti m) v logaritemskem grafu glede na vrednost 

neprekrivajočega bloka m. Graf variančne metode narišemo tako, da na x-os 

nanašamo velikost neprekrivajočih blokov m v logaritemskem merilu, na y-os pa 

nanašamo vrednost variance agregiranega procesa var(X (m) ) prav tako v 

logaritemskem merilu. Skozi izračunane točke v grafu narišemo prilegajočo premico


23 

po metodi najmanjših kvadratov, pri tem pa zanemarimo majhne vrednosti 

prekrivajočih blokov m agregiranega procesa [39]. 

Vrednost ocenjenega naklona ˆ β asimptotične premice med – 1 in 0 odgovarja 

samopodobnosti, iz katere lahko izračunamo vrednost parametra H: 

ˆ 

ˆ β 

H = 1− (4.1) 

2 

Ocenjevanje parametra H s pomočjo variančne metode poteka v naslednjih fazah. 

• Originalno časovno zaporedje X = (X k : 1, 2, …, N) razdelimo v N/m blokov 

velikosti m. 

• Izračunamo povprečno vrednost za vsak blok 

km 

( m) 

1 

Xk 

= ∑ X, k = 1,2,3,..., N M 

(4.2) 

m i = ( k − 1) m + 1 

• Izračunamo srednjo vrednost variance agregacijskega zaporedja 

( m) ( m) N 

( m) 

X = ( Xk 

: k= 

0,1,2,... ) : var( X ) 

m 

1 1 

= − 

Nm / / 

Nm / Nm / 

( m) 2 ( m) 2 

∑( Xk 

) ( ∑Xk 

) 

k= 1 Nm k= 

1 

(4.3) 

• Srednjo vrednost variance izračunamo za različne velikosti neprekrivajočih 

blokov m. 

• Narišemo logaritemski graf variance v odvisnosti od velikosti blokov m. 

• Točkam v grafu narišemo prilegajočo premico s koeficientom – β, 0 < β < 1. 

Ocenimo parameter β prilegajoče premice. 

• Izračunamo Hurstov parameter iz predpisa 

ˆ 

ˆ β 

H = 1− (4.4) 

2 

Slika 4.2: 

Primer grafa za ocenjevanje Hurstovega parametra s pomočjo variančne metode ter 

premica s koeficientom β = – 1, ki predstavlja mejo območja samopodobnosti, ki je 

označeno s sivo barvo [9].


Slika 4.2 prikazuje območje samopodobnosti v primeru uporabe variančne metode 

ocenjevanja parametra H. Metoda ocenjevanja parametra H s pomočjo variančne 

metode je nezanesljiva v primerih majhnih časovnih vzorcev. V nasprotnem primeru, 

torej v primeru časovnega vzorca z velikim številom točk, pa daje uporabno in zelo 

zanesljivo oceno samopodobnosti [15]. 

4.1.2 R/S metoda 

Statistična samopodobnost pomeni, da so statistične lastnosti celotnega 

podatkovnega zaporedja enake za celotno serijo kot tudi za podobmočje znotraj 

celotnega območja (npr. območje razdelimo na dve podobmočji, ki bi morali imeti 

podobne statistične lastnosti). Prav to lastnost deljenja celotnega območja na 

podobmočja izkoristimo za ocenjevanje Hurstovega parametra pri R/S metodi. 

Celotno območje razdelimo na posamezna podobmočja in ocenimo prilagojeno 

lestvico (»rescaled adjusted range«). Tako prilagojeno lestvico izračunamo na 

celotnem podatkovnem območju, nato podatkovno območje razdelimo in spet 

ocenimo prilagojeno lestvico itd. Prilagojene lestvice za vsako podobmočje 

povprečimo. Proces cepljenja območja se ustavi, ko so podobmočja dovolj majhna, 

da še lahko ocenimo prilagojeno lestvico (minimalno 8 podatkovnih točk) [33], [39]. 

Za podano območje opazovanja {X 1 , X 2 , …, X n } s srednjo vrednostjo µ = E{X i } 

definirajmo zaporedje delnih vsot: 

Wj 

= ( X1+ X2+ ... + X 

j) − jX( n) , j = 1,2,... , n 

(4.5) 

kjer je X() 

n aritmetična srednja vrednost prvih n opazovanj. 

Območje R(n) definiramo: 

R( n) = max(0, W, W ,..., W ) − min(0, W, W ,..., W ) 

(4.6) 

1 2 n 

1 2 

Standardno deviacijo S(n) opazovanj X 1 , X 2 , …, X n definiramo : 

n 

Sn ( ) = 

n 

2 

∑ ( Xk 

− X( n)) 

(4.7) 

k = 0 

n 

Hurstov parameter predstavlja prilagojena lestvica: 

R / S _ statistika = R( n)/ S( n) 

Pričakovana vrednost predpisa R(n)/S(n) asimptotično zadovolji predpis: 

⎡Rn 

( ) ⎤ H 

E⎢ 

→ cn , n →∞ 

Sn ( ) 

⎥ 

⎣ ⎦ 

(4.8) 

kjer je Hurstov parameter H > 0,5 in pozitivna konstanta c > 0. 

Strmina premice grafa log(R/S) in log(m) predstavlja Hurstov parameter (H). 

Primer ocenjevanja Hurstovega parametra z R/S metodo in območje samopodobnosti 

prikazuje slika 4.3.


25 

Slika 4.3: 

Primer grafa za ocenjevanje Hurstovega parametra s pomočjo R/S metode ter mejni 

premici, ki predstavljata mejo območja samopodobnosti, ki je označeno s sivo barvo 

[9]. 

4.1.3 Metoda periodograma 

Ena izmed metod ocenjevanja Hurstovega parametra je tudi metoda periodograma 

(poglavje 3.2.3), ki temelji na uporabi diskretne Fourierove transformacije spektralne 

gostote [15]. Spektralno gostoto f(λ) kot funkcijo avtokorelacijske funkcije r(k) in 

varianco σ 2 podamo s: 

2 k=∞ 

σ 

ik 

f( λ) = ∑ ρ( k) e λ , 

(4.9) 

2π 

k=−∞ 

kjer je λ frekvenca in σ 2 varianca. Za šibko stacionarno časovno zaporedje pravimo, 

da ima dolgo območje odvisnosti, če njegovo spektralno gostoto opišemo z naslednjo 

enačbo: 

f( λ) ≈ C f 

λ −β 

, 

(4.10) 

ko gre frekvenca λ proti 0 in je parameter C f pozitivna konstanta. Parameter β je 

neposredno povezan s Hurstovim parametrom, in sicer β = 2H – 1. 

Periodogram podamo z naslednjo zvezo: 

2 

ikλ 

⎤ 

N 

1 ⎡ 

I( λk) = ( Xk) 

e 

2π N 

⎢∑ ⎥ 

(4.11) 

⎣k 

= 1 ⎦ 

Za podatkovno zaporedje s končno varianco lahko z zgornjo enačbo izračunamo 

spektralno gostoto. Parameter H lahko ocenimo s pomočjo periodograma, in sicer v 

logaritemskem merilu blizu njegovega izhodišča (slika 4.4).


Slika 4.4: 

Primer grafa za ocenjevanje Hurstovega parametra s pomočjo metode periodograma ter 

premico, ki predstavlja mejo območja samopodobnosti, ki je označeno s sivo barvo [9]. 

4.2 Določanje parametrov porazdelitev verjetnosti 

Določanje porazdelitev verjetnosti, ki najbolje opisujejo statistične lastnosti 

naključnega procesa, temelji na histogramih. Ti nam služijo kot referenca pri izbiri 

najbolj prilegajoče porazdelitve ter izračunu parametrov izbrane porazdelitve. 

Histogram je stopničasti približek zvezne funkcije gostote verjetnosti. V primeru, ko 

je funkcija porazdelitve verjetnosti F x (x) odvedljiva, lahko določimo porazdelitev 

gostote verjetnosti f x (x) z odvajanjem F x (x) [46]. 

oziroma z limitno aproksimacijo odvoda 

f 

x 

dFx 

( x) 

= (4.12) 

dx 

f 

x 

= lim 

Δx→0 

Fx 

( x + Δx) 

− Fx 

( x) 

Δx 

(4.13) 

Zgornji predpis vodi k aproksimaciji porazdelitve gostote verjetnosti pri diskretnih 

naključnih spremenljivkah, ki jih imenujemo teoretični histogrami. Pri teoretičnem 

histogramu območje f x (x), a < x < b, razdelimo na K intervalov tako, da je x 0 = a in 

x k = b, pri čemer velja, da je x i-1 < x i , i = 1, 2, …, K. i-ti interval je določen z 

Δx i = x i - x i-1 . V tem primeru je teoretični histogram nad vsemi x določen z: 

F ( x ) − F ( x ) 

f x x i K 

ˆ x i x i−1 

x 

= lim , 

i−1 

< 

i, = 1, 2,..., 

Δx→0 

xi 

− xi− 

1 

(4.14) 

Zgornja enačba podaja verjetnost, da se vrednost naključne spremenljivke nahaja 

znotraj intervala Δx i . Intervali Δx i so lahko določeni na različne načine, in sicer sta 

najpogostejša primera intervalov enake dolžine in intervalov enakih gostot 

verjetnosti.


27 

Za določanje verjetnostnih porazdelitev naključnega procesa določimo 

pripadajoči histogram z določeno širino intervala. Nato izberemo porazdelitve ter 

njene parametre, ki se najbolje prilegajo narisanemu histogramu. Pri tem težko 

najdemo porazdelitev, ki bi se natančno prilegala histogramu. V tem primeru se 

pojavi napaka med empirično porazdelitvijo naključnega zaporedja in teoretično 

porazdelitvijo, ki smo jo izbrali s pomočjo histograma. Razliko, ki se pojavi med 

empirično in numerično porazdelitveno funkcijo, lahko prikažemo s pomočjo 

porazdelitvene diference. Razvitih je bilo kar nekaj programskih orodij, ki nam 

omogočajo vnos naključnih podatkov procesa, risanje histograma, izbiro pripadajoče 

porazdelitve verjetnosti in njenih parametrov. Določanje porazdelitve verjetnosti in 

njenih parametrov naključnih procesov lahko izvedemo s tako imenovanimi 

metodami prileganja krivulj [40]. Gre za programsko opremo, namenjeno prav 

določanju porazdelitev ter pripadajočih parametrov naključnih procesov. V našem 

primeru smo določanje porazdelitev izvedli s pomočjo programskega paketa EasyFit 

(slika 4.5) podjetja Mathwave [41] . 

Slika 4.5: 

Histogram naključnega zaporedja in izbira najbolj prilegajoče se porazdelitve.

28 DOLOČANJE OSNOVNIH PARAMETROV 

5. DOLOČANJE OSNOVNIH PARAMETROV 

S pomočjo vohljača smo v naključno izbranih omrežjih izmerili različne omrežne 

promete, ki smo jih klasificirali v smislu samopodobnosti ter določili lastnost 

dolgega območja odvisnosti. V fazi analize bomo določili potrebne parametre 

izmerjenih signalov, ki jih bomo uporabili v fazi modeliranja. Primere izmerjenih 

prometov prikazujejo slike 5.1, 5.2 in 5.3. Osnovne lastnosti izmerjenih signalov 

vsebuje tabela 5.1. 

Tabela 5.1: Osnovni parametri izmerjenih testnih signalov (prometov). 

dolžina 

signala (s) 

št. paketov pov. vred. 

(p/s) 

pov. velikost 

paketov (B) 

št. zlogov 

(B) 

pov. vred. 

(B/s) 

signal 1 241,5 8601 35,612 401 3457214 114517,6 

signal 2 294,6 79 0,268 199 15740 53,432 

signal 3 240 5771 24 567 3272607 108909,2 

Slika 5.1: Izmerjen testni signal (signal 1). 

Slika 5.2: Izmerjen testni signal (signal 2).

DOLOČANJE OSNOVNIH PARAMETROV 

29 

Slika 5.3: Izmerjen testni signal (signal 3). 

Vsak izmerjen testni signal bomo obravnavali kot skupek dveh naključnih procesov, 

procesa velikosti paketov in prihodov paketov. Oba bomo skušali matematično 

ovrednotiti (porazdelitve verjetnosti, Hurstov parameter) ter na podlagi analize 

napraviti klasifikacijo v smislu samopodobnosti. Iz zgornjih slik vidimo, da se testni 

signali že na prvi pogled zelo razlikujejo. Prvi testni signal namreč spominja na 

signale, ki kažejo lastnost samopodobnosti, za razliko od drugega signala, kjer se 

promet pojavi le v krajših časovnih razdelkih. Testni signal 1 smo izmerili na 

računalniku, povezanem v omrežje, ki je imel aktiven program za deljenje datotek 

preko interneta (eMule). Testni signal 2 prikazuje promet replikacijske aplikacije, 

kjer se prenosi podatkov pojavijo v posameznih trenutkih (transakcije). Testni signal 

3 smo izmerili na računalniku, povezanem v omrežje, na katerem se je med meritvijo 

izvajala aplikacija deskanja po svetovnem spletu (WWW). V testnem signalu 3 se 

pojavljajo posamezne konice, ki ekstremno odstopajo od srednje vrednosti. 

5.1 Ocenjevanje Hurstovega parametra 

Ocenjevanje Hurstovega parametra kot merila samopodobnosti izvedemo z 

opisanimi metodami, in sicer z variančno metodo, R/S metodo in metodo 

periodograma. Hurstov parameter določamo za število prihodov paketov na časovno 

enoto. 

Poleg ocenjevana Hurstovga parametra bomo izrisovali tudi avtokorelacijsko 

funkcijo, ki nam bo podala informacijo o dolgem ali kratkem območju odvisnosti. V 

primeru, da bo avtokorelacijska funkcija kazala lastnost dolgega območja odvisnosti, 

bomo to potrdili z metodo »bucket shuffling«.


Ocenjevanje Hurstovega parametra in avtokorelacijska funkcija testnega signala 1: 

število paketov na časovno 

enoto 


enoto (T=10ms) 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

1 

2417 

4833 

7249 

9665 

12081 

14497 

16913 

19329 

21745 

čas (ms) 

log 10 (R/S) 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 5 10 

log 10 (m) 

log 10 (varianca) 

0 

‐2 

‐4 

‐6 

‐8 

0 5 10 

log 10 (periodogram) 

2 

0 

‐10 ‐5 ‐2 0 

‐4 

‐6 

‐8 

‐10 

‐10 

log 10 (m) 

log10 (frekvenca) 

‐12 

Slika 5.4: 

Število paketov na časovno enoto (zgoraj levo) in ocenjevanje Hurstovega parametra z 

variančno metodo (spodaj levo), R/S metodo (zgoraj desno) in metodo periodograma 

(spodaj desno). 

Tabela 5.2: Hurstovi parametri za signal 1 ocenjeni s pomočjo različnih metod. 

signal 1 variančna metoda metoda R/S metoda periodograma 

Hurstov parameter (H) 0,592 0,580 0,477 

r(k) 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

‐0.2 

1 

7 

13 

19 

25 

31 

37 

43 

49 

55 

61 

67 

73 

79 

85 

91 

97 

k 

Slika 5.5: 

Avtokorelacijska funkcija testnega signala.


31 



enoto 



8 

6 

4 

2 

0 

1 

296 

591 

886 

1181 

1476 

1771 

2066 

2361 

2656 

čas (ms) 

log 10 (R/S) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

0 2 4 6 8 

log 10 (m) 


0 

‐1 

‐2 

‐3 

‐4 

‐5 

‐6 

‐7 

‐8 

0 2 4 6 8 


0 

‐8 ‐6 ‐4 ‐2 

‐2 

0 

‐4 

‐6 

‐8 

‐10 

‐12 

log 10 (m) 

log 10 (frekvenca) 

Slika 5.6: 




Tabela 5.3: Hurstovi parametri za signal 2 ocenjeni s pomočjo različnih metod. 



r(k) 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

‐0.2 

1 

7 

13 

19 

25 

31 

37 

43 

49 

55 

61 

67 

73 

79 

85 

91 

97 

k 

Slika 5.7: Avtokorelacijska funkcija testnega signala 2.




enoto 

100 



80 

60 

40 

20 

0 

1 

2185 

4369 

6553 

8737 

10921 

13105 

15289 

17473 

19657 

21841 

čas (ms) 

log 10 (R/S) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 5 10 15 

log 10 (m) 


3 

2 

1 

0 

‐1 

‐2 

‐3 

‐4 

‐5 

‐6 

‐7 

0 2 4 6 8 10 

log 10 (m) 


4 

2 

0 

‐10 ‐5 

‐2 

0 

‐4 

‐6 

log 10 (frekvenca) 

‐8 

Slika 5.8: 




Tabela 5.4: Hurstovi parametri za signal ocenjeni s pomočjo različnih metod. 



1.5 

1 

r(k) 

0.5 

0 

‐0.5 

1 

8 

15 

22 

29 

36 

43 

50 

57 

64 

71 

78 

85 

92 

99 

k 

Slika 5.9: Avtokorelacijska funkcija testnega signala 3.


33 

Z analizo samopodobnosti z različnimi uporabljenimi metodami ugotovimo, da 

testni signal 1 ima lastnost samopodobnosti (slika 5.4), saj je ocenjen Hurstov 

parameter večji od vrednosti 0,5 (tabela 5.2). Iz poteka avtokorelacijske funkcije 

vidimo, da nima lastnosti dolgega območja odvisnosti (slika 5.5). Enake lastnosti ima 

prav tako tudi testni signal 2 (sliki 5.6 in 5.7), vendar bi za natančnejšo analizo 

potrebovali več zajetih paketov. Lastnost samopodobnosti in dolgega območja 

odvisnosti ima tesni signal 3 (sliki 5.8 in 5.9). Slednjo lastnost testnega signala 3 

bomo v nadaljevanju potrdili z metodo »bucket shuffling«. 

Za naključni proces najprej izvedemo eksterno mešanje zaporedja, in sicer z 

dolžino delov zaporedja 1. S tem dosežemo naključno mešanje zaporedja, ki ga 

prikazuje slika 5.10, ter njegovo avtokorelacijsko funkcijo. 


spremenljivke 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1 

1640 

3279 

4918 

6557 

8196 

9835 

11474 

13113 

14752 


r(k) 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

‐0.2 

1 

10 

19 

28 

37 

46 

55 

64 

73 

82 

91 

100 

k 

Slika 5.10: Eksterno naključno mešanje časovnega zaporedja z vrednostjo »bucket« = 1. 

Izvedemo eksterno mešanje podatkov zaporedja z dolžino delov časovnega 

zaporedja, enako 50 (slika 5.11 – levo). V tem primeru se pojavi dolgo območje 

odvisnosti le znotraj deljenih delov originalnega procesa (slika 5.11 – desno). 


spremenljivke 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1 

821 

1641 

2461 

3281 

4101 

4921 

5741 

6561 

7381 


r(k) 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

‐0.2 

1 

10 

19 

28 

37 

46 

55 

64 

73 

82 

91 

100 

k 

Slika 5.11: Eksterno naključno mešanje časovnega zaporedja z vrednostjo »bucket« = 50. 

Nato izvedemo interno mešanje zaporedja naključnega procesa, in sicer z dolžino 

časovnih delov, enako 50. Pri tem dosežemo mešanje zaporedja znotraj časovnih 

delov, zaporedje časovnih delov pa ostane enako (slika 5.12 – levo). 

Avtokorelacijska funkcija označi proces kot proces z dolgim območjem odvisnosti 

(slika 5.12 – desno).



spremenljivke 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

vzorčne točke ‐0.2 

1 

821 

1641 

2461 

3281 

4101 

4921 

5741 

6561 

7381 

r(k) 

1 

11 

21 

31 

41 

51 

61 

71 

81 

91 

101 

k 

Slika 5.12: Interno naključno mešanje časovnega zaporedja z vrednostjo »bucket« = 50. 

Napravimo še primerjavo med avtokorelacijsko funkcijo originalnega stohastičnega 

procesa in avtokorelacijsko funkcijo originalnega procesa, nad katerim smo izvedli 

interno mešanje zaporedja dolžine 50. 

1.2 

1 

r(k) 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

interno 

naključno 

mešanje 

originalni 

proces 

‐0.2 

1 

9 

17 

25 

33 

41 

49 

57 

65 

73 

81 

89 

97 

k 

Slika 5.13: 

Primerjava avtokorelacijske funkcije originalnega procesa in avtokorelacijske funkcije 

interno zmešanega originalnega procesa z dolžino naključnih delov 50. 

Iz slike 5.13, ki prikazuje avtokorelacijsko funkcijo originalnega procesa in interno 

mešanega procesa, vidimo, da sta poteka zelo podobna, kar potrdi lastnost dolgega 

območja odvisnosti naključnega procesa testnega signala 3. 

5.2 Določanje porazdelitev verjetnosti časa med paketi 

Porazdelitev verjetnosti bomo določali tako za velikost paketov kot za čas med 

paketi. Z ocenitvijo Hurstovega parametra smo sicer že opisali proces prihodov 

paketov, vendar bomo to opravili še z izbiro porazdelitve verjetnosti za čas med 

paketi. 

Določanje porazdelitev verjetnosti izvedemo s pomočjo programskega paketa 

EasyFit [41], ki nam omogoča vnos podatkov o naključnem procesu ter izračun več 

kot dvajsetih porazdelitev verjetnosti in njihovih parametrov. V primeru določanja 

porazdelitve časa med paketi informacijo o času med paketi iz vohljača prenesemo v 

program EasyFit. Program nam določi najprimernejše porazdelitve verjetnosti ter


35 

izračuna parametre izbrane porazdelitve (slika 5.14). Slika 5.15 prikazuje poteke 

porazdelitve, kumulativne porazdelitve, razliko med empirično in teoretično 

porazdelitvijo v P-P grafu ter diferenčno porazdelitev za počasi pojemajočo in 

eksponentno porazdelitev. 

Slika 5.14: 

Določanje porazdelitve za čas med paketi. 

Slika 5.15: 

Za naključni proces časa med paketi na osnovi histograma določimo porazdelitev in 

parametre te porazdelitve (levo – zgoraj), kumulativno porazdelitev (desno – zgoraj), 

razliko med empirično in teoretično porazdelitvijo v P-P grafu (levo – spodaj) ter 

diferenčno porazdelitev (desno – spodaj).


Pri določanju porazdelitev najprej iz vohljača prenesemo zaporedje časov med paketi 

in jih preoblikujemo v primerno obliko za programski paket EasyFit. Ta nam izriše 

histogram ter funkcije, ki se mu najbolje prilegajo. 

P-P je graf razlike empirične kumulativne porazdelitvene funkcije (ECDF) in 

teoretične kumulativne porazdelitvene funkcije (CDF). P-P graf uporabljamo za 

ponazoritev ujemanja določene porazdelitve z opazovanimi podatki. Diferenčna 

porazdelitev je graf, v katerem lahko prav tako kot v P-P grafu opazujemo razliko 

med empirično kumulativno porazdelitveno funkcijo in numerično porazdelitveno 

funkcijo. 

Diff ( x) = F ( x) − F( x) 

(5.1) 

Ta graf skupaj s P-P grafom uporabljamo za ugotavljanje in določitev prileganja 

teoretične porazdelitve opazovanim podatkom. 

5.3 Določanje porazdelitev verjetnosti velikosti paketov 

n 

Določanje porazdelitve verjetnosti velikosti paketov ter njenih parametrov izvedemo 

na enak način, kot smo to opravili za čas med paketi. Napisanih je bilo kar nekaj 

člankov o povezavi velikosti datotek [7], [8], [9] in opisov s počasi pojemajočimi 

porazdelitvami, in sicer s Paretovo porazdelitvijo [6]. 

Opravljene meritve omrežnega prometa [7] v LAN in WAN omrežjih so 

pokazale, da omrežni promet izkazuje spremenljivost na širokem območju časovne 

skale. Variabilnost velja tudi za velikost prenesenih datotek znotraj omrežja. 

Pokazano je bilo tudi, da počasi pojemajoče porazdelitve najbolje opisujejo naključni 

proces velikosti prenesenih datotek, kar pomeni, da se lahko znotraj omrežja pojavijo 

zelo velike datoteke, ki imajo sicer zelo majhno verjetnost, vendar te verjetnosti ne 

smemo zanemariti. Pokazano je bilo, da velikost datotek v primeru WWW [9] 

najbolje opisuje Paretova porazdelitev z velikostjo parametra oblike α = 1 in v 

primeru aplikacije FTP [5] prav tako Paretova porazdelitev z velikostjo parametra 

oblike 0,9 < α < 1,1. 

Za primer opisa velikosti datotek s pomočjo počasi pojemajoče Paretove 

porazdelitve, ki smo jo opisali v 3. poglavju, še enkrat zapišimo kumulativno 

porazdelitveno funkcijo 

α 

⎛k 

⎞ 

F( x) = P[ X ≤ x] 

= 1 − ⎜ ⎟ , 

(5.2) 

⎝ x ⎠ 

kjer je k najmanjša možna pozitivna vrednost naključne spremenljivke x. Torej se 

parameter k nanaša na najmanjše možne pakete, ki se lahko pojavijo v omrežju. Teh 

ni težko najti v izmerjenih rezultatih meritev omrežja s pomočjo vohljača. Paretovo 

porazdelitev smo opisali že v poglavju 3.3, kjer smo ugotovili, da ima tako Paretova 

kot vse počasi pojemajoče porazdelitve precej drugačne lastnosti kot bolj pogosto 

uporabljene porazdelitve (npr. normalna ali eksponentna porazdelitev). Če je α ≤ 2, 

ima porazdelitev neskončno varianco, v primeru α ≤ 1 pa ima porazdelitev 

neskončno srednjo vrednost. Ko vrednost parametra α pada, imamo na koncu 

porazdelitve velik delež verjetnosti. To pomeni, da naključna spremenljivka, ki jo 

opisujemo s počasi pojemajočo porazdelitvijo, povzroča ekstremno velike 

podatkovne datoteke z nezanemarljivo verjetnostjo.


37 

5.3.1 Odvisnost srednje vrednosti prometa od parametra oblike 

Srednjo vrednost Paretove porazdelitve opisuje naslednja enačba: 

k ⋅α 

EX ( ) = , 1< α < 2 

α −1 

(5.3) 

kjer je k parameter lokacije in α parameter oblike. V primeru opisovanja velikosti 

paketov s počasi pojemajočo Paretovo porazdelitvijo verjetnosti imamo informacijo 

o najmanjšem paketu v omrežju, zato na srednjo vrednost vpliva le izbrana vrednost 

parametra oblike α. Torej izbira velikosti parametra vpliva neposredno na srednjo 

vrednost prometa. V naslednjem poizkusu bomo pokazali odvisnost srednje vrednosti 

od velikosti parametra oblike Paretove porazdelitve. 

Primer: 

Modelirajmo promet s pomočjo porazdelitve časa med paketi, in sicer z 

eksponentno porazdelitvijo verjetnosti s parametrom intenzivnosti λ = 0,05. 

Naključni proces velikosti paketov bomo opisali s pomočjo Paretove porazdelitve s 

parametrom lokacije 400 (najmanjši paket v omrežju v bitih), parameter oblike α 

bomo spreminjali med vrednostjo 0,8 in 2. Pri tem bomo opazovali vpliv parametra 

oblike na srednjo vrednost modeliranega prometa (slika 5.16). 

srednja vrednost (b/s) 

700000 

600000 

500000 

400000 

300000 

200000 

100000 

0 

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 

parameter oblike (α) 

Slika 5.16: 

Srednja vrednost prometa v odvisnosti parametra oblike α Paretove porazdelitve za 

velikost paketov v območju med 0,8 in 2. 

Slika 5.16 prikazuje vpliv parametra oblike na srednjo vrednost modeliranega 

prometa, predvsem v območju med 0,8 in 1,2. Med vrednostmi nad 1,2 do 2 ima 

parameter oblike manjši vpliv na srednjo vrednost prometa. Poizkus dokazuje 

pomembnost natančne ocenitve parametra oblike, saj že vsako najmanjše odstopanje 

povzroči zelo veliko odstopanje modeliranega prometa v smislu srednje vrednosti. V 

primeru, da smo ocenili parameter oblike 0,9 namesto 1, smo napravili kar 

nekajkratno stoodstotno napako. Torej smo za natančno modeliranje prisiljeni k 

natančni ocenitvi parametra oblike Paretove porazdelitve verjetnosti. V nasprotnem 

primeru bomo deležni velike napake v smislu odstopanja srednje vrednosti, ki se bo 

pojavila med izmerjenim in modeliranim omrežnim prometom. Za določitev 

vrednosti parametra α imamo na voljo več metod, ki so opisane v naslednjem 

poglavju.


5.3.2 Ocenitev parametra oblike (α) 

Med najbolj priljubljenimi metodami za ocenjevanje parametra α Paretove 

porazdelitve je CCDF metoda, ki temelji na grafični predstavitvi komplementarne 

kumulativne porazdelitve v logaritemskem merilu. Počasi pojemajočo distribucijo v 

tem grafu lahko opišemo kot [6], [42]: 

dlog F( x) 

lim =− α 

(5.6) 

x→∞ 

dlog 

x 

Za velike vrednosti x komplementarna kumulativna funkcija teži k ravni premici z 

naklonom, enakim negativni vrednosti parametra oblike ( – α). Slika 5.17 je primer 

ocenitve parametra oblike α [6]. Iz te slike vidimo primer določanja komplementarno 

kumulativne porazdelitvene funkcije velikosti datotek v omrežju v logaritemskem 

merilu. Skozi točke komplementarne porazdelitve določimo premico, katere naklon 

odgovarja velikosti parametra oblike Paretove porazdelitve. Naklon premice je enak 

– 1,2, kar pomeni, da je parameter oblike enak 1,2. 

Slika 5.17: Komplementarna kumulativna porazdelitvena funkcija velikosti datotek v 

logaritemskem grafu. 

Zraven te metode obstaja še ena zelo pomembna metoda izračuna parametra oblike 

Paretove porazdelitve, in sicer Hillov estimator [43], ki se uporablja v ekonomiji, 

financah in v telekomunikacijah. 

V našem primeru bomo določili parameter oblike Paretove porazdelitve s 

pomočjo programa EasyFit, kot v primeru določanja porazdelitve časa med paketi. 

5.3.3 Predlog metode ocenjevanja porazdelitve verjetnosti velikosti 

paketov 

Iz meritev in analize omrežnega prometa [5], [9] so raziskovalci opravili meritve za 

velikost prenesenih datotek znotraj LAN ali WAN omrežja. V primeru vohljača 

dobimo informacije o paketih in ne o datotekah, ki se pretakajo znotraj omrežja.


39 

Torej ocena potrebnih parametrov za modeliranje prometa izhaja iz velikosti paketov 

in časa med paketi. 

Z analizo velikosti paketov smo dobili podobne rezultate, kot jih navajajo drugi 

avtorji v svojih delih [23], [44], ki jih prikazuje slika 5.18. 

Slika 5.18: Primer histograma velikosti paketov izmerjenega prometa ter določanje porazdelitve 

velikosti paketov. 

Iz histograma zajetega prometa (slika 5.18) vidimo, da v omrežju prevladuje veliko 

število paketov z minimalno velikostjo ter nezanemarljivo število velikih paketov z 

maksimalno velikostjo. V primeru izbire počasi pojemajočih porazdelitev izgubimo 

informacijo o največjih paketih, verjetnost katerih pa ni zanemarljiva. V primeru na 

sliki 5.18 je takšnih paketov približno 15 %. To pomeni, da z neprimerno izbiro 

porazdelitev 'odrežemo' največje pakete, ki imajo največji doprinos h količini 

prenesenih bitov v omrežju. 

Minimalna in maksimalna dolžina paketov v omrežju je odvisna od 

komunikacijskega protokola in tehnologije omrežja. Dolžina maksimalnega paketa je 

lahko določena standardno kot v primeru Ethernet tehnologije ali pa se dolžina 

najdaljšega paketa določi ob vzpostavitvi komunikacije, kot je to v primeru serijskih 

povezav tipa točka-točka. Maksimalno dolžino paketa označujemo tudi kot največjo 

prenosno enoto (Maximum Transmission Unit – MTU), ki pripomore k boljši izrabi 

podatkovne pasovne širine. Internetni protokol (IP), kot osrednji omrežni protokol, je 

bil razvit za različne omrežne tehnologije in ne predpisuje maksimalne dolžine 

paketov, saj zato poskrbi nižji nivo. V primeru daljših datagramov se na nižjem 

nivoju izvede fragmentacija pakete datagramov v maksimalne dolžine za prenos med 

oddajnikom in sprejemnikom. Fragmentacija je deljenje datagramov v manjše enote 

(maksimalne pakete), ki jih lahko pošljemo po podatkovni poti. IP protokol dodatno 

označi fragmentirane maksimalne pakete, kar služi za sestavljanje sprejetih paketov v 

originalni datagram na sprejemni strani. Tako iz originalnega datagrama dolžine X 

dobimo zaporedje X/MTU paketov maksimalne dolžine ter še dodaten paket, ki 

predstavlja ostanek. 

Naša ideja ocenjevanja porazdelitve velikosti paketov temelji na 

defragmentaciji, in sicer na osnovi izmerjenih rezultatov s pomočjo vohljača. Tako


bomo skušali v izmerjenih paketih izvesti defragmentacijo zajetih paketov, ki 

pripadajo datagramu, prenesenemu iz izvornega do ciljnega IP naslova. 

Slika 5.19: 

Podatki, zajeti z vohljačem, in iskanje maksimalne dolžine paketov ter seštevanje le-teh. 

Z vohljačem zajet promet smo preuredili na sledeči način. Poiskali smo maksimalno 

dolžino paketa, ki v primeru testnega signala 1 znaša 1502 B. Nato smo temu paketu 

prišteli naslednjo dolžino paketa istega IP naslova. V primeru, da je ta paket ponovno 

znašal 1502 B, smo iskali naslednji paket istega IP naslova. Postopek smo ponavljali 

tako dolgo, dokler nismo našli paketa s tega IP naslova, ki ni imel maksimalne 

dolžine (slika 5.19). Slika 5.20 prikazuje razliko med histogramoma in izbrano 

porazdelitvijo v primeru neupoštevanja in upoštevanja predlagane metode. 

Slika 5.20: Primerjava histogramov in vrednosti parametrov porazdelitev v primeru upoštevanja 

maksimalne dolžine paketov (leva slika) in seštevanje maksimalnih paketov s 

predlagano metodo (desna slika).


41 

Slika 5.21: Primerjava modeliranih prometov z določenima porazdelitvama in pripadajočimi 

parametri na sliki 5.20 (scenarij 1: Paretova porazdelitev α = 0,89459, k = 432; scenarij 

2: Paretova porazdelitev α = 1,0695, k = 432). Srednja vrednost izmerjenega prometa 

znaša 114517,6 b/s. 

Iz slike 5.21 vidimo, da v primeru upoštevanja maksimalne dolžine paketov (MTU = 

1502 B) modeliramo promet, katerega srednja vrednost zelo odstopa od izmerjenega 

prometa. Srednja vrednost modeliranega signala znaša 389163,7 b/s (389,2 kb/s). V 

primeru uporabe metode seštevanja, ki smo jo opisali zgoraj, se srednja vrednost 

modeliranega signala približa srednji vrednosti izmerjenega signala 114517,6 b/s 

(114,5 kb/s). Srednja vrednost modeliranega signala v simulaciji 'scenarij 1' je 

znašala 121732 b/s (121,7 kb/s). 

V OPNET simulacijah s pomočjo generatorja prometa (opis še sledi) generiramo 

le efektivni promet, kateremu se nato doda še zaglavje za vsak paket. Zato smo iz 

zajetega prometa vsakemu paketu odšteli dolžino zaglavja, ki v primeru IP protokola 

znaša 20 B. Z odštevanjem dolžine glave in defragmentacijo maksimalnih paketov 

smo preuredili podatke o velikosti paketov o zajetem prometu, ki smo jih uporabili v 

analizi ter ocenitvi potrebnih parametrov.

42 GENERIRANJE OMREŽNEGA PROMETA V OPNET‐U 

6. GENERIRANJE OMREŽNEGA PROMETA V OPNETU 

6.1 Simulacijsko okolje OPNET 

OPNET Modeler je vodilno razvojno simulacijsko okolje v industriji, ki je 

namenjeno modeliranju in simuliranju komunikacijskih omrežij. Omogoča 

konstruiranje in študij komunikacijskih infrastruktur, naprav, protokolov, aplikacij. Z 

njim pa je omogočen tudi grafični način opisa topologije omrežij, tako žičnih kot 

brezžičnih. Grafični predstavitvi omrežja je namenjen urejevalnik omrežja. Temu 

sledi urejevalnik naprav, ki zagotovi vpogled v arhitekturo posameznih naprav s 

podatkovnimi toki med funkcijskimi elementi – moduli. Najnižji nivo predstavlja 

procesni urejevalnik, ki temelji na specifikaciji naprav s končnimi avtomati (Finite 

State Machine – FSM). Vsako stanje v procesnem modulu vključuje C/C++ kodo, ki 

jo je mogoče spreminjati. S tem je zagotovljen nadzor nad vsakim nivojem, 

neodvisno od tega, v kakšne podrobnosti se spustimo. Modeler je podprt s knjižnico 

naprav, ki pokriva vsa področja telekomunikacij z naprednimi tehnologijami in 

ponuja rešitev za proučevanje ter simuliranje najbolj zapletenih situacij v omrežjih. 

Kot mnogi drugi raziskovalci samopodobnega omrežnega prometa smo tudi mi za 

izvedbo simulacij uporabili simulacijsko okolje OPNET Modeler [14], [24], [25], 

[26]. 

6.2 Modeliranje prometa v simulacijskem okolju OPNET 

V programu OPNET Modeler imamo možnost generiranja samopodobnega 

podatkovnega prometa na naslednje načine: 

• porazdelitve verjetnosti, 

• aplikacijski podatkovni model, 

• generator golih paketov, 

• zunanja datoteka. 

6.2.1 Porazdelitve verjetnosti 

Nekatere postaje iz knjižnice v programskem paketu OPNET omogočajo modeliranje 

prometa z izbiro statističnih karakteristik, ki jim določimo osnovne parametre. Z 

izbiro počasi pojemajočih porazdelitev, kot sta Paretova in Weibullova, lahko 

modeliramo samopodoben promet. Na voljo imamo okoli 15 najrazličnejših 

porazdelitev verjetnosti. Slika 6.1 prikazuje možnost modeliranja prometa z 

generatorjem prometa, ki temelji na porazdelitvah verjetnosti za čas med paketi in 

velikostjo paketov.

GENERIRANJE OMREŽNEGA PROMETA V OPNET‐U 

43 

Slika 6.1: 

Modeliranje prometa z generatorjem prometa na osnovi verjetnostnih porazdelitev. 

Dodajamo lahko neomejeno število vrstic, ki definirajo med seboj neodvisne 

generatorje prometa. Končni modeliran promet je skupek (superpozicija) posameznih 

generatorjev prometa. Obstajajo modeli generiranja samopodobnega prometa s 

superpozicijo neodvisnih Bernoullijevih izvorov. Osnovni problem teh modelov je 

iskanje pravih parametrov modela želenih karakteristik. 

6.2.2 Aplikacijski podatkovni model 

OPNET Modeler vsebuje skupino osnovnih modelov generiranja prometa, ki 

temeljijo na standardnih aplikacijah, kot so: FTP, HTTP, email itd. Zraven ponujenih 

modelov lahko sami izdelamo aplikacijo z želenimi lastnostmi. Standardni modeli so 

zasnovani na arhitekturi strežnik-odjemalec, ki jo najdemo v realnih omrežjih. 

Samopodoben promet lahko modeliramo na več načinov. Vse metode temeljijo na 

počasi pojemajočih porazdelitvah. 

6.2.3 Generator golih paketov 

Generator golih paketov (Raw Packet Generator – RPG) je podatkovni model izvora, 

implementiran posebej za modeliranje samopodobnega prometa. Postajo lahko 

uporabljamo za generiranje podatkovnega samopodobnega prometa na omrežnem 

(IP) in fizičnem nivoju standardnega modela. Generiranje samopodobnega prometa 

temelji na implementaciji fraktalnih točkovnih procesov. 

6.2.4 Zunanja datoteka 

Za Ethernet postaje lahko določimo čas med paketi in velikost paketov iz zunanje 

datoteke. Tako lahko izdelamo samopodoben promet v drugih programskih okoljih 

(Matlab) in jih nato vnesemo v programski paket OPNET.


6.3 Generator golih paketov 

Za modeliranje samopodobnega prometa uporabimo generator golih paketov (RPG). 

V knjižnici RPG imamo na voljo tri različne RPG postaje. Ethernet RPG postaja 

omogoča komuniciranje na fizičnem nivoju, Ethernet RPG delovna postaja omogoča 

komunikacijo na IP nivoju, prav tako kot ppp RPG delovna postaja s serijskim 

vmesnikom. Za posamezne postaje lahko določimo naslednje parametre, ki jih 


Slika 6.2: 

Nastavljivi atributi generatorja paketov. 

• Povprečna hitrost prihodov (Average Arrival Rate – AAR): Definira 

povprečno vrednost intenzivnosti prihodov skupnega prometa, ki je generiran 

kot skupek vseh izvorov paketov. Vpisana vrednost pomeni količino paketov 

na sekundo in skupaj s porazdelitvijo velikosti paketov vpliva na srednjo 

vrednost generiranega prometa. 

• Hurstov parameter (Hurst parameter): Predstavlja merilo samopodobnosti, ki 

ga določimo za proces števila prihodov paketov na časovno enoto. 

Karakterizira samopodobnost podatkovnega izvora. Ta parameter določa 

parameter oblike Paretove porazdelitve verjetnosti. 

• Časovna enota pojavljanja fraktalov (Fractal Onset Time Scale – FOTS): 

Predstavlja najmanjšo časovno enoto, znotraj katere se začnejo pojavljati 

fraktali. Skupaj s Hurstovim parametrom določa vrednost parametra lokacije 

Paretove porazdelitve. Vrednost časovne enote pojavljanja fraktalov (FOTS) 

v prometu Ethernet omrežja se nahaja med 100 ms in 1 sekundo. 

• Razmerje aktivnih izvorov (Source Activity Ratio – SAR): Definira odstotek 

časa, v katerem je vsaj eden od neodvisnih preklopnih on/off izvorov v 

aktivnem stanju. Vrednosti se nahajajo med 0 in 100. Ta parameter je težko 

določiti, zato veliko raziskovalcev priporoča izbiro vrednosti 75 %. 

• Razmerje med nivojem konic in srednjo vrednostjo (Peak to Mean Ratio – 

P2MR): Definira razmerje med vrednostmi konic prometa in srednjo


45 

vrednostjo omrežnega prometa. Vrednost tega parametra mora biti večja kot 

1. S tem parametrom prilagodimo želeno varianco skupnega prometa. 

• Velikost paketov (Packet Size): Velikost paketov definiramo s porazdelitvijo 

verjetnosti velikosti paketov v bitih. Skupaj s parametrom AAR definira 

povprečno vrednost generiranega prometa. Za generiranje paketov so 

pomembne le velikosti paketov med 26 B in 1480 B (46 B in 1500 B z IP 

zaglavjem). Paketi, manjši od 46 B, bodo avtomatsko spremenjeni na 

minimalno dolžino paketov, paketi, večji od maksimalne dolžine paketov 

1500 B, bodo fragmentirani v manjše pakete, katerim bodo dodana tudi 

pripadajoča IP zaglavja. 

• Začetni čas (Start Time): Čas začetka generiranja prometa. 

6.3.1 Fraktalni točkovni procesi 

Generiranje samopodobnega prometa z generatorji prometa temelji na fraktalnih 

točkovnih procesih (Fractal Point Processes – FPP), ki nam omogočajo modeliranje 

samopodobnega prometa v simulacijskem okolju OPNET [28]. 

Stacionarni proces v širšem pomenu X = {X n , n ∈ Z + } imenujemo asimptotično 

samopodoben proces drugega reda, če proces X nima neizrojene korelacijske 

strukture, kar pomeni, da agregiran proces originalnega procesa X preko veliko 

intervalov ne vpliva na korelacijsko strukturo. Označimo z dN(t) točkovni proces in z 

t 

N ( t) 

= ∫ dN( 

s) 

pripadajoči števni proces (število prihodov v času t). Definiramo 

o 

časovno zaporedje X = {X n , n ∈ Z + } kot 

[ nT ] − N[ ( n 1 ] 

X ( n) 

≡ N 

− ) 

(6.1) 

s 

T s 

število prihodov med n-tim intervalom trajanja T s . Tako točkovni proces dN(t) 

ponuja proces za konstruiranje X. Domnevamo, da je proces X stacionaren v širšem 

pomenu s povprečjem µ = E(X), varianco σ 2 = Var[X n ] in avtokorelacijsko funkcijo 

r(k,T s ) = Cov(X n , X n+k )/σ 2 . Označimo s F(T) indeks razpršenosti štetja, ki ga 

definiramo kot F(T) = Var[N(t)]/E[N(t)]. Oznaka S(f) predstavlja spektralno gostoto 

moči točkovnega procesa dN(t). 

Če je proces X asimptotično samopodoben proces drugega reda, potem kaže vsaj 

tri lastnosti naslednjih karakteristik preko širokega območja časovne ali frekvenčne 

skale: 

α 

( T) 

≈ a T (počasi padajoča varianca) (6.2) 

F 

1 

−(1−α 

) 

r( 

k, 

Ts ) ≈ a2k 

(dolgo območje odvisnosti) (6.3) 

−α 

S( f ) ≈ a3 

f (šum 1/f) (6.4) 

za vrednosti parametra 0 < α < 1 ter pozitivne konstante α i (i = 1, 2, 3, …). Konstanto 

α imenujemo fraktalni eksponent, ki je v relaciji s Hurstovim parametrom, in sicer 

α = 2H – 1. Če je proces X konstruiran iz modela FPP, potem je X asimptotično 

samopodoben proces drugega reda: 

α 

F( T ) = 1+ 

( T / T0 ) , T ≥ 0 

(6.5)


α + 1 α + 1 

α+ 

1 

[( k + 1) 

− 2k 

+ ( k −1) 

] , k = 1,2,3, K 

α 

TS 

1 

r( 

k, 

T ) = ⋅ 

(6.6) 

s α α 

T + T 2 

S 

0 

− α 

[ 1 + ( f / f ) ] , f 0 

S ( f ) = λ 

0 

> 

(6.7) 

kjer sta T 0 in f 0 pozitivni konstanti in λ=E[N(t)]/t povprečna intenzivnost. 

Razvitih je bilo več izvorov generiranja samopodobnega prometa, ki temeljijo na 

fraktalno točkovnih procesih. V simulacijskem okolju OPNET imamo vgrajenih več 

FPP modelov (slika 6.3) [27], [28]: 

Slika 6.3: 

Delitev fraktalno točkovnih procesov (FPP) na več podprocesov. 

Procese obnavljanja fraktalov sestavljata dve skupini, in sicer procesi obnavljanja 

fraktalov (Fractal Renewal Processes – FRP) in superpozicija procesov obnavljanja 

fraktalov (sup-FRP). Model Sup-FRP je konstruiran iz več M FRP procesov, ki jih 

bomo natančneje opisali v nadaljevanju. 

FMPP (Fractal Modulated Poisson Processes) sestavlja dve skupini procesov. 

Zelo pomemben in velikokrat uporabljen je model On-Off, ki temelji na M med seboj 

neodvisnih preklopnih (On/Off) procesih, ki lahko zavzamejo le dve stanji. 

Definiramo lahko tri različne oblike On/Off FMPP procesov glede na njihove 

porazdelitve (PowOn-PowOff, PowOn-ExpOff in ExpON-PowOn). Za posamezne 

postaje lahko določimo parametre, prikazane v tabeli 6.1 glede na izbran fraktalni 

točkovni proces. 

Tabela 6.1: 

Določanje parametrov glede na izbran fraktalni točkovni proces. 

Sup‐FRP 

PowOn ExpON PowOn 

F‐FSNDP F‐FSNDP 

H‐FSNDP 

PowOff PowOff ExpOff 

EF FF 

H X X X X X X X 

µ X X X X X X X 

FOTS X X X X X X X 

P2MR X X 

SAR X X X


47 

6.3.2 Proces obnavljanja fraktalov 

Superpozicija procesov obnavljanja fraktalov (Sub-FRP) je definirana kot 

superpozicija M neodvisnih verjetnostno identičnih procesov obnavljanja fraktalov. 

FRP je tok točkovnih procesov obnavljanja fraktalov, ki sestavljajo model sup-FRP z 

osnovnimi gostotami verjetnosti vmesnih prihodov p(τ). Uporabimo naslednjo 

gostoto verjetnosti: 

p 

⎧γA 

⎨ 

⎩ γe 

e 

−1 

−γt 

/ A 

( t) 

= 

−γ 

γ −( 

γ + ) 

A t 

0 ≤ t ≤ A⎫ 

1 ⎬ 

t ≥ A ⎭ 

(6.8) 

kjer je 1 < γ < 2. Proces FRP označujemo kot Sup-FRP proces, pri katerem je število 

izvorov obnavljanja fraktalov (M) enako 1. 

Slika 6.4: 

Proces Sup-FRP kot superpozicija M neodvisnih identičnih procesov obnavljanja 

fraktalov [28]. 

Sup FRP ima tri parametre, in sicer γ, A in M. γ je fraktalni eksponent, A je parameter 

rezanja in M je število izvorov. Te tri poglavitne parametre povežemo s parametri v 

OPNET-u, in sicer s Hurstovim parametrom, intenziteto prihodov λ in časovno enoto 

pojavljanja fraktalov T, na sledeči način: 

λ 

H = ( 3 − γ ) / 2 

(6.9) 

−1 

-γ 

-1 -1 

= Mγ[ 1 + ( γ −1) 

e ] A 

(6.10) 

-1 2 1 2 

T α − − 

2 e γ − 

= γ ( γ −1) (2 −γ)(3 − γ)[1 + ( γ − 1) e γ ] A 

α , (6.11) 

kjer je γ = 2 – β. Hurstov parameter H je v povezavi s parametrom β s predpisom 

β = 2H – 1. Modelu FRP v OPNET-u nastavljamo Hurstov parameter (H), povprečno 

intenziteto paketov na sekundo (λ) in parameter časovne enote pojavljanja fraktalov 

(FOTS) v sekundah. Privzeta vrednost FOTS v OPNET-u je 1 s.


6.4 IP postaja 

IP postaja za razliko od RPG generatorja ni namenska postaja za generiranje 

samopodobnega omrežnega prometa, vendar lahko s pravo izbiro verjetnostnih 

porazdelitev prav tako modeliramo samopodoben promet. IP postaja je enostavna 

postaja za simuliranje razmer v IP omrežjih. Omrežni promet lahko generiramo s 

pomočjo generatorja prometa. V tem primeru promet definiramo le z dvema 

porazdelitvama verjetnosti, in sicer: 

• čas med paketi: čas med paketi definiramo z izbiro porazdelitve verjetnosti 

ter določitvijo njenih parametrov. Vpisana vrednost parametrov za izbrano 

porazdelitev določa naključni čas med paketi, ki skupaj s porazdelitvijo 

velikosti paketov vpliva na srednjo vrednost modeliranega prometa. 

• velikost paketov: velikost paketov definiramo s porazdelitvijo verjetnosti 

velikosti paketov v bitih. Velikost paketov se nahaja med vrednostmi 26 B in 

1480 B (46 B in 1500 B z IP zaglavjem), kot v primeru RPG postaje. 

Slika 6.5: 

IP postaja z nastavljivimi atributi. 

Slika 6.5 prikazuje parametre, s katerimi modeliramo promet IP postaje. Porazdelitev 

verjetnosti velikosti paketov in porazdelitev verjetnosti časa med paketi določata 

povprečno vrednost generiranega prometa. 

6.5 Simulacije v OPNETu 

V simulacijskem okolju bomo skušali modelirati testne izmerjene signale (promet), 

ki bodo temeljili na izmerjenih parametrih. Modelirali bomo le testna signala 1 in 3. 

Testnega signala 2 ne bomo modelirali zaradi premalo zajetih paketov. S 

simulacijami v programskem paketu OPNET bomo pokazali vpliv velikosti 

Hurstovega parametra na pogostost izbruhov v prometu. Večji je Hurstov parameter, 

več izbruhov vsebuje promet.


49 

6.5.1 Vpliv parametra H na modelirani promet 

Z RPG postajo smo modelirali promet z različnimi velikostmi Hurstovega parametra. 

Parametre modeliranih prometov prikazuje tabela 6.2, promete v p/s in b/s z 

različnimi vrednostmi parametra H prikazujejo slike od 6.6 do 6.9. 

Tabela 6.2: Parametri modeliranih signalov. 

FPP Hurstov pov. FOTS velikost paketov 

parameter vred. p/s (s) 

signal 1 Sup‐FRP 0,6 100 1 Pareto (α = 1,2; k = 10) 




Slika 6.6: 

Samopodoben modeliran promet s parametrom H = 0,6 v paketih/s (levo) in v b/s 

(desno). 

Slika 6.7: 


(desno).


Slika 6.8: 


(desno). 

Slika 6.9: 


(desno). 

Slika 6.11: Primerjava prometa (p/s) z različnimi vrednostmi parametra H (levo) ter povprečna 

vrednost paketov na sekundo v odvisnosti od parametra H (desno) (scenarij 1: H = 0,6; 

scenarij 2: H = 0,7; scenarij 3: H = 0,8; scenarij 4: H = 0,9).


51 

Slika 6.12: 

Primerjava prometa z različnimi vrednostmi parametra H (levo) ter povprečna vrednost 

bitov na sekundo v odvisnosti od parametra H (desno) (scenarij 1: H = 0,6; scenarij 2: 

H = 0,7; scenarij 3: H = 0,8; scenarij 4: H = 0,9). 

Iz slik 6.11 in 6.12, ki prikazujejo primerjavo modeliranih prometov z različnimi 

Hurstovimi parametri, razberemo, da promet v p/s z večjo vrednostjo parametra H 

vsebuje več izbruhov. Vendar vrednost Hurstovega parametra ne vpliva bistveno na 

srednjo vrednost paketov na sekundo kot tudi ne na srednjo vrednost bitov na 

sekundo. 

6.5.2 Vpliv parametra časovne enote pojavljanja fraktalov na 

modeliran promet 

Časovno enoto pojavljanja fraktalov (Fractal Onset Time Scale – FOTS) smo opisali 

kot najmanjšo časovno enoto, v kateri se pojavljajo fraktali. Vrednost FOTS v 

prometu ethernet omrežja se nahaja med vrednostmi 100 ms in 1 s. V naslednjem 

poizkusu bomo videli, kako izbira velikosti parametra FOTS vpliva na modeliran 

promet. Izbrali smo tri različne vrednosti FOTS, in sicer 1 s, 10 s in 100 s. 

Slika 6.13: Modeliran promet s Hurstovim parametrom H = 0,6 in tremi različnimi vrednostmi 

parametra FOTS (scenarij 1: FOTS = 1; scenarij 2: FOTS = 10; scenarij 3: 

FOTS = 100).


Iz modeliranega prometa na sliki 6.13 ne vidimo izrazitega vpliva parametra 

FOTS na modeliran promet. Vpliv velikosti parametra FOTS razberemo v 

modeliranem prometu, če opazujemo njegovo povprečno vrednost v bitih na 

sekundo, kar prikazuje slika 6.14. V primeru velike vrednosti parametra FOTS 

srednja vrednost zelo odstopa od želene, vendar preide po določenem času v želeno 

stacionarno stanje, kjer je ta prehodni čas odvisen prav od velikosti parametra FOTS. 

Večji je ta parameter, več časa je potrebno, da doseže modeliran promet želeno 

stacionarno vrednost. 

Slika 6.14: Modeliran promet (srednja vrednost v bitih na sekundo) s Hurstovim parametrom H = 

0,6 in tremi različnimi parametri FOTS (scenarij 1: FOTS = 1; scenarij 2: FOTS = 10; 

scenarij 3: FOTS = 100). 

6.5.3 Modeliranje testnega signala 1 

S pomočjo ocenjevanja Hurstovih parametrov ter določanja porazdelitve verjetnosti 

in njenih parametrov smo določili vse potrebne parametre za modeliranje 

izmerjenega testnega signala 1, ki jih prikazuje tabela 6.3. Testni signal 1 smo 

modelirali na šest različnih načinov ter med seboj primerjali rezultate. Iz modeliranih 

prometov (signalov) smo nato izbrali promet, ki je najboljši približek izmerjenega 

prometa. Najprej smo modelirali dva prometa s pomočjo RPG postaje (Hurstov 

parameter za proces prihodov paketov ter Paretovo in eksponentno porazdelitev za 

velikosti paketov). Naslednje štiri modelirane promete smo modelirali s pomočjo IP 

postaje. V tretjem in četrtem scenariju smo za modeliranje uporabili Weibullovo in 

eksponentno porazdelitev verjetnosti za časa med paketi in eksponentno porazdelitev 

za velikost paketov. Pri zadnjih dveh scenarijih smo za velikost paketov uporabili 

Paretovo porazdelitev, za čas med paketi pa Weibullovo in eksponentno verjetnostno 

porazdelitev. Slika 6.15 kaže izbiro porazdelitve verjetnosti za velikost paketov 

testnega signala 1. V primeru izbire porazdelitve verjetnosti za proces časa med 

paketi za najprimernejšo počasi pojemajoče verjetnostne porazdelitve izberemo 

Weibullovo namesto Paretovo verjetnostno porazdelitev ter za primerjavo še 

eksponentno porazdelitev (slika 6.16).


53 

Slika 6.15: Izbira Paretove (zelena krivulja) in eksponentne porazdelitve (modra krivulja) za 

velikost paketov. Primerjava gostote verjetnosti (levo – zgoraj), kumulativne 

porazdelitvene funkcije (desno – zgoraj), razlike med teoretičnima in empiričnima 

porazdelitvama v P-P grafu (levo – spodaj) in verjetnostne diference med teoretičnima 

in numeričnima porazdelitvama (desno – spodaj). 

Parametre modeliranih prometov ter izmerjenega prometa s pripadajočimi srednjimi 

vrednostmi prikazuje tabela 6.3. 

Tabela 6.3: Parametri izmerjenega testnega signala 1 in modeliranih testnih signalov. 

izmerjen 

signal 

modeliran 

signal 1 

modeliran 

signal 2 

modeliran 

signal 3 

modeliran 

signal 4 

modeliran 

signal 5 

modeliran 

signal 6 


sig.(s) 

čas med paketi 

(parametri) 

velikost paketov 

(parametri) 

pov. vred. 

(p/s) 

pov. vred. (b/s) 

241,5 X X 35,612 114517,6 

241,5 H = 0,55 

241,5 H = 0,55 

241,5 

241,5 

241,5 

241,5 

eksponentna 

λ = 0,029 

Weibull α = 0,57 

β = 0,01894 


β = 0,01894 

eksponentna 

λ = 0,029 

Pareto α = 0,8373 

β = 272 

eksponentna 

λ = 3619,9 

eksponentna 

λ = 452,48 

eksponentna 

λ = 452,48 

Pareto α = 0,8373 

β = 34 

Pareto α = 0,8373 

β = 34 

49,46 231987,7 

36,71 140725,6 

35,66 135897,6 

33,05 126793,2 

52,27 298250,2 

55,12 315619,5


Slika 6.16: Izbira Weibullove (zelena krivulja) in eksponentne porazdelitve (modra krivulja). 

Primerjava gostote verjetnosti (levo – zgoraj), kumulativne porazdelitvene funkcije 

(desno – zgoraj), razlike med teoretičnima in empiričnima porazdelitvama v P-P grafu 

(levo – spodaj) in verjetnostne diference med teoretičnima in numeričnima 

porazdelitvama (desno – spodaj). 

Slika 6.17: Signali modelirani z RPG in IP postajo ter različno kombinacijo verjetnostnih 

porazdelitev (p/s).


55 

Slika 6.18: 

Povprečna vrednost signalov modeliranih z RPG in IP postajo ter različno kombinacijo 

verjetnostnih porazdelitev (p/s). 

Slika 6.19: Signali modeliranih z RPG in IP postajo ter različno kombinacijo verjetnostnih 

porazdelitev (b/s). 

Slika 6.20: 


verjetnostnih porazdelitev (b/s).


Iz slik od 6.17 do 6.20 vidimo, da lahko promet modeliramo z različnimi načini 

modeliranja procesa prihodov paketov, in sicer s pomočjo Hurstovega parametra 

(RPG postaja) in s pomočjo verjetnostnih porazdelitev. Vseh šest modeliranih 

prometov se razlikuje tako po srednji vrednosti v paketih na sekundo kot v bitih na 

sekundo, razlikujejo pa se tudi po sami obliki. Predvsem odstopajo primeri, v katerih 

smo za proces velikost paketov izbrali Paretovo porazdelitev verjetnosti za velikost 

paketov, katera povzroči pojavljanje konic v modeliranem prometu (scenariji 1, 5, 6). 

Torej se izkaže Paretova porazdelitev primerna za modeliranje prometa, v katerem 

nastopajo konice, ki spremenijo delovanje in obnašanje omrežja. Testni signal, ki 

smo ga želeli modelirati, ne vsebuje konic ne v bitih na sekundo kot tudi ne v paketih 

na sekundo. Tako lahko iz rezultatov vidimo, da Paretova porazdelitev ni primerna 

za modeliranje prometa, ki ne vsebuje konic, katere zelo odstopajo od njegove 

srednje vrednosti. 

6.5.4 Modeliranje testnega signala 3 

Modeliranje testnega signala 3 smo izvedli na enak način, kot smo to izvedli v 

primeru testnega signala 1. Slika 6.21 prikazuje izbiro porazdelitev za velikost 

paketov, slika 6.22 pa prikazuje izbiro porazdelitve za čas med paketi. V tabeli 6.4 so 

zbrani parametri modeliranih signalov. 

Slika 6.21: Izbira Paretove (zelena krivulja) in eksponentne porazdelitve (modra krivulja). 




porazdelitvama (desno – spodaj).


57 

Slika 6.22: Izbira Weibullove (zelena krivulja) in eksponentne porazdelitve (modra krivulja). 




porazdelitvama (desno – spodaj). 

Tabela 6.4: 

izmerjen 

signal 1 

modeliran 

signal 1 

modeliran 

signal 2 

modeliran 

signal 3 

modeliran 

signal 4 

modeliran 

signal 5 

modeliran 

signal 6 

Parametri izmerjenega testnega signala 3 in modeliranih testnih signalov. 


sig.(s) 

čas med paketi 

(parametri) 

velikost paketov 

(parametri) 

pov. vred. 

(p/s) 

pov. vred. (b/s) 

240 X X 24 108909,2 

240 H = 0,732 

240 H = 0,732 

240 

240 

240 

240 

eksponentna 

λ = 0,0458 


β = 0,00578 


β = 0,00578 

eksponentna 

λ = 0,0458 

Pareto α = 0,9835 

β = 432 

eksponentna 

λ = 7547,2 

eksponentna 

λ = 933,4 

eksponentna 

λ = 933,4 

Pareto α = 0,9835 

β = 34 

Pareto α = 0,9835 

β = 34 

28,92 91563,3 

39,94 254523,5 

49,00 311669,6 

48,67 309527,2 

43,85 132694,1 

45,97 145885,2



porazdelitev (p/s). 

Slika 6.24: 


verjetnostnih porazdelitev (p/s). 


porazdelitev (b/s).


59 

Slika 6.26: 


verjetnostnih porazdelitev (b/s). 

Slike od 6.23 do 6.26 prikazujejo modelirane signale ter pripadajoče srednje 

vrednosti v p/s in b/s. Izmerjeni testni signal 3 vsebuje v svojem poteku posamezne 

konice. Kar je bilo v prvem primeru nezaželeno, postane v tem primeru zelo 

zaželeno. V veljavo stopijo počasi pojemajoče porazdelitve (Pareto), ki nam v 

modeliran promet vnesejo konice, ki jih vsebuje izmerjen promet. Tako so primeri 

(scenariji 3, 4, 5), kjer za modeliranje velikosti paketov uporabljamo eksponentno 

porazdelitev, neprimerni za modeliranje testnega signala 3, saj modeliran promet ne 

vsebuje konic. Odstopanje se pojavi tudi med srednjo vrednostjo izmerjenega in 

modeliranega prometa. 

6.5.5 Primerjava izmerjenih in modeliranih signalov 

Na podlagi rezultatov, pridobljenih s simulacijo, bomo izbrali model prometa, ki je 

najboljši približek izmerjenega prometa. Za testni signal 1 smo ocenili Hurstov 

parameter ter na podlagi ocenjene vrednosti (H > 0,5) klasificirali promet kot 

samopodoben. Prometu pa ne moremo pripisati lastnosti dolgega območja odvisnosti, 

saj njegova avtokorelacijska funkcija ne pada hiperbolično in ima končno vsoto. 

Izmed modeliranih signalov smo za signal, ki najbolje opisuje ali je najboljši 

približek izmerjenega signala, izbrali modeliran signal 4, katerega čas med paketi 

smo opisali z Weibullovo počasi pojemajočo porazdelitvijo in velikost paketov z 

eksponentno porazdelitvijo verjetnosti. 

p/s 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1 

11 

21 

31 

41 

51 

61 

71 

81 

91 

101 

111 

121 

131 

141 

151 

161 

171 

181 

191 

201 

211 

221 

231 

čas (s) 

izmerjen promet 


Slika 6.27: 

Primerjava izmerjenega in modeliranega signala (p/s).


b/s 

300000 

250000 

200000 

150000 

100000 

50000 

0 

1 

11 

21 

31 

41 

51 

61 

71 

81 

91 

101 

111 

121 

131 

141 

151 

161 

171 

181 

191 

201 

211 

221 

231 

čas (s) 



Slika 6.28: 

Primerjava izmerjenega in modeliranega signala (b/s). 

Sliki 6.27 in 6.28 prikazujeta primerjavo med izmerjenim testnim signalom 1 in 

modeliranim prometov v p/s in b/s. Dodatno primerjavo izmerjenega in modeliranega 

signala smo izvedli s pomočjo določanja porazdelitve verjetnosti paketov in bitov na 

časovno enoto, ki je v našem primeru 1 s. Za izmerjeni in modelirani promet, ki smo 

ga nato izmerili, smo izračunali število paketov in število bitov na 1 s. 

Slika 6.29: 

Primerjava porazdelitve paketov na sekundo izmerjenega in modeliranega prometa. Na 

desni strani modeliran signal (normalna porazdelitev µ = 33,054, σ 2 = 11,352) in na levi 

izmerjen signal (normalna porazdelitev µ = 35,639, σ 2 = 9,8106). 

Slika 6.30: Primerjava porazdelitve bitov na sekundo izmerjenega in modeliranega prometa. Na 

desni strani modeliran signal (normalna porazdelitev µ = 136680, σ 2 = 29288) in na levi 

izmerjen signal (normalna porazdelitev µ = 1145800, σ 2 = 22177).


61 

Iz slik 6.29 in 6.30 vidimo, da imata signala enako porazdelitev s podobnimi 

parametri, ki med seboj odstopajo. Odstopanje parametrov je posledica statističnih 

opisov naključnih procesov in napake pri izbiri verjetnostnih statistik ter ocenitve 

njihovih parametrov. Vendar rezultati pokažejo, da je modeliran signal dober 

približek izmerjenega signala. 

Izmed modeliranih signalov v drugem poizkusu smo za signal, ki je najboljši 

približek izmerjenega testnega signala 3, izbrali modeliran signal 5. Temu signalu 

smo čas med paketi določili z Weibullovo verjetnostno porazdelitvijo, velikost 

paketov pa s Paretovo porazdelitvijo verjetnosti. Sliki 6.31 in 6.32 prikazujeta 

primerjavo med izmerjenim testnim ignalom 3 in modeliranim prometov v p/s in b/s. 

600 

500 

400 

p/s 

300 

200 

100 

0 

1 

11 

21 

31 

41 

51 

61 

71 

81 

91 

101 

111 

121 

131 

141 

151 

161 

171 

181 

191 

201 

211 

221 

231 

čas (s) 



Slika 6.31: 

Primerjava izmerjenega in modeliranega signala (p/s). 

b/s 

4000000 

3500000 

3000000 

2500000 

2000000 

1500000 

1000000 

500000 

0 

1 

12 

23 

34 

45 

56 

67 

78 

89 

100 

111 

122 

133 

144 

155 

166 

177 

188 

199 

210 

221 

232 


čas (s) 


Slika 6.32: 

Primerjava izmerjenega in modeliranega signala (b/s).


Slika 6.33: 

Primerjava porazdelitve paketov na sekundo izmerjenega in modeliranega prometa. Na 

desni strani modeliran signal (Weibullova porazdelitev α = 1,5901, β = 32,656) in na 

levi izmerjen signal (normalna porazdelitev α = 1,0176, β = 15,175). 

Slika 6.34: Primerjava porazdelitve bitov na sekundo izmerjenega in modeliranega prometa. Na 

desni strani modeliran signal (Weibullova porazdelitev α = 0,845, β = 79548) in na levi 

izmerjen signal (normalna porazdelitev α = 0,59473, β = 17190). 

Primerjavo modeliranega in izmerjenega testnega signala 3 smo izvedli na enak 

način kot za testni signal 1. Prav tako smo izmerjenemu in modeliranemu signalu 

določili porazdelitev velikosti paketov in časa med paketi, in sicer v bitih in paketih 

na sekundo (slika 6.33 in 6.34). Tako za število bitov kot za število paketov na 

sekundo smo izbrali počasi pojemajočo verjetnostno porazdelitev, in sicer 

Weibullovo porazdelitev. Testni signal 3 smo modelirali s pomočjo porazdelitev 

Pareto, saj le-ti vnašajo v modeliran promet konice, ki jih vsebuje izmerjen promet. 

Primerjava porazdelitev verjetnosti je zelo težavna, saj se parametri med seboj 

razlikujejo. Veliko bolje je opazovati le histograme izmerjenih in modeliranih 

signalov. Vendar ob primerjavi srednje vrednosti opazimo, da v primerjavi paketov 

na sekundo modeliran signal nekoliko odstopa od srednje vrednosti paketov na 

sekundo izmerjenega signala. Ta razlika je veliko manjša kot v primeru bitov na 

sekundo.

VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST OMREŽJA 

63 

7. VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST 

OMREŽJA 

Zmogljivost omrežja je odvisna od omrežnih naprav in omrežnega prometa. Ta lahko 

vsebuje veliko izbruhov, ki vplivajo na čakalne vrste in pomnilnik, kar vpliva na 

zakasnitve in storitve v omrežju. Izbruhi v podatkovnem prometu lahko vplivajo na 

zakasnitve čakalnih vrst in na izgube paketov v primeru napolnitve pomnilnika. 

Izgube paketov v primeru napolnitve pomnilnika sicer lahko zmanjšamo s 

povečanjem pomnilnika, kar pa poveča zakasnitev v čakalnih vrstah. Pomnilniki v 

omrežnih napravah absorbirajo podatkovne izbruhe in pri tem vplivajo na kakovost 

storitev (QoS), ki so občutljive na zakasnitve. Spreminjanje zakasnitev ali tudi 

drhtenje signala je največkrat interpretirana kot razlika v zakasnitvi od konca do 

konca dveh paketov v istem podatkovnem toku. S povečanjem velikosti pomnilnikov 

se povečuje tudi drhtenje, a s tem istočasno zmanjšamo možnost izgub posameznih 

paketov. 

Primer: 

V OPNET-u smo sestavili testno omrežje, s katerim bomo skušali pokazati vpliv 

modeliranega prometa na razmere v omrežju. Modelirali bomo samopodoben promet 

tako z eksponentno kot Paretovo porazdelitvijo. Topologijo testnega omrežja 

prikazuje slika 7.1. Postaji (selfsimilar_tx in exsponential_tx), s katerima bomo 

generirali promet, smo povezali na zvezdišče (hub_tx), tega pa nato na stikalo 

(switch_tx). Ti postaji generiran promet pošiljata sprejemnima postajama, ki sta 

povezani prav tako na zvezdišče (hub_rx) in stikalo (switch_rx), in sicer postaja 

selfsimilar_tx pošilja pakete postaji selfsimilar_rx, postaja exponential_tx pa postaji 

exponential_rx. Med stikaloma imamo povezavo 10 Mb/s, ostale povezave so pa 1 

Gb/s. 

Slika 7.1: 

Testno omrežje v simulacijskem okolju OPNET.

64 VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST OMREŽJA 

S postajo selfsimilar_tx in exponential_tx smo modelirali promet enake srednje 

vrednosti, in sicer okoli 110 kb/s. Samopodoben promet z lastnostjo dolgega 

območja odvisnosti smo modelirali s pomočjo Paretove porazdelitve verjetnosti za 

velikost paketov (α = 1,0689; β = 42) in Weilbullove porazdelitve verjetnosti za čas 

med paketi (α = 0,685; β = 0,01989). S porazdelitvama smo dosegli srednjo vrednost 

prometa 109,33 kb/s. S postajo exponential_tx smo modelirali samopodoben promet 

z lastnostjo kratke odvisnosti s srednjo vrednostjo 112,04 kb/s, in sicer z 

eksponentno porazdelitvijo za velikost paketov (λ = 350) in čas med paketi (λ = 

0,025). Promet, generiran s postajama selfsimilar_tx in exponential_tx, prikazuje 

slika 7.2. 

Slika 7.2: 

Prometa modelirana s postajama selfsimilar_tx in exponential_tx. 

Modelirana prometa imata približno enako srednjo vrednost, vendar imata zelo 

različno obliko, saj promet, modeliran s Paretovo porazdelitvijo verjetnosti, za 

velikosti paketov vsebuje konice (dolgo območje odvisnosti), ki jih lahko vidimo na 

sliki 7.2. Zanima nas, kako te konice vplivajo na zakasnitve v omrežju ter na 

pomnilnike v omrežnih napravah. Konice lahko povzročijo napolnitve pomnilnikov 

in s tem izgubo podatkov. Modeliran promete z eksponentno porazdelitvijo (kratko 

območje odvisnosti) je za razliko od prometa, modeliranega s Paretovo 

porazdelitvijo, bolj konstantne narave, saj ima manjšo varianco in ne vsebuje konic, 

ki bi zelo odstopale od srednje vrednosti modeliranega prometa. 

Skupno zakasnitev prometa, sprejetega na postajah selfsimilar_rx in 

exponential_rx, prikazuje slika 7.3.

VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST OMREŽJA 

65 

Slika 7.3: 

Zakasnitve na sprejemni strani na postaji selfsimilar_rx in exponential_rx. 

Slika 7.3 prikazuje zakasnitve prometa na postaji exponential_rx in selfsimilar_rx. Iz 

zakasnitev v omrežju vidimo, da primer samopodobnega prometa z dolgim 

območjem odvisnosti vpliva na zakasnitve v večji meri kot samopodoben promet s 

kratkim območjem odvisnosti. Konice v prometu vplivajo na zakasnitve v omrežju 

brez ozkih grl, kjer imamo na voljo dovolj veliko pasovno širino (min = 10Mb/s). 

Vendar se te zakasnitve pojavijo že na oddajni strani, in sicer zaradi zakasnitve 

čakalnih vrst. Zakasnitev čakalnih vrst je čas, ki je potreben za procesiranje paketov 

v omrežnih napravah, npr. v stikalu. Če je hitrost prihoda paketov v omrežno 

napravo večja kot ima omrežna naprava sposobnost oddajanja, jih omrežna naprava 

shrani v pomnilnik čakalne vrste, dokler jih ne odda. To se zgodi v primerih, ko ima 

promet veliko izbruhov. 

Zakasnitev čakalnih vrst je proporcionalna velikosti pomnilnika. Daljša je 

čakalna vrsta, daljše so zakasnitve paketov. Z zmanjšanjem velikosti pomnilnika 

dosežemo zmanjšanje čakalnih vrst, a se v tem primeru poveča verjetnost pojava, ki 

ga imenujemo napolnitev pomnilnika. Pakete, ki jih omrežna naprava ni sposobna 

shraniti, zato zavrže. Slika 7.4 prikazuje zakasnitve čakalnih vrst na postajah 

selfsimilar_tx in exponential_tx, s katerima smo generirali vhodna prometa. 

Iz primerjave skupne zakasnitve v testnem omrežju in zakasnitve čakalnih vrst 

vhodnih postaj lahko rečemo, da je prav zakasnitev čakalnih vrst tista, ki vpliva na 

celotno zakasnitev. Pri tem je zakasnitev v primeru samopodobnega prometa s 

kratkim območjem odvisnosti zanemarljivo majhna, kar je v nasprotju z zakasnitvijo 

prometa z dolgim območjem odvisnosti, modeliranim s pomočjo Paretove 

porazdelitve. Prav izbruhi so poglavitni vzrok za pojav zakasnitev v testnem 

omrežju.

66 VPLIV SAMOPODOBNEGA PROMETA NA ZMOGLJIVOST OMREŽJA 

Slika 7.4: 

Zakasnitev čakalnih vrst na oddajnih postajah.

ZAKLJUČEK 

67 

8. ZAKLJUČEK 

Cilj magistrske naloge je bilo modeliranje izmerjenega prometa v simulacijskem 

okolju OPNET, ki smo ga klasificirali ter mu določili parametre s pomočjo 

opravljene analize. Posvetili smo se predvsem modeliranju samopodobnega prometa, 

ki je postal v današnjem času osnovni model opisa omrežnega prometa. S pomočjo 

vohljača smo izmerili veliko vzorčnih signalov, ki smo jih skušali matematično 

oceniti in modelirati. Že iz samih meritev omrežnega prometa smo ugotovili, da 

lahko večino izmerjenih signalov prometa označimo kot samopodobni promet. Izmed 

vseh izmerjenih primerov omrežnega prometa smo za analizo in modeliranje 

uporabili le tri različne testne signale. Ti so vsebovali različne lastnosti in so bili 

primerni za prikaz različnih pristopov k modeliranju. V teoriji [6], [12], [15], [30] je 

lastnost dolgega ali kratkega območja odvisnosti predpisana z velikostjo Hurstovega 

parametra. In sicer v primeru Hurstovega parametra, manjšega od 0,5, proces vsebuje 

lastnost kratkega območja odvisnosti. V primeru Hurstovega parametra, večjega od 

0,5 in manjšega od 1, proces vsebuje lastnost dolgega območja odvisnosti. Z 

opravljenimi analizami omrežnega prometa smo pokazali, da se lahko pojavi primer 

(testni signal 1), ki ga označimo kot samopodoben promet (H > 0,5), vendar ne 

vsebuje lastnosti dolgega območja odvisnosti. S tem lahko postavimo kriterij 

Hurstovega parametra kot zadosten pogoj za določitev kratkega ali dolgega območja 

odvisnosti pod vprašaj. Lastnost dolgega in kratkega območja odvisnosti smo 

določili s pomočjo poteka avtokorelacijske funkcije in v primeru ugotovljene 

lastnosti dolgega območja odvisnosti to lastnost potrdili z metodo »bucket 

shuffling«, kot smo to opravili v primeru tretjega testnega signala. 

Za modeliranje na osnovi ocenjenih parametrov smo v OPNET-u skušali 

modelirati izmerjen promet. Zaradi premajhnega števila zajetih paketov ter s tem 

vprašljive pravilne ocene parametrov v primeru testnega signala 2, žal tega nismo 

modelirali v simulacijskem okolju OPNET. Ker je testni signal posledica posameznih 

transakcij v omrežju, bi bilo za modeliranje takšne vrste prometa veliko primerneje 

uporabiti postajo, pri kateri lahko z verjetnostno porazdelitvijo določimo aktivnost 

delovanja, s katero bi opisali čas med posameznimi transakcijami. Modeliranje 

izmerjenih testnih signalov 1 in 3 smo izvedli na dva načina, s pomočjo postaj iz 

knjižnice simulacijskega orodja OPNET, in sicer z RPG postajo in IP postajo. Za 

vsak testni signal smo izdelali šest različnih scenarijev (simulacij), pri katerih smo 

uporabili različne načine modeliranja procesa prihoda paketov (Hurstov parameter in 

porazdelitve verjetnosti) ter porazdelitve verjetnosti za velikost paketov. Uporabili 

smo različne kombinacije porazdelitev verjetnosti, tako počasi pojemajoče 

porazdelitve (Paretova in Weibullova) kot tudi že 'odpisano' eksponentno 

porazdelitev. Iz simulacij smo videli, da je v primeru testnega signala 1 

(samopodoben promet s kratkim območjem odvisnosti) za modeliranje primerno in 

pomembno izbrati eksponentno porazdelitev za velikost paketov, saj nam ne vnaša 

nezaželenih konic v modeliran promet. V primeru uporabe počasi pojemajoče 

porazdelitve pri opisu velikosti paketov se pojavijo v modeliranem prometu zraven 

nezaželenih konic velika odstopanja srednje vrednosti med izmerjenim in 

modeliranim prometov. V primeru testnega signala 3 (samopodoben promet in dolgo

68 ZAKLJUČEK 

območje odvisnosti) si želimo v modeliranem prometu prav konice, ki jih dosežemo 

z uporabo počasi pojemajočih verjetnostnih porazdelitev za opis velikosti paketov. 

Tako je v primeru samopodobnega prometa z lastnostjo dolgega območja odvisnosti 

pomembna izbira počasi pojemajočih porazdelitev. Za opis časa med paketi se v 

obeh primerih izkažejo počasi pojemajoče porazdelitve (Weibullova) primernejše kot 

eksponente. 

Med izmerjenimi in modeliranimi signali (prometi) se pojavljajo odstopanja tako 

v smislu srednje vrednosti, pojavljanja konic in variance. Z metodo, ki smo jo razvili 

sami, smo dosegli dober približek modeliranega in izmerjenega prometa. Vsekakor 

pa ne moremo trditi, da je to optimalna metoda za ocenjevanje potrebnih parametrov 

izmerjenega prometa, pri kateri izhajamo iz podatkov o velikosti paketov v omrežju 

in ne o velikosti o prenesenih datotekah znotraj omrežja. Predvsem je težko pravilno 

oceniti parameter oblike počasi pojemajočih porazdelitev, saj že majhna napaka pri 

ocenitvi tega parametra povzroči veliko odstopanje v smislu srednje vrednosti 

skupnega prometa. Vendar se je razvita metoda pokazala kot dobra osnova za 

nadaljnje raziskovanje. 

V zadnjem delu magistrske naloge smo opisali vpliv samopodobnega prometa na 

zmogljivosti omrežja. S tem smo pokazali, da je pomembno poznavanje omrežnega 

prometa, prav tako pa tudi znanje modeliranja izmerjenega prometa v simulacijskih 

orodjih. Prikazali smo različen vpliv samopodobnega prometa s kratkim in dolgim 

območjem odvisnosti na zmogljivost omrežja. Modeliranje prometa in proučevanje 

vpliva na zmogljivost omrežja v poglavju 7 je bilo izvedeno na osnovi pridobljenega 

znanja skozi celotno raziskovalno delo.

LITERATURA 

69 

LITERATURA 

[1] D. Hercog, Simulacija zmogljivosti telekomunikacijskih protokolov, specificiranih v 

jeziku SDL, Elektrotehniški vestnik 68(1): 13–19, Ljubljana, 2001. 

[2] I. Humar in J. Bešter, Modeliranje, simulacije ter simulacijsko okolje COMNET III, 

predstavitev 2003/2004, 

http://lt.fe.uni-lj.si/gradiva/NMVTKO/nmvtko_simulacije_comnet.pdf. 

[3] W. E. Leland, M. S. Taqqu, W. Willinger in D. V. Wilson, On the self-similar nature 

of Ethernet traffic (Extended version), IEEE/ACM Transactions on Networking, 

Vol.2, pp.1–15, 1994. 

[4] W. Willinger in V. Paxson, Where mathematics meets the Internet, Notices of the 

American Mathematical Society 45(8): 961–970, 1998. 

[5] V. Paxon in S. Floyd, Wide area traffic: the failure of Poisson modeling, IEEE/ACM 

Transactions on Networking, 3(3): 226–244, 1995. 

[6] K. Park in W. Willinger, Self-Similar Network Traffic and Performance Evaluation, 

John Wiley & Sons, 2000. 

[7] K. Park, G. Kim in M. E. Crovella, On the Relationship Between File Sizes Transport 

Protocols, and Self-Similar Network Traffic, International Conference on Network 

Protocols, 171–180, 1996. 

[8] W. Willinger, M. S. Taqqu, R. Sherman in D. V. Wilson, Self-similarity through highvariability: 

statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level, IEEE/ACM 

Transactions on Networking, 5(1): 71–86, 1997. 

[9] M. E. Crovella in A. Bestavros, Self-Similarity in World Wide Web Traffic Evidence 

and Possible Causes, IEEE/ACM Transactions on Networking, 1997. 

[10] O. Rose, Estimation of the Hurst Parameter of Long Range Dependent Time Series, 

Research Report, 1996. 

[11] F. Xue in S. J. Ben You, The effect of aggregation on self-similar traffic, Department 

of Electrical and computing engineering, University of California. 

[12] T. Karagiannis, M. Molle in M. Faloutos, Understanding the limitations of estimation 

methods for long-range dependence, University of California. 

[13] T. Karagiannis in M. Faloutos, Selfis: A tool for self-similarity and long range 

dependence analysis, University of California. 

[14] P. Sagger, Does Circuit Emulation in Metropolitan Gigabit Ethernets require Service 

Priority, Post Diploma Thesis NA-2005-02, Swiss Federal Institute of Technology, 

Zurich 2005. 

[15] H. Yõlmaz, IP over DVB: Management of self-similarity, Master of Science, Boğaziçi 

University, 2002. 

[16] M. Z. Jiang, Analysis of wireless data network traffic, Master of Applied Science, 

Simon Fraser University, Vancouver, Canada, 2000. 

[17] C. Groth, Modellierung und Simulation von Ethernet-Netzwerkverkehr, Master of 

Science, Universität Rostock, 2004. 

[18] B. Vujičić, Modeling and Characterization of Traffic in Public Safety Wireless 

Networks, Master of Applied science, Simon Fraser University, Vancouver, 2006. 

[19] E. Casilari, F. J. Gonzalez in F. Sandoval, Modeling of HTTP traffic, IEEE 

Communication Letters 5(6): 272–274, 2001.

70 LITERATURA 

[20] J. Beran, R. Sherman, M. S. Taqqu, in W. Willinger, Long-range dependence in 

variable bit rate video traffic, IEEE Transactions on Communications, vol. 43, 

1566–1579, 1995. 

[21] Q. Shao, Measurement and Analysis of Traffic in a Hybrid Satellite-Terrestrial 

Network, Master of Applied science, Simon Fraser University Vancouver Canada, 

2004. 

[22] Jin-Yuan Chen, Self-Similarity of A Reverse-Filter Traffic Generator, Master of 

Science, China, 2003. 

[23] Q. Shao, Measurement and Analysis of Traffic in a Hybrid Satellite-Terrestrial 

Network, Master of Applied science, Simon Fraser University, Vancouver, 2004. 

[24] J. Potemans, B. Van den Broeck, Y. Guan, J. Theunis, E. Van Lil in A. Van de 

Capelle, Implementation of an Advanced Traffic Model in OPNET Modeler, 

OPNETWORK 2003, Washington D.C., USA, 2003. 

[25] P. Leys, J. Potemans, B. Van den Broeck, J. Theunis, E. Van Lil in A. Van de Capelle, 

Use of the Raw Packet Generator in OPNET, OPNETWORK 2002, Washington D.C., 

USA, 2002. 

[26] M. Jiang, S. Hardy in Lj. Trajkovic, Simulating CDPD networks using OPNET, 

OPNETWORK 2000, Washington D.C., August 2000. 

[27] B. Ryu in S. Lowen, Fractal Traffic Model for Internet Simulation, Proceedings of the 

Fifth IEEE Symposium on Computers and Communications (ISCC 2000). 

[28] B. K. Ryu in M. Nandikesan, Real Time Generation of Fractal ATM Traffic: Model, 

Algorithm, and Implementation, Department of Electrical Engineering and Center for 

Telecommunications Research, New York, 1996. 

[29] Z. Sahinoglu in S. Tekinay, On Multimedia Networks: Self-Similar Traffic and 

Network Performance, New Jersey Institute of Technology, IEEE Communications 

Magazine, 1999. 

[30] R. Ritke, X. Hong in M. Gerla, Contradictory Relationship between Hurst parameter 

and Queueing Performance (extended version), Telecommunication Systems, Vol 16 

(1, 2): pp. 159–175, 2001. 

[31] A. Orebaugh, G. Ramirez in J. Beale, Wireshark & Ethereal Network Protocol 

Analyzer Toolkit, Syngress Publishing, Inc., 2007. 

[32] Free wireshark packet sniffer software [Online]. Available: http://www.wireshark.org/ 

[33] G. Fiche in G. Hebuterne, Communicating Systems & Networks: Traffic & 

Performance, Kogan Page Limited, 2004. 

[34] A. Adas, Traffic Models in Broadband Telecommunication Networks, 

Communications Magazine, IEEE , vol 35/7, 82–89, 1997. 

[35] M. Gospodinov in E. Gospodinova, The graphical methods for estimating Hurst 

parameter of self-similar network traffic, International conference on computing 

systems and tehnology – CompSysTech' 2005. 

[36] http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution. 

[37] http://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution. 

[38] http://en.wikipedia.org/wiki/Weibull_distribution. 

[39] C. Williamson, Network Traffic Self-Similarity, Department of Computer Science, 

University of Saskatchewan. 

[40] Averill M. Law in Michael G. McComas, How the Expertfit distribution fitting 

software can make simulation models more valid, Proceedings of the 2001 Winter 

Simulation Conference. 

[41] Free (demo) fitting tool EasyFit software [Online]. Available: www.mathwave.com/. 

[42] S. Luo, G. A. Marin, Realistic internet traffic simulation through mixture modeling 

and a case study, Proceedings of the 37th conference on Winter simulation, 2005. 

[43] K. M. Rezaul in V. Grout, A Comparison of Methods for Estimating the Tail Index of 

Heavy-tailed Internet Traffic, Centre for Applied Internet Research, University of 

Wales. 

[44] H. Abrahamsson, Traffic measurement and analysis, Swedish Institute of Computer 

Science, SICS Technical Report, 1999.

LITERATURA 

71 

[45] G. Fiche in G. Hebuterne, Communicating Systems & Networks: Traffic & 

Performance, Kogan Page Limited, 2004. 

[46] R. Jamnik, Verjetnostni račun in statistika, DZS, Ljubljana, 1987.

72 DODATEK A 

DODATEK A 

Verjetnost in statistika 

Naključne spremenljivke in porazdelitve verjetnosti 

Naključna spremenljivka je lahko predstavljena kot preprosto numerično 

ovrednotenje naključnega dogodka. Naključna spremenljivka X(s) je preslikava 

elementov iz vzorčnega prostora S na realno os. Definicijsko območje naključne 

spremenljivke X(s) je celotni vzorčni prostor S. Naključne spremenljivke so lahko 

zvezne (vzorčni prostor S je podmnožica realne osi) ali diskretne (vzorčni prostor so 

določena števila, lahko tudi neskončna množica) [46]. 

Diskretna naključna spremenljivka X z zalogo vrednosti S x = {x 1 , x 2 , …, x n } ima 

pri poizkusu izmerjeno vrednost x i , kar označimo z A i ={X=x i }. Temu dogodku 

pripada verjetnost 

p( x) = P( X = x), i= 

1,2,..., n 

i 

Z množico vrednosti {p 1 , p 2 ,… , p n } opišemo porazdelitev verjetnosti po 

vzorčnem prostoru S x diskretne naključne spremenljivke X. 

Pri zveznih naključnih spremenljivkah vrednostim v vzorčnem prostoru S x ne 

moremo pripisati verjetnosti na enak način kot pri diskretnih naključnih 

spremenljivkah. Verjetnost želenega izida iz množice z neskončnim številom možnih 

izidov je namreč enaka nič. Pri zveznih naključnih spremenljivkah si pomagamo s 

pomočjo diferencialne verjetnosti oziroma z gostoto verjetnosti, kjer verjetnost 

dogodka zapišemo za določen interval (x, x + dx). Pri zveznih spremenljivkah si tako 

pomagamo s pomočjo gostote verjetnosti f x (x) (Probability Density Function – PDF). 

Z znano gostoto verjetnosti f x (x) lahko preprosto izračunamo verjetnost, da X 

zavzame vrednost na intervalu [a, b], a,b∈S x . Verjetnost je enaka ploščini pod 

krivuljo f x (x) nad tem intervalom. 

b 

Pa ( < X< b) =∫ f ( xdx ) 

Če interval, ki določa vzorčni prostor S x , povečamo čez vse meje, potem vsebuje 

vrednosti vsakega dogodka v poizkusu. To v jeziku verjetnosti pomeni gotov 

dogodek in velja tako za zvezne kot diskretne spremenljivke. 

∑ 

i 

b 

∫ 

a 

i 

a 

px ( ) = 1 

i 

f ( xdx ) = 1 

Lahko izračunamo verjetnost na intervalu [– ∞, x], kar pomeni, da je naključna 

spremenljivka X znotraj tega intervala. Verjetnost se spreminja z desno mejo 

intervala. To funkcijo imenujemo kumulativna porazdelitvena funkcija (Cumulative 

Distribution Function – CDF). Definirana je na sledeči način:

DODATEK A 

73 

x 

F( x) = P( −∞< X < x) = ∫ f 

X 

( xdx ) 

Definiramo lahko še komplementarno kumulativno porazdelitveno funkcijo 

(Complementary Cumulative Distribution Function – CCDF) F . 

−∞ 

Fx () = PX ( > x) = 1 − Fx () 

Pri karakterizaciji rezultatov eksperimentov naključnih spremenljivk imajo zelo 

pomembno vlogo vrednosti, kot so srednja vrednost, prvi in drugi moment ene 

naključne spremenljivke in povezani momenti dveh naključnih spremenljivk, kot sta 

korelacija in kovarianca. 

Statistična povprečja 

Pri vrednotenju rezultatov poskusov imajo statistične povprečne vrednosti 

naključnega procesa zelo pomembno vlogo. Pričakovano ali srednjo vrednost E[X] 

imenujemo prvi moment naključne spremenljivke X. Velikokrat jo označujemo tudi z 

besedno zvezo matematično upanje. Za diskretne naključne spremenljivke začetne 

momente višjih redov izračunamo po formuli 

m 

m 

E ⎡ 

⎣ 

X ⎤= 

⎦ ∑ xi fx( xi), 

za zvezne naključne spremenljivke pa s formulo 

m m 

E⎡ ⎣X ⎤= ⎦ ∫ x fx( x) dx. 

Sx 

Drugi začetni moment (m = 2) imenujemo tudi srednja kvadratična vrednost 

naključne spremenljivke X. Momente uporabljamo takrat, ko želimo približno 

okarakterizirati lastnosti gostote porazdelitve naključnih vrednosti. 

Poleg momentov je pomemben še centralni moment naključne spremenljivke, s 

katerim izračunamo pričakovano vrednost Y = (X – µ x ), kjer je µ x srednja vrednost 

spremenljivke X. 

i 

n 

n 

[ ] = ⎡( − μ ) ⎤ = ( −μ 

) ( ) 

E Y E 

⎣ 

X 

⎦ ∑ x f x 

∞ 

x i x x i 

i=∞ 

Tej pričakovani vrednosti pravimo n-ti centralni moment naključne spremenljivke. 

Pomemben je centralni moment pri m = 2, ki ga imenujemo varianca ali disperzija in 

nam prikazuje razpršitev vrednosti okoli srednje vrednosti. 

2 

[ ] = ⎡ − 

var X E 

⎣ 

( X μ x 

) ⎤ 

⎦ 

Koren iz variance je srednje kvadratično odstopanje ali tipična deviacija oziroma 

standardni odklon. 

σ = var[ X ] 

x 

Omenimo še porazdelitev vektorskih naključnih spremenljivk, kjer imamo zvezni 

naključni spremenljivki X in Y s povezano gostoto verjetnosti f xy (X, Y). Definirajmo 

množico povezanih momentov:

74 DODATEK A 

∞ 

∞ 

EXY ( k n ) xy k n f ( x, y) 

dxdy 

= ∫∫ , 

−∞ −∞ 

XY 

kn∈ 

N 

Posebej pomembna sta združeni moment in združeni centralni moment pri k = n = 1. 

Slednjega imenujemo kovarianca naključnih spremenljivk X in Y. Kovarianco dveh 

naključnih spremenljivk X in Y definiramo: 

Cov( XY ) = E(( X −μ 

)( Y − μ )) 

X 

Y 

Korelacijski koeficient naključnih spremenljivk X in Y s srednjimi vrednosti µ x in µ y 

ter s standardnimi deviacijami σ x in σ y definiramo kot: 

ρ 

XY , 

cov( XY) E(( X − μX)( Y − μY)) 

= = 

ρ ρ 

ρ ρ 

X Y X Y 

Stacionarni procesi 

Koncept stacionarnosti ima pri naključnih signalih podobno vlogo kot 

stacionarna stanja v analizi odzivov električnih vezij. Z njo predpostavljamo, da so 

statistike naključnega procesa v določenem smislu neodvisne od konkretne vrednosti 

časa. 

Stacionarni stohastični proces je stacionaren v striktnem pomenu, če so vse 

porazdelitve verjetnosti časovno neobčutljive za pomik. V tem primeru za poljubni 

premik T velja: 

PX ( < x, X < x,...) = PX ( < x , X < x,...) 

t1 1 t2 2 t1+ T 1+ T t2+ 

T 2 

Stacionarni procesi drugega reda (»second order stationary process«) so procesi, ki 

imajo povprečno vrednost naključne spremenljivke neodvisno od časa 

[ ] 

E X() t = μ X 

, 

korelacijsko funkcijo pa neobčutljivo za pomik, torej odvisno le od razlike τ = t 2 - t 1 : 

[ ] 

E Xt1Xt2 = ρxx( τ ) 

V teoriji signalov se pogosto srečujemo z naključnimi procesi. Zato so 

porazdelitve verjetnosti diskretne naključne spremenljivke in gostota verjetnosti 

zvezne spremenljivke poglavitne lastnosti nekega naključnega procesa, ki jih 

preprosto imenujemo kar porazdelitve. Poznamo veliko število najrazličnejših 

verjetnostnih porazdelitev, kot so normalna porazdelitev, Poissonova porazdelitev, 

eksponentna porazdelitev itd.

DODATEK B 

75 

DODATEK B 

Pregled osnovnih značilnosti porazdelitev [23] 

porazdelitev 

eksponentna 

gostota verjetnosti 

1 

− 

f ( x) 

= e ρ 

ρ 

x 

kumulativna porazdelitvena 

funkcija 

Fx ( ) = 1− 

e 

−x/ 

ρ 

Weibullova 

1 ⎛ x ⎞ 

f( x) 

= ⎜ − ⎟ 

a⎝ 

a⎠ 

c−1 

e 

c 

−( x / a) 

F( x) = 1− 

c 

( x / a) 

e − 

Paretova 

f( x) 

= 

(k > 0, a > 0; x ≥ k) ( ) 

ak 

a 

k 1 

x + 

⎛k 

⎞ 

F( x) = 1− ⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

a 

logaritemsko-normalna 

1 −[ log( x) −ξ 

] 2 / 2σ 

f ( x) 

= e 

2 

x 

x 2πσ 

porazdelitev 

eksponentna 

Weibullova 

Paretova 

(k > 0, a > 0; x ≥ k) 

logaritemsko-normalna 

ocena maksimalnega verjetja 

1 

∑ 

n xi 

n i= 

1 

ρ = = x 

1 

n c 

n n n 

c 

⎡ 

c c 

∑ i ⎥ , ⎢⎜∑ i 

log 

i⎟⎜∑ i ⎟ ∑ log 

i 

i= 1 i= 1 i= 1 n i= 

1 

a ⎡1 x ⎤ c ⎛ x x ⎞⎛ x ⎞ 1 

n 

x ⎤ 

= ⎢ 

= − ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠⎝ ⎠ 

⎦ 

( ) 

k = min X , a= 

i 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n −1 

X − nlog 

k 

n 

1 

ξ = ∑ log xi 

= log( x) 

n 

1/2 

n 

⎡1 

⎤ 

σ = ⎢ 

− 

n 

⎥ = 

⎣ i= 

1 

⎦ 

2 

∑ (( log xi 

) ξ) var ( log ( x) 

) 

i 

−1

76 DODATEK C 

DODATEK C 

ČLANKI IN DRUGI SESTAVNI DELI 

1.08 Objavljeni znanstveni prispevek na konferenci 

1. Matjaž Fras, Jože Mohorko, "Estimating the parameters of measured self similar 

traffic for modeling in OPNET", V: 2007 IWSSIP & EC-SIPMCS : proceedings of 

2007 14th International Conference on Systems, Signals and Image Processing 

(IWSSIP) and 6th EURASIP Conference Focused on Speech & Image Processing, 

Multimedia Communication and Services (EC-SPIMCS), 27.-30. June, Maribor, 

Slovenia, Žarko Čučej, ur., Peter Planinšič, ur., Dušan Gleich, ur., Maribor, Faculty 

of Electrical Engineering and Computer Science, 2007, str. 83-86. [COBISS.SI-ID 

11452182] 

2. Jože Mohorko, Matjaž Fras, Žarko Čučej, "Modeling methods in OPNET 

simulations of tactical command and control information systems", V: 2007 IWSSIP 

& EC-SIPMCS : proceedings of 2007 14th International Conference on Systems, 

Signals and Image Processing (IWSSIP) and 6th EURASIP Conference Focused on 

Speech & Image Processing, Multimedia Communication and Services (EC- 

SPIMCS), 27.-30. June, Maribor, Slovenia, Žarko Čučej, ur., Peter Planinšič, ur., 

Dušan Gleich, ur., Maribor, Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, 

2007, str. 467-470. [COBISS.SI-ID 11452694] 

3. Jože Mohorko, Matjaž Fras, Žarko Čučej, "Modeling of IRIS replication 

mechanism in tactical communication network with OPNET", V: Proceedings, 

OPNETWORK 2007 - the eleventh annual OPNET technology Conference, August 

27th-31st, 2007, Washington, D.C., Washington, 2007, 5 f. [COBISS.SI-ID 

11619862] 

4. Matjaž Fras, Jože Mohorko, Žarko Čučej, "Simuliranje taktičnih omrežij z 

upoštevanjem modela širjenja radijskih valov", V: Zbornik šestnajste mednarodne 

Elektrotehniške in računalniške konference ERK 2007, 24. - 26. september 2007, 

Portorož, Slovenija, (Zbornik ... Elektrotehniške in računalniške konference ERK ...), 

Baldomir Zajc, ur., Andrej Trost, ur., Ljubljana, IEEE Region 8, Slovenska sekcija 

IEEE, 2007, str. 184-187. [COBISS.SI-ID 11695382] 

1.09 Objavljeni strokovni prispevek na konferenci 

5. Matjaž Fras, Marjan Hrastnik, Andrej Sarjaš, "Matematični model sistema za 

regulacijo ravnovesja", V: Avtomatizacija v industriji in gospodarstvu : zbornik tretje 

konference AIG'03, 10. in 11. april 2003, Maribor, Slovenija, Boris Tovornik, ur., 

Nenad Muškinja, ur., [Maribor], Društvo avtomatikov Slovenije, 2003, str. 331-335. 

[COBISS.SI-ID 7882518]

DODATEK C 

77 

MONOGRAFIJE IN DRUGA ZAKLJUČENA DELA 

2.11 Diplomsko delo 

6. Matjaž Fras, Kakovost storitev internetnega protokola: zahteve, mehanizmi in 

implementacija v korporacijskih omrežjih : diplomsko delo univerzitetnega 

študijskega programa, (Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 

Diplomska dela univerzitetnega študija), Maribor, [M. Fras], 2005. [COBISS.SI-ID 

9708054]

78 ŽIVLJENJEPIS 

ŽIVLJENJEPIS 

Rojen 13. 3. 1980 v Mariboru, očetu Ivanu in materi Dušanki Fras. Sedaj prebiva v 

Jakobskem Dolu, Flekušek 12. 

1987 – 1995 obiskoval Osnovno šolo Jakobski Dol 

1995 – 1999 obiskoval Srednjo elektro‐računalniško šolo v Mariboru, smer 

elektronika, ki jo je leta 1999 z uspešno maturo tudi zaključil. 

1999 – 2005 študiral na Univerzi v Mariboru, Fakulteti za elektrotehniko, 

računalništvo in informatiko, smer Avtomatika. 

julij 2005 

oktober 2005 

september 2006 

zaključil univerzitetni študij z zagovorom diplomske naloge ''Kakovost 

storitev internetnega protokola: zahteve, mehanizmi in implementacija v 

korporacijskem omrežju''. 

vpisal podiplomski študij na Univerzi v Mariboru, Fakulteti za 

elektrotehniko, računalništvo in informatiko, smer Elektrotehnika. 

Mentor red. prof. dr. Žarko Čučej. 

se zaposlil na Univerzi v Mariboru, Fakulteti za elektrotehniko, 

računalništvo in informatiko kot raziskovalec v laboratoriju za obdelavo 

signalov in daljinskega vodenja.

ŽIVLJENJEPIS 

79

modeliranje in simuliranje samopodobnega prometa v ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?