asimptote_funkcija - VTS NS

ASIMPTOTE FUNKCIJA
Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija.
Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ”ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti”, pa
kako oni rade tako i vi…
Još jedna stvar, neki profesori ne ispituju horizontalnu asimptotu kao posebnu, već to odrade u sklopu kose
asimptote. Mi ćemo pokušati da vam objasnimo svaku asimptotu posebno.
Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
- vertikalna
- horizontalna
- kosa
- vertikalna
Potencijalna vertikalna asimptota se nalazi u prekidima iz oblasti definisanosti. Ako je recimo tačka
x = Θ prekid, moramo ispitati kako se funkcija “ ponaša “ u nekoj okolini te tačke, pa tražimo dva
limesa:
lim f ( x)
i
x→Θ+
ε , kadε
→0
lim f ( x)
Ako su rešenja ova dva limesa + ∞ ili - ∞ onda je prava x = Θ
x→Θ−ε , kadε
→0
vertikalna asimptota, a ako dobijemo neki broj za rešenje, onda funkcija teži tom broju ( po ipsilonu)
Pazite: Za svaki prekid mora da se traže oba limesa, osim možda ako funkcija nije negde definisana.
- horizontalna
Ovde tražimo dva limesa: lim f ( x)
x →+∞
i lim f ( x)
.
x→−∞
Ako kao rešenje dobijemo neki broj , recimo #, onda je y = # horizontalna asimptota, a ako dobijemo
+ ∞ ili - ∞ onda kažemo da nema horizontalna asimptota.
- kosa
Kosa asimptota je prava y = kx + n
k= lim
x→∞
f ( x)
x
i n= lim[
f ( x)
− kx]
x→∞
Naravno, potrebno je raditi ove limese i za + ∞ i za - ∞ , naročito kod složenijih funkcija,jer se
može desiti da nema ove asimptote sa obe strane...
AKO IMA HORIZONTALNA ASIMPTOTA, KOSA NEMA!
www.matematiranje.com

Pre nego krenemo sa izradom zadataka, podsetimo se kako se traži oblast definisanosti :
1. OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE:
P(
x)
Ako je data racionalna funkcija
Q(
x)
Ako je data ln ⊗ , onda je ⊗ >0
onda je Q(x) ≠ 0
Ako je data Θ , onda je Θ ≥ 0
Ako je data 3 @ , onda je svuda definisana
Funkcija e x
je svuda definisana.
Ako je data arcsin @ onda je − 1 ≤ @ ≤ 1
Ako je data arctg % onda je svuda definisana
1. Nadji asimptote sledećih funkcija:
ZADACI
a)
b)
x + 1
y = x −1
2
x − 4
y = x −1
2
x − 4
v) y =
2
1−
x
Rešenja:
x + 1
a) y = x −1
vertikalna
Funkcija je definisana za x −1 ≠ 0 to jest x ≠ 1 .To nam govori da je x = 1 vertikalna asimptota. Tražimo sada 2
limesa:
x + 1 1+
1
lim =
x −1
1+
ε −1
x→ 1+
ε , kadε →0
= pazi: samo dole menjamo 1+ε , jer nam gore to nista ne znači =
2 2 =
+ ε + 0
= + ∞
x + 1 1+
1
lim = =
x −1
1−ε
−1
x→1−ε , kadε →0
2 = - ∞ ŠTA OVO ZNAČI KONKRETNO NA GRAFIKU POGLEDAJMO:
−ε
www.matematiranje.com

y
x=1
.
1
x
x + 1
lim = + ∞ Ovo je žuta crta na grafiku, a znači da kada se x približava 1 sa pozitivne strane(+ε ) da
x −1
x→ 1+
ε , kadε →0
funkcija y teži + ∞ .
x + 1
lim = - ∞ Ovo je crvena crta na grafiku, a znači da kada se x približava 1 sa negativne strane (-ε ) da
x −1
x→1−ε , kadε →0
funkcija y teži - ∞ .
Horizontalna:
x +1
lim = 1, što znači da je y = 1 horizontalna asimptota i da kose nema! Na grafiku:
x→±∞
x − 1
y
x=1
y=1
.1
.
1
x
www.matematiranje.com

)
2
x − 4
y = x −1
Funkcija je definisana za x −1 ≠ 0 to jest x ≠ 1 .Onda je x = 1 vertikalna asimptota. Tražimo sada 2 limesa:
2
x − 4 1 2 − 4 − 3 − 3
lim = = = = - ∞ ( žuta crta na grafiku)
x −1
1+
ε −1
+ ε + 0
x→ 1+
ε , kadε →0
2
x − 4 1 2 − 4 − 3 − 3
lim = = = = + ∞ ( crvena crta na grafiku)
x −1
1−
ε −1
− ε − 0
x→1−ε , kadε →0
horizontalna asimptota:
2
x − 4
lim = ± ∞ Ovo nam govori da nema horizontalne asimptote pa moramo tražiti kosu!
x→±∞
x −1
kosa asimptota:
Kosa asimptota je prava y = kx + n
k= lim
x→±∞
f ( x)
x
i n= lim[
f ( x)
− kx]
x→±∞
k= lim
x→±∞
2
x − 4
x −1
x
= lim
x→±∞
x
x
2
2
− 4 = 1 (pogledaj fajl granične vrednosti funkcija, zadaci (i deo))
− x
n= lim[
f ( x)
− kx]
x→±∞
2
2
2
2
⎡ x − 4 ⎤ ⎡ x − 4 − x(
x −1)
⎤ ⎡ x − 4 − x + x⎤
⎡ x − 4⎤
= lim ⎢ −1x⎥ = lim ⎢
⎥ = lim ⎢
⎥ = lim
x→±∞
⎣ x −1
⎦
x→±∞
⎣ x −1
⎦
x→±∞
⎣ x −1
⎢ ⎥ =1
⎦
x→±∞⎣
x −1
⎦
Sada k i n zamenimo u formulu: y = kx + n i dobijamo da je
y = x + 1 kosa asimptota
y
y=x+1
-1.
1.
.
1
x=1
x
www.matematiranje.com

2
x − 4
v) y =
2
1−
x
Funkcija je definisana za 1− x 2 ≠ 0 to jest ( 1−
x )(1 + x)
≠ 0 to jest x ≠ 1 i x ≠ −1
Ovo znači da moramo tražiti četiri limesa, za +1 i za –1 sa “obe” strane.
2
2
x − 4 x − 4
lim = lim
= Pazi , pametno je dole izraz napisati kao razliku kvadrata, pa tek onda menjati...=
2
1−
x (1 − x)(1
+ x)
x→ 1+
ε , kadε →0
x→ 1+
ε , kadε →0
1 2 − 4
− 3 − 3
= = = + ∞ (plava crta)
(1 − (1 + ε ))(1 + 1+
ε ) (1 −1− ε )2 ( −ε )2
2
2
x − 4 x − 4
1 2 − 4
− 3
lim = lim
=
= =
2
1−
x (1 − x)(1
+ x)
(1 − (1 − ε ))(1 + 1−
ε ) (1 −1+ ε )2
x→1−ε , kadε →0
x→1−ε , kadε →0
− 3 = - ∞ (crvena crta)
ε 2
2
2
2
x − 4 x − 4
( −1)
− 4
lim = lim
=
=
2
1−
x (1 − x)(1
+ x)
(1 − ( −1+
ε ))(1 + ( −1+ ε ))
x→−1+
ε , kadε →0
x→−1+
ε , kadε →0
− 3 − 3
= = - ∞ ( žuta crta)
(2 −ε )ε 2ε
2
2
2
x − 4 x − 4
( −1)
− 4
lim = lim
=
=
2
1−
x (1 − x)(1
+ x)
(1 − ( −1−
ε ))(1 + ( −1− ε ))
x→−1−ε , kadε →0
x→−1−ε , kadε →0
− 3 − 3
= = + ∞ ( zelena crta)
(2 + ε )( −ε ) 2( −ε )
horizontalna asimptota:
2
x − 4 1
lim = − = −1
pa je y = - 1 horizontalna asimptota pa kose asimptote nema.
x→±∞
2
1−
x 1
y
x=-1
x=1
.
-1
0
.
-1
.
1
y=-1
x
www.matematiranje.com

2. Nadji asimptote sledećih funkcija:
1
x
a) y = e
1
x
b) y = xe
Rešenja:
1
x
a) y = e
Funkcija je definisana za x ≠ 0 , pa je x = 0 potencijalna vertikalna asimptota.
1
x
lime = e
+ ε = e +∞ = ∞
x→0+
ε , kadε
→0
0 1
(crvena crta na grafiku)
1
x
lim
x→0−ε , kadε
→0
1
0
−
e = e ε = e −∞
= 0 Šta sad ovo znači Trebali smo da dobijemo + ili – beskonačno...
Ovo znači da kada x teži nuli sa leve, negativne strane, funkcija teži nuli, što na grafiku prikazujemo STRELICOM.
horizontalna asimptota:
1
e x
x→+∞
∞ 0
lim = e
+ = e = 1
1
1
e x
x→−∞
1
∞ 0
lim = e − = e = 1 Dakle y = 1 je horizontalna asimptota!
y
. 1 y=1
x
0
www.matematiranje.com

1
x
b) y = xe
Funkcija je definisana za x ≠ 0 , pa je x = 0 potencijalna vertikalna asimptota.
0
lim xe x = (0 + ε ) e
x→0+
ε
1
1
= 0 o ∞
a ovo je neodređen izraz! Ideja je da iskoristimo Lopitalovu teoremu, ali pre toga
moramo ’prepraviti’ funkciju da bude oblika 0
0 ili ∞
∞ .
lim xe
ε
x→0+
1
x
=
lim
1
e x
x→0+
ε 1
Ako ovde zamenimo da x teži nuli, dobijamo ∞
∞ , pa smemo da koristimo Lopitalovu teoremu
x
lim xe
ε
x→0+
crta)
1
x
=
lim
1
e x
x→0+
ε 1
x
= tražimo izvod gore, izvod dole, posebno=
lim
1
e x
x→0+
ε 1
1
( − )
2
x
=
−
2
x
1
x
lime = e
+ ε = e +∞ = ∞ (Žuta
x→0+
ε , kadε
→0
0 1
x
−ε
lim xe = (0 − ε ) e = 0 o 0 = 0 (strelica)
ε
x→0−
1
horizontalna asimptota:
1
lim xe
x→+∞
lim xe
x→−∞
1
x
1
x
1
= ∞ ∞ 0
o e = ∞ o e = ∞ o1
= ∞
1
∞ 0
= − ∞ o e = −∞ o e = −∞ o1
= −∞
Dakle, nema horizontalne asimptote, pa moramo potražiti kosu:
Kosa asimptota je prava y = kx + n
k= lim
x→±∞
f ( x)
x
i n= lim [ f ( x)
− kx]
x→±∞
k= lim
x→±∞
f ( x)
x
1
x
xe
x ∞ 0
= lim = lim e = e = e = 1
x→±∞
x x→±∞
1
1
n= lim [ f ( x)
− kx]
x→±∞
1
= lim [ xe x
x
−1x]
= lim x [ e −1]
= sličan trik kao malopre, da bi mogli da upotrebimo Lopitala…
x→±∞
x→±∞
1
=
lim
1
e x
x→±∞
1
−1
x
1
e
0 x ( − )
1 1
2
= sada je ovaj izraz oblika ,tražimo izvode= lim
x
0
= lim e 1
0 x→±∞
1
x = e
∞ = e =
x→±∞
−
2
x
1

www.matematiranje.com
Dobili smo kosu asimptotu y = x +1
y
y=x+1
-1.
1.
0
x
3. Nadji asimptote funkcije:
y =
x − 2
x
2 +
4
Rešenje:
2
Pošto je izraz x + 4 > 0 za svako x, funkcija je svuda definisana, a to nam govori da ona nema vertikalnih
asimptota!
horizontalna asimptota:
x − 2
x − 2
lim = lim
= lim
x→±∞
x
2 x→±∞
+ 4
2 4
x→±∞
x (1 + )
2
x
odvojiti limese za + i za – beskonačno!
x
x − 2
(1 +
4
2
x
)
PAZI ! Pošto smo dole dobili apsolutnu vrednost, moramo
lim
x→+∞
x
x − 2
= 1
4
(1 + )
2
x
lim
x→−∞
− x
x − 2
(1 +
4
2
x
)
= -1
Vrlo neobična situacija koja se ipak javlja kod korenih funkcija:

www.matematiranje.com
KАД X TEŽI + BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = 1
KАД X TEŽI - BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = -1
Na slici bi to izgledalo ovako:
y
1.
y=1
y=-1
.-1
x
4. Nadji asimptote funkcije:
y = ln
x
x
− 2
+ 1
Najpre kao i uvek moramo ispitati oblast definisanosti:
x − 2 > 0
x + 1
Najbolje je da idemo preko tablice: (pogledaj fajl sa nejednačinama iz prve godine)
− ∞
-1 -1 2 2 + ∞
x-2 - - +
x+1 - + +
x − 2
+ - +
x + 1
Ovo nam dakle govori da je funkcija definisana ∀x ∈ ( −∞,
−1)
∪ (2, ∞)
, to jest izmedju –1 i 2 je NEMA!
y
x=-1
.
-1 0
x=2
.
2
x

www.matematiranje.com
To znači da ćemo tražiti za x = 2 limes samo sa desne strane, a za x = -1 samo sa leve strane!
x − 2
lim ln = [Kako je ln neprekidna funkcija, ona može da zameni mesto sa lim ]=
x→2+
ε x + 1
2 + ε − 2
ln = ln 0 = −∞ (crvena crta)
2 + 1
x − 2 −1−
2 − 3
lim ln = ln = ln = ln ∞ = ∞
+ −1−
ε + 1 − ε
x→−1−ε
x 1
(zelena crta)
y
x=-1
.
-1 0
x=2
.
2
x
horizontalna asimptota:
x − 2 x − 2
lim ln = ln lim = ln1 = 0
x→±∞
x + 1 x→±∞
x + 1
Dakle y = 0 (x- osa) je horizontalna asimptota.(plave crtke)
y
x=-1
.
-1 0
y=x+1
x=2
.
2
x