asimptote_funkcija - VTS NS
asimptote_funkcija - VTS NS
asimptote_funkcija - VTS NS
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ASIMPTOTE FUNKCIJA<br />
Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti <strong>funkcija</strong>.<br />
Neki profesori vole da <strong>asimptote</strong> <strong>funkcija</strong> ispituju kao ”ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti”, pa<br />
kako oni rade tako i vi…<br />
Još jedna stvar, neki profesori ne ispituju horizontalnu asimptotu kao posebnu, već to odrade u sklopu kose<br />
<strong>asimptote</strong>. Mi ćemo pokušati da vam objasnimo svaku asimptotu posebno.<br />
Dakle: Asimptota je prava kojoj se <strong>funkcija</strong> približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:<br />
- vertikalna<br />
- horizontalna<br />
- kosa<br />
- vertikalna<br />
Potencijalna vertikalna asimptota se nalazi u prekidima iz oblasti definisanosti. Ako je recimo tačka<br />
x = Θ prekid, moramo ispitati kako se <strong>funkcija</strong> “ ponaša “ u nekoj okolini te tačke, pa tražimo dva<br />
limesa:<br />
lim f ( x)<br />
i<br />
x→Θ+<br />
ε , kadε<br />
→0<br />
lim f ( x)<br />
Ako su rešenja ova dva limesa + ∞ ili - ∞ onda je prava x = Θ<br />
x→Θ−ε , kadε<br />
→0<br />
vertikalna asimptota, a ako dobijemo neki broj za rešenje, onda <strong>funkcija</strong> teži tom broju ( po ipsilonu)<br />
Pazite: Za svaki prekid mora da se traže oba limesa, osim možda ako <strong>funkcija</strong> nije negde definisana.<br />
- horizontalna<br />
Ovde tražimo dva limesa: lim f ( x)<br />
x →+∞<br />
i lim f ( x)<br />
.<br />
x→−∞<br />
Ako kao rešenje dobijemo neki broj , recimo #, onda je y = # horizontalna asimptota, a ako dobijemo<br />
+ ∞ ili - ∞ onda kažemo da nema horizontalna asimptota.<br />
- kosa<br />
Kosa asimptota je prava y = kx + n<br />
k= lim<br />
x→∞<br />
f ( x)<br />
x<br />
i n= lim[<br />
f ( x)<br />
− kx]<br />
x→∞<br />
Naravno, potrebno je raditi ove limese i za + ∞ i za - ∞ , naročito kod složenijih <strong>funkcija</strong>,jer se<br />
može desiti da nema ove <strong>asimptote</strong> sa obe strane...<br />
AKO IMA HORIZONTALNA ASIMPTOTA, KOSA NEMA!<br />
www.matematiranje.com
Pre nego krenemo sa izradom zadataka, podsetimo se kako se traži oblast definisanosti :<br />
1. OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE:<br />
P(<br />
x)<br />
Ako je data racionalna <strong>funkcija</strong><br />
Q(<br />
x)<br />
Ako je data ln ⊗ , onda je ⊗ >0<br />
onda je Q(x) ≠ 0<br />
Ako je data Θ , onda je Θ ≥ 0<br />
Ako je data 3 @ , onda je svuda definisana<br />
Funkcija e x<br />
je svuda definisana.<br />
Ako je data arcsin @ onda je − 1 ≤ @ ≤ 1<br />
Ako je data arctg % onda je svuda definisana<br />
1. Nadji <strong>asimptote</strong> sledećih <strong>funkcija</strong>:<br />
ZADACI<br />
a)<br />
b)<br />
x + 1<br />
y = x −1<br />
2<br />
x − 4<br />
y = x −1<br />
2<br />
x − 4<br />
v) y =<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
Rešenja:<br />
x + 1<br />
a) y = x −1<br />
vertikalna<br />
Funkcija je definisana za x −1 ≠ 0 to jest x ≠ 1 .To nam govori da je x = 1 vertikalna asimptota. Tražimo sada 2<br />
limesa:<br />
x + 1 1+<br />
1<br />
lim =<br />
x −1<br />
1+<br />
ε −1<br />
x→ 1+<br />
ε , kadε →0<br />
= pazi: samo dole menjamo 1+ε , jer nam gore to nista ne znači =<br />
2 2 =<br />
+ ε + 0<br />
= + ∞<br />
x + 1 1+<br />
1<br />
lim = =<br />
x −1<br />
1−ε<br />
−1<br />
x→1−ε , kadε →0<br />
2 = - ∞ ŠTA OVO ZNAČI KONKRETNO NA GRAFIKU POGLEDAJMO:<br />
−ε<br />
www.matematiranje.com
y<br />
x=1<br />
.<br />
1<br />
x<br />
x + 1<br />
lim = + ∞ Ovo je žuta crta na grafiku, a znači da kada se x približava 1 sa pozitivne strane(+ε ) da<br />
x −1<br />
x→ 1+<br />
ε , kadε →0<br />
<strong>funkcija</strong> y teži + ∞ .<br />
x + 1<br />
lim = - ∞ Ovo je crvena crta na grafiku, a znači da kada se x približava 1 sa negativne strane (-ε ) da<br />
x −1<br />
x→1−ε , kadε →0<br />
<strong>funkcija</strong> y teži - ∞ .<br />
Horizontalna:<br />
x +1<br />
lim = 1, što znači da je y = 1 horizontalna asimptota i da kose nema! Na grafiku:<br />
x→±∞<br />
x − 1<br />
y<br />
x=1<br />
y=1<br />
.1<br />
.<br />
1<br />
x<br />
www.matematiranje.com
)<br />
2<br />
x − 4<br />
y = x −1<br />
Funkcija je definisana za x −1 ≠ 0 to jest x ≠ 1 .Onda je x = 1 vertikalna asimptota. Tražimo sada 2 limesa:<br />
2<br />
x − 4 1 2 − 4 − 3 − 3<br />
lim = = = = - ∞ ( žuta crta na grafiku)<br />
x −1<br />
1+<br />
ε −1<br />
+ ε + 0<br />
x→ 1+<br />
ε , kadε →0<br />
2<br />
x − 4 1 2 − 4 − 3 − 3<br />
lim = = = = + ∞ ( crvena crta na grafiku)<br />
x −1<br />
1−<br />
ε −1<br />
− ε − 0<br />
x→1−ε , kadε →0<br />
horizontalna asimptota:<br />
2<br />
x − 4<br />
lim = ± ∞ Ovo nam govori da nema horizontalne <strong>asimptote</strong> pa moramo tražiti kosu!<br />
x→±∞<br />
x −1<br />
kosa asimptota:<br />
Kosa asimptota je prava y = kx + n<br />
k= lim<br />
x→±∞<br />
f ( x)<br />
x<br />
i n= lim[<br />
f ( x)<br />
− kx]<br />
x→±∞<br />
k= lim<br />
x→±∞<br />
2<br />
x − 4<br />
x −1<br />
x<br />
= lim<br />
x→±∞<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
− 4 = 1 (pogledaj fajl granične vrednosti <strong>funkcija</strong>, zadaci (i deo))<br />
− x<br />
n= lim[<br />
f ( x)<br />
− kx]<br />
x→±∞<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎡ x − 4 ⎤ ⎡ x − 4 − x(<br />
x −1)<br />
⎤ ⎡ x − 4 − x + x⎤<br />
⎡ x − 4⎤<br />
= lim ⎢ −1x⎥ = lim ⎢<br />
⎥ = lim ⎢<br />
⎥ = lim<br />
x→±∞<br />
⎣ x −1<br />
⎦<br />
x→±∞<br />
⎣ x −1<br />
⎦<br />
x→±∞<br />
⎣ x −1<br />
⎢ ⎥ =1<br />
⎦<br />
x→±∞⎣<br />
x −1<br />
⎦<br />
Sada k i n zamenimo u formulu: y = kx + n i dobijamo da je<br />
y = x + 1 kosa asimptota<br />
y<br />
y=x+1<br />
-1.<br />
1.<br />
.<br />
1<br />
x=1<br />
x<br />
www.matematiranje.com
2<br />
x − 4<br />
v) y =<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
Funkcija je definisana za 1− x 2 ≠ 0 to jest ( 1−<br />
x )(1 + x)<br />
≠ 0 to jest x ≠ 1 i x ≠ −1<br />
Ovo znači da moramo tražiti četiri limesa, za +1 i za –1 sa “obe” strane.<br />
2<br />
2<br />
x − 4 x − 4<br />
lim = lim<br />
= Pazi , pametno je dole izraz napisati kao razliku kvadrata, pa tek onda menjati...=<br />
2<br />
1−<br />
x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
x→ 1+<br />
ε , kadε →0<br />
x→ 1+<br />
ε , kadε →0<br />
1 2 − 4<br />
− 3 − 3<br />
= = = + ∞ (plava crta)<br />
(1 − (1 + ε ))(1 + 1+<br />
ε ) (1 −1− ε )2 ( −ε )2<br />
2<br />
2<br />
x − 4 x − 4<br />
1 2 − 4<br />
− 3<br />
lim = lim<br />
=<br />
= =<br />
2<br />
1−<br />
x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
(1 − (1 − ε ))(1 + 1−<br />
ε ) (1 −1+ ε )2<br />
x→1−ε , kadε →0<br />
x→1−ε , kadε →0<br />
− 3 = - ∞ (crvena crta)<br />
ε 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x − 4 x − 4<br />
( −1)<br />
− 4<br />
lim = lim<br />
=<br />
=<br />
2<br />
1−<br />
x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
(1 − ( −1+<br />
ε ))(1 + ( −1+ ε ))<br />
x→−1+<br />
ε , kadε →0<br />
x→−1+<br />
ε , kadε →0<br />
− 3 − 3<br />
= = - ∞ ( žuta crta)<br />
(2 −ε )ε 2ε<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x − 4 x − 4<br />
( −1)<br />
− 4<br />
lim = lim<br />
=<br />
=<br />
2<br />
1−<br />
x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
(1 − ( −1−<br />
ε ))(1 + ( −1− ε ))<br />
x→−1−ε , kadε →0<br />
x→−1−ε , kadε →0<br />
− 3 − 3<br />
= = + ∞ ( zelena crta)<br />
(2 + ε )( −ε ) 2( −ε )<br />
horizontalna asimptota:<br />
2<br />
x − 4 1<br />
lim = − = −1<br />
pa je y = - 1 horizontalna asimptota pa kose <strong>asimptote</strong> nema.<br />
x→±∞<br />
2<br />
1−<br />
x 1<br />
y<br />
x=-1<br />
x=1<br />
.<br />
-1<br />
0<br />
.<br />
-1<br />
.<br />
1<br />
y=-1<br />
x<br />
www.matematiranje.com
2. Nadji <strong>asimptote</strong> sledećih <strong>funkcija</strong>:<br />
1<br />
x<br />
a) y = e<br />
1<br />
x<br />
b) y = xe<br />
Rešenja:<br />
1<br />
x<br />
a) y = e<br />
Funkcija je definisana za x ≠ 0 , pa je x = 0 potencijalna vertikalna asimptota.<br />
1<br />
x<br />
lime = e<br />
+ ε = e +∞ = ∞<br />
x→0+<br />
ε , kadε<br />
→0<br />
0 1<br />
(crvena crta na grafiku)<br />
1<br />
x<br />
lim<br />
x→0−ε , kadε<br />
→0<br />
1<br />
0<br />
−<br />
e = e ε = e −∞<br />
= 0 Šta sad ovo znači Trebali smo da dobijemo + ili – beskonačno...<br />
Ovo znači da kada x teži nuli sa leve, negativne strane, <strong>funkcija</strong> teži nuli, što na grafiku prikazujemo STRELICOM.<br />
horizontalna asimptota:<br />
1<br />
e x<br />
x→+∞<br />
∞ 0<br />
lim = e<br />
+ = e = 1<br />
1<br />
1<br />
e x<br />
x→−∞<br />
1<br />
∞ 0<br />
lim = e − = e = 1 Dakle y = 1 je horizontalna asimptota!<br />
y<br />
. 1 y=1<br />
x<br />
0<br />
www.matematiranje.com
1<br />
x<br />
b) y = xe<br />
Funkcija je definisana za x ≠ 0 , pa je x = 0 potencijalna vertikalna asimptota.<br />
0<br />
lim xe x = (0 + ε ) e<br />
x→0+<br />
ε<br />
1<br />
1<br />
= 0 o ∞<br />
a ovo je neodređen izraz! Ideja je da iskoristimo Lopitalovu teoremu, ali pre toga<br />
moramo ’prepraviti’ funkciju da bude oblika 0<br />
0 ili ∞<br />
∞ .<br />
lim xe<br />
ε<br />
x→0+<br />
1<br />
x<br />
=<br />
lim<br />
1<br />
e x<br />
x→0+<br />
ε 1<br />
Ako ovde zamenimo da x teži nuli, dobijamo ∞<br />
∞ , pa smemo da koristimo Lopitalovu teoremu<br />
x<br />
lim xe<br />
ε<br />
x→0+<br />
crta)<br />
1<br />
x<br />
=<br />
lim<br />
1<br />
e x<br />
x→0+<br />
ε 1<br />
x<br />
= tražimo izvod gore, izvod dole, posebno=<br />
lim<br />
1<br />
e x<br />
x→0+<br />
ε 1<br />
1<br />
( − )<br />
2<br />
x<br />
=<br />
−<br />
2<br />
x<br />
1<br />
x<br />
lime = e<br />
+ ε = e +∞ = ∞ (Žuta<br />
x→0+<br />
ε , kadε<br />
→0<br />
0 1<br />
x<br />
−ε<br />
lim xe = (0 − ε ) e = 0 o 0 = 0 (strelica)<br />
ε<br />
x→0−<br />
1<br />
horizontalna asimptota:<br />
1<br />
lim xe<br />
x→+∞<br />
lim xe<br />
x→−∞<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
1<br />
= ∞ ∞ 0<br />
o e = ∞ o e = ∞ o1<br />
= ∞<br />
1<br />
∞ 0<br />
= − ∞ o e = −∞ o e = −∞ o1<br />
= −∞<br />
Dakle, nema horizontalne <strong>asimptote</strong>, pa moramo potražiti kosu:<br />
Kosa asimptota je prava y = kx + n<br />
k= lim<br />
x→±∞<br />
f ( x)<br />
x<br />
i n= lim [ f ( x)<br />
− kx]<br />
x→±∞<br />
k= lim<br />
x→±∞<br />
f ( x)<br />
x<br />
1<br />
x<br />
xe<br />
x ∞ 0<br />
= lim = lim e = e = e = 1<br />
x→±∞<br />
x x→±∞<br />
1<br />
1<br />
n= lim [ f ( x)<br />
− kx]<br />
x→±∞<br />
1<br />
= lim [ xe x<br />
x<br />
−1x]<br />
= lim x [ e −1]<br />
= sličan trik kao malopre, da bi mogli da upotrebimo Lopitala…<br />
x→±∞<br />
x→±∞<br />
1<br />
=<br />
lim<br />
1<br />
e x<br />
x→±∞<br />
1<br />
−1<br />
x<br />
1<br />
e<br />
0 x ( − )<br />
1 1<br />
2<br />
= sada je ovaj izraz oblika ,tražimo izvode= lim<br />
x<br />
0<br />
= lim e 1<br />
0 x→±∞<br />
1<br />
x = e<br />
∞ = e =<br />
x→±∞<br />
−<br />
2<br />
x<br />
1
www.matematiranje.com<br />
Dobili smo kosu asimptotu y = x +1<br />
y<br />
y=x+1<br />
-1.<br />
1.<br />
0<br />
x<br />
3. Nadji <strong>asimptote</strong> funkcije:<br />
y =<br />
x − 2<br />
x<br />
2 +<br />
4<br />
Rešenje:<br />
2<br />
Pošto je izraz x + 4 > 0 za svako x, <strong>funkcija</strong> je svuda definisana, a to nam govori da ona nema vertikalnih<br />
asimptota!<br />
horizontalna asimptota:<br />
x − 2<br />
x − 2<br />
lim = lim<br />
= lim<br />
x→±∞<br />
x<br />
2 x→±∞<br />
+ 4<br />
2 4<br />
x→±∞<br />
x (1 + )<br />
2<br />
x<br />
odvojiti limese za + i za – beskonačno!<br />
x<br />
x − 2<br />
(1 +<br />
4<br />
2<br />
x<br />
)<br />
PAZI ! Pošto smo dole dobili apsolutnu vrednost, moramo<br />
lim<br />
x→+∞<br />
x<br />
x − 2<br />
= 1<br />
4<br />
(1 + )<br />
2<br />
x<br />
lim<br />
x→−∞<br />
− x<br />
x − 2<br />
(1 +<br />
4<br />
2<br />
x<br />
)<br />
= -1<br />
Vrlo neobična situacija koja se ipak javlja kod korenih <strong>funkcija</strong>:
www.matematiranje.com<br />
KАД X TEŽI + BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = 1<br />
KАД X TEŽI - BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = -1<br />
Na slici bi to izgledalo ovako:<br />
y<br />
1.<br />
y=1<br />
y=-1<br />
.-1<br />
x<br />
4. Nadji <strong>asimptote</strong> funkcije:<br />
y = ln<br />
x<br />
x<br />
− 2<br />
+ 1<br />
Najpre kao i uvek moramo ispitati oblast definisanosti:<br />
x − 2 > 0<br />
x + 1<br />
Najbolje je da idemo preko tablice: (pogledaj fajl sa nejednačinama iz prve godine)<br />
− ∞<br />
-1 -1 2 2 + ∞<br />
x-2 - - +<br />
x+1 - + +<br />
x − 2<br />
+ - +<br />
x + 1<br />
Ovo nam dakle govori da je <strong>funkcija</strong> definisana ∀x ∈ ( −∞,<br />
−1)<br />
∪ (2, ∞)<br />
, to jest izmedju –1 i 2 je NEMA!<br />
y<br />
x=-1<br />
.<br />
-1 0<br />
x=2<br />
.<br />
2<br />
x
www.matematiranje.com<br />
To znači da ćemo tražiti za x = 2 limes samo sa desne strane, a za x = -1 samo sa leve strane!<br />
x − 2<br />
lim ln = [Kako je ln neprekidna <strong>funkcija</strong>, ona može da zameni mesto sa lim ]=<br />
x→2+<br />
ε x + 1<br />
2 + ε − 2<br />
ln = ln 0 = −∞ (crvena crta)<br />
2 + 1<br />
x − 2 −1−<br />
2 − 3<br />
lim ln = ln = ln = ln ∞ = ∞<br />
+ −1−<br />
ε + 1 − ε<br />
x→−1−ε<br />
x 1<br />
(zelena crta)<br />
y<br />
x=-1<br />
.<br />
-1 0<br />
x=2<br />
.<br />
2<br />
x<br />
horizontalna asimptota:<br />
x − 2 x − 2<br />
lim ln = ln lim = ln1 = 0<br />
x→±∞<br />
x + 1 x→±∞<br />
x + 1<br />
Dakle y = 0 (x- osa) je horizontalna asimptota.(plave crtke)<br />
y<br />
x=-1<br />
.<br />
-1 0<br />
y=x+1<br />
x=2<br />
.<br />
2<br />
x