dr hab. inż. Tomasz Stręk prof. PP - tomasz strek home page

Zakład Mechaniki Technicznej
Metoda Elementów Skończonych – Lab.
PROJEKT
Prowadzący:
dr hab. inż. Tomasz Stręk prof. PP
Wykonali:
Kasjan Michalak
Michał Niemczyk
Jakub Michałek
1

Spis treści
1. Wprowadzenie……………………………………………………..……..……… 4
2. Projekt 1…………………………………………………………..……..……… 5
2.1. Cel pracy………………………………………………………………….. 5
2.2. Zakres pracy………………………………………………………………. 5
2.3. Dane wejściowe……………………………………………..……..….......... 5
2.4. Analiza ugięcia………………………………………………………………. 7
2.4.1 Analiza ugięcia dla zwykłego dwuteownika……………………….. 7
2.4.2 Analiza ugięcia dla dwuteownika z otworami w belce 2.…………. 9
2.4.3 Analiza ugięcia dla dwuteownika z elementami belki 2….……....... 11
2.5 Porównanie wyników oraz wnioski……...………………………………… 13
3. Projekt 2…………………………………………………………..……..……… 15
3.1. Cel pracy…………………………………………………………………… 15
3.2. Zakres pracy…………………………………………………………….. … 15
3.3 Analiza naprężeń………….……...………………………………………... 15
3.4 Podsumowanie………………..……...……………………………………… 18
4. Projekt 3. Analiza przepływu: …………….…………………………………… 19
4.1. w rozdzielaczu o kącie rozwarcia 15°…………………..……..………… 20
4.2. w rozdzielaczu o kącie rozwarcia 30°…………………..……..………… 20
4.3. w rozdzielaczu o kącie rozwarcia 90°…………………..……..………… 20
4.4. w rozdzielaczu o kącie rozwarcia 120°………………..……..………… 21
4.5. w rozdzielaczu o kącie rozwarcia 180°………………..……..………… 21
4.6. Wnioski oraz porównanie wyników………………………..…..………… 22
5. Projekt 4…………………………………………………………..……..……… 24
5.1. Cel pracy………………………………………………………………..….. 24
5.2. Zakres pracy………………………………………………………………… 24
5.3 Dane wejściowe……………………………………………..……..…........... 25
5.4 Analiza rozkładu temperatury po czasie t……………………………………. 26
5.4.1 Kołnierz stalowy…………………..…………………………….. 26
5.4.2 Kołnierz aluminiowy…………………………….………………. 26
5.4.3 Porównanie wyników…………………………….…………....... 27
5.5 Czas po jakim kołnierz osiągnie temperaturę 293 K ……………………… 27
5.5.1 Dla kołnierza stalowego……..……………………………………….... 27
5.5.2 Dla kołnierza aluminiowego…...………………………………………30
5.6 Porównanie wyników oraz wnioski……...………………………………….. 31
6. Projekt5……………………………………………………..……..………….. 32
6.1. Cel pracy………………………………………………………………….. 32
6.2. Zakres pracy……………………………………………………………. 32
6.3 Dane wejściowe………………………………………………..……..…......... 32
6.4 Rozkład temperatury………………………………………………………… 33
6.4.1Rozkład temperatury dla przykładu 1…….…………………………….. 33
2

6.4.2 Rozkład temperatury dla przykładu 2………………. ………………. 34
6.4.3 Rozkład temperatury dla przykładu 3….…………......……………. 35
6.4.4 Rozkład temperatury dla przykładu 4.………..................................... 36
6.5 Warunki brzegowe drugiego rodzaju…...…………………………………… 37
6.6 Podsumowanie……...………………………………………………..……… 37
3

1.Wprowadzenie
Metoda elementów skończonych (MES) jest metodą przybliżoną
rozwiązywania równań różniczkowych. W porównaniu z innymi metodami
numerycznymi jest ona tym bardziej skuteczna, gdy obszar analizy ma złożony
kształt lub gdy składa się z materiałów o rożnych własnościach.
W MES obszar analizy dzieli się na wiele podobszarów o prostym kształcie np.
trójkąt, czworościan (najlepiej, jeżeli wszystkie ściany tych elementów są sobie
równe – trójkąt równoboczny, czworościan foremny) zwanych elementami
skończonymi. Funkcje aproksymuje się w każdym elemencie skończonym za
pomocą funkcji ciągłych, są one jednoznacznie określone przez ich wartości w
pewnych punktach zwanych węzłami, leżących wewnątrz elementu
skończonego lub na jego brzegu.
MES znalazła zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i inżynierii do
aproksymacji podstawowych równań różniczkowych takich jak:
mechanika płynów gdzie wykorzystywane są równania równania Naviera-
Stokesa, akustyka – równania falowe, elektromagnetyzm – równania Maxwella,
fizyka atomowa – równania Schrödingera.
4

Projekt I
2. Projekt 1. Analiza porównawcza ugięcia różnych rozwiązań
dwuteownika utwierdzonego jednostronnie
2.1. Cel pracy
Celem projektu jest porównanie wytrzymałości i ugięcia różnych rodzajów
dwuteownika, które zostały tak samo utwierdzone i obciążone tą samą siłą.
Dwuteowniki są tej samej długości i o takich samych wymiarach głównych, różnią się
jedynie częścią środkową.
2.2. Zakres pracy
Analiza przeprowadzona zostanie w programie COMSOL 3.4 przy pomocy
modelu Structural Mechanics, Solid, Stress-Strain. Kształtowniki zostały wykonane w
programie Inventor. Wymiary kształtowników:
Wysokość: 22 mm
Długość belek: 200 mm
Zadane obciążenie: 500 N ( obciążenie ciągłe działające na górną powierzchnię
dwuteownika )
Utwierdzenie: jednostronne
Moduł Younga: 2 ∗ 10
Wsp. Poissona: 0,33
Gęstość stali: 7850
2.3 Dane wejściowe
Podstawowe wymiary zwykłego dwuteownika [mm]
R g h s l
2 1 22 15.5 200
5

Rys. 1. Przekrój i wymiary zwykłego dwuteownika
Podstawowe wymiary dwuteownika z otworami [mm]
R g h s l w1 w2 D
2 1 22 15.5 200 10 11 10
Rys. 2. Przekrój i wymiary dwuteownika z otworami
6

Podstawowe wymiary dwuteownika [mm]
R g h s l s1 s2 s3 k
2 1 22 15.5 200 8 4 12 16
2.4 Analiza ugięcia
Rys. 3. Przekrój i wymiary dwuteownika z elementami belki2
2.4.1 Analiza ugięcia dla zwykłego dwuteownika
Rys. 4. Model dwuteownika w programie INVENTOR
7

Rys. 5. Dyskretyzacja belki o przekroju dwuteowym
Rys. 6. Naprężenia belki pod wpływem obciążenia
MIN
MAX
9,068 5,374x10 -5
8

Rys. 7. Odkształcenie belki pod wpływem obciążenia
MAX odkształcenie 1,839*10 -6 m
2.4.2 Analiza ugięcia dla dwuteownika z otworami
Rys. 8. Model dwuteownika z otworami w programie INVENTOR
9

Rys. 9. Dyskretyzacja belki o przekroju dwuteowym z otworami
Rys. 10.Naprężenia i odkształcenie belki pod wpływem obciążenia
MIN
MAX
63,79 4,842x10 -5
10

Rys. 11.Odkształcenie belki pod wpływem obciążenia
MAX odkształcenie 1,933*10 -6 m
2.4.3 Analiza ugięcia dla przypadku 3
Rys. 12. Model dwuteownika w programie INVENTOR
11

Rys. 13. Dyskretyzacja belki o przekroju dwuteowym
Rys. 14.Naprężenia i odkształcenie belki pod wpływem obciążenia
12

MIN
MAX
499,388 2,35x10 -6
Rys. 15.Odkształcenie belki pod wpływem obciążenia
MAX odkształcenie 3,698*10 -6 m
2.5 Porównanie wyników oraz wnioski
kształtownik Maxymalna wartość Ugięcie [m]
naprężeń [Pa]
zwykły dwuteownik 5,374x10 -5 1,839x10 -6
dwuteownik z 4,842x10 -5 1,933x10 -6
otworami
3rozwiązanie
dwuteownika
2,35x10 -6 3,698x10 -6
Wnioski
Ugięcie wszystkich dwuteowych belek jest tylko w osi, w której przyłożono obciążenie (ze
względu na symetrię).
Maxymalne ugięcie wykazuje 3 rozwiązanie dwuteownika, co dowodzi, że nie sprawdziło by się
zastosowanie go w ten sposób. Jedynym sposobem na poprawienie wyników dla rozwiązania 3 jest
zmniejszenie obciążenia, lub zagęszczenie prętów(żeber) w belce 2 dwuteownika(zmniejszenie
wymiaru s3).
Zaskakujące jest, że dwuteownik z otworami ma w porównaniu z zwykłym dwuteownikiem mniejsze
wartości naprężeń maksymalnych(naprężenie rozkłada się na długości belki przy otworach), oraz
13

prawie jednakowe ugięcie. Z tej analizy wywnioskować można, że używając dwuteowników w
różnego rodzaju konstrukcjach wystarczy stosować podobne rozwiązania (dwuteownik z otworami)-
warunki wytrzymałościowe będą spełnione przy znacznej oszczędności materiału. W zwykłym
dwuteowniku utwierdzonym jednostronnie największe naprężenia występują przy miejscu
utwierdzenia (tam gdzie największy moment gnący), w przypadku dwuteownika z otworami jest
podobnie, jednak duże wartości naprężeń rozkładają się również wokół otworów od strony
utwierdzenia.
14

Projekt II
3. Projekt 2. Analiza naprężeń w dnie elipsoidalnym zbiornika w
obecności króćca
3.1 Cel pracy
Symulacja ma na celu wyznaczenie maksymalnych naprężeń panujących w dnie
zbiornika elipsoidalnego połączonego z króćcem. Programy wspomagające
konstruowanie, takie jak MES pozwalają na optymalizacje konstrukcji dzięki
czemu uzyskuje się jak najlepszy stosunek masy konstrukcji do przenoszonych
obciążeń.
3.2 Zakres pracy
Analiza została przeprowadzona w programie COMSOL Multiphysics 3.4.
Natomiast model 3D został utworzony w programie SolidWorks 2010.
Ciśnienie wewnętrzne zdefiniowane jest na ściance wewnętrznej króćca, oraz
dna elipsoidalnego, dalsza część zbiornika dodana jest w celu zamocowania
konstrukcji ( w przypadku braku mocowania zbiornik był by poddany bardzo
małym naprężeniom ponieważ ciśnienie po prostu przesunęło by całą
konstrukcję). Zbiornik jest również umocowany na końcu króćca(rys.1).
3.3 Analiza naprężeń
Rys.1
15

Rys.2
Rys.3
16

Jak wynika z rysunku 2 i 3 oraz obliczeń analitycznych największe naprężenia
powstają na połączeniu króćca i dna elipsoidalnego, na powierzchni
wewnętrznej zbiornika. Naprężenia te są nieco większe niż przy obliczeniach
analitycznych, jednak MES nie jest metodą dokładną, a jedynie przybliżoną. Na
rys. 4 widzimy rozkład i wielkość elementów skończonych.
Rys.4
17

3.4 Podsumowanie
Metoda Elementów Skończonych nie jest metodą dokładną, a jedynie
przybliżoną. Zagęszczając siatkę elementów skończonych, wynik dążył by do
wyniku dokładnego, jednak nigdy nie osiągnął by tego wyniku. Mimo tych wad
różnica między wynikiem dokładnym a wynikiem z obliczeń MES nie jest duża.
Dodatkowo obliczenia w programie MES są dużo szybsze niż analityczne,
ponadto można w łatwy sposób wprowadzać zmiany do danej konstrukcji.
18

Projekt III
4. Projekt III Analiza porównawcza przepływu laminarnego w
trójnikach (rozdzielaczach) hydraulicznych pod różnym kontem.
Cel pracy
W zadaniu porównywane będą trójniki o jednym
wejściu oraz dwóch wyjściach usytuowanych kod różnym
kątem względem siebie. W każdym przypadku warunki
początkowe będą takie same aby można było obiektywnie
porównać wszystkie z trójników. Średnica wejściowa jest
zawsze taka sama i wynosi 40mm oraz wyjściowe dwie
średnice są równe względem siebie. Porównywane będą ze
sobą rozdzielacze o koncie rozwarcia 15°, 30°, 90°, 120°,
180°.
Zakres pracy
Analiza przeprowadzona zostanie w programie COMSOL 3.4 przy pomocy
modelu Fluid Dynamics - Incompressible Navier-Stokes – Transient analysis
Warunki początkowe:
-Średnica otworu wlotu: 40mm
-Liczba Reynoldsa: Re= 100
-Warunki początkowe: V=0, U=0, P=0
19

4.1 Rozdzielacz o kącie rozwarcia 15°
4.2 Rozdzielacz o kącie rozwarcia 30°
4.3 Rozdzielacz o kącie rozwarcia 90°
20

4.4 Rozdzielacz o kącie rozwarcia 120°
4.5 Rozdzielacz o kącie rozwarcia 180°
21

4.6 Wnioski
Możemy zauważyć, że wraz ze wzrostem konta rozwarcia strumień przepływu mocniej uderza w
powierzchnie na której się rozdziela. Widać do bardzo dobrze w ostatnim przypadku gdzie możemy
zaobserwować iż największa siła strumienia praktycznie odbija się od powierzchni do niej
prostopadłej. Mamy w tym miejscu do czynienia z największymi zakłóceniami. Najłagodniej strumień
rozdziela się przy małym koncie rozwarcia 15° i 30°. Natomiast w praktyce nie stosuje się takich
rozdzielaczy ponieważ mały kąt powoduje, iż rozdzielenie przepływu w taki sposób wymaga dużej
odległości przy otrzymywaniu małej szerokość. W praktyce najczęściej stosuję się rozdzielacza o
kącie 60° i 120°, które mają trochę gorsze właściwości ale dobrze spełniają swoją funkcje. Z tych
dwóch typów rozdzielaczy ten o kącie rozwarcia równym 60 stopni ma mniejsze zakłócenia, możemy
zaobserwować to na wykresach. Są to tylko modele teoretyczne, ponieważ mają ostre krawędzie na
łączeniu w rzeczywistości wszystkie połączenia są zaokrąglone co zmienia trochę naturę przepływu na
nieco łagodniejszy. Niemniej jednak poprzez takie doświadczenie możemy zaobserwować jak
wygląda przepływ w danym przypadku.
22

Projekt IV
5. Projekt 4. Przewodność cieplna dla różnych materiałów
Przewodność cieplna, współczynnik przewodnictwa ciepła oznaczany
symbolem λ lub k określa zdolność substancji do przewodzenia ciepła. W tych
samych warunkach więcej ciepła przepłynie przez substancję o większym
współczynniku przewodności cieplnej.
5.1 Cel pracy
Symulacja ma na celu przedstawienie rozkładu temperatury po czasie t=
60[s] w kołnierzu rurociągu wykonanego z dwóch różnych materiałów, przez
który przepływa medium o temperaturze 353 K (około 80°C), oraz jak długo
będzie trwała zmiana temperatury w całym kołnierzu gdy temperatura medium
nagle spadnie do 293 K (około 20°C ).
5.2 Zakres pracy
Analiza została przeprowadzona w programie COMSOL Multiphysics 3.4.
Natomiast model 3D został utworzony w programie Inventor.
Warunki brzegowe(temperatura) są określone na wewnętrznych ściankach
rurociągu.
Rys. 1.Model kołnierza w programie INVENTOR
23

5.3 Dane wejściowe
Rys. 2.Wymiary
Oznaczenie
Wymiar [mm]
L 200
h 12
t 5
d 10
D 1 50
D 2 94
Dyskretyzacja
fragmentu
rurociągu z
kołnierzem
24

5.4 Analiza rozkładu temperatury po czasie 60 [s]
5.4.1 Stal
Rys. 3.Rozkład temperatury kołnierza
Po upływie 60 sekund cały rurociąg osiągnął temperaturę medium, jednak kołnierz nie
nagrzał się po tym czasie do tej temperatury. Zewnętrzna temperatura kołnierza (najniższa)
wynosi 333,5K)
5.4.2 Aluminium
Rys.4.Rozkład
temperatury
kołnierza
25

Cały kołnierz osiągnął temperaturę medium (353K), wygląd rozkładu temperatury może
wynikać z błędów obliczeniowych, jednak różnica między najwyższą a najniższą temperaturą
wynosi 0,002.
Poprawny wygląd rozkładu temperatury po upływie 60 sekund.
5.4.3 Porównanie wyników
Kołnierz stalowy nie osiągnął temperatury medium w przeciwieństwie do
kołnierza wykonanego z aluminium.
Materiał kołnierza
Stal
Aluminium
Najniższa temperatura
333.5 K
353 K
5.5Czas po jakim kołnierz osiągnie temperaturę 293 K
5.5.1Dla kołnierza stalowego
Rysunki poniżej przedstawiają jak zmienia się temperatura w kołnierzu co
5 sekund.
26

Cały kołnierz osiągnął temperaturę medium po około 70 sekundach.
29

5.5.2Dla kołnierza aluminiowego
30

Cały kołnierz osiągnął temperaturę medium w niecałe 15 sekund.
5.5.3Porównanie wyników oraz wnioski
Z symulacji wywnioskować można, że większą przewodność ciepła ma
aluminium. Kołnierz wykonany ze stali w przeciwieństwie do aluminiowego nie
uzyskał temperatury 353 K w czasie 60 sekund i czas jego „stygnięcia” po
zmianie temperatury przepływającego medium był ponad 4krotnie dłuższy niż
kołnierza aluminiowego.
Materiał kołnierza
Najniższa temperatura po
upływie 60 sekund(temperatura
medium 353 K)
Czas spadku temperatury
przy obniżeniu
temperatury medium [s]
Stal 333.5 K Około 70
Aluminium 353 K Około 15
31

Projekt V
6. Projekt 5. Rozkład temperatury dla płyty o określonych wymiarach i
warunkach brzegowych
6.1 Cel pracy
Symulacja ma na celu przedstawienie rozkładu temperatury dla płyty,
która na każdym z brzegów ma określoną inna temperaturę. Analiza zostanie
przeprowadzona w dwóch różnych programach w celu porównania. Użycie
warunków 1 i 2 rodzaju.
6.2 Zakres pracy
Analiza została przeprowadzona w programie COMSOL Multiphysics 3.4
oraz scilab-5.4.0. Do uzyskania wyników w programie scilab-5.4.0 została
wykorzystana metoda rozwiązań podstawowych.
Metoda Rozwiązań Podstawowych
Jest metodą bezsiarkową, stosowaną do rozwiązywania każdego równania
różniczkowego, którego znamy rozwiązanie podstawowe. Do znalezienia
rozwiązania wystarczy zdefiniować warunki brzegowe w punktach kollokacji
oraz zbiór punktów na zewnątrz badanego obszaru- tzw. punktów źródłowych.
Punkty źródłowe są dobrane w stosunku do punktów kollokacji zazwyczaj w
następujący sposób:
-przez jednokładność
-na okręgu (sferze)
Najprostrzym wariantem jest gdy liczba punktów źródłowych równa się liczbie
punktów kollokacji.
Rozwiązanie podstawowe: U=U(x,z) –pewna funkcja spełniająca równanie
rządzące w obszarze. Rozwiązanie zagadnienia definiujemy jako kombinację
liniową rozwiązań podstawowych.
Macierz A jest to macierz główna układu zawierająca wartości rozwiązań
podstawowych, gdzie element A(i,j) jest wartością rozwiązania podstawowego
dla i-tego punktu kollokacji dla j-tego źródła.
Dla rozkładu temperatury użyty został warunek pierwszego rodzaju- Warunek
Dirichleta.
6.3 Długości boków płyty oraz liczba punktów kollokacji dla każdego
przypadku wynoszą:
Bok Długość Liczba punktów
kollokacji na brzegu
b 3 30
a 2 20
32

6.4Rozkład temperatury
6.4.1Warunki brzegowe dla przykładu 1
Rozkład temperatury w programie COMSOL Multiphysics 3.4
Rozkład temperatury w programie scilab 5.4.0
33

6.4.2Warunki brzegowe dla przykładu 2
Rozkład temperatury w programie COMSOL Multiphysics 3.4
Rozkład temperatury w programie scilab 5.4.0
34

6.4.3Warunki brzegowe dla przykładu 3
Rozkład temperatury w programie COMSOL Multiphysics 3.4
Rozkład temperatury w programie scilab 5.4.0
35

6.4.4 Warunki brzegowe dla przykładu 4
Rozkład temperatury w programie COMSOL Multiphysics 3.4
Rozkład temperatury w programie scilab 5.4.0
36

6.5 Warunki brzegowe drugiego rodzaju
Jeżeli w punktach kollokacji określony został warunek brzegowy drugiego
rodzaju- warunek Neumana to należy podać również wektor normalny do
brzegu w tym punkcie(wektor normalny do brzegu, jednostkowy skierowany na
zewnątrz obszaru). W przypadku warunku Neumana w macierzy głównej układu
A zamiast φ będzie pochodna dφ.
Strumień ciepła w programie scilab 5.4.0
6.3Podsumowanie
Rozkłady temperatur w obu programach podobnie, jednak program
COMSOL Multiphisics 3.4 lepiej obrazuje ten rozkład, kolory na płycie
rozkładają się stopniowo zależnie od temperatury w danym punkcie. W
programie scilab-5.4.0 są to kolorowe pasy.
37