Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa - "VITEZ" Travnik

KVANTITATIVNI
ASPEKTI EKONOMIJE
I BIZNISA
Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆ
Dr. SAŠA VUJIĆ
Travnik, 2012.god.
9 789958 641053

Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆ
Dr. SAŠA VUJIĆ
KVANTITATIVNI ASPEKTI
EKONOMIJE I BIZNISA
Travnik, 2012.god.

"KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE I BIZNISA" -
KNJIGA
IMPRESUM
Autori.
Prof. Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆ
Doc. Dr. SAŠA VUJIĆ
IZDAVAČ:
Sveučilište/Univerziteta "VITEZ" Travnik
RECENZENTI:
Prof.dr. Nikola Grabovac,
Prof.dr. Blagota Lučić,
UNOS TEKSTA:
Vesna Ereš
2

- SADRŽAJ -
1.UVOD ......................................................................................... 15
2. MJERE ........................................................................................ 17
2.1. METRIČKI SISTEM ........................................................... 18
2.1.1. MJERE ZA DUŽINU ................................................. 18
2.1.2. MJERE ZA POVRŠINU ............................................ 19
2.1.3. MJERE ZA ZAPREMINU (VOLUMEN) ................. 20
2.1.4. MJERE ZA TEKUČINU ............................................ 20
2.1.5. MJERE ZA TEŽINU .................................................. 21
2.2. MJERE U VELIKOJ BRITANIJI ....................................... 22
2.2.1. MJERE ZA DUŽINU ................................................. 22
2.2.2. MJERE ZA POVRŠINU ............................................ 23
2.2.3. MJERE ZA ZAPREMINU ......................................... 23
2.2.4. MJERE ZA TEŽINU .................................................. 24
2.2.5. MJERE ZA TRGOVAČKU ROBU ........................... 24
2.2.6. MJERE U SAD .......................................................... 27
2.2.7. MJERE ZA PLEMENITE METALE I DRAGO
KAMENJE .................................................................. 27
2.2.8. MJERE ZA TEČNOST I ŽITARICE ......................... 28
3. NOVAC I VALUTE ................................................................... 29
3.1. NOVAC ................................................................................ 29
3.2. KURSNE LISTE .................................................................. 33
3.2.1. PARITET .................................................................... 33
3.2.2. PARITET KOVANOG NOVCA ............................... 34
3

3.2.3. VALUTNI PARITET, KURSNE LISTE ................... 37
4. REZOLVIRANJE I REDUCIRANJE MJERA I NOVCA ... 43
4.1. PRETVARANJE JEDINICE NOVCA ............................... 44
4.2. PRETVARANJE JEDINICA DRUGIH MJERA................ 51
5. PROPORCIJE ........................................................................... 57
5.1. OMJER ................................................................................. 57
5.2. DEFINICIJA PROPORCIJE ............................................... 59
5.3. OSOBINE PROSTIH PROPORCIJA ................................. 60
5.4. PRODUŽENE PROPORCIJE ............................................. 62
5.5. PRAVILO TRAJNO............................................................ 67
6. VERIŽNI RAČUN ..................................................................... 72
7. RAČUN PODJELE .................................................................... 76
8. SREDNJA VRIJEDNOST ........................................................ 79
9. RAČUN SMJESE ....................................................................... 81
9.1. SMJESA OD DVA SASTOJKA .......................................... 83
9.2. SMJESA OD TRI SASTOJKA ............................................ 86
9.3. SMJESA OD ČETIRI SASTOJKA ..................................... 90
10. PROCENTNI RAČUN .......................................................... 95
10.1. PROCENTNI RAČUN OD STO ....................................... 95
10.2. PROCENTNI RAČUN VIŠE OD STO ............................. 99
10.3. PROCENTNI RAČUN NIŽE OD STO ............................ 102
11. KAMATNI RAČUN ............................................................... 107
4

11.1. KAMATNI RAČUN OD STO ......................................... 108
11.2. KAMATNI DIVIZOR ..................................................... 113
11.3. KAMATNI BROJEVI ..................................................... 115
11.4. KAMATA NA VIŠE GLAVNICA .................................. 116
11.5. INTERKALARNA KAMATA ........................................ 118
11.6. KAMATNI RAČUN VIŠE OD STO ............................... 122
11.7. KAMATNI RAČUN NIŽE OD STO .............................. 123
12. ESKONTNI RAČUN ............................................................. 128
12.1. UVOĐENJE U PROBLEM ............................................ 128
12.2. ODREĐIVANJE ESKONTNOG IZNOSA, VRSTE
ESKONTA, ČISTI ESKONT .......................................... 130
12.3. UPOREĐIVANJE MJENICA, EKVIVALENTNE
MJENICE ......................................................................... 135
12.4. ZAMJENA VIŠE MJENICA JEDNOM ......................... 137
12.5. ODREĐIVANJE NOMINALNE VRIJEDNOSTI
MJENICE ........................................................................ 140
12.6. ODREĐIVANJE ESKONTNE STOPE .......................... 142
12.7. IZRAČUNAVANJE BROJA DANA, ROKA
DOSPIJEĆA I DANA ESKONTOVANJA .................... 146
13. TEKUĆI RAČUNI ................................................................ 149
13.1. UVODNE NAPOMENE ................................................ 149
13.2. DIREKTNA METODA, JEDNOSTRUKA KAMATA,
SVE POZICIJE DOSPIJEVAJU..................................... 151
13.3. INDIREKTNA METODA .............................................. 157
5

13.4. STEPENASTA METODA, SVE STAVKE DOSPJELE,
JEDINSTVENA KAMATNA STOPA ........................... 163
14. RAČUN DEVIZA .................................................................. 168
15. RAČUN ZLATA I SREBRA ................................................ 178
16. RAČUN AMORTIZACIJE I BONITETA SREDSTVA ... 187
16.1. POJAM I ZNAČAJ AMORTIZACIJE ........................ 187
16.2. OSNOVICA ZA OBRAČUN AMORTIZACIJE ........ 188
16.3. NAČIN OBRAČUNA AMORTIZACIJE ................... 190
16.4. STOPA AMORTIZACIJE I VIJEK TRAJANJA........ 192
16.5. BONITET SREDSTAVA ZA RAD ............................ 194
17. MJERENJE TRAJANJA OBRTA KAPITALA ................. 195
17.1. POJAVNI OBLICI OBRTNIH SREDSTAVA ........... 195
17.2. MJERENJE TRAJANJA OBRTA ............................... 196
18. MJERENJE LIKVIDNOSTI ............................................... 199
19. MJERENJE STRUKTURE, STATIKE I DINAMIKE
SREDSTAVA ........................................................................ 203
19.1. MJERENJE RADA KOD STALNIH POSLOVNIH
SREDSTAVA ............................................................. 203
19.2.MJERENJE KOD OBRTNIH SREDSTAVA –
PREDMETA RADA ................................................... 208
20. MJERENJE ELASTIČNOSTI POTRAŽNJE .................... 212
20.1. POJAM, VRSTA I ZAKONITOSTI POTRAŽNJE ... 212
6

20.2. MJERENJE CIJENOVNE ELASTIČNOSTI
POTRAŽNJE ............................................................... 217
20.3. MJERENJE UNAKRSNEA ELASTIČNOSTI
POTRAŽNJE .............................................................. 220
20.4. MJERENJE DOHODOVNE ELASTIČNOSTI
POTRAŽNJE ............................................................... 221
21. MJERENJE ELASTIČNOST PONUDE ............................. 224
21.1. POJAM, VRSTA I ZAKONITOSTI PONUDE .......... 224
21.2. MJERENJE ELASTIČNOSTI PONUDE ................... 226
21.3. MJERENJE ODNOSA PONUDE I POTRAŽNJE ..... 229
22. KALKULACIJE ..................................................................... 231
22.1. POJAM I ZNAČAJ KALKULACIJE ......................... 231
22.2. PODJELA KALKULACIJA ....................................... 233
22.3. METODE KALKULACIJE ........................................ 234
22.4. VAŽNIJI POJAVNI OBLICI KALKULACIJE .......... 236
22.5. PRIMJERI KALKULACIJE ....................................... 241
22.6. TEHNIKA IZRAČUNAVANJA MARŽE .................. 248
23. MJERENJE USPJEŠNOSTI POSLOVANJA .................... 250
23.1. POJAM I ZNAČAJ FINANSIJSKOG REZULTATA 250
23.2. POJAM I ZNAČAJ PRODUKTIVNOSTI .................. 252
23.3. MJERENJE EKONOMIČNOSTI ................................ 254
23.4. MJERENJE RENTABILNOSTI ................................. 255
23.5. MJERENJE PRAGA RENTABILNOSTI ................... 256
7

24. MJERENJE ZALIHA SIROVINA I GOTOVIH
PROIZVODA ......................................................................... 260
24.1. POJAM I ZNAČAJ ZALIHA ...................................... 260
24.2. TROŠKOVI ZALIHA I TROŠKOVI NABAVE
ROBE ......................................................................... 263
24.3. VRSTE ZALIHA ......................................................... 264
24.4. RAČUNANJE BROJA NARUDŽBI I
KOLIČINA NABAVKE ............................................. 268
24.5. POLITIKA OBNAVLJANJA ZALIHA ...................... 270
25. METODE FORMIRANJA CIJENA .................................... 273
25.1. FORMIRANJE CIJENA U PROIZVODNJI I
PROMETU .................................................................. 273
25.2. POJAM I ZNAČAJ DIFERENCIRANJA CIJENA .... 277
25.3. UČINCI PROMJENE CIJENE NA OBIM PRODAJE . 279
25.4. ODNOS TROŠKOVA I PRODAJNE CIJENE ........... 283
26. MJERENJE EFEKATA ULAGANJA U EKONOMSKU
PROPAGANDU ..................................................................... 286
27. OBRAČUN PLAĆE I DRUGIH PRIMANJA ..................... 291
27.1. OBRAČUN PLAĆE ....................................................... 292
27.2. OBRAČUN DRUGIH PRIMANJA ............................... 295
8

Sjećanje,
Posebna zahvala i sjećanje na jednog od autora knjige i zbirke
profesora dr. sci. Miodraga Jovičevića, preminulom tokom izdavanja
udžbenika.
Nemjerljiv doprinos u kvaliteti knjige i zbirke profesor Jovičević je
crpio iz dugogodišnje višedecenijske prakse u radu sa studentima.
Hvala.
9

Prof. dr. Nikola Grabovac
Redovni profesor - Profesor emeritus
RECENZIJA KNJIGA
1. „KVANTITATIVNI ASPEKTI EKNOMIJE I BIZNISA“
2. „ZBIRKA ZADATAKA SA RJEŠENJIMA IZ „KVANTITATIVNI
ASPEKTI EKNOMIJE I BIZNISA“
Knjiga „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ je rijetka knjiga
koja na jednom mjestu obrađuje problematiku kvantificiranja
ekonomske i biznis aktivnosti.
Studenti u jednoj knjizi i na jednom mjestu uče i obnavljaju svoja
znanja koja su parcijalno i djelomično učili na drugim predmetima.
Autori knjige, odnosno udžbenika, su na originalan način pristupili
obradi pojedinih segmenata poslovne aktivnosti koje se mogu
kvantificirati i time utvrditi kvalitet poduzetničkih aktivnosti.
Izbjegnuta su teorijska i nepotrebna izlaganja, nego se sve postavlja i
uči na konkretnim primjerima, koji su svakodnevno prisutni u praksi i
poslovanju organizacije.
Autori su na interesantan način prikazali kvanitificiranje raznih
ekonomskih pokazatelja koji imaju veliki značaj u:
- Mjerenju rezultata rada
- Praćenju izvršenja planskih zadataka
- Upoređivanju sa prethodnim periodima poslovanja
- Utvrđivanju kvaliteta rada pojedinaca, grupa, sektora i sl. kroz
kvantitativne pokazatelje
Na temelju poznatih kvantifikacija menadžeri dobijaju prave i
kvalitetne informacije o:
- Rezultatima poslovanja
- Izvršenju planskih zadataka
- Realizaciji sistema nagrađivanja
- Postavljanju planskih zadataka
- Utvrđivanju i definiranju ciljeva poslovanja
- Kvalitetu uspješnosti postavljenih zadataka kroz
kvantifikacijske planove
11

Praćenjem kvantifikacijskih aspekata poslovanja izbjegavaju se
subjektivne ocjene i paušalne procjene. Time se izbjegavaju
neposredni konflikti, a samo kvantifikacijski rezultati su pravi odnos
rezultata rada uz uzimanje u razmatranje i okruženja poslovanja.
Osnovna knjiga dobija na izuzetnom značaju kroz drugu knjigu
„Zbirka zadataka sa rješenjima iz Kvantifikacijskih aspekata
ekonomije i biznisa“. Zbirku zadataka u cjelosti prati sadržaj osnovne
knjige, s tim da se dodaju novi zadaci dotičnog dijela knjige. Na taj
način studentima se omogućava da bolje savladaju određenu oblast .
Još veći doprinos kvalitetu knjige i zbirke autori su dali kroz
rješavanje svakog zadatka, tako da studenti mogu sami sebi
kontrolirati uspješnost riješenih zadataka.
Knjiga treba da pomogne studentima da se nakon zapošljavanja mogu
odmah upustiti u kvantificiranje rezultata poslovanja sa eknomskog
aspekta.
Originalan doprinos autori su dali ne samo u teorijskom dijelu, nego i
u aplikativnom smislu, koji mogu da uspješno koriste menadžeri pri
rukovođenju firmom ili njenim dijelovima.
Ova knjiga sa zbirkom sadrži nastavni program koji je predviđen iz
ove oblasti i može se uspješno koristiti kao knjiga odnosno udžbenik
za studente. Takođe, knjiga može uspješno pomagati uposlenicima i
menadžerima koji već rade u firmama.
Travnik, 10.04.2012
RECENZENT
Prof.dr. Nikola Grabovac
12

Prof. dr. Blagota Lučić
Redovni profesor
RECENZIJA
Ova recenzija se odnosi na dvije knjige
a) „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“i
b) „Zbirka zadataka sa rješenjima iz „Kvantitativni aspekti ekonomije i
biznisa“
Ove dvije knjige su usko povezane i obrađuju problematiku
kvantificiranja u poslovanju sa aspekta ekonomije i biznisa.
Ovom knjigom daje se dominantan značaj primjeni raznih
matematičkih pristupa kroz kvantificiranje pojedinih ekonomskih
aktivnosti. Tim procesom utvrđuju se egzaktni pokazatelji koji su
dominantni nad subjektivnim procjenama kvaliteta rezultata
poslovanja.
Knjiga je podijeljena u 27 poglavlja i obrađene su oblasti koje se
najčešće pojavljuju u ekonomiji i biznisu a mogu se kvantificirati.
Posebno ističem neka područja kao npr.:
- račun smjese - račun amortizacije
boniteta sredstava
- verižni račun - mjerenje trajanja obrta
kapitala
- procentni račun - mjerenje elastičnosti
potražnje
- kamatni račun - mjerenje elastičnosti
ponude
- eskontni račun - kalkulacije
- tekući račun - metode formiranja cijena
Autori knjiga polaze od značaja mjerenja svakog rezultata rada i na
temelju tih mjerenja uspostavljanje kvalitetnog planiranja, povećanja
13

ostvarivanja rezultata rada i mogućnosti povećanja efikasnosti pri
donošenju odluka.
Knjige dobijaju na značaju jer se u cijelosti prožima teorijski pristup
određenom pitanju i njegovo kvantificiranje. Da bi aplikativno to
potvrdili svaka oblast se prethodno teorijski ukratko obrađuje, a potom
se navode konkretna rješenja. Poseban kvalitet knjizi daje dodatno
Zbirka rješenja koja ima konkretne zadatke, a u dijelu knjige ti su
zadaci riješeni. Na ovaj način olakšava se učenje studentima, jer se
sami mogu kntrolisati i vidjeti da li su uspješno riješili zadatak.
Knjiga sadrži sve dijelove koji su navedeni u nastavnom programu za
ovaj predmet i zadaovoljava sve kriterije da bude univerzitetska
knjiga.
Sarajevo, 28.03.2012
prof.dr. Blagota Lučić
Redovni profesor
14

1.UVOD
Knjiga „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ namjenjena je
studentima i osobama koje rade na ekonomskim poslovima i koji su
vezani uz razne analitičke, financijske, komercijalne i
računovodstvene izračune. Pored ekonomista ovu problematiku
trebaju poznavati i informatičari koji su poslovno povezani sa
ekonomskom informatikom ili raznim ekonomskim računicama kao
što su kalkulacije, formiranja cijena, izračun pariteta novca, kamatni
računi i td.
Sadržaj knjige struktuiran je tako što upoznaje zainteresirane sa
poslovima vezanim za njihov svakodnevni rad. Iz tog razloga u ovoj
knjizi obrađuju se pojmovi mjera i njihova upotreba, novac i kursne
liste, proporcije, verižni račun, kamatni račun, tekući račun, račun
amortizacije, mjerenje trajanja obrta kapitala, mjerenje likvidnosti,
mjerenje elastičnosti ponude i potražnje, pravljenje kalkulacija,
mjerenje uspješnosti poslovanja kroz mjerenje produktivnosti,
ekonomičnosti i rentabilnosti, mjerenje zaliha, metode formiranja
cijena, obračun plaća i td.
Pored knjige „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ potrebno je
koristiti Zbirku zadataka sa rješenjima vezanim za kvantitativni
aspekt ekonomije i biznisa koja kroz konkretne primjere i rješenja
olakšavaju učenje.
Ova je knjiga nastajala godinama, kao priprema za nastavu na
predmetu Kvantativni aspekti ekonomije i biznisa na
Sveučilištu/Univerzitetu “VITEZ” Travnik. Posebno se zahvaljujemo
prof.dr.sc. Nikoli Grabovcu koji je dozvolio da koristimo neke djelove
iz njegovih mnogobrojnih knjiga, i koji je vrlo pažljivo pročitao tekst,
i upozorio na neke propuste i dao vrlo vrijedne sugestije, prije svega
usmjerene i prilagođene mogućnostima studenata i cjelovitosti studija.
Autori
15

2. MJERE
Posmatrajući svijetsku zajednicu iz današnje perspektive svjedoci smo
velike međusobne povezanosti država kao i regija, u okvirima
različitih djelatnosti, a naročito na poslovno-ekonomskom planu.
Jednu od osnova povezanosti, pored ostalih faktora, čine sistemi
mjera. Sistemi mjera odnose se na sve aspekte poslovnih i
ekonomskih aktivnosti i obuhvataju kako mjere fizičkih veličina, tako
i mjere za plemenite metale i za novac.
Treba napomenuti da su pojedine mjere od uvijek postojale, od
najranijih perioda ljudske civilizacije, da bi se tokom vremena
razvijale, konsolidovale i internacionalizirale i formirale sisteme mjera
u današnjem smislu. U sadašnjem trenutku većina država svijeta
primjenjuje sisteme mjera za fizičke veličine (dužina, površina,
zapremina, tečnost, težina) i novac koje su zasnovane na dekadskom
sistemu računanja. Međutim u praksi nekih za svjetsku ekonomiju
važnih država (Velika Britanija, SAD) nije uveden (u potpunosti)
dekadski sistem, pa se primjenjuju stare tradicionalne mjere! Ova
okolnost nameće potrebu prevođenja (preračunavanja) jednih mjera u
druge u cilju obavljanja odgovarajućih poslovno-ekonomskih
aktivnosti.
17

2.1. Metrički sistem
Metrički sistem neposredno je zasnovan na primjeni dekadskog
sistema računanja. Njegovu osnovu čini jedinica za dužinu koja se
zove metar i označava sa 1m. Jedinica 1m utvrđena je odlukom
francuske narodne skupštine od 1791. godine, a definiše se kao jedan
desetomilioniti dio četvrtine zemljinog meridijana, pri ćemu su
mjerenja vršena na njegovom dijelu od Barcelone do Denkverka. Ova
jedinica uvedena je u praksu prvo u Francuskoj, da bi je kasnije
prihvatile i druge države. Na međunarodnoj konferenciji 1889. godine
stvorena je „Međunarodna metarska konvencija“ na kojoj je stvoren
međunarodni prototip metra, koji se neznatno razlikuje od prvobitnog
metra (izvršena su preciznija mjerenja). Taj prototip izrađen je od
platine i čuva se u Sevru-Francuska, a po njemu izrađene kopije
koriste se kao jedinica za dužinu.
2.1.1. Mjere za dužinu
Prema konvenciji, sve jedinice koje su veće od metra dobile su ime
dodavanjem grčkih riječi deka, hekto i kilo ispred riječi metar.
Jedinice manje od metra dobile su naziv dodavanjem latinskih riječi
deci, centi i mili. Slično se postupilo i u slučaju jedinica za neke druge
fizičke veličine. Tako se dobio skup mjera za dužinu u kojem je odnos
između dviju susjednih jedinica jednak broju 10 ili broju 10
1 .
Mjere veće od metra su: dekametar (dkm), hektometar (hm), kilometar
(km), mirijametar ( µ m) a megametar (Mm).
1 dkm = 10 m; 1 hm = 10 dkm = 100 m
1 km = 10 hm = 100 dkm = 1.000 m
1 µ m = 10 km = 10.000 m; 1 Mm = 1.000.000 m
18

Jedinice manje od metra su: decimetar (dm), centimetar (cm) i
milimetar (mm).
1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm
Vrijedi:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 1
1 dm = m,1cm = dm,1mm =
10 10
1
10
cm
Stara mjera za dužinu: 1 aršin (lakat) = 66 cm
2.1.2. Mjere za površinu
Osnovna jedinica je jedan kvadratni metar (1 m 2 ). Ona predstavlja
površinu kvadrata čija stranica ima dužinu 1m.
Manje jedinice su: kvadratni decimetar (1 dm 2 ), kvadratnicentimetar
(1 cm 2 ) i kvadratni milimetar (1 mm 2 ).
1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2
1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2
1 cm 2 = 100 mm 2
Veće jedinice su:
- kvadratni dekametar tj. ar sa oznakom 1 dkm 2 tj. 1 a
- kvadratni hektometar tj. hektar sa oznakom 1ha
- kvadratni kilometar 1 km 2
Vrijedi:
1 a = 100 m 2 , 1 ha = 100 a = 10.000 m 2
1 km 2 = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m 2
19

1
Odnos dvije susjedne veće i manje jedinice je 100, a obrnuto . 100
Veće jedinice od 1 m 2
zemljišta.
uglavnom se koriste za mjerenje površine
Stare mjere za površinu zemljišta:
1 dunum (od turske riječi „donumi“) = 10 a = 1.000 m 2
1 lanac (dan oranja – nije svugdje jednak) ≈ 5.755 m 2
2.1.3. Mjere za zapreminu (volumen)
Osnovna jedinica je 1 kubni metar (1 m 3 ) koja predstavlja zapreminu
kocke čija osnovna ivica ima dužinu 1m.
Manje jedinice su: kubni decimetar (1 dm 3 ), kubni centimetar (1 cm 3 )
i kubni milimetar (1 mm 3 ).
Odnos jedinica za zapreminu:
1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 3 = 10 3 dm 3 =
= 10 6 cm 3 = 10 9 mm 3
1 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 3 = 10 3 cm 3 = 10 6 mm 3
1 cm 3 = 1.000 mm 3 = 10 3 mm 3
2.1.4. Mjere za tekučinu
Osnovna jedinica je jedan litar (1 l), koji zapravo predstavlja
zapreminu od 1 dm 3 .
Manje jedinice su: decilitar (1 dcl), centilitar (1 cl) i mililitar (1 ml),
dok su veće jedinice dekalitar (1 dkl) i hektolitar (1 hl).
20

Odnos jedinica za tekučinu:
1 l = 10 dcl = 100 cl = 1.000 ml = 10 2 cl = 10 3 ml
1 dcl = 10 cl = 100 ml = 10 2 ml
1 cl = 10 ml
1 dkl = 10 l,
1 hl = 100 l
2.1.5. Mjere za težinu
Osnovna jedinica je kilogram (1 kg), koja predstavlja težinu jednog
kubnog decimetra vode na temperaturi od 4 0 C.
Manje jedinice su dekagram (dkg), gram (g), decigram (dcg),
centigram (cg) i miligram (mg), dok veće jedinice pretstavljaju
metrička centa ili kvintal (q) i tona (t).
Vrijedi:
1 kg = 10 2 dkg = 10 3 g= 10 4 dcg = 10 5 cg = 10 6 mg
1 kg = 100 dkg = 1.000 g = 10.000dcg = 100.000 cg = 1.000.000 mg
1 dkg = 10 g = 100 cg = 10.000 mg
1 g = 10 dcg = 100 cg = 1.000 mg
1 dcg = 10 cg = 100 mg
1 cg = 10 mg
Stare mjere za težinu:
1 oka = 4 litre = 400 drama = 1.282 kg
1 kantar (carigradski) = 44 oke = 56,308 kg
Metrički sistemi mjera za fizičke veličine primjenjuju se u evropskim
državama i nizu drugih država. Međutim u Velikoj Britaniji, i
djelimično u SAD, nije uveden metrički sistem mjera već se koriste
stare mjere. One se, u pogledu naziva i u pogledu njihovih vrijednosti,
21

azlikuju od evropskog sistema mjera. Naime, odnosi između manjih i
većih jedinica (ili obrnuto) za istu fizičku veličinu nisu u skladu sa
dekadskim sistemom računanja, već za svaku od njih vrijede
specifični odnosi utvrđeni na tradicionalan način tokom vremena.
Ove odnose je potrebno poznavati jer postoji potreba preračunavanja
mjernih brojeva iz jednog mjernog sistema u drugi, a u cilju
obavljanja odgovarajućih poslovno – ekonomskih aktivnosti.
2.2. Mjere u Velikoj Britaniji
Sistem mjera u Velikoj Britaniji je prvi put određen 1824.godine
britanskom uredbom o težinama i mjerama, a unaprđivan je sve do
1959.godine. U narednom djelu teksta će se obraditi mjere za dužinu,
površinu, zapreminu, težinu, trgovačku robu, plemenite metale i
tečnost i zapreminu.
2.2.1. Mjere za dužinu
1 jard (yard), oznaka – 1 yd (množina yds)
1 stopa (1 foot), oznaka – 1 ft (fts)
1 palac (inch), oznaka – 1 in (ins)
1 crta (lajn), oznaka – 1 l (ls)
Vrijedi:
1 yd = 3 fts = 36 ins = 432 lns = 0,914 cm, 12 yds = 11 m
1 ft = 1 3
yd = 12 ins = 144 ls = 0,305 m
1 in = 12 ls = 0,025 m
1 l = 0,0021 m = 2,11 mm
22

Prema tome dužina nečega ili nekog objekta izražava se sa 4 mjerna
broja a, b, c i d koji se odnose na broj jardi, broj stopa, broj palaca i
broj linija. Tu činjenicu označićemo na slijedeći način:
yd (a,, b,, c,, d)
To znači da je dužina posmatranog objekta, označit ćemo je sa x,
jednaka
x = a ⋅ yds + b⋅ fts + c⋅ ins + d ⋅ls
odnosno
x = a ⋅ 0,914 m + b⋅ 0,305 m + c⋅ 0,025 m + d ⋅ 0,0021 m
Veća jedinica je jedna engleska milja (em) za koju vrijedi:
1 em = 1.760 yds = 1.609,34 m.
Sem toga koristi se morska milja (Sea mile) koja iznosi 1.852 m.
2.2.2. Mjere za površinu
Jedinica mjere za površinu je kvadratna jarda – skverjard (square yard,
oznaka: sqyd). Manje jedinice su kvadratna stopa (oznaka sqft) i
kvadratni inč (sqin); a veća jedinica je akr (acre).
Vrijedi:
1 sqyd = 9 sqft = 0,83643 m 2
1 sqft = 1 9 sqyd = 0,092936802974 m2 = 9,29368 dm 2
1
1 sqin = sqft = 6,46 cm
2
144
1 akr = 4.840 sqyd = 4.047 m 2 = 0,405 ha
2.2.3. Mjere za zapreminu
Jedinica mjere je kubna jarda (cubic yara, oznaka–cuyd). Manja
jedinica je kubna stopa (cuft). Veće jedinice koriste se za obračun
23

prevoza na brodovima – šiping tona (ton od shipping) odnosno za
mjerenje tonaže brodova – registar tona (registartona).
Vrijedi:
1 cuyd = 27 cuft = 0,764505 m 3
1
1 cuft = cuyd = 28,315 dm
3
27
1 šiping (brodska) tona = 40 cuft = 1,132 m 3
1 registartona = 100 cuft = 2,8315 m 3
2.2.4. Mjere za težinu
Za težinu postoje tri vrste mjera koje se odnose na (1) trgovačku robu,
(2) plemenite metale i drago kamenje i (3) apotekarska mjerenja.
Ovdje ćemo govoriti o mjerama za trgovačku robu i plemenite metale
i drago kamenje.
2.2.5. Mjere za trgovačku robu
Jedinica mjere za trgovačku robu je 1 funta ili libra, oznaka 1 lb, za
koju vrijedi
1 lb = 0,454 kg
Veće jedinice su: kvarter (1qr), handredvejt (hundredweigt, (1cwt) i
engleska tona (1et). Manje jedinice su: unca (ounce (1 oz), dram (1 dr)
i gren ili grain (1 gr).
Vrijedi:
1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb = 1.016 kg ...(*)
1 lb = 16 oz = 256 dr = 7.000 qr = 0,4536 kg ...(**)
Vidimo da engleske jedinice mjera za težinu nisu u decimalnom
odnosu. Stoga težina neke količine (veće ili manje) trgovačke robe
neće uvijek biti izražena jednim mjernim brojem, već može biti
izražena sa više mjernih brojeva. Tako se može desiti, da je količina
24

neke robe koja je predmet trgovine, nakon mjerenja izražena u
engleskim tonama (a), hundretvejtima (b), kvarterima (c) i librima (d).
Ako tu količinu označimo sa m, tada se piše:
m = et (a,, b,, c,, d)
što zapravo znači da je
m = a ⋅ et + b ⋅ cwt + c⋅ qr + d ⋅ lb
Na primjer neka je
m = et (3,, 15,, 24,, 72) tada je
m = 3 et + 15 cwt + 24 qr + 72 lb
Slično se može desiti da je količina robe izražena u librima (a),
uncima (b), dramima (c) i grenima (d). Označimo li tu količinu sa n,
biće:
n = lb (a,, b,, c,, d) odnosno
n = a ⋅ lb + b⋅ oz + c⋅ dr + d ⋅ gr
U slučaju da je
n = lb (8,, 6,, 23,, 19),
biće
n = 8 lb + 6 oz + 23 dr + 19 gr.
Želimo li težine roba m, odnosno n, izraziti u kilogramima biće
potrebno izvršiti preračun jedinica težine, jednih u druge, i izraziti ih u
metričkim jedinicama. Polazi se od jednakosti (*) odnosno (**), dobit
će se:
1 cwt = 0,05 et = 4 qr = 112 lb = 50,8 kg
1 qr = 0,0125 et = 0,25 cwt = 28 lb = 12,7 kg
1 lb = 0,0004464 et = 0,0089 cwt = 0,0357 qr = 0,454 kg
1 oz = 0,0625 lb = 16 dr = 437,5 gr = 0,0283 kg
1 dr = 0,0039 lb = 0,0625 dr = 27,344 gr = 0,00177 kg
1 gr = 0,0001429 lb = 0,002286 oz = 0,03657 dr = 0,000065 kg
25

Težine robe m, odnosno n, izražene u kilogramima:
m = (3 · 1.016 + 15 · 50,8 + 24 · 12,7 + 72 · 0,454) kg
m = 4.147,488 kg
n = (8 · 0,454 + 6 · 0,0283 + 23 · 0,00177 + 19 · 0,000065) kg
n = 3,843745 kg
Mjere zapremine žitarica:
Osnovna jedinica za mjerenje zapremine žitarica je bušel (bushel – 1 bu).
1 bu = 8 gl = 290,781 litara
Veća jedinica za žitarice je kvarter (qvoter – 1 qu)
1 qu = 8 bu = 64 gl = 290,781 litara
Manje jedinice za mjerenje žitarica su
Kvart (kvot) = 4
1 gl = 1,135 litara
Pint (pt) = 8
1 gl = 0,568 litara
Gil (gill) = 32
1 gl = 0,142 litra
Mjere tečnosti:
Za mjerenje tečnosti veće jedinice su
Tun = 252 gl = 1145 litara
1
Barel = tuna = 36 gl = 163,57 litara
7
Hohhed = 63 gl = 286,25 litara
26

2.2.6. Mjere u SAD
U SAD primjenjuje se metrički sistem, ali se takođe primjenjuje i
tradicionalni sistem sličan sistemu u Velikoj Britaniji.
Mjere za dužinu, površinu i zapremina su iste kao u Velikoj Britaniji,
dok u pogledu mjera za žitarice (šupljinu), tečnosti i djelomično za
težinu postoje razlike. Stoga se za odgovarajuće mjere uvode druge
oznake.
2.2.7. Mjere za plemenite metale i drago kamenje
Jedinica mjerenje plemenitih metala je troi funta (trlb)
1 trlb = 373,242 gr
Manje jedinice su troiunca (1 troz), penivejt (pennyweight – 1 dwt) i
gren (Gr).
1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr = 373,242 grama
1 troz = 12
1 trlb = 20 dwt = 480 Gr = 31,1035 grama
1 1
1 dwt = trlb = troz = 24 Gr = 1,555 grama
240 20
1 1 1
1 Gr = trlb = troz = dwt = 0,0648 grama
5.760 480 24
Koristi se i jedinica 1 karat koja je jednaka 4 grena.
1 karat = 4 grena = 0,259 grama.
Odnos troifunte i trgovačke funte
144
1 trlb = lb = 0,823 lb
175
27

2.2.8. Mjere za tečnost i žitarice
Osnovna jedinica za mjerenje zapremine tečnosti galon (gallon – 1 gl).
1 gl = 4,54 litara
Osnovna mjera za žitarice (šupljinu) je američki bušel za koji se uvodi
oznaka (1 abu).
1 abu = 35,237 litara
Za preračun američkog bušela u engleski bušel koristi se relacija:
32 33
33 abu = 32 bu ⇒ 1 abu = bu i 1 bu = abu
33
32
Osnovna mjera za mjerenje zapremine tečnosti je američko galon.
Oznaka – 1 agl.
1 agl = 3,785 litara
Preračunavanje američkog galona u engleski galon izvodi se u skladu
sa relacijom:
6 agl = 5 gl ⇒ 1 agl = 6
5 gl i 1 gl = 5
6 agl
Osnovna jedinica za težinu američka funta (1 alb) jednaka je engleskoj
funti (1 lb). Dakle
1 alb = 1 lb = 0,454 kg = 454 gr
Veće jedinice za težinu su
1 kvarter (1 qr) = 25 lb = 11,34 kg
1 central = 4 qr = 100 lb = 45,36 kg
1 ton = 20 centrala = 80 qr = 2.000 lb = 907,2 kg
Američka tona je manja od engleske
1 ton = 907,2 kg 1 et = 1.016 kg
28

3. NOVAC I VALUTE
3.1. Novac
Novac je opšti pojam i odnosi se na srestvo plaćanja u procesima
ekonomske razmjene. Istorijski gledano novac kao srestvo plaćanja
odavno je uveden u praksu da bi se olakšale privredne aktivnosti. U
početku se novac javljao u kovanom obliku, napravljen od rijetkih
metala a kasnije kao smjesa zlata i bakra ili srebra i bakra, koje je
emitovao određeni autoritet. Kasnije, tokom ekonomskog razvoja
zlatni, odnosno srebreni novac je postepeno zamjenjivan papirnim
novcem koji emituje Centralna banka pojedinih država.
Pod pojmom valuta podrazumjevaju se sredstva koja vrijede ili važe
kao novac. Riječ valuta potiče iz talijanskog jezika koja označava
novčanu jedinicu neke zemlje. Valuta je efektivni novac koji služi u
nekoj državi kao zakonito sredstvo plaćanja, a javljala se u metalnom
obliku ili kao papirne novčanice. Nekad je zlatni i srebreni novac bio
glavna valuta u prometu. Danas se valutni promet odvija uglavnom
putem papirnog novca i supstitutima novca (čekovi, mjenice,
uputnice,...).
Valuta kao sredstvo plaćanja ima određenu vrijednost koja je
prihvaćena, kako u odgovarajućoj državi, tako i u poslovnom prometu
između pojedinih država, kada se vrše međunarodna plaćanja. To se
postiglo zadržavanjem novčane funkcije zlata. Naime, u toku
1944.godine osnovan je Međunarodni monetarni fond (MMF) u cilju
sređivanja novčanih prilika nakon II svjetskog rata. Cilj MMF je da u
saradnji sa svakom od svojih članica utvrđuje paritetnu vrijednost
njene valute u čistom zlatu, kao zajedničkom nazivniku, ili u
američkim dolarima. Sem toga zadatak MMF je da utvrdi pravila kojih
se treba pridržavati da bi se očuvala stabilnost tokom vremena i da
izvrši potrebne izmjene pariteta ili drugih uticajnih faktora u slučaju
većih poremećaja. Tako na primjer MMF je tokom septembra
1960.godine objavio listu iz koje se vidi paritetna vrijednost valuta
pojedinih država izražena u gramima zlata. Iznosimo neke od njih 1 :
1 Dr Vladimir Vranić, dr Ljubomir Martić: Matematika za ekonomiste, ŠK, 1967
29

Argentina 1 pezo 0,0493706 gr
Austrija 1 šiling 0,0341796 gr
Belgija 1 franak 0,0177734 gr
Danska 1 kruna 0,128660 gr
Finska 1 marka 0,277710 gr
Francuska 1 novifranak 0,180000 gr
Norveška 1 kruna 0,124414 gr
SAD 1 dolar 0,888671 gr
Velika Britanija 1 funta 2,48828 gr
Vidljivo je da je paritet valute (novca) ustvari mjera valute (novca).
Mjera valute je kao i svaka druga mjera relativan pojam. Mjerni broj
neke veličine dobija se upoređivanjem te veličine sa dogovorom
utvrđenom osnovnom jedinicom, koja je objektivno utvrđena i time je
nepromjenjiva u vremenu (npr. Etalon za 1 m predstavlja
desetomilioniti dio četvrtine zemljinog meridijana). Mjera valute je
broj koji pokazuje koliki je paritet jedinice određene valute izražen u
gramima čistog zlata, - što je u osnovi gledano rezultat dogovora
(MMF).
Razlika je u tome što se taj paritet, usljed djelovanja mnogih faktora,
može mjenjati, pa je potrebno vršiti nova usklađivanja pariteta
različitih valuta.
U sistem mjera spada i valuta. Većina valuta ima osnovnu jedinicu i
manje dijelove čiji obračun se zasniva na dekadskom sistemu. To
znači da se osnovna jedinica – valute, koja ima naziv, sastoji od
stotinu jedinica valute nižeg reda, koje takođe imaju svoj naziv. Na
primjer osnovna jedinica valute u SAD je 1 dolar koji se sastoji od
100 centi, tj. 1 dolar = 100 centi. To znači da je 1 cent jedinica valute
nižeg reda. Vrijednost 1 centa se dobije dijeljenjem pariteta dolara sa
100. Prema priloženoj listi iz 1960. god. ta vrijednost iznosi
0,00888671 grama čistog zlata.
Većina danas postojećih valuta u svijetu je zasnovana na dekadskom
sistemu računanja, što olakšava obračune u procesima razmjene
interno i eksterno gledano. Izuzetak je Velika Britanija čija osnovna
jedinica valute je funta sterlinga (pound sterlin) sa oznakom 1£. Manje
30

jedinice su šiling (shilling), oznaka 1 s (šiling), i peni (peny), oznaka
1p.
Vrijedi:
1£ = 20 s = 240 d, 1s = 12 d
Ako je cijena neke robe u SAD p = 47,73$ to znači da je p = 47 dolara
+ 73 centa.
Na drugoj strani ako uzmemo da je u Velikoj Britaniji cijena neke
druge robe
p = £ (82,, 29,, 61) to znači da je p = 82£ + 29 s + 61 d.
Vidljivo je da je cijena robe u SAD, i u drugim državama čija je valuta
izražena u skladu sa decimalnim sistemom, izražena jednim
(decimalnim) brojem. Na suprot tome u Velikoj Britaniji cijena je
izražena preko tri broja (teoretski gledano) što otežava odgovarajuće
obračune.
Danas većina država u svijetu ima sopstvenu valutu, pri ćemu osnovna
i jedinice nižeg reda imaju svoje nazive. Istina postoji jedan broj
država i teritorija koje u svojim okvirima i međunarodnoj razmjeni
koriste postojeće valute drugih država. Tako na primjer američki dolar
je prihvaćen kao valuta u slijedećim državama: Guam, Američka
Samoa, Američki djevičanski otoci, Palau, Ekvador i Istočni Timor.
Slično tome se EUR koristi u Andori, Crnoj Gori, Gvadalupe,
Martinik, Monako, San Marino i Vatikan.
U Bosni i Hercegovini osnovna valuta je konvertibilna marka (KM)
čija je niža jedinica konvertibilni pfening (KF) pri ćemu vrijedi odnos
1 KM = 100 KF ili 1 KF = 0,01 KM.
Evropske države Austrija, Belgija, Cipar, Finska, Francuska, Grčka,
Irska, Italija, Luksemburg, Malta, Nizozemska, Njemačka, Portugao,
Slovačka, Slovenija i Španija koje obrazuju ekonomsku i monetarnu
uniju imaju zajedničku valutu EURO (€) čija je niža jedinica cent, a
vrijedi odnos 1 € = 100 centi.
31

Ostale države, članice Evropske unije, koje nisu ispunile kriterije za
prijem u ekonomsko monetarnu uniju ili to neće, zadržale su svoju
valutu.
U nastavku predstavićemo valute tih država i drugih (ne svih) svjetskih
država, kako slijedi:
Država Valuta Oznaka
Niža Broj
jedinica dijelova
Bugarska bugarski lev BGN stotinka 100
Češka češka kruna CZK haler 100
Danska danska kruna DKK øre 100
Estonija estonska kruna EEK sent 100
Latvija letonski lats LVL santims 100
Litva litvanski litas LTL centas 100
Mađarska mađarska forinta HUF filler 100
Polska poljski zloti PLN grosz 100
Rumunjska rumunski len RON ban 100
Švedska švedska kruna SEK öre 100
Argentina argentinski pezo ARS centavo 100
Australija australski dolar AUD cent 100
Albanija albanski lek ALL qintar 100
BiH konvertibilna marka BAM fening 100
Brazil brazilski real BRL centavo 100
Crna Gora Euro EUR cent 100
Hrvatska Kuna HRK lipa 100
Island islandska kruna ISK eqrir 100
Japan japanski jen JPY sen 100
Kanada kanadski dolar CAD cent 100
Kina kineski juan CNY jiao 100
Južna Koreja južnokorejski von KRW jeon 100
Makedonija Denar MKD deni 100
Norveška norveška kruna NOK øre 100
Rusija ruski rubalj RUR kopejka 100
SAD Dolar USD cent 100
Srbija srpski dinar RSD para 100
Švicarska švicarski franak CHF rappen 100
Turska nova turska lira TRY novi kurus 100
Ujedinjeno kraljevstvo britanska funta GBP peny 100 2
2 U Velikoj Britaniji uveden je 15.II.1971.god. decimalni sistem
32

3.2. Kursne liste
3.2.1. Paritet
Posmatrajmo dva poslovna partnera prodavca, odnosno kupca čiji je
predmet poslovanja prodaja odnosno kupovina robe (roba). U slučaju
da su partneri u istoj državi tada se naplata kao i plaćanje vrši u
zakonskoj valuti (novcu) dotične države na način i u rokovima koje su
dogovorili. Međutim ako su partneri u različitim državama koje imaju
različite zakonske valute tada se javlja problem naplate odnosno
plaćanja za određenu količinu robe koja je predmet poslovanja, kao i
načina plaćanja – da li će se ono izvršiti u jednoj ili drugoj valuti ili
pak u nekoj trećoj valuti!
Ovdje je bitan iznos plaćanja (naplate). Naime vrijednost kupljene
robe je primarno iskazana u valuti zemlje prodavca, pa je iznos
naplate (potraživanja) iskazan u toj valuti. Ako se plaćanje vrši u
valuti zemlje kupca tada se potraživanje treba iskazati kao određen
broj jedinica te valute, koja će predstavljati iznos koji je kupac
obavezan da plati. Druga pitanja posla – mjesta, načina i rokova
plaćanja kao i isporuke robe, partneri mogu riješiti dogovorom.
Pitanje obračuna vrijednosti prodane/kupljene robe svodi se na njeno
iskazivanje u jednoj odnosno drugoj valuti, što se u krajnjoj liniji
svodi na problematiku pariteta ne samo tih dviju valuta nego i pariteta
različitih valuta općenito.
Problem utvrđivanja pariteta valuta je određivanje zlatnog pariteta –
količine (težine) čistog zlata u gramima, određene finoće, koja je
sadržana ili pokriva jedinicu valute pojedinih država, pri tome treba
obezbjediti i usklađenost pariteta valuta. Upoređivanjem zlatnih
pariteta pojedinih valuta dobija se međusobni odnos vrijednosti ili
paritetni kurs, od kojega, uz postojanje međunarodne ravnoteže,
konkretni kursevi mogu samo privremeno, i u određenim granicama,
odstupati.
Napomenimo, da se u razvijenoj fazi usklađivanja pariteta on može
izraziti i u odnosu na neku konkretnu valutu.
33

3.2.2. Paritet kovanog novca
Pojedine zemlje kovale su zlatnu valutu – zlatnike određenog naziva
(npr. napoleondor, sovezenj, imperijal) koje odgovaraju većem broju
jedinica odgovarajuće valute (20 franaka, 10 dolara, 1 dunta sterling,
5 rubalja) ili osnovnoj jedinici valute. Pri tome se, za svaki zlatnik,
navode podaci o ukupnoj težini, o težini čistog zlata sadržanog u
njemu izraženoj u gramima, o finoći 3 zlata i o novčanoj stopi.
Novčana stopa predstavlja broj jedinica zlatnika koji se može iskovati
od 1 kg zlata iste težine.
Na primjer u Austro-ugarskoj je kovan zlatnik od 10 kruna
(1 kruna = 100 helera) težina čistog zlata 3,3875 grama.
Novčana stopa se dobije dijeljenjem 1.000 gr sa 3,3875 gr. tj.:
n.s = 1.000 : 3,3875 = 295,2
Znači, od 1 kg zlata iste finoće može se iskovati 295,2 komada
zlatnika od 10 kruna.
Sličan obračun se može izvesti i u odnosu na 1 zlatnu krunu.
Jednoj kruni u zlatu odgovara 3,3875 : 10 = 0,33875 grama čistog
zlata.
Novčana stopa za 1 zlatnu krunu
n.s (1 kruna) = 1.000 : 0,33875 = 2.952
Ovo znači da se od 1 kg zlata može iskovati 2.952 zlatnika od 1 krune
ili emitovati 2.952 papirnih novčanica od 1 krune svaka od kojih je
„pokrivena“ sa 0,33875 gr čistog zlata.
Primjetimo da se novčana stopa za jednu krunu može dobiti
množenjem novčane stope za zlatnik od 10 kruna sa 10 tj.
n.s (1 kruna) = 10 n.s = 10 · n.s = 10 · 295,2 = 2.952
3 Kovani novac se izrađuje od mješavine zlata i bakra. Finoća zlata pokazuje koliko
jedinica čvrstog zlata se nalazi u 1.000 jedinica mješavine. Npr. finoća 900 znači
da se na 1.000 jedinica težine mješavine (zlatnika, zlatnog predmeta – bruto)
otpada 900 jedinica čvrstog zlata.
34

Skrenućemo pažnju na još jednu činjenicu vezanu za novčanu stopu.
Naime ako je za neku valutu (zlatnik) poznat podatak o novčanoj stopi
onda je odgovarajuća težina u zlatu sadržana u njoj jednaka količniku
(100 : ns).
Na primjer – Danska, Norveška i Švedska činile su Skandinavrsku
uniju i imale zajedničku valutu: 1 kruna = 100 era. Zna se da je
1872.godine novčana stopa za jednu krunu bila 2.480 jedinica iz 1 kg
čistog zlata finoće 900!
Jedna kruna sadrži (1.000 : n.s.) grama čistog zlata.
Kako je 1.000 : 2.480 = 0,4032258, to je 1872. godine jedna kruna
sadržavala 0,4032258 grama čistog zlata finoće 900.
Pored zlatnog novca kovan je i srebreni novac (srebrenjaci) obično
manje vrijednosti, za koje se takođe navode podaci o težini srebra,
finoći i novčanoj stopi.
Razmotrićemo određivanje pariteta kovanog novca na primjeru
Francuske, SAD i Velike Britanije (VB) koje su prije I. Svjetskog rata
kovale zlatnike: napoleondr od 20 zlatnih franaka (1 franak =
100.santima), eagl od 10 zlatnih dolara i sovrin od 1 funte sterlinga u
zlatu.
Podatke o ukupnoj težini (u.tž), težini čistog zlata (t.čz), finoći (fin) i
novčanoj stopi (n.s) u odnosu na zlatnike, odnosno jedinicu valute
1.franak = 1 FR, 1 dolar = $ i 1 funta sterlinga = 1 £ iznijećemo u
obliku tabele:
Napoleondar, 20 FR Eagl, 10 $ Sovereign, 1 £
utž u gr 6,45161 16,71813 7,98805
t.č.z u gr 5,80645 15,06432 7,322385
Fin 900 900 900
n.s. 172,22 66,4615 136,5673
1 FR 1 $ 1 £
t.č.z u gr 0,2903225 1,504632 7,322385
n.s. 3.444,4 664,61 136,5673
Ovdje je moguće odrediti paritet između dva i dva zlatnika, odnosno
između dvije i dvije osnovne jedinice u zlatu, jer su oni izrađeni od
35

zlata iste finoće. Polazi se od činjenice da paritet pokazuje koliko
jedinica jedne valute sadrži istu količinu čistog zlata u gramima (ili
pretstavlja istu vrijednost u gramima čistog zlata – što se odnosi na
papirni novac) kao određeni broj jedinica druge valute.
Razmotrimo paritet između franka i dolara.
Označimo sa x broj franaka koje treba dati za jedan dolar. Prema
gornjem stavu formira se jednačina:
X · broj grama zlata u 1 FR = broj grama zlata u 1 $
X · 0,2903225 gr = 1,504632 gr ⇒ X = 5,18226223
Dobiven broj pretstavlja paritet 1 zlatnog dolara prema franku.
Pišemo:
1$ = 5,18226223.
Da bi se odredio paritet 1 zlatnog franka prema dolaru postupa se na
isti način, a dovoljno je naći recipročnu vrijednost broja 5,18226233.
Dobija se broj 0,1929525, pa pišemo 1 FR = 0,1929525 $.
Po istoj proceduri određuju se ostali pariteti. Dobijene brojeve
predstavićemo u obliku matrice, čije vrste predstavljaju paritete
posmatranih valuta prije I Svjetskog rata kada je kovani novac
(zlatnici i srebrenjaci) bio vidno zastupljen u opticaju.
FR $ £
1 FR - 0,1929525 0,0396486 (1)
1 $ 5,1826223 - 0,2054839 (2)
1 £ 25,221555 4,866562 - (3)
Vrste (1), (2) i (3) sadrže paritete (kurseve) odgovarajuće valute u odnosu na druge
dvije.
36

PRIMJER 1.
Formirajte matricu pariteta na osnovu podataka o zlatnicima, odnosno
osnovnim jedinicama valute slijedećih država – prije I Svjetskog rata.
(1)
Austrougarski zlatnik Ruski zlatnik
(AUZ) od 20 kruna (RZ) od 5 rubalja
t.č.z 6,09756 gr 6,4516
Fin 900 900
n.s. 164 155
jedinica u zlatu 1 kruna = 100 helera 1 rublja = 100 kopejki
(2) Holandija – 1 zlatna forinta
1 forint = 100 centa,
n.s. = 1.653,439 forinti, fin 900
(3) Njemačka – 1 zlatna marka
1 marka = 100 pfeninga,
n.s. = 2.790 maraka, fin 900
Odredite međusobne paritete osnovne valute za svaku od 4
posmatrane države u odnosu na ostale i formirajte njihove paritetne
(kursne) liste, kakve bi bile u periodu prije I. Svj. rata.
3.2.3. Valutni paritet, kursne liste
Kovani novac je od početka I. Svj. rata prestao da cirkuliše u platnom
prometu, da bi u svim državama svijeta bio postepeno zamjenjen
papirnim novcem (banknotama u vrijednosti osnovne jedinice i njenih
većih vrijednosti – 10, 20, 50 100,.....). Zadržao se jedino kovani
novac sitnije vrijednosti napravljen od neplemenitih metala, čija je
svrha sitnija plaćanja i podkusurivanje!
To dovodi do potrebe da se umjesto pariteta kovanog novca, koji se
određivao na osnovu prethodno navedenih podataka za koje je
garantovala država, da se definira valutni paritet papirnog novca, koji
će biti međunarodno priznat i primjenjen. Već je pomenuto da je
37

MMF osnovan 1944. god. kao međunarodna institucija čiji je zadatak
utvrđivanje i usklađivanje valutnih pariteta svojih članica. Preciznije
govoreći paritet valuta zemalja članica MMF izvražava se u zlatu
prema odgovarajućoj težini i čistoći na dan 1. jula 1944. godine, pri
ćemu je data mogućnost da se paritet utvrđuje i u odnosu na dolar
(koji ima zlatnu podlogu). Takođe je utvrđeno da se svi valutni
poslovi moraju obračunavati na toj osnovi, paritet se može mijenjati
radi ispravljanja temeljne neuravnoteženosti poslije savjetovanja sa
Fondom i s njegovim odobrenjem.
Valutni paritet pretstavlja zakonsku vrijednost osnovne jedinice valute
izražene u gramima čistog zlata određene finoće koja je priznata od
strane MMF. Paritet izračunat na temelju zlatnog pariteta je kursni ili
tečajni paritet. Kako poslovna praksa često zahtijeva zamjenu jedne
valute drugom to se kurs (tečaj) valute tretira i kao cijena valute. Ako
je promet zlata slobodan kurs valute se kreće oko zlatnog pariteta u
granicama utvrđenim od strane MMF, tj. unutar granica ± 1% oko
pariteta.
Valutni kurs se iskazuje za 100 ili 1 jedinicu strane valute koja se
mijenja za domaću valutu.
Time se utvrđuje koliko jedinica domaće valute treba dati za 100 ili 1
jedinicu strane valute.
Na temelju valutnog kursa (cijene valute) vrši se kupovina i prodaja
strane valute koja se obavlja u poslovnim bankama, kako domaćim
tako i inozemnim.
Do promjene valutnog kursa može doći usljed porasta odgovarajuće
novčane stope, što u stvari znači smanjenje težine čistog zlata koja
pokriva jedinicu valute. Ovo je rijeđi slučaj koji nastupa kao
posljedica krupnijih ekonomskih poremećaja i s njima povezane
(dugotrajnije) krize. Kao primjer navodimo promjene kursa funte
sterlinga (£) prema dolaru ($) do kojih je došlo nakon 1960. god – i to:
38

1967.godina (V.B. „snizila“ težinu zlata), 1971.godina (SAD –
„snizile“ težinu zlata) i 1973. god. (SAD – snizile težinu zlata).
Podatke o težini čistog zlata u gramima i kretanju kursa sadrži tabela 4 :
T.Č.zl 1960. 1967. 1971. 1973.
V.B. 2,48828 2,13281 2,13281 2,13281
SAD 0,888671 0,888671 0,818513 0,73670
KURS 1£ = 2,8 $
1$ = 0,357143 £
1£ = 2,4 $
1$ = 0,416666 $
1£ = 2,605713 $
1$ = 0,383772 £
1£ 2,895086 $
1$ = 0,344129 £
Razumljivo ove promjene kursa najvažnijih svjetskih valuta u tim
godinama izazvale su i promjene kursova drugih valuta. Interesantno
je iznijeti podatak da je na dan 12.I.2010. godine kurs posmatranih
valuta bio 5 1 £ = 1,614021 $, odnosno 1 $ = 0,619570 što svjedoči o
tome da je takvih promjena bilo i u periodu nakon 1973. godine (1973
funta vrijedi više od 2 dolara, 2010 funta vrijedi manje od 1 dolara –
opala je za 24,27%!).
U današnje vrijeme promjene valutnog kursa su tržišnog karaktera i
veoma su dinamične. Valutni kursevi se formiraju pod djelovanjem
ponude i potražnje valuta na valutnom tržištu. To je organizovano
tržište na kojem se trguje valutama i time određuje njihova cijena.
Valutni kurs se formira u onoj „tački“ u kojoj su ponuda i potražnja za
valutama (i drugih stranih sredstava plaćanja) uravnotežene.
Valutni kurs kao cijena valute se može promjeniti usljed promjene
cijena dobara i roba, do čega dolazi usljed promjene odgovarajuće
ponude i potražnje. Na primjer promjena ponude sirove nafte na
svjetskim tržištima može izazvati promjenu kursa dolara i kursa
drugih valuta.
Valutni kurs za neku valutu opada ako opada potražnja za njom ili
poveća njena ponuda, a vrijedi i obrnuto. Ovo se odnosi kako na
domaću valutu, tako i na stranu valutu.
4 Vidjeti – Luka Sarajić: „Privredna matematika“, knjiga 2, Zavod za izdavanje
udžbenika Sarajevo, 1974.g. str. 227 – 233.
5 Vidjeti: Luka Sarajić, navedeno djelo
39

Posmatrano iz domaće perspektive, veličina tražnje za stranom
valutom zavisi od obima domaće potražnje za stranim dobrima i
robama, jer implicira ponudu domaće valute. Slično tome, veličina
potražnje za domaćom valutom zavisi od potražnje za domaćim
dobrima i robama u drugim zemljama, čime se određuje obim ponude
strane valute.
Valutni kursevi različitih valuta objavljuju se na kursnim listama u
kojima se iskazuju kupovni (niži), srednji i prodajni (viši) kurs za
svaku stranu valutu. U praksi se primjenjuju dva načina iskazivanja
kurseva:
- direktno kotiranje; koliko jedinica domaće valute treba dati
za 1 ili 100 jedinicu strane valute,
- indirektno kotiranje: koliko jedinica strane valute treba dati
za jedinicu domaće valute.
Direktno kotiranje se primjenjuje u našoj državi i drugim evropskim
državama, a indirektno kotiranje u Velikoj Britaniji.
Kursne liste objavljuju domaće poslovne banke, kao i Centralna
banka. One obuhvataju selekciju određenih stranih valuta koje su od
značaja za domaću ekonomiju. Kursne liste objavljuju banke u drugim
zemljama svijeta. Od posebnog su značaja kursne liste objavljene u
važnim svjetskim poslovnim centrima (London, Njujork, Tokio, Pariz,
Frankfurt, ....).
Kursne liste se objavljuju u dinamici koja prati tržišne promjene –
dnevno, svaka dva dana, sedmično.
40

Kao primjer iznosimo kursnu listu objavljenu od strane „Fima“ banke za dan
09.01.2010. god.:
Zemlja Šifra Oznaka Jedinica
Prodajni
Kupovni za Srednji
za
efektivu kurs
Efektivu
Mađarska 348 HUF 100 0,719541 0,726078 0,731885
Rusija 643 RUB 1 0,045606 0,046020 0,046388
Srbija 941 RSD 100 1,993506 2,011610 2,027703
Litvanija 440 LIT 1 0,561350 0,566448 0,570980
Turska 949 TRY 1 0,921649 0,930019 0,937459
Evropska 978 EUR 1 1,948007 1,955830 1,959742
Unija
Kanada 124 CAD 1 1,311296 1,323205 1,333791
Švedska 752 SEK 1 0,189549 0,191270 0,192800
Švicarska 756 CHF 1 1.309608 1,320169 1,330730
Australija 036 AUD 1 1.241658 1,252934 1,262957
Danska 208 DKK 1 0,260479 0,262845 0,264948
Norveška 578 NOK 1 0,237251 0,239406 0,241321
Velika 826 GBP 1 2,169496 2,189199 2,206713
Britanija
SAD 840 USD 1 1,354543 1,370301 1,383319
Hrvatska 191 HRK 100 26,646698 26,888696 27,103806
Japan 392 JPY 100 1,453380 1,466579 1,478312
Češka
Republika
203 CZK 1 0,073666 0,074335 0,074930
Kolona „kupovina za efektivu“ (gotov novac) odnosi se na kupovinu
strane valute i njeno plaćanje domaćom valutom – KM.
Na primjer, ako se kupuje engleska funda onda je 1£ = 2,169496 KM,
a japanski jen tada je 100 jena = 1,453380 KM. Kupovina strane
valute u poslovnim bankama povezana je sa ponudom strane valute.
Kolona „prodaja za efektivu“ odnosi se na prodaju strane valute koju
vrše poslovne banke za domaću valutu. Na primjer ako se želi kupiti
američki dolar, kupovina se odvija prema kursu:
1$ = 1,383319 KM, a za hrvatsku kunu vrijedi
100 kuna = 27,103806 KM.
Prodaja strane valute u bankama, koja se plaća domaćom valutom,
uslovljena je domaćom potražnjom za stranom valutom.
41

Kursne liste sadrže važne podatke za planiranje poslovanja pojedinih
subjekata, jer njihovim praćenjem u dinamici vremena se mogu uočiti
trendovi promjene određenih kurseva.
Poslovne banke objavljuju kursne liste i preko interneta. One često
sadrže komparativne podatke o promjeni kursa u dnevnoj dinamici, a
može i u mjesečnoj dinamici.
Kao primjer pretstavićemo dio kursne liste koju je objavila „Banque de
france“ (francuska banka) na dan 13.01.2010.
06.01.10. 07.01.10. 08.01.10. 11.01.10. 12.01.10.
Dolar SAD 1,4350 1,4303 1,4273 1,4528 1,4481
Jen 132,69 133,50 133,36 134,23 132,41
Livra sterlinga 0,8986 0,8996 0,8934 0,8989 0,8972
Norveška kuna 8,1880 8,1980 8,1695 8,1395 -
Australski dolar 1,5677 1,5611 1,5610 1,5593 -
Kanadski dolar 1,4920 1,479 1,4781 1,4928 1,4959
Ruska rublja 42,85 42,6175 42,50 42,6285 42,6974
Švajcarski frank 1,4823 1,4832 1,4815 1,4755 1,4743
Kursevi se odnose na 1 EURO, vezano za njegovu prodaju u
francuskim bankama za navedene valute, i druge valute koje ovdje
nisu iznesene.
Vidljivo je da su se kursevi mjenjali dinamično tj. iz dana u dan u
odgovarajućem kratkom periodu vremena. Ovo svjedoči da se u
današnjem poslovnom svijetu primjenjuju plivajući valutni kursevi
kao režim zamjene valuta, koji su rezultat tržišnih promjena. Plivajući
kursevi se odnose na valute koje se najčešće koriste: dolar, jen, euro i
funta sterlinga.
Međutim, ne prihvata se i da kursevi u potpunosti budu plivajući, jer
se mogu desiti velike oscilacije vrijednosti u kratkom roku. Ako se
procjeni da takve promjene vrijednosti valute mogu ugroziti
ekonomiju zemlje, tada odgovarajuća država interveniše na valutnom
tržištu kupujući ili prodajući domaću valutu ili stranu valutu.
Sem toga može primjeniti mjere monetarne politike povećavajući ili
smanjujući kamatne stope.
42

4. REZOLVIRANJE I REDUCIRANJE MJERA
I NOVCA
U poslovnim obračunima često je potrebno jedinice mjere višeg reda
pretvarati u jedinice mjere nižeg reda. Da li je neka jedinica – jedinica
višeg reda ili jedinica nižeg reda, može biti a ne mora, stvar relativne
procjene.
Naime ako se radi o tri iste mjere (npr. za dužinu) a, b i c za koje je:
a > b > c onda je:
- a jedinica višeg reda u odnosu na b i c
- b je jedinica nižeg reda prema a, dok je prema c jedinica višeg reda,
- c je jedinica nižeg reda u odnosu na a i b.
U slučaju da je a 1 < b 1 < c 1 biće: b 1 je jedinica višeg reda prema a 1 ,
dok je nižeg reda prema c 1 .
Na primjer neka se radi o jedinicama za dužinu: m, dm, cm, mm.
Vrijedi:
1 dm > 1 cm > 1 mm
1 cm < 1 dm < 1m
Ako se radi o dvije susjedne jedinice relativnosti ocjene u smislu viši
red/niži red nema!
Pretvaranje jedinica višeg reda u jedinicu nižeg reda zove se
rezolviranje.
Pretvaranje jedinica nižeg reda u jedinice višeg reda zove se
reduciranje.
Rezolviranje i reduciranje su dva procesa suprotno orjentisana.
Rezolviranje i reduciranje u metričkom sistemu mjera je jednostavna
operacija.
Međutim, ako se radi o mjerama u Velikoj Britaniji rezolviranje i
reduciranje nije jednostavna računska operacija. Isto vrijedi i za
britanski novac.
43

4.1. Pretvaranje jedinice novca
Za operaciju pretvaranja jedinica novca važno je znati odnose između
njih:
1 1
1£ = 20 š = 240 d; 1 š = £, 1 d = £
20 240
1 š = 12 d; 1 d = 12
1 š
Neka se radi o iznosu m = £ (a,, b,, c), gdje je a – broj funte, b – broj
šilinga i c – broj penija. Vrijede ograničenja 0 ≤ b < 20 i 0 ≤ c < 12.
Iznos m revolvirati (preračunati) u penije!
m = £ (a,, b,, c) = a £ + bš + cp
= a · 240 d + b · 12 d + cd =
= (240 a + 12 b + c) d
Obračun se izvodi „šematski“ u dva koraka, u prvom se funte
pretvaraju u šilinge, a u drugom šilinzi u penije.
(1) a · 20 š = 20 aš
+ bš
= (20 a + b) š
(2) = (20 a + b) · 12 d
+ cd
m = (20 a + b) · 12 d + c · d = (240 a + 12 b + c) d
Napominjemo da se ova šematska procedura primjenjuje i za druge
mjere (dužina, težina, težina zlata, ....), gdje je potrebno poznavati
odnose između pojedinih jedinica mjera!
Ovo je operacija rezolviranja.
44

PRIMJER 1.
Iznos m = £ (27,, 35,, 49) pretvoriti u penije.
Očigledno je:
m = (27 · 240 + 35 · 12 + 49) d = 6.949 d
Šematski
(1) 27 £ · 20 = 540 š
+ 35 š
575 š
575 š · 12 = 6.900 d
(2) 575 š · 12 = 6.900 d
+ 49 d
m = 6.949 d
Pretstavljanje iznosa m = £ ( a,, b,, c) u decimalnom obliku.
U ovom slučaju radi se o operaciji reduciranja.
Potrebno je šilinge i penije izraziti preko funte.
1 1
m = a · £ + b · š + c · d, 1š = £, 1 d = £
20 240
1 1
m = (a + b · + c · £
20 240
Kako je:
125
1 1 5 1 1 3 1 125
= ⋅ = , = = ⋅
20 20 5 100 240 125 10.000 3
3
dobiće se
b c 125
m = (a + ⋅ 5 + ⋅ ) £
100 10.000 3
Prema tome da bi se iznos m = £ (a,, b,, c) pretstavio u decimalnom
obliku treba postupiti na slijedeći način:
- broj šilinga b podijeliti sa 100 i dobiveni količnik pomnožiti sa 5
45

125
- broj penija c podijeliti sa 10.000 i taj količnik pomnožiti sa
3
- izvršiti operaciju sabiranja u zagradi prilikom izračunavanja
drugog razlomka izvršiti zaokruženje na tri decimale!
PRIMJER 2.
Iznos m = £ (47,, 17,, 11) izraziti u decimalnom obliku funte
b c 125
m = (a + ⋅ 5 + ⋅ ) £
100 10.000 3
17 11 125
m = (47 + ⋅ 5 + ⋅ ) £
100 10.000 3
Kako je:
17 11 125
⋅ 5 = 0,85i ⋅ = 0,0458333, što ćemo zaokružiti
100 10.000 3
na tri decimale tj. 0,046,
Dobiće se:
m = (47 + 0,85 + 0,046) £ = 47,896 £
Isto uraditi za iznos m = (25,, 18,, 17) £!
18 17 125
m = (25 + ⋅ 5 + ⋅ ) £ = (25 + 0,9 + 0,071) £
100 10.000 3
m = 25, 971 £
Moguća je i obrnuta operacija: iznos m napisan u decimalnom obliku
funte napisati u obliku £ (a,, b,, c). Ovdje treba voditi računa o tome
da se funte pretvaraju u šilinge množenjem sa 20, a šilinzi u penije,
množenjem sa 12.
Proceduru odgovarajućeg preračuna predstavit ćemo na primjeru uz
potrebno analitičko sagledavanje. Uzmimo prethodni primjer m =
(47,, 17,, 11) £ koji smo napisali u decimalnom obliku, tj. m =
47,896 £.
Treba odgovarati na pitanje: koliko iznos m = 47,896 £ sadrži funti,
šilinga i penija
46

Procedura:
(1) m = 47,896 £ = 47 £ + 0,896 £
a = 47
(2) 0,896 £ = 0,896 £ · 20 = 17,92 š = 17 š + 0,92 š
b = 17
(3) 0,92 š = 0,92 š · 12 = 11,04 d
c = 11
m = (47,, 17,, 11)
Procedura preračunavanje se može ubrzati, što ćemo pokazati na
primjeru.
PRIMJER 3.
Iznos m = 72,977 £ rezolvirati na penije! Ovdje je potrebno, prvo,
iznos m napisati u obliku
m = (a,, b,, c) £ a zatim ga preračunati u penije.
m = 72,977
(1) a = 72
(2) 0,977 · 20 = 19,54
b = 19
(3) 0,54 · 12 = 6,48, zaokružava se na niže
c = 6
m = (72,,19,, 6) £
Preračun u penije
(1) 72 £ · 20 = 1.440 š
+ 19 š
1.459 š
(2) 1.459 š · 12 = 17.508 d
+ 6
m = 17.514 d
Reduciranje iznosa m izračenog u penijima u funte i šilinge 6 .
m d = £ (a,, b,, c), a = , b = , c =
6 Ovdje se ne radi o „potpunom“ reduciranju jer postoji ostatak
47

Radi jasnoće izlaganja izvršimo dijeljenje 475 : 23.
Lako se dobije da je rezultat cio broj 20 i ostatak dijeljenja 15, pa je:
475 15
= 20 +
23 23
Ako se ova jednakost pomnoži sa 23 dobiće se ekvivalentna jednakost.
475 = 23 · 20 + 15
Označimo cjelobrojni dio djeljenja količnika sa q, tj. q = 20 a ostatak
dijeljenja sa r tj. r = 15 dobit ćemo:
475 = 23 q + r
Odavde slijedi da je
r = 475 – 23 p.
Ovo analitičko sagledavanje primjenit ćemo za efikasno rješavanje
pretstavljenog problema reduciranja (nepotpunog) 7 .
Podsjetimo se: broj penija dijeli se sa 12 i dobiva se broj šilinga, a,
broj šilinga treba podijeliti sa 20 da bi se dobio broj funti. Dakle
procedura reduciranja sastoji se iz dva koraka:
1. Reduciranje na šilinge
m r
q
12
= + 1
1
12
m = 12 q 1 + r 1 ,
r 1 = m – 12 q 1
Ovo u stvari znači da je
m d = 12 · q 1 d + r 1 d,
q 1 · 12 d = q 1 š
m d = q 1 š + r 1 · d ... (1)
7 Termin reduciranje koristi se radi jednostavnosti izlaganja!
48

2. Sada se šilinzi reduciraju u funte.
Dobili smo da je broj šilinga q 1 . Treba ga podijeliti sa 20 i uočiti
ostatak.
q 1
r
= q
2
2
+
20 20
q 1 = 20 q 2 + r 2 , r 2 = q 1 – 20 q 2
Ovo znači da je
q 1 š = 20 q 2 š + r 2 š, 20 š · q 2 = q 2 £
q 1 š = q 2 = q 2 £ + r 2 š .... (2)
Povezujući jednakosti (1) i (2) za rezultat reduciranja dobiva se da je
m d = q 2 £ + r 2 š + r 1 d ....(*)
r 2 = q 1 – 20 q 2 , r 1 = m – 12 q 1 ....(**)
Iz (*) i (**) slijedi da je
m d = q 2 £ + (q 1 – 20 q 2 ) š + (m – 12 q 1 ) d ....(***)
PRIMJER 4.
Reducirati iznos m = 19.579 d na funte i šilinge
(1) m : 12 = 19.579 : 12 = 1.631,5833
q 1 = 1.631, r 1 = m – q 1 · 12 = 19.579 – 1.631 · 12 =
= 19.579 – 19.572
r 1 = 7
(2) q 1 : 20 = 1.631 : 20 = 81,55
q 2 = 81, r 2 = q 1 – 20 q 2 = 1.631 – 20 · 81 = 1.631 – 1.620 = 11
r 2 = 11
m = 19.579 d = 81 £ + 11 š + 7 d = £ (81,, 11,, 7)
Ako je iznos m dat u šilinzima, tada ga možemo rezolvirati u penije ili
reducirati u funte. U oba slučaja se postupa na već opisani način.
49

PRIMJER 5.
Iznos m = 597 š predstaviti u decimalnom obliku funte.
Prvo treba vidjeti koliko u datom iznosu ima funti, i koliki je ostatak u
šilinzima.
m = 20 q + r, r = m – 20 q
m
20
=
597
20
= 29,85
Znači:
q = 29, r = 597 – 20 · 29 = 17, r = 17
m = 597 š = 29 · 20 š + 17 š
m = £ (29,, 17,, 0); a = 29, b = 17, c = 0
b c 125
£ (29,, 17,, 0) = (29 + ⋅ 5 + ⋅ £
100 10.000 3
b 17 0 125
⋅ 5 = ⋅ 5 = 0,85; ⋅ = 0
100 100 10.000 3
£ (29,, 17,, 0) = (29 + 0,85) £ = 29,85 £
m = 597 š = 29,85 £
PRIMJER 6.
Iznos m = £ (57,, 0,, 13) pretstaviti u decimalnom obliku funte.
m = £ (57,, 0,, 13); a = 57, b = 0, c = 13
b c 125 13 125
⋅ 5 = 0; ⋅ = ⋅ = 0,054
100 10.000 3 10.000 3
m = £ (57,, 0,, 13) = (57 + 0 + 0,054) £ = 57,054 £
50

4.2. Pretvaranje jedinica drugih mjera
Procedure rezolviranja i reduciranja pojedinih jedinica drugih mjera
(prema „dolje“ – viših u niže i prema „gore“ – nižih u više) su iste kao
one koje su predstavljene za jedinice novca. Moguće je vršiti
rezolviranje viših jedinica u niže, odnosno najnižu. Takođe vrši se
reduciranje nižih jedinica u višu jedinicu, odnosno najvišu jedinicu.
Da bi se to postiglo potrebno je znati omjerne brojeve između dvije
susjedne jedinice – više prema nižoj i niže prema višoj. Stoga je
korisno da ovdje predstavimo ponovo mjere za dužinu, težinu
trgovačke robe i težinu zlata, i njihove odnose.
I. Dužina
engleska yard stopa palac crta
milja
feet inch lajn
1 em 1 yd 1 ft 1 in 1 l
1 yd = 3 ft = 36 in = 4.32 l = 0,914 m ..... (1)
Osnovna jedinica je 1 yard = 0,914 m, 1 em = 1.760 yd
Iz jednakosti (a) mogu se odrediti potrebni odnosi. Npr.
1 1
1 ft = 12 in = 144 l; 1 l = in,1in = ft
12 12
1 1 1
1 l = in = ft = yd
12 144 432
Mogući su i drugi odnosi!
II. Težina trgovačke robe
Jedinice višeg reda od osnovne:
engleska tona hunder
wejt
kvater libra
(funda)
1 et 1 cwt 1 qr 1 lb
1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb = 1.016 kg .....(2)
Osnovna jedinica: 1 lb = 0,454 kg
51

Jedinice nižeg reda od osnovne:
libra
unza Drem gren
(funta)
1 lb 1 oz 1 dr 1 gr
1 lb = 16 oz = 256 dr = 7.000 gr = 0,454 kg ....(3)
II. Težina zlata (troj jedinice)
troi
troi
peni
gren
libra
unza
vejt
1 trlb 1 troz 1 dwt 1 Gr
1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr = 373,242 grama ....(4)
Osnovna jedinica: 1 trlb = 373,242 grama
Postoji jedinica 1 karat = 4 Gr
Iz jednakosti (2), (3) i (4) određuju se potrebni odnosi – omjerni
brojevi potrebni za rezolviranje i reduciranje odgovarajućih jedinica.
Prvo ćemo predstaviti proceduru revolviranja od najviše jedinice
mjere (u primjeru) do najniže.
PRIMJER 7.
Veličinu n = Yd (15,, 2,, 10,, 7) izraziti preko najniže jedinice dužine
– lajna (l).
Treba obratiti pažnju na jednakost (1)
1 Yd = 3 ft, 1 ft = 12 in, 1 in = 12 l ...(*)
n = yd (15,, 2,, 10,, 7)
Prvi korak
yd →ft .... 15 yd = 15 · 3 ft = 45 ft
+ 2 ft
47 ft
52

Drugi korak
ft →in .... 47 ft = 47 · 12 in = 564 in
+ 10 in
574 in
Treći korak
in →l ..... 574 in = 574 · 12 l = 6.888 l
+ 7 l
n = 6.895 l
Sada ćemo izvesti proceduru reduciranja (nepotpunog) kojom veličinu
n = 6.895 l prevodimo u jedinice višeg reda. Procedura se izvodi
postepeno. Prvo ćemo lajne prevesti u inče, zatim dobiveni broj inča
prevešćemo u fite i konačno fite u jarde. Pri tom se pojedine veličine
dijele sa odgovarajućim omjernim brojem (jednakosti (*) i utvrđuju
cjelobrojni dio količnika q i ostatak r. Broj q označava broj jedinica
višeg reda, a ostatak r se određuje na isti način kao kod preračuna
novčanih jedinica i označava broj koji „ostaje“.
n = 6.895 l
Prvi korak
l → in ... 6.895 : 12 = 574,583
q = 574, r = 6.895 – 12 · 574 = 7
6.895 l = 574 in + 7 l .... (i)
Drugi korak
in → ft 574 : 12 = 47,833
q = 47, r = 574 – 12 · 47 = 10
574 in = 47 ft + 10 in .... (ii)
Treći korak
ft → yd 47 : 3 = 15,666
q = 15, r = 47 – 3 · 15 = 2
47 ft = 15 yd + 2 ft .... (iii)
Konačno se dobije na osnovu (i), (ii), (iii)
n = 6.895 l = 15 + d + 2 ft + 10 in + 7 l
n = yd (15,, 2,, 10,, 7)
53

PRIMJER 8.
Veličinu n = et (27,, 19,, 2,, 23) izraziti u engleskim tonama. Ovdje se
radi o (potpunom) reduciranju jer jedinice težine hunder – weite
(cwz), kvotere (qr) i libre (lb) treba prevesti u engleske tone.
Kako je 1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb to se: broj cwt dijeli sa 20,
broj qr dijeli sa 80 i broj lb dijeli sa 2.240, a zatim se dobiveni
količnici (koji se odnose na et) saberu sa brojem et datim u primjeru.
Kao rezultat dobiće se ukupan broj et izražen decimalnim brojem sa
četri decimale!
n = et (27,, 19,, 2,, 23)
Preračunavanje predstavljamo šematski:
1. et → et ... 27 et = 27,0000 et
2. cwt → et .. 19 cwt = 19 : 20 et = 0,9500 et
3. qr → et ... 2 gr = 2 : 80 et = 0,0250 et
4. lb → et ... 23 lb = 23 : 2.240 et = 0,0103 et
n = 27,9853 et
PRIMJER 9.
Veličinu n = et (7,, 15,, 3,, 21) izraziti u cwt. Ovdje se radi o
kombinaciji: et treba revolvirat u cwt, a qr i et treba reducirati u cwt.
Treba znati:
1 et = 20 cwt, 1 cwt = 4 qr, 1 cwt = 112 lb
n = et (7,, 15,, 3,, 21)
1. et → cwt .... 7 et = 7 · 20 cwt = 140,0000 cwt
2. cwt → cwt ... 15 cwt = 15,0000 cwt
3. qr → cwt .... 3 qr = 3 : 4 cwt = 0,7500 cwt
4. lb → cwt ... 21 lb = 21 : 112 cwt = 0,1875 cwt
n = 155,9375 cwt
Dodatak primjeru. Ako pretpostavimo da je veličina neka količina
trgovačke robe čija je cijena p = £ (5,, 17,, 3) za 1 cwt izračunati
koliki su troškovi kupovine količine n = et (7,, 15,, 3,, 21).
54

Pošto se cijena odnosi na 1 hunderwejt (cwt) to je potrebno količinu
kupljene robe n izraziti u cwt, što je već urađeno. S druge strane
potrebno je cijenu robe izraziti u decimalnom obliku funte.
p = £ (5,, 17,, 3); a = 5, b = 17, c = 3
b c 125
⋅ 5 = 0,85, ⋅ = 0,0125
100 1.000 3
p = (5 + 0,85 + 0,0125) £ = 5,8625 £/1 cwt
Troškovi kupovine robe
T = n · p = 155,9375 cwt · 5,8625 £/cwt
T = 914,18359 = 914,1836, (zaokruženje na više)
PRIMJER 10.
Težina nekog predmeta od zlata iznosi n = Trlb (12,, 7,, 13,, 5).
Treba odrediti kolika je njegova težina u gramima.
Treba znati: 1 trlb = 373,242 grama
1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr
Težinu predmeta n = trlb (12,, 7,, 13,, 5) potrebno je izraziti u trlb.
1. trlb → trlb .... 12 trlb = = 12,000000 trlb
2. troz → trlb ..... 7 troz = 7 : 12 trlb = 0,583333 trlb
3. dwt → trlb ... 12 dwt = 13 : 240 trlb = 0,054167 trlb
4. Gr → trlb .... 5 Gr = 5 : 5.760 trlb = 0,000868 trlb
n = 12,638368 trlb
Ukupna težina predmeta u gramima je
Q = 12,638368 · 373,242
Q = 4.717,1697 grama zlata
55

PRIMJER 11.
Koliko iznosi cijena za 1 cwt neke robe ako je za količinu te robe n =
cwt (17,, 3,, 19) ukupno plaćeno £ (58,, 17,, 8).
Ovdje je potrebno, prvo količinu kupljene robe n izraziti u cwt, a
zatim iznos plaćanja m = £ (17,, 3,, 19) treba prikazati u decimalnom
obliku funte. Na osnovu dobivenih podataka lako se određuje tražena
cijena.
Dobije se: n = 17,919 cwt, m = 58,883 £
Cijena za 1 cwt robe je
p = m : n = 58,883 : 17,919
p = 3,286 £
56

5. PROPORCIJE
Proporcija je omjer između dvije veličine, tj. odnos dva elemenata
različitih veličina.
5.1. Omjer
Omjer (razmjer) dva broja ili dvije veličine iste vrste je odnos koji
pokazuje koliko puta je jedan broj (veličina) veći ili manji od drugog
broja (veličine).
Neka su a i b dva pozitivna broja (a > 0, b > 0), što se može
pretpostaviti jer se sve ekonomske veličine koje su predmet analize i
odgovarajućeg obračuna izražavaju pozitivnim brojem.
Na primjer: cijena robe je pozitivan broj, iznos troškova kao i prihoda
i dobiti izražavaju se pozitivnim brojem, isto vrijedi za veličinu
potražnje i ponude i tako dalje.
Odrediti omjer brojeva a i b znači izvršiti operaciju dijeljenja tj. a : b,
koja ima rezultat k
(k > 0 jer je a > 0, b > 0).
Pišemo:
a
a : b = k ili = k ... (*)
b
Brojeve a i b zovemo članovima omjera, dok broj k predstavlja njihov
količnik ili vrijednost omjera. Broj a zovemo još prvi član omjera a
broj b drugi član omjera.
Za vrijednost omjera vrijedi:
k > 1, ili k < 1 k > 0. Ako je k > 1 tada je a > b.
Međutim, ako je 0 < k < 1 tada je a < b.
57

Na primjer posmatrajmo dva omjera:
12 : 4 = 3 i 5 : 10 = 2
1 .
U prvom slučaju je: k = 3 > 1, a u drugom je k = 2
1 < 1.
Navedene omjere možemo „pročitati“:
1) broj a = 12 sadrži broj b = 4 tri (3) puta,
2) broj a = 5 sadrži b = 10 „polovinu“ puta.
Napomenimo još da jednakosti (*) su ekvivalentne sa jednakosti
a = kb.
Ovu okolnost pišemo na slijedeći način:
a : b = b
a = k ⇔ a = kb
Broj k (količnik) zove se još faktor proporcionalnosti.
Činjenica da se omjer piše u obliku razlomka omogućava da se na
računanje sa omjerima primjenjuju pravila računanja sa razlomcima.
Za omjere vrijede pravila:
1).Članovi omjera a i b moraju biti neimenovani brojevi ili istoimeni
brojevi 8 . Ako su a i b raznoimeni brojevi (npr. a se odnosi na metre, b
na centimentre) moraju se izraziti u jedinicama iste vrste. Ako se
upoređuju dvije veličine iste vrste tada njihovi mjerni brojevi moraju
se odnositi na jedinice mjere iste vrste.
Na primjer ako je a = 3 dkg i b = 25 grama, tada a i b moraju biti
izraženi, oba u dkg ili oba u gramima. Da bi se odredio njihov omjer
treba prethodno izvršiti njihovo preračunavanje:
a : b = 3 dkg : 25 gr = 30 gr : 25 gr = 300 : 25 = 1,2
a : b = 3 dkg : 25 gr = 3 dkg : 2,5 dkg = 3 : 2,5 = 1,2
Slično se postupa ako je jedan od brojeva a i b, ili oba, mješovit broj.
8 Istoimeni brojevi imaju označeno ime veličine ili jedinice na koju se odnose
58

Na primjer:
3 15 5 20 4
5 : 3 = 5 : = = = = k
15
4 4
4
15 3
2 1 12 3 24 8
2 :1 = : = = = k
5 2 5 2 15 5
2).Dva omjera su jednaka kada su im količnici jednaki.
8 8
48 : 30 = i 72 : 45 = ⇒ 48 : 30 = 72 : 45 = 8 = K
5 5 5
3).Vrijednost omjera tj. količnik razmjere se nemijenja kada se
njegovi članovi pomnože ili podijele istim brojem.
24 : 6 = 4, (24 · 3) : (6 · 3) = 4, (24 : 2) : (6 : 2) = 4
24 : 6 = (24 · 3) : (6 · 3) = (24 : 2) : (6 : 2) = 4
Ova osobina je značajna jer se njenom primjenom omjer može
uprostiti.
Na primjer
4 5
: = (množenjem oba člana sa 18) =
9 6
4 5 8
= ( ⋅18) : ( ⋅ 18) = 8:15 = ( = K)
9 6 5
4) Iz a : b = k, slijedi b : a = K
1 , omjer b : a je recipročni omjer.
5.2. Definicija proporcije
Posmatramo dva omjera čiji količnici imaju istu vrijednost:
a : b = k i c : d = k (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, k > 0)
Tada se može formirati jednakost
a : b = c : d (= k) koja se zove proporcija.
59

Dakle proporcija pretstavlja jednakost dvije proporcije čiji količnici
imaju istu vrijednost.
a : b = c : d (= k)
Brojevi a, b, c i d su članovi proporcije. Brojevi a i d su vanjski
članovi, dok su b i c unutrašnji članovi proporcije. Nadalje a i c su
prvi vanjski član s lijeve strane i prvi unutrašnji član s desne strane.
Slično tome b i d su drugi unutrašnji član s lijeve strane i drugi vanjski
član s desne strane. Kazat ćemo da su a i c „odgovarajući“ članovi
proporcije (kao prvi članovi proporcije), a takođe su b i d
„odgovarajući“ članovi proporcije (kao drugi članovi).
Proporcija koju obrazuju dva omjera iste vrijednosti zove se još prosta
proporcija.
5.3. Osobine prostih proporcija
1).a: b = c : d ⇒
a · d = b · c
Proizvod vanjskih jednak je proizvodu unutrašnjih članova.
Na primjer
1 1
12 : 4 = 1 : ⇒ 12 ⋅ = 4 ⋅1
⇒ 4 = 4
3 3
Na primjer . Naći x ako je
3
2 : x = 3 : ⇒ 4
2 ·
3
4
3
= 3x ⇒ 3x = ⇒ x =
2
2) Proporcija se nemijenja ako se oba člana na lijevoj strani ili oba
člana na desnoj strani ili odgovarajući članovi (vanjski i njemu
odgovarajući unutrašnji a i c tj. b i d) pomnože (podijele) istim
brojem.
a : b = c : d, m > 0
(m · a) : (m · b) = c : d
a : b = (m · c) : (m · d)
(m · a) : b = (m · c) : d
a : (m · b) = c : (m · d)
1
2
60

Ilustracija: Posmatra se proporcija
4 : 2 = 2 : 1,
m = 2
1
1 1
(4 · ) : (2 ⋅ = 2 :1 ⇒ 2 :1 = 2 : 1
2 2
1 1
1 1
4 : 2 = (2 · ) : (1 ⋅ ) ⇒ 4 : 2 = 1: ⇒ 4 ⋅ = 2 ⋅1
2 2
2 2
1 1
(4 · ) : 2 = (2 ⋅ ) :1 ⇒ 2 : 2 = 1: 1
2 2
1 1
1 1
4 : (2 · ) = 2 : (1 ⋅ ) ⇒ 4 :1 = 2 : ⇒ 4 ⋅ = 2 ⋅1
2 2
2 2
Ova osobina je korisna jer se njenom primjenom proporcija može
pojednostaviti, čime se dobije nova s kojom se lakše računa.
PRIMJER 1.
3 2 15 12
a : b = 3 : 2 = : , slijedi
4 5 4 5
15 12
a : b = ( ⋅ 20) : ( ⋅ 20)
4 5
= 75 : 60
= (75 : 15) : (60 : 15) = 5 : 4
Proporcija a : b = 3
3 2
: 2
4 5
je ekvivalentna sa a : b = 5 : 4.
Lako se pokazuje da proporcije a : b = c : d proizilaze slijedeće
proporcije:
a : c = b : d
(a + b) : (c + d) = a : c = b : d
(a – b) : (c – d) = a : c = b : d
(a + b) : (c + d) = (a – b) : (c – d)
(a + b) : (a – b) = (c + d) : (c – d)
Posmatrati proporciju 2 : 3 = 1 : 1,5 i izvršiti provjeru!
61

5.4. Produžene proporcije
Ako tri ili više omjera imaju isti količnik onda se od njih može
napisati produžena proporcija. Ovo ćemo ilustrovati na slučaju četri
proporcije.
Prethodno napomenimo da je omjer
a : b = k ekvivalentan sa
a = k · b
Neka je
a 1 : b 1 = k, a 2 : b 2 = k, a 3 : b 3 = k, a 4 : b 4 = k.
Ovi omjeri su ekvivalentni sa
a 1 = k · b 1 , a 2 = k · b 2 , a 3 = k · b 3 , a 4 = k · b 4
Upoređivanjem se dobije
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = (k · b 1 ) : (k · b 2 ) : (k · b 3 ) : (k · b 4 )
Kada se članovi na desnoj strani podijele sa k (koji pretstavlja njihov
zajednički faktor) dobiće se produžena proporcija (sa po četri člana)
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = b 1 : b 2 : b 3 : b 4 ... (***)
Važna napomena: iz proporcije (***) slijedi da je
a 1 = kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = kb 3 ,
a 4 = kb 4 !
Ako je na primjer
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 =
1 5 5
:1: : , onda je
4 3 2
a 1 = 4
1 · k, a2 = 1 · k, a 3 = 3
5 k, a4 = 2
5 k
Da bi se odredili brojevi a 1 , a 2 , a 3 i a 4 (u slučaju da je to potrebno)
mora biti dat dodatni uslov za određivanje koeficijenta
proporcionalnosti k.
62

Radi ilustracije uzmimo da je dat uslov:
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 130
a 1 = 4
1 k, a2 = k, a 3 = 3
5 k, a4 = 2
5 k
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 130
Kad se a 1 , a 2 , a 3 i a 4 uvrste u datu jednačinu dobiće se da je:
65 k = 130 pa je
1 10
k = 2, odnosno a 1 = , a2 = 2, a 3 = , a4 = 5.
2 3
Na proširene proporcije može se primjeniti osobina jednostavne
proporcije kojom se, množenjem svih članova na desnoj strani nekim
brojem, dobiva ekvivalentna proporcija pogodnija za računanje.
Pomnožimo članove desne strane posmatrane proporcije brojem
m = 12 (koji je najmanje zajednički sadržatelj nazivnika 4, 3 i 2).
Dobiće se
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = 3 : 12 : 20 : 30 ⇒ a 1 = 3 k, a 2 = k, a 3 = 20 k,
a 4 = 30 k
Kada se ovo uvrsti u zadani uslova
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 130
proizilazi da je
65 k = 130 tj k = 2.
Posmatrajmo proširenu proporciju
a 1 : a 2 : a 3 = b 1 : b 2 : b 3
Lako se dokazuje osobina
(a 1 + a 2 + a 3 ) : (b 1 + b 2 + b 3 ) = a 1 : b 1 = a 2 : b 2 = a 3 : b 3
Produženu proporciju možemo formirati i na druge načine.
Razmotrićemo neke od njih.
63

I) Posmatramo tri specifične proporcije
(1) a 1 : a 2 = b 1 : b 2 ...1.
(2) a 2 : a 3 = b 2 : b 3 ...2.
(3) a 3 = a 4 = b 3 : b 4 ...3.
Specifičnost se sastoji u tome da su kod susjednih proporcija (1. i 2. tj.
2. i 3.) neki članovi na lijevoj i na desnoj strani međusobno jednaki.
Gledajmo 1. i 2. proporciju. Vidi se da je: (1) lijevi unutrašnji član
prve jednak lijevom vanjskom članu druge proporcije i (2) desni
unutrašnji član druge jednak desnom vanjskom članu prve proporcije.
Isto vrijedi i za 2. i 3. proporcije.
U ovom slučaju formira se proširena proporcija.
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = b 1 : b 2 : b 3 : b 4
Ilustracija:
(1) a 1 : a 2 = 2 : 3 1.
(2) a 2 : a 3 = 3 : 4 2.
(3) a 3 : a 4 = 4 : 5 3.
(4) a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = 2 : 3 : 4 : 5 4.
Iz proporcije 4. slijedi da je a 1 = 2 k, a 2 = 3 k, a 3 = 5k, a 4 = 5 k što
zadovoljava proporcije 1., 2. i 3.
Posmatramo proporcije
a 1 : a 2 = 3 : 4 1.
a 2 : a 3 = 5 : 6 2.
a 3 : a 4 = 1 : 2 3.
Vidimo da članovi na lijevoj strani zadovoljavaju uslov za formiranje
proširene proporcije, a članovi na desnoj strani ne zadovoljavaju taj
uslov. Pogodnim množenjem članova na desnoj strani to se može
postići. Pomnožimo desnu stranu 1. sa 5 a 2. sa 4, dobićemo
a 1 : a 2 = 15 : 20 ... 1.
a 2 : a 3 = 20 : 24 ... 2.
a 3 : a 4 = 1 : 2 ... 3.
64

Pomnožimo sad desnu stranu 3. sa 24
a 1 : a 2 = 15 : 20 ... 1.
a 2 : a 3 = 20 : 24 ... 2.
a 3 : a 4 = 24 : 48 ... 3.
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = 15 : 20 : 24 : 48 ... 4.
Iz produžene proporcije 4. slijedi da je a 1 = 15 k, a 2 = 20 k, a 3 = 24 k i
a 4 = 48 k – što zadovoljava početne proporcije 1., 2. i 3.!
PRIMJER 1.
a 1 : a 2 = 4 : 5 (3) ... 1.
a 2 : a 3 = 3 : 2 (5) ... 2.
a 3 : a 4 = 7 : 10 ... 3.
Pokazati da se pogodnim množenjem desnih strana datih proporcija
može dobiti produžena proporcija 4.:
10
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = 12 : 15 : 10 : ... 4. 7
koja je ekvivalentna proporciji 5.
a 1 : a 2 : a 3 : a 4 = 84 : 105 : 70 : 10 ... 5.
Izvršiti probu!
PRIMJER 2.
Iz proporcija: a : b = 3 : 4, b : c = 5 : 6, c : d = 7 : 8 naći proporciju
a : d!
Treba formirati produženu proporciju 4.:
192
a : b : c : d = 15 : 20 : 24 :
7
a = 15 k, b = 20 k, c = 24 k, d =
a : d = 15 k :
192 192
k = 15 :
7 7
192
7
... 4.
... 5.
65

Desnu stranu proporcije 5 množimo sa 3
7
7 192 7
a : d = 35 : 64 (15 · = 5 · 7 = 35; · = 64)
3
7 3
II.) Neka su date jednakosti:
a 1 · m 2 = a 2 · m 1 i b 1 · n 2 = b 2 · n 1
čiji članovi a i , b i , m i , n i (i = 1, 2, 3, 4) su pozitivni brojevi.
Od ovih jednakosti mogu se formirati dvije proste proporcije.
a 1 : a 2 = m 1 : m 2
...(1) i
b 1 : b 2 = n 1 : n 2 ... (2)
Uvedimo oznake:
a 1 : a 2 = a, b 1 : b 2 = b, m 1 : m 2 = m, n 1 : n 2 = n.
Kako su članovi proporcija (1) i (2) realni pozitivni brojevi to su a, b,
m, n takođe pozitivni brojevi. Ako oni zadovoljavaju uslov.
a = m i b = n
Možemo formirati proporciju
a : b = m : n
Odnosno proširenu proporciju
(a 1 : a 2 ) : (b 1 : b 2 ) = (m 1 : m 2 ) : (n 1 : n 2 )
a 1 : a 2 : b 1 : b 2 = m 1 : m 2 : n 1 : n 2 ... (3)
PRIMJER 3.
Formirati proširenu proporciju ako je 7 a 1 = 5 i 3 b 1 = 4 b 2
Date jednakosti su ekvivalentne prostim proporcijama:
a 1 : a 2 = 5 : 7 i b 1 : b 2 = 4 : 3, koje su ekvivalentne proširenoj
proporciji
a 1 : a 2 : b 1 : b 2 = 5 : 7 : 4 : 3 ... (*)
Iz proporcije (*) slijedi da je a 1 = 5 k, a 2 = 7 k, b 1 = 4 k i b 2 = 3 k,
što očigledno zadovoljava početne jednakosti u primjeru!
66

5.5. Pravilo trojno
Pravilo trojno je metoda rješavanja računskih (privrednih) problema
koja se zasniva na primjeni proporcije. U problemima koji se rješavaju
obično učestvuje više veličina koje su međusobno povezane. Da bi se
problemi mogli rješavati primjenom proporcija veza između veličina
mora se ispoljavati kao direktna proporcionalnost ili kao obrnuta
(indirektna) proporcionalnost.
Neka su x i y dvije veličine takve da y zavisi od x.
Pošto su y i x ekonomske veličine to je x > 0 i y > 0.
Ako su veličine y i x direktno proporcionalne tada se veza između njih
iskazuje jednakošću
y = k · x, (k > 0, faktor proporcionalnosti)
Direktna proporcionalnost znači: ako promjenjiva x raste (opada) tada
zavisno promjenjiva y raste (opada). To znači da se promjene veličina
kreću u istom smjeru – rast (↑) ili opadanje (↓), obje rastu ili obje
opadaju.
Direktna proporcionalnost iskazana kao postavljanje pitanja i davanje
odgovora: na pitanje „što više (manje) jedne veličine“ odgovor je „to
više (manje) druge veličine“!
Kada su y i x obrnuto proporcionalne veza između njih se iskazuje
jednakošću
y = x
k , (k > 0)
Obrnuta proporcionalnost znači: ako promjenjiva x raste (opada) tada
zavisno promjenjiva y opada (raste). To znači da se promjene veličina
kreću u suprotnim smjerovima – ako jedna raste (↑) druga opada (↓) ili
ako jedna opada (↓), druga raste (↑).
U slučaju obrnute proporcionalnosti sistem „pitanje“ – „odgovor“ ima
oblik: na pitanje „što više (manje) jedne veličine“ odgovor je „to
manje (više) druge veličine“.
67

Ako u problemu učestvuju četri veličine od kojih su tri poznate a
jedna nepoznata model rješenja je prosta proporcija iz koje se nalazi
nepoznata veličina su dvije i dvije veličine iste vrste između kojih
postoji odnos direktne i/ili obrnute proporcionalnosti koje treba
utvrditi. Par poznatih veličina različite vrste obrazuju „uslovni red“ a
drugi par, među kojima je nepoznata, obrazuje „uslovni red“. Ovi
redovi ispisuju se jedan ispod drugog, nakon čega se utvrđuju
smjerovi zavisnosti (↑ ili ↓) koristeći sistem „Pitanje – odgovor“.
Nakon toga se formira proporcija iz koje slijedi rješenje problema. U
ovom slučaju se radi o prostom pravilu trojnom.
Ako u problemu učestvuju šest, osam, ... veličina, od kojih je jedna
nepoznata radi se o složenom pravilu trojnom. Problem se rješava
modelom koji je razvijen za potrebe privredne matematike 9 .
I u ovom slučaju formiraju se uslovni i upitni red pa se utvrđuju
smjerovi zavisnosti (↑,↓) sistemom „pitanje – odgovor“, pri ćemu
pitanje počinje od nepoznate veličine. To znači da se par kojem
pripada nepoznata veličina „upoređuje“ sa ostalim parovima bi se
utvrdio smjer zavisnosti. Nakon toga rješenje se nalazi jednostavno.
PRIMJER 1.
Za 36 kg trgovačke robe plaćeno je 72 KM. Koliko treba platiti za
54 kg iste robe
Označimo sa x iznos plaćanja za 54 kg iste robe. Formiraćemo uslovni
i upitni red: Postavićemo pitanje polazeći od upitnog reda!
uslovni 72 KM 36 kg
upitni x KM 54 kg
Pri konstantnoj cijene na pitanje „što je veći broj kg kupljene robe“ to
je „veći iznos plaćanja“, pa se radi o direktnoj proporcionalnosti (↑).
(Veće prema manjem kao veće prema manjem).
Može se formirati proporcija
x : 72 = 54 : 36 ⇒ x = 108 KM
9 Vidjeti: dr Vidoje Veselinović: „Privredna matematika“, str. 64 – 67.
68

PRIMJER 2.
Neki posao mogu da završe 24 radnika za 32 dana uz radno vrijeme od
8 sati dnevno. Nakon 8 dana 6 radnika je premješteno na drugi posao.
Za koliko dana će preostali radnici završiti započeti posao, uz isto
radno vrijeme
Da su svi radnici ostali na poslu trebalo bi im 32 da dovrše taj posao.
Međutim sad je na raspolaganju 18 radnika. Zato se postavlja pitanje:
za koliko dana će 18 radnika završiti posao koji bi inače 24 radnika
izvršili za 32 dana
Označimo broj dana sa x.
uslovni red 24 radnika 32 dana
upitni red 18 radnika x dana
Pri konstantnom radnom vremenu, na pitanje „što manji broj radnika“,
odgovor je „potreban je veći broj dana da se završi isti posao“, pa se
radi o obrnutoj proporcionalnosti (↓). To znači da vrijedi odnos
„manje prema većem, kao veće prema manjem“, posmatrajući broj
radnika.
32 − 24 2
18 : 24 = 32 : x ⇒ x = = 42 radnih dana!
18 3
Dodatak:
Koliko je 42 3
2 radnih dana (r.d.). Radni dan je radno vrijeme od 8 h!
Znači:
x = 42 r.d. + 3
2 r.d.
Treba odrediti koliko je 3
2 r.d.
Kako je r.d. = 8h = 480 minuta biće
2 2 r.d. = od 480 minuta = 320 minuta = 5h i 20 minuta
3 3
Preciznije govoreći 18 radnika će dovršiti ostatak posla za 42 dana
5 sati i 20 minuta!
69

PRIMJER 3.
Za gradnju puta dužine 500 m, širine 6 m i debljine nasipa 40 cm
plaćeno je 500.000 KM. Koliko treba platiti za gradnju puta dužine
800 m, širine 5 m i visine nasipa 20 cm
dužina širina visina nasipa cijena
Uslov 500 m 6 m 40 cm 500.000 KM
Pitanje 800 m 5 m 20 cm x KM
Ovdje cijena gradnje puta zavisi od dužine puta, širine puta i visine
nasipa. Cijena puta je proporcionalna sa zapreminom izgrađenog
nasipa. Sada se treba tri puta primjeniti sistem „pitanje – odgovor“ (za
svaku od dimenzija puta).
Pitanja se postavljaju polazeći od upitnog reda!
Pitanje
Odgovor
- Što veća dužina To veća zapremina d.p.
(direktna proporcionalnost
d.p.)
- Što manja širina To manja zapremina d.p.
- Što manja visina To manja zapremina d.p.
Piše se
800 : 500
x : 500.000 = 5 : 6
20 : 40
800 ⋅5⋅
20
x : 500.000 =
500 ⋅ 6 ⋅ 40
500.000
⋅800
⋅5
⋅ 20 1.000 ⋅ 20 ⋅5
⋅10
x =
=
KM
500 ⋅ 6 ⋅ 40
3
1.000.000
x = KM = 333 333,33 KM
3
70

PRIMJER 4.
Poznato je da 20 radnika radeći 14 dana po 8h dnevno mogu da
podignu zid dužine 280m, visine 2,5m i debljine 40 cm. Treba odrediti
koliko radnika treba angažovati da bi oni radeći 12 dana po 9 sati
dnevno podigli zid dužine 180m, visine 2,7m i širine 50cm
Broj radnika (označimo ga sa x) zavisi od broja radnih dana, dužine
radnog vremena, dužine zida, visine zida i debljine zida. Ta zavisnost
se ispoljava kao direktna proporcionalnost (d.p.) ili obrnuta
proporcionalnost (o.p.).
Uslov
Pitanje
Broj
Radnika
20
↑
X
Broj
dana
14d
↓
12d
Radno
vrijeme
8h
↓
9h
Dužina Visina Debljina
280m
↑
180m
2,5m
↑
2,7m
0,4m
↑
0,5m
Pitanje
Odgovor
- Što manje dana To više radnika, o.p.↓
- Što duže radno vrijeme To manje radnika, o.p.↓
- Što manja dužina zida To manje radnika, d.p.↑
- Što veća visina zida To veći broj radnika, d.p.↑
- Što deblji zid To veći broj radnika, d.p.↑
Pitanja se postavljaju polazeći od upitnog reda!
x : 20 = 14 : 12
= 8 : 9
=180 : 280
= 2,7 : 2,5
= 0,5 : 0,4
Slijedi
20 ⋅14
⋅8⋅180
⋅ 2,7 ⋅ 0,5
X = = 18
12 ⋅9
⋅ 280 ⋅ 2,5 ⋅ 0,4
Napomena:
Proporcije se, pored pravila trojnog, primjenjuju u računima podjelem
u verižnom računu i procentnom i kamatnom računu.
71

6. VERIŽNI RAČUN
Verižni račun pretstavlja računsku operaciju kojom se utvrđuje odnos
između dvije veličine (npr. kilogrami neke robe i novčani iznos) koje
se nalaze u međusobnoj zavisnosti, ali ne neposredno, već posrestvom
određenog broja drugih veličina (jedinica odgovarajuće mjere, cijena,
strana valuta, ....).
Značajno je napomenuti da sve veličine koje se javljaju u problemu
moraju biti u odnosu direktne proporcionalnosti.
Privredna praksa (tj. privredna matematika) tokom vremena je razvila
model pomoću kojeg se, nakon identifikacije svih potrebnih odnosa
koji se ispoljavaju kao niz jednakosti, na jednostavan način odredi
nepoznata veličina. U toku primjene odgovarajuće procedure o
jedinicama mjere na koje se date količine pojedinih veličina odnose
(npr. 3m, 4,5yd, 80$,...)!
Razmotrićemo jedan primjer:
Za 45yd platna plaćeno je 96 funti sterlinga (£). Koliko košta 144
metara tog platna u konvertibilnim markama ako je kurs funte:
1£ = 2,19 KM
Problem ćemo prvo riješiti logički.
Označimo sa x troškove nabavke 144 metara tog platna, a sa p cijenu
platna u KM. Troškovi nabavke jednaki su proizvodu količine (broja
metara) i cijene.
x = 144m ⋅ p KM / m tj. x = 144⋅
p KM
Može se pisati
x KM = 144 ⋅ p KM
Treba odrediti cijenu na osnovu datih podataka u zadatku
45yd = 96£, 1yd = 0,914m, 1£ = 2,19 KM
45 ⋅ 1yd = 96 ⋅ 1£
45 ⋅ 0,914 ⋅ 1m = 96 ⋅ 2,19 KM
96 ⋅ 2,19
1m = KM
45⋅
0,914
72

Cijena platna je
96 ⋅ 2,19
p = KM
45 ⋅ 0.914
k
x = x = 736 KM
x
Korisno je u jednakost za x uvrstiti odgovarajuće jedinice mjere
144m ⋅96£ ⋅2,19KM ⋅1yd
x = ⋅⋅⋅(*)
45yd ⋅0,914m ⋅1£
Vidljivo je da u brojniku i nazivniku figurišu iste jedinice mjere koje
možemo „kratiti“, na kraju se dobiju troškovi kupovine 144m platna
izraženi u KM.
Jednakost (*) je značajna za utvrđivanje procedure ovakvih problema.
U problemu figurišu četri veličine: konvertibilne marke (KM), metri
(m), jardi (yd) i funte sterlinga (£). Mogu se formirati četri jednakosti.
x KM = 144m ...(1)
0,914m = 1yd ...(2)
45yd = 96£ ...(3)
1£ = 2,19 KM ...(4)
Dobivene jednakosti omogućavaju da se formira šema – koja se zove
verižnik.
x KM 144m
0,914m 1yd
45yd 96£
1£ 2,19 KM
Verižnik ima četri reda. U prvom redu na lijevoj strani nalazi se
nepoznata veličina x sa oznakom svoje jedinice. U prvom redu na
desnoj strani nalazi se ekvivalentna vrijednost izražena u metrima. U
drugom redu na lijevoj strani figurišu metri a na desnoj strani jardi
(yd). Treći red lijevo sadrži jedinicu mjere jard (yd) a na desnoj strani
su funte (£). Konačno zadnji red ima obilježje u funtama, a na desnoj
73

strani su konvertibilne marke (KM), sa kojim se počelo formiranje
verižnika.
Nepoznata x jednaka je količniku proizvoda brojeva na desnoj strani i
proizvoda brojeva na lijevoj strani verižnika:
144m ⋅1yd ⋅96£ ⋅2,19KM
x =
0,914m ⋅45yd ⋅1£
Ovo je u stvari jednakost (*) dobivena na brži način. Dakle
x = 736 KM
PRIMJER 1.
Preduzeće drvne industrije izvozi u EU rezanu građu u standardnom
pakovanju, gdje je 1 standardno pakovanje = 4,672m 2 ! Koju cijenu
treba ponuditi za 1 pakovanje u BiH ako je njegova cijena 150 KM, a
1€ = 1,95583 KM
Označimo sa x cijenu standardnog pakovanja u eurima (€).
Formiraćemo verižnik:
x € 4,672 m 2
1 m 2 150 KM
1,95583 KM 1€
4,672 ⋅150
⋅1
x = = 358, 3 €
1⋅1,95583
PRIMJER 2.
Cijena 1cwt kafe u Engleskoj je 205,1£ sa 1,75% skonta. Kolika je
cijena 1kg kafe u BiH, ako se na ime provizije plaća posredniku 2,5%
od cijene umanjene za skonto. Kurs funte je 1£ = 2,19 KM, pri ćemu
banka računa 0,5% troškova.
Neka je cijena x cijena kafe u BiH u KM. Zna se da je 1cwt = 50,8kg
(*ban.t. – bankarski troškovi)
74

x KM
1kg
50,8kg 205,1£
Bez skonta 100
98,25, nakon odbitka skonta
Bez provizije 100
102,5 nakon dodatka provizije
1£ 2,19 KM
Bez ban.t 100
100,5 sa ban.t*.
x =
1⋅
20,51⋅
98,25⋅102,5
⋅ 2,19 ⋅100,5
KM
50,8 −100
⋅100
⋅1⋅100
Cijena 1 kg kafe u BiH je
x = 8,95 KM
75

7. RAČUN PODJELE
U privrednom poslovanju često nastaje problem da se neka veličina
numerički izražena podijeli na određen broj dijelova prema nekom
kriterijumu! Taj kriterijum obično pretstavlja proporcija koju moraju
zadovoljavati traženi dijelovi. Ona može biti eksplicitno zadana ili je
treba postaviti iz uslova problema.
Radi jednostavnosti izlaganja uzmimo da veličinu x treba podijeliti na
tri dijela x 1 , x 2 i x 3 koji zadovoljavaju proporciju x 1 : x 2 : x 3 = a : b : c
Prema uslovu problema mora biti:
x 1 + x 2 + x 3 = x ...(1)
Iz proporcije x 1 : x 2 : x 3 = a : b : c
Slijedi:
x 1 = k · a, x 2 = k · b, x 3 = k · c ...(2)
Uvrštavanjem jednakosti (2) i jednakost (1) dobija se jednačina iz koje
nalazimo koeficijent proporcionalnosti k:
(a + b + c) · k = x
x
K =
a + b + c
Traženi dijelovi su
x
x 1 = ⋅ a,
a + b + c
x
x 2 = ⋅ b
a + b + c
x 3 =
x
⋅ c
a + b + c
Slično se postupa kada veličinu x treba podjeliti na n (n = 2, 3, 4, ...)
dijelova x 1 , x 2 , ...x n koji zadovoljavaju proporciju:
x 1 : x 2 : ... : x n = a 1 : a 2 : ... : a n !
PRIMJER 1.
Sumu od 3.080 KM treba podijeliti na tri dijela koji sa direktno
proporcionalni brojevima 4, 9, 15
x 1 + x 2 + x 3 = 3.080
x 1 : x 2 : x 3 = 4 : 9 : 15
x 1 = 4k, x 2 = 9 k, x 3 = 15 k
76

28 k = 3.080, k = 110
x 1 = 440 KM, x 2 = 990 KM, x 3 = 1.650 KM
PRIMJER 2.
Istu sumu podijeliti na tri dijela koji su obrnuto proporcionalni
brojevima 4, 9, 15!
1 1 1
x 1 : x 2 : x 3 = : :
4 9 15
x 1 =
1 1 1
k , x2 = k , x3 = k
4 9 15
x 1 + x 2 + x 3 = 3.080
Iz prethodnih jednačina dobije se da je k = 7.200. Slijedi
x 1 = 1 7.200 1.800
4 ⋅ =
x 2 = 1 7.200 800
9 ⋅ =
x 3 = 1 ⋅ 7.200 =
480
15 3.080
PRIMJER 3.
Tri preduzeća imali su zajedničko skladište. Vrijednost uskladištene
robe bila je respektivna: za A – 50.000 KM, za B – 80.000 KM, za C –
100.000 KM. Nakon požara u kojem su djelomično uništene
odgovarajuće robe osiguravajuće društvo je ukupno isplatilo iznos
108.000 KM na ime odštete (roba je bila osigurana) koji preduzeća
trebaju podijeliti!
Podijelu odštetnog iznosa preduzeća će izvršiti srazmjerno vrijednosti
uskladištene robe. Dakle, ako je
x 1 + x 2 + x 3 = 108.000
tada mora biti
x 1 : x 2 : x 3 = 50.000 : 80.000 : 100.000
77

Otštetnu sumu treba podijeliti u odnosu
x 1 : x 2 : x 3 = 5 : 8 : 10
Konačno dobivamo sistem jednačina
x 1 + x 2 + x 3 = 108.000
x 1 = 5 k, x 2 = 8 k, x 3 = 10 k
k = 4.695,65
x 1 = 23.478,25 KM, x 2 = 37.565,20 KM, x 3 = 46.956,50 KM
78

8. SREDNJA VRIJEDNOST
Često je potrebno odrediti prosječnu vrijednost neke veličine koja
dobiva različite vrijednosti u pojedinim trenucima njene opservacije.
Ako u k trenutaka ta veličina prima vrijednost a 1 , a 2 , ..., a x , onda je
srednja vrijednost
ā = a + a + ...+ a 1 2 k
k
Ovo je jednostavna srednja vrijednost.
Ona ustvari pretstavlja aritmetičku sredinu vrijednosti a 1 , a 2 , ...., ak.
Može se desiti da se u periodu posmatranja vrijednosti te veličine
ponavljaju.
Neka je registrovano da se vrijednost
- a 1 ponavlja n 1 puta
- a 2 ponavlja n 2 puta
· ·
· ·
· ·
- a k ponavlja n k puta
Tada je prosječna vrijednost veličine određena sa
ā =
n
1
⋅
a1
+ n
2
⋅ a1
+ ... + n
n + n + ... + n
1
2
k
k
⋅ ak
Ovako obračunata srednja (prosječna) vrijednost zove se složena ili
ponderisana srednja vrijednost posmatrane veličine.
Jednostavna srednja vrijednost je specijalan slučaj složene – dobije sa
kad je
n 1 = n 2 = ... = n k = 1!
79

PRIMJER 1.
U toku jednog mjeseca na pijaci se registrovana cijena određenog
artikla i to: 3 KM, 3,2 KM, 2,7 KM, 3,5 KM i 2,9 KM. Odrediti
srednju vrijednost cijene tog artikla. Ovdje se radi o jednostavnoj
srednjoj vrijednosti jer se cijene javljaju samo po jedan put. Označimo
je sa p !
p1
+ p
2
+ p3
+ p
4
+ p5
p =
5
3,0 + 3,2 + 2,8 + 3,5 + 2,9
=
5
KM =
3,08 KM
PRIMJER 2.
Trgovačko preduzeće nabavilo je u tri navrata različit broj kg narandži
po različitim cijenama, i to:
- prvi put: 300 kg po cijeni 2,5 KM za 1 kg
- drugi put: 250 kg po cijeni 2,8 KM za 1 kg
- treći put: 400 kg po cijeni 2,2 KM za 1 kg
Treba odrediti srednju vrijednost cijene nabavki narandža.
Ovo je složena srednja vrijednost.
n1
⋅ p1
+ n
2
⋅ p1
+ ... + n
3
⋅ p3
p =
n + n + n
1
2
3
p =
300 ⋅ 2,5 + 250 ⋅ 2,8 + 400 ⋅ 2,2 2.330
KM =
300 + 250 + 400 950
KM
p = 2,45 KM
80

9. RAČUN SMJESE
Račun smjese se odnosi na određivanje količine x 1 , x 2 , ...x n sastojaka
s 1 , s 2 , ..., s n potrebnih da se njihovim mješanjem dobije smjesa S koja
će imati unaprijed određeni kvalitet. Sastojci S 1 , S 2 , ..., S n imaju
vrijednosna obilježja p 2 , p 2 , ...,p n (npr. cijena roba, procenat alkohola u
pićima) finoća zlata, broj oktana benzijskih goriva, viskozitet
tehničkih ulja, ...) koja se mogu numerički izraziti.
Unaprijed određeni kvalitet smjese S je njeno vrijednosno obilježje p
iste vrste koje predstavlja složenu srednju vrijednost obilježja p 1 , p 2 ,
..., p n obzirom na količine x 2 , x 2 , ..., x n odgovarajućih sastojaka.
Vrijedi:
p =
p
1
⋅
x1
+ p
2
⋅ x
2y ... + p
n
⋅
x + x + ... + x
1
2
n
x
n
…(1)
Jednakost (1) je ekvivalentna jednakosti (2)
p 1 · x 1 + p 2 · x 2 + ... + p n · x n = p · (x 1 + x 2 ... + x n ) ... (2)
Jednakost (2), odnosno (1), zvaćemo osnovnim uslovom smjese.
Osnovni uslov smjese ima odgovarajuće kvalitativno značenje: zbir
svih vrijednosti pojedinih sastojaka (p 1 . x 1 je vrijednost sastojka S 1 ,...,
p n · x n je vrijednost sastojka S n ) koji ulaze u sastav smjese S (to je
lijeva strana jednakosti (2)) jednak je ukupnoj – vrijednosti smjese
(desna strana jednakosti (2)).
Matematički gledano jednakost (2) pretstavlja jednačina sa n
nepoznatih x 1 , x 2 , ..., x n u kojoj su koeficijenti p 1 , p 2 , ..., p n , p poznati i
imaju brojnu vrijednost. Ova jednačina ima beskonačno mnogo
rješenja do kojih se dolazi odgovarajućom matematičkom
procedurom.
Privredna matematika je, uz uvođenje dodatnih pretpostavki tj.
pojednostavljenja, razvila model kojim se efikasno određuju
nepoznate x 1 , x 2 , ..., x n . Ove nepoznate ustvari pretstavljaju minimalne
količine x i (i = 1, 2, ..., n) pojedinih sastojaka S i (i = 1, 2, ..., n) da bi
81

se uopšte mješanjem mogla napraviti smjesa S, koja će imati unaprijed
određenu vrijednost obilježja p. U tom slučaju se, mješanjem,
minimalnih količina x i (i = 1, 2, ..., n) sastojaka S i (i = 1, 2, ..., n)
dobije minimalna količina smjese S – to je količina (x 1 + x 2 + ... + x n )!
Stoga se postojeći problem može proširiti uvođenjem novog zahtjeva
da se odrede količine x 2 , x 2 , ..., x n , pod zadanim uslovima, sastojaka
S 1 , S 2 , ..., S n , tako da se mješanjem dobije unaprijed određena količina
m smjese S.
U ovom slučaju prošireni problem smjese se iskazuje kao sistem od
dvije jednačine sa n nepoznatih:
p 1 · x 1 + p 2 · x 2 + ... + p n · x n = p (x 1 + x 1 + ... + x n )
x 1 + x 2 + ... + x n = m
Ovdje su koeficijenti p 2 , p 2 , ..., p n , p i m poznati brojevi, dok su x 1 , x 2 ,
..., x n nepoznate koje treba odrediti!
Teorijski gledano ovaj problem za n > 2 ima beskonačno mnogo
rješenja. Za n = 2 problem ima jedinstveno rješenje. Međutim, i na
ovaj problem se primjenjuje model privredne matematike kojim se on
efikasno rješava.
Taj model se u konačnici svodi na formiranje šeme – tabele na kojoj
se nalaze sva potrebna rješenja: za slučaj kada se traže minimalne
količine sastojaka min x i (i = 1, 2, ...,n), odnosno minimalna količina
smjese S, kao i za slučaj kada treba formirati unaprijed zadanu
količinu m smjese S! Model ćemo prikazati za n = 2, n = 3 i n = 4.
82

9.1. Smjesa od dva sastojka
Neka su data dva sastojka S 1 i S 2 sa obilježjima p 1 i p 2 od kojih se
pravi smjesa S čije je obilježje p.
Postavka:
S 1 S 2 S
Obilježja p 1 p 2 p (p 1 < p 2 )
Količine x 1 x 2 m
Problem ima smisla ako je
p1 < p < p2,
odakle slijedi da je:
p – p 1 > 0 i p 2 – p > 0.
Razlike vrijednosti obilježja p – p1 i p2 – p zvaćemo – pozitivne
razlike.
Polazi se od osnovnog uslova smjese iz kojeg će se, na osnovu
pozitivnih razlika, doći do proporcije koju zadovoljavaju količine
x 2 i x 2 .
p 1 x 1 + p 2 x 2 = p · (x 1 + x 2 )
p 1 x 1 + p 2 x 2 = p · x 1 + p · x 2
p · x 1 – p 1 x 1 = p 2 x 2 – px 2
(p – p 1 ) · x 1 = (p 2 – p) · x 2
x 1 : x 2 = (p 2 – p) : (p – p 1 ) . ....(*)
Proporcija (*) je osnov za određivanje minimalnih količina – min x 1 i
min x 2 , potrebnih da bi se mogla formirati smjesa S. Naime iz
proporcije (*) dobiva se da je
x 1 = k · (p 2 – p), x 2 = k · (p – p s ), k =
za k = 1 dobiva se da je
min x 1 = p 2 – p, min x 2 = p – p 1
Količine min x 1 i min x 2 određuju minimalnu količinu smjese tj. min S.
83

Ako treba formirati određenu količinu m smjese S tada treba odrediti
faktor proporcionalnosti k. Koeficijent k je određen količnikom
količine m i količine min S,
m
k =
min S
Potrebne količine za formiranje količine m smjese S su
m m
x 1 = · (p2 – p), x 2 = · (p – p1 ),
min S
min S
Obilježja Razlike Kraćenje/množenje Potrebne
količine
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
p 1
p
p 2
p 2 – p
p – p 1
q 1
q 2
x 1 = k · q 1
x 2 = k · q 2
m m : q = k q = q 1 + q 2 x 1 + x 2 = m
Objašnjenje:
- U kolonu (1) upisuju se vrijednosti obilježja p 1 , p, p 2 za
koja vrijedi p 1 < p < p 2 tj. p 2 – p > 0 i p 1 – p > 0
- U koloni (2) upisuju se pozitivne razlike – (p 2 – p) u
„visine“ količine x 1 , odnosno – (p – p 1 ) u „visini“ x 2 .
Naime treba „gledati“ od „p 2 prema p“ i od većeg broja
oduzeti manji broj, odnosno od „p 1 prema p“ i takođe od
većeg broja oduzeti manji broj!
- U koloni (3) upisuje se rezultat kraćenja ili množenja
pozitivnih razlika nekim brojem. Cilj ovih operacija je da
one dobiju „povoljniji“ oblik. Ako to nije potrebno u ovu
kolonu prepisuju se brojevi iz kolone (2).
- U koloni (4) upisuju se količine x 1 i x 2 potrebne za
formirane količine m smjese S.
84

PRIMJER 1.
Vino čija je cijena 14 KM za 1 litru i vino čija je cijena 24 KM za 1
litar treba miješati da bi se dobilo vino cijene 20 KM za 1 litar. Koliko
litara vina prve i druge vrste treba uzeti da bi se dobilo 450 litara
mješavine.
Ovdje je:
p 1 = 14,
p 2 = 24,
p = 20 (p 1 < p < p 2 ) i
m = 450
Formiraćemo tabelu rješenja:
(1) (2) (3) (4)
x 1 14
4 2 x 1 = 2 · 90 = 180 lit
20
x 2 24
6 3 x 2 = 3 · 90 = 270 lit
450 450 : 5 = 90 = k q = 5 m = 450
- Minimalne količine su
min x 1 = 2 l, min x 2 = 3 l, min S = 5 l
-
- Faktor proporcionalnosti
k = m : min S = 450 : 5 = 90 l
-
- Da bi se dobilo 450 l mješavine datih vina treba uzeti
x1 = 2 · 90 = 180 l vina prve vrste i
x2 = 3 · 90 = 270 l vina druge vrste.
- Proba da je zadovoljen osnovni uslov smjese
- za minimalne količine
2 · 14 + 3 · 24 = 5 · 20
100 = 100
-za zadanu količinu mješavine m = 450
180 · 14 + 270 · 24 = 450 · 20
9.000 = 9.000
85

9.2. Smjesa od tri sastojka
Posmatraju se sastojci S 1 , S 2 , S 3 čija su obilježja p 1 , p 2 , p 3 od kojih
treba napraviti količinu m smjese S čije je obilježje p.
Postavka:
S 1 S 2 S 3 S
Obilježja p 1 p 2 p 3 p
Količine x 1 x 2 x 3 m
Moguća su dva odnosa obilježja
p 1 < p 2 < p < p 3 ... (1) i p 1 < p < p 2 < p 3 ... (2)
I. Posmatramo prvi odnos
p 1 < p 2 < p < p 3
Pozitivne razlike obilježja u odnosu na p su:
p – p 1 > 0, p – p 2 > 0, p 3 – p > 0
Polazi se od osnovnog uslova smjese iz kojeg, slično kao u slučaju
n = 2, formira proporcija koja definiše min x i (i = 1, 2, 3 ).
p
1⋅ x
1+ p
2⋅ x
2
+ p3x 3
= p ⋅ ( x
1+ x
2
+ x3)
p1⋅ x
1+ p2⋅ x
2
+ p3⋅ x
3
= p ⋅ x
2
+ p ⋅ x
2
+ p ⋅ x3
p – p ⋅ x = p – p ⋅ x + p – p ⋅ x
( ) ( ) ( )
3 3 1 1 2 2
Budući da problem ima beskonačno mnogo rješenja naš cilj je da
odredimo jedno rješenje koje zadovoljava problem. U tu svrhu
problem ćemo pojednostaviti pretpostavljajući da su količine x 1 i x 2
jednake. Imamo:
(p 3 – p) · x 3 = (p – p 1 ) · x 1 + (p – p 2 ) · x 2
x 1 = x 2
Dobiva se:
p – p ⋅ x = p – p ⋅ x + p – p ⋅ x
( ) ( ) ( )
( ) ⎡( ) ( )
( p – p ) ⋅ x = ( 2p – p – p ) ⋅ x
3 3 1 1 2 1
p – p ⋅ x = ⎣ p – p + p – p ⎤⎦
⋅ x
3 3 1 2 1
3 3 1 2 1
86

Vidimo da broj (2p – p 1 – p 2 ) predstavlja zbir pozitivnih razlika
(p – p 1 ) i (p – p 2 ).
Iz posljednje prethodne jednakosti dobiva se proporcija koja definiše
minimalne količine x 1 , x 2 i x 3 :
x 1 : x 3 = (p 3 – p) : (2p – p 1 – p 2 ), x 1 = x 2
min x 1 = p 3 – p, min x 2 = p 3 – p, min x 3 = 2p – p 1 – p 2
Ako treba formirati količinu m smjese S tada se uključuje drugi uslov
problema
x 1 + x 2 + x 3 = m
Slično kao u prethodnom slučaju (k = 2) vrijedi
x 1 = k · min x 1 , x 2 = k · min x 2 , x 3 = k · min x 3
k = m : min S
Tabela:
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
x 3
p 1
p 2
p 3
p 3 – p
p 3 – p
2p – p 1 – p 2
q 1
q 1
q 3
x 1 = k · q 1
x 2 = k · q 2
x 3 = k · q 3
p
m m : q = k q = q 1 + q 2 + q 3 m = x 1 + x 2 + x 3
Objašnjenje:
-Na vrhu kolone (2), u „visini“ x 1 , upisuje se razlika (p 3 – p). Kako je
x 2 = x 1 to se u visini x 2 upisuje takođe takođe razlika (p 3 – p). Na dnu
kolone (2) u „visini“ x 3 upisuje se zbir razlika:
(p – p 1 ) + (p – p 2 ) = 2p – p 1 – p 2 .
- Formalni postupak: treba gledati „ukoso“ od „p 3 prema p“ i na vrhu
kolone (2) upisati pozitivnu razliku ta dva broja (p 3 – p). Taj broj se
prepisuje u visini x 2 , jer je x 2 = x 1 . Slično tome treba gledati „ukoso“
od „p 1 prema p“ i od „p 2 prema p“ i na dnu kolone (2) u visini x 3
upisati zbir pozitivnih razlika (p – p 1 ) + (p – p 2 ) = 2p – p 1 – p 2 .
Formalno gledano pozitivna razlika se dobije kad od većeg broja
oduzmemo manji!
87

Ostale oznake imaju isto značenje kao u slučaju smjese od dva
sastojka.
Rješenje problema:
min x 1 = q 1 , min x 2 = q 2 , min x 3 = q 3 , min S = q 1 + q 2 + q 3 = q
za slučaj da je x 1 + x 2 + x 3 = m
x 1 = k · min x 1 , x 2 = k · min x 2 , x 3 = k · min x 3
k = m : min S = m : (q 1 + q 2 + q 3 ) = m : q
II. Posmatramo drugi odnos
p 1 < p < p 2 < p 3
Pozitivne razlike u odnosu na p:
p – p 1 > 0, p 2 – p > o, p 3 – p > 0
U ovom slučaju osnovni uslov smjese transformiše se u oblik
(p – p 1 ) · x 1 = (p 2 – p) · x 2 + (p 3 – p) x 3
U ovom slučaju uzima se da je x 3 = x 3.
Dobiće se
(p – p 1 ) · x 1 = [(p 2 – p) + (p 3 – p)] x 2
(p – p 1 ) · x 1 = (p 2 + p 3 – 2p) · x 2
Sad se formira proporcija:
x 1 : x 2 = (p 2 + p 3 – 2p) : (p – p 1 ), x 2 = x 3
Minimalne količine su:
min x 1 = (p 2 + p 3 – 2p), min x 2 = (p – p 1 ), min x 3 = p – p 1
min S = min x 1 + min x 2 + min x 3
Ostalo zaključivanje je isto kao u slučaju nejednakosti (1).
Tabela
(1) (2) (3) (4)
x 1 p 1 (p 3 – p)+(p 2 – p)=p 2 +p 3 – 2p q 1
x 1 = k · q 1
x 3 p 3
p – p 1 q 2
x 3 = k · q 2
p
x 2 p 2
p – p 1
q 2
x 2 = k · q 2
m m : q = k q = q 1 + 2q 2 x 1 + x 2 + x 3 = m
88

Objašnjenje:
- Uvijek se, prvo, u kolonu (1) upišu vrijednosti obilježja prema
njihovoj vrijednosti (gore veći a dolje manji broj).
- Gleda se „ukoso“ od „p 3 prema p“ i od „p 1 prema p“ pa se na vrhu
kolone (2) upiše zbir pozitivnih razlika
(p 3 – p) + (p 2 – p) = p 1 + p 3 – 2p
- Gleda se „ukoso“ od „p 1 premap“ i u „visini“ x 2 upisuje se
pozitivna razlika (p – p 1 ). Kako je x 2 = x 3 taj broj se prepisuje na
dno kolone (2) u „visini“ x 3 .
Ostala zaključivanja su ista kao u prethodnom slučaju.
PRIMJER 1.
Preduzeće raspolaže sa tri vrste pirinča čije su cijene za 1 kg p 1 = 3
KM, p 2 = 3,6 KM, p 3 = 5 KM. Mješanjem se želi dobiti 680 kg
mješavine pirinča koja se želi prodavati po cijeni p = 4,5 KM za 1 kg.
Koliko kilograma pirinča svake vrste treba uzeti da bi se dobilo 680
kg mješavine
Ovdje je
p 1 < p 2 < p < p 3 , pa je x 1 = x 2 !
Dovoljno je formirati tabelu:
(1) (2) (3) (4)
x 1 3
0,5 5
x 1 = 20 · 5 = 100
x 3 5
2,4 24
x 3 = 24 · 20 = 480
x 2 3,6
0,5
4,5
5
x 2 = 20 · 5 = 100
680 680 : 34 = 20 = k q = 34 m = 680 = 100 + 100 + 480
Napomena:
- Gledajući „ukoso“ od „5 prema 4,5“ dobije se pozitivna
razlika 5 – 4,5 = 0,5. Ona se upisuje u kolonu (2) i visini x 1
i prepisuje u visini x 2 !
- Gledajući „ukoso“ od „3 prema 4,5“ i od „3,6 prema 4,5“
nađe se zbir pozitivnih razlika (4,5 – 3) + (4,5 – 3,6) = 2,4
koji se upisuje na dno kolone (2).
- Brojevi u koloni (2) množe se sa 10 i rezultat se upisuje u
kolonu (3).
89

Rješenje:
(1) min x 1 = 5, min x 2 = 5, min x 3 = 24, min S = 34 = q
(2) Faktor proporcionalnosti
k = m : q = 680 : 34 = 20
(3) Da bi se formiralo 680 kg mješavine pirinča čija je cijena
p = 4,5 KM za 1 kg treba uzeti: 100 kg pirinča prve vrste, 100 kg
pirinča druge vrste i 480 kg pirinča treće vrste.
PRIMJER 2.
Poljoprivrednik raspolaže sa tri vrste jabuka sličnog izgleda a
različitog kvaliteta čije su cijene za 1 kg: 2 KM, 3,4 KM i 3,9 KM. On
želi pomješati te tri vrste jabuka koje će prodavati po cijeni 2,5 KM za
1 kg. Koliko kg jabuka svake vrste treba uzeti da dobije 495 kg
mješavine koju će iznijeti na tržište
Ovdje je:
p 1 = 2; p 2 = 3,4; p 3 = 3,9; p = 2,5; m = 495
Vrijedi odnos
p 1 < p < p 2 < p 3 pa je x 2 = x 3
(1) (2) (3) (4)
x 1
2 (3,9 – 2,5) + (3,4 – 2,5) = 2,3 23 x 1 = 23 · 15 = 345
x 3 3,9
0,5
5 x 3 = 5 · 15 = 75
2,5
x 2 3,4
0,5
5 x 2 = 5 · 15 = 75
495 k = 495 : 33 = 15 q = 33 x 1 + x 2 + x 3 = 495
Rješenje:
treba uzeti 345 kg jabuka prve vrste, 75 kg jabuka druge vrste i 75 kg
jabuka treće vrste.
9.3. Smjesa od četiri sastojka
Posmatramo sastojke S 1 , S 2 , S 3 , S 4 koji imaju vrijednost obilježja p 1 ,
p 2 , p 3 , p 4 . Koliku količinu pojedinih sastojaka treba uzeti da bi se
dobila količina m smjese S čije obilježje ima vrijednost p
90

Postavka:
S 1 S 2 S 3 S 4 S
Obilježja p 1 p 2 p 3 p 4 p
Količine x 1 x 2 x 3 x 4 m
Mogući su različiti odnosi između obilježja. Mi ćemo posmatrati
odnos
p 1 < p 2 < p < p 3 < p 4 … (*)
Pozitivne razlike u odnosu na p su
p – p 1 > 0, p – p 2 > 0, p 3 – p > 0, p 4 – p > 0
Matematički model problema
p 1 ∙ x 1 + p 2 ∙ x 2 + p 3 ∙ x 3 + p 4 ∙ x 4 = p (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = m
I u ovom slučaju transformisat ćemo osnovni uslov smjese, vodeći
računa o pozitivnim razlikama, u oblik iz kojeg se, na osnovu dodatnih
pretpostavki, dobiva proporcija koja određuje minimalne količine
pojedinih sastojaka da bi se uopšte mogla formirati smjesa S!
p ⋅ x + p ⋅ x + p ⋅ x + p ⋅ x = p ⋅ x + p ⋅ x + p ⋅ x + p ⋅ x
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4
Vodeći računa da je p – p 1 > 0, p – p 2 > 0, p 3 – p > 0 i p 4 – p > 0
prebacivanjem odgovarajućih članova dobit ćemo jednakost
(p – p 1 ) x 1 + (p – p 2 ) x 2 = (p 3 – p) x 3 + (p 4 – p) x 4
Ovdje je moguće uvesti dvije varijante dodatnih pretpostavki.
Varijanta 1. (v.1.)
(p – p 1 ) x 1 = (p 4 – p) x 4 i (p – p 2 ) x 2 = (p 3 – p) x 3
Varijanta 2. (v.2.)
(p – p 1 ) x 1 = (p 3 – p) x 3 i (p – p 2 ) x 2 = (p 4 – p) x 4
Iz svake od varijanti (v.1.) i (v.2.) moguće je dobiti po dvije
ekvivalentne proporcije koje definišu minimalne količine x 1 , x 2 , x 3 , x 4
91

(v.1.)
x 1 : x 4 = (p 4 – p) : (p – p 1 ) i x 2 : x 3 = (p 3 – p) : (p – p 2 )
min x 1 = p 4 – p; min x 2 = p 3 – p; min x 3 = p –p 2 ; min x 4 = p – p 1
(v.2.)
x 1 : x 3 = (p 3 – p) : (p – p 1 ) i x 2 : x 4 = (p 4 – p) : (p – p 2 )
min x 1 = p 3 – p; min x 2 = p 4 – p; min x 3 = p – p 1 ; min x 4 = p – p 2
Logika daljnjeg zaključivanja je ista kao u prethodnim slučajevima
(određivanje x 1 , x 2 , x 3 , x 4 da se dobije količina m smjese S).
Tabela rješenja za (v.1.)
Prethodno treba obratiti pažnju da su u ovoj varijanti dovedeni u vezu
x 1 i x 4 , odnosno x 2 i x 3 .
Stoga se dovode u vezu p 1 i p 4 odnosno p 2 i p 3 . To će u tabeli biti
posebno naznačeno radi lakšeg nalaženja pozitivnih razlika (p – p 1 ) i
(p 4 – p), odnosno (p – p 2 ) i (p 3 – p) i njihovog lociranja u koloni (2).
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
x 3
x 4
p 1
p 2
p 3
p 4
p 4 - p
p 3 - p
p – p 2
p – p 1
q 1
q 2
q 3
q 4
x 1 = k · q 1
x 2 = k · q 2
x 3 = k · q 3
x 3 = k · q 4
p
m k = m : q q = q 1 + q 2 + q 3 + q 4 m = x 1 + x 2 + x 3 + x 4
Objašnjenje
-U ovom slučaju gleda se ukoso od „p 1 prema p“ odnosno od „p 4
prema p“ i pozitivne razlike se upisuje na dnu kolone (2) u visini x 4 ,
odnosno na vrhu kolone (2) u visini x 1 . Slično tome gleda se od „p 2
prema p“ i od „p 3 prema p“ pa se pozitivne razlike upisuju u koloni (2)
u visini x 3 odnosno u visini x 2 !
92

Tabela za (v.2.)
Kako su u ovoj varijanti dovedeni u vezu x 1 i x 3 i x 2 i x 4 , to je
potrebno dovesti u vezu p 1 i p 3 i p 2 i p 4 radi nalaženja pozitivnih
razlika (p – p 1 ) i (p 3 – p), odnosno (p – p 2 ) i (p 4 – p) i njihovog
lociranja u koloni (2).
Stoga su u okviru tabele rješenja posebno naznačene veze između p 1 i
p 3 i između p 2 i p 4 !
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
x 3
x 4
p 1
p 2
p 3
p 4
p 3 - p
p 4 - p
p – p 1
p – p 2
q 1
q 2
q 3
q 4
x 1 = k · q 1
x 2 = k · q 2
x 3 = k · q 3
x 3 = k · q 4
p
m k = m : q q = q 1 + q 2 + q 3 + q 4 m = x 1 + x 2 + x 3 + x 4
Objašnjenje:
-Prvo, gleda se od „p 1 prema p“, odnosno od „p 3 prema p“, pa se
razlike upisuju u visini x 3 odnosno x 1 .
-Drugo, gleda se od „p 2 prema p“ odnosno od „p 4 prema p“, pa se
razlike upisuju u visini x 4 odnosno u visini x 2 !
PRIMJER 1.
Proizvođač rakije raspolaže sa četri vrste rakije sa različitim sadržajem
alkohola i to: 25%, 28%, 33% i 35%. On ima ponudu od poznatog
ugostitelja da od njega kupi (po povoljnoj cijeni) 4.575 litara rakije
jačine 30%.
Kako proizvođač treba da napravi mješavinu raspoloživih rakija da bi
prihvatio ponudu ugostitelja
Ovdje je
p 1 = 25, p 2 = 28, p 3 = 33, p 4 = 35, p = 30, m = 4.575
p 1 < p 2 < p < p 3 < p 4
93

(1) Tabela rješenja po (v.1.)
Dovode se u vezu p 1 i p 4 , odnosno p 2 i p 3 !
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
x 3
x 4
25
28
33
35
5
3
2
5
5
3
2
5
x 1 = 1.525
x 2 = 915
x 3 = 610
x 3 = 1.525
30
4.575 k = 4.575 : 15 = 305 q = 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4.575
Tabela rješenja po (v.2.)
Dovode se u vezu p 1 i p 3 , odnosno p 2 i p 4 !
(1) (2) (3) (4)
x 1
x 2
x 3
x 4
25
28
33
35
3
5
5
2
3
5
5
2
x 1 = 915
x 2 = 1.525
x 3 = 1.525
x 3 = 610
30
4.575 k = 4.575 : 15 = 305 q = 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4.575
Kao što se vidi proizvođač rakije ima dva rješenja da napravi
mješavinu od 4.575 l rakije jačine 30% i prihvati ponudu ugostitelja.
94

10. PROCENTNI RAČUN
10.1. Procentni račun od sto
Posmatramo neku mjerljivu veličinu. Mjerni broj te veličine izražen je
u odgovarajućim jedinicama mjere.
Na primjer dužina nečega je 600 m (to može biti zemljišna parcela
pravougaonog oblika a 600 m je dužina jedne stranice) ili težina
nečaga je 300 kg (to može biti predmet oblika kvadra ili drugog
oblika). Ovdje su mjerni brojevi izraženi u metrima odnosno u
kilogramima. Slično tome mjerni broj neke veličine može biti njena
vrijednost izražena u nekoj valuti preko odgovarajuće cijene.
Na primjer vrijednost određene količine neke robe (izražene u
metrima, kilogramima, litrima,….) je 1.200 KM.
Zamislimo sad da smo posmatranu veličinu idealno podijelili na sto
jednakih dijelova. To možemo ilustrovati putem duži:
0 1 2 25 50 75 98 99 100
Dio duži od 0 do 1, koji ćemo označiti sa 01, pretstavlja jedan stoti
dio te veličine. Ako posmatranu veličinu označimo sa v onda je
1
01= ∙ v. Isto tako dio duži 02 ilustruje dva stota dijela veličine v,
100
dio duži 025 ilustruje 25 stotih dijelova veličine v, dok dio duži 099
ilustruje 99 stotih dijelova veličine v. Konačno, sama duž
100 ilustruje 100 stotih dijelova veličine v.
Po dogovoru duž 01 koja ilustruje stoti dio veličine v označićemo sa
1% - što se čita „jedan od sto“. Piše se 01 = 1% od v, ili samo
01 = 1% v. U skladu s tim vrijedi:
95

02 = 2% v, 025 = 25% v, …., 050 = 50% v, …,
099 = 99% v, 0100 = 100% v
Ako je mjerni broj veličine v izražen u metrima, npr. 600 m, tada je
1% v = 6m, 2% v = 12m, …, 250% v = 25 ∙ 6m = 150m, ….
75% v = 75 ∙ 6m = 450m, …. 99% v = 99 ∙ 6m = 594m,
100% v = 6 ∙ 100m = 600m
To znači da je 1% v izražen u istim mjernim jedinicama kao i sama
veličina v, što se odnosi i na svaki drugi broj stotih dijelova veličine v
koje posmatramo.
Posmatramo sada dio koji sadrži p stotih dijelova veličine v, pri ćemu
mora biti
1 ≤ p ≤ 100.
Broj p zovemo procent (ili postotak).
Odgovarajući dio veličine, koji sadrži p stotih dijelova, zovemo
procentni iznos i za njega se uvodi oznaka P.
Posmatrana veličina zove se glavnica i za nju se uvodi oznaka G.
Vratimo se sada našoj ilustraciji. Nakon uvedenih pojmova i uvedenih
oznaka jasno je da je G = 600 m. Dijelu glavnice G (posmatrane
veličine) koja sadrži npr. 5 stotih dijelova odgovara procent p = 5%.
Odgovarajući procentni iznos je
P = 5 ∙ 1% = 5 ∙ 6m = 30m
Ovo možemo pisati na drugi način.
6
Jedan stoti dio glavnice G pretstavlja broj 6 : 100 = , pa za 100
p = 5% imamo
6 600
P = ∙ 5 = 100 100m
∙ 5 = 6 ∙ 5m = 30m
Opisano vrijedi i u opštem slučaju: neka je P procentni iznos koji
sadrži p (1≤ p≤ 100) procenata glavnice G, tada vrijedi
96

6
P = ∙ p, (1 ≤ p = 100)
100
Očigledno je P ≤ G a znak jednakosti vrijedi za p = 100.
Do ove formule dolazi se putem proporcije. Veličine P i p su direktno
proporcionalne čiji koeficijent proporcionalnosti je broj k = G : 100.
To znači da je P : p = k, odakle slijedi proporcija:
P : p = G : 100 … (*)
Za p = 100 dobije se P : 100 = G : 100 tj. P = G. A za p = 1 dobije se
P : 1 = G : 100 tj.
6
P = . To znači, što je veći procenat p to je veći i procentni iznos
100
P, a vrijedi i obratno.
Iz proporcije P : p = G : 100 neposredno proizilazi da je
P ∙ 100 = G ∙ p
Nadalje iz ove jednakosti dobivaju se tri jednakosti
G
P = ∙ p … (1)
100
G =
p =
P ⋅100
p
P ⋅100
G
… (2), 1 ≤ p ≤ 100
… (3)
Jednakosti (1), (2), (3) pretstavljaju osnovne formule procentnog
računa. Pomoću njih se izračunava jedna od veličina G, P i p, ako su
poznate druge dvije. Procentni račun zasnovan na formulama (1), (2) i
(3), sa ograničenjem 1 ≤ p ≤ 100, i P ≤ G, zove se “procentni račun od
100”. To je zato što je ovdje u pitanju “čista” glavnica G koja se
upoređuje sa 100 (dijeli se na 100 jednakih dijelova).
97

PRIMJER 1.
Prema ugovoru između preduzeća A i preduzeća B, preduzeće A je
dužno da preduzeću B plati 6,7% od vrijednosti ostvarenog posla na
ime provizije. Ako je vrijednost posla 796.200 KM, kolika je
posrednička provizija
G = 796.200 KM,
p = 6,7%,
P =
G 796.100
P = ∙ p = 100 100
∙ 6,7 = 7.962 ∙ 6,7 = 53.345,4
Preduzeće A je dužno da plati 53.345,4 KM na ime provizije.
PRIMJER 2.
Poznato je da izdvajanje 3% na ime troškova iznosi 540 KM. Odrediti
od koje sume su računati troškovi
P = 540 KM,
p = 3%,
G =
100 ⋅ P
G =
p
=
G = 18.000 KM
100 ⋅540
3
= 180 ∙ 100 = 18.000
PRIMJER 3.
Vrijednost posla je 16.520 KM. Za njega je plaćena provizija u iznosu
413 KM. Kolika je visina provizije u postotcima
G = 16.520,
P = 413,
p =
100 ⋅ P
p =
G
=
100 ⋅ 413
16.520
= 2,5 p = 2,5%
98

10.2. Procentni račun više od sto
Za ovaj račun kaže se još procentni račun na uvećanu glavnicu
(uvećani iznos).
Smisao ovog računa može se objasniti logičkim rasuđivanjem.
Neka je data glavnica G = 5.250 i procenat p = 14%. Odgovarajući
procentni iznos je P = 735. Formirajmo novu glavnicu G 1 tako da
glavnici G dodamo dobiveni procentni iznos P.
Znači
G 1 = G + P, dobiće se G 1 = 5.985
Postavlja se problem:
Zna se da glavnica G uvećana za 14% svoje vrijednosti daje novu
glavnicu G 1 = 5.985. Treba odrediti iznos P i glavnicu G Budući da
glavnica G sadrži 100 svojih stotih dijelova i da je uvećana za 14
svojih stotih dijelova jasno je da novu glavnicu G 1 treba podijeliti
brojem 100 + 14 = 114 čime se dobiva jedan njen stoti dio. Traženi
procentni iznos se dobije množenjem dobivenog stotog dijela sa 14, a
glavnica množenjem sa 100.
G 1 : 114 = 5.985 : 114 = 52,5
52,5 = 1% G
P = 52,5 ∙ 14 = 735 G = 52,5 ∙ 100 = 5.250
Ovo rasuđivanje može se uopšteno pretstaviti.
Iz prethodno posmatrane proporcije P : p = G : 100 izvodi se
ekvivalentna proporcija
G : P = 100 : p
Nadalje, ovoj proporciji su ekvivalentne proporcije
(G + P) : (100 + p) = P : p = G : 100
1 ○ (G + P) : (100 + p) = P : p
P =
G ⋅ P
100 + p
∙ p
…(*)
99

2 ○ (G + P) : (100 + p) = G : 100
G + P
G = ∙ 100 … (**)
100 + p
Dobivene formule (*) i (**) pretstavljaju osnovne formule procentnog
računa “više od sto”.
Vidljivo je da količnik (G + P) treba podijeliti na više od 100 dijelova,
tačnije na (100 + p) dijelova, da bi se dobilo 1% početne glavnice G.
Odavde proizilazi naziv ovog računa!
PRIMJER 1.
Sa 15% troškova roba košta 7.360 KM. Kolika je fakturna vrijednost
robe I koliki su troškovi
Pošto su troškovi računati na fakturnu vrijednost robe to u ovom
slučaju ona pretstavlja čistu glavnicu G. Iznos troškova je procentni
iznos P određen procentom (stopom) p = 15%.
G 1 = G + P = 7.360 KM,
p = 15%,
P = ,
G =
G + P
G + P
P = ∙ p, G = ∙ 100
100 + p
100 + p
G + P 7.360
= = 64, 1% G = 64
100 + p 115
P = 64 ∙ 15 = 960, G = 64 ∙ 100 = 6.400
Problem se može riješiti i na drugi način: Treba odrediti procentnu
stopu p 1 koja će se primjeniti na glavnicu G 1 pod uslovom da dobiveni
iznos P 1 bude jednak iznosu P dobivenom primjenjujući procentnu
stopu p na glavnicu G.
G ⋅ p G
P = , P 1 = 1
⋅ P 1
, P 1 = P
100 100
100

Uslov
P 1 = P dovodi do jednakosti
G 1 ∙ p 1 = G ∙ p
Na drugoj strani G 1 = G + P, pa kad se ovdje uvrsti izraz za P, tj.
G ⋅ p
P = , slijedi 100
G ⋅ p
G 1 = G + 100
p ⋅
= G ∙ (1 + ) = G ∙ 100 100p
Sad izraz za G 1 treba uvrstiti u gornju jednakost
100 + p
G ∙ ∙ p 1 = G ∙ p
100
100 ⋅ p
p 1 = ∙ p
100 + p
Provjera:
G 1 = G + P = 7.360, p = 15
Nova procentna stopa je
100 ⋅15
P 1 =
115
G
P 1 = 1 ∙ p1 = 100
7.360
100 ⋅15
⋅ = 960 = P
100 115
G = G 1 – P = 7.360 – 960 = 640
PRIMJER 2.
Sa 5% bankarske provizije vrijednost čeka je 16.328,25 KM. Kolika je
provizija a kolika je vrijednost čeka
G + P = 16.328,25 KM,
p = 5%,
P =
G =
101

P =
G + P
100 + p
∙ p, G =
G + P
100 + p
∙ 100
G + P
100 + p
=
16.328,25
105
= 155,5
P = 155,5 ∙ 5 G = 155,5 ∙ 100
P = 777,5 G = 15.550
10.3. Procentni račun niže od sto
Za ovaj račun kaže se još procentni račun na umanjenu glavnicu
(umanjeni iznos).
Suštinu ovog računa možemo objasniti logičkim rasuđivanjem.
Neka je G = 3.750 i p = 12.
Lako se utvrđuje da je P = 450.
Formiramo novu glavnicu G 1 = G – P.
Dobije se G 1 = 3.300.
Problem:
Poznata je glavnica G 1 = G – P = 3.300, gdje je P obračunato prema
procentnoj stopi p = 12%. Treba odrediti P i G.
Kako je 100 – p = 88 to glavnica G 1 sadrži 88 stotih dijelova glavnice
G, to je dovoljno G 1 podijeliti sa 88, čime se dobiva 1% glavnice G.
Dobiveni broj se množi sa 12 pa se dobiva P, ako se on pomnoži sa
100 dobiće se G.
G 1 : 88 = 3.300 : 88 = 37,5 1% G = 37,5
P = 37,5 ∙ 12 G = 37,5 ∙ 100
P = 450 G = 3.750
I u ovom slučaju postoji opšte rješenje.
Polazi se od proporcije G : P = 100 : p iz koje se dobiju dvije
ekvivalentne proporcije:
(G – P) : (100 – p) = P : p = 6 : 100
102

1 ○ (G – P) – (100 – p) = P : p
P =
G - P
100 - p
∙ p … (*)
2 ○ (G – P) : (100 – p) = G : 100
G =
G - P
100 - p
∙ 100
…(**)
Formule (*) i (**) pretstavljaju osnovne formule procentnog računa
“niže od sto”.
Umanjena glavnica G 1 = G – P, gdje je P procentni iznos određen
stopom p, dijeli se na manje od sto dijelova (100 – p < 100) da bi se
dobio 1% od G.
Zato se ovaj račun zove procentni račun “niže od sto”.
I u ovom slučaju moguće je na osnovu postojećih uslova odrediti
stopu p 1 koja, primjenjena na G 1 = G – P, daje veličinu P!
G ⋅ p
(1) Iz G 1 = G – P i P = dobija se
100
(2) P 1 =
p 1 =
G 1 = G ∙
100 - p
100
G 1
⋅ P 1
G ⋅ p
, P =
100
100
G 1 ∙ p 1 = G ∙ p
G ·
p 1 =
100 - p
⋅ p1 = G ⋅ p
100
100 ⋅ p
100 - p
, uslov P 1 = P,
103

PRIMJER 1.
Određenoj količini neke robe smanjena je vrijednost za 15% tako da
sada vrijedi 6.206 KM. Za koji iznos je smanjena vrijednost robe i
kolika je bila prije smanjenja
Ovdje je
G 1 = G – P = 6.205,
p = 15,
P = ,
G =
P =
G - P
100 - p
G - P
100 - p
=
· p, G =
6.205
85
P = 73 · 15 G = 73 · 100
P = 1.095, G = 7.300
G - P
100 - p
· 100
= 73, 1% G = 73%
Vrijednost robe smanjena je za 1.095 KM, njena početna vrijednost je
7.300 KM.
Problem ćemo riješiti i određujući novu stopu p 2 , koja primjenjena na
G 1 = G – P, daje P 1 = P!
100 ⋅ p
P 1 = , p = 15 ⇒ p 1 =
100 − p
P 1 =
G1 1
⋅
⋅ p
100
100 ⋅15
=
85
100 ⋅3
17
6.205 100 3
= ⋅ = 365 · 3 = 1.095 = P
100 17
G = G 1 + P = 6.205 + 1.095 = 7.300
104

PRIMJER 2.
Neka prodavnica je u toku jedne radne sedmice ostvarila 115.200 KM
prometa, što predstavlja 4% podbačaj u odnosu na planirani promet.
Odrediti koliki je mjesečni plan prometa ako se zna da planirani
sedmični promet predstavlja 32% mjesečnog plana (obzirom na
očekivanu konjukturu u toku te sezone)
(1) Prvo treba odrediti koliki je planirani promet za tu sedmicu.
Primjenjuje se procentni račun niže od sto!
G – P = 115.200,
p = 4%,
G = ,
P =
P =
G - P
100 - p
G - P
100 - p
=
· p, G =
115.200
96
P = 1.200 · 4 = 4.800,
G = 1.200 · 10 = 120.000
G - P
100 - p
· 100
= 1.200, 1% G = 1.200
Planirani promet: G = 120.000 KM
Podbačaj prometa: P = 4.800 KM
(2) G = 120.000 KM, p = 32%
Označimo sa X planirani mjesečni promet prodavnice. Planirani
promet prodavnice u iznosu 120.000 KM predstavlja procentni iznod
od x, označimo ga sa Px, određen stopom p x = 32. Treba odrediti
glavnicu X.
G ⋅ p 100 ⋅120.000
X = =
= 375.000
100 32
Planirani mjesečni promet prodavnice je 375.000 KM.
105

PRIMJER 3.
Kupac je kupio robe u iznosu m = ₤ (1.457,, 12,, 9). Kako je kupac
platio gotovinom prodavac mu je odobrio 2,25% skonta. Koliki je
skonto i koliko je kupac stvarno platio.
Ovdje iznos m treba prevesti u decimalni oblik funte. Zna se da vrijedi
b c 125
m = ₤ (a, b, c) = (a + 5+ ) ₤
100 10. 000 3
U ovom slučaju je
a = 1.457, b = 12, c = 9
pa kad se obave potrebni proračuni dobiće se
m = 1.457,638 ₤
Imamo:
G = 1.457,638 ₤, p = 2,25%, P =
G ⋅ P 1457,638⋅
2,25
P = =
= 32, 8
100 100
Iznos provizije je 32,8 ₤, a kupac je stvarno platio
G – P = 1.424,838 ₤.
106

11. KAMATNI RAČUN
Ako neka osoba ili pravno lice (preduzeće, dioničko društvo, ….)
pozajmljuje od banke određenu sumu novca koji će vratiti nakon
perioda vremena (npr. 2 godine, 22 mjeseca, 83 dana, …) onda je ona
dužna da banci (povjeriocu) plati naknadu za cijelo vrijeme korištenja
pozajmljenog novca. To znači da će na kraju utvrđenog roka dužnik
vratiti povjeriocu iznos pozajmljenog novca uvećan za visinu naknade.
Isto se dešava kada neki subjekat ulaže novac u banku. Banka mu
odobrava određenu naknadu za svo vrijeme za koje je odgovarajući
iznos položen u njoj.
Naknada koju dužnik plaća povjeriocu zove se kamata (interes) –
oznaka K. Iznos novca koji se pozajmljuje (ulaže) zove se glavnica
(kapital) – oznaka G.
Kamatna stopa p pokazuje koliko se kamate, izraženo u broju
novčanih jedinica, plaća za svakih 100 novčanih jedinica glavnice
(zajma) za jednu godinu. Ako je npr. P = 4% to znači da na svakih 100
novčanih jedinica (KM) dužnik na ime kamate plaća 4 novčane
jedinice (KM) povjeriocu.
Pored glavnice G i kamatne stope p na visinu kamate utiće još i
vrijeme – oznaka v, koje može biti izraženo u godinama (g),
mjesecima (m) i danima (d).
Dakle visina kamate K je funkcija G, p i v.
K = f (G, p, v)
Pokazuje se da je kamata K direktno proporcionalna veličinama G, p i
v – što je veće G, odnosno p, odnosno v to je veća i kamata K, a
vrijedi i obratno. Ako su dvije od tri veličine G, p i v konstantne a
treća promjenjiva, tada je funkcija f funkcija direktne
proporcionalnosti!
Vidljivo je da u okviru kamatnog računa figurišu četri veličine: K, G,
p i v. Obićno su poznate tri veličine a treba odrediti četvrtu veličinu.
107

Pored posmatranog moguće su još tri kombinacije:
(1) G = , poznato K, p, v,
(2) p = , poznato K, G i v i
(3) v = , poznato K, G, p!
Obzirom da li je poznata čista, odnosno uvečana ili umanjena
glavnica, kamatni račun može biti: kamatni račun od sto, kamatni
račun više od sto i kamatni račun niže od sto.
Kamatni račun može biti prost i složen.
U prvom slučaju kamata računa se računa uvijek na postojeću
glavnicu za cio period ukamaćivanja (vrijeme, predviđeno da se
pozajmljeni kapital vrati).
U drugom slučaju se nakon svakog perioda vremena (npr. Svake
godine ili svkih 6 mjeseci) kamata dodaje postojećoj glavnici, tako da
se u narednom periodu vremena kamata obračunava na uvećanu
glavnicu G 1 (G 1 = G + K).
Prosti kamatni račun je predmet “Privredne matematike” a složeni
kamatni račun je predmet “Finansijske matematike”). U nastavku
predmet našeg posmatranja je prosti kamatni račun!.
11.1. Kamatni račun od sto
Ako se radi o jednoj godini, tada kamatna stopa p podrazumjeva da se
na svakih 100 novčanih jedinica glavnice G plaća p novćanih jedinica
kamate. Postavlja se pitanje – kolika je ukupna kamata K koja se plaća
na ime čiste glavnice G
Logičkim rasuđivanjem postavlja se uslovni i upitni stav:
- uslovni: na 100 n.j. plaća se p n.j.
- upitni: na 6 n.j. plaća se K n.j.
Kako se ovdje radi o direktnoj proporcionalnosti formira se proporcija
G⋅p
K : p = G : 100 iz koje neposredno slijedi K= 100
108

PRIMJER 1.
G = 14.400 KM, p = 6%
K =
14.400
⋅ 6
= 144 · 6 = 864, K = 864 KM
100
Vidljivo je da se kamatni račun za 1 g podudara sa procentnim
računom.
1º Period za koji se kamata obračunava je veći od jedne godine.
Ako se kamata obračunava za n godina
G ⋅ p ⋅ n
K = (n – broj godina)
100
PRIMJER 2.
G = 4.850 KM,
p = 8,
n = 4 godine
K = 4.850 ⋅ 8 ⋅ 4 = 1.552 KM
100
Ako se želi kamatni račun za n ≥ 2 godina želi prevesti u procentni
račun, tada je potrebno odrediti novu kamatnu stopu p 1 koja se odnosi
na jednu godinu.
Ta stopa je p 1 = p · n (n ≥ godinu).
G ⋅ p
K = 1
, p 1 = p · n (n ≥ 2)
100
Uzmimo prethodni primjer
G = 4.850 KM,
p = 8,
n = 4,
p 1 = 8 · 4 = 32
4.850⋅32
K = = 1.552, K = 1.552 KM
100
109

2º Period ukamačivanja izražen u broju mjeseci n.
Označimo sa K 1 kamate obračunate na jednu godinu, a sa K kamate
obračunate za n mjeseci.
Budući da godina ima 12 mjeseci i da se radi o direktnoj
proporcionalnosti vrijedi proporcija
G ⋅ p
K : K 1 = n : 12, K 1 = 100
Slijedi:
K =
G ⋅ p ⋅ n
, (n ≤ 12 broj mjeseci)
1200
PRIMJER 3.
G = 3.620 KM,
p = 2,4
n = 8 mjeseci
K =
3.620⋅2,4 ⋅8
= 57,92, K = 57,92 KM
1.200
3º Period ukamaćivanja izražen u danima.
Obračun kamata zavisi od toga kako se određuje broj dana u godini, i
u mjesecu. U praksi se primjenjuju dva koncepta:
- godina ima 360 dana (svaki mjesec po 30 dana)
- godina ima 365 dana (svaki mjesec kalendarski).
Istom logikom zaključivanja dobiva se formula za obračun kamate kad
je period ukamaćivanja izražen u danima.
K = Gpn ⋅ ⋅
, (n < 360, broj dana)
36.000
Ako se pak računa da godina ima 365 dana
K = Gpn ⋅ ⋅
,
36.500
110

PRIMJER 4.
G = 6.450 KM,
p = 2,5%,
n = 240 dana
6.450⋅2,5⋅240
K =
36.000
= 107,5, K = 107,5 KM
Vidimo da kamatni račun od sto (na čistu glavnicu) ima četri osnovne
formule
G ⋅ p
K = za n ≤ 1 godinu
100
G ⋅ p ⋅ n
K =
100
za n ≥ 2 broj godina
K = Gpn ⋅ ⋅
1.200
za n < 12, n broj mjeseci
K = Gpn ⋅ ⋅
, za n < 360, n broj dana)
36.000
Izračunavanje kamata prema ovim formulama pretpostavlja da su G, p
i n poznati
Iz njih se jednostavno dobivaju formle za određivanje: glavnice – G,
kamatne stope – p i broja godina (mjeseci) dana – n, pretpostavkom da
su ostale veličine poznate.
- Izračun glavnice:
100 ⋅ K
G = , n = 1 godina
p
100 ⋅ K
G = , n = broj godina
p ⋅ n
G = 1.200 ⋅ K , n = broj mjeseci
pn ⋅
G = 36.000 ⋅ K , n = broj dana
pn ⋅
111

- Izračun kamatne stope:
100 ⋅ K
p = , n = 1 godina
G
100 ⋅ K
p = , n = broj godina
G ⋅ n
p = 1.200 ⋅ K , n = broj mjeseci
G⋅
n
p = 36.000 ⋅ K , n = broj dana
G⋅n
- Izračun vremena:
100 ⋅ K
n = , n = broj godina
G ⋅ p
n = 1.200 ⋅ K , n = broj mjeseci
G⋅p
n = 36.000 ⋅ K , n = broj dana
G⋅
p
U slučaju da se računa da godina ima 365 dana iz početne formule
K = Gpn ⋅ ⋅
36.500
nalaze se formule za G, p i n.
Prilikom računanja kamata za period od datuma do datuma treba
voditi računa o tome da li se uzima da svaki mjesec ima 30 dana ili se
broj dana određuje kalendarski – što se posebno ističe u formulaciji
problema.
PRIMJER 5.
G = 24.000 KM,
p = 3%, broj dana od 8.III do 19.VI tekuće godine,
K =
112

a) uzima se da svaki mjesec ima 30 dana
- mart... 22 dana, (22 = 30 – 8)
- april... 30 dana
- maj... 30 dana
- juni.... 19 dana
101 dan
G ⋅ p ⋅ n 24000 ⋅ 3⋅101
K = =
= 202 , K = 202 KM
36000 36000
b)Broj dana se određuje kalendarski
- mart.... 23 dana (31 – 8 = 23)
- april.... 30 dana
- maj.. 31 dan
- juni... 19 dana
103 dana
K = G ⋅ p ⋅ n 24.000 ⋅ 3 ⋅
= 103 = 203,19, K = 203,19 KM
36.500 36.500
Prema drugom konceptu računanja plaća se veća kamata. Istina razlika
je relativno mala (1,19 KM), ali ako se radi o većim iznosima i dužim
periodima vremena, razlika može biti znatno veća, pa se pribjegava
preciznijem obračunu, naročito ako povjerioc to zahtijeva!
11.2. Kamatni divizor
U slučaju kada se primjenjuje koncept da svaki mjesec ima 30 dana,
obračun kamata se može pojednostaviti pomoću kamatnih divizora.
K = Gpn ⋅ ⋅
, (n – broj dana)
36.000
Formula se može napisati u drugom obliku.
K =
G⋅n
36.000
p
113

Količnik 36.000 : p zove se kamatni divizor i označava se D = D (p),
dakle
G⋅
n
100 ⋅ K
K = , D (p) =
D(p)
p
Npr. D (10) = 36.000 = 3,600, D (4,8) = 36.000 500
10
4,8 =
Formira se tabela koja sadrži divizore koji odgovaraju kamatnim
stopama za koje je količnik 36.000 : p cio broj ili konačan decimalni
broj.
p
D(p)
2% 18.000
2,25% 16.000
2,5% 14.000
3% 12.000
4% 9.000
4,5% 8.000
5% 7.200
6% 6.000
7,5% 4.800
8% 4.500
9% 4.000
10% 3.600
12% 3.000
Ova tabela se može proširiti u odnosu na stope za koje je kamatni
divizor cio ili konačan decimalan broj – npr.
D (5,76) = 6.250, D (9,6) = 3.750, D (2,88) = 12.500, .....
114

PRIMJER 1.
G = 4.800 KM,
p = 6,4%
n = 300 dana
K =
G⋅n
, D (6,4) = 5.625
D(p)
K = 4.800 ⋅ 300 = 256 , K = 256 KM
5.625
11.3. Kamatni brojevi
Vidili smo da se kamata u odnosu na broj dana računa primjenom
kamatnog divizora
G⋅n
K = , D (p) = 36.000
D(p)
p
Obračun kamata će se pojednostaviti uvođenjem pojma kamatnih
brojeva.
Kamatni broj – oznaka N, se definiše kao proizvod glavnice G i broja
dana n.
Međutim, da bi se dobili što manji brojevi praksa je usvojila da
kamatni broj pretstavlja količnik proizvoda (G · n) i broja 100.
Dakle kamatni broj je
G ⋅ n
N = , 100
G – glavnica, n – broj dana
Na osnovu ovog dobija se formula za obračun kamata
G⋅n
(G ⋅n) :100 N
K = = =
D(p)
D (p) :100 1
⋅ D(p)
100
115

K =
N
, D (p) = 36.000
1
D(p)
100 ⋅ p
G ⋅ n
, N = 100
Napomena:
ako se u toku računanja N javi decimalan broj u kojem je prva
decimala veća ili jednaka cifri 5, vrši se zaokruživanje na više – što
znači da se kamatni broj poveća za jedan. Ako je ta cifra manja od
cifre 5, zanemaruje se!
Na primjer
Ako je
N = 37.489 = 374,89 (prva decimala je 8 > 5) uzima se da je
100
N = 375.
Ako je
N = 42.532 = 425,32 (prva decimala 3 < 5) uzima se da je N = 425.
100
11.4. Kamata na više glavnica
Kamatni brojevi omogućavaju brži obračun u slučaju kada se ukupna
kamata računa u odnosu na više glavnica sa različitim brojem dana, ali
sa istom kamatnom stopom p.
G1 n1
- G 1 , n 1 , p ... N 1 =
⋅
100
- G 2 , n 2 , p ... N 2 =
2
⋅ n
100
- ... ... ... ...
- ... ... ... ...
- G k , n k , p
G
k
⋅ n
N k =
100
____________________________
G
2
k
, D (p) = 36.000
p
116

Kako je K =
K 1 =
N
N
1
D
100 ⋅
(p)
1
, K 2 =
1
D(p)
100 ⋅
N
2
,... K 2 =
1
D(p)
100 ⋅
N
k
,
1
D(p)
100 ⋅
Ukupna kamata je K = K 1 + K 2 + ... + K k . Pošto su nazivnici jednaki,
slijedi
N 1 + N 2 + ...Nk
K =
1
D(p)
100 ⋅
PRIMJER 1.
Izračunati ukupnu kamatu na date glavnice G 1 , G 2 , G 3 , G 4 uz kamatnu
stopu p = 4%.
G 1 = 129.464 KM, n 1 = 54 dana
G 2 = 218.630 KM, n 2 = 85 dana
G 3 = 395.500 KM, n 3 = 90 dana
G 4 = 417.000 KM, n 4 = 105 dana
Ukupna kamata je
N
1
+ N
2
+ N
3
+ N4
N
K = =
1 1
⋅ D
D
100 100
1
D (4) = 9000, D(4) = 90
100
N 1 =
N 2 =
N 3 =
G1⋅n1
129.464⋅54
(4) (4)
, N = N 1 + N 2 + N 3 + N 4
= = (699.910⋅ 56) = 699.911
100 100
⋅
⋅
= = (185.835,5) = 185.836
100 100
G2 n 2 218.630 85
G3⋅n3
395.500⋅90
= = 355.950
100 100
117

N 4 =
G4⋅n4
417.000⋅105
= = 438.850 438.850
100 100
N = 1.679.547
K = 1.679.547 = (18.661,633) = 18.661,6
90
K = 18.661,6 KM
11.5. Interkalarna kamata
Interkalarne kamate (međuvremenske) vezane su za investicioni kredit
koji banka odobrava investitoru po stopi p, pri čemu se utvrđuje
vremenski period unutar kojeg se kredit realizuje. Kamata na kredit se
obračunava unaprijed za pojedine tranše koje investitor aktivira u
određenim trenucima (danima) perioda na koji se odnosi kredit.
Obračun se vrši prema stopi p za broj dana od trenutka aktiviranja
tranše do dana kada banka vrši obračun (30.VI i 31.XII t.g.).
Pretpostavimo da je kredit odobren 1.I tekuće godine (t.g.) a da
investitor može koristiti u tranšama (dijelovima) do 31.XII t.g.
Investitor može aktivirati pojedine tranše u toku I polugodišta,
odnosno II polugodišta tekuće godine. Obračun se vrši za svaku tranšu
za broj dana od trenutka aktiviranja tranše do dana obračuna 30.VI
t.g., odnosno do 31.XII t.g
1.I t 1 30.VI t
31.XII
S 1 t 2 , S 2
Neka je investitor aktivirao kredit u dvije tranše: prvu u trenutku t 1 (iz
I polugodišta) – iznos S 1 i drugu, u trenutku t 2 (iz II polugodišta) –
iznos S 2 . Interkalarne kamate – oznaka (i.k.), obračunavaju se, kako je
već rečeno, prema stopi p i broju dana koji se kalendarski računa i to:
118

od trenutka t 1 od 30.VI t.g., od 30.VI t.g. do 31.XII t.g. što iznosi 184
dana i od trenutka t 2 do 31.XII t.g.
Aktiviranje tranše S 1 u trenutku t 1 . Označimo iznos odgovarajućih
interkalarnih kamata sa (i.k.) 1 . Dobivene kamate se pribrajaju iznosu
S 1 pa se dobije iznos S 1 = S 1 + (i.k.) 1 .
Na kraju godine 31.XII, kada se inače vrši obračun, banka obračunava
interkalarne kamate na iznos S 1 za 184 dana (koliko ih ima od 30.VI
do 31.XII). Označimo ih sa (i.k.) 1 .
Aktiviranje tranše S 2 u trenutku t 2 . Označimo ove interkalarne kamate
sa (i.k.) 2 . Broj dana od trenutka t 2 do 31.XII.
Ukupne kamate na investicioni kredit jednake su zbiru interkalarnih
kamata obračunatih 31.XII.
(i.k.) = + (i.k.) 1 + (i.k.) 2
Ukupan iznos iskorištenog kredita koji je investitor koristio jednak je
zbiru tranše S 1 uvećane za (i.k.) 1 i tranše S 2 , dakle
S = (S 1 + (i.k.) 1 ) + S 2 = S 1 + S 2, S / 1= S 1 + (i k 1 )
Ukupan dug koji investitor otplaćuje jednak je zbiru iskorištenog
kredita i interkalarnih kamata obračunatih 31.XII.
d = S / 1 + S 2 + (i.k.)
Kako je
S / 1 = S 1 + (i.k.) 1 to je
d = (S 1 + S 2 ) + (i.k.) / 1 + (i.k.) 2
Ukupan dug je, dakle, jednak zbiru iznosa odobrenog kredita – (S 1
+S 2 ) i interkalarnih kamata obračunatih 30.VI i interkalarnih kamata
obračunatih 31.XII t.g.
Za obračun kamata na investicioni kredit koristi se procedura
zasnovana na kamatnom divizoru i kamatnim brojevima (kamata na
više glavnica)!
119

PRIMJER 1.
Banka je 1.I.o.g. odobrila investitoru kredit u iznosu 1.000.000 KM uz
stopu p = 6%, s tim da investitor počne otplatu 1.I.09. Investitor je
koristio kredit prema dinamici:
(1) 15.II.08. – 180.000 KM,
(2) 29.IV.08. – 240.000 KM,
(3) 24.VII.08. – 300.000 KM i
(4) 20.XI.08. – 280.000 KM.
Kolike su interkalarne kamate
1 º Prvo polugodište 2008.god.
Koristi se formula
G⋅n
K = ,
D(p)
G – iznos tranši,
n – broj dana,
Dp = 36.000
p
= 6.000
Kako je p = 6, to je D 4 = 6.000
S 1 = 180.000, n 1 = 135 (od 15.II do 30.VI)
S 2 = 240.000, n 2 = 62 (od 29.IV do 30.VI)
180.000⋅135
IK 1 = = 4.050 KM, IK 2 =
6.000
= 2.480 KM
240.000⋅62
6.000
=
Ukupne interkalarne kamate obračunate 30.VI.08. su
4.050 KM + 2.480 KM = 6.530 KM = IK (VI).
Uvećani iznos tranši S 1 i S 2 na koje će se obračunati interkalarna
kamata na dan 31.XII.08.
S / 1 = S 1 + IK 1 S / 2 = S 2 + 1K 2
S / 1 = 184.050 KM S / 2 = 242.480 KM
120

2 º Drugo polugodište 2080.
Kamate treba obračunati na četri iznosa: S / 1, S / 2, S 3 i S 4 . Primjenjuje se
obračun kamata na više glavnica. Koristi se formula
N
K = ,
1 D (p)
100
G ⋅ n
N = 100
n – broj dana.
,
Kako je za sve glavnice (tranše) Dp : 100 = D6 : 100 = 60,
to zbir interkalarnih kamata IK 1 + IK 2 + IK 3 + IK 4 može se napisati u
obliku jednog razlomka
N
IK 1 + IK 2 + IK 3 + IK
1+ N2 + N3+
N4
4 =
60
gdje je N 1 = (S / 1· n / 1): 100, N 2 = (S / 2 · n / 2) : 100, N 3 = (S 3 · n 3 ) : 100,
N 4 = (S 4 · n 4 ) : 100
Ukupan zbir ovih kamata označimo sa IK(XII).
S 1 = 184.050, n 1 = 184 N 1 = 338.652
S 2 = 242.480, n 2 = 184, N 2 = 446.163
S 3 = 300.000, n 3 = 160, N 3 = 480.000
S 4 = 280.000, n 4 = 41, N 4 = 114.800
_____________________________________
N 1 + N 2 + N 3 + N 4 = 1.379.615
IK 1 + IK 2 + IK 3 + IK 4 =
N k
1
D(p)
100
= 22.993 KM
Ukupan iznos interkalarnih kamata obračunatih 31.XII.08.
IK(XII) = 22.993 KM
121

Konačan obračun
- iskorišteni kredit ... S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 1.006.530 KM
- interkalarne kamate.. IK(XII) = 22.993 KM
- Ukupan dug za otplatu d = 1.029.523 KM
(d = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + IK(XII)
11.6. Kamatni račun više od sto
U praksi se često javlja problem: poznata je glavnica G 1 koja je
jednaka zbiru „stare glavnice G i kamate K, dok su ostali elementi
kamatnog računa neizmjenjeni – kamatna stopa p 1 vrijeme, dakle
p = const i n = const.
Znači poznato je G 1 = G + K, p i n a treba naći K i G
Polazi se od osnovne proporcije
G : K = 100 : p
Primjenjuje se osobina proporcija.
a : b = c : d ⇒ (a + b) : (c + d) = a: c = b : d
Dobit će se
(G + K) : (100 + p) = K : p
(G + K) : (100 + p) = G : 100
Odakle se jednostavno dobiva
G + K
G + K
K = ⋅ p i G = ⋅100
100 + p
100 + p
... (I)
Ovo se odnosi kada se kamata računa za jednu godinu (n = 1).
- Obračun kamata za više od jedne godine (n ≥ 2)
Znamo da vrijedi
G ⋅ p ⋅ n
K = a osnovna proporcija ima oblik
100
G : K = 100 : (p ⋅ n)
122

pa slijedi
(G + K) : (100 + p ⋅ n) = K : (p ⋅ n)
(G + K) : (100 + p ⋅ n) = G : 100
Odnosno
G + K
K = (p n)
100 + p⋅n ⋅ ⋅
G+
K
, G = ⋅ 100
100 + p⋅n
- Obračun se vrši prema broju mjeseci.
Istom logikom zaključivanja dobija se
G + K
K =
(p n)
1.200 + p⋅n ⋅ ⋅
G + K
, G =
1.200 + p⋅n ⋅1.200
- Obračun se vrši prema broju dana
...(II)
... (III)
Istom logikom zaključivanja dobija se
G + K
K =
(p n)
36.000 + p⋅n ⋅ ⋅ , G =
G + K
36.000 p n ⋅36.000
+ ⋅
... (IV)
Formule (I), (II), (III) i (IV) su osnovne formule kamatnog računa
„više od sto“.
11.7. Kamatni račun niže od sto
Poznato je G 1 = G – K p i n (n – broj godina, dana, mjeseci) – treba
naći K i G
Primjenjujući istu logiku --- zaključivanja dobiće se osnovne formule
kamatnog računa „niže od sto“.
- Za jednu godinu (n = 1)
G - K
G - K
K = ⋅ p , G = ⋅100
100 − p
100 − p
- Za više od jedne godine (n ≥ 2)
G - K
G - K
K = ⋅ (p ⋅ n) , G = ⋅100
100 − p ⋅ n
100 − p ⋅ n
123

- Za n mjeseci
G−
K
K =
⋅(p⋅n)
, G =
1.200 −p ⋅n
- Za n dana
G−
K
K =
⋅(p⋅n)
, G =
36.000 −p ⋅n
G−
K
⋅1.200
1.200 −p ⋅n
G−
K
⋅36.000
36.000 −p⋅n
Kamatni računi „više od sto“ i „niže od sto“ imaju slične formule koje
se razlikuju samo u predznaku. U slučaju kada se kamata računa
prema broju obje formule se mogu pojednostaviti uključivanjem
kamatnog divizora.
K = (G ± K) ⋅ p ⋅ n , G =
36.000 ± p⋅n
(G ± K)
⋅36.000
36.000 ± p⋅n
Dijeljenjem brojnika i nazivnika sa p dobiće se
G± K⋅n
G ± K ⋅n 36.000
K = , G =
⋅
36.000 36.000
± n
± n
p
p
p
Kamatni divizor je Dp = 36.000 pa se konačno dobiva
p
G±
K G±
K
K = ⋅ n , G = ⋅ D (p)
D(p)
± n
D(p)
± n
PRIMJER 1.
Kredit od 1.800 KM je odobren na 9 mjeseci uz 8% kamata godišnje.
Odrediti kamatu i konačnu vrijednost kredita
G ⋅ p ⋅ n
K = ,
1200
G = 1.800 KM,
p = 8%,
n = 9 mjeseci
K = 1.800 ⋅ 8 ⋅ 9 = 108
1.200
124

a) K = 108 KM,
b) konačna vrijednost kredita G + K = 1.908 KM
PRIMJER 2.
Koliko vremena je potrebno da novčani ulog od 2.400 KM naraste na
2.460 uz stopu p = 6% ako se kamata računa prema broju dana
Ovdje je G + K = 2.460,
G = 2.400,
K = 60,
p = 6%
G ⋅p⋅n 36.000⋅K 36.000⋅60
K = ⇒ n = = = 150
36.000 G ⋅p 2.400⋅6
n = 150 dana
PRIMJER 3.
Koja glavnica naraste na 5.680 KM uz stopu p = 5,5% za 3 godine i 4
mjeseca.
Ovdje je:
G + K = 5.680 KM,
p = 5,5%,
n = 40 mjeseci
G + K
G =
1.200 + p⋅n ⋅1.200
5.680 5.680
G =
⋅ 1.200 = ⋅ 1.200 = 4.800
1.200 + 5,5⋅40 1.420
G = 4.800 KM,
K = 880 KM (5.680 – 4.800 = 880)
PRIMJER 4.
Osoba N.T. uzela je kredit u banci. Banka toj osobi, po odbitku
kamata računatih po stopi p = 4,5% za 320 dana, stavi na raspolaganje
(isplati) iznos 6.912 KM. Koliki je iznos kredita i kolike su kamate
125

Ovdje se primjenjuje kamatni račun „niže od sto“. Podaci:
G – K = 6.912 KM,
p = 4,5%,
n = 320 dana.
G-K
a) G =
36.000 −p ⋅n ⋅36.000
G-K
; K =
pn
36.000 −p ⋅n ⋅ ⋅
G - K 6.912 6.212
G =
= = = 0, 2
36.000 −p ⋅n 36.000 −4,5⋅320 36.000 −1.440
G = 36.000 · 0,2 = 7.200 KM, K = 1.440 · 0,2 = 288 KM
b) Primjena kamatnog divizora
G - K
G = D (p)
D(p)
-n ⋅ , K = G - K n
D(p)
-n ⋅ , D (4,5) = 8.000
G - K 6.912 6.912
0,9
D(p)
−n = 8.000 −320 = 7.680
=
G = 0,9 · 8.000 = 7.200 KM, K = 0,9 · 320 = 288 KM
Odobreni kredit je = 7.200 KM, kamata je = 288 KM
PRIMJER 5.
Kapital od 840.000 KM podijeljen je u odnosu 4 : 3 : 5 i uložen u
banku sa različitim kamatnim stopama i to: I-dio uz 3%, II-dio uz 4% i
III-dio uz 6%. Ukupne kamate su 26.460 KM. Odrediti na koje
vrijeme je kapital bio uložen
U ovom slučaju treba odrediti broj dana na koji je kapital uložen n=
Neka su dijelovi na koji je kapital podijeljen sa
G 1 , G 2 , G 3 , G = 840.000 KM.
G 1 + G 2 + G 3 = 840.000
G 1 : G 2 : G 3 = 4 : 3 : 5
G 1 = 4k, G 2 = 3k, G 3 = 5k
4k + 3k + 5k = 840.000 ⇒ k = 70.000
G 1 = 280.000, G 2 = 210.000, G 3 = 350.000
126

Treba naći kamate koje odgovaraju iznosima G 1 , G 2 i G 3 . Označimo ih
sa K 1 , K 2 i K 3 . Mora biti K 1 + K 2 + K 3 = 26.460 .... (K)
K = Gpn ⋅ ⋅
⋅, p 1 = 3%, p 2 = 4%, p 3 = 6%
36.000
K 1 = 280.000 ⋅ 3 840
⋅ n ⇒ K 1 ⇒ ⋅ n
360.00
36
K 2 = 210.000 ⋅ 4 840
⋅ n ⇒ K 2 = ⋅ n
36.000
36
K 3 = 350.000 ⋅ 6 ⋅n
36.000
⇒ K 3 = 2.100 n
36 ⋅
K 1 + K 2 + K 3 = 3.780 n
36 ⋅ = 105 · n
K 1 + K 2 + K 3 = 26.460
105 · n = 26.460 ⇒ n = 252 dana
Kapital je bio uložen u banci na 252 dana ili 8 mjeseci i 12 dana!
PRIMJER 6.
Odrediti kamatnu stopu ako se zna da je kapital od 75.000 KM uložen
u banku na vrijeme 3 godine, 7 mjeseci i 23 dana donio kamatu u
iznosu 9.574 KM.
Ovdje vrijeme treba prevesti u broj dana, uzimajući da godina ima 360
dana a mjesec ima 30 dana. Dobija se
n = 1.313 dana.
p = 36.000 ⋅ K = , G = 75.000, K = 9.574, n = 1.313
G⋅
n
p = 36.000 ⋅ 9.574 = 3,5
75.000⋅1.313
Kapital je bio uložen uz stopu p = 3,5%.
127

12. ESKONTNI RAČUN
12.1. Uvođenje u problem
Jedan od značajnih primjena kamatnog računa predstavlja
obračunavanje vrijednosti mjenice kada se ona upotrebljava kao
sredstvo za dobivanje kredita od banke ili se mjenica prodaje. Sam
postupak određivanja vrijednosti mjenice zove se eskontovanje a
račun kojim on izvodi zove se eskontni račun.
Samu potrebu koja dovodi do utvrđivanja vrijednosti mjenice i svega
onog što iza toga slijedi objasnićemo slijedećim rasuđivanjem 10 :
Posmatraju se dva poslovna subjekta – prodavaoca (PC) i kupca (KC).
Prodavaoc, koji raspolaže nekom robom, prodao je kupcu određenu
količinu te robe na kredit. Svoje potraživanje prodavaoc će, prema
ugovoru) naplatiti u utvrđenom roku od kupca, na osnovu čega je
kupcu otpremljena roba. U okviru ovoga kupac je potpisao mjenicu i
predao je prodavcu, koja mu služi kao garancija da će svoje
potraživanje naplatiti u predviđenom roku. Međutim prodavcu su
potrebna novčana sredstva za tekuće poslovanje pa se obraća banci od
koje traži kredit na osnovu svoga potraživanja od kupca. U okviru
toga prodavaoc vuče na svoga dužnika mjenicu, sa naznačenim
iznosom potraživanja i utvrđenim rokom isplate, koju je kupac
akceptirao 11 , i dostavlja je banci. Banka će odobriti prodavcu kredit na
osnovu mjenice i pritom će od njega naplatiti kamatu (i eventualno
proviziju i sitne troškove posla) koje će odbiti od iznosa kredita.
Kamate se računaju na iznos na mjenici, prema odgovarajućoj
kamatnoj stopi i za broj dana računat od trenutka (dana – kalendarskih
gledano) kada je mjenica podnesena na eskontovanje do trenutka
dospijeća tj. – kada mjenica treba biti isplaćena.
10 Prema: Luka Sorajić – „Privredna matematika 2“, Zavod za izdavanje udžbenika,
Sarajevo, 1974.
11 akceptiranje : kupac svojim potpisom na mjenici potvrđuje da će, po nalogu
prodavca, svoj dug isplatiti banci
128

Grafički prikaz nekih elemenata eskontnog računa sa odgovarajućim
nazivima
O T Č Te D
OD ...
TeD ...
TčTe ...
Ote ...
Otč ...
iznos naznačen na mjenici zove se nominalna vrijednost
mjenice (mjenični iznos) – tretira se kao glavnica G
iznos kamate – zove se eskont i označava sa E
zbir provizije je i sitnih troškova
sadašnja vrijednost mjenice – zove se eskontovana
vrijednost i označava sa EV
EV = OD – TeD = G – E
čisti eskont – oznaka ČE
ČE = EV – Tč Te
ili
ČE = G – (E + Tč Te)
t e ... trenutak eskontovanja, dan kada je mjenica podnesena na
eskontovanje
t d ... trenutak dospijeća, dan na koji dug treba biti isplaćen
Kamate koje banka obračunava i oduzima od iznosa kredita zovu se
eskont (francuski – escompte) ili diskont (engleski – discount). Sam
posao zove se eskontni posao. Stopa po kojoj se računaju kamate zove
se eskontna stopa. Broj dana za koji se obračunava escont računa se od
trenutka eskontovanja do trenutka dospijeća, kalendarski gledano.
Možemo formirati listu veličina značajnih za eskontni račun:
- Nominalna vrijednost mjenice - G
- Trenutak dospijeća - t d
- Trenutak eskontovanja - t e
- Broj dana od te do td - n
- Eskontna stopa - p = p e
- Eskont - E
- Sadašnja vrijednost mjenice - EV
- Iznos provizije - PZ
- sitni troškovi posla - Ce
- Čisti eskont - ČE
129
t e

Dodatna objašnjenja
- Glavnica G se, zavisno od aspekta posmatranja, tretira kao:
(a) čista glavnica i (b) kao uvečana glavnica.
- EV = G – E
- ČE = EV – (PZ + Ce), ili
ČE = G – (EV + PZ + Ce)
- Provizija se računa preko stope provizije p izražene u
postotcima koja se primjenjuje na nominalnu vrijednost
mjenice (G).
Praktična primjena eskontnog računa uključuje rješavanje nekoliko
specifičnih problema. To pretpostavlja da su za svaki od njih poznate
neke od navedenih veličina (to su dati podaci u problemu) a treba
odrediti druge veličine i podatke!
12.2. Određivanje eskontnog iznosa, vrste
eskonta, čisti eskont
Poznate veličine: nominalna vrijednost – G, eskontna stopa – p e ,
trenuci t e i t d ili broj dana n, iznos provizije PZ ili stopa provizije p z i
troškovi eskontovanja – te.
Može se odrediti: eskont – E, sadašnja vrijednost – EV i čisti iznos
eskonta – ČE.
Kako se kamata računa za broj dana primjenjuje se odgovarajuća
formula kamatnog računa, a korisno je upotrebiti formule koje
uključuju primjenu kamatnog divizara D (p) i kamatnog broja N.
E = Gpn ⋅ ⋅
, E =
36.000
G⋅n
, E =
D(p)
N
... (*)
1
D(p)
100 ⋅
Formula za sadašnju vrijednost
EV = G – E = G - Gpn ⋅ ⋅
= G · 36.000 − p ⋅ n
36.000 36.000
130

Odnosno
EV = G -
G⋅n
n
= G · (1-
D(p)
D = G · D − n
(p) D
(p)(p)
Znači formule za sadašnju vrijednost
EV = G · 36.000 − p ⋅ n
D(p)
− n
i EV = G ·
36.000
D(p)
... (**)
Za probleme opisane vrste primjenjuju se formule (*) i (**).
PRIMJER 1.
Prodavaoc je prodao kupcu svoju robu na kredit u iznosu 184.350 KM
sa rokom dospijeća 24.VI.2008. godine, za šta je kupac njemu položio
mjenicu na isti iznos i istim rokom dospijeća. Prodavac je zatražio od
banke kredit na bazi te mjenice, koji je banka odobrila 5.IV.2008. sa
kamatnom stopom. Koliki iznos će banka isplatiti podnosiocu zahtjeva
u gotovini
Ovdje je:
G = 184.350 KM,
p e = 4,5,
n = 80 dana (od 5.IV. do 24.VI.),
D 4,5 = 8.000.
Treba naći E i EV
D (p) = 36.000
p
a) Nominalni iznos mjenice G se tretira kao čista glavnica
G ⋅n 184.350⋅80 E = = = 1.843,5 , E = 1.843,5 KM
D(p)
8.000
EV = G ·
D(p)
−n 8.000 −80
D(p)
8.000
EV = 182.506,5 KM
= 184.350⋅ = 182.506,5
(Napomena: može se računati EV = G – E)
131

Banka je isplatila iznos u gotovini
EV = 182.506,5 KM, obračunate kamate su E = 1.843,5 KM.
b) Nominalna vrijednost G tretira se kao uvećana vrijednost
Ovaj tretman G vezan je za činjenicu da je prodavac u cijenu svoje
robe koju je prodao kupcu vjerovatno već uračunao iznos eskonta.
Prema njemu može se uzeti da je G = G o + K, gdje je G o vrijednost
robe obračunata po cijeni koja ne uključuje kamate, a K je iznos
bančine kamate. Eskont koji se izračunava prema ovom shvatanju
zove se racionalni eskont – oznaka Er. Eskont računat prema
shvatanju da je G čista glavnica zove se komercijalni eskont
oznaka E k .
Primjenjuje se formula
(Go
+ K) ⋅n G ⋅n K = E r =
= ,
D (p) + n D(p)
+ n
E r =
G⋅n
D(p)
+ n
G = 184.350, n = 80, D4,5 = 8.000
E r = 184.350 ⋅ 80 = 184.350 = 1.825,2 E r = 1.825,2 KM
8.080 101
U dijelu pod a) određen je komercijalni eskont E k = 1.843,5. Vidi se
da je racionalni eskont manji od komercijalnog eskonta. Računamo
razliku
E k – E r = 18,25 KM
Potražimo razliku E k – E r teorijski
G⋅
n G⋅
n
E k = , E r =
D(p)
D (p) + n
G⋅n G⋅ n D(p)
+ n−D (G⋅n) ⋅n
E k – E r = = − (G ⋅n)
⋅ =
D(p) D(p) + n D (p) ⋅(D (p) + n) D (p) ⋅(D (p) + n)
Dobiveni rezultat možemo pisati u obliku
Gn ⋅
⋅n
D(p)
+ n E2
⋅ n
E k – E r = = = Krc
D(p)
D(p)
132

Konačno dobiveni rezultat za razliku (E k – E r ) ustvari predstavlja
kamate na racionalni eskont – oznaka Krc, koja je računata pod
uslovima datim u primjeru 12 .
Provjera: E r = 1.825,2, n = 80, p = 4,5 D4,5 = 8.000
Krc =
E2
⋅n 1825,2 ⋅80 182,25
D(p)
8.000
= = = E − E
k 2
PRIMJER 2.
Mjenica čiji nominalni iznos 151.700 KM sa rokom dospijeća
24.III.t.g. predstavlja osnovu za kredit koji je banka odobrila 23.I.t.g.
sa kamatnom stopom p = 6,8%. Kolika je vrijednost čistog eskonta
ako je banka uračunala 188 KM na ime provizije i 23 KM na ime
troškova eskonta.
Podaci:
G = 151.700 KM,
p e = 6,8 r = 60 (od 23.I do 24.III)
PZ = 188 KM,
Ce = 23.
Treba naći E i ČE
ČE = G – (E + PZ + Ce)
Gpn ⋅ ⋅
Formula: E=
36.000 + p⋅n
E = 151.700 ⋅ 6,8 ⋅ 60 151.700 ⋅
= 408 = 1.700 , E = 1.700 KM
36.000 + 6,8⋅60 36.408
ČE = 151.700 – (1.700 + 188 + 23) = 149.789,
ČE = 149.789 KM
12 Zna se da je K=
G⋅n
D
(p)
, za G = E 2 slijedi Kre =
E2
⋅n
D
(p)
133

PRIMJER 3.
Banka je 10.V.t.g. primila na eskont četri mjenice čije nominalne
vrijednosti i rokovi dospijeća su dati tabelom.
1 o 184.620 KM dospijeće 5.VI.t.g.
2 o 432.825 KM -„- 12.VI.t.g.
3 o 725.342 KM -„- 18.VI.t.g.
4 o 364.112 KM -„- 23.VI.t.g.
Odrediti čisti iznos eskonta ako je kamatna stopa p = 7,5%,
9
stopa provizije na ukupnu sumu p z = % i troškovi eskonta
80
(ukupni) Ce = 25 KM.
Pošto je kamatna stopa za sve mjenice ista, veličinu ukupnog eskonta
izračunaćemo pomoću kamatnih brojeva.
H
1
E = K = , N = ⋅ (G ⋅ n)
1
D(p)
100 ⋅ 100
E = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 , N = N 1 + N 2 +N 3 +N 4
Broj dana: n 1 = 26 (od 10.V do 5.VI), n 2 = 33 (od 10.V – 12.VI),
n 3 = 39 (od 10.V do 18.VI) i n 4 = 44 (od 10.V do 23.VII)
1
Divizor: p = 7,5%, D 7,5 = 4800, D 7,5 = 48
100
G 1 = 184.620, n 1 = 26 N 1 = 48.001,20
G 2 = 432.825, n 2 = 33 N 2 = 142.855,35
G 3 = 725.342, n 3 = 39 N 3 = 282.883,38
G 4 = 364.112, n 4 = 44 N 4 = 160.209,28
G = 1.706.899 N = 633.949,21
134

Ukupan eskont++
E = 633.949, 21 = 13.207,
48
E = 13.207,3 KM
Stopa provizije
9
p z = % = 0,1122
80
Iznos provizije računa se u odnosu na ukupnu vrijednost sve četiri
mjenice G
PZ =
G⋅pz
1.706.899⋅0,1122 = = 1.920, 26
100 100
PZ = 1.920,26 KM, Ce = 25 KM
E + PZ + Ce = 15.152,56 KM
ČE = G – (E + PZ + Ce) = 1.706.899 – 15.152,56
ČE = 1.691.746,44 KM
12.3. Upoređivanje mjenica, ekvivalentne mjenice
Često je potrebno upoređivati dvije ili više mjenica različitih
nominalnih vrijednosti i rokova dospijeća. Kako je u poslovanju više
značajna sadašnja – eskontna vrijednost mjenice od njene nominalne
vrijednosti to se različite mjenice upoređuju na slijedeći način:
mjenice se eskontuju na određeni dan pa se upoređuju njihove
eskontne vrijednosti obračunate na taj dan. Time se može zaključiti
koja od njih je najvrijednija. Istovremeno se mogu uporediti dvije
mjenice i utvrditi koja od njih je vrijednija. Ako se desi da dvije
mjenice imaju istu eskontnu vrijednost za taj dan, kaže se da su one
ekvivalentne.
135

PRIMJER 1.
Određenog dana banka je primila tri mjenice za koje su pored
nominalne vrijednosti utvrđeni broj dana računati od tog dana do
odgovarajućih rokova dospijeća.
1 o G 1 = 12.350 KM n 1 = 35 dana
2 o G 2 = 12.450 KM n 2 = 68 dana
3 o G 3 = 12.220 KM n 3 = 25 dana
Banka obračunava eskont po stopi p = 8%. Uporediti date mjenice.
G⋅n
E = , EV = G – E, D (8) = 4.500
D(p)
12.350⋅35
E 1 = = 96,05KM EV 1 = 12.253,95 KM
4.500
12.450⋅68
E 2 = = 188,13KM EV 2 = 12.261,87 KM
4.500
12.220⋅25
E 3 = = 68,00KM EV 3 = 12.152,00
4.500
Vidi se da je EV 1 < EV 2 > EV 3
Ovo znači da je na dan eskontovanja prva mjenica najvrjednija. Ako
upoređujemo prve dvije mjenice vidi se da je G 2 > G 1 , ali je na dan
eskontovanja vrijednija prva mjenica jer je EV 1 < EV 2 . Takvom
rezultatu doprinosi činjenica ima veći broj dana za koji se vrši
ukamaćivanje.
PRIMJER 2.
Pokazati da su dvije mjenice ekvivalentne ako je poznato
G 1 = 144.000 KM,
n 1 = 24 dana
G 2 = 144.289,16 KM, n 2 = 48 dana
p e = 3%
136

Treba pokazati da je EV 1 = EV 2 .
Koristićemo formulu za direktno određivanje eskontne vrijednosti.
D(p)
= n
EV = G · , Dp = D 3 = 12.000
D(p)
EV 1 = 144.000 · 11.976 143.712
12.000 = , EV 1 = 143.712 KM
EV 2 = 144.289,16 · 11.952 143.712
12.000 = , EV 2 = 143.712 KM
Pošto je EV 1 = EV 2 , matrice su ekvivalentne.
12.4. Zamjena više mjenica jednom
U praksi se javlja potreba da se više mjenica sa različitim nominalnim
iznosima i rokovima dospjeća zamjene jednom mjenicom a istom
eskontnom stopom. To se postiže na slijedeći način:
Neka su nominalni iznosi datih mjenica G 1 , G 2 ,....,G k a rokovi
dospijeća izraženi u danima su n 1 , n 2 , ..., n k . (ovo znači da prva
mjenica dospijeva za n 1 dana, druga za n 2 dana ...., k-ta za n k dana).
Nominali iznos opšte mjenice je zbir nominalnih iznosa datih mjenica
G = G 1 + G 2 + ....+ G k
...(I)
Treba odrediti rok dospijeća opšte mjenice u danima, označimo ga sa
n, tako da njena eskontna vrijednost, u datom trenutku, bude jednaka
zbiru eskontnih vrijednosti datih mjenica.
EV = EV 1 + EV 2 + ... + EV k ...(II)
Pokazuje se da je rok – tj broj dana n pretstavlja ponderisanu (složenu)
srednju vrijednost rokova datih mjenica n 1 , n 2 , ..., n k u odnosu na
njihove nominalne vrijednosti, tj.
n1
⋅ G1
+ n
2
⋅ G
2
+ ... + n
k
⋅ G
k
n =
⋅⋅⋅ (III)
G + G + ... + G
1
2
k
137

Dokaz:
Koristi se formula
D(p)
−n n G⋅n
EV = G · = G ⋅(1 − ) = G − , Dp = D
D(p)
d D(p)
Formulu ćemo primjeniti: (a) na nominalnu vrijednost opšte mjenice
G i (b) na nominalne vrijednosti datih mjenica G 1 , G 2 , ..., G k –
pojedinačno.
Zatim se primjenjuje uslov da je
EV = EV 1 + EV 2 + ... + EV k
a) G = G 1 + G 2 + ... + G k
G⋅n
EV = G -
D(p)
G1⋅
n
b) EV 1 = G 1 -
D(p)
G2⋅
n2
EV 2 = G 2 -
D(p)
Gk⋅
nk
EV K = G k -
D(p)
EV 1 + EV 2 + ... + EV K =
n
= (G 1 + G 2 + ... + G K ) -
D · (G 1n 1 + G 2 n 2 + ... + G k n k )
(p)
G ⋅ n + G ⋅ n + ... + G n
1 1 2 2 k k
EV 1 + EV 2 + ... + EV k = G -
D(p)
...(a)
... (b)
Kad se izjednače desne strane jednakosti (a) i (b) dobiće se
G
1 1 2 2 k k
G - ⋅ n G n G n ... G n
= G −
⋅ + ⋅ + +
D
D(p)
(p)
( G n + G n + ... + G n )
G⋅n
- =
D(p)
D(p)
G1
⋅ n1
+ G
2
⋅ n
2
+ ... + G
n =
G + G + ... + G
1 1 2 2 k k
1
2
k
k
⋅ n
k
138

PRIMJER 1.
Date su četri mjenice sa istom eskontnom stopom p e = 7,5%
- G 1 = 180 KM dospijeva za n 1 = 20 dana
- G 2 = 240 KM -„- n 2 = 25 dana
- G 3 = 320 KM - „- n 3 = 30 dana
- G 4 = 260 KM -„- n 4 = 30 dana
Date mjenice treba zamjeniti opštom mjenicom.
Nominalna vrijednost opšte mjenice
G = G 1 + G 2 + G 3 + G 4 = 1.000 KM
Rok dospijeća opšte mjenice u danima
G ⋅ n + G ⋅ n + G ⋅ n + G ⋅ n 180 ⋅ 20 + 240 ⋅ 25 + 320 ⋅ 30 + 260 ⋅3
1 1 2 2 3 3 4 4
n = =
G 1.000
n = 27 dana
Rok dospijeća opšte mjenice je 27 dana.
Provjera:
Treba pokazati da je
EV = EV 1 + EV 2 + EV 3 + EV 4
D(p) - n
EV = G ·
D(p)
a) Za opštu mjenicu
G = 1.000 p = 7,2, Dp = D7,2 = 5.000, n = 27
EV = 1.000 · 5.000 − 27 = 994,60
5.000
EV = 99.460 KM
b) EV 1 = 180 · 4.980 = 179,28 KM
5.000
EV 2 = 240 · 4.975 = 238,80 KM
5.000
EV 3 = 320 · = 318,08 KM
139

EV 4 = 260 · 4.970 = 258,44 KM
5.000
EV 1 + EV 2 + EV 3 + EV 4 = 994,60 KM = EV
12.5. Određivanje nominalne vrijednosti mjenice
Određivanje nominalne vrijednosti je računski problem kojim se na
osnovu potrebnih podataka, koristeći odgovarajuće formule kamatnog
računa, nalazi tražena vrijednost.
Zavisno od raspoloživih podataka navešćemo dvije mogućnosti
1 o Poznato: eskont – E, eskontna stopa – p e , broj dana dospijeća – n
(ili trenuci t e i t d ).
Formule
G = 36.000 ⋅ E , G =
pn ⋅
E⋅
D (p)
n
2 o Poznato: eskontna vrijednost – EV, eskontna stopa – p e , broj dana
dospijeća – n (ili t e i t d ).
Formule
G =
36.000⋅EV
, G =
36.000 −p ⋅n
D
(p)
(p)
- EV
D - n
PRIMJER 1.
Dana 15.IV.08. banka je primila na eskontovanje mjenicu čiji je rok
dospijeća 4.VI.08. Nakon odbitka eskonta obračunatog po stopi p =
5,4 banka je podnosiocu zahtijeva isplatila 71.460 KM. Odrediti
nominalnu vrijednost mjenice.
Podaci:
EV = 71.460 KM,
140

p = 5,4%,
n = 50 (od 15.IV do 4.VI)
G =
36.000⋅EV 71.460⋅36.000
= = 7.200
36.000 −p ⋅n 36.000 −5,4 ⋅50
G = 72.000, E = 540
PRIMJER 2.
Preduzeće „MGM“ predalo je banci akceptiranu mjenicu sa rokom
dospijeća 45 dana, na osnovu čega je podnijelo zahtjev za kredit.
Banka je nakon odbijanja eskonta E, provizije PZ = 32 KM i troškova
eskonta C e = 10 KM, preduzeću isplatila iznos 17.850 KM. Odrediti
nominalnu vrijednost mjenice ako je p e = 4,8%
Poznato:
ČE = 17.850 KM, PZ = 32 KM, C e = 10 KM, p e = 4,8%,
n = 45 dana
Može se naći eskontovana vrijednost
EV = ČE + PZ + C e = 17.892KM
Pošto smo odredili EV možemo izračunati G
G =
EV ⋅D(p)
D − n
(p)
, D(4,8) = 7.500
G = 17.892 ⋅ 7.500 = 17.957,76
7.455
Nominalna vrijednost mjenice G = 17.957,76 KM, E = 108 KM.
141

PRIMJER 3.
Naći nominalnu vrijednost mjenice za koju je obračunat eskont u
iznosu 1.944 KM po stopi
p = 3,6% za 45 dana.
Podaci:
E = 1.944,
p = 3,6,
n = 45,
D (3,6) = 10.000
G =
D ⋅E (p) 1.944⋅1.000
= = 432.000KM
n 45
12.6. Određivanje eskontne stope
Ovdje se radi o problemu kamatnog računa u kojem se na temelju
potrebnih podataka određuje eskontna stopa p = p e .
Podaci:
G, E, EV, n (ili t e i t d )
Formula
p = 36.000 ⋅ E
G⋅n
Pored toga eskontna stopa se može odrediti ako se prethodno odredi
(ili je poznat) kamatni divizor D(p). Koristi se formula
G ⋅ n
Dp =
E
Iz nje se dobije
Dp = m.
142

Uzimajući u obzir da je
D (p) = 36.000
p
p = 36.000
m
PRIMJER 1.
Ako je poznato
G = 4.320 KM,
E = 64,8 KM,
n = 72, naći p e :
imaćemo m = 36.000
p
, m = D p
, odnosno
a) p e = 36.000 ⋅ E 36.000 ⋅
= 64,8KM = 7,5
G ⋅n 4.320KM ⋅72
, p e = 7,5
b) D (p) = G ⋅ n 4.320KM ⋅
= 72 = 4.800 , Dp = 4.800
E 64,8KM
p e =
36.000 36.000
= = 7,5 , p e = 7,5
D 4.800
(p)
PRIMJER 2.
Naći p e ako je poznato
G = 8.424 KM,
EV = 8.377,2 KM,
n = 120
Prvo se nalazi E. Vrijedi
E = G – EV = 8.424 – 8.377,2 = 46,8
p e =
36.000⋅
46,8 5 2
= = 1
8.424⋅120 3 3
2
, p e = 1 % 3
143

PRIMJER 3.
Na ukupnu glavnicu duga G = 1.094.850 KM izdate su tri mjenice sa
jednakim nominalnim iznosima a različitim rokovima dospijeća i to:
prva – 25.XII.08, druga – 10.I.09. i treća – 21.I.09. Mjenice su predate
na eskont 10.X.08., a odobreno je 1,076.775 KM. Odrediti eskontnu
stopu ako je banka pored kamata (eskonta) uračunala 0,35% provizije
na ukupnu glavnicu i 64,7 KM troškova eskonta
a) Shvatimo da je ukupna glavnica duga G = 1.094.850 KM
nominalna vrijednost „opšte“ mjenice koja zamjenjuje tri opisane
mjenice. Prema uslovima zadatka odobreni (isplaćeni) iznos
predstavlja čisti eskont, tj.
ČE = 1.076.775 KM.
Ako izračunamo iznos provizije, budući da je poznat iznos troškova
eskonta C e = 64,7 KM možemo odrediti iznos ukupnog eskonta i
eskontovanu vrijednost opšte mjenice.
EV = ČE + PZ + C e , E = G – EV
Iznos provizije:
G = 1.094.850,
p z = 0,35
IP =
G⋅pz
1.094.850⋅0,35
= = 3.832 , IP = 3.832 KM
100 100
EV = 1.076.775 + 3.832 + 64,7 = 1.080.671,7
EV = 1.080.671,7, E = G – EV
E = 1.094.850 – 1.080.671,7
E = 14.178,3 KM ...(*)
b) Ako su E 1 , E 2 , E 3 eskonti obračunati u odnosu na opisane tri
mjenice, onda mora biti
E 1 + E 2 + E 3 = E, tj.
E 1 + E 2 + E 3 = 14.183,3 KM ...(**)
144

Nominalni iznosi opisanih mjenica su, prema uslovu problema,
jednaki, tj. kako je
G : 3 = 364.950 KM, biće
G 1 = G 2 = G 3 = 364.950 KM.
Treba odrediti broj dana dospijeća za svaku od njih:
n 1 = 72 dana, od 14.X – 25.XII.08.
n 2 = 88 dana, od 14.X.08. – 10.X.09.
n 3 = 99 dana, od 14.X.08. – 21.I.09.
Iznos eskonta E i (c = 1, 2, 3) odrediti ćemo pomoću formule
N
E = , N = (G · n) : 100
1
D(p)
100 ⋅
Koristi se procedura obračuna kamata na više glavnica
N
1
+ N
2
+ N3
E 1 + E 2 + E 3 =
1
(p)
100 ⋅D
G 1 = 36.495, n 1 = 72, N 1 = 262.764 ; N 1 = (G 1 ⋅ n 1 ) : 100
G 2 = 36.495, n 2 = 88, N 2 = 321.156 ; N 2 = (G 2⋅ n 2 ) : 100
G 3 = 36.495, n 3 = 99, N 3 = 361.300 ; N 3 = (G 3⋅ n 3 ) : 100
G = 1.094.850 N 1 + N 2 + N 3 = 945.220
E 1 + E 2 + E 3 =
E 1 + E 2 + E 3 =
945.220
1
D(p)
100 ⋅
945.220⋅100
D
(p)
...(***)
Povezat ćemo jednakosti (**) i (***)
94,522.000
= 14.183,3
D
(p)
Dp = 6.666,6667
145

Kako je
Dp = 36.000
p
biće
p =
36.000
D
(p)
p =
36.000
6.666,6667 = 5,4
Tražena eskontna stopa je p e = 5,4%.
12.7. Izračunavanje broja dana, roka dospijeća i
dana eskontovanja
Izračunavanje broja dana je problem kamatnog računa za koji se
koriste postojeće formule, zavisno od raspoloživih podataka.
Podaci: G, E, EV, p = p e , D (p)
Formule
n = 36.000 ⋅ E , n =
G⋅p
D(p)
⋅ E
G
Da bi se odredili rok dospijeća – t d i dan eskontovanja – t e , mora biti
poznat jedan od njih.
Vrijedi
t d = t e + n, t e = t d – n, n – broj dana
Koristeći ove jednakosti kalendarskim računanjem se određuje traženi
t d ili t e !
146

PRIMJER 1.
Dana 19.VII.08. banci je predata mjenica sa nominalnim iznosom
575.160 KM na eskontovanje. Nakon odbitka eskonta obračunatog po
stopi p e = 5,5% banka je odobrila iznos 569.887,70 KM. Odrediti rok
dospijeća!
Ovdje je poznato: G, EV, p i t e
Treba odrediti n i t d .
Prvo ćemo odrediti iznos eskonta
E = G – EV = 575.160 – 569.887,70
E = 5.272,30
Formula
36.000⋅E 36.000⋅5.272,30
n = =
G ⋅p 575.160⋅5,5
n = 60 dana
t d = t e + 60 dana = 19.VII + 60,
t d = 17.IX.08.
PRIMJER 2.
Koga dana je eskontovana mjenica nominalne vrijednosti 765.000 KM
sa rokom dospijeća 27.VIII.t.g. ako je, po odbitku 6,25% eskonta,
0,2 provizije (na iznos mjenice) i troškova eskonta 16,875 KM,
isplačeno tražiocu kredita 751.500 KM
Podaci:
G = 765.000,
ČE = 751.500,
p e = 6,25%,
p z = 0,2,
C e = 16,875
t d = 27.VIII
147

Treba naći: n i t e
n = 36.000 ⋅ E ,
G⋅p
t e = 27.VIII – n, E =
Vrijedi:
E = G – (ČE + PZ + C e ),
PZ =
PZ =
G⋅pz
765.000⋅0,2 1.530
= = , PZ = 1.530 KM
100 100
E = (751.500 + 1.530 + 16,875)
E = 11.953,125 KM
36.000⋅11.953,125⋅90
n =
,
765.000⋅ 6,25
n = 90 dana
t e = 27.VIII – 90 (računa se kalendarski)
t e = 23.V.t.g.
Mjenica je predata na eskontovanje 23.V.t.g.!
148

13. TEKUĆI RAČUNI
13.1. Uvodne napomene
Poslovni subjekti koji obavljaju poslovno – privredne aktivnosti
nalaze se u određenom poslovnom odnosu (poslovnoj vezi). U tom
odnosu nalaze se dva preduzeća, od kojih je jedno – prodavalac a
drugo – kupac, zatim preduzeće i banke, dvije banke itd. U svakom
poslu koji povezuje dva subjekta u određenom vremenskom trenutku
jedan od njih nešto daje, odnosno prima. Ako jedan subjekat u tom
trenutku prima neku vrijednost a istovremeno ništa ne daje, onda on
duguje! Obrnuto, ako jedan subjekat daje neku vrijednost a
istovremeno ništa ne prima, onda on potražuje. To znači da se dva
subjekta međusobno povezana poslovnim aktivnostima nalaze u
odnosu duguje – potražuje. Na primjer, ako kupac u jednom trenutku
prima robu od prodavca i ne plaća je, onda on duguje prodavcu.
Suprotno, ako kupac u jednom trenutku plaća robu prodavcu a
istovremeno ne prima robu, onda on potražuje od prodavca. Slično
tome, ako banka daje gotov novac preduzeću – onda preduzeće duguje
banci. Može se desiti da preduzeće ulaže novac u banku, tada ono
potražuje od banke.
Evidencija dugovanja – potraživanja između dva poslovna subjekta,
pri ćemu status „duguje“ odnosno „potražuje“ mijenja tokom
odgovarajućeg poslovnog perioda, vrši se putem tekućih računa.
Tekući račun ima dvije strane, lijevu – dugovnu i desnu – potražnu.
Duguje
Potražuje
1 1.
2 2.
.
.
.
.
.
.
Svaki poslovni partner vodi u svom knjigovodstvu račun ili konto
poslovnog partnera sa kojim je u vezi. Tako npr. prodavac otvara
tekući račun naslovljen na kupca, a to isto čini i kupac u odnosu na
prodavca.
149

Na tekućem računu registruju se sve poslovne promjene (što se zove
stav ili pozicija) do kojih dolazi tokom vremena. Pozicije na tekućem
računu otvaraju se u dinamici koja odgovara dinamici poslovnih
promjena.
Na strani duguje knjiže se sve stavke koje duguje stranka na čije ime
glasi tekući račun, a na strani potražuje knjiže se stavke koje potražuje
dotična stranka.
U toku knjiženja pojedinih poslovnih promjena se (u okviru
odgovarajućih stavki) unose značajni podaci za obračun tekućeg
računa i to: datum knjiženja, naziv odgovarajućeg dokumenta (faktura,
doznaka, …), novčani iznos i datum (rok) dospijeća – pored kojeg se
stavlja oznaka Vr ili Va (vrijednost ili valuta), kada obaveza plaćanja
treba biti izvršena. Ako se iznos duga ne podmiri na dan dospijeća
nego se kasni – onda odgovarajuća strana plaća kamate.
Pojedini poslovi koji proizlaze iz poslovnog odnosa dva partnera ne
plaćaju se odmah, niti do naznačenog dana dospijeća, nego se
prebijaju u saldu krajem obračunskog perioda. Obračunski period je
obično pola godine tj. Od 1.I do 30.VI t.g., odnosno 1.VII do 31.XII
t.g. Dan 1.I (1.VII) tretira se kao početak obračunskog perioda, a dan
30.VI (31.XII) tretira se kao kraj poslovnog perioda, odnosno kao dan
zaključka tekućeg računa. U skladu sa prethodnom konstatacijom o
prebijanju se, na sve pozicije tekućeg računa računaju kamate za broj
dana računato od dana dospijeća do dana zaključka računa. Kamate se
računaju i za dugovnu i za potražnu stranu.
Istina ima slučajeva da se kamate računaju samo na dugovnu stranu, a
ne na potražnu (banke).
Kamata može biti jednostavna ili dvostruka. Jednostavna kamata
primjenjuje se u istoj visini na obje strane – dugovnu i potražnu.
Dvostruka kamata odnosi se na slučaj kada dugovna strana ima jednu
kamatnu stopu, a potražna strana drugu kamatnu stopu. Obično je
kamatna stopa primijenjena na dugovnu stranu veća od druge kamatne
stope.
150

Kamatna stopa može biti stalna i promjenjiva. Stalna kamatna stopa
ostaje nepromjenjiva tokom cijelog poslovnog perioda za koje se vodi
tekući račun. Promjenjiva kamatna stopa znači da ona može
promijeniti svoju vrijednost tokom tog perioda.
Tehnički gledano samo računanje kamata ne izvodi se pojedinačno za
svaku stavku (na obje strane), već se, iz praktičnih razloga,
primjenjuje koncept određivanja kamata na više glavnica. Formalno
gledano sam način računanja zavisi od metoda koja se primjenjuje, a
ima ih tri:
- direktna metoda,
- indirektna metoda,
- stepenasta metoda.
Pored kamata, na dan zaključka tekućeg računa, računaju se razne
vrste provizija (kreditna, na usluge, ….), koje često predstavljaju
„sakrivene“ kamate, i sitni troškovi posla. Iznos provizije i troškova se
knjiži na dugovnu stranu tekućeg računa!
Na kraju treba napomenuti da, zavisno od toga da li se kamate
računaju ili ne, postoje dvije vrste tekućeg računa: tekući račun u
užem smislu i tekući račun u širem smislu. Tekući računi u užem
smislu obuhvataju samo evidenciju dugovanja i potraživanja, dok oni
u širem smislu obuhvataju i obračun kamata, provizije i troškova.
Ovdje se posmatraju tekući računi u širem smislu.
13.2. Direktna metoda, jednostruka kamata, sve
pozicije dospijevaju
Uzećemo da je poslovni period za koji se vodi tekući račun od 1.I t.g.
do 30.VI t.g. Ovaj period ima 181 dan. Sve što bude rečeno za ovaj
period vezano za metode obračuna tekućeg računa i utvrđivanja salda,
vrijedi za poslovni period od 1.VII t.g. do 31.XII t.g., koji ima 184
dana.
Da su sve pozicije posmatranog računa dospjele znači da je
odgovarajući dan dospijeća unutar posmatranog perioda. Osim toga
151

može se desiti da dan dospijeća neke stranke pada, prije početka
perioda (npr. 18.XII) – kaže se da pozicija ranije dospijeva, odnosno
nakon dana zaključka (npr. 27.VII) – kaže se da ta pozicija kasnije
dospijeva.
Tekući račun ima vertikalne rubrike u koje se za svaku stavku, pored
naziva, upisuju podaci i veličine koji su značajni za obračun kamata, i
to:
- dan dospijeća, oznaka d.d.
- broj dana, oznaka b.dn.
- kamatni broj, oznaka k.br.
- iznos, oznaka izn.
Broj dana za direktnu metodu se računa „od dana dospijeća do dana
zaključka“, kalendarski gledano.
Kamatni broj se računa za svaku stavku posebno, na dugovnoj i na
potražnoj strani, prema obrascu: k.br. = (izn. ∙ b.dn.) : 100 i dobivena
vrijednost se upisuje na odgovarajuće mjesto u vertikalnoj rubrici.
Ostali podaci prepisuju se sa odgovarajućeg dokumenta (faktura,
doznaka) na „svoja mjesta“ prije izračunavanja kamatnog broja.
Radi formiranja opšteg modela direktne metode uvešćemo oznake za
gornje podatke koji su vezani za pojedine dugovne, odnosno potražne
stavke:
Podaci Duguje Potražuje
- dan dospijeća
- broj dana
- k. broj
- iznos
t 1 , t 2 , ….
n 1 , n 2 , ….
k 1 , k 2 , ….
i 1 , i 2 , ….
r 1 , r 2 , ….
m 1 , m 2 , ….
q 1 , q 2 , ….
j 1 , j 2 , ….
Koristeći uvedene oznake formiraćemo opšti oblik tekućeg računa
pomoću kojeg ćemo opisati direktnu metodu obračuna tekućeg računa.
152

Duguje
Preduzeće „KLM“
Potražuje
Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Naziv d.d. b.dn. k.br. izn.
Faktura 1 t 1 n 1 k 1 i 1 Doznaka 1 r 1 m 1 q 1 j 1
Faktura 2 t 2 n 2 k 2 i 2 Doznaka 2 r 2 m 2 q 2 j 2
Faktura 3 t 3 n 3 k 3 i 3 Doznaka 3 r 3 m 3 q 3 j 3
Kamate na
dan 30.VI K d kb
Troškovi
30.VI
C p Saldo
30.VI
d I
s D (S.I) D s D (S.I) D
Prijenos
Salda
30.VI
d I
Radi jednostavnosti uzeli smo da tekući račun naslovljen na preduzeće
„KLM“ ima po tri stavke na obadvije strane. Postupak računanja je isti
ako račun ima više od tri stavki.
Stopa po kojoj se računaju kamate je p.
Načelno gledano kamate bi mogli računati za svaku stavku lijeve i
desne strane pojedinačno i izvršiti odgovarajuća prebijanja. Time bi se
došlo do iznosa kamata koji može da pripada jednoj ili drugoj strani.
Međutim, kako je u pitanju jedinstvena kamatna stopa do konačnog
rezultata se dolazi brže primjenjujući proceduru računanja kamata na
više glavnica.
Postupajući u skladu s tim trebalo bi naći zbir kamatnih brojeva
dugovne i potražne strane pa svaki od njih podijeliti brojem
(D (p) : 100). Time se dobivaju kamate koje pripadaju dugovnoj
odnosno potražnoj strani. Pozitivna razlika ovih kamata, koju zovemo
saldo, određuje ukupnu visinu kamata za protekli period vremena koji
jedna strana potražuje a druge duguje. Međutim, stvar se može
pojednostaviti: dovoljno je naći pozitivni saldo kamatnih brojeva (od
većeg zbira oduzima se manji) – označimo ga sa d KB , i podijeliti ga
brojem (D (p) : 100). Time se dobiva ukupan iznos kamata K. Znači:
dKB
K =
1
D(p)
100 ⋅
153

Procedura primjene direktne metode
1. Izračunavanje kamatnih brojeva
2. Izračunavanje zbira kamatnih na dugovnoj i na potražnoj strani –
oznaka S D i S P
S D = k 1 + k 2 + k 3 , S D = q 1 + q 2 + q 3
3. Izračunavanje pozitivne razlike (salda) zbireva kamatnih brojeva
S P i S P .
Između ovih zbireva vrijedi odnos S D > S P ili S P > S D .
Imamo
d KB = S D – S P , za S D > S P
d KB = S P – S D , za S P > S D
4. Izračunavanje kamatnog divizora
Dp = 36.000
p
i broja
Dp : 100
5. Izračunavanje kamata
dKB
K =
D
(p)
:100
6. Upisivanje iznosa kamata i salda kamatni brojeva.
Za dobivene kamate otvara se posebno stavka u tekućem računu.
Kamate se upisuju u vertikalnu kolonu „iznos“ na dugovnu stranu ako
je S D > S P , a na potražnu stranu ako je S P > S D .
Saldo kamatnih brojeva upisuje se u kolonu K.br. na onu stranu gdje
je zbir kamatnih brojeva manji.
Vrijedi pravilo: po direktnoj metodi kamate se upisuju na suprotnu
stranu od salda kamatnih brojeva.
7. Upisivanje troškova posla – C p .
Za ove troškove otvara se nova stavka u kojoj se na strani duguje
upisuje C p u koloni „iznos“.
8. Nakon upisivanja C p u tekući račun izračunavaju se zbirovi
novčanih iznosa dugovne i potražne strane. Zatim se nalazi razlika
ovih iznosa. Označimo ove zbireve sa (S.I.) D – za dugovnu stranu,
odnosno sa (S.I.) P – za potražnu stranu.
154

Pretpostavimo da u ovom opštem primjeru vrijedi S D > S P . To znači
da saldo kamatnih brojeva d KB upisujemo na stranu duguje u
odgovarajuću rubriku. Iznos kamata K upisuje se na dugovnu stranu u
koloni „iznos“. Vrijednost kamata u novčanim jedinicama predstavlja
potraživanje subjekta koji je otvorio račun za preduzeće „KLM“.
Na osnovu uvedenih pretpostavki imamo
(S.I.) D = i 1 + i 2 + i 3 + K + C P
(S.I.) P = S 1 + S 2 + S 3
Tražimo razliku tj. salda iznosa – oznaka d I
(d) = (S.1.) D – (S.I.) P , za (S.1.) D > (S.I.) P
d I = (S.I.) P – (S.1.) D , za (S.I.) P > (S.1.) D
Neka je (S.I.) D > (S.1) P
Razliku iznosa d I upisujemo na onu stranu gdje je zbir iznosa manji u
rubrici „iznos“ – za nju se otvara nova stavka „saldo“.
Salda kamata i salda iznosa upisuju se na stranu gdje je odgovarajući
zbir manji da bi se uravnotežila lijeva i desna strana tekućeg računa.
Međutim, realno gledano razlika d I = (S.I.) D – (S.I.) P predstavlja
potražni saldo na dan zaključka tekućeg računa kojeg potražuje
stranka koja je otvorila tekući račun naslovljen na preduzeće „KLM“.
Razliku d I zovemo saldo tekućeg računa na dan zaključka 30.VI.t.g.
Ovaj saldo se ne podmiruje odmah nego se kao stavka prenosi u
slijedeći poslovni period!
PRIMJER 1.
Preduzeće „Beta“ je u poslovnoj vezi sa preduzećem „Alfa“ u okviru
koje mu isporučuje određenu robu. U toku prvog polugodišta 2008.g.
preduzeće „Beta“ je registrovala slijedeće poslove sa preduzećem
„Alfa“:
155

1) 01.I.08., Prijenos salda (svog potraživanja) iz predhodnog
perioda
…264.540 KM
2) 24.II.08., Doznaka br. 1, preduzeća „Alfa“ putem banke,
vr. 25.II.08.
…200.000 KM
3) 10.III.08., Faktura br. 1, vr. 10.IV.08. …308.600 KM
4) 20.IV.08., Doznaka br. 2, preduzeća „Alfa“ putem banke,
vr. 20.IV.08.
…358.200 KM
5) 05.V.08., Faktura br. 2, vr. 5.V.08. …153.260 KM
6) 28.V.08., Doznaka br. 3, preduzeća „Alfa“ putem banke,
v.r. 28.V.08.
… 95.800 KM
7) 18.VI.08., Doznaka br. 4, preduzeća „Alfa“ putem banke,
vr. 18.VI.08.
…400.000 KM
8) 20.VI.08., Faktura br. 3, vr. 20.VI.08. …532.750 KM
Otvoriti tekući račun naslovljen na preduzeće „Alfa“ i zaključiti ga
30.VI.08. ako je kamatna stopa p = 6,0% a troškovi posla su C p =
47,53 KM.
Iz raspoloživih dokumenata u tekući račun se unose dan dospijeća
(označen sa vr.) i odgovarajući novčani iznos. Za preneseni saldo iz
prethodnog perioda uzima se da je rok dospijeća 31.XII.2007. tako da
je broj dana do dana zaključka – 181. Za ostale stavke treba izračunati
odgovarajući broj dana kalendarski, kao i pripadne kamatne brojeve.
U nastavku se postupa prema opisanoj proceduri.
Duguje Preduzeće „ALFA“ Potražuje
Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Naziv d.d. b.dn. k.br. izn.
Predhodni
Doznaka
saldo 1.I. 181 478.817 264.540 oznaka br.1 25.II 125 250.000 200.000
Faktura br.1 10.IV 81 249.966 308.600 Doznaka 20.IV 71 254.332 358.200
oznaka br.2
Faktura br.2
Faktura br.3
6% kamata
30.VI
5.V
20.VI
56
10
85.826
53.275
153.260 Doznaka
oznaka br.3
532.750 Doznaka
4.732,47 oznaka br.4
28.V
18.VI
33
12
31.614
48.000
283.948
95.800
400.000
Troškovi
30.VI
47,53 Saldo
30.VI
209.930
867.884 1.263.930 867.884 1.263.930
Saldo
30.VI 209.930
156

Zbir kamatnih brojeva
Duguje
Potražuje
S D = 867.884 S P = 583.936 S D > S P
Saldo kamatnih brojeva
d KB = S D – S P = 867.884 – 583.936
d KB = 283.948
Kamatni divizor
p = 6%, D (p) = 6.000, D (p) : 100 = 60
Izračunavanje kamata
dKB
283.948
K = = = 4.732, 47
1
⋅ D
60
(p)
100
Zbirovi iznosa
Duguje
Potražuje
(S.I.) D = 1.263.930 (S.I.) P = 1.054.000,
(S.I.) D > (S.I.) P
Saldo tekućeg računa
d I = 209.930
d I = (S.I.) D - (S.I.) P = 1.263.930 – 1.050.000
d I = 209.930
Preduzeće „Beta“ potražuje, po osnovu poslovanja u periodu 1.I.08.
do 30.VI.08., od preduzeća „Alfa“ iznos 209.930 KM. Ovaj iznos se
prenosi u slijedeći period i stapa se sa novim poslovima.
13.3. Indirektna metoda
Predpostavlja se da se obračun vrši po jedinstvenoj kamatnoj stopi p i
da su sve pozicije tekućeg računa dospjele.
Posmatra se poslovni period od 1.I.t.g. do 30.VI.t.g. Za indirektnu
metodu početak perioda za koji se vodi tekući račun zove se epoha. Za
157

posmatrani period epoha je dan 1.I.t.g. Ako se radi o periodu od
1.VII.t.g. do 31.XII.t.g. epoha je dan 1.XII.t.g.
E a dana d.d. (181 – a) dana d.z.
1.I.
30.VI
E – epoha, d.d. – dan dospjeća, d.z. – dan zaključka
Računanje kamatnih brojeva (i kamata) sastoji se u tome da se
kamatni brojevi za pojedine iznose, prvo računaju za cijeli period (181
dan) i od tako dobivenog iznosa kamatnih brojeva oduzmu kamatni
brojevi za broj dana od epohe do dana dospijeća (a dana). Dobivena
razlika predstavlja kamatne brojeve računate od dana dospijeća do
dana zaključka (181-a dana) – što je jednako kamatnim brojevima
računatim po direktnoj metodi. Pošto kamatne brojeve računate od
epohe do dana dospijeća oduzimamo, to se ovi kamatni brojevi zovu
„negativni kamatni brojevi“!
Na opisanom pravilu računanja kamatnih brojeva zasnovana je
indirektna metoda.
Procedura primjene ove metode sastoji se iz nekoliko koraka. U
njihovom opisivanju koristićemo termine i oznake uvedene za
direktnu metodu.
1 ° Izračunavanje broja dana od epohe do dana dospijeća po svakoj
stavci, izuzev za preneseni saldo.
2 ° Za svaku stavku računaju se (negativni) kamatni brojevi.
3 ° Izračunavanje zbira iznosa dugovne i potražne strane
(S.I.) D i (S.I.) P , (S.I.) D <
> (S.I.) P
4 ° Određivanje pozitivne razlike zbira iznosa
d I = (S.I.) D – (S.I.) P , za (S.I.) D > (S.I.) P
ili
d I = (S.I.) P – (S.I.) D , za (S.I.) P > (S.I.) D
Razlika d I zove se bruto saldo ili privremeni saldo.
5 ° Iznos bruto salda upisuje se na onu stranu tekućeg računa gdje je
zbir iznosa manji i to u rubriku „naziv“ sa naznakom bruto saldo.
158

6 ° Za bruto saldo izračunava se odgovarajući kamatni broj za broj
dana od epohe do dana zaključka (181). Dobiveni kamatni broj upisuje
se na istu stranu na kojoj je upisan bruto saldo u rubrici „kamatni
brojevi“.
Oznaka za ovaj kamatni broj:
- k BS ako se upisuje na stranu duguje
- q BS ako se upisuje na stranu potražuje
7 ° Nalaženje zbira kamatnih brojeva
S D i s P , S D
> < S P
8 ° Određivanje salda kamatnih brojeva d KB
d KB = S D – S P , za S D > S P
ili
d KB = S P – S D , za S P > S D
Saldo kamatnih brojeva upisuje se na onu stranu gdje je manji zbir
kamatnih brojeva.
Za saldo kamatnih brojeva otvara se nova stavka!
9 ° Za saldo kamatnih brojeva d KB nalazi se odgovarajuća kamata K.
dKB
K =
D
(p):100
Dobivena kamata upisuje se na istu stranu gdje je upisan saldo
kamatnih brojeva u rubrici „iznos“, a u rubrici „naziv“ upisuje se „p%
kamata, 30.VI“.
10 ° Za troškove posla (i/ili provizije) otvara se nova stavka na
dugovnoj strani i upisuje iznos troškova u rubrici „iznos“.
11 ° Izračunava se „novi zbir iznosa“ dugovne i potražne strane
oznaka (SI)
D
i (SI)
P
12 ° Određuje se pozitivna razlika „novih zbirova iznosa“ – oznaka d
1
d
1
= (SI)
D
- (SI)
P
, za (SI)
D
> (SI)
P
ili
d
c
=
(SI)
D
-
(SI)
P
za (SI) P > (SI) D
Dobivena razlika predstavlja saldo tekućeg računa na dan zaključka.
Saldo tekućeg računa upisuje se na onu stranu gdje je „novi zbir
iznosa“ manji i to u rubrici „iznos“, dok se u rubrici „naziv“ upisuje –
saldo.
159

Nakon upisanog salda sabiraju se svi kamatni brojevi i svi iznosi,
mora biti
- zbir kamatnih brojeva na lijevoj strani jednak je zbiru
kamatnih brojeva na desnoj strani,
- zbir iznosa na lijevoj strani jednak je zbiru iznosa na
desnoj strani.
Napomena:
- Kod indirektne metode kamate se unose na istu stranu
nakojoj je upisan saldo kamatnih brojeva.
- Kod direktne metode kamate se unose na suprotnu stranu
od one na kojoj je upisan saldo kamatnih brojeva.
PRIMJER 1.
Indirektnu metodu interpretirat ćemo na istom primjeru koji smo
koristili za predstavljanje direktne metode.
Ovdje ćemo prepisati samo osnovne podatke tog primjera:
- Preneseni saldo … 264.540 KM
- Doznaka 1, vr. 25.II.08. … 200.000 KM
- Faktura 1, vr. 10.IV.08. … 308.600 KM
- Doznaka 2, vr. 20.IV.08. … 358.200 KM
- Faktura 2, vr. 5.V.08. … 153.260 KM
- Doznaka 3, vr. 28.V.08. … 95.800 KM
- Doznaka 4, vr. 18.VI.08. … 400.000 KM
- Daktura 3, vr. 20.VI.08. … 532.750 KM
Kamatna stopa p = 6,0%
Troškovi posla C p = 47,53 KM
160

Otvoriti tekući račun za preduzeće „Alfa“ i zaključiti ga 30.VI.08.!
Naziv d.d. b.dn K.br IZNOS Naziv d.d. b.dn K.br IZNOS
Saldo 31.XII.07. Epoha 264.540 D1 25.II. 56 112.000 200.000
F1 10.IV. 100 308.600 308.600 D2 20.IV. 110 394.020 358.200
F2 5.V. 125 191.575 153.260 D3 28.V. 148 141.784 95.000
F3 20.VI. 171 911.003 532.750 D4 18.VI. 169 676.000 400.000
Saldo
iznosa
30.VI.
205.150 30.VI. 371.322
6%
kam
30.VI.
Trošk
.
30.VI.
283.948 4.732,47
47,53
Saldo
30.VI. 209.930
1.695.126 1.263.930 1.695.126 1.263.930
Saldo 30.VI.08. 209.930
1 ° Broj dana od epohe (1.I.08.) do dana zaključka
Posebno se računa za svaku stavku i upisuje se u odgovarajuću
rubriku.
Na primjer za Doznaku 4 broj dana se računa od 1.I.08. do 18.VI.08.:
b.dn = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 18 = 169
2 ° Izračunavanje kamatnih brojeva – provjerite!
3 ° Izračunavanje zbira iznosa – treba sabrati prve četiri stavke,
odvojena na obje strane
(S.I.) D = 1.259.150, (S.I.) P = 1.054.000, (S.I.) D > (S.I.) P
4 º Nalaženje bruto salda
d I = (SI) D – (SI) P = 1.259.150 – 1.054.000
d I = 205.150
Bruto saldo se upisuje na desnu stranu jer je (SI) P < (SI) D . Za njega se
otvara nova stavka, iznos se upisuje u rubrici „naziv“.
5 º Izračunavanje kamatnog broja koji odgovara bruto saldu. U ovom
slučaju broj dana se računa od epohe do dana zaključka – 181 dan.
K.br = (205.150 · 181) : 100 = 371.322
Ovaj kamatni broj upisuje se na istu stranu gdje je upisan bruto saldo
(desno).
161

6 º Nalaženje zbira kamatnih brojeva dugovne i potražne strane
S D = 1.411.178, S P = 1.695.126, S P > S D
7 º Saldo kamatnih brojeva
d KB = S P – S D = 1.695.126 – 1.411.178 = 283.948
d KB = 283.948
Saldo kamatnih brojeva upisuje se na lijevu stranu jer je S D < S P
8 º Računanje kamata za sald kamatnih brojeva
d
KB
K =
D (p) :100 , p = G, D(p) = 6.000, d KB = 283.948
K = 283.948 = 4.732,47
60
K = 4.732,47
Dobivena kamata se upisuje na istu stranu gdje je upisan saldo
kamatnih brojeva – lijevo.
9 º Upisivanje troškova na stranu duguje
10 º Izračunavanje „novog salda iznosa“ i salda tekućeg računa:
( SI) D = 1.263.930, ( SI) P = 1.054.000, ( SI) D > ( SI) P
d
I
= ( SI) D - ( SI) P = 1.263.930 – 1.054.000 = 209.930
d
I
= 209.930 KM
Saldo tekućeg računa iznosi 209.930 KM. On se upisuje na potražnu
stranu jer je ( SI) P < ( SI) D. Saldo tekućeg računa predstavlja
potraživanje preduzeća „Beta“.
162

13.4. Stepenasta metoda, sve stavke dospjele,
jedinstvena kamatna stopa
Uopšteno gledano prilikom računanja kamata vrijedi pravilo: kamate
se računaju na iznos koji neko duguje (potražuje) i to za ono vrijeme
koliko taj dug (potraživanje) traje.
Primjena metoda obračuna kamata na tekući račun koje su obrađene
(direktna, indirektna) dovodi do odstupanja od tog pravila. Naime u
toku primjene ovih metoda ne dolazi se do saznanja koliko neko
duguje (potražuje) i kolike su kamate. Tek na dan zaključka saznaje se
da li nosilac računa duguje ili potražuje i kolike su kamate po tom
osnovu. Nasuprot njima stepenasta metoda je u skladu sa navedenim
pravilom jer ona podrazumjeva da se ukamaćivanje, a samim tim i
utvrđivanje veličine dugovanja (potraživanja), vrši postepeno od
jednog knjiženja do drugog. Sem toga ova metoda je posmatrano sa
formalno računske procedure je lakša jer operiše sa manjim brojem
dana, sa manjim iznosima i manjim kamatnim brojevima.
Stepenasta metoda podrazumjeva otvaranje posebnog kamatnog lista
na kojem se efikasno utvrđuju pojedinačni iznosi dugovanja
(potraživanja), broj dana i kamatni brojevi – da bi se na kraju utvrdio
iznos kamata sa naznakom koja strana ih duguje odnosno potražuje.
Poslije toga se dobiveni podaci unose u tekući račun i donosi
zaključak.
Procedura otvaranja kamatnog lista i obračuna
1 º Svi knjiženi iznosi se poredaju hronološki sa naznakom duguje (D) i
potražuje (P).
2 º Zatim se unose u kamatni list prema hronološkom redosljedu i za
svaku slijedeću stavku, počev od prve, izračunava broj dana do
slijedećeg knjiženja.
3 º Kad se poslije prve stavke unese druga (slijedeća) stavka vrši se
sabiranje odnosno oduzimanje zavisno od toga da li su istovrsne ili
raznovrsne – oduzimanje ako se radi o D – P, sabiranje ako se radi o D
– D ili P – P. Uslijed toga korisno je u kamatnom listu otvoriti
vertikalnu rubriku u kojoj se upisuju znakovi (-) ili (+) zavisno od toga
da li je knjižena na strani duguje ili potražuje.
163

4 º Nakon toga se izračunavaju kamatni brojevi i upisuju u vertikalnu
rubriku duguje ili potražuje.
Kamatni list ima horizontalne i vertikalne rubrike.
U horizontalne rubrike upisuju se po dvije stavke. U prvu od njih
upisuju se prve dvije stavke sa kronološke liste i računa broj dana i
odgovarajući kamatni broj.
U drugu horizontalnu stavku unosi se rezultat oduzimanja ili sabiranja
a zatim, ispod njega treća stavka sa hronološke liste.
Postupak se zatim nastavlja na isti način sve dok se ne upiše zadnja
stavka sa hronološke liste.
Kamatni list ima vertikalne rubrike za znak (+) ili (-), iznos, dan
dospijeća, broj dana i kamatni broj.
Primjenu stepenaste metode interpretiraćemo na istom primjeru koji je
korišten za prethodne dvije metode.
U toku prvog polugodišta 2008. godine registrovani su slijedeći
poslovi između preduzeća „Alfa“ i „Beta“ – za koje je otvoren tekući
račun naslovljen na preduzeće „Alfa“.
1 º Prenos salda vr. 31.XII.07. .......... 264.540 KM
2 º Doznaka 1 vr. 25. II.08. .......... 200.000 KM
3 º Faktura 1 vr.10.IV.08. .......... 308.600 KM
4 º Doznaka 2 vr. 20VI.08. .......... 353.200 KM
5 º Faktura 2 vr. 05.V.08. .......... 153.260 KM
6 º Doznaka 3 vr. 28.V.08. .......... 96.800 KM
7 º Doznaka 4 vr. 18.VI.08. .......... 400.000 KM
8 º Faktura 3 vr. 20.VI.08. .......... 532.750 KM
Kamata p = 6%,
troškovi posla C p = 47,53 KM.
Zaključiti tekući račun na dan 30.VI.08.
Kako su stavke već hronološki poredane, u prvu rubriku kamatnog
lista unijet ćemo prve dvije stavke – odnosno odgovarajuće podatke.
Najraniji dan poćev od kojeg se mogu računati kamate je 31.XII.07.,
kada je utvrđen saldo prethodnog perioda. Odgovarajući iznos od
164

264.540 KM upisuje se u kamatni list sa znakom minus tj. (-).
Slijedeća promjena je uslijedila 25.II.08. Iznos uplate od 200.000 KM
unosi se u kamatni list sa znakom plus tj. (+) zatim se vrši obračun
upisanih iznosa :
265.540 + 200.000 = - 64.500.
Ovaj iznos pretstavlja dugovanje, pa se upisuje u drugu rubriku –
„gore“ kamatnog lista sa znakom minus tj. (-). Broj dana na koji se
ukamačuje preneseni saldo računa se od 31.XII.07. do 25.II.08. Dobije
se 56 dana.
Kamatni list – preduzeća „Alfa“
Znak Iznos Dan
Dospijeća
-
+
-
-
-
+
-
-
-
+
-
+
+
-
-
-
264.540
200.000
64.540
308.600
373.140
358.200
14.940
153.260
168.200
95.800
72.000
400.000
327.600
352.750
205.150
4.732 47
Broj
dana
Kamatni brojevi
Duguje Potražuje
31.XII.07 56 148.142
25.II.08. 44 28.398
10.IV.08. 10 37.314
20.IV.08. 15 2.241
5.V.08. 23 38.686
28.V.08. 21 15.204
18.VI.08 2 6.552
20.VI.08.
do 30.VI.
6% kamata
10 20.515 283.948
- 209.882
47
47
53
209.930 Saldo
30.VI.08.
181 290.500 290.500
165

U drugu rubriku kamatnog lista – „dolje“, upisuje se iznos 308.600 sa
znakom minus (jer predstavlja ) dugovanje. Zatim se obavlja operacija
oduzimanja negativnih brojeva: (- 64.540) + (- 308600) = - 373.140.
Rezultat se upisuje u treću rubriku – „gore“. U istu rubriku – „dolje“
upisuje se slijedeći iznos: + 358.200, koji predstavlja potraživanje.
Kad se obavi računska operacija: - 373.140 + 358.200 = - 14.940,
rezultat se upisuje u četvrtu rubriku – „gore“. Zatim se u istu rubriku –
„dolje“ upisuje slijedeći iznos (- 153.260) i vrši obračun:
(- 14.940) + (- 153.260) = - 168.200 koji se upisuje u petu rubriku –
„gore“. Ova procedura se na isti način obavlja sve do upisa
posljednjeg iznosa (- 352.750) u odgovarajućoj rubrici – „dolje“. Kad
se obavi obračun u ovoj rubrici dobit će se iznos (- 205.150) koji
pretstavlja saldo dugovanja – potraživanja poslova u periodu 1.I.08. –
30.VI.08., za koji treba izračunati kamatu.
Dan dospijeća, nakon prvog, koji hronološki slijedi upisuje se u
drugoj, trećoj, ... rubrici – „gore“ pored rezultata obračuna prethodne
rubrike.
Broj dana računa se od prethodnog dana dospjeća do slijedećeg i
upisuje u rubrici „slijedećeg dana dospijeća – „gore“.
Na primjer u drugoj rubrici – „gore“ upisan je iznos (- 64.540) koji se
ukamačuje za broj dana od 31.X.07. do 25.II.08. – što iznosi 44 dana.
Ovaj podatak se upisuje u drugoj rubrici – „gore“.
U nastavku utvrđivanja broja dana postupa se na isti način sve do
zadnje stavke.
Broj dana za saldo dugovanja – potraživanja računa se od zadnjeg
dana dospijeća do dana zaklljučka.
Nakon određivanja broja dana računaju se kamatni brojevi za sve
iznose koji se ukamaćuju i unose u rubriku kamatnih brojeva
duguje/potražuje zavisno od toga da li su dugovni ili potražni. Ovo se
odnosi i na saldo dugovanja – potraživanja. Kamatni broj za njega je
(205.150 · 10) : 100 = 20.515
Ovaj kamatni broj upisuje se u rubrici „dugovni“ jer iznos (- 205.150)
predstavlja dugovanje.
166

U nastavku treba naći prvo zbir kamatnih brojeva dugovne i potražne
strane a zatim saldo kamatnih brojeva. Dobit će se
S D = 290.500, S P = 6.552, S D > S P
d KB = S D – S P = 290.500 – 6.552
d KB = 283.948
Saldo kamatnih brojeva upisuje se radi izravnavanja u rubriku
potražnih kamatnih brojeva jer ih je manje.
Sad treba izračunati kamate koje odgovaraju saldu kamatnih brojeva
d KB po stopi p = 6%.
dKB
K = , D(p) = D(6) = 6.000
D :100
(p)
K = 283.948 = 4.732,47
60
K = 4.732,47 KM
Iznos kamata upisuje se u rubrici kamatnog lista u kojoj je već zapisan
saldo dugovanje – potraživanje – „dolje“ sa naznakom 6% kamata.
Kad se obavi obračun ove rubrike
(- 205.150) + (- 4.732,47) = - 209.882,47
otvara se nova rubrika u koju se upisuje dobiveni rezultat – „gore“.
U istu rubriku – „dolje“ upisuju se troškovi posla C p = 47,53 sa
znakom minus tj. (-) jer predstavljaju dugovanje! Konačno vršimo
obračun za ovu – posljednju rubriku kamatnog lista
(- 209.882,47) + (- 47,53) = 209.930
Dobiveni iznos predstavlja saldo tekućeg računa na dan zaključka
30.VI.08.
Paralelno sa ovim obračunom vrši se obračun broja dana i kamatnih
brojeva čiji se rezultat upisuje kako je prikazano.
Sada se kamate, troškovi posla i dobiveni saldo upisuje u tekući račun
i zaključuje se!
167

14. RAČUN DEVIZA
Pojam devize vezan je za međunarodni platni promet kada se poslovni
partneri nalaze u dvije različite države. U okviru poslovnog procesa
koji povezuje partnere nastaju dugovanja i potraživanja.
Na primjer domaće preduzeće koje je izvezlo neku robu u drugu
državu ima potraživanje u toj državi, dok njegov partner ima
dugovanje. U sličnoj situaciji nalazi se domaće preduzeće koje je
uvezlo neku robu u drugoj državi.
Nastala dugovanja (potraživanja) podmiruju se u valuti države u kojoj
su nastala.
Tokom razvoja međunarodnog platnog prometa za podmirivanje
nastalih dugovanja i potraživanja u praksu su uvedena, pored strane
valute – gotovog novca, i različita druga sredstva plaćanja. Primjenom
drugih sredstava plaćanja izbjegava se potreba transfera velikih
količina strane valute (gotovog novca) čime se obezbjeđuje sigurnost i
ubrzanje platnog prometa i odgovarajućih poslovnih procesa.
U širem smislu gledano pojam devize možemo shvatiti kao instrument
plaćanja u međunarodnom prometu koje nastaju na osnovu
potraživanja u inostranstvu. Devize možemo shvatiti kao svako strano
platežno sredstvo.
U užem smislu gledano devize kao sredstvo plaćanja mogu imati oblik
mjenice, čeka, kreditnog pisma, uputnice, naloga i tako dalje. Pored
njih devize predstavljaju i sve strane konvertibilne valute.
Devize, pored sredstava plaćanja, predstavljaju predmet kupovine i
prodaje.
Kupovina i prodaja deviza obavlja se u Centralnoj banci pojedinih
država i u poslovnim bankama koje imaju takvo ovlaštenje, kao i na
berzama u sredinama u kojima su one organizovane. Promet deviza
obavlja se na osnovu kursa koji se sedmično objavljuje.
168

Kurs ili tečaj deviza je vrijednost devize izražena u domaćem novcu
(valuti).
Kurs devize zavisi od više faktora i to:
- Valutni paritet,
- Rok plaćanja. Devize sa ranijim dospijećem imaju veću
vrijednost – skuplje su od onih sa kasnijim rokom plaćanja.
Razlog tome su kamate koje se obračunavaju po određenoj
stopi za cio period kašnjenja a koje se odbijaju od
nominalne vrijednosti devize.
- Mjesto plaćanja: U velikim poslovnim centrima devize su
skuplje (Munhen, Pariz, London,....), dok su u manjim
mjestima jeftinije.
- Kamatna stopa zemlje u kojoj se deviza realizuje.
- Ponuda i tražnja.
- Sigurnost dužnika: Ako dužnik u stranoj zemlji ima
reputaciju slabije sigurnosti, kurs devize biće manji.
Ako se za devizu objavljuje kurs na listi koju objavljuje Centralna
banka, kao i poslovna banka, onda se kaže da je deviza notirana.
Zapravo, notiranje devize znači objavljivanje njene vrijednosti na
kursnoj listi u odnosu na domaću valutu. Kurs devize objavljen na
kursnoj listi se prvenstveno odnosi na vrijednost strane valute.
Međutim, u širem smislu, on se odnosi na druga sredstva plaćanja
(ček, mjenica, kreditno pismo,...) jer njihova nominalna vrijednost
predstavlja određeni iznos strane valute.
Obzirom na način iskazivanja notiranje može biti direktno i
indirektno.
U slučaju direktnog notiranja kurs devize određuje koliko jedinica
domaće valute treba dati za 1 ili 100 jedinica strane valute.
Na primjer, prema kursnoj listi od 09.01.10.
- za 1 EURO treba dati 1,95583 KM, (srednji kurs)
- za 1 ₤ treba dati 2,189199 KM, (srednji kurs)
- za 100 mađar.forinti treba dati 0,726076 KM, (srednji
kurs)
- za 100 jena treba dati 1,466579 KM, (srednji kurs)
169

Kod ovakvog notiranja broj jedinica strane valute (1 ili 100) je fiksan
a broj jedinica domaće valute je promjenjiv.
Direktno notiranje primjenjuje se u glavnom u svim državama svijeta.
U slučaju indirektnog notiranja kurs devize pokazuje koliko se
jedinica strane valute dobije za jednu jedinicu domaće valute.
Indirektno notiranje primjenjuje se u Velikoj Britaniji, Evropskoj uniji
i SAD.
Na primjer, prema kursnoj listi od 09.01.10., srednji kurs
- za 1 funtu sterlinga dobije se 2,189199 KM
- za 1 funtu sterlinga dobije se 1,119319 €
- za 1 funtu sterlinga dobije se 1,597605 $
- za 1 funtu sterlinga dobije se 9,144296 norveških kruna
- za 1 funtu sterlinga dobije se 8,141736 kuna
Kod indirektnog notiranja broj jedinica domaće valute (jedna) je
fiksan a broj jedinica strane valute je promjenjiv.
Prema roku plaćanja (dospjeća) notiranje deviza može biti „a vista“ –
oznaka a.v. ili terminski – oznaka ter. (rok dospijeća).
Notiranje „a vista“ znači da je deviza plativa odmah. Ako se radi o
drugim sredstvima plaćanja to znači da se za njih odmah dobija
odgovarajući iznos strane valute. Za sve valute iznesene na kursnoj
listi podrazumjeva se da je notiranje „a vista“ – što znači da se u
slučaju prometa (kupovina, prodaja) plaćanje vrši odmah.
Terminsko notiranje znači da je deviza plativa ne odmah već nakon
određenog ugovorenog roka (broj mjeseci, dana, određeni datum u
narednom periodu). Ovo se u glavnom odnosi na druga sredstva
plaćanja čija će sadašnja nominalna vrijednost opasti zbog odgode
plaćanja za određeni period vremena na koji se računa kamata koja će
se oduzeti od odgovarajuće naznačene vrijednosti u stranoj valuti.
Stepen opadanja vrijednosti devize u slučaju terminskog plaćanja je
veći ako je period od odgode duži. Razumljivo, stepen opadanja će se
smanjiti ako dođe do skraćivanja perioda odgode plaćanja.
170

U okviru računa deviza javlja se problem reduciranja kurseva deviza.
Ovaj problem nastaje kada treba odrediti kurs jedne devize sa
poznatim rokom dospijeća prema kursu druge devize koja ima drugi
kurs plaćanja!
PRIMJER 1. 13
Kupuje se deviza Štokholm u Sarajevu. Kurs devize a vista je
0,191270 KM za jednu švedsku krunu (šv.k.). Koliki će biti kurs te
devize valuta 4 mjeseca ako je kamatna stopa p = 2,5
Ovdje se radi o direktnom notiranju. Treba izračunati kamate na kurs a
vista za n = 4 mjeseca po stopi p = 2,5 i oduzeti ga od njega.
K =
G ⋅ p ⋅ n
1200
0, 191270 ⋅ 4 ⋅ 2,5
=
=
1200
0,015939 KM
Kurs šv.k. val. 4 mjeseca = 0,191270 – 0,015939
Kurs šk.k. val. 4 mjeseca = 0,175231 KM
Ako želimo kupiti 25.000 šv.k. val. 4 mjeseca onda za njih treba platiti
0,175231 · 25.000 KM = 4.380,775 KM
PRIMJER 2.
Oslo valuta tri mjeseca notira u Zirihu 1,466684. Koliko će notirati
Oslo a vista ako je p = 4
Iskaz „Oslo valuta tri mjeseca notira u Zirihu 1,466684“ znači da će za
tri mjeseca kurs norveške krune (n.k.) u Zirihu biti 0,179531 šv.f.
(šv.f. – švajcarski franak). Treba odrediti kurs te devize a vista – u
sadašnjem trenutku. Ovdje se radi o direktnom notiranju.
Treba izračunati kamate na kurs val tri mjeseca (n = 3) po stopi p = 4 i
dodati ih tom kursu – jer se skraćuje period dospijeća!
K = G ⋅ n ⋅ p 1,466684 ⋅ 3 ⋅
= 4 = 0,014666
1.200 1.200
13 Ovaj i slijedeći primjeri su hipotetički primjeri.
171

Kurs (n.k.) a vista = 1,466684 + 0,014666 = 1,481350 šv.f.
Vrijedi pravilo: Pri reduciranju kurseva od kraćeg na dulji rok kamate
za oduzimanje od postojećeg kursa. Pri reduciranju kurseva od duljeg
na kraći rok kamate se pribrajaju (dodaju) postojećem kursu!
PRIMJER 3.
Kako će notirati deviza Tokio val 2 mjeseca ako je deviza Tokio a
vista u Frankfurtu 132,410 a p = 4
Izraz „deviza Tokio a vista u Frankfurtu je 132,410“ znači da se za
1 EURO u Frankfurtu dobije 132,410 jena.
Po tome ovdje se radi o indirektnom notiranju.
Treba izračunati kamate na postojeći kurs a vista za n = 2 mjeseca po
stopi p = 4 i pribrati ih tom kursu. To je zbog toga što će 1 EURO u
Frankfurtu za dva mjeseca biti skuplji nego danas, pa za njega treba
dati više jena (jen gubi na vrijednosti)!
K = G ⋅ n ⋅ p 132,41 ⋅ 2 ⋅
= 4 = 0,883
1.200 1.200
Jedan EURO val 2 mjeseca = 132,410 + 0,883 = 133,293
Za dva mjeseca kurs EURA prema jenu će biti
1€ = 133,293 jena
PRIMJER 4.
Koliko u Londonu stoji 6.000 američkih dolara ($) val 5 mjeseci ako
deviza Njujork val 9 mjeseci notira u Londonu 1,567650 a p = 25%
Ovdje se radi o indirektnom notiranju. Iskaz „Njujork val 9 mjeseci
notira u Londonu 1,567650 znači da se u Londonu nakon 9 mjeseci za
jednu funtu sterlinga dobije 1,567650 američkih dolara, tj.
1₤ = 1,567650 $.
Prvo ćemo odrediti kurs dolara u Londonu val 5 mjeseci. Vidljivo je,
da je period plaćanja skraćen za 4 mjeseca. Treba izračunati kamate na
kurs val 9 mjeseci – tj. 1,567650 za period n = 4 mjeseca po stopi
172

p = 25. Izračunati kamate zatim se oduzimaju od kursa val 9 mjeseci
jer je vrijednost funte opala a dolara porasla!
K = G ⋅ n ⋅ p 1,567650 ⋅ 4 ⋅
= 25 = 0,130637
1.200 1.200
Kurs dolara val 5 mjeseci = 1,567650 – 0,130637
Kurs dolara val 5 mjeseci = 1,437010
Ovo znači da u Londonu val 5 mjeseci vrijedi
1₤ = 1,437010 $
Sad treba izračunati koliko u Londonu stoji (košta) 6.000 američkih
dolara.
Iz dobivenog kursa se jednostavno dobiva da je
1
1$ = ₤
1,437010
Slijedi:
1
6.000 $ = 6.000 · ₤
1,437010
G ⋅ n ⋅ p 1,466684 ⋅ 3⋅
4
6.000 $ = 4.175,337 =
= 0, 014666
1200 1200
Zaključak: 6.000 američkih dolara val 5 mjeseci u Londonu stoji
4.175,337 funti.
Do ovog zaključka može se doći i putem verižnika. Označimo sa x
vrijednost 6.000 dolara u Londonu val 5 mjeseci
x
1,437010
6.000 $
1₤
6.000$*1£
x = = 4.175,337£
1, 437010$
Vrijedi pravilo: Pri indirektnom notiranju – kad se kurs reducira sa
kraćeg na dulji rok kamate se sabiraju, a pri reduciranju od duljeg na
kraći rok kamate se odbijaju od postojećeg kursa.
173

PRIMJER 5.
U Sarajevu je 6.I.t.g. kupljena deviza nominalne vrijednosti 385.600
šv.f. sa dospijećem 15.II.t.g. Koliko treba platiti konvertibilnih maraka
(KM) za tu devizu ako deviza Sarajevo val. 60 dana notira u Zirihu
0,757478 šv.f. – a kamatna stopa je p = 0,5%.
Prema uslovu problema kurs KM val. 60 dana u Zirihu je 0,757478
šv.f., tj.1 KM = 0,757478 šv.f. pa se radi o indirektnom notiranju.
Treba odrediti kurs KM na dan 15.II.t.g.! Kako od 6.I.t.g. do 15.II.t.g.
ima 40 dana to kurs KM treba reducirati za 60 – 40 = 20 dana.
Znači, potrebno je izračunati kamate na kurs 0,757478 za n = 20 dana
po stopi p = 0,5. Dobiveni iznos kamata se dodaje datom kursu jer se
period plaćanja skraćuje, tj.KM dobiva na vrijednosti a šv.f. gubi.
K = G ⋅ n ⋅ p 0,757478 ⋅ 0,5 ⋅
= 20 = 0,000210
36.000 36.000
Kako je: 0,757478 + 0,000210 = 0,757688 to je kurs KM prema šv.f.
na dan 15.II.
1 KM = 0,757688 šv.f.
Odavde slijedi
1
1 šv.f. = KM
0,757688
1 šv.f. = 1,319804 KM
Vrijednost kupljene devize na dan 15.II.t.g. je
x = 385.600 · 1,319804 KM = 508.916,42 KM
Određivanje vrijednosti deviza pomoću verižnika. Neka je x vrijednost
devize.
x
385.600 šv.f.
1 šv.f. 1,319804
174

x =
385.600šv.f ⋅1,319804KM
1šv.f .
x = 508.916,42 KM
Izvršit ćemo poređenje: neka je y vrijednost kupljene devize val 60
dana. Slijedi
y = 385.600 · 1,320170 KM
y = 509.057,55 KM
Vidi se da je y > x jer je vrijednost devize izražena u KM porasla zbog
skraćenja roka plaćanja – usljed kojeg je opao kurs šv.f. prema KM.
Napomena:
prema uslovu zadatka kurs KM u Zirihu je: 1 KM = 0,757478 šv.f.
odakle slijedi da je 1 šv.f. = 1,320170 KM.
PRIMJER 6.
Poznato je slijedeće: (a) Pariz val 3 mjeseca notira u Zirihu 1,4743,
p = 4 i (b) Pariz val 2 mjeseca notira u Zagrebu 7,5775, p = 5. Odrediti
kurs devize nominalne vrijednosti 12.860 šv.f. u Zagrebu val
4 mjeseca ako je p = 3.
Ovdje, prvo, za slučajeve a) i b) treba odrediti kurs deviza a vista.
Kako se skraćuje rok plaćanja, a u pitanju je direktno notiranje,
izračunate kamate treba pribrati datom kursu.
a) U Zirihu
1€ val 3 mjeseca = 1,4743 šv.f., p = 4
K =
1, 4743šv.f. ⋅4⋅3
= 0,014743 šv.f.
1.200
175

Kako je:
1,4743 + 0,014743 = 1,489043 biće
1€ a.v. = 1,489043 šv.f. ...(1)
b) U Zagrebu
1€ val 2 mjeseca = 7,5775 KN, p = 5
K = 7,5775KN ⋅ 2 ⋅ 5 = 0,063146KN
1.200
Kako je: 7,5775 + 0,063146 = 7,640646
1€ a.v. = 7,640646 KN ...(2)
Da bi odredili kurs devize date nominalne vrijednosti u Zagrebu
prethodno odrediti kurs šv.f. a.v. u Zagrebu.
Iz jednakosti (1) i (2) dobiva se
1,489043 šv.f. = 7,640646 KN
1 šv.f. = 5,131246 KN
Odredit ćemo kurs šv.f. u Zagrebu pomoću verižnika. Posmatramo
jednakosti
1€ = 1,489043 šv.f.
1€ = 7,640646 KN
1 šv.f. = x KN
x
1,489043 šv.f.
1€
1 šv.f.
1€
7,640646 KN
176

1 šv.f. ⋅1euro ⋅7,640646KN
x =
1,489043 šv.f. ⋅1euro
x = 5,131246 KN
Dobili smo da je
1 šv.f. a.v. u Zagrebu = 5,131246 KN
Treba odrediti kurs val 4 mjeseca ako je p = 3. Ovdje se dobivene
kamate odbijaju od kursa a viza!
K =
5, 131246 ⋅ 3⋅
4
=
1200
0,051312 KN
Kako je: 5,131246 – 0,051312 = 5,079934 biće
1 šv.f. val. 4 mj. = 5,079934 KN
Vrijednost date devize u Zagrebu izražena u kunama (KN)
y = 12.860 šv.f. = 12.860 · 5,079934 KN
y = 65.327,951 KN
177

15. RAČUN ZLATA I SREBRA
U plemenite metale ubrajaju se zlato, srebro i platina.
Zlato i srebro dolaze u trgovački promet u nekovano u obliku poluga
ili kao kovano u obliku kovanog novca.
Upotreba plemenitih metala je raznovrsna. Najviše zlata i srebra
(kovanog i nekovanog) kupuju emisione banke i služi im kao podloga
za izdate novčanice. Pored toga kovanim i nekovanim zlatom vrše se
plaćanja i međunarodnom prometu. Sem navedenog zlato i srebro se
koriste za izradu raznih ukrasnih predmeta i nakita.
Čisto zlato i srebro nisu pogodni za izradu raznih predmeta jer su
relativno mekani, pa se tokom vremena oni istroše i time gube na
vrijednosti. Zato se za izradu predmeta zlato i srebro mješaju (legiraju)
sa drugim tvrdim metalima a najčešće sa bakrom.
Težina zlata i srebra zajedno sa primjesom zove se bruto težina (težina
legure). Sadržina čistog zlata i srebra u odgovarajućim legurama čini
neto težinu (čista težina). Isto se odnosi i na predmete izrađene od
zlata i srebra.
Odnos između neto i bruto težine zlatnih/srebrenih predmeta zove se
finoća zlata odnosno srebra. Drugim riječima finoća je omjer težine
legure i težine čistog plemenitog metala u jednom zlatnom ili
srebrenom predmetu.
Finoća se mjeri (izražava) u promilima i u karatima.
Finoća u promilima izražava (pokazuje) koliko jedinica čistog zlata
(srebra) ima u 1.000 jedinica smjese (legure). Na primjer finoća zlata
935 znači da u 1000 težinskih jedinica smjesa ima 925 težinskih
jedinica iste vrste čistog zlata. Vezano za ovaj primjer kažemo „finoća
je 935 promila“ i pišemo – 935 %o.
Pored ovog metričkog izražavanja finoća zlata se izražava i u
karatima.
178

Finoća zlata izražena u karatima pokazuje koliko težinskih jedinica
čistog zlata ima u 24 težinskih jedinica iste vrste smjese.
Ako npr. u 24 jedinice smjese ima 18 odnosno 22 jedinice čistog zlata
onda to zlato ima finoću 18 karata, odnosno 22 karata.
Analogno engleskoj mjeri za težinu jedinica finoće od 1 karata se
dijeli na 4 grejna. Dakle, 1 karat = 4 grejna, 1 grejn = 0,25 karata.
Finoća srebra se izražava u penivejtima.
Finoća srebra u penivejtima pokazuje koliko težinskih jedinica čistog
srebra ima u 240 težinskih jedinica smjese. Na primjer, finoća srebra
od 210 penivejta znači da se u 240 jedinica smjese nalazi 210 jedinica
čistog srebra.
Finoća srebra od 1 penivejta dijeli se na 24 grejna.
1
Dakle, 1 penivejt = 24 grejna, 1 grejn = penivejta.
24
Finoća zlata (srebra) izražena u promilima može se pretvoriti u finoću
izraženu u karatima, odnosno penivejtima. To se postiže računom
proporcija.
PRIMJER 1.
Finoća zlata je 750 %o. Kolika je finoća izražena u karatima.
Označimo sa x finoću u foratima.
Obzirom na definiciju finoća izražena u promilima, odnosno u
karatima, može se postaviti proporcija.
750 : 1.000 = x : 24
750 ⋅ 24
x = = 18 karata
100
Finoći zlata od 750 %o odgovara finoća od 18 karata.
179

PRIMJER 2.
Finoća zlata je 20 karata. Izrazite tu finoću u promilima.
Neka je x finoća zlata u promilima
x : 1.000 = 20 : 24
1.000⋅20
x= = 833⅓ %o
24
Finoća zlata od 20 karata odgovara finoća od 833⅓ %o.
U slučaju srebra prevođenje finoće iz jednog u drugi oblik obavlja se
na isti način!.
PRIMJER 3.
Finoća srebra je 900 %o. Kolika je finoća izražena u penivejtima.
Neka je x finoća u penivejtima
x : 240 = 900 : 1.000
x =
240⋅900
1.000
= 216 penivejta
Na isti način se pokazuje da je finoća srebra od 144 penivejtima
ekvivalentna finoći 600 %o.
U Velikoj Britaniji zlato finoće 22 karata se tretira kao standardno
zlato, a srebro finiće 222 penivejta tretira se kao standardno srebro.
Radi jednostavnosti izlaganje možemo skraćeno kazati: standardna
finoća zlata je 22 karata, a standardna finoća srebra je 222 penivejta.
Standardna finoća zlata od 24 karata ekvivalentna je finoći 916⅔ %o.
Standardna finoća srebra od 222 penivejta je ekvivalentna finoći
920 %.
U Velikoj Britaniji standardno zlato se koristi za izradu kovanog
novca.
Ako je finoća zlata, odnosno srebra, veća od standardne finoće
(22 karata odnosno 222 penivejta) za takvo zlato (srebro) uvedena je
oznaka B (better = bolji).
180

U slučaju kad je finoća zlata odnosno srebra manja od standardne
finoće za takvo zlato (srebro) uvedena je oznaka W (vorse = lošiji).
Ove oznake utiskuju se na odgovarajuće komade zlata (srebra), a
takođe i na ukrasne predmete i nakit izrađen od takve vrste zlata
(srebra). Zajedno sa oznakama B ili W na predmetu se utiskuje i
podatak za koliko karata odnosno penivejta je finića korištenog zlata
(srebra) veća odnosno manja od standardne finoće.
PRIMJER 4.
Objasniti značenje oznaka (B 1,,3) i (W 2,,2) utisnutih na nekom
ukrasnom predmetu!
(1) Oznaka (B 1,,3) znaći da korišteno zlato ima finoću koja je za
1 karat i 3 grejna veća od standardne finoće zlata od 22 karata - K
Korišteno zlato ima finoću
22 K + (1 K + 3 grejna) = 22 K – 1 K + 3 ∙ 0,25 K = 23,75 K
Lako se pokazuje da finoća ovog zlata izražena u promilima iznosi
989,58 %o > 916⅔ %o.
(2) Oznaka (W 2,,2) kazuje da upotrebljeno zlato ima finoću koja je za
2 karata i 2 grejna manja od standardne finoće.
Korišteno zlato ima finoću
22 K – (2 K + 2 grejna) = 22 K – 2 K – 2 ∙ 0,25 K = 19,5 K
Izraženo u promilima korišteno zlato ima finoću 821,5 %o < 916⅔ %o!
PRIMJER 5.
Srebreni predmet ima oznaku (W 7,,18). Objasniti njeno značenje.
Oznaka (W 7,,18) kazuje da upotrebljeno srebro ima finoću koja je za
7 penivejta i 18 grejna manja od standardne finoće srebra od
222 penivejta – pwt.
181

Upotrebljeno srebro ima finoću
1
222 pwt – (7 pwt + 18 grejna) = 222 pwt – 7 pwt – 18 ∙ pwt = 24
3
= 215 pwt - pwt = 214,25 pet
4
Izraženo u promilima upotrebljeno srebro ima finoću
892,7 %o < 920 %o!
Ako je poznata ukupna (bruto) težina komada zlata ili zlatnog
predmeta i odgovarajuća finoća tada se može odrediti težina čistog
zlata sadržanog u njemu!
Označit ćemo sa x težinu čistog zlata
(1) Finoća izražena u promilima
Neka je q ukupna težina i finoća a %o
Vrijedi proporcija
x : q = a : 1.000
qa ⋅
a = težinskih jedinica
1.000
Problem se rješava i putem verižnika
x
q tež.j.
1.000 tež.j.
a tež.j.
x =
qa ⋅
1.000
tež.j.
(2) Finoća izražena u karatima
Neka je finoća b karata
Proporcija
x : q = b : 24
q ⋅ b
x = karata
24
Može se koristiti i verižnik
182

PRIMJER 6.
Koliko čistog zlata izraženo u trojlibrima (trlb) sadrži predmet čija je
težina 900 grama ako je njegova finoća izražena oznakom (B 1,,1)
Ovdje je
q = 900 grama.
Zna se da je
1 trlb = 373,242 grama.
Finoća zlata upotrebljenog zlata je
22 K + (1 K + 1 grejn) = 22 K + 1 K + 1 ∙ 0,25 K = 23,25 K
Proporcija
x : 900 grama = 23,25 K : 24 K
900 grama ⋅ 23,25 K
x = = 290,625 grama
24K
Težina čistog zlata u gramima je
x = 290,625 grama.
Treba je izraziti u trlb! Verižnik:
x
290,625 grama
373,242 grama
1 trlb
373,242 grama ⋅1trlb
x = = 0,77865 trlb
290,625 grama
PRIMJER 7.
Centralna banka je kupila 4,5 kg zlata finoće 840 K. Koliko
konvertibilnih maraka je plaženo za to zlato ako je poznato slijedeće:
cijena 1 kg čistog zlata je c = 20.769 KM, stopa provizije je 1,2 %o i
administrativni troškovi posla su 120 KM:
Treba izračunati trošak kupovine 4,5 kg zlata a zatim u odnosu na
dobiveni iznos odrediti proviziju obračunatu po stopi 1,2 %o.
Sabiranjem troškova kupovine zlata, iznosa provizije i
administrativnih troškova posla dobit će se ukupna suma KM kojom je
plaćeno nabavljeno zlato.
183

(1) Težina čistog zlata
x : 4,5 = 840 : 1.000
x = 3,78 kg
Trošak kupovine zlata = c ∙ 3,78 kg
Trošak kupovine = 20.769 KM / kg ∙ 3,78 kg
Trošak kupovine = 78.506,82 KM
(2) Iznos provizije
Stopu provizije izraženu u promilima treba prevesti u procente.
Pravilo:
Promili se prevode u procente dijeljenjem sa 10, obrnuto – procenti se
prevode u promile množenjem sa 10!
Dakle st.pz = 1,2 %o = (1,2 : 10)% = 0,12%
Iznos provizije
P pz =
78.506,82⋅0,12
100
= 94,21 KM
Za kupovinu 4,5 kg zlata finoće 840 Centralna banka je ukupno platila
78.506,82 KM + 94,21 KM + 120 KM = 78.621,03 KM
PRIMJER 8.
Kolika je bruto težina u gramima zlatnog predmeta finoće (W 2,,2)
ako neto težina izražena u trojunzima (troz) iznosi (2,, 15,, 12)!
- Finoća zlata od kojeg je izrađen predmet je :
22 K – (2 K + 2 grosna) = (22 – 2 – 2 ∙ 0,25) K = 19,5 K
- Neto težina predmeta koje predstavlja težinu čistog zlata treba
izraziti u gramima.
Ovdje treba znati da je
1 trojlimbra = 12 trojnuzi = 240 penivejta = 5.760 grena
= 373,242 grama
1 1
1 penivejt = unzi; 1 grent = unzi
20
480
1 unza = 31,1035 grama
184

Označimo težinu čistog zlata sa q a bruto težinu predmeta sa Q
q = troz (2,, 15,, 12)
q = 2 unze + 15 penivejta + 12 grejna
1 1 111
q = (2 + 15 ∙ + 12 ∙ ) unzi = unzi
20 480 40
111
q = ∙ 31,1035 grama
40
q = 86,3122 grama
Bruto težina određuje se iz proporcije
q : Q = 19,5 : 24
q ⋅ 24 86,3122 grama ⋅ 24
Q = =
19,5 19,5
Q = 106,23 grama
Bruto težina se može odrediti i pomoću verižnika
Q
86,3122 grama
19,5
24 K
Q =
86,3122 grama ⋅24 K
19,5 K
= 106,23 grama
PRIMJER 9.
Koliko treba platiti za 10 zlatnika ako je poznato slijedeće: bruto
težina jednog zlatnika je
Q = 15,24 grama, finoća zlata je c = 50.300 KM / kg
Težina čistog zlata u jednom zlatniku - x
x : Q = 900 : 1.000
x = 13,716 grama čistog zlata
U 10 zlatnika koji su predmet kupovine sadržano je čistog zlata
q = 10 ∙ x, tj.
q = 137,16 grama čistog zlata
185

Kako je cijena čistog zlata c = 50.300 KM / 1kg to je 1.000 grama =
50.300 KM, slijedi 1 gr = 50,300 KM.
Za 10 zlatnika treba ukupno platiti
137,16 ∙ 50,3 KM = 6.899,148 KM
Verižnik: x iznos plaćanja za 10 zlatnika
x
137,16 grama
1.000 grama
50.300 KM
x =
137,16⋅50.300KM
1.000
= 6.899,148 KM
186

16. RAČUN AMORTIZACIJE I BONITETA
SREDSTVA
16.1. Pojam i značaj amortizacije
Trošenje stalnih poslovnih sredstava u procesu obavljanja djelatnosti
vrši se postupno i dugotrajno (dulje od jedne godine).
Obezvrijeđivanje stalnih poslovnih sredstava nastaje kao posljedica
tehničkog korištenja stalnog poslovnog sredstva. Tehničko trošenje
građevnih objekata (prodavaonica, robnih kuća, skladišta i sl.) vrši se
polagano dok će se, na primjer, tehničko trošenje vozila za prijevoz
robe vršiti znatno brže. Brzina tehničkog trošenja stalnih poslovnih
sredstava zavisi od vrste stalnog poslovnog sredstva, ali i od stupnja
korištenja, intenziteta korištenja, načina održavanja, kvalitete uporabe
sredstava itd.
Amortizacija stalnih poslovnih sredstava ima naročito dvije zadaće:
a) osigurati nova sredstva za obnavljanje amortiziranih
sredstava, i
b) prenijeti dio sredstava kroz amortizaciju na troškove
poslovanja, a time iskazati trošenje sredstava i smanjenje
njegovih vrijednosti.
Pored tehničkog trošenja (fizičkog trošenja) stalnih poslovnih
sredstava moguće je i ekonomsko trošenje. Ono se očitava u
zastarjelosti stalnog poslovnog sredstva radi napretka znanosti i
tehnike, a što je posljedica zahtjeva kupaca. To je naročito prisutno
kod opreme, mašina, prodavaonica, robnih kuća, samoposluga,
trgovačkih centara i sl. gdje je vijek trajanja dosta dug i u tom duljem
razdoblju dolazi do promjena u organizaciji i načinu prodaje što
zahtjeva dodatna investicijska ulaganja iako postojeći prodajni
kapacitet nije tehnički amortiziran.
Amortizacija predstavlja kalkulacijski dio trošenja stalnih poslovnih
sredstava. S obzirom da amortizacija čini dosta visok trošak u
poslovanju, ona zauzima i značajno mjesto u vođenju politike cijena i
kalkulacijama. Kako nema preciznog mjerenja trošenja stalnih
poslovnih sredstava i kako je teško utvrditi vezu između kretanja
187

obima proizvodnje, prodaje i obima amortizacije, time se dobiva dosta
prostora za vođenje aktivne politike cijena s gledišta troškova
amortizacije.
Amortizacijom se nadoknađuje prenesena ili umanjena vrijednost
stvari ili materijalnih prava koja čine stalna poslovna sredstva
sukladno fizičkim odnosno ekonomskim trošenjem tih stvari i prava.
Iako zakonodavatelj okvirno regulira ovu problematiku, poduzećima
ostaje dosta prostora u vođenju politike amortizacije, kao npr.:
- koje će koristiti metode za obračun amortizacije,
- koje će načine obračunavanja i nadoknađivanja amortizacije
primijeniti,
- hoće li primjenjivati propisane zakonske stope ili će koristiti
povećane stope,
- hoće li obračun amortizacije za određena sredstva vršiti
pomoću degresivnih ili progresivnih stopa,
- hoće li amortizaciju sredstava vršiti učinkom koji se
upotrebom tog sredstva ostvaruje,
- hoće li amortizaciju vršiti pojedinačno za svako sredstvo ili
po skupinama sredstava itd.
16.2. Osnovica za obračun amortizacije
Osnovica za obračun amortizacije je nabavna vrijednost koja se
pojedinačno utvrđuje za svako stalno poslovno sredstvo.
Za građevne objekte (prodavaonice, robne kuće, skladišta, upravne
zgrade i sl.) osnovicu za obračun amortizacije čine izdaci za njihovu
kupovinu, izgradnju ili dogradnju, s tim što se uključuju i sljedeći
izdaci:
- izdaci za projektnu i drugu dokumentaciju,
- izdaci za pripremu terena za radnju (čišćenje, iskopi, drenaža
itd.),
-izdaci za uređenje terena i priključenje na vodovod, PTT
instalacije, kanalizaciju, elektroinstalaciju itd.
188

Za opremu i mašine osnovicu za obračunavanje amortizacije čine
izdaci za njenu kupovinu ili izradu, s tim da se dodaju izdaci:
- izdaci za projektnu dokumentaciju,
- izdaci za prijevoz opreme, kao i troškove za njezin utovar,
istovar i osiguranje transporta,
- izdaci za montažu opreme,
- izdaci vezani uz nabavku opreme (carina, uvozne pristojbe,
PDV i sl.),
- izdaci za rezervne dijelove (ako rezervni dijelovi ne opterećuju
redovne troškove poslovanja) itd.
Za nematerijalna ulaganja osnovicu za otpis čine svi izdaci koji se
mogu pripisati tom nematerijalnom stalnom sredstvu.
Osnovica za obračun amortizacije se povećava na više načina, a
naročito:
- povećanjem osnovice za obračun amortizacije po osnovi
revalorizacije vrijednosti, i
- povećanjem osnovice za obračun amortizacije po osnovi
rekonstrukcije, adaptacije, modernizacije i druge dogradnje.
Nakon izmjene osnovice vrijednosti stalnog poslovnog sredstva,
obračun amortizacije se vrši primjenom propisane stope amortizacije
na novu osnovicu, odnosno novu vrijednost poslovnog sredstva.
Pored termina nabavna vrijednost i amortizacija, koristi se i termin
sadašnja vrijednost stalnog poslovnog sredstva. Sadašnja vrijednost se
dobije kada se nabavna vrijednost umanji za amortizaciju (redovnu i
revaloriziranu) i poveća za revalorizaciju. U stabilnim uvjetima
poslovanja (bez inflacije i primjene revalorizacije) sadašnja vrijednost
se dobije kad od nabavne vrijednosti odbijemo amortizaciju.
189

16.3. Način obračuna amortizacije
Način obračuna amortizacije treba što više odražavati intenzitet
trošenja stalnih poslovnih sredstava. Na taj način postižemo:
- adekvatno opterećenje troškova poslovanja stvarnim
trošenjem sredstava, i
- realno osiguranje sredstava za blagovremeno nabavljanje
novog sredstva.
Ostvariti ove principe je dosta teško i složeno jer je duljina otpisa
sredstava je dosta velika, pa je teško procijeniti i planirati amortizaciju
u duljem vremenskom razdoblju.
Postoje tri moguća načina obračuna amortizacije:
a) proporcionalna metoda,
b) degresivna metoda, i
c) funkcionalna metoda.
a) Proporcionalna metoda polazi od jednakih godišnjih kvota u
procijenjenom vijeku trajanja sredstva.
PRIMJER 1.
Nabavna vrijednost = 600 KM
Stopa amortizacije = 5%
Izračunaj: vijek trajanja i godišnju amortizaciju
100 100
Vijek trajanja =
= =
Stopa amortizacije 5
Godišnja amortizacija
20 godina
= Nabavna vrijednost × Stopa amortizacije 600 × 5
= = 30 KM
100
100
ili
Nabavna vrijednost 600
Godišnja amortizacija = = = 30 KM
Vijek trajanja 20
190

Proporcionalna metoda obračuna amortizacije polazi od pretpostavke
da se sredstvo troši ravnomjerno u cijelom vijeku trajanja neovisno od
intenziteta korištenja ili obima prometa.
b) Degresivna metoda obračuna amortizacije polazi od toga da se u
prvoj godini korištenja sredstva, obračuna najveća amortizacija i da se
ona smanjuje do kraja vijeka trajanja sredstva. Ova metoda polazi od
pretpostavke da je sredstvo u prvoj godini korištenja najbolje i da daje
najbolji efekt upotrebe, njegova efikasnost s duljinom korištenja
opada.
c) Funkcionalna metoda obračuna amortizacije polazi od trošenja
sredstva sukladno obimu korištenja. U poduzećima ovu metodu je
moguće primjenjivati naročito kod amortizacije transportnih sredstava
- kamiona. Ona polazi od toga da se amortizacija veže uz pređene
kilometre.
PRIMJER 2.
Nabavna vrijednost vozila = 500.000 KM
Vijek trajanja u km = 100.000 km
Obračun amortizacije za 1 km:
Nabavna vrijednost 500.
000
= = 5 KM za 1 km
Vijek trajanja u km 100.
000
Amortizacija za vozilo iznosit će 5 KM po jednom pređenom
kilometru.
Svaka od navedenih metoda ima određene prednosti ali i nedostatke.
Moguće je u jednom poduzeću primjenjivati istovremeno jednu, dvije
ili sve tri metode obračuna amortizacije, s tim da se odrede sredstva na
koja će se primjeniti jedna metoda. Nemoguće je istovremeno na
jednom poslovnom sredstvu koristiti dvije metode obračuna
amortizacije.
191

Bez obzira koja se metoda obračuna amortizacije koristila, postoji i
metoda ubrzane amortizacije. Prema njemu koriste se veće stope
amortizacije od zakonski propisanih, što dovodi do:
- ubrzanog otpisa sredstava kroz brže amortiziranje,
- brže obnavljanje poslovnih sredstava,
- povećanje troškova poslovanja, radi povećanja amortizacije,
- smanjenja dobiti i profita preduzeća čime se smanjuju
troškovi poreza i doprinosa u korist države i društva, i
- smanjenja dijela dobiti za raspodjelu (dio za dividende
akcionarima - što može biti i negativno u akcionarskim
poduzećima).
Ubrzana amortizacija u poduzećima postaje vrlo efikasno sredstvo
vođenja ukupne poslovne politike. U svakom slučaju povoljnije je
koristiti ubrzanu amortizaciju u uvjetima gdje je to s gledišta troškova
i prodajnih cijena, odnosno razlike u cijeni, moguće. Prihvatljivije je
kroz ubrzanu amortizaciju povećavati sredstva preduzeća, jer se na
troškove poslovanja (a time i amortizaciju) ne plaćaju državi ili
društvu nikakvi porezi i doprinosi. Do povećanja sredstava moguće bi
bilo doći i manjom amortizacijom što bi povećalo dobit i profit
preduzeća, ali bi na ista sredstva morali platiti odgovarajuću razinu
poreza.
U svakom slučaju ubrzana amortizacija postaje interesantno i efikasno
sredstvo u vođenju ekonomike preduzeća.
16.4. Stopa amortizacije i vijek trajanja
Stopa amortizacije predstavlja procent gubljenja vrijednosti stalnog
sredstva. Vijek trajanja predstavlja broj godina korištenja stalnog
poslovnog sredstva do njegovog amortiziranja. Stvarni vijek trajanja
sredstva može biti dulji, isti ili kraći od planiranog vijeka trajanja, a
što ovisi od kvalitete sredstva, intenziteta korištenja, kvalitete
održavanja, načina upotrebe itd.
Ukoliko sredstvo traje i koristi se isti broj godina koliko je i planirano,
tada imamo osigurana sredstva amortizacije za nabavku novog
192

sredstva, s tim da se korišteno sredstvo otpisuje, jer je tehnički više
neupotrebljivo a i vrijednosno je amortizirano.
U slučaju da sredstvo služi i nakon amortizacije jer je još tehnički
upotrebljivo, tada se ono i dalje normalno koristi, u knjigovodstvenoj
evidenciji se vodi kao jedna novčana jedinica, ali se na isto više ne
obračunava amortizacija.
Ako je sredstvo više neupotrebljivo (iz tehničke ili ekonomske
zastarjelosti) i stavljeno izvan upotrebe, tada se sva preostala
neotpisana vrijednost sredstva (sadašnja vrijednost) prenosi na
izvanredne troškove u tekućoj godini. Na ovaj način, u stvari, se vrši
jednokratan otpis preostale vrijednosti stalnog poslovnog sredstva.
Ukoliko je poznata godišnja stopa amortizacije, vijek trajanja se
izračunava na sljedeći način:
Vijek trajanja =
100
Godišnja stopa amortizacije
Ukoliko je poznat vijek trajanja, godišnja stopa amortizacije se
izračunava na sljedeći način:
Godišnja stopa amortizacije =
100
Vijek trajanja
Zakonskim propisima regulira se način obračuna amortizacije kao i
godišnja stopa amortizacije za pojedina stalna poslovna sredstva, s tim
da se dopušta poduzećima da svojim općim aktima predvide i ubrzanu
amortizaciju od zakonom predviđene.
193

16.5.Bonitet sredstava za rad
Za poduzeće važan je pokazatelj boniteta sredstava za rad koji nam
ukazuje na:
- otpisanost sredstava za rad i
- funkcionalnost sredstava za rad.
Otpisanost sredstava za rad, odnosno tehničku i ekonomsku
zastarjelost sredstava za rad. Ponekad amortiziranosti sredstava za rad
ne odgovara i stvarnoj zastarjelosti sredstava za rad. U slučaju ubrzane
amortizacije moguće je imati potpuno amortizirano sredstvo za rad
iako je njegova uporabna vrijednost još uvijek na zadovoljavajućoj
razini. Često su prisutne i obratne varijante po kojima je sredstvo
dosta tehnički istrošeno, ali ne i knjigovodstveno amortizirano. Za
ekonomimju sredstava za rad pozitivnija je prva varijanta gdje je
primjenjena ubrzana stopa amortizacije.
Funkcionalnost sredstava za rad odnosno sposobnost sredstava za rad
je da uspješno obavljaju radne zadaće.
194

17. MJERENJE TRAJANJA OBRTA
KAPITALA
17.1. Pojavni oblici obrtnih sredstava
Pored stalnih poslovnih sredstava (mašine, zgrade, oprema kamioni i
sl.) svako poduzeće mora raspolagati sa obrtnim sredstvima koji su
ustvari predmet rada (sirovine, repro materijal i sl.) kao i novac i
potraživanje i dr.
Proizvodna poduzeća kupuju sirovine i prerađuju ih u finalne
proizvode koje prodaju na tržištu. one realiziraju slijedeći
reprodukcijski ciklus
NOVAC SIROVINE PROIZVODNJA GOTOVA ROBA NOVAC
Trgovinske firme kupuju već gotove proizvode da bi ih dolje prodali.
Reprodukcijski ciklus u trgovini je sljedeći:
NOVAC GOTOVA ROBA NOVAC
Osnovni cilj svake firme je da dobijeni novac na kraju
reprodukcijskog procesa bude veći od uloženog novca. U tom
slučajupokriveni su svi troškovi poslovanja, a višak se iskazuje u
obliku dobiti iz poslovanja.
Za razliku od stalnih poslovnih sredstava koja se troše postupno i
višekratno, obrtna sredstva se u procesu proizvodnje i prometa troše u
cijelosti i jednokratno.
Obrtna sredstva u poduzeću su sredstva koja neposredno sudjeluju i
utječu na uspješnost u poslovanju, dok stalna poslovna sredstva
pomažu da obrt kapitala bude uspješniji. Posjedovati prodavaonice bez
robe je isto što imati i mrtvi kapital, ali isto tako prodavaonice (stalno
poslovno sredstvo) može značajno doprinijeti uspješnosti prodaje.
Veza između obrtnih i stalnih sredstava postoji i značajan je
međusobni utjecaj. Pomoću obrtnih sredstava stvaramo dobit koju
djelomice ulažemo u nova stalna poslovna sredstva, koja povratno
djeluju na povećanje prometa. Prema tome, nema prometa i obrta bez
195

stalnih poslovnih sredstava, ali isto tako nema novih stalnih sredstava
bez obavljanja prometa.
Koji odnos između obrtnih i stalnih sredstava je optimalan Na to
pitanje nema trajnog odgovora. Odnos se mijenja a zavisi od niza
faktora: vrste preduzeća, veličine preduzeća, poslovne politike,
asortimana, djelatnosti itd. Uvjeti u kojima se obavlja poslovanje
stalno se mijenjaju, pa će se i odnosi morati prilagoditi novonastaloj
situaciji.
Obrtna sredstva iako se stalno transformiraju u pojedinim trenucima
moguimati sljedeće pojavne oblike:
1. u zalihama (sirovine, poluproizvodi, gotovi proizvodi i dr.)
2. u kratkoročnim potraživanjima (od kupaca, od radnika, od
države, dati krediti)
3. u novčanom obliku (novac u blagajni, na žiro-računu,
deviznim računima i sl.)
4. u papirima od vrijednosti (čekovi, mjenice i sl.)
5. u procesu proizvodnje, dorade i sl.
17.2. Mjerenje trajanja obrta
Za poduzeće je vrlo značajno mjerenje trajanja obrta. Taj pokazatelj
ukazuje na uspješnost poslovanja. Što je obrt kapitala od početne do
završne faze vremenski kraći, ukazuje na uspješniji rad, odnosno
ukazuje da se roba brzo nabavlja, brzo prerađuje, brzo prodaje, kratko
zadržava na zalihama i brzo naplaćuje. Time se stvaraju pretpostavke,
uz ostale neizmijenjene okolnosti, za ekonomičnije poslovanje.
Produženje vremena trajanja obrta ukazuje na pogoršanje poslovanja u
onim fazama gdje se produžava vrijeme vezivanja obrtnih sredstava.
Mjerenje trajanja obrta vršimo pomoću:
a) vremenskog trajanja obrta, i
b) koeficijenta obrta.
Vremensko trajanje obrta ukazuje koliko vremenski traje jedan ciklus
obrtanja sredstava. On se obično mjeri brojem dana angažiranja
sredstava. Vremensko trajanje obrta moguće je pratiti ne samo za
196

ukupno poduzeće nego i za pojedine dijelove preduzeća kao i po
vrstama robe.
Vremensko trajanje obrta (V) možemo izračunati ako poznamo
koeficijenta (K) obrta na slijedeći način:
360
V = K
PRIMJER 1.
Koliko je vrijeme trajanja obrta (V) ako je koeficijenta obrta (K)
jednak 5.
360 360
V= = = 72 dana
K 5
Vremensko trajanje obrta u našem primjeru iznosi 72 dana.
Koeficijent obrta predstavlja broj kojim se iskazuje koliko se puta
obrnu obrtna sredstva u jednoj godini. Koeficijent obrta (K) možemo
izračunati ako poznamo vremensko trajanje obrta (V).
PRIMJER 2.
Koliki je koeficijent obrta ako je vrijeme trajanja obrta 72
360 360
K= = = 5
V 72
Koeficijent obrta u našem primjeru je 5, što ukazuje da se u jednoj
godini obrtna sredstva mogu obrnuti 5 puta.
Prilikom analiziranja trajanja obrta interesiraju nas veličine: vrijeme
trajanja obrta (V), potrebna obrtna sredstva (OS) i ukupan prihod (UP)
ostvaren po angažiranju tih obrtnih sredstava. Ukoliko su poznate
dvije veličine, moguće je izračunati treću veličinu koristeći sljedeću
formulu:
V × UP = OS × 360
197

PRIMJER 3.
- vrijeme trajanja obrta (V) = 72 dana
- obrtna sredstva (OS) = 800 KM
- ukupan prihod (UP) = 4.000 KM
a) ako su poznata obrtna sredstva i ukupan prihod, a ne i vrijeme
trajanja obrta, ono se računa:
V= OSx360 = 800x360 = 72dana
UP 4.000
b) ako su poznati ukupan prihod i vrijeme trajanja obrta, pitamo se
kolika nam u tom slučaju trebaju obrtna sredstva:
OS= VxUP = 72x4.000 = 800 KM
360 360
c) ako su poznata obrtna sredstva i broj dana vezivanja pitamo se
koliki ćemo ostvariti ukupan prihod:
UP= OSx360 = 800x360 = 4.000KM
V 72
d) koeficijent obrta možemo izračunati za naš primjer na dva načina:
360 360
K= = = 5 ili
V 72
K= UP = 4.000 = 5
OS 800
Vrijeme trajanja obrta i koeficijent obrta su isto mjerilo iskazano na
dva načina i u funkcionalnoj su vezi.
Što je vrijeme trajanja obrta kraće, koeficijent obrta je veći i obratno
koeficijent obrta će biti manji što se vrijeme trajanja obrta produžava.
Za svako poduzeće je pozitivno da se vrijeme trajanja obrta smanjuje i
time povećava koeficijent obrta uz uvijet da su drugi uvjeti poslovanja
ostali nepromijenjeni.
198

18. MJERENJE LIKVIDNOSTI
Problematika likvidnosti preduzeća dobiva sve veći značaj u tekućem
poslovanju. Likvidnost preduzeća se ogleda u tome da ona raspolaže
istim ili većim obimom novčanih sredstava od visine dospjelih
obveza. Poduzeće izračunava koeficijent likvidnosti (K) pomoću
formule:
K =
novac
dospjele obveze
Koeficijent likvidnosti može biti veći od 1, manji od 1 ili ravan 1.
Ako je koeficijent likvidnosti veći od 1, to ukazuje da poduzeće
raspolaže s više novčanih sredstava nego što su dospjele obveze. Što
je koeficijent veći, to je likvidnost bolja.
Ako je koeficijent likvidnosti manji od 1, to ukazuje da poduzeće ima
veće dospjele obveze od novčanih sredstava. U tom slučaju govorimo
o nelikvidnosti preduzeća. Što je koeficijent manji, to je veća
nelikvidnost, odnosno dospjele obveze su znatno veće od novčanih
sredstava.
Ako je koeficijent likvidnosti ravan 1, to ukazuje da su dospjele obveze
iste visine kao i novčana sredstva, te da se ostvaruje likvidnost
preduzeća.
Iako se likvidnost obično povezuje s kratkoročnim obvezama i
novčanim sredstvima, potrebno je ukazati da je likvidnost složen
pojam i radi brze preobrazbe obrtnih sredstava iz jednog pojavnog
oblika u drugi, problematika likvidnosti se mora promatrati sa šireg
gledišta. Pojedini pojavni oblici obrtnih sredstava mogu neplanirano
značajno pomutiti likvidnost, naglom preobrazbom iz jednog
pojavnog oblika u drugi. Značajan utjecaj na likvidnost mogu imati i
stalna poslovna sredstva i njihovi izvori kao, npr. odljev novčanih
sredstava u investicije, ulaganje u dugoročne osnivačke fondove itd.
199

Radi održavanja likvidnosti preduzeća, potrebno je znati:
a) da je likvidnost vrlo dinamična pojava i da je pod utjecajem
faktora koji se mogu kontrolirati (rokovi naplate, rokovi
plaćanja, obim nabavke i prodaje i sl.), ali i nizom faktora koji
nisu pod kontrolom (prodaja, naplata potraživanja i sl.),
b) da je nedovoljna likvidnost štetna za poduzeće
(nemogućnost novih nabavki, povećane kamate, sudski
troškovi i sl.),
c) da je prevelika likvidnost također štetna za poduzeće
(nedovoljne nabavke, usporen prometni obrt, smanjenost
uposlenosti i iskorištenosti kapaciteta i sl.),
d) da je samo optimalna likvidnost opravdana jer osigurava
izmirenje svih dospjelih obveza uz osiguranje rizika
prikupljanja novčanih sredstava. Ovaj zirik treba biti stručna
ocjena, u konkretnoj situaciji, koliki je rizik da se neće
unovčiti pojedini pojavni oblici planiranih potraživanja u roku
njihovog dospjeća za naplatu (potraživanja od kupaca,
unovčavanje papira od vrijednosti, naplata danih kredita i
drugih potraživanja itd.).
Planiranje likvidnosti treba biti dio stalnih aktivnosti, a naročito
između funkcije nabave, prodaje i financija. Planiranje likvidnosti se
može vršiti dnevno, tjedno, desetodnevno, mjesečno, dvomjesečno,
tromjesečno itd.
Plan likvidnosti treba sadržati za isto vremensko razdoblje:
a) plan novčanih priliva, i
b) plan novčanih odljeva.
U poduzeću obično plan novčanih priliva sadrži:
- početno stanje novčanih sredstava,
- naplatu od kupaca,
- naplatu kredita,
- naplatu drugih potraživanja,
- naplatu pozajmljenih sredstava,
- prijenos novčanih sredstava iz novčanih sredstava fonda
zajedničke potrošnje
- naplatu pogrješno uplaćenih iznosa,
200

- naplatu papira od vrijednosti,
- povrat neutrošenih izdvojenih novčanih sredstava i
akreditiva itd.
Plan novčanih odljeva sadrži:
- plaćanje prema dobavljačima,
- plaćanje obveza po izdanim papirima od vrijednosti,
- plaćanje avansa, depozita i kaucija,
- plaćanje financijskih obveza (kredita i sl.),
- plaćanje poreza i doprinosa,
- plaćanje plaća radnicima,
- vraćanje dospjelih kredita,
- plaćanje unaprijed troškova,
- prijenos novčanih sredstava na novčana sredstva zajedničke
potrošnje,
- povrat pogrješno naplaćenih sredstava,
- uplatu novčanih sredstava na izdvojena novčana sredstva i
akreditive,
- plaćanje osnivačkih ulaganja,
- kupovinu i plaćanje tuđih papira od vrijednosti itd.
Planiranje likvidnosti, ustvari predstavlja planiranje priliva i odljeva
novčanih sredstava za razdoblje koje planiramo. U poduzeću
najznačajnije stavke u priljevu i odljevu novčanih sredstava su:
a) kod priliva novčanih sredstava:
- naplata od kupaca, i
b) kod odljeva novčanih sredstava:
- plaćanje prema dobavljačima,
- plaćanje poreza na promet,
- plaćanje plaća radnicima, i
- plaćanje poreza i doprinosa na osnovi isplate plaće.
Kontrola ostvarenja plana likvidnosti vrši se praćenjem i analiziranjem
ostvarenja plana s gledišta kvantitativnih i kvalitativnih pokazatelja.
Kvantitativni pokazatelji ukazuju na odstupanje ostvarenja od plana po
strukturi plana. Kvalitativni pokazatelji su analitički pokazatelji koji
trebaju ukazati na uzroke u odstupanju plana od ostvarenja, kao i
posljedice tog odstupanja.
201

Pokazatelj likvidnosti I stupnja =
Pokazatelj likvidnosti II stupnja =
Dnevna likvidnost=
Raspoloživi novac
Dospjele obveze
Novac + kratkoročna potraživanja x 100
Kratkoročne obaveze
Ktarkoročna obrtna sredstva x 100
Kratkoročne obveze
Tjedna
(Novac + Kratkoročna potraživanja naplativa u 7 dana umanjena za rizik) x 100
likvidnost=
Obveze koje dospijevaju u okviru 7 dana
Mjesečna
likvidnost=
(Novac + Kratkoročna potraživanja naplativa u 30 dana - rizik nenaplativosti) x 100
Obveze koje dospijevaju u okviru 30 dana
202

19. MJERENJE STRUKTURE, STATIKE I
DINAMIKE SREDSTAVA
19.1. Mjerenje rada kod stalnih poslovnih sredstava
Mjerenje kod structure poslovnih sredstava mogu biti sa gledišta:
- strukture,
- kapaciteta,
- iskorištenosti kapaciteta, i
- troškova eksploatacije stalnih poslovnih sredstava.
Analiza strukture stalnih poslovnih sredstava podrazumijeva
ispitivanje kvantitativnih odnosa i kvalitativnog sastava stalnih
poslovnih sredstava.
Kvantitativni odnosi između pojavnih oblika stalnih poslovnih
sredstava moraju biti primjereni vrsti i predmetu djelatnosti preduzeća.
Normalno je očekivati da će poduzeće na malo u svojoj strukturi
stalnih poslovnih sredstava imati najviše zastupljeno prodavaonica,
odnosno građevnih objekata, a trgovina na veliko skladišnih prostora,
a poslovno preduzeće mašine, hale i sl.
Kvalitativni sastav stalnih poslovnih sredstava podrazumijeva
analitičku ocjenu da li je struktura stalnih poslovnih sredstava po
kvaliteti primjerena planu i potrebama preduzeća. To se prije svega
odnosi na:
- funkcionalnost,
- tehničku opremljenost, i
- istrošenost sredstava (amortiziranost).
Struktura stalnih poslovnih sredstava se može promatrati:
- statički, i
- dinamički.
Statički aspekt promatranja strukture stalnih poslovnih sredstava
polazi od analize u određenom vremenskom trenutku (na jedan dan).
203

Dinamički aspekt polazi s gledišta kretanja stalnih poslovnih
sredstava. Ono se mjeri upoređujući stanje u dva različita vremenska
intervala. Dinamika se manifestira kroz povećanje, odnosno smanjenje
stalnih poslovnih sredstava.
Povećanje, odnosno smanjenje stalnih poslovnih sredstava može biti
stvarno i prividno. Stvarno povećanje ili smanjenje imamo u
slučajevima kada dolazi do stvarne fizičke promjene. Fizičko
povećanje se manifestira kroz otvaranje novih prodavaonica, skladišta,
mašina i sl. Posebnim oblikom fizičkog povećanja možemo smatrati i
izvršene rekonstrukcije, adaptacije i modernizacije poslovnih
kapaciteta. Fizičko smanjenje se manifestira kroz stvarno smanjenje
poslovnih kapaciteta (ukidanje prodavaonica i sl.). Prividno
povećanje, odnosno smanjenje stalnih poslovnih sredstava izražava se
kroz vrijednosne promjene (amortizacija, revalorizacija i sl.), a u
suštini nije došlo do stvarne fizičke promjene sredstava.
Dinamika stalnih poslovnih sredstava se treba upoređivati s
dinamikom prometa jer u tu svrhu i postoje stalna poslovna sredstva.
Upoređivanje strukture stalnih poslovnih sredstava, kao i ostvarenih
rezultata poslovanja, moguće je uspoređivati i analizirati sa:
- planskim pokazateljima,
- ostvarenim pokazateljima u istom poduzeću u prethodnom
razdoblju,
- pokazateljima najboljih preduzeća u istoj oblasti poslovanja,
- pokazateljima prosjeka privredne grupacije kojoj pripada
poduzeće, itd.
Za poslovanje preduzeća važno je poznavati kapacitet sredstava za
rad. Ovo je dosta složen i ponekad nemjerljiv pokazatelj. Za
ekonomiju sredstava za rad potrebno je ustvrditi kapacitet kako bi se
mogao iznalaziti stupanj korištenja kapaciteta.
Kapaciteti sredstava za rad se iskazuju kroz sljedeće veličine:
- potencijalni kapacitet,
- optimalni kapacitet,
- planirani kapacitet, i
- ostvareni kapacitet.
204

Potencijalni kapacitet predstavlja maksimalno moguće korištenje
sredstava za rad. Posebno je složeno i teško pitanje ustvrđivanja
potencijalnog kapaciteta prodavaonica, skladišta, kancelarija i sl.
Potencijalni kapacitet za potrebe trgovinskih preduzeća (maloprodaja,
veleprodaja, izvoz i uvoz) moguće je ustvrditi analitičkim i
iskustvenim pristupom gdje bi se potencijalni kapacitet iskazivao s
najvećim ostvarenim pokazateljem kapaciteta u najboljem istom ili
sličnom poduzeću.
Optimalni kapacitet je onaj stupanj korištenja kapaciteta koji daje
najveću pozitivnu razliku između prihoda i troškova.
Planirani kapacitet je planom postavljeni kapacitet sredstava za rad.
Planirani kapacitet može biti ravan optimalnom kapacitetu, može biti i
niži, ali viši ne bi trebao biti jer se pogoršava ekonomičnost i
rentabilnost poslovanja.
Ostvareni kapacitet je onaj kapacitet koji je ostvaren. Ostvareni
kapacitet u odnosu na planirani kapacitet može biti: manji, isti ili veći.
Poseban oblik analize kapaciteta sredstava za rad može biti s gledišta:
- potrebnih kapaciteta, i
- raspoloživih kapaciteta.
Za poboljšanje kvaliteta ekonomije sredstava za rad neophodno je
raspoložive kapacitete usklađivati do maksimuma s potrebnim
kapacitetima. U slučaju manje raspoloživih kapaciteta od potrebnih,
neophodno je nadoknaditi nedostajući dio sredstava (kupovinom,
zakupom, posudbom i sl.). U slučaju više raspoloživih kapaciteta od
potrebnih neophodno ih je privremeno ili trajno otuđiti (prodati, dati u
zakup, rashodovati i sl.).
Poduzeće je posebno zainteresirano za iskorištenje sredstava za rad jer
se time povećava proizvodnja, promet i smanjuju troškovi sredstava za
rad (fiksni troškovi) po jedinici mjere. Iskorištenost sredstava za rad
utvrđuje se po:
- mjestima (prodavaonica, odjel, sektor, skladište, izvoz, uvoz, i
sl.),
205

- nositeljima (proizvodima, grupama proizvoda i sl.), i
- vremenu (godišnje, mjesečno, dnevno i po satima tijekom
jednog radnog dana).
Stupanj iskorištenosti kapaciteta predstavlja odnos između utvrđenog
mjerila kapaciteta (potencijalni, optimalni ili planirani) s ostvarenim
učinkom.
Pri analiziranju korištenja kapaciteta sredstava za rad moguće je
računati sljedeće pokazatelje na primjeru:
- potencijalni kapacitet 900
- optimalni kapacitet 800
- planirani kapacitet 750
- ostvareni kapacitet 740
Odnos optimalnog i potencijalnog kapaciteta
Optimalni kapacitet × 100 800 × 100
= =
Potencijalni kapacitet 900
88,
8%
Ovaj pokazatelj nam kazuje da optimalni kapacitet iznosi 88,8% od
potencijalnog kapaciteta.
Odnos planskog i potencijalnog kapaciteta
Planski kapacitet × 100 750 × 100
= =
Potencijalni kapacitet 900
83,
3%
Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo planirali kapacitet u iznosu od
83,3% od potencijalnog.
Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na potencijalni kapacitet
Ostvareni kapacitet × 100 740 × 100
= = 82,
2%
Potencijalni kapacitet 900
Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo ostvarili kapacitet od 82,2% od
potencijalnog.
Odnos planiranog kapaciteta u odnosu na optimalni kapacitet
Planirani kapacitet × 100 750 × 100
= = 93,
7%
Optimalni kapacitet 800
206

Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo planirali kapacitet od 93,7% od
optimalnog kapaciteta.
Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na optimalni kapacitet
Ostvareni kapacitet × 100 740 × 100
= = 92,
5%
Optimalni kapacitet 800
Ovaj pokazatelj nam kazuje da je ostvaren kapacitet u visini od 92,5%
od optimalnog kapaciteta.
Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na planirani kapacitet
Ostvareni kapacitet × 100 740 × 100
= = 98,
6%
Planirani kapacitet 750
Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo ostvarili kapacitet u iznosu od
98,6% od planiranog kapaciteta.
Svi ovi pokazatelji dosta govore o iskorištenju kapaciteta, ali će se
kvaliteta informacija povećati ukoliko se izvrši upoređivanje ovih
pokazatelja s:
- pokazateljima jedne organizacijske jedinice s drugom u istom
poduzeću,
- pokazateljima za razna vremenska razdoblja iste organizacijske
jedinice ili preduzeća,
- pokazateljima istih ili sličnih preduzeća za isto vremensko
razdoblje, i
- pokazateljima jednog preduzeća s prosječnim pokazateljima
privredne grane.
Sami pokazatelji mogu ukazati da je došlo do određenih odstupanja ali
oni ne ukazuju i zašto je došlo do toga. Zato trebamo provesti
ispitivanje uzroka koji su doveli do odstupanja. Uzroci odstupanja
mogu biti mnogobrojni, i utvrđivanjem pravih uzroka, koji utječu na
ostvarenje planiranih kapaciteta, stvaramo preduvjet da svjesnom
akcijom utječemo na njihovu eliminaciju.
Posljedice nedovoljnog korištenja kapaciteta mogu biti dosta
negativne za rezultate poslovanja preduzeća, pa je iz tih razloga
potrebno poduzimati blagovremeno mjere da se planirani kapacitet što
207

olje ostvari. S povećanjem korištenja kapaciteta raste realizacija i
promet, a fiksni troškovi sredstava za rad po jedinici prometa opadaju
što vodi ka ekonomičnijem poslovanju.
19.2.Mjerenje kod obrtnih sredstava – predmeta
rada
Ekonomija predmeta rada, koji obuhvaćaju najveći i najznačajniji dio
obrtnih sredstava, može se promatrati i analizirati pomoću sljedećih
pokazatelja:
- strukture predmeta rada,
- statike predmeta rada,
- dinamike predmeta rada.
Struktura predmeta rada.
Za poduzeće potrebno je ustvrditi strukturu predmeta rada po
pojavnim oblicima. Značajno je za svaki pojavni oblik ustvrditi:
- duljinu vezivanja, i
- visinu.
Ustvrđivanje duljine vezivanja predmeta rada u pojedinim pojavnim
oblicima može analitičaru ukazati na kvalitetu obrtnog ciklusa
predmeta rada. Cilj svake organizacije je da se duljina vezivanja što
više skraćuje i da se što brže transformiraju iz jednog u drugi oblik
predmeta rada.
Visina vrijednosti pojedinih pojavnih oblika predmeta rada pokazuje u
kojem pojavnom obliku se pojavljuju što može analitičaru, uz
pokazatelje duljine vezivanja, ukazati na kvalitetu obrta predmeta
rada.
Statika predmeta rada
Za poduzeće potrebno je izvršiti analizu statike predmeta rada u
određenim trenucima da bi se došlo do određenih konstatacija.
Moguće je statiku računati na datume kada se prave periodični ili
godišnji obračuni poslovanja kao i u drugim kraćim vremenskim
razdobljima (mjesečno, tjedno i sl.). Analizu statike predmeta rada
208

moguće je raditi za svaki pojavni oblik predmeta rada, kao i za
ukupnost predmeta rada.
Dinamika predmeta rada.
Analiza dinamike predmeta rada je ocjena kretanja predmeta rada iz
jednog pojavnog oblika u drugi. Analitičkom ocjenom se ustvrđuje:
- duljina zadržavanja predmeta rada u jednom pojavnom obliku i
ukupno, i
- promjene u smjeru povećanja ili smanjenja pojedinih pojavnih
oblika predmeta rada i ukupno predmeta rada.
Iako smo već ukazali da je duljina (vrijeme) zadržavanja predmeta
rada statička mjera, kao i koeficijent obrta, jer se mjere i izračunavaju
u jednom trenutku, ova dva pokazatelja, promatrana s gledišta
procesa, mogu se tretirati kao pokazatelji dinamike kretanja predmeta
rada.
Mjerenje pokazatelja obrtnih sredstava – predmeta rada moguće je
vršiti pomoću formula:
Pokazatelj učešća obrtnih sredstava u ukupnim sredstvima =
Obrtna sredstva × 100
=
Vrijednost ukupnih sredstava
Pokazatelj strukture obrtnih sredstava =
Pojavni oblik × 100
=
Ukupna obrtna sredstva
Pojavni oblici obrtnih sredstava mogu biti:
a) u zalihama,
b) u kratkoročnom potraživanju,
c) u kratkoročnim pozajmicama,
d) u novčanom obliku,
e) u papirima od vrijednosti,
f) u unaprijed plaćenim troškovima.
209

Pokazatelj strukture zaliha =
Pojavni oblik zaliha × 100
=
Ukupne zalihe
Pojavni oblici zaliha mogu biti:
a) po dobavljačima,
b) po vrstama robe,
c) po vrstama materijala,
d) po starosti zaliha,
e) po drugim obilježjima zaliha robe.
Pokazatelj strukture kratkoročnih potraživanja =
Pojavni oblik x 100
=
Ukupna kratkoročna poraživanja
Pojavni oblici kratkoročnih potraživanja mogu biti:
a) po kupcima,
b) po vrstama potraživanja,
c) po naplativosti,
d) po starosti potraživanja,
e) po utuženosti i sl.
Pokazatelji strukture kratkoročnih pozajmica =
Pojavni oblik x 100
=
Ukupna kratkoročna pozajmice
Pojavni oblici kratkoročnih pozajmica mogu biti:
a) potrošački krediti,
b) kratkoročni robni krediti,
c) krediti bankama,
d) krediti drugim poduzećima,
e) krediti inozemstvu itd.
Pokazatelji strukture obrtnih sredstava u novčanom obliku =
Pojavni oblik x 100
=
Ukupna novčana sredstva
210

Pojavni oblici novčanih sredstava mogu biti:
a) na žiro-računu,
b) u blagajni,
c) izdvojena novčana sredstva,
d) novčana sredstva na deviznim računima,
e) sredstva rezervi,
f) sredstva zajedničke potrošnje itd.
Pokazatelji strukture papira od vrijednosti =
Pojavni oblik × 100
=
Ukupna vrijednost papira od vrijednosti
Pojavni oblici papira od vrijednosti mogu biti:
a) čekovi,
b) mjenice,
c) ostali papiri od vrijednosti.
Prosječno godišnje stanje zaliha =
= 1 početnog stanja + 11 mjesečnih stanja +
1 konačnog stanja
2 2
12
211

20. MJERENJE ELASTIČNOSTI POTRAŽNJE
20.1. Pojam, vrsta i zakonitosti potražnje
Potražnja za nekom robom u izvjesnom razdoblju i na određenom
tržištu predstavlja onu količinu robe koju su kupci, odnosno potrošači
spremni kupiti po različitim cijenama.
Potražnja je spremnost kupaca, odnosno potrošača da kupe određene
robe po odgovarajućim cijenama. Kupci su spremni kupiti veću
količinu robe ako su cijene niže i obratno, ako su cijene više, kupci će
kupiti manju količinu robe uz pretpostavku da svi ostali faktori koji
utječu na potražnju ostanu nepromijenjeni. Na osnovi ovih zakonitosti
u kretanju potražnje u odnosu na cijene, formuliran je opći zakon
potražnje po kojem povećanje tržnih cijena smanjuje potražnju i
sniženje tržnih cijena povećava potražnju.
Odnos između tržne cijene i tražene količine iskazuje se tabelarno,
grafički i putem funkcije.
Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja odnosa tržne cijene i
tražene količine:
Tabelarni prikaz:
Grafički prikaz:
CIJENA KOLIČINA
5 14
10 8
15 6
20 4
25 2
Iskazivanje zakona potražnje putem funkcije:
K = f (C)
K = količina tražene robe
212

C = cijena robe
f = funkcija
Ovakav pristup formulaciji potražnje ima ograničavajući značaj jer
polazi od pretpostavke da na potražnju utječe samo cijena. Uočeno je
da na potražnju utječu i brojni drugi faktori (cijena drugih roba,
dohodak kupaca, cijene supstituta ili konkurentnih roba, demografijski
faktor, kreditiranje prodaje itd.). Na potražnju utječe i niz ostalih
faktora kao npr.: navika u kupovini, običaji, moda, kretanje inflacije,
ekonomska propaganda i sl. Uvođenjem u funkciju potražnje faktora
vremena, dobivamo konačni oblik funkcije potražnje po kojoj
potražnja ovisi od korisnosti robe u zadovoljenju određene potrebe
kupca, dohotka kupca, cijene tražene robe, cijena drugih roba i niza
drugih faktora u određenom vremenskom razdoblju.
Najčešće se u marketingu koristi podjela potražnje prema namjeni
potrošnje na:
- potražnju potrošnih roba koje su namijenjene tržištu osobne
potrošnje, i
- potražnju proizvodnih roba koje su namijenjene tržištu
proizvodno-uslužne potrošnje.
Potražnja potrošnih roba
Potrošne robe su namijenjene zadovoljenju osobnih potreba čovjeka.
To je krajnja potrošnja (konačna, finalna) i zadovoljava razne
biologijske ili psihologijske potrebe.
Potrošne robe dijelimo po raznim osnovama, a sa aspekta prirode
potreba dijelimo ih na:
a) nužne robe,
b) luksuzne robe, i
c) trajne robe.
Nužne robe su one koje su nužne za reprodukciju čovjekove radne
snage. To su robe široke potrošnje koje su neophodne u životu jednog
čovjeka. To su npr. šećer, brašno, sol, ulje, sapun, kruh, mlijeko,
duvan, krumpir, i sl. Koeficijent dohodovne i cijenovne elastičnosti
ovih roba je nizak jer porast dohotka ili cijena neće promijeniti
potražnju za ovim robama jer se one svakodnevno troše.
213

Luksuzne robe su one koje prelaze granice normalnog zadovoljenja
potreba ljudi. Dosta je teško definirati pojam normalnog zadovoljenja
potreba jer to ovisi od razvoja društva, razvoja životnog standarda i
navika i običaja kupaca. Neka roba može imati status luksuzne robe u
jednoj zemlji dok je to za drugu zemlju već područje normalnih
potreba. Slično je sa shvaćanjima pojedinih kategorija kupaca.
Ekonomski jače kategorije kupaca pojedine robe će smatrati
normalnom potražnjom, dok će siromašniji kupci te robe tretirati kao
luksuzne robe. Promjena cijena ovih roba ne utječe u većoj mjeri na
potražnju i elastičnost potražnje u odnosu na cijenu i bit će manja od
jedan. Kupovinom ovih roba ne zadovoljavaju se neophodne potrebe
nego psihološke potrebe. U luksuzne robe spada nakit, bunde, skupi
automobili, skupa kozmetika i sl.
Trajne robe su one koje traju dulje i čija kupovina predstavlja viši
životni standard. To su sljedeće robe: namještaj, televizori, razni
kućanski strojevi, automobili, modna konfekcija, obuća i sl. Potražnja
za ovim robama uvjetovana je višim razinama kupovne moći
stanovništva. Cijene ovim robama su visoke i svaka promjena cijena i
dohotka utječe na povećanje ili smanjenje potražnje. Potražnja za
ovim robama je vrlo elastična kako pri promjeni cijena tako i pri
promjeni dohotka kupaca.
Preduzeća imaju širok asortiman roba u svojoj ponudi, pa je
interesantan osvrt na kretanje potražnje za robama koje imaju status:
a) nezavisne robe,
b) supstituta i
c) komplementarne robe.
Nezavisne robe su one robe koje se ne mogu zamijeniti ni s jednom
drugom robom. Na njihovu potražnju utječe opći zakon potražnje i
ovisi isključivo od kretanja njihovih cijena. U praksi je vrlo teško naći
nezavisne robe jer skoro svaka roba ima moguću zamjenu, odnosno
supstitut.
Supstituti su one robe koje imaju zamjenu, pa tako promjena cijena
jedne robe može utjecati na promjenu potražnje druge robe. Povećanje
cijena jedne robe ne samo da utječe na smanjenje prodaje te robe,
nego povećava prodaju supstituta iako se nije mijenjala cijena
214

supstituta. Preduzeća u svom asortimanu imaju veliki broj supstituta,
te je pri promjeni cijena jednog artikla potrebno analizirati potražnju
ne samo za tim artiklom nego i za supstitutima.
Komplementarne robe su one koje nadopunjavaju i povezuju
potražnju između dvije i više roba. Stupanj komplementarnosti može
biti različit a ovisi od vrsta roba. Viši stupanj komplementarnosti
utječe da obim potražnje bude usklađen, i u slučaju visokog rasta
cijena jedne robe utječe ne samo na pad potražnje za tom robom nego
djeluje na pad potražnje i za komplementarnom robom.
U odnosu na opći zakon potražnje postoje i tri izuzetka. Izuzeci se
odnose na neprihvaćanje zakonitosti potražnje da s padom cijena raste
potražnja, i da s rastom cijena pada potražnja.
Prvi slučaj, naziva se Veblenov slučaj ili efekt snobizma, a temelji se
na visokom dohotku koji omogućava takvo ponašanje po kojem se s
povećanjem cijena povećava potražnja i sa sniženjem cijena smanjuje
potražnja. To se odnosi na manji broj luksuznih roba kao što je nakit,
krzno, visoko modna roba i sl.
Drugi slučaj, naziva se Giffenov slučaj, i po njemu se povećanje cijene
kruha održava na povećanje potražnje za kruhom jer se ova potražnja
povećava pošto su izdaci za kruh niži od alternativnih izdataka za
druge vrste hrane. Ovaj paradoks u kretanju potražnje temelji se na
niskoj kupovnoj moći kupaca i potražnji roba koje su neophodne za
preživljavanje.
Treći slučaj naziva se špekulativni slučaj po kojem se iz špekulativnih
razloga pri povećanju cijena povećava potražnja. Npr., ako u razdoblju
inflacije rastu cijene, kupci procjenjuju da će cijene i dalje rasti, pa se
povećava potražnja. Suprotno, ako pada cijena, smanjuje se potražnja,
jer kupci odgađaju potražnju za kasnije zato što očekuju daljnje
sniženje cijena.
Potražnja proizvodnih roba
Proizvodne robe su namijenjene za daljnju proizvodnu potrošnju.
Potražnja za proizvodnim robama predstavlja potražnju za robama
koje se troše u procesu proizvodnje kao i potražnja za sredstvima za
215

ad. Ova potražnja je u osnovi izvedena potražnja iz potražnje za
nekom drugom robom. Npr. potražnja za tkaninama je izvedena iz
potražnje za konfekcijom. Svako proizvodno poduzeće za svoj proces
proizvodnje ima potražnju za proizvodnim robama koje nazivamo
sirovine, poluproizvodi ili reprodukcijski materijal. To je vrlo veliki
broj raznih roba kao npr. proizvodi crne metalurgije, obojene
metalurgije, graditeljski materijali, nemetali, proizvodi metalne
industrije, kemijske industrije, tekstilne industrije, drvne industrije itd.
Druga skupina proizvodnih roba su sredstva za rad koja služe za
obavljanje proizvodne i uslužne djelatnosti. To su razna oprema,
objekti, alati, rezervni dijelovi itd.
Potražnja za proizvodnim robama je izvedena potražnja i uvjetovana
je raznim faktorima, a naročito planiranim obimom proizvodnje,
odnosno potrebama kupaca za određenom robom.
Elastičnost potražnje
Potražnja roba se obično razmatra sa stanovišta promjena:
a) cijena te robe,
b) cijena drugih roba i
c) dohotka kupaca.
Svaka promjena navedenih elemenata i potreba kupaca izaziva manju
ili veću promjenu potražnje. Elastičnost potražnje ukazuje da li i
koliko promjena elemenata potražnje utječe na promjenu količine
tražene robe. Prema tome, elastičnost potražnje možemo definirati kao
pokazatelj koji ukazuje da li se i koliko mijenja potražnja za nekom
robom ako joj se promijeni cijena, ili ako se promijene cijene drugim
robama, ili ako se promijeni dohodak kupca.
Elastičnost potražnje se temelji na međuzavisnosti pojedinih
ekonomskih kategorija i utjecaj pojedinih faktora potražnje na kretanje
potražnje.
Pojam elastičnosti potražnje pokazuje odnos između tražene količine
robe iskazan u procentima i procentualne promjene cijene te robe, ili
procenta promjene cijene druge robe, ili procenta promjene dohotka
kupca.
216

Elastičnost potražnje iskazujemo formulom:
ET=
proceduralna promjena u količini tražene robe
proceduralna promjena jednog faktora
Elastičnot potražnje možemo mjeriti u odnosu na sljedeće promjene
faktora potražnje:
a) cijenu te robe iskazane kao cijenovna elastičnost potražnje,
b) cijena drugih roba iskazana kao unakrsna elastičnost potražnje, i
c) dohotka kupca iskazanog kao dohodovna elastičnost potražnje.
20.2. Mjerenje cijenovne elastičnosti potražnje
Cijenovna elastičnost potražnje pokazuje odnos između procentualne
promjene potražnje za nekom robom i procentualne promjene cijene te
robe. Poznato je da se potražnja i cijene kreću u suprotnim pravcima
uz neke izuzetke:
- povećanje cijene umanjuje potražnju,
- sniženje cijene povećava potražnju.
Cijenovna elastičnost potražnje (CET) se iskazuje kao:
CET=
% promjena u količini tražene robe
% promjena u cijeni iste robe
Koeficijent cijenovne elastičnosti potražnje pokazuje koliko se u
procentima mijenja potražnja neke robe ako joj se cijena mijenja
za 1%.
PRIMJER 1.
Kolika je cijenovna elastičnost potražnje ako jednu robu po cijeni od
50 KM možemo prodati 20 kom i ukoliko cijenu povećamo na 60 KM
a prodaja opadne na 15 komada
Cijenovnu elastičnost potražnje (CET) možemo izračunati na dva
načina:
217

Prvi način:
CET=
% promjena u količini tražene robe
% promjena u cijeni iste robe
K 1 - količina robe po prvoj cijeni
K 2 - količina robe po novoj cijeni
PK - promjena količine nakon nove cijene
C 1 - cijena robe na početku
C 2 - cijena robe nakon povećanja
PC - promjena cijene
= 20 kom
= 15 kom
= 5 kom
= 50 KM
= 60 KM
= 10 KM
PK × 100
% promjena u količini prodane robe =
K 1
PC × 100 ×
% promjena u cijeni iste robe = =
C 1
CET= 25% = ,
5
= × 100
=
20
10 100
= 20%
50
25%
20% 1 25%
Koeficijent od 1,25% pokazuje da promjena cijene za 1% izaziva
promjenu količine od 1,25%.
Drugi način:
CET= K
− K
K
1 2
1
C1 − C2
PK PC
: = :
C K C
1 1 1
20 −15
50 − 60 5 −10
5 × 50 250
CET= : = : = = = −1,
25
20 50 20 50 20 × −10
− 200
Prema ovoj formuli koeficijent elastičnosti potražnje ima uvijek
negativan predznak minus koji se zanemaruje.
Rezultat po prvom i drugom načinu izračunavanja koeficijenta
elastičnosti je isti.
Intenzitet cijenovne elastičnosti potražnje može biti vrlo različit. Veći
koeficijent cijenovne elastičnosti potražnje ukazuje na veći utjecaj
218

cijene na kretanje potražnje što omogućava da cijena bude značajan
instrument u kreiranju potražnje i obima prodaje. Intenzitet cijenovne
elastičnosti potražnje može imati pet stupnjeva cijenovne elastičnosti
potražnje:
1. savršeno elastičnu potražnju, (CET = ∞ ),
2. relativno elastičnu potražnju, (CET >1),
3. jedinačno elastičnu potražnju, (CET = 1),
4. relativno neelastičnu potražnju, (CET < 1), i
5. savršeno neelastičnu potražnju, (CET = 0).
Savršena elastičnost potražnje nastaje:
- ako povećamo cijenu, prekida se svaka potražnja, i
- ako snizimo cijenu, potražnja se beskonačno povećava.
Relativna elastičnost potražnje nastaje:
- ako povećamo cijenu dolazi do većeg pada potražnje od
povećanja cijene, i
- ako snizimo cijenu, dolazi do većeg povećanja potražnje od
sniženja cijena.
Jedinačno elastična potražnja nastaje:
- ako povećamo cijenu, dolazi do pada potražnje za isti procent
koliko je povećana cijena, - ako snizimo cijenu, dolazi do
povećanja potražnje za isti procenst koliko je snižena cijena.
Kretanje cijena i potražnje kod jedinačno elastične potražnje je
obrnuto proporcionalno.
Relativno neelastična potražnja nastaje:
- ako povećamo cijenu, dolazi do pada potražnje, ali manje od
povećanja cijene, i
- ako snizimo cijenu, dolazi do povećanja potražnje, ali manje
od sniženja cijene.
Savršeno neelastična potražnja nastaje kada promjena u cijeni ne
utječe na obim tražene robe:
- ako povećamo cijenu, obim potražnje ostaje isti, i
- ako snizimo cijenu, obim potražnje ostaje isti.
219

20.3. Mjerenje unakrsnea elastičnosti potražnje
Unakrsna elastičnost pokazuje koliko utiče promjena cijene jedne robe
na promjenu potražnje za drugom robom.
Unakrsna elastičnost potražnje (UET) se iskazuje formulom:
% promjene u količini robe A
UET=
% promjene u cijeni robe B
Unakrsna elastičnost potražnje se može izračunati i pomoću formule:
UET= PKA PCB
:
KA CB
Pri čemu je:
PKA = promjena količine potražnje robe A nastale promjenom cijene robe B,
KA = količina robe A koja je tražena prije promjene cijene robe B,
PCB = promjena cijene robe B koja utječe na promjenu potražnje robe A, i
CB = cijena robe B prije promjene.
Koeficijent unakrsne elastičnosti potražnje može imati predznak plus
(veći od nule) ili minus (manji od nule) što ukazuje na vrstu
povezanosti među robama.
a) Predznak plus kod koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje
ukazuje da su robe međusobno supstituti ili konkurentske. Za njih je
karakteristično:
- da pad cijene, jedne robe, izaziva pad potražnje druge robe, jer
se povećava potražnja prve robe, i obratno,
- da rast cijene jedne robe, izaziva rast potražnje druge robe, jer
se smanjuje potražnja prve robe.
Supstituti su robe koje mogu zadovoljiti istu potrebu kao: mast i ulje,
pamučne i vunene tkanine, goveđe i janjeće meso itd.
b) Predznak minus kod koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje
ukazuje da su robe međusobno komplementarne. Povećanje potražnje
za jednom robom izaziva povećanje potražnje za drugom robom koja
je komplementarna i obratno. Za ove robe je karakteristično:
220

- da pad cijene jedne robe izaziva povećanje njene potražnje,
ali i povećanje potražnje druge robe, i obratno,
- da rast cijena jedne robe, izaziva pad njene potražnje, ali i
pad potražnje druge robe.
Visina koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje (bilo da je
pozitivan ili negativan) pokazuje stupanj međusobne ovisnosti između
roba. Što je koeficijent manji broj (bliži nuli), ukazuje na manju
ovisnost u ptražnji između roba. Ako je koeficijent jednak nuli, onda
imamo slučaj potpune neovisnosti u potražnji između roba, jer
promjena cijene jedne robe nema nikakvog utjecaja na promjenu
tražene količine druge robe.
Sa gledišta organizacije značajno je za osnovne robe iz asortimana
poznavati unakrsnu elastičnost potražnje za vođenje politike cijena, jer
obično u svom asortimanu ponude imaju niz roba koje imaju status
supstituta i status komplementarne robe. Politiku cijena moramo
voditi cjelovito, a ne cijene pojedinih roba promatrati izolirano bez
utjecaja cijena jedne robe na obim potražnje i prodaje druge robe.
20.4. Mjerenje dohodovne elastičnosti potražnje
Dohodovna elastičnost potražnje pokazuje koliko promjena dohotka
kupaca utječe na promjenu potražnje određene robe.
Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje pokazuje odnos između
procentualne promjene potražnje za nekom robom i procentualne
promjene dohotka kupca. Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje
(DET) se iskazuje kao:
DET=
% promjena u količini tražene robe
% promjena u dohotku kupca
Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje pokazuje koliko se u
procentima mijenja potražnja neke robe ako se dohodak kupca mijenja
za 1%.
221

Izračunavanje koeficijenta dohodovne elastičnosti potražnje vršimo na
istom načelu kao izračunavanje koeficijenta cijenovne elastičnosti
potražnje, s tim da se u formulu umjesto cijene robe uvodi dohodak
kupca.
Formula za izračunavanje koeficijenta dohodovne elastičnosti
potražnje je:
DET= K K 1
−
2
D1 − D2
PK PD
: = :
K1
D1 K1 D1
Pri čemu je:
K 1 - količina tražene robe pri dohotku prije povećanja (D 1 ),
K 2 - količina tražene robe nakon povećanja dohotka (D 2 ),
PK - promjena količine tražene robe (K 1 -K 2 ),
D 1 - dohodak kupca na početku,
D 2 - dohodak kupca nakon povećanja,
PD - promjena dohotka.
Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje se kreće od nule na više i
ima pozitivan predznak. Intenzitet koeficijenta dohodovne elastičnosti
pokazuje utjecaj kretanja dohotka na potražnju za nekom robom.
Ako je koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje nula (DET=0), to
ukazuje da je promjena potražnje na dohodak neelastična. Postoji
mogućnost da koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje ipak bude
negativan (manji od nule) što bi ukazivalo da opada potražnja za
određenom robom ako dohodak kupca raste. To se može objašnjavati
prelaskom kupovine na kvalitetnije robe.
Ako je koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje veći od nule, a
manji od 1, kažemo da je potražnja relativno neelastična.
Ako je koeficijent jednak 1, onda kažemo da je potražnja jedinačno
elastična na promjene dohotka.
Ako je koeficijent veći od 1, potražnja je relativno elastična. Što je
koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje veći, ukazuje nam na
visok utjecaj promjene dohotka kupca na potražnju za određenom
robom.
222

Koeficijent dohodovne elastičnosti može ukazati na vrste robe s
gledišta životnog standarda:
- inferiorne robe imaju koeficijent manji od nule,
- robe nužne za život imaju koeficijent između 0 i 1, i
- robe višeg standarda imaju koeficijent veći od 1.
Utjecaj dohotka kupaca na potražnju za pojedinim robama je dugo
predmet pozornosti ekonomista. Njemački statističar Ernst Engel je
još u prošlom stoljeću postavio četiri zakona u kojima definira odnos
potražnje za pojedinim skupinama roba prema promjenama dohotka
kupaca.
Četiri Engelova zakona ukazuju da sa porastom dohotka domaćinstva:
1. opada relativno učešće izdataka za hranu,
2. relativni udjel izdataka za odjeću i obuću ostaje nepromijenjen,
3. relativni udjel izdataka za opremu i održavanje doma ostaje
nepromijenjen, i
4. relativni udjel izdataka za ostalu potrošnju (za higijenu,
kulturu, razonodu, šport, putovanja i sl.), se povećava.
223

21. MJERENJE ELASTIČNOST PONUDE
21.1. Pojam, vrsta i zakonitosti ponude
Ponuda neke robe u izvjesnom razdoblju i na određenom tržištu
predstavlja onu količinu robe koju su prodavci spremni prodati po
odgovarajućim cijenama.
Ponuda je spremnost proizvođača, trgovinskih preduzeća i drugih
ponuđača da prodaju određene robe po odgovarajućim cijenama. Ako
su cijene veće, prodavci su spremni ponuditi veće količine robe i
obratno, ako su cijene niže, prodavci će ponuditi manju količinu.
Ponuda se definira cijenama i postoji određena funkcionalna veza
između kretanja ponude i kretanja cijena.
Kretanje ponude i cijena ima istosmjernu vezu:
- viša cijena omogućava veću ponudu, i
- niža cijena smanjuje ponudu.
Kod potražnje imamo obrnuto proporcionalnu vezu jer viša cijena
smanjuje potražnju i niža cijena povećava potražnju.
Odnos kretanja ponude i cijena ima određenu zakonitost i formulirana
je u općem zakonu ponude po kojem su ponuđači spremni ponuditi
veću količinu robe uz više cijene i obratno, ako su cijene neke robe
niže, doći će do smanjenja ponude.
Odnos između ponude i cijena iskazuje se tabelarno, grafički i putem
funkcije.
224

Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja odnosa ponuđene količine
i cijena po kojim se roba može prodati:
Tabelarni prikaz:
Grafički prikaz:
CIJENA
PONUĐENA
KOLIČINA
12 15
9 12
6 8
3 0
Iskazivanje zakona ponude putem funkcije:
K = f (C)
pri čemu je:
K - količina ponuđene robe,
C - cijena robe,
f - funkcija.
Ovakav pristup ponudi ima ograničavajući značaj jer je uočeno da na
obim ponude ne utječe samo cijena nego i niz drugih faktora kao npr.
otvorenost tržišta, odnosno uvoz i izvoz, dostupnost roba, mogućnost
povećanja proizvodnje, kreditiranje, mogućnost napuštanja
proizvodnje itd.
Polazna pretpostavka općeg zakona ponude osniva se samo na
promjeni ponuđenih količina i razine prodajnih cijena uz sve ostale
neizmijenjene faktore što je i najveća slabost ove teze. Pored promjene
cijene stalno se mijenjaju i ostali elementi poslovanja ponuđača koji
djeluju na kretanje ponude.
U praksi se često, i pored porasta prodajnih cijena, smanjuje obim
ponude, jer troškovi proizvodnje, odnosno troškovi nabavne cijene
robe rastu beže od porasta prodajnih cijena. U ovom slučaju
225

entabilnost poslovanja ponuđača opada što utječe na pad ponude iako
prodajne cijene rastu.
Opći zakon ponude za pojedinačne ponuđače može imati primjenu u
slučajevima:
a) da se uz promjenu cijene ne mijenjaju drugi uvjeti poslovanja na
strani ponuđača, odnosno da mu povećanje cijene povećava dobit,
odnosno rentabilnost poslovanja jer mu se troškovi poslovanja ne
mijenjaju, i
b) da se uz promjenu cijena i uz promjenu ostalih faktora poslovanja
zadržava željena rentabilnost poslovanja, što ukazuje da presudan
utjecaj na ponudu ima željeni obim dobiti, a ne razina prodajne cijene
u slučaju kada se mijenjaju faktori poslovanja.
S marketing gledišta, preduzećaponudu najčešće dijele na:
- ponudu potrošnih roba koje su namijenjene tržištu osobne potrošnje, i
- ponudu proizvodnih roba koje su namijenjene tržištu proizvodnouslužne
potrošnje.
21.2. Mjerenje elastičnosti ponude
Elastičnost ponude ukazuje da li se i koliko mijenja ponuda neke robe
ako joj se mijenja cijena. Koeficijent elastičnosti (EP) predstavlja
odnos procentualne promjene količine ponude i procentualne
promjene cijene te robe.
% promjene količine ponude
EP=
% promjene cijene robe
Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje koliko se u procentima
mijenja količina ponude neke robe ako joj se cijena mijenja za 1%.
Postupak računanja koeficijenta elastičnosti ponude je:
PK ×100
a) % promjena u količini ponude =
K 1
226

Pri čemu je:
K 1 - količina ponude na početku,
K 2 - količina ponude nakon promjene cijene,
PK - promjena količine ponude nakon promjene cijene (K 1 - K 2 ),
b) % promjena cijene ponuđene robe =
Pri čemu je:
C 1 - cijena ponuđene robe na početku,
C 2 - cijena robe nakon izmjene,
PS - promjena cijene (C 1 - C 2 ).
227
PC ×100
C 1
Koeficijent elastičnosti ponude možemo izračunati i pomoću druge
formule, s tim da je dobiveni koeficijent isti kao i kod prve formule:
EP= K
− K
K
1 2
1
C1 − C2
PK PC
: = :
C K C
1 1 1
Koeficijent elastičnosti ponude je obično pozitivan jer su kretanje
cijene i ponuđene količine neke robe istosmjerni. Intenzitet
koeficijenta elastičnosti ponude ukazuje na stupanj utjecaja cijena na
ponudu. Veći koeficijent elastičnosti ponude znači da je viliki utjecaj
cijena na ponudu što daje mogućnost ponuđača da cijena bude
značajan instrument u vođenju politike prodaje.
Intenzitet elastičnosti ponude može imati pet stupnjeva:
1. savršeno elastična ponude (EP = ∞ ),
2. relativno elastična ponuda (EP > 1),
3. jedinačno elastična ponuda (EP = 1),
4. relativno neelastična ponuda (EP < 1),
5. savršeno neelastična ponuda (EP = 0).
Savršeno elastična ponuda ukazuje da malo povećanje cijene izaziva
beskonačno veliku ponudu ili da malo smanjenje cijene ukida ponudu
i svodi je na nulu.
Relativno elastična ponuda nastaje kada manje pomjeranje cijene
izaziva veće pomjeranje ponude.

Jedinačno elastična ponuda nastaje kada se proporcionalno mijenja
ponuda i cijena, odnosno gdje je promjena količine ponude razmjerna
promjeni cijene.
Relativno neelastična ponuda nastaje kada veće pomjeranje cijene
izaziva manje promjene ponude.
Savršeno neelastična ponuda nastaje kada ma kakva promjena cijene
ne izaziva nikakvu promjenu ponude.
Poduzeće svoju ponudu kroz asrotiman roba koje nudi u prodaji
prilagođava promjeni cijena. Što je dulje vremensko razdoblje, postoji
veća mogućnost prilagođavanja obima ponude promjeni cijena.
Prilagođavanje ponude poduzeće može vršiti u trenutačnom, kratkom i
dugom roku.
U trenutačnom roku poduzeće može ponuditi robe koje ima na zalihi
ili robe koje se mogu nabaviti od proizvođača ili drugih trgovinskih
preduzeća odmah, i ponuditi ih tržištu. To su robe koje se nalaze na
zalihi kod g preduzeća ili drugih preduzeća.
U kratkom roku poduzeće može planirati promjenu obima ponude u
skladu s mogućnošću nabavke robe od proizvođača u okviru njegovih
proizvodnih kapaciteta ili uvozom robe iz inozemstva.
U dugom roku poduzeće može planirati povećanje ponude u skladu s
planom povećanja proizvodnje na osnovi povećanja kapaciteta
proizvodnje ili uvozom robe iz inozemstva.
Poduzeće može svoju ponudu vrlo brzo prilagođavati kretanju cijena
koristeći svoje zalihe, zalihe roba kod proizvođača, kod drugih
trgovinskih preduzeća i iz uvoza uz uvjet otvorenosti privrede jedne
države prema svjetskom tržištu. I zato ponuda preduzeća ovisi:
- od obima proizvodnje, i
- od obima uvoza.
228

Ako je cijena jedne robe visoka i omogućava ostvarenje dobiti,
poduzeće a i proizvođači bit će stimulirani za povećanje ponude, koja
se može osigurati povećanjem proizvodnje, ali i povećanjem uvoza.
21.3. Mjerenje odnosa ponude i potražnje
Ponuda i potražnja određuje:
a) tržnu cijenu,
b) uravnoteženu količinu robe.
Visinu tržne cijene određuje spremnost kupaca da na određenoj cijeni
neke robe svoju potražnju pretvore u kupovinu i spremnost ponuđača
da na istoj razini cijene prihvate prodaju. Tržna cijena se utvrđuje na
razini na kojoj je ponuđena i tražena količina jednaka, odnosno dolazi
do ravnotežne količine robe.
Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja kretanja ponude i
potražnje gdje se vidi tržna cijena i ravnotežna količina robe:
Tabelarni prikaz:
Grafički prikaz:
CIJENA TRAŽENA
KOLIČINA
PONUĐENA
KOLIČINA
TENDENCIJA
CIJENE
4 25 5 RAST
8 18 10 RAST
10 15 15 RAVNO-TEŽA
12 10 20 PAD
14 8 25 PAD
Odnos ponude i potražnje uspostavlja tržnu cijenu od 10 i ravnotežnu
količinu od 15.
Zakon ponude i zakon potražnje djeluje na kretanje tržne cijene ovisno
od odnosa ova dva zakona. Moguće je djelovanjem zakonitosti tržišta
(zakon ponude i zakon potražnje) djelovati na:
229

a) razinu cijena pomoću ponuđenih i traženih količina neke
robe, i
b) razinu količine robe (tražene i ponuđene) pomoću cijena.
Razina cijena određuje obim ponuđenih i traženih količina robe. U
našem primjeru niska cijena (C=4) stimulira visoku potražnju (25
kom.) i vrlo nisku ponudu (5 kom.).
Povećanje cijene stimulira ulazak dodatne ponude ali i smanjenje
potražnje. Rast cijena dovodi do ravnotežne cijene kao tržne cijene pri
kojoj su kupci spremni kupiti 15 kom. ali i prodavci prodati 15 kom.
Novo povećanje cijena (C=12 ili C=14) uključuje nove ponude (20 i
25 kom.) ali smanjuje potražnju (10 i 8 kom.), što dovodi do
formiranja zaliha radi nemogućnosti prodaje po visokim cijenama.
Povećana ponuđena količina može se prodati uz sniženje cijene što
dovodi do povratka na ravnotežnu cijenu i ravnotežnu količinu. Na
ovaj način se uspostavlja uzajamni utjecaj cijena na količinu i obratno
količina na cijenu.
Odnosi kretanja ponude i potražnje mogu biti raznovrsni:
a) potražnja se mijenja, a ponuda ostaje ista,
b) ponuda se mijenja, a potražnja ostaje ista, i
c) potražnja i ponuda se istovremeno mijenjaju.
230

22. KALKULACIJE
22.1. Pojam i značaj kalkulacije
Kalkulacija 14 poduzeću je računski postupak kojim se utvrđuju cijena.
Cijene koje se koriste u poduzećima su:
a) proizvođačka cijena
b) fakturna cijena dobavljača (proizvođač, veletrgovina ili drugi
isporučitelj robe) je neto prodajna cijena dobavljača iskazana u
fakturi.
c) Nabavna cijena podrazumijeva fakturnu cijenu dobavljača uvećanu
za zavisne troškove nabavke.
d) Uvozna nabavna cijena podrazumijeva fakturnu cijenu inozemnog
isporučitelja uvećanu za sve zavisne troškove nabave i uvoza.
e) Prodajna cijena bez poreza (PDV-a) je cijena koja pored nabavne
cijene sadrži i maržu poduzeća (na veliko ili na malo i zajedno
obje).
f) Prodajna cijena s porezom (sa PDV-om) je maloprodajna cijena
koju plaća krajnji kupac, a sadrži nabavnu cijenu uvećanu za maržu
i PDV.
g) Izvozna cijena podrazumijeva cijenu koja se fakturira inozemnom
kupcu, a obuhvaća fakturnu cijenu proizvođača uvećanu za maržu
izvoznika.
Moguće je da dobavljač (obično proizvođač) odredi maloprodajnu
cijenu sa PDV-om i onda u svojoj fakturi iskazuje:
1. maloprodajnu cijenu,
2. PDV,
3. prodajnu cijenu bez PDV-a (1-2),
4. rabat,
5. neto fakturnu cijenu (3-4).
Kalkulacija u poduzeću ima zadaću da:
- formira cijene,
- planira i kontrolira troškove,
14 Riječ kalkulacija nastaje od latinske imenice calculus koja znači: kamičak,
kamičak za računanje. Glagol calculare znači računati, izračunati.
231

- kontrolira ekonomičnost, i
- kontrolira rentabilnost poslovanja.
Pored kalkulacija cijena govorimo i o kalkulaciji troškova. U
poduzeću kalkulacija troškova obuhvaća sve troškove koji se odnose
na izvršenje jednog posla po nositelju ili mjestu nastajanja troškova.
Kalkulacije cijena u poduzećima imaju izuzetan značaj u vođenju
politike cijena i određivanju razine nabavnih i prodajnih cijena. Na
osnovi kalkulacija cijena moguće je ustvrditi ekonomičnost posla i
donijeti odluku o prihvaćanju ili neprihvaćanju određenog posla.
Značaj kalkulacije se očituje i u fazi pripreme zaključivanja posla kao
i u fazi kontrole realizacije posla, te u analiziranju ostvarenih cijena i
troškova u odnosu na planirane cijene i troškove.
Da bi kalkulacija odgovorila svojim zadacima, mora biti urađena na
sljedećim načelima:
a) potpuna, odnosno da obuhvati sve troškove koji se odnose na
poslove koji se kalkuliraju,
b) točna, odnosno da odgovara svim činjenicama o nastajanju troškova
i elemenatakalkulacije,
c) dokumentirana, odnosno da za svaku stavku u kalkulaciji postoji
odgovarajući dokument,
d) pregledna, odnosno da jasno i pregledno iskazuje pojedine pozicije
u kalkulaciji,
e) uporediva, odnosno da omogućuje upoređivanje s planom,
ostvarenjem ili drugim podacima dobivenim iz knjigovodstva i
drugih službi, i
f) blagovremena, odnosno da se radi u razdoblju kada je upotrebljiva
za donošenje odluka ili sagledavanje stanja i izvršenja posla.
Kalkulacija izrađena na ovim načelima daje jamstvo i pouzdanje da će
i realizacija posla dati očekivani i ukalkulirani rezultat.
232

22.2. Podjela kalkulacija
Ovisno od cilja kalkulacija kao i zadatka koji se postavlja prilikom
izrade kalkulacija, one se mogu dijeliti na:
a) kalkulacije troškova,
b) kalkulacije cijena, i
c) kalkulacije poslovnog rezultata.
Kalkulacija troškova predstavlja kalkuliranje svih troškova jednog
posla. Ova kalkulacija obuhvaća sve troškove po prirodnim vrstama
podijeljenim po mjestima ili nositeljima. Na ovaj način planiramo,
raspoređujemo i kontroliramo ostvarenje troškova na određenom
poslu.
Kalkulacija cijena se najčešće koristi u poduzećima i ima za cilj
utvrditi elemente cijene. Na osnovi toga moguće je donijeti optimalne
odluke iz oblasti cijena, kao i donijeti odluke o prihvaćanju nabavke,
odnosno prodaje.
Kalkulacija poslovnog rezultata omogućuje uvid u očekivani poslovni
rezultat iz određenog posla. Rasporedom ostvarenih troškova putem
kalkulacija moguće je sagledavati ekonomičnost i rentabilnost svakog
posla.
Svaku od navedenih vrsta kalkulacija moguće je dalje dijeliti po
raznim vrstama ovisno od gledišta promatranja i namjene posla,
odnosno cilja kalkulacije. Kalkulacije je moguće dijeliti sa sljedećih
gledišta prema:
a) vrsti poduzeća na:
- proizvođačke kalkulacije, i
- prometne kalkulacije,
b) planu na:
- planske kalkulacije, i
- ostvarene kalkulacije,
c) vremenu na:
- predkalkulaciju, i
- konačnu kalkulaciju,
233

d) vrsti prometa na:
- nabavne kalkulacije, i
- prodajne kalkulacije,
e) lokaciji tržišta na:
- kalkulacije na domaćem tržištu, i
- spoljnotrgovinske kalkulacije,
f) vrsti g poduzeća na:
- kalkulacije u veleprodaji, i
- kalkulacije u maloprodaji,
g) vrsti spoljnog posla na:
- izvozne kalkulacije,
- uvozne kalkulacije,
- kalkulacije kompenzacijskog posla,
- reeksportne kalkulacije,
- kalkulacije barter posla,
- kalkulacije svič posla,
- kalkulacije dorade i sl.
h) broju roba u poslu na:
- proste kalkulacije (s jednom robom), i
- složene kalkulacije (s dvije i više roba).
22.3. Metode kalkulacije
Metode kalkulacije predstavljaju način i proces izrade kalkulacije.
Metode i načini izrade kalkulacije mogu biti:
1) progresivna metoda,
2) retrogradna metoda, i
3) kombinacija progresivne i retrogradne metode.
1) Progresivna metoda predstavlja postepeno kalkuliranje od nižih ka
višim vrijednostima. Obično se polazi od fakture cijene dobavljača i
dodajući zavisne troškove nabave, dobivamo nabavnu cijenu. Na nju
dodajemo maržu i dobivamo prodajnu cijenu na koju dalje dodajemo
PDV i dobivamo maloprodajnu cijenu. Ovaj sustav građenja (zidanja)
kalkulacije je najčešće prisutan u poduzećima. Formiranje prodajnih
cijena po sustavu marži zasniva se na progresivnoj metodi izrade
kalkulacije.
234

Na sljedećem shematskom prikazu dajemo način izrade kalkulacije
cijena na domaćem tržištu od proizvođačke do maloprodajne cijene po
progresivnoj metodi:
PDV
Marža
Dobit
Prodajna cijena proizvođača
Zavi. Tr.
PDV
Dio
maloprodaje
Cijena koštanja
Zavisni
Fakturna cijena proizvođača
Marža
Nabavna cijena veletrgovine
Prodajna cijena veletrgovine
Fakturna cijena veletrgovine
Nabavna cijena maloprodaje
Prodajna cijena maloprodaje bez PDV
Prodajna cijena maloprodaje sa porezom na promet
Dio
veletrgovine
Dio
proizvođaču
Proizvođač Veletrgovina Maloprodaja
Struktura
Prodaja Nabava Prodaja Nabava Prodaja učešće
2) Retrogradna metoda ima suprotan tok kalkuliranja u odnosu na
progresivnu metodu. Ona polazi u kalkuliranju od viših ka nižim
vrijednostima. Obično je poznata prodajna cijena i retrogradnim
(inverznim) postupkom dolazi se do nabavne i fakturne cijene. Sustav
rabata u formiranju cijena zasniva se na retrogradnoj metodi.
235

3) Metodom kombinacije progresivne i retrogradne metode
istovremeno se koriste obje metode. U slučaju da je poznata
proizvođačka i maloprodajna cijena, dio koji pripada maloprodaji
možemo izračunati pomoću rabata, a istovremeno, zavisne troškove
nabave dodati da bi izračunali nabavnu cijenu. Ova metoda se u
cijelosti zasniva na primjeru izrade kalkulacije, na istovremenoj
primjeni progresivne metode (u jednoj fazi izrade kalkulacije) i
retrogradne metode (u drugoj fazi izrade kalkulacije).
22.4. Važniji pojavni oblici kalkulacije
Važniji oblici kalkulacije su:
1. Kalkulacija prodajne cijene gotovog proizvoda kod
proizvođača,
2. Kalkulacija pri nabavkama robe
3. Prodajna kalkulacija na domaćem tržištu u trgovini,
4. Izvozna kalkulacija.
Sadržaj, oblik i metode kalkulacije samostalno određuje poduzeće i
prilagođava ih svojim potrebama i mogučnostima.
1. Kalkulacija prodajne cijene gotovog proizvoda kod proizvođača:
1. Materijalni troškovi izrade
2. Nematerijalni troškovi izrade
3. Amortizacija
4. Ukalkulirane neto plaće
5. Doprinosi i porezi iz plaća
6. Rashodi financiranja
A. Cijena koštanja (1+2+3+4+5+6)
B. Dobit
C. Prodajna cijena (A+B)
Ova kalkulacija koji pravi proizvođač rađena je prema proizvodnim
vrstama troškova, s tim da se pojedine vrste troškova mogu detaljnije
kalkulirati kao npr. materijalni troškovi:
236

1. Utrošeni materijal za proizvod,
2. Ostali utrošeni materijal,
3. Utrošena energija,
4. Trošeni rezervni dijelovi,
5. Otpis sitnog inventara,
6. Transportne usluge,
7. Usluge na izradi proizvoda,
8. Usluge održavanja, i
9. Ostale usluge.
Proizvodna organizacija može praviti kalkulaciju svoje prodajne
cijene i prema drugim metodama grupiranja i podjele troškova kao
npr. podjela troškova na fiksne i varijabilne troškove u cijeni koštanja
ili podjelom na direktne i indirektne troškove itd.
2. Kalkulacije pri nabavkama robe
Nabavke robe trgovinska poduzeća pretežno vrše iz dva izvora:
a) od dobavljača u zemlji (proizvođači, veletrgovina i sl.), i
b) iz uvoza iz inozemstva.
Zavisno od vrste nabavke robe pravimo kalkulaciju za nabavku robe u
zemlji ili kalkulaciju za uvoznu robu. Osnovno načelo pravljenja
kalkulacija nabavne cijene pri nabavkama je isto. Na fakturnu cijenu
dobavljača dodaju se zavisni troškovi i dobijamo nabavnu cijenu:
1. Fakturna cijena dobavljača
2. Zavisni troškovi
3. Nabavna cijena (1+2)
a) Primjer kalkulacije nabavne cijene ako je roba kupljena na
domaćem tržištu:
1. Fakturna vrijednost dobavljača
2. Zavisni troškovi (a+b+c+d)
a) troškovi transporta,
b) transportno osiguranje,
c) troškovi istovara, i
d) transportni kalo i lom
237

3. Nabavna vrijednost (1+2)
4. Nabavljena količina
5. Nabavna cijena (3:4)
Nabavna vrijednost podrazumijeva ukupne vrijednosti, dok nabavna
cijena podrazumijeva cijenu po jedinici mjere (nabavna vrijednost
podijeljena s nabavljenom količinom).
Zavisni troškovi nabave robe su oni troškovi koji su vezani uz
nabavku robe (troškovi utovara, pretovara, transporta, osiguranja,
carina, špediterski troškovi is l.)
b) Primjer kalkulacije nabavne cijene ako je roba kupljena u
inozemstvu (uvoz robe):
1. Fakturna cijena robe (u valuti)
2. Zavisni troškovi u inozemstvu - do naše granice (u valuti)
a) transportni troškovi (u valuti)
b) osiguranje (u valuti)
c) provizija uvoznika (u valuti)
3. Cijena robe franko granica u valuti (1+2)
4. Preračun po važećem kursu u domaću valutu
5. Zavisni troškovi u zemlji (u domaćoj valuti)
a) carina
b) uvozne pristojbe
c) troškovi prijevoza od granice
d) osiguranje robe
e) špedicijski troškovi
f) troškovi kontrole kvaliteta
g) bankarski troškovi
h) provizija uvoznika
6. Ukupna nabavna (uvozna) vrijednost (4+5)
7. Uvezena količina
8. Nabavna (uvozna) cijena (6:7)
Ukoliko se nabavlja jedan proizvod, dosta je jednostavno izraditi
kalkulaciju nabavne cijene. Računica se nešto komplicira kada se
zajedno nabavlja više različitih proizvoda, pa im se zavisni troškovi
pojavljuju zajednički. Za svaku robu koja se nabavlja poznate su
238

veličine: fakturna cijena, količina i fakturirana vrijednost. Poznate
veličine služe da se pomoću njih izvrši raspored zavisnih troškova na
svaku vrstu robe. Za raspored zavisnih troškova možemo koristiti
ključeve: po količini robe, po vrijednosti, po zapremini i po težini.
Raspored zavisnih troškova možemo vršiti po jednom ključu za sve
troškove ili po različitim ključevima za svaki trošak zavisno od toga
koji faktor utječe na pojedini trošak i tako razlikujemo:
- količina robe utječe na troškove transporta, pakiranja,
skladištenja, utovara, pretovaranja, istovara i sl.,
- vrijednost robe utječe na troškove osiguranja, carinu,
pristojbe, špedicijske usluge i sl.,
- zapremina robe utječe na troškove prijevoza, skladištenja,
ambalažu i sl., i
- težina robe utječe na troškove transporta, pretovara, utovara,
istovara, skladištenja i sl.
U svakoj varijanti rasporeda zavisnih troškova, po vrstama robe koje
se nabavljaju, potrebno je maksimalno rasporediti troškove razmjerno
stupnju nastajanja tih troškova na svakog nositelja zavisnog troška
kako bi dobili što točniju nabavnu vrijednost i nabavnu cijenu.
3. Prodajne kalkulacije na domaćem tržištu
Način pravljenja prodajne kalkulacije u maloprodaji i veleprodaji je
identičan, pa ih nećemo odvojeno prikazivati.
Postoje dva osnovna načina pravljenja prodajne kalkulacije robe na
domaćem tržištu:
a) sustav marži, i
b) sustav rabata.
a) Prodajna kalkulacija po sustavu marži (bez PDV-a):
1. Nabavna cijena - NC
2. + Marža - M
3. Prodajna cijena (1+2) - PC
PC = NC + M
239

) Prodajna kalkulacija po sustavu rabata (bez PDV-a):
1. Prodajna cijena - PC
2. Rabat - R
3. Nabavna cijena (1-2) - NC
NC = PC - R
c) Prodajna kalkulacija s PDV-om
1. Po sustavu marži
1. Nabavna cijena - NC
2. Marža - M
3. Prodajna cijena bez PDV-a (1+2) - PC bez PDV-a
4. PDV - PDV
5. Maloprodajna cijena s PDV-om (3+4) - MC
MC = NC + M + PDV
MC = PC bez PDV + PDV
Marža je dio koji se dodaje na nabavnu cijenu da bi se dobila prodajna
cijena.
Rabat je dio koji se umanjuje da bi se dobila nabavna cijena (popust
na cijenu).
d). Po sustavu rabata
1. Prodajna cijena bez PDV-a - PC bez PDV-a
2. Rabat - R
3. Nabavna cijena (1-2) - NC
4. PDV - PDV
5. Maloprodajna cijena s PDV-OM (1+4) - MC
MC = PC bez Pp + Pp
NC = PC - R
4. Izvozna kalkulacije
Izvozna kalkulacija se pravi pri izvozu robe bilo da spoljno poduzeće
pruža samo usluge izvoza (poslovi posredovanja pri izvozu) ili izvozu
robe kojoj je ona vlasnik. Suštinske razlike u pravljenju izvozne
kalkulacije u jednom ili drugom slučaju nema, izuzev što se u prvom
240

slučaju polazi od fakturne cijene proizvođača, a u drugom slučaju od
nabavne cijene robe.
Primjer izvozne kalkulacije:
1. Fakturna cijena proizvođača
2. Marža izvoznika
3. Izvozna cijena (1+2)
4. Preračun u valutu po važećem kursu.
Kod izvozne kalkulacije moguće je predvidjeti da se pojedini
značajniji troškovi izvoza posebno kalkuliraju (transport, osiguranje,
špedicijske usluge, bankarski troškovi i sl.). Inače se ugovorom o
izvozu precizira koji sudionik u izvozu snosi pojedine troškove.
Ukoliko neke troškove izvoza snosi spoljnotrgovinska organizacija,
ugovorom se odredi da li će ih spoljnotrgovinska organizacija posebno
iskazivati i pokriti iz priljeva po izvozu ili će ih pokriti iz svoje marže.
22.5. Primjeri kalkulacije
Navest ćemo sljedeće primjere kalkulacije:
• Kalkulacija prodajne cijene odijela,
• Kalkulacija nabavne cijene,
• Kalkulacija maloprodajne cijene sa maržom,
• Kalkulacija prodajne cijene sa rabatom,
• Kalkulacija prodajne cijene u izvozu i
• Kalkulacija prodajne cijene pri uvozu.
241

PRIMJER 1.
KALKULACIJA PRODAJNE CIJENE ODIJELA
Proizvodna tekstilna firma pravi kalkulaciju prodajne cijene odijela na
bazi troškovi plus dobit.
R.b.
O P I S
za 500 kom za 1 kom
odijela odijela
1. Direktni troškovi - ukupno od čega: 62.500 KM 125,00 KM
a) materijal izrade 47.500 KM 95,00 KM
b) bruto plaće izrade 15.000 KM 30,00 KM
2. Režija proizvodnog pogona - ukupno od čega:
40.000 KM 80,00 KM
a) razni troškovi 30.000 KM 60,00 KM
b) bruto plaće režije pogona 10.000 KM 20,00 KM
3. Režija uprave i marketinga - ukupno od čega:
32.500 KM 65,00 KM
a) razni troškovi 20.000 KM 40,00 KM
b) bruto plaće uprave i marketinga 12.500 KM 25,00 KM
4. Ukupni trokovi (1+2+3) 135.000 KM 270,00 KM
5. Dobit (10% od 4) 13.500 KM 27,00 KM
6. Prodajna cijena odijela proizvođača (4+5)
148.500 KM 297,00 KM
Pri utvrđivanju direktnih troškova polazi se od točnih pokazatelja i
normativa utroška sa nabavnim cijenama materijala. Npr. za jedno
odijelo direktni troškovi su:
a) Materijalni troškovi:
- 3,10 m štofa po 20 KM = 62,00 KM
- 2,00 m postave po 7 KM = 14,00 KM
- 0,80 m fiksir po 5 KM = 4,00 KM
- 4 kom veće dugmadi po 1 KM = 4,00 KM
- 6 kom manje dugmadi po 0,50 KM = 3,00 KM
- 1 kom rajfešlus po 2,00 KM = 2,00 KM
- 1 kom vješalica po 1,5 KM = 1,50 KM
- 1 kom najlon kesa po 0,80 KM = 0,80 KM
- 1 kom kopča po 0,20 KM = 0,20 KM
- ostali razni pribor = 3,50 KM
Ukupno materijalni troškovi
95,00 KM
242

) Direktne bruto plaće
- krojenje 30 min po 0,15 KM = 4,50 KM
- šivanje 150 min po 0,15 KM = 22,50 KM
- peglanje i dorada 20 min po 0,15 KM = 3,00 KM
Ukupno direktne bruto plaće = 30,00 KM
Ukupno direktni troškovi (a+b) = 125,00 KM
Direktne bruto plaće izračunavaju se na bazi normativa rada za svaku
operaciju pri krojenju i šivanju odijela sa planiranim plaćama
uvećanim za doprinose i poreze na plaće.
Primjer kalkulacije u našem slučaju je dosta pojednostavljen jer u
praksi imamo u jednom poduzeću više pogona, a u svakom pogonu
više linija sa nizom vrsta proizvoda. U slučaju prisustva više pogona i
više linija postoji mogućnost da pojedini proizvodi imaju vrlo
uspješno kreativno rješenje i da se može postići znatno viša prodajna
cijena od principa troškovi plus dobit, koja je procentualno unaprijed
utvrđena za sve proizvode ista (na primjer 10% na ukupne troškove i
bruto plaće). U tom slučaju procenat dobiti može biti i znatno veći.
Zato je prihvatljivije u ovom slučaju procenat dobiti utvrđivati od
proizvoda do proizvoda, zavisno od njegove ukupne uspješnosti
(kvaliteta, boje, modnosti, aktuelnosti i sl.).
PRIMJER 2.
KALKULACIJA NABAVNE CIJENE
Firma je kupila 8.000 kg šećera po cijeni od 0,90 KM za 1 kg i
4.000 kg brašna po cijeni od 0,50 KM za 1 kg. Troškovi transporta
iznose 1.200 KM, osiguranje robe 300 KM i troškovi pretovara 600
KM. Napravite kalkulaciju nabavne cijene za svaki artikal s tim da
troškove transporta podjelite prema težini a ostale zavisne troškove
prema vrijednosti robe.
243

Rješenje zadatka: izrada kalkulacije nabavne cijene
R.br. O p i s Ukupno Šećer Brašno
1. Fakturna vrijednost dobavljača 9.200 KM 7.200 KM 2.000 KM
2. Zavisni troškovi
a) transport
b) osiguranje
c) pretovar
1.200 KM
300 KM
600 KM
800 KM
235 KM
470 KM
400 KM
65 KM
130 KM
3. Nabavna vrijednost – ukupno 11.300 KM 8.705 KM 2.595 KM
4. Nabavljena količina 12.000 KM 8.000 kg 4.000 kg
5. Nabavna cijena za 1 kg (3:4) - 1,088 KM 0,648 KM
a) Fakturna vrijednost dobavljača
- šećer 8.000 kg x 0,90 KM = 7.200 KM
- brašno 4.000 kg x 0,50 KM = 2.000 KM
Ukupno 9.200 KM
b) Podjela transportnih troškova prema težini:
- šećer 8.000 kg
- brašno 4.000 kg
Ukupno 12.000 kg
Troškovi transporta 1.200 KM : 12.000 kg = 0,10 KM po 1 kg
- troškovi transporta šećera (8.000 x 0,10) = 800 KM
- troškovi transporta brašan (4.000 x 0,10) = 400 KM
c) Podjela troškova osiguranja prema vrijednosti robe:
Ukupna fakturna vrijednost robe je 9.200 KM
Troškovi osiguranja iznose 300 KM : 9.200 KM = 0,0326 KM po 1
KM vrijednosti.
- troškovi osiguranja šećera 7.200 KM x 0,0326 = 235 KM
- troškovi osiguranja brašna 2.000 KM x 0,0326 = 65 KM
Ukupno osiguranje 300 KM
d) Podjela troškova pretovara prema vrijednosti robe:
Ukupna fakturna vrijednost robe je 9.200 KM
Troškovi pretovara 600 KM : 9.200 KM = 0,0652 KM
- troškovi pretovara šećera 7.200 KM x 0,0652 = 470 KM
- troškovi pretovara brašna 2.000 KM x 0,0652 = 130 KM
Ukupno pretovar 600 KM
244

PRIMJER 3.
KALKULACIJA MALOPRODAJNE CIJENE SA MARŽOM
Napravite kalkulaciju maloprodajne cijene sa porezom na promet za 1
komad, te za ukupnu količinu, na temelju sljedećih informacija:
- troškovi prevoza 3.000 KM
- kupljeno robe od dobavljača 800 kom
- fakturna cijena dobavljača za 1 kom 55 KM
- troškovi carine 2.000 KM
- marža 10%
- PDV 15%
- rabat koji daje dobavljač 10%
Rješenje zadatka:
R.br. O p i s Ukupno 800 kom za 1 kom
1. Fakturna cijena dobavljača 44.000 55
2. Rabat dobavljača 10% (na l.) 4.000 5
3. Neto fakturna cijena dobavljača (1-2) 40.000 50
4. Zavisni troškovi : (a+b)
a) troškovi prevoza
b) troškovi carine
5.000
3.000
2.000
6,25
3,75
2,50
5. Nabavna vrijednost (3+4) 45.000 56,25
6. Marža 10% (od 5.) 4.500 5,625
7. Prodajna cijena bez PDVa (5+6) 49.500 61,875
8. PDV npr. 15% (od 7.) 7.425 9,281
9. Maloprodajna cijena sa PDV-om (7+8) 56.925 71,156
PRIMJER 4.
KALKULACIJA PRODAJNE CIJENE SA RABATOM
Proizvođač je utvrdio jedinstvenu prodajnu cijenu za svoj proizvod od
650 KM. Daje ukupni rabat veletrgovini od 15% s tim da veletrgovina
od tog ukupnog rabata 10% rabata ustupa maloprodaji za pokrivanje
njihovih troškova. Porez na promet iznosi 20%. Napravite
maloprodajnu cijenu i izračunajte učešće veletrgovine i malotrgovine
u rabatu.
Rješenje zadatka:
1. Prodajna cijena bez poreza 650,00
2. Rabat 15% (od 1.) - ukupno 97,50
a) rabat 5% veletrgovini (od 1.) 32,50
b) rabat 10% maloprodaji (od 1.) 65,00
245

3. Nabavna cijena za veletrgovinu (1-2) 552,50
4. Nabavna cijena za maloprodaju (1-2b) 585,00
5. Porez na promet 20% (od 1.) 130,00
6. Maloprodajna cijena sa porezom (1+5) 780,00
Napomena:
1. Maloprodaja će od maloprodajne cijene kada proizvod proda i
naplati prihod rasporediti:
a) Veletrgovini 585
b) PDV 130
c) Ostaje maloprodaji 65
Prodajna cijena 780
2. Veletrgovina će naplatiti od maloprodaje 585 KM i svoj prihod će
rasporediti:
a) Proizvođaču 552,50
b) Ostaje veletrgovini 32,50
Prodajna cijena veletrgovine 585,00
PRIMJER 5.
KALKULACIJA CIJENA U IZVOZU
Proizvođač tekstila izvozi konfekciju u Njemačku i osigurao je izvoz
350 kom odijela po cijeni koju plaća strani kupac 70 DM franko
Frankfurt. Provizija izvoznika iznosi 5% od izvozne cijene. Troškove
vezane za izvoz do Frankfurta snosi izvoznik i posebno ih fakturira
proizvođaču. Troškovi su: transport 3.000 KM, osiguranje 500 KM i
špedicijske usluge 200 KM.
Rješenje zadatka:
R.br. O p i s za 350 kom za 1 kom
1. Fakturna cijena stranom kupcu 24.500 DM 70 DM
2. Preračun u domaću valutu 1:1 24.500 KM 70 KM
3. Provizija izvozniku 5% (od 2.) 1.225 KM 3,5 KM
4. Troškovi izvoza (a+b+c)
a) transport
b) osiguranje
c) špedicijske usluge
3.700 KM
3.000 KM
500 KM
200 KM
10,57 KM
8,57 KM
1,43 KM
0,57 KM
5. Ukupno na teret proizvođača (3+4) 4.925 KM 14,07 KM
6. Za isplatu proizvođaču (1-5) 19.575 KM 55,93 KM
7. Ukupna vrijednost izvoza (isto 1.)(5+6) 24.500 KM 70,00 KM
246

PRIMJER 6.
KALKULACIJA CIJENE PRI UVOZU
Ugovoren je uvoz 15.000 kg šećera iz Barcelone za domaćeg kupca u
Sarajevu. Napravite uvoznu kalkulaciju ako su vam poznati sljedeći podaci:
- fakturna cijena dobavljača u Barceloni za 1 kg šećera 0,40 američkih
dolara,
- troškovi utovara na brod ukupno 3.000 dolara,
- troškovi brodskog prevoza do luke Ploče 0,10 dolara po 1 kg,
- osiguranje morskog prevoza 0,05 dolara po 1 kg,
- troškovi prevoza od Ploča do Sarajeva 800 KM ukupno (prevoz
željeznicom),
- osiguranje na relaciji Ploče - Sarajevo 0,03 KM po 1 kg,
- troškovi prevoza od željezničke stanice Sarajevo do skladišta kupca
300 KM ukupno,
- špediterski troškovi 0,5% na vrijednost ukupnog uvoza,
- bankarski troškovi 1% na vrijednost plaćanja svih troškova do granice,
- troškovi carine 12%,
- provizija uvoznika 5% na ukupnu uvoznu vrijednost,
- kurs 1 američki dolar = 1,60 KM.
Rješenje zadatka:
R.br. O p i s za 1 kg za 15.000 kg
1. Fakturna cijena dobavljača 0,40$ 6.000 $
2. Troškovi utovara 0,20$ 3.000 $
3. Troškovi morskog prevoza 0,10$ 1.500 $
4. Osiguranje morskog prevoza 0,05$ 750 $
5. Ukupni troškovi do granice 0,75$ 11.250$
6. Preračun u KM (1:1,60) 1,20 KM 18.000 KM
7. Troškovi carine 12% (od 6.) 0,14 KM 2.160 KM
8. Vrijednost ocarinjene robe (6+7) 1,34 KM 20.160 KM
9. Zavisni troškovi u zemlji (a+b+c)
a) troškovi željezničkog prevoza
b) osiguranje Ploče - Sarajevo
c) prevoz željeznička stanica-skladište
0,103 KM
0,053 KM
0,030 KM
0,020 KM
1.550 KM
800 KM
450 KM
300 KM
10. Vrijednost uvoza (8+9) 1,443 KM 21.710 KM
11. Špediterski troškovi 0,5% (od 10.) 0,0072 KM 108 KM
12. Bankarski troškovi 1% (od 5.) 0,0075 KM 112 KM
13. Ukupan uvoz (10+11+12) 1,4577 KM 21.930 KM
14. Provizija uvoznika 5% (od 13.) 0,0730 KM 1.096 KM
15. Ukupna vrijednost uvoza 1,5307 KM 22.026 KM
Manja odstupanja su nastala radi zaokruživanja.
247

22.6. Tehnika izračunavanja marže
Marža se može definirati na sljedeće načine:
a) marža je razlika između nabavne i prodajne cijene (M = PC -
NC),
b) marža je razlika u cijeni (M = RUC),
c) marža je dio koji se dodaje na nabavnu cijenu da bi se dobila
prodajna cijena, (PC = NC + M)
d) marža je cijena rada g poduzeća.
Sve četiri definicije marže se mogu uzeti kao točne jer ukazuju na istu
stvar promatrano s raznih gledišta. U tržišnim uvjetima poslovanja
marža postaje sredstvo pomoću kojeg iskazujemo razliku u cijeni.
Dodavanjem marže na nabavnu cijenu dobivamo prodajnu cijenu.
Marža je razlika u cijeni iz koje pokrivamo sve troškove poslovanja i
dio dobiti. Praktično, marža i razlika u cijeni su isti pojam iskazan
drukčije, pa sve što je istaknuto za razliku u cijeni važi i za maržu.
Visina marže se određuje zavisno od visine nabavne cijene pri čemu
se procjenjuje prihvatljivost prodajne cijene od kupaca
Na nekoliko primjera pokazat ćemo tehniku izračunavanja marže.
PRIMJER 1.
Najjednostavniji slučaj izračunavanja marže je u varijanti kada je
poznata nabavna cijena i procenat marže. Potrebno je izračunati
apsolutnu maržu i prodajnu cijenu. U primjeru gdje je nabavna cijena
140 KM i procenat marže 15% treba izračunati apsolutnu maržu i
prodajnu cijenu.
Marža =
NC × 15% 140 × 15%
= =
100 100
1. Nabavna cijena 140 KM
2. Marža 15% 21 KM
3. Prodajna cijena (1+2) 161 KM
21KM
248

PRIMJER 2.
Evo slučaja, kada nam je poznata procentualna marža u nabavnoj
cijeni i poznata prodajna cijena, kako ćemo izračunati apsolutnu
maržu i nabavnu cijenu. Primjer: Marža je 15% od nabavne cijene a
prodajna cijena je 161. Kolika je apsolutna marža i kolika je nabavna
cijena
Prvo vršimo preračun marže od nabavne cijene na procentualno
učešće marže u prodajnoj cijeni.
15% × 100 1500
Preračunati % marže u PC = = = 13,043%
15% + 100 115
13,043% × 161
Apsolutna marža od PC = = 21
100
KM
1. Prodajna cijena 161 KM
2. Marža 13,043% 21 KM
3. Nabavna cijena (1-2) 140 KM
Marža u prodajnoj cijeni od 13,043% je isto što i marža od 15% od
nabavne cijene. Isti rezultat smo mogli dobiti i jednostavnije putem
sljedeće formule:
PC × 100 161×
100
Nabavna cijena = = = 140 KM
100 + 15% 115
1. Prodajna cijena 161 KM
2. Nabavna cijena 140 KM
3. Marža (1-2) 21KM
249

23. MJERENJE USPJEŠNOSTI POSLOVANJA
23.1.Pojam i značaj finansijskog rezultata
Svako poduzeće osnovni smisao svog postojanja i poslovanja nalazi u
ostvarivanju dobiti iz poslovanja. Dobit nastaje kao pozitivna razlika
između prihoda i rashoda. Ukoliko su rashodi veći od prihoda, nastaje
gubitak u poslovanju.
Poduzeće u svom poslovanju vrši ulaganja u poslovni ciklus:
predmete rada, rad i sredstva za rad, a potrošeni dio uloženih sredstava
iskazuje u obliku troškova i rashoda poslovanja.
Ulaganja u poslovni ciklus vrše se s namjerom obavljanja poslovnog
reprodukcijskog ciklusa, odnosno, stvaranja prihoda po osnovi prodaje
roba i usluga. Prihodi nam pokazuju što je poduzeće dobilo svojim
poslovanjem, a rashodi nam pokazuju što je poduzeće potrošilo od
sredstava u ostvarivanju prihoda.
Financijski rezultat predstavlja razliku između prihoda i rashoda, a on
može biti dobit (ako je veći prihod od rashoda) ili gubitak (ako su
rashodi veći od prihoda).
Osnovni cilj poslovanja poduzeća je ostvarivanje dobiti iz poslovanja,
odnosno ostvarenje pozitivnog financijskog rezultata. Rezultat ciklusa
se iskazuje financijskim rezultatom koji može imati tri pojavna oblika:
1. ukupan prihod je veći od ukupnih rashoda (UP>UR), a
ekonomičnost poslovanja je veća od 1 (E>1) i ostvaruje se dobit,
2. ukupan prihod je manji od ukupnih rashoda (UP

Ocjenjivanje rezultata poslovanja i ocjenjivanje ostvarenja
postavljenih ciljeva poslovanja vrši se pomoću financijskog rezultata.
Upoređivanje ostvarenog financijskog rezultata vrši se sa:
- planiranim financijskim rezultatom,
- ostvarenim financijskim rezultatom u prethodnom razdoblju, i
- ostvarenim financijskim rezultatom istog ili sličnog drugog
poduzeća.
Vrijeme za koje se vrši obračun financijskog rezultata može biti:
godina, pola godine, kvartal ili mjesec.
Razine u poduzeću za koje se vrši obračun financijskog rezultata
mogu biti:
- ukupno poduzeće,
- organizacijski dijelovi poduzeća,
- funkcije u poduzeću,
- pojedine robe ili grupe roba, itd.
Zakonskim propisima se regulira, najčešće, da je poduzeće obvezno
praviti financijski obračun poslovanja samo za razinu poduzeća i
dostavljati ga ovlaštenom organu, dok odlučivanje za koje ostale
razine u poduzeću će se praviti financijski obračun poslovanja se
prepušta internim odlukama svakog poduzeća.
Financijski rezultat poslovanja iskazuje se putem dva računovodstvena
iskaza:
1. bilanca uspjeha, i
2. bilanca stanja.
Bilanca uspjeha iskazuje ukupan prihod, ukupne rashode i rezultat
poslovanja - dobit ili gubitak, u poslovnoj godini do dana bilanciranja.
Bilanca stanja iskazuje stanje sredstava i izvora sredstava na dan
bilanciranja.
Pored balance uspjeha i balance stanja za poslovanje preduzeće
potrebno je mjerenje uspješnosti poslovanja kroz produktivnost,
ekonomičnost i rentabilnost, kao i utvrđivanje praga rentabilnosti.
251

23.2.Pojam i značaj produktivnosti
Produktivnost možemo definirati kao odnos između proizvedene
količine ili prometa i količine bilo kojeg činioca koji je sudjelovao u
prometu. Najčešće se koristi produktivnost kao:
a) produktivnost rada, kao odnos između količine prometa i
količine uloženog ljudskog rada, i
b) produktivnost sredstava, kao odnos između proizvedene
proizvedene količine ili prometa i uloženih sredstava.
U upotrebi se ipak najviše koristi pojam produktivnosti rada (P) po
kojem se mjeri odnos između proizvedene količine ili prometa (K) i
količine uloženog ljudskog rada (R).
P = K
R
=
Koli čina prometa i proizvodnje
Uloženi ljudski rad
Kod iskazivanja produktivnosti rada moguće je i obrnuti odnose, pri
čemu dobivamo odnos koliko na jedinicu prometa trebamo uložiti
ljudskog rada.
P = R
K
=
Uloženi ljudski rad
Koli čina prometa ili proizvodnje
Ukoliko želimo iskazati produktivnost sredstava, koristimo formulu:
P = K =
Koli čina proizvodnje ili prometa ili
S
Uložena sredstva
Uložena sredstva K
=
Količina proizvodnje ili prometa S
Na ovaj način iskazana produktivnost pokazuje koliko na jedinicu
uloženih sredstava ostvarujemo prometa ili proizvodnje.
S obzirom da je produktivnost dosta širok pojam, potrebno je utvrditi
koju produktivnost želimo mjeriti i na osnovi toga utvrditi mjeru
produktivnosti. Polazna osnova mjerenja produktivnosti u poduzećima
je odnos proizvodnje ili prometa prema nekom od činitelja uloženom
u promet ili proizvodnju.
252

Produktivnost=
Pojavni oblik učinka prometa ili proizvodnje
Pojavni oblik činitelja koji učestvuje u prometu ili proizvodnji
a) Pojavni oblik učinka proizvodnje ili prometa može biti:
1. Fizički obim prometa ili proizvodnje,
2. Vrijednosni obim po stvarnim cijenama,
3. Vrijednosni obim po planskim cijenama,
4. Vrijednosni obim po stalnim cijenama,
5. Vrijednost obima po nabavnim cijenama,
6. Ukupan prihod, i
7. Dobit.
Učinak prometa iskazan u fizičkom obimu je najbolja veličina za
mjerenje produktivnosti.
b) Pojavni oblik faktora koji sudjeluju u prometu mogu biti:
- za mjerenje produktivnosti rada, i
- za mjerenje sredstava.
Ako želimo mjeriti produktivnost rada, pojavni oblici mogu biti:
1. prosječan broj uposlenih po spisku,
2. prosječan broj uposlenih na temelju ukalkuliranih sati rada,
3. ukalkulirani sati rada,
4. prosječan broj izravnih djelatnika,
5. ukalkulirani sati rada izravnih djelatnika,
6. ukalkulirane ukupne plaće, i
7. ukalkulirane plaće izravnih djelatnika.
Ako želimo mjeriti produktivnost sredstava, pojavni oblici mogu biti:
1. Vrijednost ukupnih sredstava,
2. Vrijednost stalnih poslovnih sredstava,
3. Vrijednost obrtnih sredstava,
4. Vrijednost sredstava za rad, i
5. Poslovna površina u m 2 .
Koji će se pojavni oblici koristiti u brojniku a koji u nazivniku, zavisi
od niza faktora (obim prometa, širina asortimana, izmjena cijena i sl.)
253

kao i ciljeva mjerenja produktivnosti. Broj alternativa u računanju
produktivnosti je dosta velik i omogućava izbor najbolje varijante.
23.3. Mjerenje ekonomičnosti
Ekonomičnost predstavlja odnos prihoda i rashoda pa se iskazuje po
formuli:
Prihod P
E = =
Rashod R
koji pokazuje koliko je na 1 KM rashoda ostvareno prihoda. Ako je
odnos 1 i veći od 1, poslovanje je ekonomično, a ako je odnos manji
od 1, poslovanje je neekonomično.
Za mjerenje ekonomičnosti rada možemo koristiti i obrnuti izraz:
Rashodi
E = Prihod
koji pokazuje koliko je za 1 KM prihoda potrebno utrošiti rashoda.
Ako je odnos 1 i veći od 1, poslovanje je neekonomično, a ako je
odnos manji od 1 poslovanje je ekonomično.
U praksi se pretežno koristi prvi izraz kao mjerilo ekonomičnosti, pa
ćemo se u daljnjem izlaganju zadržati na tom izrazu ekonomičnosti.
U poduzećima mjerenje ekonomičnosti utvrđuje se odnosom prihoda i
rashoda.
Prihod u sebi sadrži ostvareni promet po prodajnim cijenama a što je
dosta podudarno ukupnom prihodu, pa se i ta veličina koristi za
izračunavanje ukupne ekonomičnosti na razini poduzeća.
Rashodi sadrže u sebi sve troškove i rashode poslovanja, pa se ukupni
rashodi koriste pri izračunavanju ukupne ekonomičnosti.
254

Obrazac za izračunavanje ekonomičnosti u poduzećima je:
E =
Prihod =
Rashodi
Ukupan prihod
Ukupni rashodi
Ekonomičnost poslovanja može imati tri osnovne značajke:
a) ekonomičnost je veća od 1 (E>1) ako su prihodi veći od
rashoda i u tom slučaju poduzeće posluje ekonomično i sa
dobiti,
b) ekonomičnost je ravna 1 (E=1) ako su prihodi isti rashodima i
u tom slučaju poduzeće posluje ekonomično ali na granici i
bez dobiti i gubitka,
c) ekonomičnost je manja od 1 (E

(amortizacija, troškovi predmeta rada i troškovi plaća, kao i ostali opći
i zajednički troškovi poslovanja).
Iako prividno postoji dosta sličnosti između ekonomičnosti i
rentabilnosti, ipak su značajne razlike.
Ekonomičnost predstavlja odnos između prihoda i rashoda dok
rentabilnost predstavlja odnos između dobiti i uloženih ili utrošenih
sredstava. Povezanost između pokazatelja ekonomičnosti i
rentabilnosti u poduzećima je funkcionalna jer se oba pokazatelja
izražavaju vrijednosno. Svako povećanje ekonomičnosti povećava i
rentabilnost i obratno.
Princip povećanja rentabilnosti se zasniva na želji da se ostvari što
veća dobit uz minimalno angažiranje sredstava u proces poslovanja. Iz
toga proizlaze zadaci u smjeru povećanja rentabilnosti:
a) povećanje dobiti kroz povećanje prometa i ukupnog prihoda
uz smanjenje ukupnih troškova poslovanja ili njihov sporiji
rast od rasta ukupnog prihoda, i
b) smanjenje angažiranih prosječnih poslovnih sredstava.
23.5. Mjerenje praga rentabilnosti
Prag rentabilnosti je obim prometa na kojem se ukupan prihod
izjednačava s ukupnim troškovima. Iznad tog obima prometa ostvaruje
se rentabilno poslovanje, odnosno dobit. U ekonomskoj literaturi ovaj
pojam se često iskazuje i kao prag ekonomičnosti, točka pokrića,
mrtva točka i sl. Obim prometa do praga rentabilnosti ostvaruje
poslovanje s gubitkom jer su ukupni troškovi veći od ukupnog
prihoda.
Grafikon rentabilnosti pokazuje odnos prihoda i troškova za razne
stupnjeve obima prometa. U njemu se iskazuje odnos prihoda,
odnosno realizacije, troškova i financijskog rezultata po stupnjevima
obima prometa. Grafikon rentabilnosti se ne upušta u analizu
rentabilnosti nego samo pokazuje grafički ili tabelarno kretanje
troškova i realizacije.
256

Obim prometa je uvjetovan kretanjem troškova i cijena, ali
istovremeno uvjetuje njihovo kretanje. Za poduzeće je značajno
ustanoviti uzajamno djelovanje obima prometa, cijena i troškova, kao i
njihov utjecaj na kretanje dobiti iz poslovanja.
Grafikon rentabilnosti ima značajnu primjenu u vođenju politike
cijena. Na osnovi njega mogu se donositi racionalne odluke o
cijenama i obimu prometa. Grafikon rentabilnosti ima značajnu
grafičku primjenu jer prikazuje utjecaj obima prodaje na troškove,
realizaciju i dobit za razne stupnjeve obima prometa. Jedan od
najvažnijih pokazatelja iz grafikona rentabilnosti je prag rentabilnosti.
Grafikon rentabilnosti se zasniva na poznavanju fiksnih i varijabilnih
troškova po jedinici prometa i ukupno. Varijabilni troškovi imaju
karakter proporcionalnih i po jedinici prometa su stalno isti. Ukupan
prihod je umnožak obima prodaje u fizičkim jedinicama i cijenom po
jedinici. Pretpostavlja se da se sav obim prometa može realizirati po
istim prodajnim cijenama, s tim da se grafikon rentabilnosti može
raditi za razne razine cijena.
Već smo istaknuli da je prag rentabilnosti točka kada je ukupan prihod
jednak ukupnim troškovima.
Za utvrđivanje praga rentabilnosti koriste se sljedeće veličine:
a) Ukupan prihod (UP) je umnožak stalne prodajne cijene (Pc) i obima
prodaje (K),
UP = K × Pc
b) Ukupni troškovi (UT) su zbir ukupnih fiksnih troškova (UFT) i
umnoškom varijabilnih proporcionalnih troškova (Vt) po jedinici
prometa s obimom prodaje (K),
UT = UFT + Vt × K
c) Prag rentabilnosti je ona količina prometa na kojoj je ukupan prihod
(UP) jednak ukupnim troškovima (UT),
UP = UT ili Pc × K = UFT + Vt × K
257

Prag rentabilnosti za obim prometa je:
UFT
K =
Pc - Vt
Prag rentabilnosti u vrijednosti (visina ukupnog prihoda) je:
UP = UFT Vt
1−
Pc
Grafikon rentabilnosti (tabelarni i grafički) i izračunavanje praga
rentabilnosti ilustrovat ćemo sljedećim primjerom:
- prodajna cijena (Pc) je 800 KM,
- obim prodaje fizički raste po 500 jedinica,
- ukupni fiksni troškovi su 600.000 KM i
- varijabilni proporcionalni troškovi po jedinici su 500 KM.
Izračunaj:
- prag rentabilnosti,
- ukupan prihod i ukupne troškove za svaki stupanj obima
prometa, i
- dobit, odnosno gubitak za svaki stupanj obima prometa.
Prag rentabilnosti (za količinu prodaje), možemo izračunati izravno
pomoću navedenih formula:
UFT 600.000
K= = = 2.000 komada
Pc - Vt 800 − 500
Prag rentabilnosti ostvarujemo na obimu prodaje od 2.000 komada.
Prag rentabilnosti u vrijednosti (UP=UT) je:
UFT 600.000 600.000 600.000
UP= = = = = 1,600.000 KM
1−
1−
1−
0,625 0,375
Vt
Pc
500
800
Prag rentabilnosti ostvarujemo pri ukupnom prihodu od 1,600.000
KM. Obim prodaje je ako ukupan prihod podijelimo s prodajnom
cijenom:
K=UP : Pc
K=1,600.000 : 800 = 2.000 komada
258

Dobijemo prag rentabilnosti na obim prodaje od 2.000 komada, kao i
po prvoj formuli.
Prag rentabilnosti se postiže na obim prodaje kada je ukupan prihod
jednak ukupnim troškovima. UP = UT na obim prometa od
2.000 komada i kada je UP = 1,600.000 KM, odnosno UT = 1,600.000
KM.
Do praga rentabilnosti ostvarujemo gubitak u poslovanju, a nakon
praga rentabilnosti ostvarujemo pozitivan financijski rezultat (dobit).
Iz grafičkog prikaza vidimo da se prag rentabilnosti ostvaruje na
obimu prometa u količinama od 2.000 komada kada je ukupan prihod
jednak ukupnom trošku. Sve do praga rentabilnosti ukupan prihod je
manji od ukupnih troškova i poslujemo s gubitkom. Od praga
rentabilnosti i uz povećanje obima prodaje prelazi se u rentabilno
poslovanje kada je ukupan prihod veći od ukupnih troškova.
259

24. MJERENJE ZALIHA SIROVINA I
GOTOVIH PROIZVODA
24.1. Pojam i značaj zaliha
Zalihe u preduzeću predstavljaju zalihe sirovina, poluproizvoda i
raznog reprodukcijskog materijala koji služi za process proizvodnje
kao i zalihe gotovih proizvoda bilo kod proizvođača ili trgovine radi
dalje prodaje.
Politika asortimana neposredno utječe na vrstu, strukturu i visinu
zaliha robe u poduzećima.
Osnovni razlog formiranja i držanja zaliha je osiguranje robe radi
njene daljnje prodaje. Pomoću zaliha robe vrši se usuglašavanje
prostornog i vremenskog nesklada između proizvodnje i potrošnje.
Zalihe nastaju u razdoblju nabavljanja i preuzimanja robe od
dobavljača do trenutka prodaje i isporuke robe kupcu.
Zalihe se pojavljuju u sljedećim fazama:
a) kod proizvođača:
- zalihe sirovina i drugog reprodukcijskog materijala,
- zalihe poluproizvoda, i
- zalihe gotovih proizvoda,
b) kod g poduzeća:
- zalihe robe.
Razlozi držanja zaliha sirovina i drugog reprodukcijskog materijala su
kontinuirano osiguranje procesa proizvodnje. Ukoliko bi sirovine
dolazile kontinuirano i kada su potrebne u procesu proizvodnje, mogli
bi poslovati bez stvaranja zaliha sirovina i drugog reprodukcijskog
materijala. U praksi nastaju razni razlozi koji dovode do neophodnosti
stvaranja zaliha sirovina i reprodukcijskog materijala kao što su:
- nedovoljna ponuda po količini i vremenu,
- reprodukcijski materijal se proizvodi povremeno,
- cijene reprodukcijskog materijala variraju, pa kupac želi kupiti
reprodukcijski materijal u trenutku najpovoljnije cijene,
260

- dobavljač reprodukcijskog materijala uvjetuje prodaju veće
količine,
- udaljenost transporta zahtijeva stvaranje sigurnosnih zaliha
kod korisnika reprodukcijskog materijala.
Stvaranje zaliha poluproizvoda kod korisnika ovisi od toga da li ih
korisnik kupuje od drugog proizvođača ili ih sam proizvodi. Ako ih
nabavlja od drugog proizvođača, razlozi formiranja zaliha
poluproizvoda mogu biti isti kao i kod stvaranja zaliha sirovina i
drugog reprodukcijskog materijala. Ukoliko isti proizvođač proizvodi
poluproizvode i sam ih koristi u daljnjem procesu proizvodnje, razlog
stvaranja zaliha poluproizvoda leži u neskladu proizvodnih kapaciteta
između faze proizvodnje poluproizvoda i sljedeće faze proizvodnje.
Razlozi držanja zaliha gotovih proizvoda kod proizvođača su:
- nemogućnost prodaje gotovih proizvoda,
- namjerno zaustavljanje prodaje radi čekanja povoljnijih
prodajnih cijena,
- proizvodnja modnih i sezonskih proizvoda koji čekaju početak
sezone, i
- čuvanje zaliha proizvoda kao dodatnu fazu procesa
proizvodnje (sazrijevanje proizvoda – voće, sir, odležavanje
proizvoda – piće, meso itd.).
Trgovinska poduzeća nabavljaju robu od proizvođača ili drugih
dobavljača i radi nesklada između trenutka nabavke i trenutka prodaje,
formiraju zalihe robe. Da bi imali kontinuiranu prodaju, formiraju se
zalihe robe iz sljedećih razloga:
a) pojedine robe se proizvode povremeno (poljoprivredni
proizvodi),
b) pojedine robe se proizvode kontinuirano, a prodaja se vrši
povremeno (sezonski i modni proizvodi),
c) očekuje se nestašica robe,
d) očekuje se skok nabavnih cijena,
e) očekuje se skok prodajnih cijena,
f) nabavka veće količine robe je ekonomičnija od češćih i manjih
nabavki,
g) udaljenost transporta i nesigurnost u dostavi robe zahtijeva
stvaranje sigurnosnih zaliha, i
261

h) transport robe zahtijeva specijalni transport, pa se u razdoblju
kada je moguć transport obavlja nabavka robe.
Zalihe robe u poduzećima moraju biti u funkciji prodaje. Širina i
dubina asortimana su bitan faktor vrsta roba na zalihi kao i njihova
struktura i veličina. Visina i struktura zaliha mora osiguravati:
- maksimalni obim prodaje ili obim proizvodnje,
- minimalne troškove zaliha.
Optimum zaliha treba osigurati optimalni odnos između osiguranja
maksimalnog obima prodaje i minimuma troškova zaliha. Minimum
troškova zaliha se ne postiže kada su troškovi zaliha najniži, jer bi se
oni postigli na najnižoj razini zaliha što bi dovelo do smanjenja obima
prodaje ili ugrožavanja procesa proizvodnje.
Uštede na troškovima zaliha izazvale bi veće štete na padu
proizvodnje ili prometa nego što bi imali korist od takvih ušteda.
Pri iznalaženju optimalnog obima zaliha treba izračunati, pomoću
načela ekonomičnosti, koristi i štete od uvećanja, odnosno
smanjenja zaliha, pri čemu treba imati u vidu osnovne tendencije
pri uvećanju zaliha:
- uvećava se obim proizvodnje ili prodaje,
- uvećavaju se troškovi zaliha, skladištenja, obrtnih sredstava i sl.
Ukupne zalihe se izračunavaju pomoću formule:
UZ=PZ+UR – IZ
UZ= ukupne zalihe
PZ= početne zalihe
UR= ulaz robe
IZ= izlaz robe
262

24.2. Troškovi zaliha i troškovi nabave robe
Troškovi zaliha obuhvaćaju:
a) troškove robe na zalihi:
- kamate na obrtna sredstva u zalihama, i
- troškovi rastura, loma i kvara robe na zalihi;
b) troškove skladištenja:
- amortizacija skladišta,
- kirija ili zakupnina skladišta,
- troškovi svjetla i ogrjeva, i
- troškovi održavanja skladišta;
c) troškovi manipuliranja robom:
- troškovi internog transporta u skladištu,
- troškovi slaganja, pakiranja, prepakiranja i sl.,
- troškovi istovara i pretovara, i
- troškovi utovara i isporuke robe;
d) troškovi osiguranja robe na zalihi,
e) troškovi plaća uposlenih u skladištu (prijem robe,
evidencija, čuvanje robe, interni transport, utovar i istovar
robe, isporuka robe).
Pored troškova zaliha, pri razmatranju ekonomičnosti nabave i zaliha,
analiziraju se i troškovi nabave robe koji sadrže:
a) troškove nabave robe:
- izdavanje narudžbi,
- prikupljanje ponuda,
- troškove putovanja pri nabavljanju,
- plaće uposlenih u nabavnoj službi;
b) troškovi dopreme robe:
- transportni troškovi dovoza robe,
- utovar, pretovar i istovar robe,
- osiguranje robe u transportu,
- kalo, lom i kvar u transportu robe;
c) troškovi uvoza robe (ako se uvozi roba):
- carinski troškovi,
- uvozne pristojebe, i
- ostali uvozni troškovi.
263

Troškovi nabavke robe i zaliha robe u odnosu na obim nabavke i
učestalost nabavki imaju sljedeće tendencije:
- nabavka veće količine smanjuje broj narudžbi, ali uvećava obim
zaliha, odnosno smanjuje troškove nabavke i prijevoza robe, a
uvećava troškove zaliha robe. Nabavka veće količine robe
omogućava bolje kondicije nabavki;
- nabavka manje količine uvećava broj manjih nabavki i smanjuje
troškove lagerovanja robe, kamata na obrtna sredstva, troškove
održavanja zaliha, ali uvećava troškove nabavki robe, dovoza robe i
gubljenje efekta raznih kondicija koje se mogu dobiti uz velike
nabavke.
Troškovi zaliha robe i nabavke robe trebaju biti tako iskombinirani da
omogućavaju takvu razinu zaliha koja će donijeti maksimalnu
ekonomičnost. Prevelike zalihe izazivaju visoke troškove i mogu imati
negativan efekt kao i nedovoljne zalihe. Jedino optimalne zalihe
omogućavaju najveću pozitivnu razliku između prihoda po osnovi
nabave zaliha i troškova po osnovi formiranja i državanja zaliha.
24.3. Vrste zaliha
Zalihe robe s gledišta funkcije i visine dijele se na:
- minimalne,
- maksimalne,
- zaštitne,
- prosječne, i
- optimalne.
a) Minimalne zalihe su one koje se utvrđuju na određenom obimu
ispod kojeg bi došlo do zastoja u redovnom poslovanju. Pad zaliha
ispod minimalnih zaliha kod proizvodnih poduzeća dovodi do zastoja
u proizvodnji, a kod trgovinskih poduzeća do pada prometa.
Nedostatak robe na zalihi odvodi kupca do drugih dobavljača i
smanjuje promet ne samo robe koja nedostaje nego i drugih roba.
Minimalne zalihe se izračunaju pomoću formule:
MZ=DP×V
MZ= minimalne zalihe,
264

DP= dnevna prodaja u količini,
V = vrijeme isporuke u danima od narudžbe.
poduzeće minimalne zalihe izračunava na temelju umnoška dnevne
prodaje brojem dana koji su potrebni za prijem robe u skladištu od
dana narudžbe. Vrijeme potrebno za nabavku i prijem nove robe ovisi
od uvjeta na tržištu nabavke određene robe: blizina dobavljača, obim
ponude, vrsta robe, brzina dovoza robe i sl.
b) Maksimalne zalihe su one koje predstavljaju gornju granicu zaliha i
kada se moraju obustaviti nove nabavke, jer postojeće zalihe
uvećavaju troškove zaliha i dovode do opasnosti pojave nekurentnih
zaliha. Maksimalne zalihe ukazuju na usporavanje proizvodnje ili
prodaje, smanjenje koeficijenta obrta i uvećanje vezivanja obrtnih
sredstava u zalihama. Pojava maksimalnih zaliha ukazuje na pojavu
problema u proizvodnji ili prodaji uz uvjet da su nabavke robe
izvršene sukladno planu prodaje ili proizvodnje.
U nekim slučajevima maksimalne zalihe se pojavljuju ukoliko se
nabavke robe vrše samoinicijativno iz službe nabave a ne sukladno
planu prodaje ili proizvodnje.
Maksimalne zalihe mogu imati opravdanje ukoliko su u skladu s
planom nabavki, a koji je usklađen s planom prodaje. To se odnosi na
robe koje se kupuju kao sezonske i modne, kao i robe koje se
povremeno proizvode, a kontinuirano prodaju. Maksimalne zalihe su u
funkciji blagovremenog osiguranja roba s namjerom da se u idućem
razdoblju maksimalne zalihe prodaju ili potroše u proizvodnji.
c) Zaštitne zalihe su veće od minimalnih za stupanj sigurnosti u
nabavci robe. Povremeni poremećaji u nabavci robe mogu nastati kao
posljedica raznih neočekivanih događaja (zastoj u proizvodnji, zastoj u
isporuci i transportu i sl.).
Poremećaji mogu nastati i u smjeru uvećanja tekuće prodaje što brže
smanjuje postojeće zalihe. Zaštitne zalihe se izračunavaju pomoću
formule:
265

ZZ=(DP+k)×(V+t)
ZZ= zaštitne zalihe,
DP= dnevna prodaja ili proizvodnja
k= odstupanja od dnevne prodaje ili proizvodnje,
V= vrijeme isporuke u danima od narudžbe,
t= odstupanje u danima od ugovorenog roka isporuke
(procjenjeno odstupanje).
Zaštitne zalihe osiguravaju tpoduzeće od raznih neplaniranih događaja
u nabavci robe radi toga da se razina zaliha zadrži na razini gdje manji
poremećaji u opskrbi neće negativno utjecati na asortiman roba na
zalihi, odnosno na obim prodaje ili proizvodnje.
d) Prosječne zalihe su one zalihe koje su bile prosječno, tijekom
jednog razdoblja, raspoložive. Prosječne zalihe se izračunavaju tako
što se početne zalihe uvećavaju za svaki ulaz robe i umanjuju za svaki
izlaz robe, a dobiveni rezultat dijeli brojem dana u razdoblju. To se
iskazuje pomoću formule:
Z + UR - IR
PZ=
BD
PZ= prosječne zalihe,
Z = početne zalihe,
UR= ulaz robe,
IR= izlaz robe,
BD= broj dana u razdoblju.
Ovaj proces izračunavanja zaliha je dosta obiman, ali je moguć
ukoliko se zalihe robe vode na kompjutoru.
Jednostavniji proces izračunavanja prosječnih zaliha tijekom godine
(ili u kraćim intervalima) može se vršiti na osnovi sljedeće formule,
ali s manjom preciznošću u odnosu na prethodnu formulu:
266

1/2 počet. stanja zali. + 11 mjes. stanja zali. + 1/2 konač. stanja zali.
PZ=
12
Prosječno stanje zalihe služi za analitičke, planske i kontrolne svrhe.
Pomoću prosječnog stanja zaliha (ukupnih ili po vrstama robe),
izračunavamo koeficijent obrta potrebnih obrtnih sredstava, ptimalne
razine zaliha i plana nabave.
e) Optimalne zalihe su one koje omogućavaju najveću pozitivnu
razliku između prihoda i zbira troškova nabavki i troškova zaliha. Na
optimalnoj razini zaliha postiže se najveći obim prodaje pri čemu
obično troškovi (nabavke i zaliha) nisu na najnižoj razini. Najniža
razina troškova zaliha i nabavke robe se postiže na niskoj razini zaliha
što ugrožava obim prodaje.
Optimalna razina zaliha računa se na principu ekonomičnosti gdje se u
prihode uzima obim prodaje, a u rashode troškovi nabavke i troškovi
zaliha. Obim zaliha koji omogućava najveću pozitivnu razliku između
prihoda i rashoda su ujedno i optimalne zalihe.
Ako bi u razmatranje uzeli samo prihod od prodaje zaliha, ne bi imali
mogućnost uporedbe prihoda s troškovima, jer je moguće da na većem
obimu prometa imamo progresivan rast troškova zaliha i troškova
nabavki što smanjuje ekonomičnost poslovanja.
Ako bi u razmatranje uzeli samo troškove nabavke, došli bi do
pogrešne računice da su maksimalne nabavke optimalne jer smanjuju
troškove nabavke po jedinici kupljene robe, a time bi došli i do
pogrješne ocjene da su maksimalne zalihe i optimalne zalihe.
Ako bi u razmatranje uzeli samo troškove zaliha, došli bi do
minimalnih zaliha kao optimalnih zaliha, jer su troškovi zaliha po
jedinici najniži na minimalnim zalihama.
Jedini pravi pristup izračunavanju optimalnih zaliha je kroz
razmatranje sva tri faktora koji utječu na visinu optimalnih zaliha:
prihod od prodaje, troškovi nabave i troškovi zaliha.
267

24.4. Računanje broja narudžbi i količina
nabavke
Uvijek je prisutno pitanje da li je ekonomičnije češće naručivati robu i
imati nižu razinu zaliha robe, ili imati manji broj narudžbi s većim
obimom nabavki što stvara višu razinu zaliha. Odgovor na ovo pitanje
dobivamo na osnovi kretanja:
- troškova nabavke robe, i
- troškova zaliha robe.
Već smo istaknuli strukturu i sadržaj troškova nabavke i troškova
zalihe robe. Troškovi nabavke robe imaju pretežno proporcionalni
karakter u odnosu na broj nabavki, dok ukupni troškovi zaliha robe
imaju fiksni karakter, ali po jedinici nabave dobivaju degresivni
karakter.
Za izračunavanje optimalnog broja narudžbi i optimalne količine
nabave po jednoj narudžbi, koristimo sljedeću formulu:
OBN=
UN ×
TZ
100
2×
TN
Pri čemu je:
OBN= optimalni broj narudžbi,
UN= ukupna godišnja nabavna vrijednost,
UN= K×NC
K = planirana godišnja količina nabave,
NC= nabavna cijena po 1 kom.,
TZ= troškovi zaliha robe iskazani u procentu od prosječne
vrijednosti zaliha,
TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi.
Ovaj način izračunavanja optimalnog broja narudžbi i optimalne
količine nabavke je primjenljiv uz sljedeće pretpostavke:
a) da se nabava vrši ravnomjerno tijekom godine (ne odnosi se
na sezonsku i modnu robu),
b) da se nabavna cijena ne mijenja,
268

c) da se nabava robe i dostava robe vrši bez ikakvih smetnji i
zakašnjenja,
d) da troškovi nabave imaju proporcionalni karakter, i
e) da ukupni troškovi zaliha robe imaju fiksni karakter.
PRIMJER 1.
Koji je optimalni broj narudžbi i kolika je optimalna količina nabavka
po jednoj narudžbi za jedan artikl sa sljedećim planskim vrijednostima:
K= planirana godišnja količina nabave = 50.000 kom
NC= nabavna cijena za 1 kom =
40 KM
UN= ukupna godišnja nabavna vrijednost (5o.ooo×40) = 2.000.000 KM
P= prosječna vrijednost zaliha (2.000.000 : 2) = 1.000.000 KM
TZ= troškovi zaliha iskazani u procentu = 20%
(TZ= 20% od 1.000.000 = 200.000)
TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi =
Izračunaj:
OBN = optimalni broj narudžbi =
OKN = optimalna količina nabave =
222 KM
TZ
20
UN × 2.000.000 ×
2.000.000 0,2
OBN=
100
100
×
=
=
= 900 = 30
2 × TN 2 × 222
400
Optimalni broj narudžbi u godini je 30.
Nabava će se vršiti svakih 12 dana (360 : 30)
Optimalna količina nabave po jednoj narudžbi je:
OKN=
K
OBN
=
50.000
30
= 1.666 kom
Do istih rezultata mogli smo doći i na drukčiji način pri čemu bi prvo
izračunali optimalnu količinu nabave, a zatim optimalni broj narudžbi.
269

Za izračunavanje oprimalne količine nabave (OKN) koristimo
sljedeću formulu:
K × TN
OKN=
GTZ
Pri čemu je:
K= planirana godišnja količina nabave = 50.000 kom
TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi = 222 KM
GTZ= godišnji troškovi zaliha za 1 kom = 4 KM
(200.000 : 50.000 kom)
OKN=
50.000 × 222
4
=
11.100.000
4
=
2.775.000
= 1.666 kom
Optimalna količina nabave iznosi 1.666 kom i pomoću nje
izračunavamo optimalni broj narudžbi:
K 50.000
OBN= = = 30
OKN 1.666
Optimalni broj narudžbi iznosi 30. Do istih podataka došli smo kao i u
prvom slučaju.
24.5. Politika obnavljanja zaliha
Politika obnavljanja zaliha robe uvjetovana je:
a) visinom zaliha,
b) obimom prodaje ili proizvodnje,
c) nabavkom robe.
Obnavljanje zaliha vrši se nabavkom robe. Potreban je planski sklad
između veličina: zaliha – nabave i prodaje. Dobra politika obnavljanja
zaliha ima cilj stalnog održavanja optimalne razine zaliha.
Postoji tri vrste roba sa stanovišta njihovog odnosa između prodaje i
proizvodnje:
270

a) roba koja se kontinuirano troši ili prodaje i kontinuirano
proizvodi,
b) roba koja se kontinuirano troši ili prodaje ali povremeno
proizvodi (poljoprivredni proizvodi i sl.), i
c) roba koja se povremeno troši ili prodaje, ali kontinuirano
proizvodi.
Na osnovi kontinuiteta proizvodnje ili prodaje, moguće je obnavljati
zalihe na dva načina:
1) obnavljanje zaliha ravnomjerno (u istim vremenskim
razdobljima i istim količinama) za robe koje se kontinuirano
troše ili prodaju i kontinuirano proizvode, i
2) obnavljanje zaliha povremeno u optimalnim količinama za
robe koje se:
- kontinuirano troše ili prodaju, ali se povremeno
proizvode (poljoprivredni proizvodi i sl.), i
- povremeno troše ili prodaju, ali se kontinuirano
proizvode (modna i sezonska roba).
1. Za obnavljanje zaliha ravnomjerno koristimo sljedeću formulu za
izračunavanje količine robe koju treba naručiti:
K = OP (V + R + S) – Z – N + ZP
Pri čemu je:
K = količina robe koju treba naručiti,
OP = obim proizvodnje ili prodaje mjesečno u količini,
V = vrijeme povremenog naručivanja,
R = rok isporuke od dane narudžbe,
S = sigurnosne zalihe,
Z = zaliha robe u količini,
N = nabava robe koja je ranije poručena,
ZP = zaliha robe u prodajnom objektu.
U formuli prvi dio predstavlja potrebnu količinu robe = OP (V + R + S),
dok drugi dio formule predstavlja obim robe koji je raspoloživ = Z –
N + ZP.
271

PRIMJER 1.
Koji obim robe trebamo nabaviti (K = ) ako su ostale veličine
poznate:
OP = 5.000 kg
V = svaka 2 mj.
R = 1 mj.
S = u visini 1 mje. prodaje
Z = 3.000 kg
N = 5.000 kg
ZP = 6.000 kg
K = OP (V+R+S)-Z-N+ZP=5.000 (2+1+1) – 3.000 – 5.000 + 6.000
K = 18.000 kg
Rezultat kazuje da treba nabaviti 18.000 kg robe, pri mjesečnom
obimu proizvodnje ili prodaje od 5.000 kg vodeći računa da:
- robu poručujemo svaka 2 mj.,
- rok isporuke od dana narudžbe je 1 mj.,
- želimo imati sigurnosnu zalihu u visini jednomjesečne
prodaje,
- u skladištu imamo na zalihi 3.000 kg,
- u tijeku je dolazak ranije poručenih 5.000 kg.,
- u prodajnom objektu imamo 6.000 kg. robe.
Svaka izmjena bilo kojeg elementa dala bi drugu veličinu koju treba
nabaviti.
2. Obnavljanje zaliha povremeno u optimalnim količinama
(poljoprivredni proizvodi, modna i sezonska roba i sl.) vrši se na
osnovi plana proizvodnje ili prodaje po vrsti robe, količini, vrijednosti
i dobavljačima. Rokovi i obim nabave mora biti u skladu s planom
prodaje i potrebne količine za nabavu uzimaju se iz plana prodaje.
Ukoliko se na zalihi nalazi ova vrsta robe, obim nabavke se dobiva
kada se od planiranog obima proizvodnje ili prodaje umanje količine
na zalihi. Između plana prodaje i nabavke mora postojati puna
koordinacija i sinhronizacija aktivnosti.
272

25. METODE FORMIRANJA CIJENA
25.1. Formiranje cijena u proizvodnji i prometu
Postoje razne metode formiranja prodajne cijene u poduzećima.
Obično se koristi jedna od sljedećih metoda:
1. Troškovi plus dobit,
2. Nabavna cijena plus marža,
3. Granični troškovi,
4. Ponuda i potražnja, i
5. Praćenje konkurencije.
Bilo koju metodu formiranja cijena koristili, uvijek se razina prodajne
cijene mora promatrati sa aspekta:
- troškova koji uvjetuju ponudu i donju granicu prodajne cijene,
- kupca koji definira potražnju za robama po tim cijenama, i
- konkurencije koja utječe na odnos ponude i potražnje i razinu
cijena.
A).Metoda troškovi plus dobit osniva se na tome da se za svaku robu
utvrde troškovi i dodaje planirana dobit. Troškovi se utvrđuju na
principu evidentiranja troškova po nositeljima. Utvrđivanje izravnih
troškova robe je relativno lakši dio zadatka. Utvrđivanje zajedničkih
troškova i njihova raspodjela po robama je dosta složeniji dio zadatka
jer je teško utvrditi koji dio općih i zajedničkih troškova i koliko iznos
pripada po svakoj robi radi širokog asortimana prodaje.
Utvrđivanje cijene na temelju troškovi plus dobit ukazuje na veliki
utjecaj troškova na formiranje cijena. Iz ovoga proizilazi da troškovi
utječu na visinu cijene, ali je ne definiraju. U dosta slučajeva i radi
velikog utjecaja konkurencije, cijena definira troškove, jer su cijene na
tržištu približno određene, te je poduzeće prisiljeno da iskombinuje
tako troškove da se uklope u razinu cijena.
Visinu dobiti iznad troškova do razine prodajne cijene poduzeće
samostalno određuje, uzimajući u obzir sve elemente koji utječu na
određivanje konačne prodajne cijene.
273

U varijanti da su troškovi visoki i tržna cijena niska, moguće je
prodajnu cijenu formirati i bez dobiti, da bi se pokrili svi uloženi
troškovi. Izuzetno je moguće za pojedine robe imati i nižu prodajnu
cijenu od troškova, pri čemu ostvarujemo gubitak u poslovanju s tom
robom. Iz određene dobiti na drugim robama pokriva se gubitak na
robama gdje je prodajna cijena niža od troškova.
a).Kalkulacija prodajne cijene po metodi troškovi plus dobit je
sljedeća za trgovinska preduzeća:
1. Nabavna cijena,
2. Opći troškovi prodaje,
3. Opći troškovi uprave,
4. Ukupni troškovi (1+2+3),
5. Dobit,
6. Prodajna cijena (4+5).
b). Kalkulacije prodajne cijene u proizvodnji po metodi troškovi plus
dobit je sljedeća:
1.Materijalni troškovi izrade,
2.Nematerijalni troškovi izrade
3.Amortizacija
4.Ukalkulisane neto plaće
5.Doprinosi i porezi iz plaća
6.Rashodi finansiranja
7.Ukupno (1-6) cijena koštanja
8.Dobit
9. Prodajna cijena bez PDV-a (8+9)
10.PDV
11.Prodajna cijena sa PDV-om (9+10)
Promjene prodajne cijene nastaju kao posljedica promjene troškova,
ali i visine dobiti. Dobit se obično određuje procentom na ukupne
troškove.
Ukoliko pri određivanju cijena po metodi troškovi plus dobit u
značajnijoj mjeri uvažavamo razinu tržnih cijena, odnosno cijena
konkurencije, primjenjivat ćemo promjenljivu stopu dobiti, a prodajna
cijena se određuje intuicijom (subjektivnom procjenom). Na ovaj
način dobivamo poseban oblik formiranja cijena koji se naziva
274

intuitivna metoda, a osniva se na kombinaciji metode-troškovi plus
promjenljiva dobit.
Osnovni problem primjene metode troškovi plus dobit je u
poduzećima radi vrlo širokog asortimana i alociranja općih troškova
prodaje i uprave na pojedine robe.
B. Iz metode troškovi plus dobit izgrađena je posebna metoda
formiranja prodajnih cijena na temelju nabavnih cijena plus marža.
Ova metoda je općeprihvaćena u formiranju cijena kod trgovinskih
poduzeća. Polazi od činjenice da je trošak nabavne cijene najveći
trošak u strukturi cijene koštanja i da se dodavanjem marže može
utvrditi prodajna cijena. Marža u sebi sadrži sve opće troškove
prodaje, nabave, skladištenja i uprave, kao i planiranu dobit.
Kalkulacija prodajne cijene po metodi nabavne cijene plus
marža je sljedeća:
1. Nabavna cijena,
2. Marža,
3. Prodajna cijena (1+2).
Prodajne cijene formirane ovom metodom osjetljive su na promjenu
nabavne cijene kao temelja za formiranje prodajne cijene ali i na
potražnju i tržnu cijenu kroz određivanje visine marže.
C.Metoda formiranja cijena na temelju graničnih troškova zasniva se
na koncepciji graničnih troškova. Pošli smo od pretpostavke da
granični troškovi u poduzećima i na višem stupnju obima prometa
mogu biti direktni troškovi.
Ova metoda se osniva na činjenici da su izravni troškovi
proporcionalni, a svi ostali troškovi imaju fiksni karakter, što u
mnogome odgovara stanju u poduzećima.
Metoda formiranja cijena po metodi graničnih troškova naziva se i
direct costing jer se zasniva na podjeli troškova na direktne i
indirektne. U cijenu koštanja se uključuju direktni troškovi, a svi ostali
troškovi se pokrivaju iz stope koja se dodaje na direktne troškove.
275

Kalkulacija cijene pomoću metode graničnih troškova računa se samo
na varijabilnim troškovima prometa, u slučaju trgovinskih poduzeća
samo na nabavnoj cijeni robe i dodajući željenu stopu iz koje će se
pokriti fiksni i ostali troškovi kao i u nekim varijantama dobit.
Kalkulacija prodajne cijene pomoću metode graničnih
troškova ima sljedeću strukturu:
1. Direktni troškovi,
2. Stopa pokrića fiksnih troškova i dobiti,
3. Prodajna cijena (1+2).
Osnovni problem ove metode formiranja cijena je, kod niskog obima
prometa, što ostaje znatan dio fiksnih troškova nepokriven. Tek na
visokom stupnju obima prometa, kada su svi fiksni troškovi pokriveni,
moguće je prodajnu cijenu formirati samo na temelju direktnih
troškova i svaki veći iznos prodajne cijene od direktnih troškova
povećava dobit. Primjena ove metode je moguća u određenim
slučajevima.
D. Metoda određivanja prodajne cijene na temelju ponude i potražnje
polazi od postojeće tržne cijene. Poduzeće određuje svoju prodajnu
cijenu u skladu i s visinom postojećih tržnih cijena i onda
retrogradnom metodom utvrđuje da li može proizvesti robu po nižoj
cijeni i ostvariti odgovarajuću maržu (razliku u cijeni) iz koje će
pokriti sve svoje troškove poslovanja i ostvariti dobit.
U primjeni ove metode polazi se od već formiranih prodajnih cijena na
tržištu, a troškovi imaju samo kontrolni značaj i na osnovi njihove
visine u odnosu na prodajnu cijenu ovisi da li ćemo realizovati
proizvodnju i prodaju određene robe.
E. Metoda određivanja cijena na temelju praćenja konkurencije je
dosta slična metodi određivanja cijena na temelju ponude i potražnje. I
u ovom slučaju polazi se od već formiranih cijena kod konkurencije.
Troškovi služe samo kao kontrolna funkcija prema kojima se ocjenjuje
da li se može prihvatiti nabavka i prodaja određene robe.
276

Prodajne cijene u odnosu na konkurenciju mogu biti:
- iste kao kod konkurencije,
- više nego kod konkurencije, i
- niže nego kod konkurencije.
Koju ćemo politiku cijena voditi na tržištu, ovisi od ukupnog
marketinga poduzeća i politike cijena.
25.2. Pojam i značaj diferenciranja cijena
Diferenciranje cijena podrazumijeva različite prodajne cijene za iste
proizvode. Osnovna svrha i cilj politike diferenciranja cijena je
stimuliranje dodatne prodaje. Cijene se diferenciraju po visinama kako
bi stimulirali potražnju. Kod politike diferenciranja cijena želja je g
poduzeća da adekvatnom visinom cijena stimulira potencijalne kupce
na kupovinu.
Pretpostavka diferenciranju cijena je:
- segmentacija tržišta, odnosno kupaca,
- poznavanje elastičnosti potražnje, i
- utvrditi način diferenciranja cijena.
Segmentacija tržišta, odnosno kupaca vrši se po raznim osnovama radi
dobivanja homogenih skupina. Obično se diferenciranje cijena
provodi po odvojenim tržištima tako da kupci s tog tržišta, po pravilu,
ne mogu izbjeći kupovinu robe na tom tržištu, odnosno kupujući na
drugom tržištu gdje je određena niža prodajna cijena.
Diferenciranje cijena može biti sastavni dio redovne politike cijena i
koristi se kao stalna metoda stimulacijske prodaje ili se koristi samo
povremeno i u određenim situacijama.
Trgovinsko poduzeće ekonomsko opravdanje u diferenciranju cijena
ima kroz:
- povećanje obima prodaje,
- povećanje ukupnog prihoda,
277

- snižavanje troškova po jedinici prometa što pozitivno utječe
na visinu prodajnih cijena, i
- povećanje dobiti a time ekonomičnosti i rentabilnosti u
poslovanju.
Ekonomska suština diferenciranja cijena osniva se na nejednakoj
raspodjeli općih troškova poslovanja g poduzeća, odnosno da jedno
tržište (ili jedne robe) osigura pokrivanje iz prodajne cijene većeg
obima općih troškova i dobiti od drugog tržišta.
Mjerenje učinaka diferenciranja cijena podrazumijeva iznalaženje
cijena koje će dati najveći obim prodaje uz planiranu dobit.
Značaj i efekte diferenciranja cijena za jednu robu na više tržišta
objasnit ćemo na sljedećem primjeru.
TRŽIŠTE
MOGUĆE
PRODATI
KOMADA
PRODAJNA
CIJENA
ZA 1 KOM
UKUPAN
PRIHOD
NABAVNA
CIJENA
ZA 1 KOM
UKUPNI
TROŠKOVI
DOBIT
A 40 22 880 20 800 80
B 80 26 2.080 20 1.600 480
C 70 27 1.890 20 1.400 490
D 60 30 1.800 20 1.200 600
E 50 29 1.450 20 1.000 450
UKUPNO 300 27 8.100 20 6.000 2.100
Ako bi prodajnu cijenu formirali na temelju prosječnih troškova
(nabavna cijena) plus dobit, ona bi iznosila 27 KM po 1 kom.
(8.100 : 300). Prema tabeli vidi se da bi po cijeni od 27 KM po 1 kom.
prodali robu na tržištima C, D i E ali ne i tržištu A i B, radi previsoke
cijene.
Diferenciranjem cijena, snižena je prodajna cijena za tržište A i B što
je stimuliralo prodaju. Na ovim tržištima pokrivena je nabavna cijena i
jedan dio fiksnih troškova što omogućava nešto niže cijene na
tržištima C, D i E i time stimulira potražnju i na tim tržištima.
278

25.3. Učinci promjene cijene na obim prodaje
Promjena prodajne cijene utječe na obim prodaje pri čemu sniženje
cijena utječe na uvećanje obima prodaje i uvećanje cijena na
smanjenje obima prodaje. Postoje razne tehnike mjerenja učinaka
promjene cijene na obim prodaje. Navest ćemo samo neka moguća
rješenja.
A. SNIŽENJE CIJENA
1. Za koliko procenata treba uvećati obim prodaje uz određeni
procent sniženja cijene, da bi se ostvario isti ukupan prihod
PRIMJER 1.
Imamo 20 komada neke robe po prodajnoj cijeni od 30 KM. Želimo
sniziti prodajnu cijenu za 15%. Koliko trebamo uvećati fizički obim
prodaje da bi ostvarili isti ukupan prihod
Rješenje možemo izračunati na tri načina.
Prvo pomoću formule A.
%K =
% SNIŽENJA x 100 = 15x100 = 1.500 = 17,6%
SNIŽENJA
100 −% 100 −15 85
%K = procent uvećanja obima prodaje.
Obim prodaje trebamo uvećati za 17,6% da bi ostvarili isti ukupan
prihod uz sniženje cijene od 15%. Novi obim prodaje (K) je
23,52 komada (20+17,6%). Nova snižena prodajna cijena je 25,5 KM
(30-15%).
Kontrola:
Prije sniženja: UP = Pc × K = 30 × 20 = 600
Nakon sniženja: UP = Pc × K = 25,52 × 23,52 = 600
279

Drugo, pomoću formule B.
Ukupan prihod 600
Novi obim prodaje =
23,52 kom
Pc −% SNIŽENJA = 30 −15%
=
Treće, pomoću formule C.
K × ASC 20×
4,5
Novi obim prodaje = K + = 20 + = 23,52 kom
Pc - ASC 30 − 4,5
ASC = Apsolutno sniženje cijene
30x15%
PRODAJNA CIJENE x %SNIŽENJA
ASC= = 4,5 ASC=
1.000 100
2. Koliko treba uvećati obim prodaje uz određeni procent sniženja
cijene da bi ostvarili istu ukupnu maržu (nabavna cijena po jedinici
prometa ostaje ista)
Rješenje nalazimo pomoću formule
UM
K =
(Pc - %SNIŽENJA) - NC
UM = Ukupna apsolutna marža
Pc = Prodajna cijena prije sniženja
NC = Nabavna cijena za 1 kom
PRIMJER 2.
Imamo 15 kom neke robe po prodajnoj cijeni od 150 KM. Želimo
sniziti prodajnu cijenu za 10% (Pc=135). Za koliko trebamo uvećati
obim prodaje da bi ostvarili istu ukupnu maržu u apsolutnom iznosu
(UM=300). Struktura cijene prije sniženja je:
1. Nabavna cijena (Nc) = 130 × 15 kom = 1.950
2. Marža 15,4% = 20 × 15 kom = 300
3. Prodajna cijena (Pc) = 150 × 15 kom = 2.250
280

Rješenje:
UM 300 300
K=
= = = 60 kom
(Pc - %SNIŽENJA) - NC (150 −10%) −130 135 −130
Da bi ostvarili istu ukupnu maržu u apsolutnom iznosu (UM=300)
potrebno je obim prodaje uvećati s 15 kom na 60 kom ili za 400% uz
uvećanje cijene 10%.
Kontrola:
Nabavna cijena: 130 × 60 kom = 7.800
Marža: 5 × 60 kom = 300
Prodajna cijena: 135 × 60 kom = 8.100
B. UVEĆANJE CIJENA
1. Za koliko treba smanjiti obim prodaje uz određeni procent uvećanja
cijene da bi se ostvario isti ukupan prihod.
PRIMJER 3.
Imamo 40 komada neke robe po prodajnoj cijeni od 60 KM. Želimo
uvećati prodajnu cijenu za 15%. Nova prodajna cijena je 69 KM
(60+15%). Koliko trebamo smanjiti fizički obim prodaje da bi
ostvarili isti ukupan prihod
Rješenje je moguće pomoću tri formule:
Formula A (prvi način):
%K = %UVEĆANJAx100
100+%UVEĆANJA
%K = procent smanjenja obima prodaje
15×
100 1.500
%K = = = 13%
100 + 15 115
281

Novi obim prodaje trebamo smanjiti za 13% da bi ostvarili isti ukupan
prihod uz uvećanje cijene od 15%. Novi obim prodaje (K) je 34,8
komada (40-13%).
Kontrola:
Prije poskupljenja: UP = Pc × K = 60 × 40 = 2.400
Poslije poskupljenja: UP = Pc × K = 69 × 34,8 = 2.400
Formula B (drugi način):
NOVI OBIM PRODAJE =
UP 2.400
= = 34,8 kom
Pc + %SNIŽENJA) 60 + 15%
Formula C (treći način):
K × APC 40 × 9
NOVI OBIM PRODAJE = K – = 40 −
Pc + APC 60 + 9
=
34,8 kom
APC = Apsolutno uvećanje cijene
16 x 15%
APC =
PRODAJNA CIJENA x %UVEĆANJA
= 9 APC =
100 100
2. Koliko treba smanjiti obim prodaje uz određeni procent uvećanja
cijene da bi ostvarili istu ukupnu maržu, s tim da se nabavna cijena po
jedinici prometa nemijenja.
Rješenje nalazimo pomoću formule
K =
UM
(Pc+%UVEĆANJA)-NC
UM = Ukupna apsolutna marža,
Pc = Prodajna cijena,
NC = Nabavna cijena.
282

PRIMJER 4.
Imamo 70 kom neke robe po prodajnoj cijeni od 96 KM. Želimo
uvećati prodajnu cijenu za 25% (Nova prodajna cijena je 120 = 96 +
25%). Za koliko trebamo smanjiti obim prodaje da bi ostvarili istu
ukupnu maržu u apsolutnom iznosu (UM = 1.120). Struktura cijene
prije uvećanja cijene je:
1. Nabavna cijena (NC) = 80 × 70 = 5.600
2. Marža (20%) = 16 × 70 = 1.120
3. Prodajna cijena (Pc) = 96 × 70 = 6.720
Rješenje zadatka:
UM 1.120
K=
=
28kom
(Pc+%UVEĆANJA)-NC (96 + 25%) −80
Da bi ostvarili istu maržu u apsolutnom iznosu (UM = 1.120),
potrebno je obim prodaje smanjiti sa 70 kom na 28 kom ili za 60% uz
uvećanje cijene od 25%.
Kontrola po novom obimu prodaje:
Nabavna cijena 80 × 28 kom = 2.240
Marža 40 × 28 kom = 1.120
Prodajna cijena 120 × 28 kom = 3.360
25.4. Odnos troškova i prodajne cijene
Formiranje prodajnih cijena u poduzećima obično se osniva na
temelju nabavne cijene plus marža što je dosta slično načelu na
temelju prosječnih troškova. Ova metoda je dosta prihvaćena i
jednostavna je. Ona polazi od toga da se na nabavnu cijenu doda
prosječna marža koja treba pokriti prosječne troškove i planiranu
dobit. Ovakav sustav u sebi krije niz nedostataka i mogućnosti za
omašku. Najozbiljniji problem je alokacije svih općih i zajedničkih
troškova poslovanja. Ukoliko se koristi marža u obliku procenta na
nabavnu cijenu, a što je najčešći slučaj u praksi, alokacija općih i
zajedničkih troškova na nabavnu cijenu (po svakom artiklu) vrši se u
razmjeri prema visini nabavne cijene. Veći broj općih i zajedničkih
283

troškova nije uvjetovan visinom nabavne cijene, pa se na taj način
neopravdano pripisuju pojedinim nositeljima. Mnogi opći i zajednički
troškovi uvjetovani su nekim drugim faktorima (težina, zapremina,
koeficijent obrta, rok upotrebe i sl.), ali se oni zanemaruju pri
raspodjeli općih i zajedničkih troškova kao i dobiti.
Posebne teškoće kod određivanja prodajne cijene na temelju
prosječnih troškova je način njihovog računanja. Oni se dijele
ravnomjerno na planirani broj prodanih komada nekog artikla.
Iz toga proizlazi da će prosječni troškovi:
- kod niskog obima prometa biti visoki,
- kod visokog obima prometa biti niski, i
- kod optimalnog obima prometa biti normalni (realni).
Na ovakvo kretanje prosječnih troškova veliki utjecaj ima karakter
fiksnih troškova pri čemu su ukupni fiksni troškovi na svakom obimu
prometa isti, ali po jedinici prometa naglo opadaju kada obim prometa
raste.
Radi ilustracije problema formiranja prodajnih cijena na načelu
prosječnih troškova dat ćemo primjer.
Poduzeće ima ukupne fiksne troškove od 4.000 KM, varijabilne
troškove 10 KM po 1 kom robe i planiranu dobit od 10% na prosječne
troškove. Kakav je efekt ovog načina formiranja cijena u varijantama
obima prometa od 200, 250 i 300 komada.
Red.
br.
O P I S
Nizak obim
prometa
Optimalan
obim
prometa
Visoki
obim
prometa
1. Obim prometa u komadima 200 250 300
2. Ukupni fiksni troškovi 4.000 4.000 4.000
3. Varijabilni troškovi po 1 kom 10 10 10
4. Ukupni varijabilni troškovi 2.000 2.500 3.000
5. Ukupni troškovi (2+4) 6.000 6.500 7.000
6. Prosječni troškovi (5 : 1) 30 26 23,3
7. Dobit 10% 3 2,6 2,3
8. Prodajna cijena 33 28,6 25,6
284

U našem primjeru prosječni troškovi znatno variraju po stupnjevima
obima prometa, iako se radi o istom artiklu.
Kod niskog stupnja obima prometa prosječni troškovi su visoki, a time
i prodajna cijena. Visoke prodajne cijene utječu na daljnje smanjenje
potražnje, iako je već potražnja dosta slaba.
Kada je potražnja visoka i obim prodaje visok, imamo niske prosječne
troškove, a time i nisku prodajnu cijenu što utječe na smanjenje
rentabilnosti i dobiti.
Pri formiranju cijena na temelju prosječnih troškova trebamo voditi
računa o sljedećem:
- kada opada potražnja, ovaj način formiranja cijena utječe na
daljnje opadanje potražnje radi visokih cijena,
- kada je potražnja i prodaja vrlo visoka, ovaj način formiranja
cijena utječe na daljnje uvećanje potražnje radi niskih cijena,
ali utječe i na nisku rentabilnost.
U praksi se javlja i problem kako unaprijed pretpostaviti koliki će
obim prodaje biti tijekom godine, kako bi se mogli ukupni fiksni
troškovi raspodijeliti na očekivani obim prometa. Rješenje ovog
problema nalazimo kroz planiranje optimalnog obima prometa kako bi
realno raspodijelili ukupne fiksne troškove i utvrdili što preciznije
prosječne troškove.
285

26. MJERENJE EFEKATA ULAGANJA U
EKONOMSKU PROPAGANDU
Mjerenje efekata ulaganja u ekonomsku propagandu podrazumijeva
mjerenje odnosa između troškova i rezultata ekonomske propagande.
Mjerilo efekta ekonomske propagande treba odgovoriti na pitanje da li je
korist veća, manja ili ravna uloženim troškovima. Samo u varijanti da je
učinak ekonomske propagande veći od uloženih troškova u propagandu,
može ekonomskoj propagandi dati uspješnu ocjenu. Svaka ekonomska
propaganda koja ima veće troškove od efekata ekonomske propagande
ocjenjuje se kao neuspješna ekonomska propaganda.
Ulaganje i troškovi ekonomske propagande su mjerljivi i izražavaju se
kroz razne troškove propagande (sredstva propagande, medije, izrade
poruka, oglase, filmove i sl.). Mjerenje učinaka ekonomske
propagande je dosta složen i kompliciran proces. Prilikom mjerenja
efekata ekonomske propagande treba imati u vidu sljedeće:
a) da na prodaju ne djeluje izolirano od ostalih utjecaja samo
ekonomska propaganda jer je teško razdvojiti utjecaje ekonomske
propagande od ostalih utjecaja na prodaju,
b) da mjerenje učinaka propagande mogu biti njezini utjecaji na stvaranje
sklonosti prema prodavcu ili robi što je teško kvantificirati,
c) da prodaja robe može biti posljedica ranijih propagandnih poruka i sl.
Mjerenje učinaka ekonomske propagande provodi se na:
- obim prodaje, i
- komunikacijske (propagandne) učinke.
a) Mjerenje obima prodaje kao posljedica realizirane ekonomske
propagande osniva se na predpostavci da na obim prodaje djeluje
ekonomska propaganda uz nepromjenjene ostale faktore koji utječu
na obim prodaje( cijena, ponuda, potražnja, konkurencija, kupovna
moć i sl.).
Ulaganja u ekonomsku propagandu obično se vrše na dva načina:
1) po jedinici prometa, i
2) ukupnim iznosom.
286

Uz svako ulaganje u propagandu postavlja se pitanje koliko treba
povećati obim prodaje da bi se pokrili troškovi ulaganja u ekonomsku
propagandu uz nemijenjanje ostalih elemenata (prodajne cijene,
nabavne cijene, dobit, fiksni troškovi i dr.). Tek povećanje obima
prodaje iznad te granice, pokazuje uspješnost učinaka ekonomske
propagande. Što je obim prodaje veći, iznad utvrđene granice, učinak
ekonomske propagande je veći i obratno.
1. Mjerenje učinaka ulaganja u ekonomsku propagandu ako ulaganje
vršimo po jedinici prometa, vrši se pomoću formule:
UFT + D
K=
Pc
− N
c
− Tp
pri čemu je:
K= količina (obim) prodaje,
UFT= ukupni fiksni troškovi,
D= dobit,
Pc= prodajna cijena,
Nc= nabavna cijena,
Tp= troškovi propagande po jedinici prometa.
PRIMJER 1.
Ako je obim prodaje (K) 130, prodajna cijena (Pc) je 17 KM, nabavna
cijena (Nc) je 9 KM, ukupni fiksni troškovi 900 KM i pri tom obimu
prodaje ostvarujemo dobit (D) od 140 KM. Želimo uložiti 2 KM u
troškove ekonomske propagande i pitamo se koliko trebamo povećati
obim prodaje da bi pokrili troškove ekonomske propagande uz uvjet
da svi ostali elementi ostaju isti.
UFT + D 900 + 140 1.040
K= = = = 173,3 komada
P − N − T 17 − 9 − 2 6
c
c
p
Obim prodaje sa sadašnjih 130 KM treba uvećati na 173,3 kom. da bi
pokrili ulaganja u ekonomsku propagandu (2 novčane jedinice po
ukupnom obimu prodaje) uz ostale neizmijenjene elemente. Ukupna
ulaganja u troškove propagande iznose 347 KM (2 × 173,3 kom.).
287

Kontrola:
R.b.
OPIS
Bez troškova
propagande
Sa troškovima
propagande
1. Ukupni fiksni troškovi 900 900
2. Nabavna cijena po 1 kom. 9 9
3. Prodajna cijena po 1 kom. 17 17
4. Troškovi propagande po 1 kom. - 2
5. Prodajna količina 130 173,3
6. Ukupni troškovi nabave (2 × 5) 1.170 1.559
7. Ukupni propagandni troškovi (4 × 5) - 347
8. Ukupni troškovi (1+6+7) 2.070 2.806
9. Ukupan prihod (3 × 5) 2.210 2.946
10. Dobit (9 - 8) 140 140
2. Mjerenje učinaka ulaganja u ekonomsku propagandu, ako ulaganje
vršimo u ukupnom iznosu, vrši se pomoću formule:
UFT + D + UTP
K=
P c
− N c
pri čemu je:
K= količina (obim) prodaje,
UFT= ukupni fiksni troškovi,
UTP= ukupni troškovi propagande (koji se ulažu),
Pc= prodajna cijena po jedinici,
Nc= nabavna cijena po jedinici,
D= dobit.
PRIMJER 2.
Ako je obim prodaje (K) 130, prodajna cijena (Pc) 17 KM, nabavna
cijena (Nc) je 9 KM, ukupni fiksni troškovi 900 i pri tom obimu
prodaje ostvarujemo dobit (D) od 140 KM. Planom ulaganja u
propagandu želimo ukupno uložiti 200 KM i postavlja se pitanje
koliko treba povećati obim prodaje da bi se pokrili ovi dodatni
troškovi ekonomske propagande uz uvjet da ostali elementi ostaju isti.
UFT + D + UTP 900 + 200 + 140
K= =
= 155 komada
P − N
17 − 9
c
c
288

Obim prodaje sa sadašnjih 130 kom. treba povećati na 155 kom. da bi
se pokrila ulaganja u ekonomsku propagandu uz neizmjenjene ostale
uvjete. Prodaja iznad 155 kom. opravdala bi ulaganja u ekonomsku
propagandu sa aspekta ekonomičnosti, na tom obimu prodaje korist od
ekonomske propagande bila bi ravna troškovima. Manji obim prodaje
od 155 kom. pokazao bi neuspješnost tako sprovedene ekonomske
propagande.
Kontrola:
R.b.
OPIS
Bez troškova Sa troškovima
propagande propagande
1. Ukupni fiksni troškovi 900 900
2. Nabavna cijena po 1 kom 9 9
3. Prodajna cijena po 1 kom 17 17
4. Ukupni troškovi propagande - 200
5. Prodajna količina 130 155
6. Ukupni troškovi nabave (2 × 5) 1.170 1.395
7. Ukupni troškovi (1+4+6) 2.070 2.495
8. Ukupan prihod (3 × 5) 2.210 2.635
9. Dobit (8 - 7) 140 140
b) Mjerenje komunikacijskih (propagandnih) učinaka je mjerenje
mišljenja, stavova, sjećanja i drugih utjecaja koji objašnjavaju
ponašanje i reakciju na upućene propagandne poruke. Ovi oblici
mjerenja se obično nazivaju testiranje učinaka propagandne poruke.
Testiranje se može vršiti:
- prije propagandne akcije, i
- nakon propagandne akcije.
Testiranje prije propagandne akcije (predtest) provodi se u cilju
ustvrđivanja najbolje propagandne poruke koja će se koristiti u
propagandnoj akciji. Predtestiranje se vrši na manjem broju kupaca ili
užem broju stručnih osoba, koji uz relativno niske troškove dobivaju
rezultat pomoću primjene statističke metode uzorka, uz očekivanje da
će se ostvariti očekivani rezultat u procesu stvarne realizacije
propagandne akcije.
289

Testiranje nakon provedene propagandne akcije (posttest) ukazuje
kako su potencijalni kupci prihvatili, zapazili, zapamtili ili reagirali na
upućene propagandne poruke.
Postoje razna područja testiranja kao što su:
- testiranje mišljenja,
- testiranje stajališta,
- testiranje prepoznavanja,
- testiranje sjećanja,
- analiza slike, i
- testiranje putem upita.
Kod bilo kojeg oblika testiranja teško je utvrditi uzročnost između
ekonomske propagande i prodaje radi utjecaja i niza drugih faktora na
prodaju.
Testiranje se može provoditi radi dobivanja odgovora na pitanja
uspješnosti po pojedinim medijima, sredstvima, pojedinim dijelovima
propagandne poruke i ukupne uspješnosti propagandne akcije.
290

27. OBRAČUN PLAĆE I DRUGIH PRIMANJA
Trošenje rada, odnosno energije u ekonomskom mjerilu iskazuje se
kroz plaću radnika. Međutim, odnos između plaće i trošenja radne
energije nije i ne može biti u funkcionalnoj vezi. Sposobnost radnika u
velikoj mjeri utječe s kolikim trošenjem energije i vremena će obaviti
jedan posao. Sigurno je da će manje sposobni radnici s više trošenja
energije i truda obaviti posao od drugih dobro osposobljenih radnika,
a dobit će istu plaću. Prema tome, plaća se vezuje uz ostvareni
rezultat, a manje za uloženi trud i trošenje energije zato je pravičnije
plaću vezati uz vrijednost učinka, s tim da je mjerenje i praćenje
vrijednosti učinka po svakom radniku dosta složen i kompliciran
posao.
Učinci nastaju na svakom radnom mjestu, ali se njihova vrijednost ne
utvrđuje pojedinačno nego prodajom zajedničkog učinka. Složenost
nastaje pokušajem da se ustanovi koliki je doprinos svakog pojedinca
na ukupni učinak. Ovo mjerenje se još više komplicira utjecajem
tržišta i drugih faktora na vrijednost ukupnog učinka neovisno od
utjecaja radnika, skupine ili cijelog poduzeća.
Na visinu plaće može utjecati:
a) polazna (startna) osnova,
b) stimulacijski dio za pojedinačni rad,
c) stimulacijski dio za skupni rad,
d) stimulacijski dio za rezultate rada organizacijske jedinice, i
e) stimulacijski dio za uspješan rad ukupnog poduzeća.
Prilikom utvrđivanja sustava nagrađivanja polazi se od preciznog
utvrđivanja kako se evidentiraju i mjere rezultati rada. Uspješnost u
radu se iskazuje usporedbom temeljnih (polaznih) zadataka s
ostvarenim rezultatima. Uspješnost rada bit će veća što je rezultat rada
veći od temeljnih (polaznih) zadataka i obratno.
Sustav nagrađivanja uposlenih u trgovini polazi od startne osnove
svakog radnika koja se uvećava ili umanjuje zavisno od ostvarenih
rezultata rada pojedinačnog radnika i njegove uže ili šire radne grupe,
gdje je njihov rad uzajamno povezan i uvjetovan.
291

Stimulacijski dio plaće treba osigurati:
a) pravičnost nagrade, koja se ogleda u tome da radnik shvati da je
razmjerno nagrađen svome doprinosu uspješnom radu ili da je
srazmjerno kažnjen za neuspješan rad,
b) da nagrađivanje djeluje stimulativno za daljnje zalaganje, a time
dobivanje veće plaće, kao i mogućnost napredovanja,
c) da među plaćama i nagradama postoje takvi odnosi i rasponi koji
neće negativno djelovati i stvarati osjećaj nepravičnosti, i
d) da nagrađivanje bude učinkovito i u kratkom roku kako bi radnik
osjetio prednosti i stimulans nagrađivanja. Raspodjela i nagrađivanje
po završnom računu poduzeća nema veći efekt u stimuliranju
radnika jer je to dugo razdoblje da bi se znalo zašto je nagrađen.
Utvrđivanje polazne (startne) osnove za radnike u poduzeću je vrlo
složena faza rada u kojoj se razne vrste rada (po obimu, značaju i
složenosti) dovode u odnose njihovog kvantitativnog uspoređivanja.
Jednostavnije rečeno, potrebno je uspostaviti odnose između prostog
rada (najjednostavnijeg rada) i svih ostalih složenijih oblika rada.
27.1. OBRAČUN PLAĆE
Sva primanja koja zaposlenik ostvari iz osnova rada, po bilo kom
osnovu, smatra se njegovim oporezivim dohodkom odnosno plaćom.
Plaća se sastoji iz slijedećih pojmova:
1. Bruto plaća (2 + 3)
2. Doprinosi (za penzioni fond, zdravstveni fond i sl.)
3. Neto plaća I (1 – 2)
4. Porez na dohodak (plaće)
5. Neto plaća II (3 – 4)
U praksi poduzeća snose troškove bruto plaće pri ćemu je moguće da
porez na dohodak (plaću) snosi poduzeće ili zaposlenik.
1) U prvom slučaju da zaposlenik prima neto plaću (na ruke), porez na
dohodak (plaću) izmiruje poduzeće i koristi se formula da neto
plaću preračuna u bruto plaću na slijedeći način i na slijedećem
primjeru:
292

a) Neto plaća radnika na ruke = 900 KM
b) Porez na plaću je 10%
c) Zbirni dopri8nosi 31%
d) Napravi obračun plaće (bruto)
Obračuni su slijedeći:
a) Porez na plaću je 10% i preračun stope je slijedeći
Stopa poreza ⋅100
100 − stopa poreza
10 ⋅100
=
100 −10
=
1.000
90
= 11,1111%
Obračun poreza je:
- 900 KM ∙ 11,1111 = 1.000 KM
- 10% poreza na 1.000 KM = 100 KM
- 10% poreza iznosi 100 KM
b) Zbirna stopa doprinosa iznosi 31% na bruto iznos i potrebno je
preračunati stopu na neto iznos. Preračun stope je slijedeći:
Zbirna stopa doprinosa ⋅100
100 − zbirna stopa doprinosa
31⋅100
= =
100 − 31
3.100
69
= 44,9275%
Iznos zbirnih doprinosa se iz neta obračunava tako što se neto plaća
uveća za 44,9275%
- Neto plaća 900 KM ∙ 44,9275% = 404,35 KM
- Zbirni doprinosi iznose 404,35 KM
c) Obračun isplate plaće od neta do bruta je:
- Neto plaća (na ruke) radnika - 900 KM
- Zbirni doprinosi - 404,35 KM
- Porez na plaću - 100,00 KM
- Bruto plaća (zbir) - 1.404,35 KM
293

2) U drugom slučaju ako radnik plaća porez na plaću njegova neto
plaća bit će umanjena za porez na plaću i taj iznos se isplaćuje u
odgovarajući budžet (države, kantona i sl.). Radi upoređivanja
obračuna plaće koristit ćemo isti slučaj kao i u prošlom primjeru s
tim da porez na plaću plaća radnik.
a) Porez na plaću iznosi 10% s tim da se on plaća na osnovicu od 900
KM i iznosi 90 KM te će radnik dobiti na ruke neto iznos od 810
KM (900 KM – porez).
b) Zbirna stopa doprinosa iznosi 31% i preračun stope na neto iznos je
isti i nova preračunata stopa zbirnih doprinosa iznosi 44,9275%.
Međutim, sada nastaje razlika u odnosu na prvi slučaj jer je sada
osnovica za obračun doprinosa manja i iznosi 900 KM.
Zbirni doprinos je 900 KM ∙ 44,9275% = 404,35 KM
Bruto plaća je neto plaća plus zbirni doprinosi = 810 KM + 404,35
KM = 1.214,35 KM
Kontrola zbirnog doprinosa je 1.304,35 KM ∙ 31% = 404,35 KM
U ovom drugom slučaju bruto plaća na teret poduzeća je niža za porez
na plaću ali je i niža osnovica za obračun zbirnih stopa doprinosa.
Po prvom slučaju bruto plaća na teret poduzeća iznosi 1.404,35 KM a
po drugom slučaju bruto plaća na teret poduzeća iznosi 1.214,35 KM.
294

27.2. OBRAČUN DRUGIH PRIMANJA
U poduzećima se najčešće kao ostale isplate tretiraju isplate po osnovu
ugovora o djelu i po osnovu autorskih honorara.
A. Obračun isplate po osnovu ugovora o djelu je slijedeći:
1. Ugovoreni iznos za isplatu = 700,00 KM
2. Bruto iznos naknade (stavka 1 ∙ 1,12208) = 785,45 KM
3. Zakonom priznati rashodi 20% (od stavke 2) = 157,09 KM
4. Osnovica za obračun doprinosa (2 – 3) = 628,36 KM
5. Doprinosi za penzioni fond 6% (od 4) = 37,70 KM
6. Doprinos za zdravstvo 4% (od 4) = 25,13 KM
7. Osnovica za obračun poreza (4 – 6) = 603,23 KM
8. Porez na dohodak 10% (od 7) = 60,32 KM
Na osnovu predhodnog obračuna na teret poduzeća padaju troškovi:
- Ugovoreni iznos za isplatu (stavka 1) = 700,00 KM
- Doprinos za penzioni fond (stavka 5) = 37,70 KM
- Doprinos za zdravstvo (stavka 6) = 25,13 KM
- Porez na dohodak (stavka 8) = 60,32 KM
Ukupno na teret poduzeća = 823,15 KM
Ukupni troškovi na teret poduzeća (823,15 KM) iznose u odnosu na
ugovoreni iznos za isplatu (700,00 KM) uvečani za 17,59%.
295

B. Obračun isplate po osnovu autorskih honorara je slijedeći:
1. Ugovoreni iznos za isplatu = 800,00 KM
2. Bruto iznos naknade (stavka 1 ∙ 1,10522) = 884,17 KM
3. Zakonski priznati rashodi 30% (od stavke 2) = 265,25 KM
4. Osnovica za obračun doprinosa (2 – 3) = 618,92 KM
5. Doprinos za penzioni fond 6% (od 4) = 37,14 KM
6. Doprinos za zdravstvo 4% (od 4) = 24,76 KM
7. Osnovica za obračun poreza (4 – 6) = 594,16 KM
8. Porez na dohodak 10% (od 7) = 59,42 KM
Na osnovu predhodnog obračuna autorskog honorara na teret
poduzeća padaju troškovi:
- Ugovoreni iznos za isplatu (stavka 1) = 800,00 KM
- Doprinos za penzioni fond (stavka 5) = 37,14 KM
- Doprinos za zdravstvo (stavka 6) = 24,76 KM
- Porez na dohodak (stavka 8) = 59,42 KM
Ukupno na teret poduzeća = 921,32 KM
Prema tome ukupni troškovi na teret poduzeća iznose 921,32 KM a
isplaćeni iznos autoru u neto iznosi 800,00 KM. Na ovaj način dodatni
troškovi na neto iznos uvečava se za 15,16% (921,32 : 800,00).
296

Literatura
1. Alfier D. "Ekonomika unutrašnje trgovine", Informator, Zagreb,
1967
2. Böher F. i dr. "Erfogskontrolle in Marketing", Duncker und
Humboldt, Berlin, 1975
3. Babić M. "Osnovi organizacije", Svjetlost, Sarajevo, 1990
4. Babić Š. »Uvod u ekonomiku poduzeća«, školska knjiga, Zagreb,
1967. god.
5. Bajat A. "Osnovi ekonomike", Informator, Zagreb, 1967
6. Bakalar J. "Teorija i politika cijena", Svjetlost, Sarajevo, 1988
7. Bakija I. "Osiguranje kvaliteta", Privredni vjesnik, Zagreb, 1991
8. Bakija I. »Osiguranje kvaliteta«, Privredni vjesnik, Zagreb, 1991.
god.
9. Baralić Ž. "Položaj i poslovanje unutrašnje trgovine sa posebnim
osvrtom na troškove prometa" I i II dio, Beograd, 1978
10. Bašić Š. "Uvod u ekonomiku poduzeća", Školska knjiga, Zagreb,
1967
11. Bazala A. "Istraživanje tržišta u funkciji udruženog rada",
Progres, Zagreb, 1978
12. Begtić R. "Ekonomika prometnih organizacija" I dio, Ekonomski
fakultet, Sarajevo, 1982
13. Begtić R. "Razvoj male privrede", Svjetlost, 1980
14. Benić Dj. »Trgovina i politika cijena«, Zagreb, 1990. god.
15. Blažić i dr. "Opšta statistika", Savremena administracija,
Beograd, 1988
16. Branko Trklja, Milivoje Krčmar: Metodička „Zbirka zadataka iz
privredne3 matematike“, Svjetlost – Zavod za udžbenike i
nastavna srestva, Sarajevo, 1990 g.
17. Buble M. "Sistem raspodjele sredstava za osobne dohotke",
Informator, Zagreb, 1984
18. Crosby P. "Kvaliteta je besplatna", Privredni vjesnik, Zagreb,
1991
19. Crosby P. "Vječno uspješna organizacija", Privredni vjesnik,
Zagreb, 1991
20. Čečez M. "Privredni sistem i privredni razvoj Jugoslavije"
Svjetlost, Sarajevo, 1987
297

21. Čolanović B. i dr. "Emisija hartija od vrijednosti u funkciji
razvoja", Ekonomski institut, Beograd, 1989
22. Dinter Č. "Utvrđivanje djelotvornosti ekonomske propagande",
Vjesnik, 1974
23. Dobrenić S. i dr. "Informacijski sistem", Savremena
administracija, Beograd, 1982
24. Dostić M. »Savremena trgovina na veliko«, Veselin Masleša,
Sarajevo, 1985. god.
25. dr Vidoje Veselinović: „Privredna matematika“, prva knjiga, peto
izdanje, Građevinska knjiga – Beograd, 1960 g.
26. dr Vladimir Vranić, dr Ljubomir Martić, „Matematika za
ekonomiste“, I svezak, Školska knjiga Zagreb, 1967 g.
27. Dujmović I. "Marketing", Školska knjiga, Zagreb, 1975
28. Đurović R. "Međunarodno privredno pravo", Savremena
administracija, Beograd, 1974
29. Fischer G. "Allgemeine Betriebswirtschaftslegre", Heidelberg,
1951
30. Galogaža M. "Međunarodni megamarketing Jugoslavije", Zagreb,
1987
31. Gojanović J. "Komercijalno poslovanje", Školska knjiga, Zagreb,
1964
32. Grabovac N. "Analiza faktora potrošnje u tekstilnoj konfekciji
kao osnov segmentiranja tržišta" - doktorska disertacija, 1987
33. Grabovac N. "Dohodovna elastičnost, Engelov zakon i njegova
aktuelnost u oblasti odjevanja", časopis "Tekstilna industrija",
Beograd, broj 1-2, 1991
34. Grabovac N. "Ekonomika trgovinskih poduzeća", Naša riječ,
Sarajevo, 1995
35. Grabovac N. "Marketing tekstilne industrije", ABC Fabulas,
Sarajevo, 1998
36. Grabovac N. "Marketing tekstilne industrije", časopis "Tekstilna
industrija", 1990 brojevi 1-12, Beograd
37. Grabovac N. "Zbirka zadataka sa rješenjima iz ekonomike
trgovinskih poduzeća", ABC Fabulas, Sarajevo, 1998
38. Grabovac N. »Analiza faktora potrošnje u tekstilnoj konfekciji
kao osnov za segmentiranje tržišta – doktorska disertacija,
Sarajevo, 1987. god.
39. Grabovac N. »Ekonomika trgovinskih poduzeća«, Naša riječ,
Sarajevo, 1995. god.
298

40. Grabovac N. »Marketing tekstilne industrije«, ABC, Fabulas,
Sarajevo, 1998. god.
41. Grupa autora – redaktor Tihi B. »Osnovi marketinga«,
Ekonomski fakultet, Sarajevo, 1996. god.
42. Gutenberg E. "Einfurung in die Betriebswirtschaftslehre", Gabler,
Wiesbaden, 1958
43. Hanić H. »Marketinški informacioni sistem«, Ekonomski fakultet,
Beograd, 1991. god.
44. Hercog R. "Politika plasmana trgovinskog poduzeća", Privredni
pregled, Beograd, 1970
45. Hercog R. i dr. "Ekonomika unutrašnjeg robnog prometa", I i II
dio, Savremena administracija, Beograd, 1976
46. Humble J. "Poboljšavanje rezultata poslovanja", Informator,
Zagreb, 1971
47. Ivanović B. i dr. "Komentar zakona o poduzećima", Poslovna
politika, Beograd, 1989
48. Jovanović D. "Analiza poslovanja organizacija udruženog rada",
Savremena administracija", Beograd, 1974
49. Jovašević V. "Savremeni kapitalizam", Naučna knjiga, Beograd,
1987
50. Jurin S. i dr. »Teorija tržišta i cijena«, Globus, Zagreb, 1990. god.
51. Kegan W. »Globalni marketing menadžment«, - prijevod,
Sarajevo, 1990. god.
52. Kegen W. "Globalni marketing menadžment" (prijevod),
Sarajevo, 1990
53. Klobučar J. i dr. "Računovodstvo I", Svjetlost, Sarajevo, 1972
54. Kostić Ž. i dr. "Organizacija prometa", Beograd, 1972
55. Kotler P. »Marketing menagement«, Informator, Zagreb, 1994.
god.
56. Kotnik D. "Prodajna politika", Informator, Zagreb, 1971
57. Kotnik D. »Prodajna politika«, Informator, Zagreb, 1971. god.
58. Kovačević M. "Sistem obračuna troškova", Privredna štampa,
Beograd, 1982
59. Krajčević F. "Analiza poslovanja", Informator, Zagreb, 1975
60. Kralj J. "Poslovna politika", Informator, Zagreb, 1972
61. Krsmanović S. "Poslovna informatika", Savremena
administracija, Beograd, 1991
62. Kukoleča S. "Ekonomika organizacije udruženog rada", I i II dio,
Beograd, 1978
299

63. Lazarević A. "Ekonomika i organizacija trgovinskih poduzeća",
Savremena administracija, 1968
64. Lazarević A. "Organizacija robnog prometa", Savremena
administracija, Beograd, 1975
65. Lovreta S. "Savremena maloprodaja", Savremena administracija,
Beograd, 1979
66. Lovreta S. »Marketing u trgovini«, Ekonomski fakultet, Beograd,
1998. god.
67. Lovreta S. »Savremena maloprodaja«, Savremena administracija,
Beograd, 1979. god.
68. Luka Sarajić: „Privredna matematika“, I knjiga, VIII izdanje,
Zavod za izdavanje udžbenika – Sarajevo, 1974 g.
69. Luka Sarajić: „Privredna matematika“, II knjiga, VI izdanje,
Zavod za izdavanje udžbenika – Sarajevo, 1974 g.
70. Majcen Ž. "Ekonomika organizacije udruženog rada", Informator,
Zagreb, 1974
71. Markovski S. "Troškovi u poslovnom odlučivanju", Informator,
Zagreb, 1983
72. Mellerovich "Kosten und Kostenrechnung" I-II, Berlin, 1968
73. Milanović R. »Osnovi marketinga«, Svjetlost, Sarajevo, 1985.
god.
74. Milisavljević M. "Politika cijena preduzeća", Savremena
administracija, Beograd, 1971
75. Milisavljević M. »Marketing«, Savremena administracija,
Beograd, 1990. god.
76. Milisavljević M. i Todorović J. »Marketing strategija«,
Ekonomski fakultet, Beograd, 1975. god.
77. Nenadić K. "Organizacija i raspodjela u OOUR trgovine",
Privredni pregled, Beograd, 1974
78. Nikolić M. "Ekonomika industrije SFRJ", Savremena
administracija, Beograd, 1978
79. Novak M. "Organizacija rada u socijalizmu", Informator, Zagreb,
1989
80. Obraz R. "Organizacija i funkcionisanje službe marketinga u
udruženom radu", Informator, Zagreb, 1981
81. Obraz R. "Planiranje, razvoj i lansiranje proizvoda za tržište",
Zagreb, 1971
82. Obraz R. "Politika proizvoda", Informator, Zagreb, 1975
83. Obraz R. "Suvremena prodaja", Informator, Zagreb, 1975
300

84. Obraz R. »Politika proizvoda«, Informator, Zagreb, 1975. god.
85. Obraz R. »Suvremena prodaja«, Informator, Zagreb, 1975. god.
86. Oldcorn R. "Menagement" - prevod
87. Perišin I. i dr. "Monetarno-kreditna politika", Informator, Zagreb,
1988
88. Pjanić Z. "Teorija cena", Savremena administracija, Beograd,
1988
89. Popović Ž. "Ekonomska analiza poslovanja", Informator, Zagreb,
1979
90. Praljak T. "Modeli kupovine na tržištu lične i proizvodno-uslužne
proizvodnje", Savremena administracija, Beograd, 1982
91. Praljak T. »Modeli kupovine na tržištu lične i proizvodno –
uslužne potrošnje«, Savremena administracija, Beograd, 1982.
god.
92. Radunović D. i dr. "Ekonomika trgovine", Savremena
administracija, Beograd, 1991
93. Renko F. "Ekonomika robnog prometa", Zagreb, 1966
94. Renko F. "Trgovinsko poslovanje", Školska knjiga, Zagreb, 1975
95. Ristić I. "Poznavanje robe", Savremena administracija, Beograd,
1982
96. Rocco F. "Osnove tržišnog poslovanja", Informator, Zagreb, 1979
97. Rocco F. "Strategija plasmana", Informator, Zagreb, 1964
98. Rocco F. »Osnove tržišnog položaja«, Informator, Zagreb, 1979.
god.
99. Rocco F. i dr. (redakcija) "Poduzeća i tržišta", Informator,
Zagreb, 1970
100. Rocco F. i dr. (redakcija) "Tržište i marketing", Informator,
Zagreb, 1968
101. Samuelson P. "Ekonomija" (prijevod), XIV izdanje, "Mate",
Zagreb, 1992
102. Schmalenbach E. "Kostenrechnung und Preispolitik" Köln und
Oplanden, 1963
103. Schneider J. "Die Kostenrechnung im Einzelhandel", Freiburg,
1968
104. Seüffert R. "Wirtschaftslehre des Handels" Westdeutscher Verlag,
Köln und Oplanden, 1961
105. Senić R. "Osnovi savremene maloprodaje", Naučna knjiga,
Beograd, 1978
106. Serdar V. "Udžbenik statistike", Školska knjiga, Zagreb, 1970
301

107. Sredović J. "Priručnik o amortizaciji i revalorizaciji", Institut za
unapređenje organizacije rada, Beograd, 1984
108. Stanić G. "Statut dioničarskog društva", Sveučilište "E. Kardelj",
Ljubljana, 1990
109. Stavrić B. "Troškovi i poslovna politika preduzeća", Ekonomski
fakultet, Banja Luka, 1990
110. Stavrić B. i dr. "Ekonomika organizacije udruženog rada",
Informator, Zagreb, 1987
111. Stavrić B. i dr. "Teorija ekonomike preduzeća", Ekonomski
fakultet Sarajevo i Ekonomski fakultet Banja Luka, 1991
112. Stevanović J. "Evropska ekonomska zajednica", Svjetlost,
Sarajevo, 1989
113. Stojanov D. "Međunarodne finansije", Svjetlost, Sarajevo, 1988
114. Stojiljković D. "Kvalitativna i kvantitativna analiza tražnje",
Savremena administracija, Beograd, 1981
115. Sudar J. »Promotivne aktivnosti«, Informator, Zagreb, 1979. god.
116. Sultanović A. i dr. "Privredno pravo" I dio, Ekonomski fakultet,
Sarajevo, 1991
117. Tepšić R. "Obrtna sredstva", Informator, Zagreb, 1974
118. Tepšić R. (redakcija) "Poslovne financije" - zbornik radova,
Informator, Zagreb, 1974
119. Tešić M. "Spoljnotrgovinske kalkulacije sa teorijom troškova
spoljnotrgovinskog prometa", Savremena administracija, 1988
120. Tešić M. "Spoljnotrgovinsko poslovanje", Savremena
administracija, Beograd, 1987
121. Tihi B. "Istraživanje tržišta organizacije udruženog rada", Veselin
Masleša, Sarajevo, 1987
122. Tihi B. »Istraživanje marketinga«, ABC, Fabulas, Sarajevo, 1995.
god.
123. Tomljanović D. "Financijska teorija i politika", Savremena
administracija, Beograd, 1990
124. Tričković V. "Istraživanje tržišta-teorija, mjerenje i predviđanje
tražnje", Savremena administracija, Beograd, 1983
125. Trklja B. "Kalkulacije u trgovini", Prosperitet, Sarajevo, 1967
126. Turk I. "Ekonomika poduzeća", Informator, Zagreb, 1970
127. Turk I. "Iskazivanje i ocjenjivanje rezultata poslovanja
organizacija udruženog rada", Informator, Zagreb, 1982
128. Turk I. "Računovodstvene informacije", Informator, Zagreb, 1971
129. Vajner Z. "Komercijalno poslovanje", Zagreb, 1953
302

130. Vasiljević K. "Teorija i analiza bilansa", Savremena
administracija, Beograd, 1970
131. Vezjak D. "Međunarodni marketing", Savremena administracija,
1980
132. Vezjak D. »Međunarodni marketing«, Savremena administracija,
Beograd, 1980. god.
133. Vila A. i dr. "Računovodstvo II", Svjetlost, Sarajevo, 1984
134. Vračar D. "Privredna propaganda", Ekonomski fakultet, Skopje,
1974
135. Vukmirica V. "Kapital i socijalizam", Naučna knjiga, Beograd,
1988
136. Welzel K. "Marketing im Einzelhandel", Betriebwirtschaftlicher
Verlag dr. Th. Gabler, Wiesbaden, 1974
137. Zebić M. "O trgovini i o savršenom trgovcu", Udruženje
knjigovođa, Crna Gora, 1963
138. Zlatković Ž. "Ekonomika trgovine", Privredni pregled, Beograd,
1980
139. Zubčević L. "Ekonomika OUR", Svjetlost, 1981
303