Stabilnost kola sa povratnom spregom - LEDA

STABILNOST KOLA SA POVRATNOM SPREGOM
1 UVOD
Na slici 1.1 prikazana je šema idealizovanog modela kola sa povratnom spregom.
Slika 1.1
Ovom prilikom se pretpostavlja da kolo povratne sprege vrši unilateralan prenos
signala sa izlaza pojačavača na njegov ulaz, ukoliko je ulazna impedansa osnovnog
pojačavača beskonačno velika a izlazna jednaka nuli. Kod realnih pojačavača ovaj uslov nije
u potpunosti ispunjen, jer se preko kola povratne sprege, koje je najčešće sačinjeno od
pasivnih komponenti, vrši bilateralan prenos ne samo sa izlaza pojačavača do njegovog ulaza
već i suprotnom smeru.
Za idealizovani model kola sa povratnom spregom može se napisati sledeća jednačina:
(1.1) U
o
= A( s) ⋅ E
d
,
gde je:
(1.2) E
d
= U
i
− U
r
= U
i
− β(s)
⋅ U
o
,
pa se za pojačanje pojačavača sa povratnom spregom, odnosno za prenosnu funkciju kola
dobija:
Uo
A( s)
N( s)
(1.3) A
r
( s)
= = = H( s)
= .
U 1 + A( s) ⋅ β( s)
D( s)
i
U ovom izrazu T(s)=A(s)β(s) predstavlja kružno pojačanje pojačavača sa povratnom
spregom. Prenosna funkcija kola ima polove na frekvencijama na kojima funkcija reakcije
ima nule, tj. kada je:
(1.4) 1+ A( s) ⋅ β ( s) = 1+ T( s)
= 0 , tj. T(s)
= −1.
Da bi pojačavač bio stabilan polovi prenosne funkcije (nule funkcije reakcije) moraju
ležati u levoj poluravni kompleksne s-ravni, tj. moraju imati negativni realni deo.
Za analizu stabilnosti pojačavača sa povratnom spregom koriste se različiti kriterijumi,
od kojih su najpoznatiji:
- Hurwitzov kriterijum
- Geometrijsko mesto korenova (Root locus)
- Nyquistov kriterijum
- Bodeov kriterijum.
Ovde će biti reči samo o Bodeovom kriterijumu.
2 BODEOV KRITERIJUM
Prenosna funkcija linearnih pojačavača H(s), koja predstavlja odnos izlaznog i ulaznog
napona u s-domenu, može se predstaviti u faktorizovanom obliku na sledeći način:
U
o
( s)
(2.1) H( s)
= = K ⋅
U ( s)
i
∏
∏
n
i=
1
m
i=
1
( s − z
i
)
,
( s − p )
i

20 ANALOGNA ELEKTRONIKA
gde nule z i i polovi p i mogu biti realni ili kompleksni. Ukoliko su kompleksne nule i polovi se
javljaju u konjugovano kompleksnim parovima. Nule mogu biti rasporedjene u celoj
kompleksnoj s-ravni, dok se polovi mogu naći samo u levoj poluravni.
Na osi realnih frekvencija (s=jω) Prenosna funkcija se može predstaviti amplitudskom
i faznom karakteristikom.
Amplitudska karakteristika predstavlja zavisnost modula prenosne funkcije od
frekvencije:
(2.2) a( ω) = 20log H( jω) = 20log K + 20log jω − z − 20log
jω
− p
n
∑
m
∑
i
i= 1 i=
1
dok je fazna karakteristika zavisnost argumenta prenosne funkcije od frekvencije:
(2.2) ϕ( ω) arg { ( ω)
}
n
∑ ∑
Im{ jω−zi
}
= H j = arctg
Re{ ω } − arctg
j −z
m
i
i=
1 i=
1
Im
Re
{ jω−pi
}
{ jω−p
} .
Pošto i amplitudska, i fazna karakteristika prestavljaju zbir odgovarajućih doprinosa
pojedinačnih faktora iz brojioca odnosno imenioca prenosne funkcije, to se njihovo crtanje
svodi na crtanje svakog njih, a ukupna karakteristika se dobija njihovim sabiranjem.
Prenosna funkcija pojačavača H(s) data u faktorizovanom obliku može sadržati jedan
ili više činilaca oblika:
a) konstanta ( K ) ,
b) nula u koordinatnom početku ( s ) ,
c) realni pol 1 ( s + σ)
,
d) realna nulu ( s + σ ) ,
⎛ ω ⎞
e) konjugovano kompleksne polove ⎜
2 p 2
1 s + ⋅ s + ω ⎟
p
ili
⎝ Q
p ⎠
⎛ ω
2 z
f) konjugovano kompleksne nule s
Q
s ⎞
2
⎜ + ⋅ + ω
z⎟
.
⎝ ⎠
Smatra se da čitaoci poznaju način crtanja Bodeovih dijagrama za svaki od ovih
činioca prenosne funkcije i naravno način dobijanja ukupnoh dijagrama za prenosnu funkciju.
Za analizu stabilnosti pojačavača treba razmatrati funkciju reakcije čije su nule uzrok
oscilovanja, jer kada je:
(2.3) 1+ A( s) ⋅ β ( s)
= 0
pojačanje A r teži beskonačnosti, odnosno pojačavač osciluje. Prema tome pojačavač je na
granici stabilnosti kada je kružno pojaćanje:
(2.4) T( s) = A( s) ⋅ β( s)
= −1,
tj. kada je moduo kružnog pojačanja jednak jedinici:
(2.5) T( jω ) = 1,
a argument kružnog pojačanja -180 0 :
(2.6) ϕ( ω) = −180 o ( −π
rad ) .
U slučaju jediničnog pojačavača (β=1) amplitudska i fazna karakteristika samog
pojačavača istovremeno predstavljaju i moduo i argument kružnog pojačanja i to je
najnepovoljniji režim rada pojačavača u pogledu stabilnosti.
Kod analize stabilnosti pojačavača važne su sledeće frekvencije:
f 0 - frekvencija na kojoj moduo kružnog pojačanja prvi put postane jednak jedinici
(0dB) - kritična frekvencija,
f π - frekvencija na kojoj argument kružnog pojačanja prvi put dostiže -180 o (-π
radijana).
Bodeov kriterijum stabilnosti definisan je na sledeći način.
Pojačavač je stabilan ako je ispunjen uslov:
z
i
i
,

STABILNOST KOLA SA POVRATNOM SPREGOM 21
(2.7) f0 < fπ ,
tj. ako moduo kružnog pojačanja opadne na vrednost 1 (0dB) pre nego što faza dostigne -180 o .
Razlika izmedju faze kružnog pojačanja na frekvenciji f = f 0 i (f = -180 o ) predstavlja
marginu faze:
o
o
(2.8) φ
m
= ϕ( f
0
) − ( −180
) = arg{ A( jf
0
) β(jf
0} + 180 .
Moduo kružnog pojačanja treba da je negativan na frekvenciji f = f π da bi pojačavač
bio stabilan, pa se margina pojačanja definiše kao:
(2.9) G 20log A ( jf ) ⋅ β ( jf ) .
m =
π
π
Pojačavač je stabilan ukoliko je margina faze pozitivna a margina pojačanja negativna
veličina. Da bi se dobile dobre karakteristike u prelaznom režimu margina faze treba da je
veća od 45 o , što znači da faza faza na frekvenciji f 0 nesme biti ispod -135 o , a to opet znači da
nagib amplitudske karakteristike u okolini ove frekvencije treba da je ≤6dB/oct (20dB/dek).
U slučaju da polovi dovoljno odvojeni tada marginu faze imamo kada na kritičnoj frekvenciji
f 0 amplitudska karakteristika menja nagib od 20dB/dek na 40dB/dek.
2.1 Bodeovi dijagrami
Prikaz i objašnjenje crtanja Bodeovih dijagrama najbolje je izvesti na konkretnom
primeru. Posmatrajmo zbog toga kolo neinvertujućeg pojačavača prikazano na slici 2.1.
Slika 2.1
U ovom slučaju kolo povratne sprege sadrži samo otpornike pa je koeficijent povratne
sprege nezavisan od frekvencije i dat je izrazom:
(2.10)
R1
β( s)
= β
0
=
R1 + R
2
.
Ako je prenosna funkcija (pojačanje) operacionog pojačavača dato izrazom:
(2.11)
A
0
A(s) 1+
s ω1
,
prenosna funkcija neinvertujućeg pojačavača je:
(2.12)
R
2
R
2
R
2
1+
1+
1+
R
1
R
1
R
1
A
r
(s) = =
≅
1+
s ω1
1+
A
0β0
+ s / ω1
s ω1
1+
1+
A
0β0
A
0β0
A
0β0
, jer je A 0 β 0 >>1,
odnosno,
(2.13)
R
2
1 +
R1
A
r
( s) = ,
s
1 +
gde je:
ω 0
(2.14) ω
0
= β0
⋅ A
0
⋅ ω1
= β0
⋅ ωT
.
Prenosna funkcija neinvertujućeg pojaavača je takodje sa jednim polom ω 0 . Medjutim,
ukoliko posmatramo funkciju kružnog pojačanja:

22 ANALOGNA ELEKTRONIKA
(2.15)
A(s)
A
⋅β
0 0
⋅ β(s)
= ,
1+
s ω
1
vidi se da ona ima takodje jedan pol koji je jednak polu prenosne funkcije operacionog
pojačavača. Ukoliko odredimo frekvenciju na kojoj moduo kružnog pojačanja postaje jednak
jedinici dobićemo da je to frekvencija ω 0 na kojoj prenosna funkcija neinvertujućeg
pojačavača ima pol. Drugim rečima, imajući u vidu da je:
(2.16) 20log A( jω) ⋅ β( jω) = 20log A( jω) ⋅ − 20log 1 / ⋅ β( jω)
,
možemo najpre nacrtati amplitudsku karakteristiku operacionog pojačavača, a zatim
frekventnu osu podići za iznos pojačanja neinvertujućeg pojačavača pri niskim frekvencijama
1
(2.17) A r
( 0) = 20log
β .
0
Iznad nove frekventne ose nalazi se moduo funkcije kružnog pojačanja, dok se ispod ove ose
nalazi prenosna funkcija neinvertujućeg pojačavača.
Za konkretne vrednosti A 0 =10 4 , β 0 =0.1 i ω 1 =10rad/s Bodeovi dijagrami prikazani su
na slici 2.2.
ϕ=arg(A(jω))
B
0 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 ω
-45
FAZA ( o )
-90
-135
φ m
= 90 o
-180
Slika 2.2

STABILNOST KOLA SA POVRATNOM SPREGOM 23
Sa dijagrama se vidi da je pojačavač sa jednopolnom funkcijom kružnog pojačanja
uvek stabilan jer fazna karakteristika ima najnižu vrednost od -90 o , i marginu faze najmanje
90 o . Zbog toga razmotrimo slučaj istog pojačavača sa slike 2.1 kod koga upotrebljeni
operacioni pojačavač ima tropolnu prenosnu funkciju datu izrazom:
A
o
(2.18) A( s) =
⎛
+ s s s
⎝
⎜ ⎞⎟ ⎠ ⋅ ⎛
⎝
⎜ + ⎞ ,
⎟ ⎠ ⋅ ⎛⎜
⎝
+ ⎞
1 1 1 ⎟
ω ω ω ⎠
1 2 3
gde je A 0 =10 4 , ω 1 =10rad/s, ω 2 =10 3 rad/s i ω 3 =10 4 rad/s.
Sa slike 2.3 se vidi da kada bi pojačavač radio sa maksimalnim iznosom koeficijenta
povratne sprege β=1, neinvertujući pojačavač bi bio nestabilan. Zbog toga se mora odabrati
koeficijent β

24 ANALOGNA ELEKTRONIKA
Slika 2.4
Koeficijent povratne sprege je u ovom slučaju:
s
R sRC
4
2π
⋅10
(2.19) β( s)
= = =
.
1 1 + sRC s
R +
1 +
sC 2 π ⋅ 10
4
Ukoliko je pojačanje operacionog pojačavača dvopolna funkcija data izrazom:
5
10
(2.20) A( s) =
,
⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞
⎜1
+ ⎟ ⋅ ⎜1
+
5⎟
⎝ 2π
⋅10⎠
⎝ 2π
⋅10
⎠
tada je funkcija kružnog pojačanja:
5
s
10 2 ⋅ 10
4
π
(2.21) T( s) =
,
⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞
⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟
⎝ 2 ⋅ 10 ⎠ ⎝ 2 ⋅ 10
5⎠
⎝ 2 ⋅ 10
4
π π π ⎠
odnosno to je tropolna prenosna funkcija sa nulom u koordinatnom počeku. Nula obezbedjuje
pozitivan nagib od 20dB/dek kroz koordinatni početak koji se u logaritamskoj razmeri na
frekventnoj osi ne može nacrtati. Zbog toga je pri crtanju amplitudske karakteristike
najpogodnije izračunati moduo funkcije kružnog pojačanja na nekoj frekvenciji koja je bar 10
puta niža od frekvencije najnižeg pola. Možemo izabrati frekvenciju f=1Hz (ω=2π) i moduo
kružnog pojačanja je u tom slučaju 10. Amplitudska i fazna karakteristika su prikazani na slici
2.5.
40
a=20log ⎪ A(j ω ) ⎪
+ 20 dB/dec
B
- 20 dB/dec
MODUO (dB)
20
- 40 dB/dec
0
ω 0
ω
-20
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
KRUŽNA FREKVENCIJA (rad/s)

STABILNOST KOLA SA POVRATNOM SPREGOM 25
ϕ= arg(A (j ω ))
ω 0
B
90 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7
45
0
ω
FAZA ( o )
-45
-90
-135
-180
φ m = 22.5 o
Slika 2.5
3 UTICAJ MARGINE FAZE NA PREMAŠENJE U AMPLITUDSKOJ
KARAKTERISTICI
Predpostavimo da operacioni pojačavač ima jednopolnu prenosnu funkciju:
A
0
(3.1) A( s) = ,
s
1 + ω
1
a da je kolo reakcije nezavisno od frekvencije, tj β(s)=β 0 . Funkcija kružnog pojačanja je tada:
A
0
⋅ β
0
(3.2) T( s) = A( s) ⋅ β( s)
= .
s
1 +
ω
1
Pojačanje pojačavača sa povratnom spregom je u tom slučaju:
(3.3) A ( A s
s ) ( )
A
0
r
= =
.
1 + A( s) ⋅ β( s)
s
1 + A
0
⋅ β
0
+
ω
1
Pri niskim frekvencijama, pod uslovom da je A 0 β 0 >>1 imamo:
A
0 1
(3.4) A
r
( 0)
= ≅
1 + A ⋅ β β .
0 0 0
Ukoliko želimo marginu faze φ m , a margina faze je φ m =180 o +arg{T(jω)}, gde je ω 0
frekvencija na kojoj moduo kružnog pojačanja |T(jω 0 )|=1, tada je:
(3.5) arg { T( jω
)}
o
0
φ
m
180
pa je funkcija kružnog pojačanja:
= − ,
(3.6) { }
o
( ) [ ]
T( jω 0
) = T( jω 0
) ⋅ exp j⋅ arg T( jω 0
) = 1⋅ exp j( φ
m
− 180 ) .
S druge strane je:
(3.7) T( jω ) = A( jω ) ⋅ β =
pa je odavde:
(3.8) A( jω
)
0 0 0
1
0
1
= .
β
0
Na osi realnih frekvencija pojačanje pojačavača sa povratnom spregom ima oblik
sličan obliku:

26 ANALOGNA ELEKTRONIKA
(3.9) A ( A j
j ) ( ω)
r
ω = , 1 + T( jω)
pa se zamenomnavedenih izraza dobijamo pojačanje pojačavača sa povratnom spregom na
frekvenciji ω 0 :
(3.10)
A
r
A( jω
0
)
A( jω)
( jω
0
) = =
o
o
1 + 1 ⋅ exp ⋅ ( − 180 ) 1 + cos( φ − 180 ) + j ⋅ sin( φ − 180 )
o
( j φ )
m
Odavde sledi da je moduo pojačanja pojačavača sa povratnom spregom na frekvenciji ω 0 :
(3.11)
A ( jω
) =
r
0
A( jω
)
o
o
[ 1 + cos( φ
m
− 180 )] + [ sin( φ
m
− 180 )]
0
m
2 2
Kako frekvencija ω 0 predstavlja graničnu frekvenciju, tj. propusni opseg definisan sa
3dB slabljenja u odnosu na pojačanje pojačavača sa povratnom spregom pri niskim
frekvencijama, to je pri frekvenciji ω 0 premašenje dato izrazom:
(3.12)
tj.
(3.13)
A
r
( jω
0
)
1
p = =
A
r
( 0) cos( ) sin( )
p =
o
o
[ 1 + φ
m
− 180 ] + [ φ
m
− 180 ]
1
2 2
2 2
[ 1− cos( φ ] [ ] ( )
m
) + sin( φ 2 1−
m
) cosφ
m
Ako se zahteva margina faze od 45 o premašenje na osnovu ovog izraza iznosi 1.31, što
znači da je |A r (jω 0 )| je 1.31 puta veće od |A r (0)|.
=
1
.
.
m
.