3. Uvod v kvantno fiziko 2

18 POGLAVJE 2. OSNOVE KVANTNE FIZIKE, NADALJEVANJE
Zadnja dva člena v eksponentu ne vsebujeta k, zato ju lahko postavimo
pred integral:
ψ (x) =A 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x ∞
Vpeljemo novo spremenljivko
−∞
exp − 1 2
k − k0
√
2σk
− √ 2
2iσ k x dk
u = k − k 0
√
2σk
− √ 2iσ k x
du = 1 √
2
dk
pa je
ψ (x) = √ 2A 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x ∞
−∞
= 2 √ πA 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x =
= 2 √
πA 0 exp
− x2
e ik 0x
4σ 2 x
e −u2 /2 du =
Dobili smo valovni paket, ki je tudi Gaussove oblike, njegova širina
pa je določena s σ x = 1/ (2σ k ). Spet velja, da je delec tem bolj
lokaliziran v prostoru, čim širša je funkcija A (k), ki pove, kako širok
interval k-jev in s tem gibalnih količin prispeva v ψ (x). Povedano
drugače: čim bolj ostro je določen položaj delca, tem bolj nedoločena
je njegova gibalna količina. Tej ugotovitvi pravimo Heisenbergov princip
nedoločenosti in je ena osnov kvantne fizike.
Naj bo nedoločenost položaja δx, nedoločenost gibalne količine v
smeri x pa δp x = δk. Za Gaussov paket je δx = σ x in δk = σ k .Velja
δx δk = 1 2
in
δx δp x = 1 2