3. Uvod v kvantno fiziko 2
3. Uvod v kvantno fiziko 2
3. Uvod v kvantno fiziko 2
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2.6. VALOVNI PAKET IN NAČELO NEDOLOČENOSTI 17<br />
Širina vrha te funkcije do prve ničle je δx =2π/δk in je obratno sorazmerna<br />
z δk. Vemo, da je k = p/. Če torej s seštevanjem ravnih<br />
valov dosežemo, da je delec lokaliziran na območje δx, nimavečdobro<br />
določene gibalne količine. Valovni funkciji, ki ima le en vrh s končno<br />
širino, pravimo valovni paket.<br />
Gornji valovni paket ni posebno lep, saj ima poleg glavnega vrha<br />
še stranske oscilacije. V splošnem ni treba, da v valovnem paketu<br />
nastopajo vsi ravni valovi z isto amplitudo:<br />
<br />
ψ (x) = A (k) e ikx dk<br />
Integriramo po vsem območju k, kjerjeA (k) = 0. S primerno izbiro<br />
A (k) lahko dobimo razli”ne oblike ψ (x). Velja, da je mogoče vsako<br />
funkcijo x, kigreproti0,kadargrex proti ±∞, zapisati v obliki gornjega<br />
integrala. ( Taki zvezi pravimo Fourierov integral ali Fourierova<br />
transformacija).<br />
PosebnougodnaizbirajeGaussovafunkcija<br />
−(k−k 0 ) 2<br />
4σ<br />
A (k) =A 0 e k<br />
2<br />
Ta funckija ima vrh pri k 0 in njena širina je določena s σ k . Valovna<br />
funkcija je<br />
∞<br />
<br />
<br />
− (k − k 0 ) 2<br />
ψ (x) =A 0 exp<br />
+ ikx dk<br />
−∞<br />
Ta integral ni elementaren, lahko pa ga izračunamo, če vemo, da je<br />
∞<br />
−∞<br />
4σ 2 k<br />
e u2 /2 du = √ 2π (2.6)<br />
Da izračunamo ψ (x), dopolnimo eksponent do popolnega kvadrata,<br />
tako da prištejemo in odštejemo −σk 2x2 + ik 0 x :<br />
∞<br />
<br />
ψ (x) =A 0 exp − 1 k − k0<br />
√ − √ <br />
2<br />
2iσ k x<br />
− σ 2<br />
2<br />
kx 2 + ik 0 x dk<br />
2σk<br />
−∞