3. Uvod v kvantno fiziko 2

2.6. VALOVNI PAKET IN NAČELO NEDOLOČENOSTI 17
Širina vrha te funkcije do prve ničle je δx =2π/δk in je obratno sorazmerna
z δk. Vemo, da je k = p/. Če torej s seštevanjem ravnih
valov dosežemo, da je delec lokaliziran na območje δx, nimavečdobro
določene gibalne količine. Valovni funkciji, ki ima le en vrh s končno
širino, pravimo valovni paket.
Gornji valovni paket ni posebno lep, saj ima poleg glavnega vrha
še stranske oscilacije. V splošnem ni treba, da v valovnem paketu
nastopajo vsi ravni valovi z isto amplitudo:
ψ (x) = A (k) e ikx dk
Integriramo po vsem območju k, kjerjeA (k) = 0. S primerno izbiro
A (k) lahko dobimo razli”ne oblike ψ (x). Velja, da je mogoče vsako
funkcijo x, kigreproti0,kadargrex proti ±∞, zapisati v obliki gornjega
integrala. ( Taki zvezi pravimo Fourierov integral ali Fourierova
transformacija).
PosebnougodnaizbirajeGaussovafunkcija
−(k−k 0 ) 2
4σ
A (k) =A 0 e k
2
Ta funckija ima vrh pri k 0 in njena širina je določena s σ k . Valovna
funkcija je
∞
− (k − k 0 ) 2
ψ (x) =A 0 exp
+ ikx dk
−∞
Ta integral ni elementaren, lahko pa ga izračunamo, če vemo, da je
∞
−∞
4σ 2 k
e u2 /2 du = √ 2π (2.6)
Da izračunamo ψ (x), dopolnimo eksponent do popolnega kvadrata,
tako da prištejemo in odštejemo −σk 2x2 + ik 0 x :
∞
ψ (x) =A 0 exp − 1 k − k0
√ − √
2
2iσ k x
− σ 2
2
kx 2 + ik 0 x dk
2σk
−∞