3. Uvod v kvantno fiziko 2

Poglavje 2 

Osnove kvantne fizike, 

nadaljevanje 

2.1 Comptonovo sipanje 

Tretji pojav, ki kaže, da je svetloba kvantizirana, je Comptonovo sipanje. 

To je relativističen pojav in bi ga lahko obravnavali že pri posebni teoriji 

relativnosti. 

Imejmo rentgensko svetlobo, torej svetlobo z dovolj majhno valovno 

dolžino, ki se siplje na prostem elektronu. Elektrone lahko obravnavamo 

kot približno proste, če je njihova vezavna energija na atome majhna v 

primerjavi z energijo fotona. Temu se dokaj dobro približamo, če kot 

tarčo vzamemo snov z veliko lahkimi atomi, na primer parafin. 

1

2 POGLAVJE 2. OSNOVE KVANTNE FIZIKE, NADALJEVANJE 

Obravnavajmo trko fotona z mirujočim elektronom. Po trku naj ima 

foton frekvenco ν in odleti pod kotom θ glede na vpadno smer, elektron 

pa po kotom −φ. Ohraniti se morata energija in gibalna količina: 

mc 2 + hν = hν + c 2 p 2 + m 2 c 4 

hν = hν cos θ + cp cos φ 

hν sin θ = cp sin φ 

Skvadriranjeminseštevanjemdrugihdvehenačb dobimo 

c 2 p 2 = (hν) 2 +(hν ) 2 − 2hνν cos θ = 

= h 2 (ν − ν ) 2 +2h 2 νν (1 − cos θ) 

s kvadriranjem prve enačbe pa 

od koder sledi 

h 2 (ν − ν ) 2 +2h (ν − ν ) mc 2 + m 2 c 4 = c 2 p 2 + m 2 c 4 

h (ν − ν ) mc 2 = h 2 νν (1 − cos θ) 

in 

λ − λ = h mc (1 − cos θ) =λ c (1 − cos θ) (2.1)

2.2. ZAVORNO SEVANJE 3 

λ c = h/mc imenujemo Comptonova valovna dolžina. Za elektron je 

λ c = hc/mc 2 = 1240 eVnm/0, 5MeV= 2,4˙8 .10 −3 nm. 

Poglejmo primer. Naj ima svetloba valovno dolžino λ =0, 240 nm. 

To ustreza energiji hν = hc/λ =1240eVnm/0, 240nm =5keV. Po 

enačbi2.1jeprikotuθ =60 0 

λ = λ +0, 5λ c =0, 241 nm 

Razlika ni velika, je pa zlahka merljiva. Energijo, ki jo je izgubil foton, 

seveda odnese elektron. Očitno je tudi, da je relativna sprememba 

valovne dolžine fotona vidne svetlobe pri sipanju zelo majhna. 

Pojav Comptonovega sipanja jasno kaže, da se svetloba na prostih 

elektronih siplje kot tok fotonov, ki imajo energijo in gibalno količino 

in se gibljejo s hitrostjo c, njihova masa je torej 0. 

2.2 Zavorno sevanje 

Rentgenskosvetlobo,tojesvetlobozvalovnodolžino pod 1 nm je 

mogoče dobiti tako, da v evakuirani cevi pospešujemo elektrone, ki 

izhajajo iz katode, z napetostjo U nad 1 kV (slika). Ko se elektroni 

zenergijoeU zaletijo v anodo, se v njej zavirajo in pri tem sevajo. 

To zavorno sevanje je posledica pospešenega gibanja elektronov, torej 

klasičnega pojava. Spekter tega sevanja je po klasični elektrodinamiki 

v podrobnostih odvisen od tega, kako se elektroni v anodi zavirajo, 

pričakovali pa bi, da so v njem zastopane vse frekvence.


Zavorno sevanje, anoda iz molibdena 

Izmerjeni spekter kaže slika. Spekter je res zvezen, vendar vsebuje 

dve pomembni značilnosti. Prva je, da pod neko mejno valovno dolžino 

λ min ni sevane svetlobe. Mejna valovna dolžina je obratno sorazmerna 

spospeševalno napetostjo: 

hc 

λ min 

= eU 

ali maksimalna frekvenca sevanja je ν max = c/λ min = eU/h. Elektron 

lahkoprizaviranjuoddavsoenergijostem,daizsevafoton. Obstoj 

maksimalne frekvence spet kaže, da lahko svetloba pri dani frekvenci 

prejemaenergijolevobrokihhν, to je v obliki fotonov. 

Druga značilnost v spektru zavornega sevanja so ozki vrhovi, katerih 

položaj je odvisen od kovine, iz katere je anoda. Težjielementiimajo 

vrhove pri manjšihvalovnihdolžinah, to je pri večjih energijah fotonov. 

Elektronivanodinelesevajo,temveč lahko predajo del energije tudi 

atomom anode. Ti jo potem spet oddajo tako, da sevajo rentgensko 

svetlobo. Ostri vrhovi kažejo,datudiatomilahkoprejemajoalioddajajo 

le določene količine energije.

2.3. ATOMSKI SPEKTRI 5 

2.3 Atomski spektri 

Ne le pri zavornem sevanju, temveč vselej, kadar vzbujamo atome, opazimo, 

da lahko atomi prejmejo ali oddajo le diskretne obroke energije. 

Ti so lahko različno veliki in so odvisni od atomov, ki jih opazujemo. 

Če na primer na plin izbranih atomov svetimo z belo svetlobo, ki 

vsebuje vse frekvence v nekem intervalu, v spektru svetlobe po prehodu 

skozi plin opazimo, da nekatere frekvence manjkajo ali da je pri 

njih svetlobe manj. Takemu spektru pravimo absorpcijski spekter in 

je značilen za izbrane atome. Atomi torej lahko absorbirajo le fotone 

nekaterih valovnih dolžin. 

Priabsorpcijifotonaalitrkuzelektronialidrugimiatomiseatomu 

poveča notranja energija. Tudi pri trkih se pokaže, da je sprememba 

notranje energije možna le v karakterističnih obrokih. Za atom, ki ima 

povečano notranjo energijo, pravimo, da je v vzbujenem stanju. Iz 

vzbujenega stanja v stanje z najmanjšo notranjo energijo lahko atomi 

prehajajo s sevanjem svetlobe ali pa s trki. Vzbujeni atomi lahko sevajo 

samo fotone s frekvencami, ki ustrezajo karakteristi”nim spremembam 

notranje energije atoma. Spektru izsevane svetlobe vzbujenih atomov 

pravimo tudi emisijski spekter in je zančilen za dane atome. To seveda 

izkoriščajo kemiki za analizo snovi. 

Obstoj diskretnih vrednosti energije vzbujenih stanj je nemogoče razložiti 

s klasično fiziko. Vendar se lahko spomnimo, da dobimo karakteristične 

frekvence pri nihanju strune, zračnega stolpca v piščali ali 

napete opne. Pri vseh teh primerih je karakteristična frekvenca posledica 

tega, da imamo opravka s stoječimi valovi. To nas navede na zaenkrat 

zelo megleno slutnjo, da imamo tudi pri elektronih v atomu 

nekakšno valovanje. 

Vklasični sliki je poseben problem stabilnost atomov. Rutherford 

je v začetku 20. stoletja s poskusi pokazal, da je v atomih majhno 

pozitivno nabito jedro, okoli katerega so negativni elektroni. Klasično 

se morajo elektroni okoli jedra gibati kot planeti okoli sonca. Vendar 

je tako gibanje pospešeno, zato bi elektroni morali sevati toliko časa, 

dokler ne bi padli v jedro. Račun, ki ga bomo naredili kasneje, pokaže, 

da bi naj bil ta c”as le kakih 10 −8 s. Atomov torej sploh ne bi smelo 

biti.


s 1 s 2 

a 

x 

L 

Slika˜2.1: 

2.4 Svetloba - fotoni (delci) ali valovanje 

Vrnimo se k vprašanju, s katerim smo to poglavje pričeli. Videli smo, da 

vrsta poskusov pokaže, da je treba svetlobo obravnavati kot tok fotonov, 

ki imajo določeno energijo in gibalno količino. Po drugi strani pa vemo, 

da se s svetlobo posrečijo intererenčni poskusi, svetloba je torej valovanje. 

Kako lahko združimo te klasično nezdružljive ugotovitve 

Zamislimo si interferenčni poskus na dveh režah. V ravnini zadnjega 

zaslona imejmo vrsto merilnikov, s katerimi lahko štejemo pozamezne 

fotone, na primer fotopomnoževalk. Tenajsodovoljmajhne,da 

je razdalja med njimi znatno manjša od razmika med interferenčnimi 

progami. Izvor svetlobe naj je tako šibak,dajemednjiminmerilno 

ravnino v vsakem trenutku v povprečju kvečjemu en foton, recimo torej, 

da oddala izvor v povprečjuleenfotonnasekunda. Podobneinterfernčne 

poskuse zares delajo. 

Videli smo, da je število fotoelektronov na enoto časa pri fotoefektu 

sorazmerno z gostoto svetlobnega toka. Pri našem poskusu mora biti ta 

zelo majhna in lahko le vsako sekundo ena od fotopomnoževalk zazna 

foton. Ne moremo vnaprej napovedati, katera bo to v naslednji sekundi, 

detekcija je slučajen proces. Gotovo bo z večjo verjetnostjo zaznala 

foton fotopomnoževalka na takem mestu, kjer je gostota svetlobnega

2.4. SVETLOBA - FOTONI (DELCI) ALI VALOVANJE 7 

toka največja, torej v interferenčnem vrhu. Dokler je vseh detektiranih 

fotonov malo, interferenčnih prog ne bomo mogli opaziti, na zaslonu 

bomo videli zadetke na nekaj slučajnih mestih. Po dovolj časa pa bomo 

lahko opazili, da so v enakomerno razmaknjenih progah zadetki gostejši, 

vmes pa jih skoraj ni - dobili bomo interferenčni vzorec. 

100 

80 

60 

40 

20 

200 400 600 800 1000 

Interferen”cna slika po 100 fotonih 

Verjetnost, da na danem mestu zaznamo foton, je torej sorazmerna 

z E 2 . Polje na zaslonu je vsota polj, ki izhajajo iz obeh odprtin: 

E = E 1 + E 2 = 

= E 0 cos (ks 1 − ωt)+E 0 cos (ks 2 − ωt) 

V E 2 dobimo člene z dvojno frekvenco, ki jih moramo povprečiti 

po periodi, ker detektor ne more slediti dvojni optični frekvenci. To 

najlažje naredimo takole. Povprečna vrednost je E 2 = (E 0 cos ωt) 2 

= 1 2 E2 0, kar lahko dobimo tudi tako, da zapišemo polje v kompleksni 

obliki E = E 0 e −iωt in je E 2 = 1 2 |E|2 = 1 2 EE∗ . Verjetnost, da na


100 

80 

60 

40 

20 

200 400 600 800 1000 

Slika˜2.2: Interferen”cna slika po 4000 fotonih

2.5. DELCI - VALOVANJE 9 

zaslonu zaznamo foton, je tako sorazmerna z 

|E 1 + E 2 | 2 = E 0 e i(ks1−ωt) + E 0 e i(ks 2−ωt) 2 = 

= | E 0 | 2 2+e ik(s 2−s 1 ) + e −ik(s 2−s 1 ) 

= 

= 2| E 0 | 2 (1 + cos k∆s) = 

= 4| E 0 | 2 cos 2 kax 

2 L 

ker je ∆s = ax/ ˙L. 

Sedaj vidimo, kako je mogoče združiti klasičnoslikointerference 

svetlobe s fotonsko sliko. Svetlobni detektor ne meri direktno E ali E 2 , 

temveč zaznava diskretne fotone. Detekcija je slučajna, verjetnost za 

detekcijopajesorazmernaz|E| 2 . 

2.5 Delci - valovanje 

Doslej smo ugotovili, da je treba svetlobo obravnavati kot valovanje in 

tok fotonov, ki so v nekaterih pogledih podobni delcem. Videli smo 

tudi, da imajo lahko elektroni v atomu le določene diskretne energije. 

Za fotone je energija zvezana s frekvenco: W = hν. Diskretne frekvence 

pa so značilne za stoječe valovanje v omejenem prostoru. Vse to nas 

navede na vprašanje, ali imajo morda tudi delci, kot so elektroni, kakšne 

lastnosti valovanja. 

Energijo fotona lahko zapišemo W = cp = hν = hc/λ. Takoje 

λ = h p 

De Broglie je leta 1924 po takem razmisleku postavil hipotezo, da so 

tudi delci na nek način valovanje in da velja enaka zveza 

λ B = h p = 

To lahko zapišemo tudi malo drugače 

h mv 

(2.2) 

k = 2π 

λ B 

= p h


kjer je h = h/2π. Tej konstanti pravimo h-prečna in jo bomo pogosto 

uporabljali namesto h. 

Za makroskopske delce je λ B nemerljivo majhna. Vzemimo delec s 

polmerom okoli 1µm.Njegovamasajetedajpribližno 3.10 −15 kg. Recimo, 

da je njegova hitrost tako majhna, da je primerljiva s hitrostjo 

zaradi termičnega (Brownovega) gibanja: v = 3k B T/m =1mm/s. 

Tedaj je λ B =2.10 −16 m, torej 10 krat manj od velikosti atomskega jedra. 

Zaelektronzenergijo1eVpajeλ B = h/ √ 2eUm e = hc/ √ 

2eUm e c 2 = 

1240 eVnm/ 10 6 (eV) 2 =1, 24 nm, kar je primerljivo z razdaljo atomovvkristalih. 

De Broglievo hipotezo sta leta 1926 prva preverjala C. Davisson in 

L. Gremer. Če naj bi bili elektroni tudi valovanje z določeno valovno 

dolžino, se morajo z njimi posrečiti interferenčni poskusi. Primerno 

mrežico predstavljajo vrste atomov na površini kristala. Poskus Davissona 

in Germerja kaže skica. Curek elektronov, ki so izhajali iz vroče 

katode, sta pospešila z napetostjo na anodi, ki je bila preluknjana, da je 

iz nje izhajal curek elektronov z znano energijo. Tak izvor elektronskega 

snopa je še danes v vsaki televizijski slikovni cevi. Curek je padel na 

površino kristala nikla. Davisson in Germer sta merila odvisnost števila 

odbitih elektronov od kota φ in dobila pri napetosti 54 V močan odbiti


curek pri φ =50 ◦ . Vrsteatomovniklasorazmaknjenezad =0, 215 

nm, kar je znano iz neodvisnih meritev z rentgensko svetlobo. Za interfernčni 

vrh pri odboju na vrstah atomov mora veljati izraz za uklonsko 

mrežico 

d sin θ = nλ 

Iz meritev je d sin θ = 0, 165 nm, izračunana de Broglieva valovna 

dolžina pa je pri eU = 54 eV 0,167 eV. Iz meritev dobljena valovna 

dolžina je bila tudi obratno sorazmerna s korenom iz napetosti, kar 

je dalo dodatno potrditev de Broglievi formuli. Davisson-Germerjev 

poskus je tako pokazal, da se elektronski curek z dobro določeno gibalno 

količino obnaša kot valovanje z de Broglievo valovno dolžinoinseznjim 

posrečijo interferenčni poskusi. 

Slika˜2.3: 

Podobne poskuse je skoraj istočasno napravil tudi G. P. Thomson, le 

da je uporabil elektrone z večjo energijo, ki so prodrli globlje v kristal in 

so se odbili od vzporednih kristalnih ravnin. Takemu interferenc”nemu 

odboju pravimo Braggovo sipanje in bomo o njem govorili kasneje. 

Danes se interfernečni poskusi posrečijo z mnogimi mikroskopskimi 

delci na različnih periodičnih strukturah. Sipanje nevtronov na kristalih


Slika˜2.4: Davisson-Germerejev poskus: odvisnost izmerjene valovne 

dol”zine od pospe”sevalne napetosti 

je standardna metoda za določanje strukture kristalov, interferenca helijevih 

atomov pri odboju od kristalne površine se uporablja za preiskavo 

površin. Posrečili so se poskusi interference elektronov na dveh dovolj 

drobnih umetno narejenih režah. V zadnjih letih so naredili interferenčne 

poskuse z dokaj velikimi molekulami, na primer C 60 in večjimi. 

Dobiti je mogoče celo interferenco s curkom atomov, ki so se sipali na 

stoječem valu laserske svetlobe. V vseh teh primerih je valovna dolžina 

dana z de Broglievo formulo. 

Pri elektronih in drugih delcih lahko zaznamo le cele elektrone. 

Povsem podobno kot pri fotonih je tudi zaznavanje elektrona na izbranem 

mestu slučajno in se lahko vprašamo le, kakšna je verejetnost, da elektron 

zaznamo v danem delu prostora in časovnem intervalu. 

Pri svetlobi je verjetnost, da zazanmo foton, sorazmerna z |E| 2 . 

Priinterferencinadvehrežah moramo sešteti električni polji delnih 

valovanj iz obeh rež in je verjetnost, da na zaslonu zaznamo foton 

P foton ∝ |E 1 + E 2 | 2 = |E 1 | 2 + |E 2 | 2 + E 1 E ∗ 2 + E ∗ 1E 2 

Prva dva člena sta ravno vsota verjetnosti, da na danem mestu zaznamo 

foton, če je odprta le ena reža, zadnja dva člena pa dasta interferenco.


Ta je torej posledica tega, da za električnoi polje velja princip superpozicije, 

to je, da se polja seštevajo, in da je verjetnost, da zanznamo 

foton, sorazmerna s kvadratom polja. 

Poskusimo opisati interferenco elektronov na dveh režah na enak 

način. Vpeljimo novo količino - verjetnostno amplitudo ψ, ki je funkcija 

krajainimalastnost,daje|ψ| 2 sorazmerna z verjetnostjo, da na danem 

mestu zaznamo elektron. Zahtevajmo še, da se takrat, kadar lahko 

elektron pride na dano mesto po več poteh, delne amplitude seštevajo. 

Zaprimo najprej eno režo in opazujmo elektrone na zaslonu. Ko jih 

zaznamo dovolj, je njihova porazdelitev na zaslonu, gladek širok vrh. 

Porazdelitev je sorazmerna z verjetnostjo, da zaznamo elektron P 1 ∝ 

|ψ 1 | 2 . Pri tem je ψ 1 verjetnostna amplituda za elektron, ki je šel skozi 

režo 1. P 1 ima podobno krajevno odvisnost, kot bi jo pričakovali pri 

klasic”nih delcih. Podobno velja za primer, ko je odprta le druga reža. 

Kadar sta odprti obe reži, imamo verjetnost 

P 12 ∝ |ψ 1 + ψ 2 | 2 = |ψ 1 | 2 + |ψ 2 | 2 + ψ 1 ψ ∗ 2 + ψ ∗ 1ψ 2 

Spetstaprvadvačlenaverjetnosti,dadobimonadanemmestuelektron, 

če je odprta le ena ali druga reža, zadnja dva člena pa opisujeta 

interferenco. Verjetnost P 12 ni kar vsota verjetnosti P 1 + P 2 , kot bi 

pričakovali klasično, temveč imaše interferenčni člen, ki smo ga dobili 

zato, ker je verjetnost sorazmerna s kvadratom verjetnostne amplitude 

ψ, zakaterovelja,dasedelneamplitudeseštevajo. Za verjetnostne 

amplitude torej velja princip superpozicije.


Delec z določeno gibalno količino p = mv ima po de Broglievi 

hipotezi valovno dolžino λ = h/p ali velikost valovnega vektorja k = 

2πp/h= p/. Verjetnostna amplituda se mora torej zapisati kot raven 

val 

ψ (x) =Ae i(kx−ωt) (2.3) 

Verjetnostna amplituda ima naravo valovanja, zato ji navadno pravimo 

valovna funkcija. Je osnova kvantnega opisa gibanja delcev. Videli 

bomo,davsebujevalovnafunkcijavsoinformacijoodelcu,zatopravimo 

tudi, da opisuje stanje delca, ali, še krajše,karvalovnifunkcijirečemo 

stanje. 

V primeru fotona je bila frekvenca vala sorazmerna z energijo fotona. 

Enakazvezaveljazadelce(toformalnoslediizLorentzovetransformacije, 

po kater se ω in W enako transformirata): 

W = hν = ω 

Na delec ne deluje nobena sila in imamo le kinetično energijo, ki je 

seveda povezana z gibalno količino,takodaimamozvezo 

ω = W = 

p2 

2m = k2 

2m 

(2.4) 

Zveza med frekvenco in valovnim vektorjem za delce z maso torej ni 

linearna. Valovanje s tako lastnostjo ima disperzijo, to je, fazna in

2.6. VALOVNI PAKET IN NAČELO NEDOLOČENOSTI 15 

grupna hitrost sta različni. Fazna hitrost ω/k zavalovnofunkcijonima 

fizikalnega pomena, k grupni hitrosti pa se bomo vrnili nekoliko kasneje. 

Verjetnost, da najdemo delec v okolici tocke x je sorazmerna z |ψ| 2 

(točno zvezo bomo obravnavali nekoliko kasneje). Za valovno funkcijo 

v obliki ravnega vala 2.3 je |ψ (x)| 2 nedovisna od kraja, verjetnost za 

detekcijo delca s tako valovno funkcijo je povsod enaka. To je seveda 

povsem drugače, kot smo navajeni v klasični fiziki. Poskusimo poiskati 

tako valovno funkcijo, ki opisuje stanje, ki je bolj podobno klasičnemu 

delcu. 

2.6 Valovni paket in načelo nedoločenosti 

Za klasični delec navedemo položaj in hitrost. V kvantni fiziki predstavimo 

stanje delca z določeno hitrostjo kot ravni val, ki se razprostira 

po vsem prostoru. Kako lahko val omejimo na majhen del prostora, to 

je, ga lokaliziramo 

Pojav interference kaže, da tudi valovna funkcija, ki je vsota dveh 

valovnih funkcij, opisuje stanje delca, to je, velja princip superpozicije. 

Sestavimo torej (ob t = 0) dva ravna valova, katerih valovna vektorja 

se le malo razlikujeta: 

ψ (x) =A e ik 1x + e ik 2x 

Ustrezna verjetnost za zaznavanje delca je 

|ψ (x)| 2 = A 2 e ik1x + e ik 2x 

e −ik1x + e −ik 2x 

= 

= A 2 (2 + 2 cos ∆kx) 

kjer je ∆k = k 2 − k 1 . Ta verjetnost ni večpovsodenaka,ampakkot 

funkcija kraja utripa. Seštejmo N ravnih valov v okolici k 0 , ki so razmaknjeni 

za ∆k 

N−1 

 

N−1 

 

ψ (x) = A e i(k0+n∆k)x = Ae ik 0x 

e in∆kx = 

n=0 

n=0 

= Ae ik 0x 1 − eiN∆kx 

N∆k 

1 − e = i∆kx Aei (k 0 + N−1 

2 ∆k sin x 

)x 2 

sin ∆kx 

2


Kako določimo sorazmernostno konstanto A, bomo pogledali nekoliko 

kasneje. Verjetnost je 

|ψ (x)| 2 N∆k 

2 

sin2 x 

2 

= A 

sin 2 ∆kx 

(2.5) 

2 

To funkcijo (srečali smo jo že pri računu interferenčne slike uklonske 

mrežice pri Fiziki I) kaže slika. 

Dobili smo periodične vrhove verjetnosti, da zaznamo delec. Perioda 

L je določena s pogojem, da je v imenovalcu 2.5 ničla: ∆kL=2π ali 

L =2π/∆k . Perioda je torej tem večja, čim manjši je ∆k. Za širino 

vrha δx vzamemo položaj prve ničle števca, δx = 2π/ (N∆k). Če 

želimo,daboperiodaL velika, moramo zmanjšati ∆k, da ohranimo 

isto širino vrha, pa moramo za enak faktor povečati število valov N. V 

limiti preide vsota v integral, perioda gre proti ∞ in dobimo le en vrh 

pri x =0: 

ψ (x) = A 

 

k 0 +δk/2 

k 0 −δk/2 

δkx 

= 2Ae ik sin 

0x 2 

x 

|ψ (x)| 2 δkx 

2 

sin2 

2 

= 4A 

x 2 

e ikx dk = Ae ik 0x eiδkx/2 − e −iδkx/2 

ik 

=


Širina vrha te funkcije do prve ničle je δx =2π/δk in je obratno sorazmerna 

z δk. Vemo, da je k = p/. Če torej s seštevanjem ravnih 

valov dosežemo, da je delec lokaliziran na območje δx, nimavečdobro 

določene gibalne količine. Valovni funkciji, ki ima le en vrh s končno 

širino, pravimo valovni paket. 

Gornji valovni paket ni posebno lep, saj ima poleg glavnega vrha 

še stranske oscilacije. V splošnem ni treba, da v valovnem paketu 

nastopajo vsi ravni valovi z isto amplitudo: 

 

ψ (x) = A (k) e ikx dk 

Integriramo po vsem območju k, kjerjeA (k) = 0. S primerno izbiro 

A (k) lahko dobimo razli”ne oblike ψ (x). Velja, da je mogoče vsako 

funkcijo x, kigreproti0,kadargrex proti ±∞, zapisati v obliki gornjega 

integrala. ( Taki zvezi pravimo Fourierov integral ali Fourierova 

transformacija). 

PosebnougodnaizbirajeGaussovafunkcija 

−(k−k 0 ) 2 

4σ 

A (k) =A 0 e k 

2 

Ta funckija ima vrh pri k 0 in njena širina je določena s σ k . Valovna 

funkcija je 

∞ 

 

 

− (k − k 0 ) 2 

ψ (x) =A 0 exp 

+ ikx dk 

−∞ 

Ta integral ni elementaren, lahko pa ga izračunamo, če vemo, da je 

∞ 

−∞ 

4σ 2 k 

e u2 /2 du = √ 2π (2.6) 

Da izračunamo ψ (x), dopolnimo eksponent do popolnega kvadrata, 

tako da prištejemo in odštejemo −σk 2x2 + ik 0 x : 

∞ 

 

ψ (x) =A 0 exp − 1 k − k0 

√ − √ 

2 

2iσ k x 

− σ 2 

2 

kx 2 + ik 0 x dk 

2σk 

−∞


Zadnja dva člena v eksponentu ne vsebujeta k, zato ju lahko postavimo 

pred integral: 

ψ (x) =A 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x ∞ 

Vpeljemo novo spremenljivko 

−∞ 

 

exp − 1 2 

k − k0 

√ 

2σk 

− √ 2 

2iσ k x dk 

u = k − k 0 

√ 

2σk 

− √ 2iσ k x 

du = 1 √ 

2 

dk 

pa je 

ψ (x) = √ 2A 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x ∞ 

−∞ 

= 2 √ πA 0 exp −σkx 2 2 + ik 0 x = 

= 2 √ 

πA 0 exp 

− x2 

e ik 0x 

4σ 2 x 

e −u2 /2 du = 

Dobili smo valovni paket, ki je tudi Gaussove oblike, njegova širina 

pa je določena s σ x = 1/ (2σ k ). Spet velja, da je delec tem bolj 

lokaliziran v prostoru, čim širša je funkcija A (k), ki pove, kako širok 

interval k-jev in s tem gibalnih količin prispeva v ψ (x). Povedano 

drugače: čim bolj ostro je določen položaj delca, tem bolj nedoločena 

je njegova gibalna količina. Tej ugotovitvi pravimo Heisenbergov princip 

nedoločenosti in je ena osnov kvantne fizike. 

Naj bo nedoločenost položaja δx, nedoločenost gibalne količine v 

smeri x pa δp x = δk. Za Gaussov paket je δx = σ x in δk = σ k .Velja 

δx δk = 1 2 

in 

δx δp x = 1 2


Izkažese,dajegornjaenačba najmanjša možna vrednost produkta 

δx δp x , ki velja le za paket Gaussove oblike. V splošnem imamo namesto 

enakosti Heisenbergovo neenačbo 

δx δp x ≥ 1 2 (2.7) 

V kvantni mehaniki zaradi principa nedoločenosti ne moremo istočasno 

povedati natanc”nega položaja in gibalne količine delca. Klasičen opis 

torej ni možen. To je posledica tega, da je treba tudi delce opisovati z 

valovno funkcijo, ki ima lastnosti valovanja. Valovanje, ki je omejeno le 

na del prostora, mora nujno vsebovati več valovnih vektorjev in s tem 

več gibalnih količin. 

θ 

θ 1 

θ 0 

∆p 

Princip nedoločenosti je tako pomemben, da si ga poskusimo pojasniti 

še z miselnim eksperimentom. Zamislimo si, da z mikroskopom 

opazujemo elektron in skušmo določiti nejgov položaj (glej sliko). Na 

elektron svetimo s svetlobo določene valovne dolžine, ki se od elektrona 

odbije v objektiv mikroskopa. Zaradi uklona je slika elektrona v 

mikroskopu neostra. Uklonska ločljivost in s tem nedoločenost položaja 

elektrona je določena z valovno dolžino in z razmerjem velikosti odprtine 

in gorisč”ne razdalje objektiva: 

δx ∼ 

λ 

sin θ 1


Pri sipanju preda foton eletkronu gibalno količino v prečni smeri 

∆p x = h λ (sin θ − sin θ 0) 

kjer je θ 0 kot, pod katerim vpadajo fotoni osvetlitve, θ pa kot, pod 

katerim se foton siplje v objektiv. Kota θ ne poznamo, vemo le, da 

je med 0 in θ 1 , zato je nedoločenost prenosa gibalne količine in s tem 

nedoločenost gibalne količine elektrona po meritvi 

Produkt obeh nedoločenosti je 

δp x ∼ h λ sin θ 1 

δx δp x ∼ h 

Dobili smo enako oceno kot po Heisenbergovi neenačbi. Ta razmislek 

pokaže, da je princip nedoločenosti povezan s tem, da za mikroskopske 

delce ne moremo privzeti, da lahko merimo z njimi povezane fizikalne 

količine, ne da bi delec pri meritvi zmotili. Zato nekaterih količin ne 

moremo hkrati določiti s poljubno natančnostjo. Kasneje bomo poleg 

kraja in gibalne količine dobili še druge primere. 

Če Heisenbergovo neenačbo uporabimo kot približno enačbo, s katero 

iz δx ocenimo δp x ,lahkože napravimo nekatere zanimive ocene.

3. Uvod v kvantno fiziko 2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?