Przetwarzanie sygnalow MK

Materiały pomocnicze do wykładu
1

• Plan zajęć
• Podstawowe wiadomości o sygnałach
• Szeregi Fouriera
• Ciągła Transformata Fouriera
• Sygnały cyfrowe
• Próbkowanie sygnałów. Zjawisko aliasingu
• Dyskretna i Szybka Transformata Fouriera
• Przekształcenie Z
• Filtry cyfrowe FIR i IIR
2

1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od
teorii do zastosowań , WKŁ, 2009,
2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego
przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone),
3. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i
późniejsze,
4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G. - Teoria sygnałów. Wstęp.
Wydanie II, Helion 2006
3

pojecie sygnału jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej
wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego.
za modele matematyczne sygnałów przyjmujemy funkcje, których
argumentem jest czas t gdyż opisują one ewolucje sygnałów w czasie.
W najprostszym przypadku są to funkcje tylko jednej zmiennej t.
W przypadkach bardziej złożonych, np. w teorii linii długich lub
zagadnieniach przetwarzania obrazów, mogą to być funkcje wielu
zmiennych: czasu i współrzędnych przestrzennych.
4

Klasyfikacja (podział sygnałów)
- ze względu na model matematyczny:
- rzeczywiste.
- zespolone,
- dystrybucyjne
-ze względu na możliwość przewidywania wartości sygnału w danej chwili:
-deterministyczne,
-losowe,
- ze względu na dziedzinę określoności:
- ciągłe,
- dyskretne,
5

sygnały ciągłe:
•Sygnały określone w zbiorze ciągłym osi czasu są nazywane
sygnałami ciągłymi w czasie lub krótko sygnałami ciągłymi .
•Najczęściej dziedziną takich sygnałów jest cała os (−∞, ∞) , dodatnia półoś [0,
∞) lub odcinek [t1, t2] osi czasu.
sygnały dyskretne:
•Sygnały określone w dyskretnym (przeliczalnym lub skończonym) zbiorze
punktów osi czasu (. . . , t−1, t0, t1, t2, . . . ) i nieokreślone w pozostałych
punktach są nazywane sygnałami dyskretnymi w czasie lub krótko sygnałami
dyskretnymi.
•Najczęściej dziedziną tych sygnałów jest zbiór chwil tn = nTs, n ∈ ∁, odległych
od siebie o stały odstęp Ts nazywany przedziałem dyskretyzacji
6

- ze względu na przybieranie wartości różnych od zera:
- w przedziale nieskończonym – sygnały o nieskończonym czasie trwania,
- w przedziale skończonym – sygnały o skończonym i czasie trwania.
- ze względu na dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości)
– ciągłe w czasie i ciągłe w amplitudzie (nazywane także analogowymi),
– ciągłe w czasie i dyskretne w amplitudzie,
– dyskretne w czasie i ciągłe w amplitudzie,
– dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie
szczególny rodzaj – sygnały binarne (przybierają tylko wartości 0 i 1)
7

Sygnał i informacja
Czy każdy sygnał niesie ze sobą informacje
Jeśli sygnał jest deterministyczny, znamy dokładnie jego przebieg w
przeszłości, wartość w chwili bieżącej i zachowanie sie w przyszłości.
Nasza wiedza o nim jest pełna. Nie może on nam zatem dostarczyć
informacji, np. funkcja sin(t).
Informacje przekazują tylko takie sygnały,
które dla odbiorcy są losowe
Sygnałami losowymi są:
sygnały transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego
użytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych.
8

Sygnały analogowe - podstawy
notacja – x(t), y(t), z(t) itd...
parametry –
- wartość średnia,
- wartość skuteczna
- energia,
- moc,
9

Wartość średnia
Wartość średnia analogowego impulsowego sygnału
deterministycznego x(t) określonego w przedziale [t1, t2] jest całka z
tego sygnału w przedziale
[t1, t2] odniesiona do szerokości tego przedziału:
W przypadku sygnałów o nieskończonym czasie trwania wartość
średnia jest
określona jako wielkość graniczna:

Wartość średnia
W szczególnym przypadku, gdy sygnał o nieskończonym czasie
trwania jest sygnałem okresowym o okresie To, uśrednianie w
czasie nieskończonym jest równoważne uśrednianiu za okres:
przy czym chwila to jest dowolna.

Energia i Moc sygnału
Energią analogowego sygnału deterministycznego x(t)
nazywamy wielkość:
Mocą (średnia) analogowego sygnału deterministycznego x(t)
nazywamy wielkość graniczną:

W przypadku sygnałów okresowych
wzór przybiera postać:
gdzie To jest okresem, a to – dowolna chwila.
UWAGA:
• zdefiniowane wielkości energii i mocy sygnału nie maja sensu nadawanego
im w fizyce i należy je rozumieć w znaczeniu uogólnionym,
• przy przyjętym założeniu bezwymiarowości sygnałów wymiarem energii
sygnału jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa,
• gdyby jednak sygnał był sygnałem napięcia lub prądu, to wydzieliłby na
oporze jednostkowym 1Ω energie (lub moc) równa liczbowo wielkości
wyznaczonej na podstawie podanych zależności.

Wartość skuteczna
Wartością skuteczną sygnału jest nazywany pierwiastek z jego
mocy:
czyli:

• Energia i moc charakteryzują właściwości energetyczne sygnału.
• Na ich podstawie sygnały deterministyczne są dzielone na dwie
podstawowe rozłączne klasy.
1) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej energii , jeśli:
2) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej mocy , jeśli:
• moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru.
• energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona.
• klasa sygnałów o ograniczonej energii obejmuje oczywiście wszystkie sygnały impulsowe
ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej należą także sygnały o
nieskończonym czasie trwania, których wartości maleją dostatecznie szybko w funkcji
czasu.
• sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym
czasie trwania. Szczególna podklasa tych ostatnich są sygnały okresowe.

Sygnał harmoniczny
parametry sygnału
harmonicznego:
- amplituda – X0,
- pulsacja - ꙍ0,
- faza początkowa – φ0
gdzie: fo – częstotliwość,
To - okres
16

Każdy okresowy sygnał ciągły f(t) spełniający
warunki Dirichleta można zapisać w postaci
nieskończonej sumy składowych
sinusoidalnych:
17

gdzie:
a0 – jest wartością średnią sygnału
ak i bk są trygonometrycznymi współczynnikami Fouriera
18

Korzystając z właściwości iż każdą liczbę zespoloną można
zapisać w postaci wykładniczej i trygonometrycznej funkcję f(t)
można przedstawić w postaci nieskończonego zespolonego
szeregu wykładniczego:
gdzie ck są zespolonymi współczynnikami Fouriera:
19

uwzględniając zależności Eulera:
trygonometryczne współczynniki Fouriera można wyznaczyć ze
współczynnika zespolonego:
20

Widmo amplitudowe sygnału f(t):
Widmo fazowe sygnału f(t):
21

przykład: znaleźć trygonometryczne
współczynniki Fouriera sygnału
prostokątnego:
22

W miarę wzrostu N sygnał prostokątny będzie
dokładniej aproksymowany
N=1 N=5 N=11
N=30 N=150
23

widmo amplitudowe
widmo fazowe
24

Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast w
praktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałów
nieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny o
okresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiego
sygnału przechodzi w granicy w widmo ciągłe.
2
1 d
T 0
d
n0
T T 2
Para transformat Fouriera
X(
x(
t
j
)
)
2
x(
t ) e
X(
jt
j
) e
dt F
x(
t )
1
jt
1
d
F
X(
j
)
transformata
prosta
zespolone widmo sygnału
transformata odwrotna
25

Re(
j
) 2 Im(
j 2
X( j
)
Im( j
)
arc tg
Re( j
)
widmo amplitudowe
sygnału
widmo fazowe
sygnału
Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę
częstotliwości (widmo) nco często upraszcza analizę sygnału.
- widmo sygnału ciągłego jest widmem ciągłym
26

liniowość
ax( t ) by(
t ) aX(
) bY(
)
zmiana skali (podobieństwo)
x(
at
)
1
a
X
a
Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest „rozciągnięty” w czasie.
Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości i jednocześnie
zwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza się
szybkość zmian sygnału, a widmo skupia się wokół małych częstotliwości, jego
gęstość w tym zakresie wzrasta.
Dla 0

przesunięcie w dziedzinie czasu
x(
t t ) X(
) e
0
jt
Przesunięcie sygnału na osi czasu o t 0 odpowiada pomnożeniu widma
przez czynnik zespolony.
0
Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie w
stosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiast
widmo fazowe powiększa się o składnik (- 0 t). Jest to całkowicie zgodne
z sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Struktura
częstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału nie
zmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznych
względem układu odniesienia.
28

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja)
jt
0
x( t ) e X(
0
)
Jeśli widmo sygnału przesuwa się w prawo o wartość 0 >0, to sygnał należy
j
t
pomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony , czyli
e
0
jt
0
x( t ) e X(
0
)
Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość 0 >0 odpowiada pomnożeniu
j0t
sygnału przez sygnał zespolony e , a więc
jt
0
x( t ) e X(
0
)
29

Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się
1
x( t )cos 0t
X(
0
) X(
0
2
)
Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznego
przez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie części
przemieszczone w prawo i w lewo o wartość 0 . Operacja ta nazywana
jest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłania
sygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnał
harmoniczny (informacja zawarta jest w jego częstotliwości), a sygnałem
modulującym sygnał x(t).
30

31
impuls prostokątny
t x(t)
t
-/2 /2
0
A
2
4
2
4
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Sa
A
A
A
j
j
A
e
e
j
A
e
j
A
dt
Ae
X
j
j
t
j
t
j
sin
sin
)
sin(
)
(
/
/
/
/

A
x(t)
A
2
-/40
/4
t
8
4
4
8
A
x(t)
2A
- 0
t
8
4
4
8
32

• Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jest
nieefektywne ze względu na zbyt dużą złożoność
obliczeniową.
• Wzrost wydajności przy zastosowaniu FFT
• Algorytm FFT zmniejsza ilość operacji matematycznych
potrzebnych do obliczenia wartości transformaty
41

sygnały analogowe – ciągłe w czasie i amplitudzie
sygnały cyfrowe – dyskretne w amplitudzie i czasie –
ciąg dyskretnych wartości danej wielkości fizycznej
gdzie tp – okres próbkowania

x(0) = 0 , (pierwsza wartość ciągu, n=0 )
x(1) = 0.58779 , (druga wartość ciągu, n=1 )
x(2) = 0.95106 , (trzecia wartość ciągu, n=2 )
x(3) = 0.95106 , (czwarta wartość ciągu, n=3 )
x(n) – ciąg x argumentu n,
n t s - wartości czasu dyskretnego
poza wartościami nt s sygnał dyskretny nie jest określony

System dyskretny – układ przekształcający
dyskretny ciąg wejściowy próbek x(n) w ciąg
wyjściowy y(n)
x(0), x(1), x(2), x(3) ... y(0), y(1), y(2), y(3) ...
System dyskretny
x(n)
System dyskretny
y(n)

(n)
b(n)
dodawanie
a(n)
+
c(n)
c(n)=a(n)+b(n)
odejmowani
e
a(n)
+
-
+
c(n)
c(n)=a(n)-b(n)

sumowanie
b(n)
b(n+1)
+
b(n+2)
b(n+3)
gdy n = 0 , k zmienia się od 0 do 3 , a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b(3)
gdy n = 1 , k zmienia się od 1 do 4 , a(1) = b(1) + b(2) + b(3) + b(4)
gdy n = 2 , k zmienia się od 2 do 5 , a(2) = b(2) + b(3) + b(4) + b(5)
gdy n = 3 , k zmienia się od 3 do 6 , a(3) = b(3) + b(4) + b(5) + b(6)

(n)
mnożenie
a(n)
c(n)
c(n)=a(n)·b(n)
c(0)=a(0) ·b(0)
c(1)=a(1) ·b(1)
c(2)=a(2) ·b(2), itd.....
opóźnienie
a(n)
opóźnienie
b(n)
a(n)
z -1
b(n)
b(n) = a(n-1)

proces reprezentowania sygnału o czasie
ciągłym
za pomocą próbek pobieranych w dyskretnych
chwilach czasu.
Problem:
z jaką szybkością sygnał musi być próbkowany
w celu zachowania jego zawartości
informacyjnej

dany jest ciąg próbek:
Przykład:
x(0) = 0,
x(1) = 0.86603,
x(2) = 0.86603,
x(3) = 0,
x(4) = -0.86603,
x(5) = -0.86603,
x(6) = 0,

Pytanie:
Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek

Pytanie:
Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg
próbek

Niejednoznaczność częstotliwości – dwa różne przebiegi są
reprezentowane przez ten sam ciąg dyskretny , nie można
jednoznacznie określić częstotliwości jedynie na podstawie wartości
próbek ciągu wejściowego

Dany jest sygnał:
x(t) = sin(2πf 0 t)
próbkujemy sygnał x(t) z szybkością f s próbek/s tj. w
równomiernych odstępach t s sekund gdzie ts=1/f s
Rozpoczynając próbkowanie w chwili 0t s , 1t s , 2t s itd.. wartości n
kolejnych próbek mają wartości:
0 próbka: x(0) = sin(2πf 0 0 t s )
1 próbka: x(1) = sin(2πf 0 1 t s )
2 próbka: x(2) = sin(2πf 0 2 t s )
..... .....
nta próbka: x(n) = sin(2πf 0 n t s )

Wartość n-tej próbki ciągu x(n) jest równa wartości oryginalnego sygnału
sinusoidalnego w chwili n·t s
Dwie wartości przebiegu sinusoidalnego są identyczne gdy odległe są o
całkowitą wielokrotność 2π radianów tj:
sin(α) = sin(α+ 2πm), gdzie m jest dowolną liczb. całk.
Korzystając z tej zależności:
zakładając, że m będzie całkowitą wielokrotnością n
tj. m = k·n

Z uwagi na to że:
i wiedząc że:
f s = 1/t s
stąd:
co oznacza, że ciąg x(n) próbek reprezentujących przebieg
sinusoidalny o częstotliwości f 0 równie dokładnie reprezentuje
przebiegi sinusoidalne o innych częstotliwościach
tj.: f 0 + kf s

Podsumowując:
Podczas próbkowania z szybkością fs próbek/s , jeśli
k jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy w
stanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegu
sinuisodalnego o częstotliwości f 0 oraz przebiegu
sinusoidalnego o częstotliwości (f o +kf s ).

Przykład:
Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 7kHz z szybkością
6000 próbek/s.
czyli : f 0 =7kHz, f s =6kHz, k=-1
f 0 +kf s = [7+ (-1)·6] = 1kHz
stąd wynikałoby, że ciąg wartości
próbek będzie identyczny dla
częstotliwości 1kHz

Wartości próbek nie zmienią się gdyby próbkowany był sygnał o
częstotliwości 1kHz z tą sama szybkością:
Odpowiedź na pytanie która częstotliwość odpowiada wartościom próbek
zaznaczonych na niebiesko brzmi: NIE WIADOMO !!! – istnieje
nieskończenie wiele częstotliwości odpowiadających tym próbkom.

Przykład 2:
Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 4kHz z szybkością
6000 próbek/s.
f 0 +kf s = [4+ (-1·6)] = -2kHz
stąd wynikałoby, że ciąg wartości
próbek będzie identyczny dla
częstotliwości -2kHz
sin(2π·4000t)
sin(2π·(-2000)t)

Jeśli ograniczymy nasze zainteresowanie do pasma w zakresie
częstotliwości od –fs/2 do fs/2 okaże się, że w danym paśmie
będzie można jednoznacznie odtworzyć sygnał z próbek.
interesujące
nas pasmo częstotliwości
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-fs/2
fs
fs/2
częstotliwość
kHz

- wartości szczytowe położone są przy wielkrotności częstotliwości próbkowania,
- próbkowanie sygnału sin. o częst. 7kHz z częst. 6kHz dostarczy dyskretnego ciągu
liczb, które dokładnie w taki sam sposób opiszą sygnał o częst. 13kHz , 19kHz itd...
- podobnie z sygnałem sin o częst. 4 kHz....
interesujące
nas pasmo częstotliwości powielenie powielenie powielenie
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
-fs/2 0 fs/2 fs 2fs 3fs częstotliwość kHz

Idealny sygnał dolnopasmowy:

Dany jest sygnał dolnopasmowy ( o ograniczonym paśmie) o
widmie:
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-6 -3 0 3 6
-Widmo jest symetryczne względem osi częstotliwości,
- w sygnale nie ma częstotliwości |ꙍ|>ꙍ 0

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma
względem częstotliwości próbkowania f s .
Jeżeli f s > 2ꙍ 0 widmo sygnału spróbkowanego:
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-ꙍ 0 -ꙍ 0
-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21

Kryterium Nyquista – aby odseparować od siebie
powielone widma przy częstotliwościach ±fs/2
częstotliwość próbkowania spełniać związek:
fs ⩾ 2ꙍ 0
Twierdzenie Kotielnikowa – Shannona
Sygnał ciągły może być wiernie odtworzony z
ciągu swoich próbek tworzących sygnał
dyskretny, jeśli próbki te zostały pobrane z
częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą
od granicznej częstotliwości swego widma
(warunek Nyquista).

Części powieleń widma łączą się z widmem oryginalnym – rezultatem jest
tzw. błąd aliasingu.
Dyskretne widmo spróbkowane nie reprezentuje oryginalnego sygnału.
Widmo w pasmach: -ꙍ 0 do -ꙍ 0 /2 i ꙍ 0 do ꙍ 0 /2 zostało zniekształcone pojawił
się aliasing – przeciek widma z jednego powielenia do drugiego.
aliasing aliasing aliasing aliasing
-2fs -fs -fs/2 fs/2 fs
częstotliwość
-ꙍ 0 ꙍ 0 /2 ꙍ 0 /2 ꙍ 0

Wszystkie składowe oryginalnego sygnału spróbkowanego będą
znajdować się w paśmie zainteresowania tj. – fs/2 do fs/2.
Efektem tego jest to, że każda składowa powyżej ꙍ 0 i poniżej
- ꙍ 0 zawsze znajdzie się w interesującym nas paśmie –
niezależnie od szybkości próbkowania.
Z tego powodu zawsze przed przewarzaniem AC stosowane są
filtry dolnoprzepustowe – ograniczające pasmo do
interesującej szerokości

Rzeczywiste sygnały w swoim widmie oprócz istotnych informacji
zawartych w swoim paśmie zawierają szum – który jest nieistotny a
w wyniku operacji próbkowania może zniekształcić widmo sygnału
spróbkowanego.
szum
interesujące
pasmo
szum
fs
-fs -fs/2 fs/2
częstotl.

- Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem)
z częstotliwością próbkowania fs > 2 ꙍ 0 zapobiega nakładaniu się widma
interesującego sygnału,
-nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy
–fs/2 a fs/2.
-fs - fs/2 fs/2 fs

szum
szum
-ꙍ 0
ꙍ 0
oryginalny
sygnał ciągły
Analogowy filtr
dolnoprzepustowy
częst. graniczna ꙍ 0
przefiltrowany
sygnał ciągły
Przetwornik
A/C
próbki dyskretne

W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe
czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej
częstotliwości różnej od zera.
Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosowad
próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej
techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie
zmniejszyd koszty realizacji sprzętowej, polegającej na
zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu
pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.

Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół
częstotliwości fBcB=20kHz.
Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w
sygnale ma wartośd 22,5kHz należy próbkowad sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż
45kHz.
Próbkowanie tego sygnału z
częstotliwością znacznie mniejszą, równą
17,5 kHz.
Można zauważyd, że mimo mniejszej
częstotliwości próbkowania powielenia
widma nie zniekształcają widma
oryginalnego skupionego wokół
częstotliwości fc.
Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.

Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc.
Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fc.
Maksymalna częstotliwośd próbkowania :
Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z
maksymalną częstotliwością fp1 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z maksymalną
częstotliwością fp1:
Minimalna częstotliwośd próbkowania:
Jeżeli szybkośd próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną
granicę częstotliwości próbkowania fp2.
Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc+B sygnał można próbkowad z
minimalną częstotliwością fp2 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc+B, sygnał można próbkowad z minimalną
częstotliwością fp2:

W ten sposób otrzymujemy zależnośd definiującą zakres częstotliwości
próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału,
częstotliwości nośnej i liczby powieleo:
przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie
kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału

Przykład:
Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.
Za optymalną częstotliwośd próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma
stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy
związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne

Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie
sygnału do szerokości pasma
Wykreślimy zależnośd minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla
różnych wartości m

Wynika z tego, że niezależnie od R minimalna częstotliwośd próbkowania nie
przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej
(wzrost R).

Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwośd z góry (maksymalną)
otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią
wartością parametru m.

Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosowad częstotliwości próbkowania, które
leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach
należy wybierad częstotliwości nieco oddalone od tych granic.
Takie postępowanie pozwala uniknąd np. problemów związanych z niedokładnością
filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.

Uwzględnienie niedokładności próbkowania Δfp oraz marginesu
zmian widma sygnału ΔB

Przekształcenie Z
Przekształcenie Laplace’a:
Funkcja F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji f(t)
zmienna s jest liczbą zespoloną: s= σ +jω
Czynnik e -st jest zespoloną wirującą tłumioną
sinusoidą:

Przekształcenie Z
Funkcja transmitancji:
iloraz transformaty Laplace’s wielkości
wejściowej X(s) przez transformatę
Laplace’a wartości wyjściowej Y(s)
X(s) H(s) Y(s)
Czyli w dziedzinie operatorowej:
Y(s) = X(s)∙H(s)

Przekształcenie Z
Odpowiedź impulsowa układu:
Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo
wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku
układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach
początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls
Kroneckera).
Odpowiedź impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace’a funkcji
transmitancji H(s)

Przekształcenie Z
Związek pomiędzy transmitancją a odpowiedzią
impulsową układu
gdzie:
h(t)*y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i pobudzenia

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej - (Finite Impulse Response filter –
FIR )
Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to
filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej
długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu
długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby
warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego.

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtr IIR
jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem
rekursywnym. Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza nieskończoną odpowiedź
impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że
reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa.
Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego