Gama funkcija - Odjel za matematiku

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Tena Tomašević
Gama funkcija
Završni rad
Osijek, 2009.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Tena Tomašević
Gama funkcija
Završni rad
Voditelj:
Doc.dr.sc. Tomislav Marošević
Osijek, 2009.

i
Sažetak. U ovom završnom radu bavit ćemo se gama funkcijom te proučiti neka
njena bitna svojstva i primjene u drugim granama matematike kao i povezanost sa
drugim funkcijama. Promatrat ćemo gama funkciju kao funkciju više kompleksnih
varijabli te podrobnije proučiti njena svojstva i primjenu tih svojstava u rješavanju
drugih matematičkih problema.
U uvodnom dijelu ćemo se kratko osvrnuti na povijesni razvoj gama funkcije u onakvu
kakvu ju danas poznajemo, dok ćemo veći dio rada proučavati svojstva gama funkcije.
Na kraju ćemo se osvrnuti na povezanost gama funkcije sa drugim funkcijama, tj. na
mnogobrojnu primjenu gama funkcije kako u matematici tako i u drugim granama
znanosti.
Ključne riječi: gama funkcija, produktna formula, nepotpuna gama funkcija, beta
funkcija, Riemann-zeta funkcija
Abstract. In this final work we will deal with gama function, some of its essential characteristics,
its use in other branches of mathematics and also its connection with other
functions. We will observe gama function as function of more complex variables and
throughtly explore its characteristics and its application in solving other mathematical
problems.
In introduction we will shortly go through historical development of gama function as
we know it today, and more of the work will be around observing its characteristics.
In the end we will review connection of gama function with other functions, namely
various use of gama function how in matematics so as in other branches of science.
Key words: gamma function, multiplication formula, incomplete gamma function,
beta function, Riemann-zeta function

ii
Sadržaj
Sažetak
i
1. UVOD 1
2. GAMA FUNKCIJA 2
2.1. UVOD: Povijesni razvoj gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. SVOJSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1. Analitičnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2. Konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.3. Proširenje gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.4. Produktna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.5. Razvoj gama funkcije u beskonačan produkt . . . . . . . . . . . 15
2.3.6. Logaritamska konveksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Povezanost sa drugim funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1. Beta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2. Riemann-zeta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. DODATAK 23
Literatura 26

1
1. UVOD
U ovom radu proučavat ćemo gama funkciju, neka njena svojstva i primjene, te povezanost
sa drugim funkcijama. U uvodnom dijelu kratko ćemo prikazati razvoj gama funkcije
u funkciju kakvu danas poznajemo i kao takvu koristimo. Počet ćemo sa definicijom
gama funkcije preko Eulerovog integrala druge vrste, te nastaviti sa bitnim svojstvima.
Bavit ćemo se svojstvima gama funkcije kao što su produktna formula koja nam daje
prikaz gama funkcije preko trigonometrijskih funkcija, te ćemo proučavati analitičnost
gama funkcije. Takoder ćemo proučavati konvergenciju gama funkcije čime ćemo doći
do pojma nepotpunih gama funkcija te nešto više reći o tom pojmu. Takoder ćemo se
baviti i proširenjem gama funkcije gdje ćemo se opet dotaći analitičnosti gama funkcije.
Bavit ćemo se i posebnim slučajem gama funkcije, a to je 1/Γ funkcija, te razvojem
gama funkcije u beskonačan produkt gdje dolazi do izražaja važnost 1/Γ funkcije. Na
kraju te cjeline bavit ćemo se logaritamskom konveksnošću gama funkcije koja je jedno
od njenih najznačajnijih svojstava.
U posljednjem dijelu ovog rada bavit ćemo se drugim značajnim funkcijama koje su
povezane sa gama funkcijom kao što su beta funkcija i Riemann-zeta funkcija. Na
samom kraju ćemo iskazati teoreme, leme, propozicije i definicije koji su potrebni za
dokazivanje pojedinih svojstava.

2
2. GAMA FUNKCIJA
2.1. UVOD: Povijesni razvoj gama funkcije
Iako je prvi riješio problem proširenja faktorijela na sve realne pozitivne brojeve i
kasnije definirao gama funkciju kakvu ju danas poznajemo, Euler 1 nije bio prvi koji
se bavio ovim problemom. Baveći se problemom interpolacije redova, Bernoulli 2 i
Goldbach 3 su naišli na ovaj problem. Ubrzo nakon što je saznao za njihov problem,
Euler ga je riješio i ponudio im rješenje. Prvo rješenje nije bio integral, već beskonačna
suma:
n! =
∞∏
k=1
(1 + 1 k )n
1 + n .
k
Ubrzo nakon toga, Euler im je ponudio i drugo rješenje koje znamo kao Eulerov integral:
za n > 0.
n! =
∫ 1
0
(− log s) n ds
Naknadno je otkrio još neka bitna svojstva gama funkcije o kojima ćemo više u daljnjem
tekstu. Eulerov suvremenik Stirling 4 je takoder pokušavao pronaći kontinuiran izraz
za faktorijele, što mu je i uspjelo, a što poznajemo kao Stirlingova formula. No za
razliku od Eulerovog integral, Stirlingova formula ne daje točnu vrijednost. Kasnije su
Stirling i Binet 5 dali produljenje formule koja ispravlja pogrešku prvotne formule. No,
Stirling nikada nije dokazao da njegova produljena formula točno odgovara Eulerovoj
gama funkciji. To je tek početkom 20. stoljeća dokazao Hermite 6 .
Početkom 19. stoljeća Gauss 7 je prepravio Eulerovu produktnu formulu:
m z m!
Γ(z) = lim
m→∞ z(z + 1)(z + 2) . . . (z + m) ,
na temelju čega je otkrio nova svojstva gama funkcije. Gauss je takoder dokazao i
multiplikativni teorem te istraživao povezanost gama funkcije i eliptičkih integrala.
Nadalje Weierstrass 8 je utvrdio važnost gama funkcije u kompleksnoj analizi, te predstavio
svoj prikaz produktne formule:
1 Leonhard Euler, 1707-1783, švicarski matematičar, fizičar i astronom.
2 Daniel Bernoulli, 1762-1813, švicarski matematičar i fizičar.
3 Christian Goldbach, 1690-1764, njemački matematičar.
4 James Stirling, 1692-1770, britanski matematičar.
5 Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856, francuski matematičar, fizičar i astronom.
6 Charles Hermite, 1822-1901, francuski matematičar.
7 Carl Friedrich Gauss, 1777-1855, njemački matematičar i fizičar
8 Karl Weierstrass, 1845-1897, njemački matematičar.

3
gdje je Γ 9 Eulerova konstanta.
Γ(z) = e−Γz
z
∞∏
(1 + z −1
e z/k )
k
k=1
Prvotno je Weierstrass svoju produktnu formula razvio za 1/Γ. Nadahnut time, Weierstrass
je dokazao tzv. Weierstrassov faktorizacijski teorem koji je poopćenje osnovnog
teorema algebre.
Ime gama funkcije i notaciju je uveo Legendre 10 početkom 19. stoljeća. Legendre je
takoder prepravio Eulerov integral u formu koja se koristi danas.
Da gama funkcija ne zadovoljava ni jednu algebarsku diferencijalnu jednadžbu dokazao
je Hölder 11 tako da je pokazao kako rješenje takve jednadžbe ne zadovoljava povratnu
formulu gama funkcije, što se naziva Hölderov teorem.
1922.godine Bohr 12 i Mollerup 13 dokazali su da je gama funkcija jedinstveno rješenje
faktorijalne inverzne relacije koja je pozitivna i logaritamski konveksna za pozitivan z
i čija je vrijednost u 1 jednaka 1, što kazuje Bohr-Mollerupov teorem.
9 Γ ≈ 0.577216
10 Adrien-Marie Legendre, 1752-1833, francuski matematičar.
11 Otto Hölder, 1895-1937, njemački matematičar.
12 Harald August Bohr, 1887-1951, danski matemtičar
13 Johannes Mollerup, 1872-1937, njemački matematičar.

4
2.2. Definicija
Slika 2.1.: Graf funkcije Γ(x) za z = x ∈ R
Neka je Γ(z) funkcija kompleksne varijable definirana na sljedeći način:
(1) Γ(z) =
∫ ∞
0
e −t t z−1 dt,
pri čemu je t z−1 = e (z−1)lnt
(z ∈ C, t > 0) i lnt realan broj.
Integral (1) zovemo Eulerov integral druge vrste. To je na gornjoj granici nepravi
integral, te ako je z ∈ C, z ≠ 1 onda vrijedi lim e (z−1)lnt = ∞, pa je onda i na donjoj
t→0
granici to nepravi integral. Stoga, po definiciji imamo
∫ R
(2) Γ(z) = lim e −t t z−1 dt.
R→∞
ε→0 ε
Funkciju Γ(z) definiranu formulom (1) na skupu svih z ∈ C za koje postoji limes u (2)
zovemo gama funkcija.
Primjer 2.1: Izračunati Γ(1).
Uvrštavajući u formulu dobivamo
Γ(1) =
∫ ∞
0
e −t dt = −e −t | ∞ 0 = − [0 − 1] = 1.

5
2.3. SVOJSTVA
2.3.1. Analitičnost
Kako bi dokazali da je funkcija definirana formulom (1) analitička na desnoj poluravnini,
tj. za Rez >0, primjetimo da je (1) poseban slučaj nepravog integrala oblika
(3)
∫ b
a
f (t, z) dt.
Za integrale ovakvog oblika kažemo da ovise o parametru z. Ako za svaki z iz nekog
otvorenog skupa Ω ⊆ C ovaj integral konvergira onda on definira funkciju na Ω:
(4) g(z) =
∫ b
a
f (t, z) dt, z ∈ Ω.
Takoder se kod integrala ovakvog oblika postavlja pitanje uvjeta uz koji vrijedi
(5) g (n) (z) =
O tome nam govori sljedeća propozicija.
Propozicija 2.1: (vidi [2])
∫ b
a
∂ n f(t, z)
∂z n dt.
Neka je −∞ < a < b ≤ +∞, te Ω ⊆ C otvoren skup. Neka je ϕ : [a, b〉 × Ω → C
neprekidna funkcija takva da za svaki t ∈ [a, b〉 funkcija z ↦→ ϕ (t, z) je analitička na
Ω, te neka je
ψ : [a, b〉 → C lokalno integrabilna funkcija i f(t, z) = ϕ (t, z) ψ (t) .
Pretpostavimo da nepravi integral
(6)
∫ b
a
f (t, z) dt
konvergira lokalno uniformno na Ω. Tada je funkcija g : Ω → C , koja je definirana sa
(6), analitička na Ω i za ∀n ∈ N formula
Dokaz:
g (n) (z) =
∫ b
a
∂ n f(t, z)
∂z n dt vrijedi na čitavom Ω.
Uzmimo niz (b k ) koji je rastući u [a, b] i za koji vrijedi b k = lim b k . Nadalje za svaki
k
prirodan broj k definirajmo funkciju g k : Ω → C na sljedeći način
g k (z) =
∫ bk
a
f (t, z) dt.

6
Tada prema Lemi 3.2. slijedi da su funkcije g k analitičke na Ω i za svaki prirodan broj
n vrijedi
(7) g k (n) (z) =
∫ bk
a
∂ n f (t, z)
dt.
∂z n
Ako pretpostavimo da integral (6) lokalno uniformno konvergira to povlači da niz
funkcija (g k
) lokalno uniformno konvergira na Ω prema funkciji g. Prema Teoremu
3.2 funkcija g je analitička na Ω i za svaki prirodan broj n niz n-tih derivacija (g k (n) )
lokalno uniformno konvergira prema n-toj derivaciji g (n) na Ω.
Kako je (b k
) proizvoljan rastući niz u [a, b〉 koji teži prema b, iz prethodnog zaključka
o lokalnoj uniformnoj konvergenciji funkcije g i (7) slijedi formula (5).
2.3.2. Konvergencija
Promotrimo funkcije P i Q definirane formulama
(8) P (z) =
∫ 1
0
e −t t z−1 dt, Q(z) =
∫ +∞
1
e −t t z−1 dt takve da je Γ = P + Q.
Tako definirane funkcije P i Q zovemo nepotpune gama funkcije. Funkcija P je analitička
funkcija za Rez > 0, dok je Q cijela funkcija, tj. analitička funkcija na cijeloj
kompleksnoj ravnini. No integral za funkciju P divergira za z = 0, a to pokazuje da Γ,
tj. integral (1) ne konvergira za z = 0.
Dokažimo da je P analitička na desnoj poluravnini. Neka je K kompaktan skup sadržan
u desnoj poluravnini. Neka je x = min{Rez : z ∈ K} > 0. Minimum ovog skupa
postoji jer je K kompaktan skup i z ↦→ Rez neprekidna realna funkcija.
Neka je F k : 〈0, 1] −→ R funkcija definirana formulom F k (t) = t x−1 nenegativna
neprekidna funkcija.
Kako je e −t ≤ 1 i |t z−1 |= t Rez−1 ≤ t x−1 za t ∈ 〈0, 1] i z ∈ K,
a to je |e −t t z−1 |≤ F k (t) za t∈ 〈0, 1] i z ∈ K.
Za 0< ε 0
∫ 1
ε
F k (t)dt = 1 x tx | 1 ε = 1 x (1 − εx ),
∫ 1
F k
0
(t)dt = lim
ε→0
1
x (1 − εx ) = 1 x < +∞.

7
Tada prema Propoziciji 3.1 i Lemi 3.3. slijedi da je P analitička na desnoj poluravnini
i da za svaki prirodan broj n vrijedi
(9) P (n) (z) =
∫ 1
0
e −t t z−1 (lnt) n dt, Rez > 0.
Dokažimo sada da je Q cijela funkcija, tj. da je analitička na cijeloj kompleksnoj
ravnini. Dovoljno je prema Propoziciji 2.1. pokazati da funkcija
f (t, z) = e −t t z−1 = e −t+(z−1)lnt ,
f : [1 + ∞〉 ×C → C
zadovoljava uvjete Leme 3.3. za svaki kompaktan skup K. Ta funkcija je neprekidna i
za svaki t ∈ [1, +∞〉 funkcija z ↦→ f (t, z) je cijela funkcija.
Sada neka je K ⊂ C kompaktan skup. Kako je K ograničen znači da postoji prirodan
broj m takav da je
(10) z ∈ K ⇒ Rez ≤ m.
Neka je F k : [1, +∞〉 → R funkcija definirana formulom F k (t) = e −t t m−1 nenegativna
neprekidna funkcija.
Sada zbog (10) za z ∈ K i t ∈ [1, +∞〉 imamo
|e −t t z−1 | = e −t t Rez−1 ≤ e −t t m−1 = F k (t) , pa nadalje imamo
∫ +∞
1
e −t t m−1 dt <
∫ +∞
0
e −t t m−1 dt = Γ(m) = (m − 1)! < +∞.
Time smo pokazali da funkcija f(t, z) = e −t t z−1 zadovoljava uvjete Leme 3.3 za svaki
kompaktan skup K⊂ C, onda integral za funkciju Q konvergira lokalno uniformno na
C. Pa prema Propoziciji 2.1 slijedi da je Q cijela funkcija i da za svaki prirodan broj
n vrijedi
(11) Q (n) (z) =
∫ +∞
1
∂ n
∂z n [e−t t z−1 ]dt =
∫ +∞
1
e −t t z−1 (lnt) n dt.
Iz dokazanog nam slijedi da je Γ = P +Q, gdje je Γ definirana kao integral (1) analitička
na desnoj poluravnini. Takoder iz (9) i (11) za svaki prirodan broj n i Rez > 0 slijedi
Γ (n) (z) =
∫ +∞
0
e −t t z−1 (lnt) n dt.

8
2.3.3. Proširenje gama funkcije
U ovom poglavlju promatrat ćemo proširenje gama funkcije sa desne poluravnine do
analitičke funkcije na većem području. O tom nam govori sljedeći teorem.
Teorem 2.1: (vidi[2])
(i) Funkcija Γ zadana formulom
(12) Γ(z) =
∫ +∞
e −t t z−1 dt +
1
k=0
∞∑ (−1) k
k!
·
1
z + k
je analitička na području D = C\{0, −1, −2, . . . } i ima polove prvog reda u
točkama 0, −1, −2, . . . i u tim polovima su joj reziduumi:
Res(Γ; −n) = (−1)n , n = 0, 1, 2, . . . .
n!
(ii) Nepravi integral (12) konvergira za sve z ∈ C i definira cijelu funkciju.
(iii) Za svaki prirodan broj n je
Γ (n) (z) =
∫ +∞
1
e −t t z−1 (lnt) n dt +
∞∑
k=0
(−1) k+n n!
k!
1
·
n+1
, z ∈ D.
(z + k)
(iv) Za svaki z ∈ D vrijedi
Γ(z + 1) = zΓ(z).
(v) Funkcija Γ u desnoj poluravnini ima prikaz
Γ(z) =
Te za prirodan broj n vrijedi
∫ +∞
0
e −t t z−1 dt, Rez > 0.
Γ (n) (z) =
Dokaz:
∫ +∞
0
e −t t z−1 (lnt) n dt, Rez > 0.
Dokažimo prvo da za svaki z iz desne poluravnine vrijedi sljedeća formula:
(13) Γ(z + 1) = zΓ(z).

9
Kako su i desna i lijeva strana ove jednakosti analitičke funkcije na desnoj poluravnini,
te znamo da (13) vrijedi za svaki z ∈ [1, +∞〉 prema Teoremu 3.1, slijedi da (13) vrijedi
za sve točke iz desne poluravnine. Iz (13) indukcijom po n slijedi:
(14) Γ(z + n) = (z + n − 1)(z + n − 2) . . . (z + 1)zΓ(z), n ∈ N, Rez > 0.
Neka je F : Ω → C analitička funkcija koja proširuje funkciju Γ, a Ω ⊆ C područje
koje sadrži desnu poluravninu. Iz (14) po Teoremu 3.1 za svaki prirodan broj n i za
sve z ∈ Ω takve da da je i z + n ∈ Ω vrijedi
(15) F (z + n) = (z + n − 1) . . . (z + 1)zF (z).
Ako pretpostavimo da je −k ∈ Ω, za k = 0, 1, 2, . . . i stavimo u (12) z = −k i n = k +1
imamo
F (1) = 0 · (−1) · (−k + 1) · (−k) · F (−k) = 0
To povlači da je F (1) = Γ(1) = 0, što je nemoguće pa zaključujemo da Ω ne sadrži
točke 0, −1, −2 . . .
Pokažimo da se Γ može proširiti do analitičke funkcije na čitavom području D, gdje je
D definirano
D = C\{0, −1, −2, . . . } = C\{m ∈ Z : m ≤ 0}.
Za funkciju Q smo već dokazali da je cijela u prethodnom poglavlju, pa je dovoljno
promatrati problem proširenja funkcije P.
Iz (8) za Rez > 0 imamo
P (z) =
∫ 1
e −t t z−1 dt =
∫ 1
0
0
k=0
[
∑ ∞
(−1) k t k
k!
]
t z−1 dt, odnosno
(16) P (z) =
∫ 1
t z−1 dt +
∫ 1
0
0
k=1
[
∑ ∞
(−1) k
k!
t z+k−1 ]dt.
Prvi integral u (16) je nepravi integral i jednak je 1 . Drugi integral je pravi, jer za
z
fiksni z, red u drugom integralu konvergira apsolutno i uniformno za t ∈ [0, 1] :
Za 0 ≤ t ≤ 1 i k ≥ 1 imamo

10
|t z+k−1 | = t Rez+k−1 ≤ 1.
Odatle nam slijedi da je spomenuti red majoriziran konvergentnim redom s pozitivnim
članovima:
∞∑
k=1
1
k!
= e − 1 < +∞.
Iz prethodnog zaključujemo da u integralu (16) možemo zamijeniti redoslijed integracije
i sumacije. Vidimo da je
pa iz (16) imamo
∫ 1
0
t z+k−1 dt = 1
z + k ,
P (z) = 1 ∞
z + ∑ (−1) k
k=1
k!
·
∞
1
z + k = ∑
k=0
(−1) k
k!
·
1
z + k .
Dokažimo sada da red racionalnih funkcija
(17)
∞∑ (−1) k
k=0
k!
·
1
z + k
konvergira lokalno uniformno na C (Definicija 3.3).
Neka je R > 0 i m neki prirodan broj takav da vrijedi m > R, tada za k ≥ m članovi
reda (17) nemaju polova u krugu K(0, R). Te, za k ≥ m i z ∈ K(0, R) vrijedi
pa slijedi
|z + k| ≥ k − |z| ≥ m − R
Kako vrijedi da je
| (−1)k
k!
·
1
z + k | ≤ 1 k! · 1
m − R .
∞∑
k=m
1
k! · 1
m − R < 1
m − R
∞∑
k=0
1
k!
=
ε
m − R < +∞,
prema Teoremu 3.3 slijedi da red

11
∞∑ (−1) k
k=m
k!
·
1
z + k
konvergira uniformno na krugu K(0, R). Prema tome zaključujemo da red (17) konvergira
lokalno uniformno na C. Prema Propoziciji 3.2 suma reda (17) je meromorfna
funkcija Φ na C, čiji su polovi iz skupa {0,-1,-2,. . . }, ona se podudara sa funkcijom P
na desnoj poluravnini.
Red (17) konvergira lokalno uniformno prema Φ na području D = C\{0, −1, −2, . . . },
pa prema Teoremu 3.2 taj red možemo derivirati član po član:
Φ (n) (z) =
∞∑
k=0
(−1) k+n n!
k!
1
·
n+1
, z ∈ D.
(z + k)
Ako je n ∈ {0, 1, 2, . . . }, tada imamo funkciju
Φ(z) = (−1)n
n!
·
1
z + n Φ n(z),
takvu da je
(18) Φ n (z) =
∞∑
k=0,k≠n
(−1) k
k!
1
z + k .
Funkcija (18) je analitička na skupu D ⋃ {−n} i u okolini K(−n, 1) točke −n. To znači
da glavni dio Laurentovog razvoja funkcije Φ oko točke −n je jednak
(−1) n
n!
Time smo dokazali sve tvrdnje teorema.
·
1
z + n .
2.3.4. Produktna formula
Izraz
(19) Γ(z)Γ(1 − z) = π
sin πz , z ∈ C\Z,
zovemo Eulerova produktna formula.
Dokaz: (vidi [2])
Uzmimo da je z = x, 0 < x < 1. Tada imamo

12
Γ (x) =
Γ (1 − x) =
∫ +∞
0
∫ +∞
Uvodeći supstitucije t = u 2 , s = v 2 dobivamo
0
e −t t x−1 dt,
e −s s −x ds.
Γ (x) = 2
∫ +∞
0
e −u2 u 2x−1 du
Iz čega slijedi
Γ (1 − x) = 2
∫ +∞
0
e −v2 v 1−2x dv
(20) Γ (x) · Γ (1 − x) = 4
∫ +∞ ∫ +∞
0
0
(
e −(u2 +v 2) u
) 2x−1dudv.
·
v
Pošto integral (20) možemo shvatiti kao dvostruki integral po prvom kvadrantu (u,v)-
ravnine, kako bi ga riješili prelazimo na polarne koordinate u navedenoj ravnini tako
da nam je
u = rcos ϕ , v = rsin ϕ te dudv = rdrdϕ.
Kako je u 2 + v 2 = r 2 i u =ctgϕ , prelaskom na polarne koordinate i uvrštavanjem
v
prethodnih relacija u (20) dobivamo
Γ (x) · Γ (1 − x) = 4
Uvodeći supstituciju r 2 = t dobivamo
∫ −∞
0
∫ π
e −r2 2
rdr (ctgϕ) 2x−1 dϕ.
0
2
Prema tome je
∫ +∞
e −r2 rdr =
0
0
∫ +∞
e −t dt = 1.
Γ (x) · Γ (1 − x) = 2
∫ π
2
(ctgϕ) 2x−1 dϕ.
0
Sada u (20) uvodimo supstituciju y = ctgϕ. Kako zbog relacije
(sin ϕ ) 2 =
1
1 + ctgϕ 2 = 1
1 + y 2

13
imamo da je
pa je
dy = − 1
(sinϕ) 2 dϕ = − ( 1 + y 2) dϕ,
∫ +∞
y 2x−1
(21) Γ (x) · Γ (1 − x) = 2
0 1 + y dy. 2
Ovaj integral ćemo računati pomoću računa reziduuma. Definirajmo meromorfnu
funkciju (Definicija 3.1) f na Ω, gdje je Ω = C\{−iv : v ≥ 0}, formulom
f(z) = z2x−1
1 + z 2 .
Za z = |z|e iϕ za −π/2 < ϕ < 3π/2 stavljamo
z 2x−1 = |z| 2x−1 e i(2x−1)ϕ .
Jedini pol ove funkcije je točka z = i koji je ujedno i pol prvog reda i
(z − i)z 2x−1 z 2x−1
Res(f; i) = lim
z→i 1 + z 2 = lim
z→i z + i
Sada za 0 < r < 1 < R < +∞ imamo
= 1 2i ei(2x−1)π/2 = − 1 2 eixπ .
(22)
∫
Γ r,R
f (z) dz = 2πiRes(f; i) = −πie ixπ .
Kontura Γ r,R sastavljena je od segmenata [-R,-r] i [r,R], pozitivno orijentirane polukružnice
Γ(R) i negativno orijentirane polukružnice – suprotno od Γ(r). Razmotrimo sada četiri
integrala po navedenim dijelovima konture Γ r,R . Za z < 0 imamo z= −ze iπ pa je tada
z 2x−1 = (−z) 2x−1 e i(2x−1)π = −(−z) 2x−1 e 2ixπ .
Stoga je
∫
[−R,−r]
f(z)dz = −e 2ixπ ∫
[−R,−r]
(−z) 2x−1
∫ R
(1 + z 2 ) dz = y 2x−1
−e2ixπ
1 + y dy. 2
r
Sada, zbog (21) imamo
∫
(23) lim f(z)dz = − 1
R−→ +∞ r→0 [−R,−r]
2 e2ixπ Γ (x) · Γ (1 − x) .

14
Analogno dobivamo
∫
(24) lim
R−→ +∞ r→0
Nadalje
Imamo
[r,R]
f(z)dz = 1 Γ (x) · Γ (1 − x) .
2
∫
f(z)dz
∣ Γ (r)
∣ ≤ rπ · max{∣ (
∣ )∣ f re
it ∣ : 0 ≤ t ≤ π}.
∣ f
(
re
it )∣ ∣ = r 2x−1 |1 + r 2 e 2it | −1 i kako je |1 + r 2 e 2it | ≥ 1 − r 2 ,
∣ f
(
re
it )∣ ∣ ≤ r 2x−1 (1 − r 2 ) −1
dobivamo da je
∫
f (z) dz
∣ Γ (r)
∣ ≤ πr2x
1−r , 2
a odatle dobivamo
∫
(25) lim f(z)dz = 0.
r→0
Γ (r)
Za R > 1 je ∣ ∣ f
(
Re
it )∣ ∣ ≤ R 2x−1 (R 2 − 1) −1 , pa slično dobivamo
(26) | f (z) dz| ≤
∫Γ πR2x
(R)
R 2x − 1 ,
a odatle dobivamo
Iz (22), (23), (24), (25) i (26) dobivamo
A odatle je
−πie ixπ =
∫
lim f(z)dz = 0.
R→+∞
Γ (R)
∫
lim f(z)dz = 1
R−→ +∞ r→0 [r,R] 2 (1 − e2ixπ )Γ (x) · Γ (1 − x) .

15
Γ (x) · Γ (1 − x) =
2πieix
e 2ixπ − 1 =
2πi
e ixπ − e −ixπ =
π
sinπx .
Dokazali smo produktnu formulu za z ∈ 〈0, 1〉, no prema Teoremu 3.1 zaključujemo da
vrijedi i za sve z ∈ C\Z, jer su obje strane izraza (19) analitičke funkcije na C\Z te
skup 〈0, 1〉 ima gomilišta na tom području.
Primjer 2.2: Izračunajmo Γ( 1 2 ).
Γ( 1 2 )= ∫ ∞
0
t −1/2 e −t dt.
Uvrštavanjem z = 1 u formulu (1) dobivamo
2
Γ( 1 2 )2 = Π odnosno Γ( 1) = √ π.
2
2.3.5. Razvoj gama funkcije u beskonačan produkt
Promotrimo prvo 1/Γ funkciju o čemu nam govori sljedeći teorem.
Teorem 2.2: (vidi[2])
Funkcija Γ nema nultočaka u području D = C\{0, −1, −2, . . . }, tj. funkcija 1/Γ je
cijela funkcija kojoj su nultočke 0, −1, −2, . . . sve jednostruke.
Dokaz :
Za prirodan broj n vrijedi Γ(n) = (n − 1)! ≠ 0. Uzmimo sada x∈ D\N=C\Z i pretpostavimo
da je Γ(x) = 0.
Iz (19) slijedi
π = sinπxΓ(x)(1 − x) = 0
što je nemoguće. Iz toga slijedi da Γ nema nultočaka u području D.

16
Slika 2.2.: Graf restringirane funkcije 1/Γ(x) za z = x ∈ R.
Promotrimo sada razvoj Γ, tj. 1/Γ funkcije u beskonačan produkt pomoću Teorema
2.3.
Teorem 2.3: (vidi [2])
Za svaki z ∈ C je
(27)
1
Γ(z) = zeCz
∞
∏
k=1
[(
1 + z ) ]
e −z/k ,
k
pri tome beskonačan produkt konvergira apsolutno i lokalno uniformno na C.
Zbog složenosti dokaza ovog teorema nećemo ga navoditi, no dokaz se može vidjeti u
[2].
2.3.6. Logaritamska konveksnost
Za funkciju f : 〈a, b〉 → R definiranu formulom
ψ(x) = lnf(x), x ∈ 〈a, b〉
kažemo da je logaritamski konveksna, ako je funkcija ψ(x) konveksna (Definicija 3.4).
Logaritamska konveksnost je jedno od najznačajnijih svojstava gama funkcije. Zajedno
sa funkcionalnim jednadžbama Γ(x + 1) = xΓ(x) i Γ(1) = 1 u potpunosti karakterizira
gama funkciju. O tome nam govori i sljedeći teorem.

17
Teorem 2.4:(Bohr-Mollerup)(vidi [2])
Neka je f : 〈0, +∞〉 → 〈0, +∞〉 funkcija sa sljedećim svojstvima:
(i) f(1) = 1;
(ii) f(x + 1) = xf(x), x > 0,
(iii) funkcija je logaritamski konveksna na 〈0, +∞〉 .
Tada je f(x) = Γ(x) za svaki x ∈ 〈0, +∞〉 .
Dokaz:
Iz (ii) imamo
(28) f(x + n) = (x + n − 1)(x + n − 2) . . . (x + 1)xf(x), n ∈ N, x > 0,
a kako ista jednakost vrijedi i za gama funkciju dovoljno je dokazati da vrijedi
za svaki x ∈ 〈0, 1].
Stavimo da je
f(x) = Γ(x)
i fiksirajmo se na 〈0, 1].
Zbog (iii) imamo da je
Ψ(x) = lnf(x), x > 0
(29) Ψ((1 − t)u + tv) ≤ (1 − t)Ψ(u) + tΨ(v) 0 < u < v, 0 ≤ t ≤ 1.
Ako stavimo za u = n ∈ N, v = x + n + 1, t = 1
x+1 dobivamo
Ψ(n + 1) ≤
x
x + 1 Ψ(n) + 1 Ψ(x + n + 1), odnosno
x + 1
Ψ(x + n + 1) ≥ (x + 1)Ψ(n + 1) − xΨ(n).
Iz (i) i (28) slijedi f(n) = (n − 1)! , n ∈ N pa vidimo da je
Ψ(x + n + 1) ≥ (x + 1)lnn! − xln(n − 1)! = lnn! + xlnn.

18
Kako je t ↦→ e t je monotono rastuća funkcija, eksponenciranjem gornjeg izraza slijedi
(30) f(x + n + 1) ≥ n x · n!.
Sada kada umjesto n uvrstimo n + 1 iz (30) dobivamo
f(x) ≥
n x · n!
, odnosno imamo
x (x + 1) . . . (x + n)
f(x) ≥ Γ n (x) 0 < x ≤ 1, n ∈ N.
Ako stavimo u (29) za u = n ∈ N, v = n + 1 i t = x slijedi
Sada redom imamo
Ψ(x + n) ≤ (1 − x)Ψ(n) + xΨ(n + 1).
(31) Ψ(x + n) ≤ (1 − x)ln(n − 1)! + xlnn! = ln(n − 1)! + xlnn,
f(x + n) ≤ n x · (n + 1)!,
f(x) ≤
n x · (n − 1)!
, pa slijedi
x (x + 1) . . . (x + n − 1)
(32) f(x) ≤ Γ n (x) · x + n
n
0 < x ≤ 1, n ∈ N.
Iz (31) i (32), te iz
x + n
lim
n→∞ n
= 1 vidimo da je
f(x) = Γ(x) za svaki x ∈ 〈0, 1] , pa onda i za svaki x ∈ 〈0, +∞〉 .
2.4. Povezanost sa drugim funkcijama
2.4.1. Beta funkcija
Kompleksnu funkciju dviju kompleksnih varijabli definiranu na skupu D × D, D =
C\{0, −1, −2, . . . } formulom
B(p, q) =
Γ (p) Γ(q)
, (p, q) ∈ D × D
Γ(p + q)

19
zovemo beta funkcija.
Teorem 2.5:(vidi [2])
Ako su p i q u desnoj poluravnini onda je
(33) B(p, q) =
∫ 1
Integral (33) zovemo Eulerov integral prve vrste.
Dokaz:
0
t p−1 (1 − t) q−1 dt.
Promotrimo integral (33). Ako je 0 < Rep < 1, to je nepravi integral na donjoj granici,
a ako je 0 < Req < 1 onda je to nepravi integral na gornjoj granici.
Uzmimo p i q takve da je Rep > 0, i Req > 0, te definirajmo nenegativinu funkciju
ϕ : 〈0, 1〉 → R na sljedeći način
ϕ(t) =
{ 2t
Rep−1
, za 0 < t ≤ 1 2
2(1 − t) Req−1 , za 1 2 < t ≤ 1.
Neka je 0 < t ≤ 1 , tada je 1≤ 1/(1 − t) ≤2, pa zbog 1-Req < 1 slijedi
2
( ) 1−Req 1
|t p−1 (1 − t) q−1 | = t Rep−1 < t Rep−1 1
1 − t
1 − t ≤ 2tRep−1 = ϕ(t).
Analogno za 1 2 < t ≤ 1 imamo da je |tp−1 (1 − t) q−1 | ≤ ϕ(t).
Sada imamo
∫ 1
0
ϕ (t) dt = 2
∫ 1/2
0
∫ 1
t Rep−1 dt + 2 (1 − t) Req−1 dt = 22−Rep
1/2
Rep
+ 22−Req
Req
< +∞.
Prema tome vidimo da nepravi integral (33) apsolutno konvergira.
Označimo vrijednost tog integrala sa A(p, q), te uvedimo supstituciju t=(cosϕ) 2 .
Tada imamo
(34) A(p, q) = 2
∫ π/2
0
(cosϕ) 2p−1 (sinϕ) 2q−1 dϕ.
Sada uvedimo supstituciju t = r 2 u integral za Γ(p + q) pa imamo
Γ(p + q) =
∫ +∞
e −t t p+q−1 dt = 2
0
0
∫ +∞
e r2 r 2p+2q−1 dr.

20
Odatle i iz (34) slijedi
Γ(p + q)A(p, q) = 4
∫ +∞ ∫ π/2
0
0
e r2 r 2p+2q−1 (cosϕ) 2p−1 (sinϕ) 2q−1 dtdϕ.
Sada imamo površinski integral u polarnim koordinatama r, ϕ po prvom kvadrantu
ravnine, pa prelazimo na Kartezijeve koordinate x = r cosϕ, y = r sinϕ iz čega slijedi
Γ(p + q)A(p, q) = 4
(
= 2
∫ +∞ ∫ +∞
0 0
∫ +∞
Uvodeći supstitucije x= √ t i y= √ s dobivamo
0
e −x2 −y 2 x 2p−1 y 2q−1 dxdy =
) ( ∫ +∞
)
e −x2 x 2p−1 dx · 2 e −y2 y 2q−1 dy .
0
Slijedi da je
Γ(p + q)A(p, q) =
∫ +∞
e −t t p−1 dt ·
0
0
∫ +∞
e −s s q−1 ds = Γ(p)Γ(q).
A(p, q) =
Γ (p) Γ(q)
Γ(p + q)
= B(p, q).
2.4.2. Riemann-zeta funkcija
Funkciju definiranu formulom
zovemo Riemann 14 -zeta funkcija.
Teorem 2.6.: (vidi [1])
1
ζ(z) =
ζ(z) = ∏ p∈P
∞∑
n −z , Rez > 1
n=1
(1 − 1 p z )
, Rez > 1,
gdje je P = {2, 3, 5, . . .} skup svih prostih brojeva.
Dokaz:
Promotrimo prvo
14 Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866, njemački matematičar.

21
ζ(z)
(1 − 1 )
=
(1 + 1 2 z 2 + 1 ) (1 z 3 + . . . − 1 )
= 1 + 1 z 2 z 3 + 1 z 5 + . . . , z
I uočimo da su u gornjem izrazu izostavljeni svi članovi 1/n z , gdje je n paran broj.
Nadalje,
ζ (z)
(1 − 1 ) (1 − 1 )
= 1 + 1 2 z 3 z 5 + 1 z 7 + 1
z 11 z + . . . ,
uočavamo da su izostavljeni svi 1/n z koji su djeljivi sa 2 ili 3. Ako uzmemo da je p k
k-ti prosti broj vidimo da vrijedi
ζ (z)
(1 − 1 ) (1 − 1 ) (
. . . 1 − 1 )
= 1 + ∑ 1
2 z 3 z p
z k n , z n∈D k
gdje je D k skup prirodnih brojeva koji nisu djeljivi ni sa jednim od prostih brojeva
2,3. . . p k . Pa vrijedi
|ζ (z)
(1 − 1 ) (1 − 1 ) (
. . . 1 − 1 )
− 1| ≤
2 z 3 z p
z k
gdje gornji izraz ide u 0 kada k → ∞.
Stoga slijedi
ζ (z) ∏ p∈P
(1 − 1 )
= 1,
p z
∣ ∣ ∣ 1 − 1 ∣∣∣ (p k
+ 1) z +
∣ 1 − 1 ∣∣∣
(p k
+ 2) z + . . . ,
Odnosno
1
ζ(z) = ∏ p∈P
(1 − 1 p z )
, Rez > 1.
Uvodeći supstituciju t = nu u integral (1) dobivamo
Sumiranjem dobivamo
n −z Γ (z) =
∫ +∞
0
e −nu u z−1 du.

22
Slijedi daje
ζ (z) Γ (z) =
=
∞∑
n=1
∫ ∞
0
[∫ +∞
0
]
e −nu u z−1 du =
e −u u z−1
du.
1 − e−u ∫ +∞
ζ (z) = 1 ∫ ∞
u z−1
du, Rez > 1.
Γ(z) 0 e u − 1
0
(e −u + e −2u + . . . )u z−1 du
Slika 2.3.: Graf Riemann-zeta funkcije za z=x>1.

23
3. DODATAK
U ovom poglavlju ćemo iskazati neke definicije i navesti teoreme, leme i propozicije
koje će nam biti potrebne za dokazivanje nekih svojstva gama funkcije.
Definicija 3.1: (vidi [2])
Za funkciju f kažemo da je meromorfna na otvorenom skupu Ω ⊆ C ako postoji skup
P ⊂ Ω takav da vrijedi:
1. skup P nema gomilište u Ω;
2. f je analitička funkcija na Ω\P ;
3. svaka točka z 0 ∈ P je pol funkcije f.
Definicija 3.2:(vidi [2])
Neka je −∞ < a < b ≤ +∞, otvoren skup i f:[a, b〉 × Ω −→ C funkcija takva da
nepravi integral (3) postoji za svaki z ∈ Ω. Neka je g: Ω −→ C funkcija definirana
formulom (4). Kažemo da integral (3) konvergira uniformno na kompaktnom skupu
K ⊆ Ω, ako za svaki ε > 0 postoji B 0 ∈ [a, b〉 takav da vrijedi:
z ∈ K, B ≥ B 0 , B < b ⇒ |g (z) −
∫ B
a
f(t, z)dt| ≤ ε.
Kažemo da integral (3) konvergira lokalno uniformno na Ω, ako on konvergira uniformno
na svakom kompaktnom skupu K ⊂ Ω.
Definicija 3.3: (vidi [2])
Neka su R n , n ∈ N meromorfne funkcije na C. Kažemo da red
(35)
∞∑
R n (z)
n=1
lokalno uniformno konvergira, ako za svaki r > 0 postoji m ∈ N takav da za n ≥ m
funkcija R n nema polova u zatvorenom krugu K(0,r) i da red
uniformno konvergira na tom krugu.
Definicija 3.4: (vidi [2])
∞∑
R n (z)
n=m
Za funkciju ψ : 〈a, b〉 → R, gdje je −∞ ≤ a < b ≤ +∞ kažemo da je konveksna ako
vrijedi

24
ψ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)ψ(x) + tψ(y), x, y 〈a, b〉 , t ∈ [0, 1],
a strogo konveksna ako u gornjem izrazu stoji stroga nejednakost.
Propozicija 3.1:(vidi [2])
Pretpostavimo da red meromorfnih funkcija (35) lokalno uniformno konvergira. Sa P
označimo skup svih polova u C svih funkcija R n , n ∈ N. Tada skup P nema gomilišta
u C i postoji meromorfna funkcija h na C čiji su polovi sadržani u skupu P i za koju
vrijedi
h(z) =
∞∑
R n (z), z ∈ C\P.
n=1
Lema 3.1: (vidi[2])
(i) Funkcija g je analitička na području Ω koje sadrži gornju poluravninu Imz >0 i
realnu os, osim možda u konačno mnogo izoliranih singulariteta z 1 , . . . , z n .
(ii) Funkcija
M(r) = max{|g(z)|; |z| = r, Imz ≥ 0} (r > |z j |, j = 1, . . . , n)
teži ka 0 kada r→ +∞.
Zaključak:
Lema 3.2: (vidi [2])
∫
lim
r→∞
g(z)e ipz dz = 0
Γ (r)
(p > 0).
Neka je −∞ < a < b ≤ +∞, Ω ⊆ C otvoren skup i ϕ :[a, b] × Ω −→ C neprekidna
funkcija. Neka je ϕ takva da za svaki t ∈ [a, b] funkcija z −→ ϕ(t, z) je analitička na
Ω; ψ : [a, b] −→ C (R)-integrabilna funkcija. Stavimo li da je f(t, z) = ϕ(t, z)ψ(t), tada
je sa (4) definirana funkcija g analitička na Ω te za svaki n ∈ N vrijedi (5).
Lema 3.3: (vidi [2])
Neka je −∞ < a < b ≤ +∞, Ω ⊆ C otvoren skup i f:[a, b〉 × Ω −→ C funkcija takva
da za z ∈ Ω funkcija t ↦→ f(t, z) je lokalno integrabilna na [a, b〉.
Ako za skup K ⊆ Ω postoji nenegativna funkcija F: [a, b〉 −→ R takva da je
∫ b
a
F (t) dt < +∞, |f(t, z)| ≤ F (t) , t ∈ [a, b〉 , z ∈ K,

25
onda integral (3) konvergira uniformno na K.
Teorem 3.1:
(vidi [2])
(Princip jedinstvenosti ili jednakosti za analitičke funkcije)
Neka su f i g analitičke funkcije na području Ω. Ako se funkcije f i g podudaraju
na beskonačnom skupu koji u Ω ima gomilište, onda se one podudaraju svuda na Ω,
odnosno vrijedi da je f=g.
Teorem 3.2.:
(vidi [2])
(Weierstrassov teorem o konvergenciji analitičkih funkcija)
Neka je (f n, n) niz analitičkih funkcija koji konvergira lokalno uniformno prema funkciji
f: Ω −→ C , gdje je Ω ⊆ C otvoren skup. Tada vrijedi da je f analitička funkcija na
Ω i za svaki prirodan broj k niz k-tih derivacija (f n, (k) n) konvergira lokalno uniformno
prema k-toj derivaciji f (k) .
Teorem 3.3:(Weierstrassov kriterij) (vidi [2])
Ako za svaki n vrijedi
|u n | ≤ a n , (z ∈ S),
te ako red ∑ a n pozitivnih brojeva a n konvergira, onda red ∑ u n kompleksnih funkcija
na S konvergira uniformno i apsolutno na S.
Dokazi navedenih teorema, lema i propozicija mogu se naći u [2].

26
LITERATURA:
[1] John M. Howie, Complex Analysis, Springer, London, 2003.
[2] H. Kraljević, S. Kurepa, Matematička analiza 4, Funkcije kompleksne varijable,
Tehnička knjiga, Zagreb, 1986.
[3] http://en.citizendium.org/wiki/Gamma function
[4] http://mathforum.org/library/drmath/view/59148.html