Statističke karakteristike izlaznog signala ASK sistema ... - Telfor 2008

2
2
1 cosθ
) + ( y − A1
sin )
r = ( x + A + A
θ (5)
y − A1
sinθ
tgϕ
=
x + A + A cosθ
dok je Jakobijan transformacije iz x i y u r i ϕ :
1
∂(
x,
y)
J = = r
∂(
r,
ϕ)
Združena funkcija gustine verovatnoće Gausovih slučajnih
promenljivih x i y data je sledećim izrazom [2]:
x + y
1
−
2
( , )
2σ
xy x y e
2
p = (6)
2πσ
Na osnovu (2), (3) i (4) sledi:
p
2
2
( r cos ϕ − A−
A1
cos θ ) + ( r sin ϕ + A1
sin θ )
r −
2
( , / )
2σ
rϕ
r ϕ θ = e
2
2πσ
2 2 2
r + A + A1
−2rA
cos ϕ + 2 AA1
cos θ −2rA1
cos( ϕ + θ )
r −
2
( , / )
2σ
rϕ
r ϕ θ = e
2
p (7)
2πσ
Dalje, na osnovu formule
sledi:
r
−
e
+ A
α cosϕ
2
=
2
ϕ ( r
p , / )
σ
r r ϕ θ e
2
2πσ
× e
2
−
AA1
2
2
2
1
+ A
2σ
=
×
− rA1
2
2
∑ ∞
n=
−∞
cosθ −2rAcosϕ
2 cos( ϕ + θ )
2
2
2
I n ( α) cos nϕ
[3],
r + A + A1
r −
⎛ ⎞
= ∑ ∞ 2
ϕ θ
2σ
rA
prϕ ( r,
/ ) e
I ⎜ ⎟ cos k1ϕ
×
2
k1
2
2πσ
k = −∞ ⎝ σ ⎠
∞
⎛ AA1
⎞
⎛ rA1
⎞
× ∑ I k ⎜ ⎟cos 2θ
⎜ ⎟cos
3(
ϕ + θ )
2
− k
2 ∑ I k k
3 2
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
k2
=−∞
∞
2
k3=−∞
Usrednjavanjem prethodnog izraza po θ , a zatim i
integraljenjem istog po ϕ dobijamo sledeći izraz za
funkciju gustine verovatnoće anvelope r :
r
pr
( r)
= e
2
σ
r
pr
( r)
= e
2
σ
2
2
2
r + A + A1
−
2
2σ
2
2
2
∑ ∞ I k
k=
−∞
r + A + A1
−
∑ ∞
2
2σ
ε k
k=
0
1
⎛ rA ⎞
⎜ ⎟ I
2
⎝ σ ⎠
k
⎛ rA ⎞
I k ⎜
2 ⎟ I
⎝ σ ⎠
⎛ AA
⎜ −
2
⎝ σ
k
1
⎛ AA
⎜ −
2
⎝ σ
(8)
gde je ε k = 1 za k = 0 i ε k = 2 za k > 0 .
Daljim usrednjavanjem (8) po A i A 1 , sledi:
p
∞
∞
1
⎞
⎟I
⎠
k
⎞
⎟I
⎠
⎛ rA1
⎞
⎜ ⎟
2
⎝ σ ⎠
k
⎛ rA1
⎜
2
⎝ σ
( r) = dA pr
AA ( r / AA1
) p A ( A) p A ( A1
) dA1
r ∫ ∫
0 0
/ 1
1
p A A 1 1 napred
definisane izrazima (1) i (2), respektivno, kao i da se
modifikovane Beselove funkcije mogu transformisati na
sledeći način [3]:
Imajući u vidu da su funkcije p A ( A)
i ( )
sledi:
I
k
( x)
=
∑ ∞
h=
0
2
2h+
k
x
2h+
k
⋅ h!
Γ
( k + h + 1)
⎞
⎟
⎠
p
r
( r)
=
σ
r
2
e
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞ 2i+
k
r
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
2
r
1
−
m m
2
2
4
1
σ
r
σ
Γ
2h+
k
4h+
2k
( m) Γ( m )
1
2i+
k
2 ! Γ
1
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
⎞
⎟
⎠
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
∞
⎛ m 1 ⎞ 2
−⎜
+ ⎟A
2( h+
k + j+
m)
−1
× ⎝ Ω 2
2 ⎠
∫ A
e σ dA×
0
⎛ m ⎞
∞
⎜ 1 1
⎟ 2
−
+
+ + + −
A1
2( i k j m ) 1 ⎝ Ω 2
1 1 2σ
×
⎠
∫ A1
e
dA1
(9)
0
Odnosno, daljim sreñivanjem (9), dolazimo do konačnog
izraza za funkciju gustine verovatnoće anvelope r u
zatvorenom obliku:
p
r
( r)
=
σ
r
2
e
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞ 2i+
k
r
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
2
r
1
−
m m
2
2
1
1
σ
r
σ
Γ
2h+
k
4h+
2k
( m) Γ( m )
1
2i+
k
2 ! Γ
1
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
⎞
⎟
⎠
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
h+ k+
j+
m
i+
k+
j+
m1
⎛
2
⎞ ⎛
2
2Ωσ
2Ω
⎞
⎜ ⎟ ⎜ 1σ
×
⎟
×
2
2
⎝ 2mσ
+ Ω ⎠ ⎝ 2m1σ
+ Ω1
⎠
× Γ( h + k + j + m) Γ( i + k + j + m 1 ) (10)
Sl. 2. Funkcija gustine verovatnoće anvelope r ,
σ = 2, m = m = 1, Ω = Ω 1)
( 1 1 =
Na Sl.2 prikazana je funkcija raspodele gustine
verovatnoće trenutnih vrednosti anvelope sume
uskopojasnog korisnog signala, interferencije i Gausovog
šuma.
IV. CDF, MGF, MOMENT
Kumulativna funkcija raspodele verovatnoće anvelope r
je:
×
×
×
×
345