Prvi nastavak za sintezu filtarske funkcije ... - Telfor 2008

čija je vrednost određena izborom vrednosti parametra α .
Izraz (1) može se napisati u ekvivalentnom obliku (2).
const
∞
∑
k = 0
≡
b ( k )
⎡
⎢
⎣
k
2
⎤
⎥ + 1
⎦
∑
m = 0
c ( k , m ) x
( 2
k − 2 m )
Strmim prekidanjem apsolutnog razvoja i izdvajanjem
prvih N uzastopnih članova, iz predhodne formule (2)
dobija se jednostavno funkcija 2 N − tog reda,
(2)
⎡ k ⎤
⎢ ⎥ + 1
⎢ ⎥
N ⎣ 2 ⎦
(2 k − 2 m)
const ( N ) = ∑ b ( k ) ∑ c ( k , m)
x
.
k = 0 m = 0
(3)
Na isti način formiramo i razvoj ( N r) tog
N
const ( N + r ) = ∑ b ( k )
k = 0
N + r
∑
k = N = 1
b ( k )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
(2 k − 2 m)
c ( k,
m ) x
+ − reda
(2 k − 2 m)
c ( k,
m ) x +
(4)
Funkcija Φ ( N , ω ) se dobija direktno iz prethodne
formule (4)
N
∑
k = 0
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m = 0
(2 k − 2 m)
Φ ( N , ω ) = b ( k ) c ( k , m ) ω . (5)
Na primer, za N = 5 i N = 8 predhodna funkcija ima
oblik, respektivno:
Φ ( 5, ω ) = c ( 5, 1) ω
6
+ c ( 5, 2 ) ω
8
+ c ( 5, 3 ) ω
10
(6)
Φ( 8, ω ) = c ( 8, 0 ) ω
8
+ c ( 8, 1) ω
10
+ c ( 8, 2 ) ω
12
+ c ( 8, 3) ω
14
+ c ( 8, 4 ) ω
16
. (7)
Takođe i funkcija Φ ( N + r,
ω ) se može napisati u
obliku zbira parcijalnih suma (8),
Φ ( N + r,
ω ) =
N + r
∑
k = N + 1
b ( k)
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
k − N
N
∑
k = 0
b ( k )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
( 2 k − 2 m )
c ( k,
m ) ω
odnosno u razvijenom obliku, gde imamo:
(2 k − 2 m)
c ( k,
m ) ω
+
(8)
Φ ( N + r,
ω)
= Φ ( N , ω ) +
b ( N + 1 )
b ( N +
2 )
b ( N + 3 )
b ( N + r )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
+ 1
⎣ 2 ⎦
∑
m=
0
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
b ( N + r − 1 )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
c ( N + 1, m ) ω
c ( N + 2, m ) ω
c ( N + 3, m ) ω
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
0
c ( N + r,
m ) ω
(2 N + 2−2m)
(2 N + 4−2m)
(2 N + 6−2m)
c ( N + r − 1, m ) ω
+
(2 N + 2r−2m)
+
+ ... +
(2 N + 2r−2−2m)
Dugim prekidom u r uzastopnih članova apsolutnog
polinomskog razvoja konstante predložena formula ima
oblik polinoma 2 N − tog reda.
Φ ( N , r , ω ) = Φ ( N , ω ) +
b ( N + 1 )
b ( N + 2 )
b ( N + 3 )
b ( N + r )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
1
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
2
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
3
b ( N + r −1 )
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
m=
r
c ( N + 1, m ) ω
c ( N + 2, m ) ω
c ( N + 3, m ) ω
⎡ k ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ 1
2
∑
1
m=
r−1
c ( N + r,
m ) ω
(2N
+ 2−2m)
(2N
+ 4−2m)
(2N
+ 6−2m)
c ( N + r −1,
m ) ω
+
(2N
+ 2r−2m)
+
+ ... +
(2N
+ 2r−2−2m)
Funkcija Φ ( N , r,
ω ) za N = 8 , r = 2 ima oblik:
+
+
(9)
(10)
Φ ( 8, 2, ω)
= d (8, 2) ω
12
+ d (8, 3) ω
14
+ d (8, 4) ω
16
(11)
U radu [8] određena je funkcija Φ ( N , ω)
, koja uvek
449