Lekce - Realisticky cz
Lekce - Realisticky cz
Lekce - Realisticky cz
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
8.2.8 Úlohy s geometrickou posloupností<br />
Předpoklady: 8203, 8207<br />
Pedagogická poznámka: Při řešení příkladů postupujeme tak, aby Ti nejpomalejší spočítali<br />
alespoň příklady 1, 3, 4, 5.<br />
Souhrn vzorců a pravidel pro geometrickou posloupnost:<br />
a = a ⋅ q - poznávací znamení<br />
n+ 1 n<br />
n 1<br />
an<br />
= a1<br />
⋅ q − - vzorec pro n-tý člen<br />
s r<br />
as<br />
= ar<br />
⋅ q − - vztah mezi a<br />
s<br />
a a<br />
r<br />
n<br />
sn = a1 + a2 + ... + an−<br />
1<br />
+ an<br />
= a1<br />
q<br />
q −1<br />
−1<br />
pro q ≠ 1, sn<br />
= nq pro q = 1 - součet prvních n členů<br />
Př. 1: Urči a<br />
1<br />
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a1 − a3 = − 16 ; a1 + a2 = 8 .<br />
Máme zdánlivě neřešitelný problém: tři neznámé, ale pouze dvě rovnice.<br />
Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a<br />
1<br />
a q ⇒<br />
provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:<br />
a = a ⋅ q<br />
2 1<br />
2<br />
a3 = a1<br />
⋅ q<br />
Dosadíme do rovnic:<br />
2<br />
a − a = − ⇒ a − a ⋅ q = −<br />
1 3<br />
16<br />
1<br />
a2 8<br />
1 1<br />
16<br />
a + = ⇒ a1 + a1 ⋅ q = 8<br />
Upravíme rovnice:<br />
a 1− q 2<br />
= − 16<br />
1<br />
( )<br />
( q)<br />
a1 1+ = 8 ⇒<br />
1<br />
rovnice vydělíme:<br />
2<br />
a1<br />
( 1−<br />
q ) −16<br />
=<br />
a 1+<br />
q 8<br />
1<br />
( )<br />
1− q = − 2 ⇒ q = 3<br />
a i ( 1 q)<br />
− jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ⇒<br />
Dosazením do druhé rovnice určíme<br />
1<br />
a1 1+ q = a1<br />
1+ 3 = 8 ⇒ a<br />
1<br />
= 2<br />
Pro hledanou posloupnost platí: a<br />
1<br />
= 2 , q = 3.<br />
a : ( ) ( )<br />
Poznámka: Příklad jsme samozřejmě mohli řešit také dosazovací metodou: a ( q)<br />
8<br />
a = 1<br />
1 − q<br />
a dosadit do první rovnice.<br />
1<br />
1+ = 8 ⇒<br />
Př. 2: Urči a<br />
1<br />
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a7 − a3 = 15 ; a6 − a4 = − 6 .<br />
Máme zdánlivě neřešitelný problém: čtyři neznámé, ale pouze dvě rovnice.<br />
1
Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a<br />
1<br />
a q ⇒<br />
provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:<br />
2<br />
3<br />
5<br />
6<br />
a3 = a1<br />
⋅ q , a4 = a1<br />
⋅ q , a6 = a1<br />
⋅ q , a7 = a1<br />
⋅ q<br />
Dosadíme do rovnic:<br />
6 2<br />
a − a = ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q =<br />
7 3<br />
15<br />
6<br />
− a4 6<br />
1 1<br />
15<br />
5 3<br />
a = − ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q = −<br />
Upravíme rovnice:<br />
2 4<br />
a1 ⋅ q q − 1 = 15<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
a1 ⋅ q q − 1 = − 6 ⇒<br />
1<br />
0) ⇒ rovnice vydělíme:<br />
2 4<br />
a1<br />
⋅ q ( q −1)<br />
15<br />
=<br />
3 2<br />
a ⋅ q q − 1 − 6<br />
1 ( )<br />
2 2<br />
( q − )( q + )<br />
2<br />
q ( q −1)<br />
1 1 5<br />
= −<br />
2<br />
2<br />
q + 1 5 = − / ⋅ 2q<br />
q 2<br />
2<br />
2q<br />
+ 2 = − 5<br />
q<br />
2<br />
2q<br />
+ 5q<br />
+ 2 = 0<br />
1 1<br />
6<br />
a i ( 1 q)<br />
2 2<br />
− b ± b − 4ac<br />
− 5 ± 5 − 4⋅2⋅ 2 − 5 ± 3<br />
q1,2<br />
= = =<br />
2a<br />
2⋅<br />
2 4<br />
− 5 + 3 1<br />
q1<br />
= = −<br />
4 2<br />
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a<br />
1:<br />
2 4<br />
2 4 ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤<br />
a1 ⋅ q ( q − 1)<br />
= a1<br />
⋅⎜ − ⎟ ⎢⎜ − ⎟ − 1⎥<br />
= 15<br />
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦<br />
a1 ⎡ 1 ⎤ a1<br />
⎛ 15 ⎞<br />
1 15 a1<br />
64<br />
4 ⎢<br />
− = ⎜ − ⎟ = ⇒ = −<br />
⎣16 ⎥<br />
⎦ 4 ⎝ 16 ⎠<br />
−5 − 3<br />
q2<br />
= = − 2<br />
4<br />
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a<br />
1:<br />
( ) ( ) ( )<br />
2 4<br />
2 4<br />
a1 q q a ⎡ ⎤<br />
1<br />
⋅ − 1 = ⋅ −2 −2 − 1 = 15<br />
⎣ ⎦<br />
1<br />
4a1 ( 16 − 1)<br />
= 4a1 ⋅ 15 = 15 ⇒ a1<br />
=<br />
4<br />
Zadání vyhovují dvě geometrické posloupnosti: a<br />
1<br />
= − 64 ,<br />
− jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla<br />
1<br />
q = − a<br />
1<br />
2<br />
1<br />
a = , q = − 2<br />
4<br />
Poznámka: Příklad jsme mohli řešit také vyjádřením všech členů posloupnosti pomocí<br />
3<br />
a a<br />
q .<br />
2
Př. 3: Urči a<br />
1<br />
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a2 ⋅ a4 = 36 ; a2 + a4 = 13.<br />
Zdánlivě stejný příklad jako dva předchozí, ale pozor jsou zde dva rozdíly:<br />
• v rovnicích figurují pouze dva členy posloupnosti<br />
• v jedné z rovnic je součin těchto členů<br />
⇒ dosazení a<br />
1<br />
a q do rovnic by situaci zkomplikovalo (jedna z rovnic by byla kvadratická<br />
pro obě neznámé) ⇒ určíme ze soustavy členy a<br />
2<br />
a a<br />
4<br />
a s jejich pomocí pak určíme členy<br />
posloupnosti<br />
Řeším soustavu:<br />
a ⋅ a =<br />
2 4<br />
36<br />
2<br />
a4 13<br />
a + = ⇒ a2 = 13 − a4<br />
dosadím do první rovnice<br />
13− a a = 36 dále značím neznámou už pouze jako a<br />
( )<br />
4 4<br />
2<br />
13a<br />
− a = 36<br />
2<br />
a − 13a<br />
+ 36 = 0<br />
a − 9 a − 4 = 0<br />
( )( )<br />
⇒ 2. řešení<br />
1. řešení<br />
a<br />
4<br />
= 9 , a2 = 13− a4<br />
= 13 − 9 = 4<br />
použijeme vztah mezi členy a<br />
r<br />
a a<br />
s<br />
: as<br />
= ar<br />
⋅ q −<br />
4 2<br />
a = a ⋅ q −<br />
4 2<br />
2<br />
9 = 4⋅<br />
q<br />
2 9<br />
q = ⇒<br />
4<br />
2<br />
= ⋅ a<br />
a2 a1<br />
q<br />
2<br />
a2 = a1<br />
⋅ q a1<br />
q<br />
3<br />
q = ±<br />
2<br />
a 4 8<br />
1<br />
= = =<br />
q 3 3<br />
2<br />
a 4 8<br />
= = = −<br />
3<br />
−<br />
3<br />
2<br />
s r<br />
8<br />
Pro hledanou posloupnost platí: a<br />
1<br />
= ,<br />
3<br />
3<br />
q = nebo<br />
1<br />
2<br />
8<br />
a = − ,<br />
3<br />
3<br />
q = −<br />
2<br />
2. řešení<br />
a<br />
4<br />
= 4 , a2 = 13− a4<br />
= 13 − 4 = 9<br />
použijeme vztah mezi členy a<br />
r<br />
a a<br />
s<br />
: as<br />
= ar<br />
⋅ q −<br />
4 2<br />
a = a ⋅ q −<br />
4 2<br />
2<br />
4 = 9⋅<br />
q<br />
2 4<br />
q = ⇒<br />
9<br />
a2 a1<br />
q<br />
2<br />
q = ±<br />
3<br />
a<br />
1<br />
q<br />
= ⋅ a =<br />
2<br />
9 27<br />
= =<br />
2 2<br />
3<br />
s r<br />
3
a2<br />
9 27<br />
a2 = a1<br />
⋅ q a1<br />
= = = −<br />
q 2<br />
−<br />
2<br />
3<br />
27<br />
Pro hledanou posloupnost platí: a<br />
1<br />
= ,<br />
2<br />
2<br />
q = nebo<br />
1<br />
3<br />
27<br />
a = − ,<br />
2<br />
2<br />
q = −<br />
3<br />
Pedagogická poznámka: Studenti často zapomínají na řešení se zápornými koeficienty.<br />
Jinak příklad je podle mě hezký právě proto, že vyžaduje orientaci v rychle<br />
rostoucí množině řešení.<br />
Př. 4: Urči tři reálná čísla větší než 32 a menší než 162 taková, že spolu s čísly 32 a 162<br />
tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti.<br />
Vypíšeme si, jak by hledaná posloupnost vypadala:<br />
a<br />
1<br />
= 32 , a<br />
2<br />
= , a<br />
3<br />
= , a<br />
4<br />
= , a<br />
5<br />
= 162<br />
n<br />
Známe členy a<br />
1<br />
a a<br />
5<br />
, člen a<br />
5<br />
musí jít vyjádřit pomocí vzorce pro n-tý člen: an<br />
= a1<br />
⋅ q −<br />
5 1<br />
a = a ⋅ q −<br />
5 1<br />
4<br />
162 = 32⋅<br />
q<br />
4 162 81 3<br />
q = = ⇒ q = ± , zápornou hodnotu q můžeme vyloučit protože druhý člen<br />
32 16 2<br />
posloupnosti by byl záporný a tím menší než 32, což zakazuje zadání<br />
Teď můžeme snadno dopočítat zbývající členy posloupnosti:<br />
3<br />
a2 = a1<br />
⋅ q = 32⋅ = 48<br />
2<br />
3<br />
a3 = a2<br />
⋅ q = 48⋅ = 72<br />
2<br />
3<br />
a4 = a3<br />
⋅ q = 72⋅ = 108<br />
2<br />
3<br />
pro kontrolu: a5 = a4<br />
⋅ q = 108⋅ = 162<br />
2<br />
Hledaná čísla jsou 48, 72, 108.<br />
Př. 5: Urči a<br />
1<br />
v geometrické posloupnosti s kvocientem q = 2 , jestliže platí: a = 384 a<br />
s = 765 .<br />
n<br />
n<br />
q −1<br />
Pro součet geometrické řady s<br />
n<br />
platí vzorec sn<br />
= a1<br />
q −1<br />
n<br />
q − 1<br />
rovnici: a1<br />
= 765 q −1<br />
n<br />
2 − 1<br />
Dosadíme q = 2 : a1<br />
= 765<br />
2 −1<br />
2 n<br />
a 1 765<br />
1<br />
− =<br />
( )<br />
Neznáme n, zkusíme hodnotu určit z rovnice pro n-tý člen:<br />
a platí s<br />
n<br />
= 765 ⇒ sestavíme<br />
a = a ⋅ q −<br />
n<br />
1<br />
n 1<br />
n<br />
1<br />
4
384 2 n<br />
−1<br />
= a1<br />
⋅ ⇒ pokud bychom chtěli určit přímo n, museli bychom logaritmovat, ale nám<br />
stačí určit hodnotu 2 n , to z předchozí rovnice půjde:<br />
768<br />
2 n<br />
a = ⇒ dosadíme do rovnice ( )<br />
1<br />
⎛ 768 ⎞ a<br />
1 ⎜ − 1 ⎟ = 765<br />
⎝ a1<br />
⎠<br />
768 − a = 765<br />
1<br />
a<br />
1<br />
= 3<br />
Prvním členem posloupnosti je číslo 3.<br />
2 n<br />
a 1 765<br />
1<br />
− =<br />
2<br />
= ⋅ ⋅<br />
a<br />
n−1<br />
384 a1<br />
2 /<br />
1<br />
Př. 6: Vyřeš rovnici: x − 3x + 9x − 27 x + ... + 729x<br />
= 2735 .<br />
Na levé straně je součet prvních n členů geometrické řady: a1<br />
q = − ; a = 729x<br />
.<br />
= x ; 3<br />
n<br />
q −1<br />
Všechny členy pravé strany můžeme sečíst pomocí vzorce: sn<br />
= a1<br />
q − 1<br />
.<br />
Musíme dopočítat hodnotu n pomocí členu a = 729x<br />
: a = a ⋅ q −<br />
−<br />
( ) 1<br />
729x<br />
= x ⋅ − 3 n<br />
729 = ( − 3) n−1<br />
( ) ( )<br />
6 1<br />
− 3 = − 3 n−<br />
⇒ n − 1 = 6 ⇒ n = 7<br />
Dosadíme do vztahu pro součet:<br />
Sestavíme rovnici: 547x = 2735<br />
2735<br />
x = = 5<br />
547<br />
Řešením rovnice je číslo 5.<br />
n<br />
7<br />
( − )<br />
( )<br />
n<br />
1<br />
n 1<br />
n<br />
q −1 3 −1<br />
−2188<br />
sn<br />
= a1<br />
= x = x = 547x<br />
q −1 −3 −1 −4<br />
n<br />
Př. 7:<br />
Petáková:<br />
strana 68/cvičení 20 c) e)<br />
strana 68/cvičení 33<br />
strana 69/cvičení 44<br />
strana 69/cvičení 46<br />
strana 70/cvičení 51 d) e)<br />
strana 70/cvičení 53 b)<br />
Shrnutí:<br />
5