KVADRATICKÉ PLOCHY

KVADRATICKÉ PLOCHY
(KVADRIKY - QUADRICS)
VÝUKOVÝ MATERIÁL
OBSAH:
POJEM KVADRIKY ***
ANALÝZA ROVNICE ***
PŘÍKLADY – SCHEMA ANALÝZY ***
PŘÍKLADY POSTUPU ***
ODKAZY, LITERATURA, PROGRAM ***

POJEM KVADRIKY
Kvadratickými plochami, neboli kvadrikami, nazýváme plochy druhého stupně, tj. plochy,
jejichž rovnice v pravoúhlé souřadnicové soustavě {0; x, y, z} můžeme zapsat ve tvaru:
ax 2 + by 2 + cz 2 + dxy + ezy + fxz +gx+hy+iz+j = 0 , (1)
kde koeficienty jsou reálná čísla a všechna čísla a,b,c,d,e,f nejsou současně rovna nule.
Je-li osa kvadriky (v případě osové kvadriky) nebo povrchové přímky kvadriky (v případě
válcové plochy) rovnoběžná s některou ze souřadnicových os, potom se rovnice (1)
zjednodušší na
ax 2 + by 2 + cz 2 + gx + hy + iz + j = 0. (2)

ANALÝZA
ROVNICE PO ÚPRAVĚ NA ČTVEREC
1. NEROTAČNÍ
OBSAHUJE VŠECHNY PROMĚNNÉ
ANO
NE
JSOU VŠECHNY PROMĚNNÉ NA
DRUHOU
JDE O VÁLCOVOU PLOCHU NEBO
JEJÍ SPECIÁLNÍ PŘÍPAD
ELIPSOID
ANO
x
a
2
2
+
y
b
2
2
+
z
c
2
2
NE
= 1
PARABOLOID
ELIPTICKÝ
x
a
2
2
+
y
b
2
2
=
z
ELIPTICKÁ
PLOCHA
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1
JEDNODÍLNÝ
HYPERBOLOID
x
a
2
2
+
y
b
2
2
−
z
c
2
2
= 1
PARABOLOID
HYPERBOLICKÝ
x
a
2
2
−
y
b
2
2
=
z
HYPERBOLICKÁ
PLOCHA
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1
DVOUDÍLNÝ
HYPERBOLOID
−
x
a
2
2
−
y
b
2
2
+
z
c
2
2
= 1
PARABOLICKÁ
PLOCHA
DVOJICE
RŮZNOBĚŽNÝCH
ROVIN
x
2
= a
2
⋅ y
DVOJICE
ROVNOBĚŽNÝCH
ROVIN
JEDNA ROVINA
ELIPTICKÁ
KUŽEL.
PLOCHA
x
a
2
2
+
y
b
2
2
−
z
c
2
2
= 0
ZPĚT
x
a
2
2
2
y
2 2
− = 0
2
x − a = 0
b
x 2 = 0

JEDNODÍLNÝ
HYPERBOLOID
2. ROTAČNÍ
KUŽELOVÁ
PLOCHA 0
c
z
b
y
b
x
2
2
2
2
2
2
=
−
+
VÁLCOVÁ
KRUHOVÁ
PLOCHA
1
2
2
2
2
=
+ b y
b
x
ROTAČNÍ
ELIPSOID
1
c
z
b
y
b
x
2
2
2
2
2
2
=
+
+
KULOVÁ
PLOCHA SFÉRA
1
b
z
b
y
b
x
2
2
2
2
2
2
=
+
+
1
c
z
b
y
b
x
2
2
2
2
2
2
=
−
+
DVOUDÍLNÝ
HYPERBOLOID
1
c
z
b
y
b
x
2
2
2
2
2
2
=
+
−
−
ROTAČNÍ
PARABOLOID
z
b
y
b
x
2
2
2
2
=
+
OBSAHUJE VŠECHNY PROMĚNNÉ
ANO
NE
JSOU VŠECHNY PROMĚNNÉ NA
DRUHOU
ANO
NE
ZPĚT

PŘÍKLADY – SCHEMA ANALÝZY
ELIPSOID
JEDNODÍLNÝ
HYPERBOLOID
DVOUDÍLNÝ
HYPERBOLOID
ELIPTICKÝ
PARABOLID
HYPERBOLICKÝ
PARABOLOID
ELIPTICKÁ
VÁLCOVÁ
PLOCHA
HYPERBOLICKÁ
VÁLCOVÁ
PLOCHA
PARABOLICKÁ
VÁLCOVÁ
PLOCHA
KUŽELOVÁ
ELIPTICKÁ
PLOCHA
ZPLOŠTĚLÝ
ROTAČNÍ
ELIPSOID
ZPĚT

JEDNODÍLNÝ ROTAČNÍ HYPERBOLOID DVOUDÍLNÝ ROTAČNÍ HYPERBOLOID
VÁLCOVÁ ROTAČNÍ PLOCHA ROTAČNÍ PARABOLOID
ZPĚT

PŘÍKLADY POSTUPU
2
x
+
2
y
+
2
z
+ 10 x
−
8 y
−
4 z
+
36
=
0
SFÉRA
2
x
+ 10 x
+
2
y
−
8 y
+
2
z
−
4 z
+
36
=
0
⎛
x
2
⎜
⎝
+ 10 x
+
25
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
2
y
−
8 y
+ 16
⎞
⎟
⎠
+
⎛
z
2
⎜
⎝
−
4 z
+
4
⎞
⎟
⎠
=
−36
+
25
+ 16
+
4
( x + 5) + ( y − 4) + ( z − 2)
( x + 5) ( y − 4 ) ( z − 2)
2
3
2
2
+
2
3
2
2
+
2
3
2
2
=
9
= 1
S =
r =
[ − 5;4;2]
2
3
= 9
JAK POZNÁM O CO JDE ZDE JE JEDNODUCHÝ POSTUP:
1) OBSAHUJE VŠECHNY PROMĚNNÉ
2) VŠECHNY PROMĚNNÉ JSOU NA DRUHOU
3) VŠECHNY PROMĚNNÉ MAJÍ KLADNÉ ZNAMÉNKO
4) JE TO ROTAČNÍ PLOCHA. MÁ MINIMÁLNĚ DVA JMENOVATELE STEJNÉ
5) V TOMTO PŘÍPADĚ JDE O KULOVOU PLOCHU, KTERÁ VZNIKNE ROTACÍ TŘÍ POLOOS O STEJNÝCH ROZMĚRECH.
ZPĚT

−
−
2
4 x
2
4 x
+
+
2
9 y
2
9 y
+
+
2
9 z
18 y
+ 18 y
2
+ 9 z
−
−
90
90
z
z
+
+
270
270
=
=
0
0
DVOUDÍLNÝ ROTAČNÍ
HYPERBOLOID
−
2
4 x
+
9
⎛
⎜
⎝
2
y
+
2 y
⎞
⎟
⎠
+
9
⎛
⎜
⎝
2
z
−
10
z
⎞
⎟
⎠
+
270
=
0
−
2
4 x
+
9
⎛
⎜
⎝
y
2
+
2 y
+
1
⎞
⎟
⎠
+
9
⎛
z
2
⎜
⎝
−
10
z
+
25
⎞
⎟
⎠
+
270
−
9
⋅ 1 −
9
⋅ 25
=
0
−
2
4 x
+
9
2
( y + 1) + 9( z − 5 )
2
=
− 36
/
1 , 1
4 9
−
+
2
x
9
2
x
2
3
+
−
( y + 1) ( z − 5 )
4
( y + 1) ( z − 5 )
2
4
2
2
+
−
4
2
4
2
2
=
=
− 1
1
S
a
=
[ 0, −1,5
]
= 3 b = 4
c
=
4
JAK POZNÁM O CO JDE ZDE JE JEDNODUCHÝ POSTUP:
1) OBSAHUJE VŠECHNY PROMĚNNÉ
2) VŠECHNY PROMĚNNÉ JSOU NA DRUHOU
3) VŠECHNY PROMĚNNÉ MAJÍ KLADNÉ ZNAMÉNKO NE, NEMAJÍ!
4) OSA ROTACE JE ROVNOBĚŽNÁ S OSOU X.
5) JE TO ROTAČNÍ PLOCHA. MÁ MINIMÁLNĚ DVA JMENOVATELE STEJNÉ
6) V TOMTO PŘÍPADĚ JDE O DVOUDÍLNÝ ROTAČNÍ HYPERBOLOID, KTERÝ VZNIKNE ROTACÍ HYPERBOLY KOLEM OSY ⎜⎜ S OSOU X.
ZPĚT

ODKAZY, LITERATURA, PROGRAMY
ODKAZY
www.kma.zcu.cz/Geometrie/krivkyaplochy/rot.htm
www.pef.zcu.cz/pef/kmt/projekt/
PROGRAMY NA SESTROJENÍ KVADRIK
KVADRIKY.EXE
ROTACNI.EXE
ROTKVAD.EXE
ZPĚT NA ÚVODNÍ STRANU