Matematická logika - FIIT STU - Slovenská technická univerzita v ...
Matematická logika - FIIT STU - Slovenská technická univerzita v ...
Matematická logika - FIIT STU - Slovenská technická univerzita v ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1 Výroková <strong>logika</strong> I 7<br />
1.3 JAZYK VÝROKOVEJ LOGIKY (SYNTAX)<br />
KONŠTRUKCIA<br />
FORMÚL<br />
DEFINÍCIA 1.2.<br />
<br />
(1) Každá výroková premenná p ∈ P alebo výroková konštanta je výroková formula.<br />
NEJEDNOZNAČ-<br />
NOSŤ<br />
DEFINÍCIA 1.3.<br />
<br />
Zavedieme formálny systém pre konštrukciu formúl výrokovej logiky, ktorý spočíva<br />
v špecifikácii postupu konštrukcie zložitých výrokov (ktoré budeme nazývať<br />
tiež výrokové formuly) pomocou iných výrokov (buď elementárnych alebo<br />
zložitých) a logických spojok. Nech P = { p,q,r,..., p<br />
1, p<br />
2,...<br />
} je množina elementárnych<br />
výrokov (ktoré budeme nazývať výrokové premenné); výrokové konštanty<br />
{0,1} sú pravdivostné hodnoty.<br />
Výroková formula nad množinou P výrokových premenných je zostrojená opakovaným<br />
použitím týchto dvoch pravidiel:<br />
(2) Ak výrazy ϕ a ψ sú výrokové formuly, potom aj výrazy ( ¬ϕ ) , ( )<br />
( ϕ∨ψ ) , ( ϕ⇒ψ ) a ( ϕ≡ψ ) sú výrokové formuly.<br />
ϕ∧ψ ,<br />
Obvykle sa ešte zdôrazňuje, že žiadne iné výrazy, ako tie, ktoré môžu vzniknúť<br />
opakovaným použitím pravidiel (1) a (2), nie sú formulami výrokovej logiky.<br />
Zátvorky sa používajú ako pomocné symboly, pomocou ktorých môžeme odstrániť<br />
prípadnú nejednoznačnosť výrokových formúl 2 . Uvažujme formulu<br />
p∧q∨ r , pomocou zátvoriek môžeme ju interpretovať dvoma rôznymi spôsobmi<br />
( p q)<br />
r<br />
∧ ∨ a p ( q r)<br />
∧ ∨ .<br />
Konštrukcia formuly ϕ nad množinou P je tvorená postupnosťou formúl<br />
ϕ1, ϕ2,...,<br />
ϕ<br />
n<br />
, pričom posledný prvok ϕ n je totožný s formulou ϕ, pre každé<br />
i = 12 , ,...,n platí jedna s týchto troch možností:<br />
(1) ϕ i je výroková premenná z P alebo výroková konštanta.<br />
(2) ϕ i vznikla z niektorého z prvkov množiny { ϕ1, ϕ2,..., ϕ<br />
i−1}<br />
aplikáciou unárnej<br />
ϕ = ¬ϕ , pre j = 12 , ,...,i− 1.<br />
logickej spojky negácie,<br />
i ( j)<br />
(3) ϕ i vznikla z niektorých dvoch prvkov množiny { }<br />
ϕ , ϕ ,..., ϕ<br />
−<br />
aplikáciou binárnej<br />
logickej spojky, napr.<br />
i ( j k)<br />
1 2 i 1<br />
ϕ = ϕ ∧ϕ , pre j < k = 12 , ,...,i − 1.<br />
Prvky postupnosti ϕ 1<br />
, ϕ 2<br />
,..., ϕ n<br />
sa nazývajú podformuly formuly ϕ, ϕi<br />
⊂ϕ pre<br />
i = 12 , ,...,n .<br />
2 V logike sa zvyčajne používa táto priorita logických spojok, uvádzame s klesajúcou<br />
prioritou: 1. ¬, 2. ∧, ∨ 3. ⇒ 4. ≡