Predavanje 2

2. EMPIRIJSKI PRISTUP 

MODELOVANJE 

I SIMULACIJA PROCESA 

2. Empirijski pristup u 

modelovanju; teorija 

sličnosti; verifikacija modela 

Dr Nikola Nikačević 

EMPIRIJSKI PRISTUP U 

MODELOVANJU 

• Zasnovan na analizi eksperimentalnih rezultata; 

• Formiranje veze između izlazne i ulazne veličine, 

ili željene veličine i nezavisno promenjive / 

parametra. 

• U eksperimentima se najčešće variraju odabrani 

(značajni) parametri a mere se željene veličine. 

• Empirijski model često nije (u potpunosti) zasnovan 

na teorijskoj analizi. 

• Ranije se pristup koristio više, ali sa napretkom 

teorijskih istraživanja i brzim razvojem računara, 

se sve manje upotrebljava. 

MODELOVANJE I SIMULACIJA 

PROCESA 1


EMPIRIJSKI PRISTUP - PREDNOSTI 

• Složeni sistemi (više faza, više komponenti i 

reakcija, više operacija, složena struktura) se 

često ne mogu opisati teorijski, ili se fundamentalni 

modeli ne mogu rešiti, pa empirijski pristup 

omogućava da se predvidi ponašanje tih sistema. 

• Empirijski modeli se mogu koristiti sa relativno 

velikom pouzdanošću (mala greška predviđanja) 

ako se pretskazuje ponašanje istog ili sličnog 

sistema u opsegu vrednosti parametara za koje 

je predhodno izvršena analiza i razvoj modela. 

• Najčešće su jednostavni za upotrebu / rešavanje. 

EMPIRIJSKI PRISTUP - NEDOSTACI 

• Pošto empirijski modeli često nisu teorijski 

zasnovani, oni ne mogu da doprinesu boljem 

razumevanju fizičkih i hemijskih pojava u 

posmatranom sistemu (princip “crne kutije”). 

• Postoji mogućnost da se neki od značajnih 

parametara ne uključe u analizu (kad nema 

teorijske zasnovanosti). 

• Primena je ograničena samo na slične sisteme i 

na opseg parametara korišćen pri postavljanju 

modela – Ekstrapolacija pri primeni empirijskog 

modela nije dozvoljena! 


PROCESA 2


Koncentracija [mol/cm 3 ] 

2.6 

2.4 

2.2 

2 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

PRIMER GREŠKE PRI 

EKSTRAPOLACIJI 

Ekstrapolacija linearne 

empirijske zavisnosti 

Ograničen broj 

eksperimentalnih tačaka 

Realan 

model 

procesa 

0.8 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 

Vreme [min] 

PRIMERI UPOTREBE EMPIRIJSKIH 

MODELA 

• Predviđanje fizičkih, hemijskih, termodinamičkih 

veličina (koeficijenata) za jedinjenja ili smeše na 

određenim uslovima, na primer: konstante brzine 

hemijske reakcije, koeficijenta prenosa toplote i 

mase, koeficijenta aktivnosti, napona pare, 

toplotnog kapaciteta, dopunske zapremine,... 

• Predviđanja ponašanja sistema pod različitim 

uslovima: dinamika sistema i procesa, način 

strujanja i kontakta faza,... 

• Kalibracija instrumenata / uređaja za merenje, 

analizu, monitoring i dr... 


PROCESA 3


EKSPERIMENTALNA 

IDENTIFIKACIJA PROCESA 

• Postavljanje empirijskih modela na osnovu dinamičkih 

eksperimenata u realnom (ili pilot) sistemu – identifikacija 

dinamike procesa ili načina strujanja / kontakta faza. 

Step. 

promena 

F [% OS] 

100.0 

90.0 

80.0 

70.0 

60.0 

50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

F [% OS] 

100.0 

90.0 

80.0 

70.0 

60.0 

50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

0.0 

Provera 

modela 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 

q [-] 

0.0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 

q [-] 

Empirijski model: 

Ds 

K e 

G( 

s) 

 

( 1s 

1)( 

 

2s 

1) 

EMPIRIJSKE KORELACIJE 

• Za predviđanje veličina (koeficijenata) pod različitim 

uslovima često se koriste empirijske korelacije 

• Korelacije su najčešće bezdimenzione, oblika 

stepene funkcije: 

a b c 

Y K X1 X 

2 

X 

0.83 0. 33 

3 na pr. 

Sh 0.023 

Re Sc 

• Izbor bezdimenzionih grupa se vrši na različite 

načine: teorijskom analizom, teorijom sličnosti, 

eksperimentalnom opservacijom i iskustvom,... 

• Koeficijenti i stepeni u korelacijama se dobijaju na 

osnovu većeg br. eksperimentalnih rezultata. 


PROCESA 4


KORELACIJE – LINEARNA I 

NELINEARNA REGRESIJA 1 

• Koeficijenti u korelacijama se često dobijaju 

metodom najmanjih kvadrata – linearna i 

nelinearna regresija eksperimentalnih rezultata. 

• Linearna zavisnost: 

y a 

0 

a1x1 

a2x2 

a3x3 

gde su x 1 , x 2 i x 3 vektori promenjivih (parametara), a y je 

vektor veličine koja se koreliše. 

• Jedn. (1) se može predstaviti u matričnom obliku: 

y 

Xa 

gde je X matrica: 

(1) 

X [ I x x 3] , a I jedinični vektor 

1 2 

x 

KORELACIJE – LINEARNA I 

NELINEARNA REGRESIJA 2 

• Koeficijenti korelacije a 0 , a 1 , a 2 , ... se konačno 

mogu dobiti pomoću matrične operacije: 

a X \ 

y eks 

ili 

a inv( 

X ) 

yeks 

gde je y eks vektor eksperimentalnih vrednosti. 

Napomena: Operacija \ koristi Gauss-ovu eliminacionu metodu, 

brža je i numerički adekvatnija od inverzne matrice. 

• Ako je korelacija nelinearna (najčešće): 

y a 

0 

x 

a 

1 

1 

x 

a 

2 

2 

x 

a 

3 

3 

onda je pre primene metode treba logaritmovati: 

ln( y) 

ln( a0) 

a1 

ln( x1) 

a2 

ln( x2) 

a3 

ln( x3) 


PROCESA 5


TEORIJA SLIČNOSTI 

• Definiše matematičke odnose između fizički 

sličnih sistema različitih veličina; 

• Predstavlja osnovu za uvećanje / smanjenje 

razmera (scale-up) uređaja i procesa; 

• Kriterijumi sličnosti se mogu definisati 

pomoću diferencijalnih jednačina ili 

pomoću dimenzione analize; 

• Bezdimenzioni grupe dobijene pomoću 

kriterijuma sličnosti predstavljaju osnovu za 

izgradnju većine empirijskih korelacija. 

KRITERIJUMI SLIČNOSTI – 1 

1. Geometrijska sličnost 

' 

x 

x 

 

' 

y 

y 

 

' 

z 

z 

L 

gde su x’, y’ i z’, x, z i z koordinate tačaka na objektu i 

fizičkom modelu, respektivno. 

2. Kinematička sličnost 

v ' 

v 

 

v 

L 

t 

Linearni odnos 

smanjenja (konstanta) 

Kinematička sličnost podrazumeva 

sličnu sliku strujanja u geometrijski 

sličnim sistemima koeficijenti 

prenosa mase i toplote u prototipu 

će biti 1/L od onih u modelu! 


PROCESA 6


KRITERIJUMI SLIČNOSTI – 2 

3. Termička sličnost 

H 

H 

' 

r 

r 

H 

 

H 

' 

c 

c 

H 

 

H 

' 

v 

v 

H 

 

H 

' 

f 

gde su H r , H c , H v i H f protoci toplote kroz određenu 

površinu koja je prenesena radijacijom, kondukcijom, 

konvekcijom i kretanjem fluida, respektivno. 

4. Hemijska sličnost 

brz . hem. 

reakcije 

brzina strujanja 

i 

f 

H 

ili 

Svaki kriterijum (2-4) podrazumeva da su ispunjeni svi predhodni 

kriterijumi! 

H 

H 

' 

r 

' 

c 

H 

 

H 

brz. 

hem. 

reakcije 

brzina mol. 

difuzije 

r 

c 

H 

H 

' 

r 

' 

v 

H 

 

H 

r 

v 

H 

H 

' 

r 

' 

f 

H 

 

H 

r 

f 

DIMENZIONA ANALIZA – 1 

• Tehnika kojom se opisuje fizički sistem sa minimalno 

potrebnim brojem nezavisno promenjivih; 

• Promenjive se grupišu u bezdimenzione grupe 

koje ne zavise od mernih jedinica; 

• Određivanje tačnog broja relevantnih promenjivih 

je esencijalno sistem se mora dobro poznavati; 

• Osnova: svaka veličina se može izraziti pomoću 

svega nekoliko mernih jedinica; 

• Broj i izbor osnovnih jedinica zavisi od sistema, na 

pr. često su za hemijske sisteme osnovne jedinice: 

mase (m), dužine (L), vremena (t) i temp. (T). 


PROCESA 7



• Princip homogenosti: Svaka kompletna fizička 

jednačina mora da bude dimenziono homogena ili 

se može podeliti u više homogenih jednačina; 

• Tri tipa veličina: promenjive, dimenzione konstante 

(g, R, k,...) i numeričke konstante (,...); 

• Buckingham-ova Pi teorema: 

1. Rešenje svake dimeziono homogene fizičke jednačine 

se može predstaviti u obliku: 

( 1, 

 

2,...) 

0 

gde je 1 , 2 ,... kompletan set bezdimenzionih grupa 

sastavljen od promenjivih i dimenzionih konstanti. 


2. Ako jednačina sadrži n zasebnih promenjivih i dim. 

konstanti koji se mogu predstaviti sa m osnovnih 

jedinica, tada je broj bezdimenzionih grupa u setu 

jednak: n – m. 

• Odstupanje od tačke 2. iz teoreme: ako se u svim 

promenjivim izraza javljaju dve iste osnovne 

jedinice, one se mogu zameniti sa istim simbolom, 

pa je broj grupa veći za jedan: n–(m–1). 

• Tačniji broj nezavisnih bezdimenzionih grupa se 

jednostavnije može odrediti pomoću Rayleigh-ove 

metode indeksa i dimenzione matrice. 


PROCESA 8


PRIMER 1 – DIMENZIONA ANALIZA 

1. Pomoću dimenzione analize utvrditi koje su bezdimenzione 

grupe potrebne za korelisanje eksperimentalnih 

rezultata za prinudnu konvekciju u dugačkom cilindru. 

To 

u 0 , T 

Rešenje: Problem je definisan sa bilansom količine kretanja 

i bilansom energije za diferencijalni element zapremine. 

Za pojednostavljenje usvajaju se pretpostavke: 

– Uspostavljeno je stacionarno stanje i bilansi po x pravacu. 

– Gravitacioni član i gradijent pritiska u bilansu KK se zanemaruju. 

– Član generisanja toplote u energetskom bilansu je 0. 

– Granični uslovi: u 0 =u, q 0 =hT 


Pod datim pretpostavkama diferencijalne jednačine modela: 

2 

u 

u 

Promenjive i konstante – n=7: 

u 

0 

2 

x 

x 

u, , 

, 

C 

p 

, , 

h, 

a 

2 

T 

T 

Osnovne jedinice. – m =4: 

C 

pu 

ha( 

T T0 

) 0 

2 

m ( kg), 

x ( m), 

t ( s), 

T ( K) 

x 

x 

Broj bezdimenz. grupa: n-m=3 

Veličine u članovima jednačina modela, tj. bilansa, su: 

• Količina kretanja: 1) 2) 

C p 

uT 

u 2 

• Energetski: 3) 4) 5) 

x 

x 

T 

2 

x 

u 

2 

x 

hT 

x 


PROCESA 9



• iz bilansa količine kretanja 

kada se član 1) podeli sa 

2) dobija se Reynolds-ov 

broj: 

ux 

 

Re 

• iz bilansa energije kada se 

član 3) i 5) podeli sa 4) 

dobijaju se Peclet-ov i 

Nusselt-ov broj: 

C p 

ux 

Pe 

 

hx 

 

Nu 

Ove tri grupe su potrebne za korelisanje eksperim. podataka 

Napomena: U klasičnoj analizi figuriše Prandtl-ov broj umesto Pecletovog. 

Međutim, deljenjem Pe broja sa Re dobija se Prandtl-ov broj: 

Pe 

 

Re 

C p 

 

 

Pr 

te su korelacije oblika 

Nu 

f (Re, Pr) 

BEZDIMENZIONE GRUPE – 1 

Reynolds-ov broj 

uL inercione sile 

Re viskozne sile 

Weber-ov broj 

u 

2 L inercione sile 

We povr sin ske sile 

Prandt-lov broj 

C 

p 

Pr 

a 

viskozne sile 

termicka difuz. 

Freud-ov broj 

2 

u inercione sile 

Fr 

gL gravitacione sile 

Lewis-ov broj 

a Sc termicka difuz 

Le D 

 

. 

Pr difuzivnost 

AB 

Shmidt-ov broj 

 

Sc 

D 

AB 

 

D 

AB 

viskozne sile 

difuzivnost 


PROCESA 10


BEZDIMENZIONE GRUPE – 2 

Peclet-ov br. za toplotu 

uL tok fluida 

Pe Re 

Pr 

a termic. 

dif . 

Nusselt-ov broj 

hL konvekcija toplote 

Nu kondukcija 

Damkohler-ov broj I 

karakter. 

vreme 

DaI 

 

1 reakciono vreme 

n1 

kC 

0 

Peclet-ov br. za masu 

uL 

tok fluida 

Pe Re 

Sc 

D 

difuzivnost 

AB 

Sherwood-ov broj 

kg L konv. 

prenos mase 

Sh 

D difuzivnost 

AB 

Damkohler-ov broj II 

Da 

II 

n 

kC 

 

k a 

1 

0 

 

g 

brzina reakcije 

brz. 

pren. 

mase 

EKSPERIMENTALNA VERIFIKACIJA 

MODELA 

• Matematički modeli (bilo koje vrste) se najpouzdanije 

verifikuju pomoću eksperimen. rezultata. 

• Pre poređenja neophodno je usaglasiti veličine 

dobijene modelom sa onim iz eksperimenata. 

• Poređenje rezultata modela sa eksperimentima se 

vrši grafički ili tabelarno. 

• Za svaku eksperimentalnu tačku se može izračunati 

greška modela, a za ceo set je reprezentativna 

(neka od) srednjih greški. 

• Interpretacija greške zavisi od ciljeva modelovanja, 

sistema koji se modeluje i metoda rešavanja. 


PROCESA 11


GREŠKE MODELA 

Srednja apsolutna greška 

Srednja relativna greška 

N 

N 

1 

1 yeks 

yrac 

y eks 

y rac 100% 

N 1 y 

N 1 

eks 

Suma kvadrata odstupanja 

Srednje kvadratno odstupanje 

N 

N 

2 

1 

( y eks 

y rac 

) 

( 

y eks 

y rac 

) 

1 

N 1 

2 

PLANIRANJE EKSPERIMENATA 

POMOĆU MODELA 

Matematički modeli mogu da se koriste u 

svrhu smanjenja broja eksperimenata i 

eleminacije metode proba – greška: 

• Analizom postavljenih fundamentalnih zavisnosti 

moguće je: odabrati veličine koje je adekvatno 

meriti i odrediti kako parametre treba varirati. 

• Detaljnim kompjuterskim simulacijama (CFD) se 

dobijaju vrlo tačna rešenja – smanjuje se 

potreban broj eksperimenata (numerički eksper.) 

• Statističkim metodama optimalnog planiranja 

eksperimenata eliminišu se nepotrebni eksperimenti. 


PROCESA 12

Predavanje 2

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?