MaturitnÃ opakovÃ¡nÃ - milana.unas.cz

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. 

Maturitní opakování.doc 

1) Maminka řekla Petrovi: „Jestliže budeš hodný, dostaneš dort.“ Jsou čtyři možnosti: 

a) Petr byl hodný, dostal dort. 

b) Petr byl hodný, nedostal dort. 

c) Petr nebyl hodný, dostal dort. 

d) Petr nebyl hodný, nedostal dort. 

Ve kterých případech vyslovila pravdivý výrok. 

2) Rozhodněte, při kterých pravdivostních hodnotách výroků A,B je uvedená výroková 

formule pravdivá: 

a) ( A∧ 

B) 

∨ ( ¬ A∧ 

B) 

b) ( ¬ A ∨ B) 

⇒ ¬ B 

3) Rozhodněte, zda jsou uvedené výrokové formule tautologiemi: 

a) ¬ ( ¬A) 

⇔ A 

b) ( A ⇒ B) 

⇔ ( A ∧ ¬ B) 

c) Napište negace následujících slovních výroků. 

d) Přijde Alena a Barbora. 

e) Přijde Cyril nebo David. 

f) Jestliže přijde Eva, potom přijde i Hana. 

g) Jan přijde právě tehdy, když přijde Iva. 

4) Rozhodněte, které z následujících vět lze považovat za výroky: 

a) Úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé. 

b) Existuje rovnostranný trojúhelník. 

c) Pythagorova věta. 

d) Číslo x je kladné. 

5) Vyslovte negace následujících výroků: 

a) Aspoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x − 40 p 0 

b) Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů. 

c) Každé prvočíslo je liché číslo. 

6) Tři stroje pracují za následujících podmínek: 

a) Pracuje-li první, pracuje druhý. 

b) Pracuje druhý nebo třetí. 

c) Nepracuje-li první, nepracuje ani třetí. 

Jaké jsou možnosti pro práci strojů 

7) Obměňte následující výroky: 

2 

a) ∀n 

∈ N platí : n je sudé ⇒ n je sudé . 

b) Pes, který štěká , nekouše. 

Strana 1/70 

PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz

8) Vyslovte obměny a obrácení implikací: 

a) Jsem-li unavený, ihned usínám. 


b) Je-li součin dvou přirozených čísel číslo liché, jsou obě čísla lichá. 

c) Není-li ve městě dostatek zeleně, zvyšuje se množství CO2 

v ovzduší města. 

9) Vytvořte negace výrokových forem: 

a) x < 0 , x ∈ R 

b) x ≤ y, 

x, 

y ∈ R 

10) Vyslovte negace kvantifikovaných výroků: 

a) Všichni žáci naší třídy prospěli. 

b) Alespoň jeden žák naší třídy získal vyznamenání. 

c) Žádný žák v naší třídě nenosí brýle. 

d) Alespoň tři žáci z naší třídy půjdou do kina. 

e) Bude pršet nejvýše čtyři dny. 

f) Rovnice má právě dva kořeny. 

11) Vyjádřete negace složených výroků: 

a) Napiji se kávy nebo čaje. 

b) Nejsem žíznivý ani hladový. 

c) Bude-li k dostání čerstvé ovoce, nekoupím si kompot. 

d) Koupím salám právě tehdy, když nebude šunka. 

12) Vyjádřete negace následujících složených výroků s kvantifikátory: 

a) Daná rovnice má alespoň jeden kladný nebo záporný kořen. 

b) Jestliže daná rovnice má jeden dvojnásobný kořen, pak má alespoň jeden další kořen. 

13) Negujte následující výroky: 

a) Na dnešek se učili alespoň 3 žáci. 

b) Tato úloha má právě 2 řešení. 

c) Stavba potrvá nejvýše tři roky. 

d) Mám hlad i žízeň. 

e) Nebudou-li mít colu, objednám si čaj nebo pivo. 

f) Přijde David nebi Cyril. 

g) Bude-li pěkně, půjdu hrát tenis nebo kopanou. 

h) ∀x 

∈ R : x > 0 

i) Daná rovnice má nejvýše jedno řešení. 

j) ∀ n ∈ N platí : 4 / n ⇒ 2 / n 

k) ∃x 

∈ R : x 

2 ≤ 0 

l) Všichni žáci naší třídy prospěli. 

m) 15/ 

n ⇔ 3 / n ∧ 5 / n 

Strana 2/70 



2. MATEMATICKÉ DŮKAZY. 

Přímý důkaz ( A ⇒ B): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu 

tvrzení 

+ 

Např. ∀a 

∈ Z ; a = liché č. ⇒ a 

2 = liché č. 

2 

k , kde ( ) 

2 

liché č.: 2 k + 1, potom ( 2 + 1) = 4( k + k) + 1 4 k 2 + k je sudé. 

Nepřímý důkaz ( A ⇒ B ⇔ B' ⇒ A' 

): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého 

důkazu. 

+ 2 

Např. ∀m 

∈ Z ; m dělitelné 3 ⇒ m dělitelné 3 

2 

k , potom ( 3 + 1) = 3( 3k 

+ 2k) + 1 

2 

2 

( 3k + 2) = 3( 3k 

+ 4k) + 4, kde 3( 3k 4k) 

2 + a 3( 3k 2k) 

nedělitelné 3: 3 + 1∨ 

3k 

+ 2 

Důkaz sporem ( ( A B) ' ⇔ A ∧ B' 

Strana 3/70 

2 

k nebo 

2 + jsou dělitelná 3. 

⇒ ): 

+ a + b 

Např. ∀a, 

b ∈ R ; ≥ ab 

2 

+ a + b 

předpokládáme ∃a , b ∈ R ; < ab , po úpravách rovnice: ( a − b) 2 < 0, 

2 

protože x 2 nemůže být

2 2 2 2 

c) 1 + 2 + 3 + ... = n( n + 1)( 2n 

+ 1) 

1+ 

3 + 5 + .. + 2n −1 

= n 

d) ( ) 

2 

2) Dokažte, že pro každé n ∈ N 


1 

n Po16/45 

6 

je. 

a) číslo n 3 + 11n 

dělitelné šesti. Po17/50 

b) číslo 5 n −1je dělitelné čtyřmi 

1) 4 / 5 

1 − 1 

k 

2) Předpokládám: n = k : 4 / 5 −1 

k 1 

n = k + 1 : 4 / 5 − 1; 5 

Po18/52 

+ k + 1 

k 

k 

k 

Dokazuji: − 1 = 5 ⋅ 5 − 5 + 4 = 5 ⋅ ( 5 − 1) + 4 ; 4 / 4 ∧ 4 / 5 − 1 

3 

c) ∀ n ∈ N : 6 /( n + 5n) 

5 

d) ∀ n ∈ N : 5/( n + 4n) 

n 

e) ∀n 

∈ N : 3/(4 + 5) 

n+ 

1 

f) ∀n 

∈ N :16 /(9 − 8n 

− 9) 

Tak to je hutné! 

Kdo bude mít všechny, tomu 

pogratuluji. 

g) 

h) 

∀n 

∈ N : 1+ 

3 + 5 + ... + (2n 

+ 1) = ( n + 1) 

n 

∑ 

∀n 

∈ N : (2i 

−1) 

= n 

i= 

1 

2 

2 

i) 

∀n 

∈ N : 

1 n 

= 

1 (2i 

−1) 

⋅ (2i 

+ 1) 2 + 1 

n 

∑ 

i= n 

1⋅ 

2! 2 ⋅ 3! 3 ⋅ 4! n ⋅ ( n + 1)! ( n + 2)! 

j) ∀n 

∈ N : + + + ... + = − 2 

2 3 

n 

n 

2 2 2 2 2 

4. MNOŽINY A OPERACE S NIMI. 

2 

1) Jsou dány množiny reálných čísel A = { x ∈ R, 

x − 6x 

+ 5 > 0 }, 

B = { x ∈ R, 

x + 2 ≤ 3} 

Nalezněte: A ∩ B, A ∪ B, A-B, B-A 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

intervalů zapište množiny 

x − x ⎫ 

⎬ 

x + 7 ⎭ 

/ / 

A ∩ B, 

A ∪ B, 

A , B , A − B . 

2 

2) Jsou dány množiny A = x ∈ R; 

≤ 0 , B = { x ∈ R, 

x − 3 ≤ 2 ∨ x > 3} 

3) Jsou dány množiny 

2 

A = x ∈ R; 

x + 4 < 2 , B = x ∈ R; 

x + 2x 

− 8 ≥ 0 , C = x ∈ Z ; 2 / x ∧ x 

{ } { } { < 5} 

Pomocí intervalů zapište množiny 

R 

R 

/ 

A ∩ B, 

A ∪ B, 

A ∩ C, 

BR , B − A . 

Strana 4/70 

. Pomocí 

2 

4) Zapište výčtem prvků následující množiny: M = { x ∈ N; 

x 20 }, = { x ∈ Z ; x 5 } 

1 

< 

1 

M 

2 

M M 

1 

− M 

M . 

2 

= 

Zapište výsledek operací M 

1 

∩ M 

2 

, M ∪ 

2 

, M − 

1 

, 

2 

5) Jsou dány dvě množiny: M1 = { x ∈ N; 

x / 60 }, M 

2 

= { x ∈ N;7 

p x ≤ 10 }. Zapište 

výsledek operací M 

1 

∩ M 

2 

, M1 ∪ M 

2 

, M 

2 

− M1 

6) Najděte takové množiny, pro které platí: A ∪ B = { 0,1,2,3,4,5,6, 7 }, A ∩ B = { 1,2, 3 }, 

B − A = { 5, 6 } 



7) Jsou dány tři intervaly A = − 7; 2 , B = − 2;5) 

, C = 2;∞ 

). Zapište: A ∩ B , 

A ∩ C , B 

A ∪ , ( A ∩ B) ∪ C , ( A ∪ B) ∩ C , ,( A C) ∪ ( B ∩C) 

∩ , A − B 

8) Co nejjednodušším způsobem zapište množinu, která je sjednocením doplňku intervalu 

5 ;∞ v množině R, s intervalem 0 , 10 

( ) 

9) Výčtem prvků zapište množinu: = { x ∈ N; −5 

≤ x < 6} 

10) Jsou dány množiny B { x ∈ R; x p 6} 

A = B ∩C 

pomocí intervalu. 

A . 

= , C = { x ∈ R; x ≥ −3} 

. Zapište množinu 

2 

⎧ x − x ⎫ 

A = ⎨x 

∈ R; 

≤ 0⎬, 

B = { x ∈ R,0 

< x + 3 ≤ 3} 

5 

11) Jsou dány množiny ⎩ x + ⎭ 

. Pomocí intervalů 

/ 

zapište množiny 

A ∩ B, A ∪ B, 

B − A, 

BR 

. 

5. ČÍSELNÉ MNOŽINY, ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL 

Společný násobek a dělitel 

Nejmenší spol. násobek: n ( 12 ,28,42) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 

7 = 84 

, v prvočíselném rozkladu má každé 

prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině. 

Největší spol. dělitel: D ( 12 ,28,42) = 2, v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo. 

1) Určete největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek trojice čísel (pomocí 

rozkladu na prvočinitele): 

a) 86,129,215 

b) 178,356,534 

2) Racionální čísla daná periodickými rozvoji vyjádřete ve tvaru zlomků s celočíselnými 

čitateli i jmenovateli. 

a) 0 ,8, 0,45, 6, 03, 

3) Zjednodušte dané početní výrazy a pak vypočtěte pomocí kalkulátoru jejich přibližnou 

hodnotu: 

8 

, 

9 

41 

90 

199 

, 

33 

a) 

2 + 3 

3 + 2 + 

3 

− 

2 − 3 

3 − 2 + 

3 

Po74/17 

4) Usměrněte zlomek: 

a) 

5 − 

2 

3 + 

2 

Po73/14 

b) 

1+ 

5 

6 + 2 5 

(1) 

c) 

3 

3 

2 − 

3 

3 

5) Vypočtěte: 

Strana 5/70 



a) 

⎡( 3 

3) 

⎢⎣ 

3 

⎤ 

⎥⎦ 

−2 

3 

⎧1⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩9⎭ 

b) 

⎛ 

⎜ 

10 

⎝ 

1 

3 

⎛ 

⎜ 

25 

⎝ 

1 

4 

⋅8 

1 

− 

2 

⋅ 4 

1 

8 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

−3 

−2 

: 

2 

3 

2 ⋅ 

3 4 

4 

8 

8 4 

8 

c) 

3 3 −1 

a ⋅ b : 3 b 

2 ⋅ a 

3 6 

+ b : b = a, 

b ∈ R 

+ 

+ −1 

1 3 1− 

3 2 

d) a ⋅ a ⋅ ( a ) = 

3− 

2 

3+ 

2 

e) ( a ) = 

2 

2 1 

2 1 

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ 

f) ⎜ 3 3 ⎟ + ⎜ 3 3 ⎟ 

a + b 

a − b 

= 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 7 2 10 ⎞ 

g) ⎜ a b ⎟ ⎜ a a b a 

3 : 3 ⋅ 3 ⎟ = 

⎜ 

2 

⎟ ⎜ 

2 4 5 

⎟ 

⎝ 

b a 

⎠ ⎝ 

b b a b 

⎠ 

1 

2 

3 

a ⋅ a ⋅ a 

2 

3 −1 

h) : b ⋅ ( b ) 

⎛ 

⎜ 

b 

⎝ 

1 

− 

1 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

1 

4 

2 

−2 

[ ]= 

⎧ 5 21024 

6) Z množiny ⎨− 4 ,1; −2; 

; ;1,9; 

⎩ 3 36 

169; 16, 9 } vyberte všechna čísla. která patří do 

množiny: 

a) N 

b) Z 

c) Q 

7) Číslo 371,0235 zaokrouhlete: 

a) na tisíciny 

b) na čtyři platné číslice 

c) dále určete: 

d) řád číslice 1 

e) řád číslice 5 

f) řád daného čísla 

8) Určete bez tabulek nejmenší čtyřciferné prvočíslo. 

9) Zapište v základním tvaru číslo 

29952 

z = . 

52299 

Strana 6/70 



10) Prodejna má sjednaný podíl na zisku ve výši 15 procent z prodejní ceny výrobku, jež 

představuje 120 procent jeho výrobní ceny. Kolik procent z výrobní ceny činí zisk 

prodejny 

11) Vypočítejte výhodně, výsledek zapište ve tvaru 

a) 300 ⋅ 70 ⋅ 20000 

b) 

0,3 

2 

3600 

n 

a ⋅ 10 , kde a ∈ 1 ,10), 

n ∈ Z : 

12) Vypočítejte přesně, výsledek zapište jako zlomek v základním tvaru: 

a) 

1343 − 43⋅[ 26 − 6 ⋅ (7 − 8,1) ] 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

3 

5 

3 

14 

5⎤ 

6⎥ 

⎦ 

b) ( 6 − 3 ) ⋅ 5 ÷ [(21−1,25) 

÷ 2,5] 

13) Vypočtěte v oboru komplexních čísel: 4 81 { 3, 

− 3,3 i, 

−3i} 

6. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 

−2 

−4 

2 

x − x 1− 

x 

1) Upravte a určete podmínky: : = 

−2 

1 

x −1 

− 

2 −1 

x − x 

2) Za jistých podmínek nabývá výraz 

v( a, 

x) 

konstantní hodnoty. Určete hodnotu této 

2 

⎡( 1+ 

a ) − ( a − ax ) ⋅ ( a − x ) 

konstanty a příslušné podmínky. v ( a, 

x) 

= ⎢ 

3 

⎢ ( 1+ 

a ) − a a + 2 

3) Je dán výraz 

3 2 

x − 2x 

− x + 2 

v ( x) 

= 

. 

3 2 

x + 2x 

− x − 2 

a) Zjednodušte výraz v (x) 

. 

b) Určete hodnoty výrazu (x) 

⎣ 

1 

− 

v pro ∈ { −1,0, 2} 

c) Určete pro která x ∈ R platí v ( x) 

= 1. 

x . 

d) Určete pro která x ∈ R nabývá v (x) 

nabývá nekladných hodnot. 

1 platí pro všechna x ∈ R . Určete hodnoty 

parametrů a, b. 

2 

3 2 

4) Rovnost ( x + )( x − a) + 2 = x + 3x 

+ x + b 

5) Zjednodušte výraz a uveďte podmínky: 

−1 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

−3 

a) 

x + 2 xy + y 

: 

x + y 

x + y 

1 1 

+ 

x y 

4 2 2 4 

x + x y + y 

b) 

3 2 

2 3 

x + 2x 

y + 2xy 

+ y 

x 

2 

− xy + y 

x + y 

2 

,Po94/12 

Strana 7/70 



2 

⎛ x + xy x ⎞ ⎛ 1 

2xy 

c) ⎟ ⎞ 

⎜ 

+ 

⎟ : 

⎜ − 

2 2 3 2 2 

3 2 2 3 

⎝ x3 

+ x y + xy + y x + y ⎠ ⎝ x − y x − x y + xy − y ⎠ 

x ≠ 

2x 

y, 

x − y 

7. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE (ABSOLUTNÍ HODNOTA) 

1) Při jakých hodnotách koeficientů a,b,c má lineární rovnice ax + b = 0 s neznámou x má 

jedno řešení, žádné řešení, nekonečně mnoho řešení 

2) Řešte v R 

1 

a) ≤ 1 

1 

1+ 

1 

1+ 

x 

b) 0 < x − 3 < 5 

c) − x − 7 = 10 

d) 

2 3 ≤ 

x −1 

x 

2 

e) − 6x + 9 > 1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 ⎞ 

⎟ ∪ 

2 ⎠ 

( − ∞; 

−1) ∪ −1; 

− 0; 

∞) 

x ( − ∞, 

2) ∪ ( 4, 

∞) 

f) ( 5 3) = 5 − 3 

+ x 4 − 15 

g) 20( 1+ x ) = 2 5( x −1) 

{ } 

h) 

3 5 − x 

5 + = 

3x 

−12 

x − 4 

i) ( −1 ) 2 + 4x 

= ( x + 1 ) 2 

x R 

j) 2 x + 1 − 2x 

+ 1 = 2x 

x 

{ − 2,4} 

k) + x + 1 = x + 2 + 3 

l) 2 x −1 

+ x = 3x 

− 2 

1 ,∞) 

m) − 2 x + 1 + 3 x + 2 = 0 

x { − 2} 

{ } 

2x 

− 2 

n) < 1 

2 − x 

3 x − 2 

o) ≤ −1 

1+ 

x 

p) 

5 + 7x 

> 

x 

1 

2 

3) Řešte v množině N: 

x − 3 1 −1 

+ = 

x 

2 3 4 

⎛ 4 ⎞ 

⎜0 

, ⎟ ∪ 

⎝ 3 ⎠ 

( 2, ∞) 

1 

− , 

4 

⎛ 10 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎜− ∞, 

− ⎟ ∪ ⎜ − ,0⎟ 

∪ , 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

1 

4 

( 0 ∞) 

{ } 

Strana 8/70 



8. KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 

2 

1) Řešte v R: x + ( 2 3 + 1) x + 3 + 3 = 0 

{ − 3; 

− 3 −1} 

2) Určete dvojici čísel, jejichž součet je 200 a součin 9375. 

3) Určete všechny rovnice, které mají kořeny: + 2, 

− 2 

4) Určete všechny rovnice, které mají kořeny: 1+ 

3,1 − 3 

5) Řešte v R: 

a) 

y 4 4 

( − ∞; −2 

∪ ( 0; 6 

− ≤ 

3 y 3 

2 

− + x − 4 

b) < 0 

2 

2x 

+ 8x 

+ 8 

x R − { − 2} 

2 

( − ∞;0) ∪ ( 0;1 ) ∪ ( 3; 

∞) 

c) y − y 

2 > y 

1 

2 

2 

d) 1− 

x ≤ ( x + 1) 

2 

e) − 7x + 15 < 9 

{ } 

−1 ∪ 

x ( 1 ,6) 

x ⎜ 

⎛ 

⎞ 

− ∞, 

2 − ⎟ ∪ ( 5 + 3) , ∞⎟ ⎠ 

2 

f) − 2 ≤ 2x 

− 9x 

+ 9 

6) Řešte početně i graficky: 

2 

a) + 2x 

−1 

− x = 1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 ⎞ 

2 ⎟ 

⎠ 

x 

{ 0,1} 

2 

b) x + 2x 

−1 

≤ x + 1 

2 

7) V R2 řešte početně i graficky soustavu rovnic a nerovnic: 

y + x ≤ 1 ∧ x + y = 0 

8) Určete definiční obor výrazu: 12x 

2 − x −1 

1 

⎜ 

⎝ 2 

1 

; 

2 

3 

2 

9) Určete definiční obor výrazu: 

12x 

− 9 − 4x 

2 

10) Rozhodněte, pro která t ∈ R je zlomek 

11) Vhodnými substitucemi řešte rovnici: 

6t 

− t 2 − 8 

16 

nekladný. 

2 

⎛ 1 ⎞ 2 

a) 3⋅⎜ 

− −1 

= 0 

2 

⎟ 

2 

⎝ v ⎠ v 

x 

{ −1,2} 

b) 6 − 7x 

3 − 8 = 0 

9. ROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU 

1) Řešte v R: 

Strana 9/70 



a) x x − x + x = x 

b) 2 − 4 = 1− 

r + 5 

r { 20 } 

c) 4 − = u + 4 

u { } 

d) x 

2 − 4x 

+ 4 = 2 − x 

( − ∞; 2 

e) 

2 x = x 

8 5 4 3 

+ x 3 

{ 0 ,1} 

2 

f) 1+ 2x 

+ 8 = x + 1 

x { 0 ;2} 

g) 3x 5 = 3 − 2x 

− { 2 } 

h) 2 − 4 − x + 5 = 1 

x { 20 } 

i) −1 + x + 4 = 5 

x { 5 } 

j) − x = 2 − 2 − x 

2 

2 

2) Vhodnými substitucemi řešte nerovnici: + 5x 

+ 4 − 5 − 5 x + 5x 

+ 28 = 0 

⎧ 1 ⎫ 

⎨ − ⎬ 

⎩ 4 ⎭ 

x { − 9,4} 

10. NEROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU 

1) 5 − z < z + 3 

( 1; 5 

2) 4 z + 4 − 5 − 3z 

> 0 

3) x + 1 ≥ 5x 

+ 1 

⎛ 1 5 

⎜ ; 

⎝ 7 3 

1 

− ;0 

5 

4) v − 2 > 14 − v 

( 5; 14 

2 

5) x −1 

< x + 2 

6) 

x + 2 > 2x 

− 8 

2 

7) x + x − 6 < 4 − x 

8) x −1 

< x 

2 − 4 

9) x + 1 ≥ 5x 

+ 1 

10) v − 2 > 14 − v 

2 

11) x − 6x + 9 > 1 

12) 

x + 5 < 1 

1 − x 

Po218/4, 

⎧⎛ 

5 

⎨ 

) ⎬ ⎫ 

⎜⎝ − , −1 

, 1, 

∞ 

⎩ 4 ⎭ 

− 5, −1 

∪ , 

( 1 ∞) 

Strana 10/70 


13) 

2 − 

1− 

x + 2 

≤ 0 

x + 2 


2 

14) x − 5x 

+ 4 > x − 3 

Po218/3 

( Po218/4, −1, 2 

( − ∞,1 

∪ 5, 

∞ 

( ) 

15) 3 x −10 

> 6 − x 

( Po218/3f 4, 6 

16) 

x + 5 < 1 

1 − x 

11. SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC 

1) Určete všechna čísla 

2) Určete všechna čísla 

x, 

y ∈ R 

x, 

y ∈ R 

x + xy + y = 7 

tak, aby byla řešením dané soustavy: 

x − xy + y = 1 

x + 2 y = 10 

tak, aby byla řešením dané soustavy: 

2x 

− 3y 

= 6 

3) Řešte v 

a) 

4) Řešte v 

a) 

3 

R soustavy lineárních rovnic: 

x + y + z = 2 

2x 

− 3y 

− z = 0 

2 

R soustavy lineárních rovnic: 

x + y = 34 

x − 

y = 2 

⎧⎡2 

U ⎨ 

t∈R 

⎢ 

⎩⎣5 

1 

5 

( 3 − t) , ( 4 − 3t 

) 

⎤⎫ 

, t⎥⎬ 

⎦⎭ 

Po238/40 {[ 25 ;9]} 

b) 

c) 

x 

2 

+ y 

2 

+ xy = 21 

x + y − xy = 3 

x 

2 

3x 

+ y 

2 

2 

+ 3y 

+ x + y = 36 

2 

+ 4x 

+ 5y 

= 117 

Po238/40 {[ 1 ;4], 

[ 4;1 ]} 

Po237/38 {[ 5;2 ], 

[ − 1,8;5,4 ]} 

5) Řešte v 

2 

R soustavy rovnic (početně i graficky): 

2 

a) y + x ≤ 1∧ 

x + y = 0 

b) 

y > x 

6) Řešte v 

2 

x + y < 1 

3 

R , použijte efektivní metody: 

⎛ + 

⎜ 

⎝ 2 2 

−1 

− 5 −1 

5 

2 

[ x, 

y] , x ∈ ⎜ , ⎟, 

y ∈ ( x , 1 − x) 

2 3 

+ 

x + z x + y 

1 2 

− 

x + z y + z 

3 

+ 

x + y 

1 

y + z 

= 13 

= −16 

= 15 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Strana 11/70 


7) Řešte soustavu rovnic v R 3 : 

6 5 

+ = 2 

x + y y + 3z 

15 4 1 

− = 

x + y x − 2z 

2 

10 7 3 

− = − 

y + 3z 

x − 2z 

2 


8) Řešte soustavu rovnic: 

x + 3 ⋅ 

x + 3 + 

y + 5 = 9 

y + 5 = 6 

{[ 6 ,4]} 

x + y + pz = 1 

9) Řešte soustavu rovnic: x + py + z = 1 

px + y + z = 1 

. Proveďte diskusi vzhledem k parametru p. 

p = 1: 

{[ 1− 

y − z, 

y, 

z] 

, y, 

z ∈ R} 

⎧⎡ 

1 1 1 ⎤ ⎫ 

p ≠ 1: ⎨⎢ 

, , ⎥, 

p ∈ R⎬ 

⎩⎣2 

+ p 2 + p 2 + p⎦ 

⎭ 

12. LINEÁRNÍ ROVNICE A SOUSTAVY S PARAMETREM 

1) 

( m + 1) 

x − 6 ⎛ m 

= 3⋅ 

⎜1− 

x ⎝ 

2 

2) 2 p ( xp + 1) − ( p + 1) x = 2 

3) x + 5 − k = x − 2 

2 + ax 

4) = 2a 

, a – parametr 

a + x 

5) 

p 

2 

+ 

3 

1 

2 

− m ⎞ 

⎟ 

x ⎠ 

x − 5 

( x − 3) ( p − )( x + 1) p( x + 1)( x − 3) 

p 2 

6) = , p, 

q − reá ln é parametry 

x + 3p 

x + q 

2 

7) ( −1) ⋅ x = ( 2 p + 3)( p −1) 

8) 

= 

Po177/18 

Po177/19 

p Po177/20 

3x 

+ ay = 1 

x + 2y 

= 3 

9) Pro která reálná x je splněna nerovnice x − 3 < r 

, kde r je parametr 

10) Pro která reálná x je splněna nerovnice x + 5 ≤ r , kde r je parametr. 

r < 0 : 

r = 0 : 

r > 0 : 

{ } 

{ − 5} 

( − 5 − a, 

−5 

+ a) 

r ≤ 0 : 

r > 0 : 

{ } 

( 3 − a,3 

+ a) 

Strana 12/70 



11) Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y a reálným parametrem a 

a = 6 : { } 

3x 

+ ay = 1 

⎧⎛ 

2 − 3a 

8 ⎞⎫ 

x + 2y 

= 3 

a ≠ 6 : ⎨⎜ 

, ⎟⎬ 

⎩⎝ 

6 − a 6 − a ⎠⎭ 

12) Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y a reálným parametrem a 

x ay = 1 

a = −1: 

+ {( 1+ 

y, 

y) 

; y ∈ R} 

x − y = a 

2 

a ≠ −1: 

2 

{( 1− 

a + a ,1 − a) 

} 

13) V množině reálných čísel řešte rovnici p 2 x + p = x + p 2 s neznámou x a parametrem p. 

Pro které p má rovnice jediný kladný kořen 

2 

14) V R řešte rovnici x = m( x + 2) − 2 

m s parametrem m ∈ R 

m = 3 : K = 

{ 0,1} 

{ } 

m = 1: x = t, 

kde t ∈ R 

m ∉ 

: x = 

x + 4 px − 3 x + 3p 

15) Pro které hodnoty parametru p ∈ R jsou kořeny − = 

2 4 3 

o neznámé 

x ∈ R kladné 

⎛ 2 11⎞ 

p ∈ ⎜ , ⎟ 

⎝ 3 4 ⎠ 

2 

3 

13. KVADRATICKÉ ROVNICE S PARAMETREM 

1) Řešte rovnice s neznámou x a reálným parametrem p: 

⎧1⎫ 

p= 

0 : ⎨ ⎬ 

⎩4⎭ 

p 0 : 

p = 0 : R 

p < 0 : 

{ ± − p} 

a) 

2 

x − 4 p + x = 2 p 

b) 4x 2 + 4x 

− p + 2x 

= p 

2 

4) Je dána rovnice ax + ax + 5 = 0 s neznámou x a reálným parametrem a. 

a) Pro které hodnoty parametru a má tato rovnice dva různé reálné kořeny 

− ∞, 

0 ∪ 20, 

∞ 

( ) ( ) 

Strana 13/70 



b) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které má daná rovnice dva různé reálné 

⎧45 ⎫ 

kořeny, z nichž je jeden dvojnásobkem druhého. 

⎨ ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

5) Diskutujte počet řešení dané rovnice v R vzhledem k reálnému parametru a: 

2 2 

ax − x + 2ax 

+ 2x 

+ a − 2 = 0 

6) Řešte v oboru R rovnici s reálným parametrem m: 

( m −1) x 

2 − 2( m + 1) x + m − 2 = 0 

7) Stanovte, kdy rovnice z předchozí úlohy má dva různé kořeny 

a) oba kladné 

b) oba záporné 

c) jeden kladný a jeden záporný 

m 

m 

m 

m 

⎧ = 1: K = ⎨ − ⎬ 

⎩ 4⎭ 

⎛ 1⎞ 

∈⎜−∞, 

⎟: 

K= 

{} 

⎝ 5⎠ 

1 ⎧ 2⎫ 

= : K = ⎨ − ⎬ 

5 ⎩ 3⎭ 

⎛ ⎞ 

⎧m+ 

1± 

5 

∪⎜ 

⎟∪( 1, ∞) 

: K= 

⎨ 

−1 

⎝ 

1 

5,1 

⎠ 

1⎫ 

⎩ 

m 

m−1⎫ 

⎬ 

⎭ 

d) právě jeden kořen rovný nule Po185/24 

8) Při kterých hodnotách parametru p ∈ R má rovnice 

2 

( 2 p + 3) x − 2( 2 + 4) x + ( p − 2 = 0) 

p = 11: x = 0,6 

dvojnásobný reálná kořenPo187/30 

p = −2 : x = −2 

9) Při kterých hodnotách parametru m ∈ R má rovnice 9x 2 −18mx 

− 8m 

+ 16 = 0 jeden 

4 2 

m = 1: x1 

= , x2 

= 

3 3 

reálný kořen roven dvojnásobku druhého reálného kořene 

8 4 

m = −2 : x1 

= − , x2 

= − 

3 3 

2 

2 

10) Jaká je množina všech reálných čísel p, pro která má rovnice 4x 

+ 4 px + p − 4 = 0 

jeden kořen menší než –1 a druhý kořen větší než 2 

1 

14. ROVNICE – SLOVNÍ ÚLOHY, KARTÉZSKÝ SOUČIN 

1) V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Oxy znázorněte 

a) A ( x, 

y) 

2 2 

{ ∈ Z × R; 

x + y < 4 ∧ x + ≥ 1} 

{ x, y ∈ R × R;2x 

− y + 2 ≥ 0 ∧ x −1 

≤ 1∧ 

≥ 2} 

= y 

b) B ( ) 

c) ( , y) 

= y 

{ x ∈ R × R; 

x + x = y + y } 

2) Turista šel po trase dlouhé 45 km. Kdyby za každou hodinu urazil o 0,5 km méně, došel 

by do cíle o hodinu později. Jak dlouho šel a jakou rychlostí 

Strana 14/70 



3) Do 6 litrů vody o teplotě 15° C máme nalít teplejší vodu tak, aby výsledná teplota vody 

byla větší než 30° C a menší než 40° C 

a) Kolik litrů vody o teplotě 50°° C je třeba přilít ( 4 ,5;15) 

b) Jakou teplotu musí mít 10 l přilévané vody ( 39 ;55) 

15. FUNKCE – ZÁKLADNÍ POJMY, VLASTNOSTI 

1) Rozhodněte, které z daných fcí jsou sudé, popř liché. Tvrzení dokažte. 

a) y = x 

b) y = 2 

c) y = x 2 + 2 

d) 

1− 

y = log 

1+ 

e) y = tg x 

1 − x 

f) y = 

4 

x 

g) 

2 

4 

x 

y = x + 3 

x 

x 

2) Vyšetřete, zda jsou fce zdola a shora omezené ve svém definičním oboru: (dokažte) 

a) y = x 2 + 2 

b) 

1 

y = 

x 

2 + 

4 

c) y 2x 

− 3, D = ( − 2, 4 

= 

f 

2 

d) y = sin x 

e) y = − log x 

3) Jestliže následující fce mají maximum nebo minimum, potom určete ve kterém bodě a 

jeho hodnotu: 

a) 

2 

4x 

= x 

2 

+ 4 

y min : [ 0,0] 

b) y − log x 

= max: [ 1 ,0] 

4) Rozhodněte, které z následujících fcí jsou prosté ve svém definičním oboru: (dokažte) 

a) y = 2 x + 5 

b) y = x 2 + 9 

c) 

x 

y = 2 

d) y = x + 1 

5) Dokažte, že fce y = 2x 

−1je rostoucí v R. 

Strana 15/70 



16. FUNKCE LINEÁRNÍ ( S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) 

1) Určete reálné číslo b tak, aby pro lineární funkci h : y = −2x 

+ b 

platilo: ∀x 

∈ − 5;5 

je f ( x) 

∈ −15; 

25 

2) Načrtněte grafy funkcí, určete D f , H f , průsečíky s osami a vlastnosti funkcí: 

a) y = x + x 

b) y = x −1 + x + 2 

c) y = x −1 − x + 1 

d) y = x −1 −1 

−1 

e) 

y = x + 

2 

x 

3) Určete předpis lineární funkce f, pro niž platí 

5 

f 3 = −1, 

f −1 

= H 

f 

= − 

3 

a) () ( ) , ( 3, 5 

b) f ( 1 ) = −2, 

f ( 5) = 6 

17. FUNKCE LINEÁRNÍ LOMENÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) 

1) Určete koeficient k, pro fci 

f y = 

k 

x 

: , jestliže její graf prochází bodem [ − 3;6] 

2) Načrtněte grafy funkcí, určete D f , H f , průsečíky s osami a vlastnosti funkcí. 

a) 

x + 1 

y = x − 2 

1 

b) y = + 2 x 

c) 

x −1 

y = x + 1 

d) 

1 

y = + 1 x − 3 

e) 

3 x + 2 

y = 

x 

f) 

2 − x 

y = x + 1 

g) 

1 

y = 1 − 

x + 2 

h) 

7 − 3x 

y = x − 2 

Strana 16/70 



i) 

j) 

1 

y = 1 − 

1 

1 + 

x 

x + 1 

y = x − 2 

18. FUNKCE KVADRATICKÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) 

2 

1) Je dána fce g : y = x − 2x 

− 3. Funkční předpis kvadratické fce f určete tak, aby graf fce f 

byl souměrný s grafem fce g: 

a) podle osy x 

b) podle osy y 

c) podle počátku 

2) Funkční předpis kvadratické fce zapište rovnicí, víte-li, že graf fce prochází body: 

K 0; 

−3 , L 1;0 , M −1; 

−4 

[ ] [ ] [ ] 

3) Načrtněte grafy funkcí, určete D f , H f , průsečíky s osami a vlastnosti funkcí. 

a) y = x x − 2 + x 

− 2x 

b) y = x ⋅ x − 3 

c) 

2 

y = x + 2 x − 3 

d) 

2 

y = x − x + x − 2 

e) 

2 

y = 9 − x 

2 

+ 4 − x − 5 

f) 

2 

y = x − 5 x + 6 

g) y = x 

− 3 x 

19. FUNKCE MOCNINNÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) 

1) Řešte pomocí grafů mocninných fcí: 

a) 

b) 

c) 

− 

− 

5 

x < 

6 

x < 

x 

3 −2 

x ≤ x 

x 

3 

4 

4 − 

d) ( ) 

4 

− x 

= x 

2) Načrtněte graf funkce a popište její vlastnosti ( Hf, intervaly na nichž je fce klesající a 

rostoucí, průsečíky s osami, paritu - dokažte, omezenost, max, min) 

a) y = −( x +1) 3 

b) y = −x 

4 + 1 

− 

c) ( ) 3 

y = 2x + 2 

Strana 17/70 



d) y = ( x +1) 4 + 2 

1 

− 

2 

e) y = x 

− 

f) y = x −1 

(využijte fce inverzní) 

g) y = 2 − 1− 

x 

h) y = x 

3 + 3x 

2 + 3x 

+ 2 

3 2 

i) y = 2x 

− 6x 

+ 6x 

−1 

j) ( ) 3 

y = x −1 − 

k) y = x 

−3 + 2 

l) ( ) 5 

y = 2 − x − 3 

20. FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ 

1 

1) Vypočítejte x (odlogaritmujte): log 

1 

x = (log 

1 

a + 3log 

1 

b) 

− 2 + log 

1 

c , 

4 

2 

2 

Strana 18/70 

2 

2 

a , b, 

c ∈ R 

+ 

{ 4 ⋅ ab ⋅ c} 

4 3 

2) Pomocí grafů exponenciálních funkcí rozhodněte,který ze vztahů 0 < a < 1 nebo a > 1 

platí, víme-li, že platí: 

a) 

a 

> a 

−0.6 

−0.4 

1 1 

b) 

3 2 

a > 

a 

c) log 2,7 log 2, 8 

a 

> 

a 

3) Načrtněte grafy následujících funkcí a určete u každé definiční obor, obor hodnot, zda je 

prostá, paritu, intervaly monotónosti, omezenost,exrtémy. Vypočítejte souřadnice 

průsečíků grafů se souřadnicovými osami. Pokud existuje fce inverzní, určete její předpis, 

definiční obor a obor hodnot, načrtněte její graf. 

1−x 

⎛ 1 ⎞ 

a) f : y = ⎜ ⎟ −1 

⎝ 2 ⎠ 

b) f : y = log x 

c) f : y = log 

2 

( x − 2) 

d) y = ( x + 4) −1 

log 2 

x+ 

e) y = 0,5 

2 −1 

f) y = log (log x) 

x 

g) y = log x 

( x ) 

x 

x 



1 

y = log 

x 

h) x 

i) 

y = 0,5 

x+ 2 − 

x+ 2 

⎛ 1 ⎞ 

j) y = −⎜ 

⎟ + 4 

⎝ 2 ⎠ 

1 

+ určit inverzní fci 

k) 

y = 2 

x 

⎛ 1 ⎞ 

+ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

x 

l) y = 4 x − 2 

m) ( x + 2) −1 

log 2 

n) y = log 

2 

x − log 1 

x 

2 

2 

o) y = ĺog x − 4x 

4 

St88/19 

2 

+ 

p) = ( x + 3) −1 

y log 2 

St88/19 

21. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE 

Řešte rovnice s neznámou 

1) 3 

x + 3 

x−1 

= 108 

2 3 4 

2) log 

4 

x − = 8 

2 2 

log x 

log x − log x 

3) x + 10x 

= 11 

4 

x ∈ R 

27 

x 

4) 81 + = 12 

x 

81 

a 

3 

2 

4 

x 

x 

x 

−12a 

+ 27 = 0 ⇒ 81 = 9 ∨ 81 = 3 

4 

2 x 1 

= 3 ∨ 3 = 3 ⇒ x = 2 ∨ x = 4 

5) 

2 

x 

⋅ 3 

3x 

= 4 

x−1 

2x 

2x 

2x+ 1 2x 

6) 5 ( 5 − 5) = 3( 5 + 5 ) + 50 

7) 

x x 

7 ⋅ 6 − 2 ⋅ 4 = 6 ⋅ 

x − x 

− x 

8) x − x = ( 1 + x ) 

9 

x 

3 x ∈ { −1,2} 

3x 

3x 

9) 5 + 19 = 1+ 

5 − 4 

x = 1 

t + 1 t−1 

10) 4 ⋅3 

− 3 = 315 

4x 

2x 

11) 4 −17 

⋅ 4 + 16 = 0 

12) 3 2 x 

x 

−12 

⋅ 3 + 27 = 0 

x x+ 

13) 4 + 2 

1 = 24 

x x 

14) 8 ⋅ 4 − 9 ⋅ 2 + 1 = 0 

2u+ 1 2u+ 

1 u 

15) 3 + 2 − 5⋅ 

6 = 0 

Strana 19/70 



16) 3 

t− 56 

60 

− 7 ⋅ 3 

t − = 162 

17) 

2 ⋅ 

4 

x+ 

18) 8 1 = 0, 1 

= 4 ⋅ 

2 

3 3−5x 5−7 x 

x−1 

1− 

x 

19) 3 ⋅ 7 = 1 

20) 0,125⋅ 

4 

3 

21) 

5 

3 

x−6 

−2x 

= 

2 

2x−3 

log 27 

log3 

⎛ 0,25 

= ⎜ 

⎝ 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

− x 

22) log3 log 

4 

log5 

x = 0 

(625) 

23) log16 x + log 

4 

x + log 

2 

x = 7 

(16) 

1 

x Po198/15,{ 6 ,14} 

2 

24) log( + 6) − log( 2x 

− 3) = 2 − log 25 

2 

x − 5x 

+ 6 

2 

2 

25) log 

= log ( x −5x 

+ 6) − log ( x 1) 

26) 1+ 

logx 

5 2 

5 

5 

+ 

1+ 

x 

3 = 

10 

log x 

2 

3 3 

= 

3 

27) ( log x ) − log x + 2 0 

1 2 

28) + = 1 

5 − log x 1+ 

log x 

log x 

29) = −1 

log x + 1 

30) Určete všechna čísla x, y ∈ R tak, aby byla řešením soustavy: 

a) 

x 

x 

y+ 

1 

− y+ 

1 

= 27 

= 3 

−1 

22. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ NEROVNICE 

1) 

9 ⋅ 

⎛ log 2 

⎜ 

x 

+ x 

6 < 5 3 

⎜ ,1 ⎟ ⎝ log3 ⎠ 

⎞ 

x−1 

x 

2 

2) 2 + 1 < 3⋅ 

2 

1 1 

3) + ≥ 0 

log x 3 

x 

Po221/11( − 1 ;1) , sub : y = 2 

Po221/11 K = ( 1;1 ) 

4) 

4 

x 

= ⎛ log 2 ⎞ 

K 

∞ 

⎝ 2log 2 −1 

, 

⎠ 

2x 

x 

− 2 ⋅ 5 < 10 

Po221/11, ⎜ 

⎟ 

Strana 20/70 



x + 1 

5) −1 < log < 1 

2 

6) 

log 

1 

x + 1 < 1+ 

log 

1 

4 

3 

3 

− x 

2 

7) 

2 

x 

− 5 ⋅ 4 

x−2 

< 1− 

2 

x−1 

1+ 

x 

1 1 

⎛ ⎞ −x 

8) ⎜ ⎟ > 243 

⎝ 3⎠ 

x x ∈ ( − ∞;2 ) 

x 

9) 4 − 3⋅ 

2 < 4 

⎛ 1 ⎞ 

10) ⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

2x+ 

3 

11) log 5 

x ≤ 4 

⎛ 1 ⎞ 

≤ ⎜ ⎟ 

⎝ 8 ⎠ 

x+ 

2 

12) log ( x − 3) + log( 2x 

−1) < 0 

13) log ( x + 1) > log( 5 − x) 

log 2 x + 3log x + 3 

14) < 1 

log x −1 

15) log x 2 

1 

≥ 

3 

x − 2 

16) log < 0 

x + 3 

+ 

R 0 

(0,10) 

( 2 ,∞) 

17) log( x + 2) < −log( 2x 

− 6) 

Po222/13,sub: y = log x, ( 3,8) 

23. DEFINIČNÍ OBOR SLOŽENÉ FUNKCE 

18) Určete definiční obor funkce: 

a) y = 

1+ 

1 − 

x 

x 

b) y = log( 3 − tgx ) 

c) y = 

1 + 

1 − 

tgx 

tgx 

d) y = ln sin x 

e) 

f) 

y = 

y = 3 

log(2 − x) 

− 2x 

2 − 5 

2 

x −4 

2 

g) y = x − 5 + log(1 − 3x) 

x 

h) y = ln( 2 −15) 

Strana 21/70 


i) y = 

5x 

3 


2 

− 7x 

2 

−12x 

j) y = ln( 1 − ln x) 

( 0 ;e) 

k) 

1 

y = 

( 3;4) U ( 4;∞) 

log( x − 3) 

l) 

x 

y = 5 

24. INVERZNÍ FUNKCE 

Inverzní fce k prosté fci f je fce f -1 , pro kterou platí: 

a) D −1 = H 

f 

f 

b) Ke každému y ∈ D −1 

je přiřazeno právě to x ∈ D 

f 

, pro které 

−1 

je f ( x) 

= y ⇔ f ( y) 

= x 

f 

1) Určete definiční obor dané funkce a pomocí funkce k ní inverzní nalezněte také obor 

x − 2 

hodnot. y = log 

x + 1 

2) Je dána funkce y = 1 − x + 3 

a) Určete její definiční obor a obor hodnot 

b) Nalezněte funkci k ní inverzní 

c) Načrtněte do jednoho obrázku grafy obou funkcí. 

3) K funkci f určete funkci inverzní a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: 

2 

a) y = x − 6x 

+ 5 

Pe33/90 

b) 

f : y = 1 − 4 

x+ 

2 

c) f : y = 2 − log ( x 1) 

1 

+ 

3 

d) y = 2 + log ( x 1) 

e) y = 2 x−1 

− 4 

1 

+ 

2 

f) 

f 

: y = 3 − x 

2 

g) f : y = 2 − 1 − x 

h) 

i) 

1− x 

y = 1 + x 

3 

y = x 

y = 

3 

y = − 

x, 

x ∈ 

3 

x , x ∈ 

1− x 

y = 1 + x 

0; ∞ 

) 

( − ∞,0) 

4) Jsou dány tři funkce f ( x) 

= x −1, 

g( 

x) 

= x, 

h( 

x) 

= x + 3 . Vytvořte složenou funkci 

h(g(f(x))) a určete její definiční obor. 

Strana 22/70 


25. FUNKCE GONIOMETRICKÉ 


1) Načrtněte grafy následujících funkcí a určete u každé definiční obor, obor hodnot, zda je 

prostá, paritu, periodu, intervaly monotónosti, omezenost,extrémy. Vypočítejte souřadnice 

průsečíků grafů se souřadnicovými osami. 

a) y = sin x + sin x 

b) 

sin x − sin x 

cos x − cos x 

c) y = tg( −2x) 

d) y = − 

1 cos( x − 

π ) 

2 4 

⎛ x π ⎞ 

e) y = 3sin⎜ 

+ ⎟ 

⎝ 2 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

f) y = cot g⎜ 

x − ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

g) y = 1− cos x 

h) y = sin x + cos x x ∈ − 2π , 2π 

i) y = sin x + cos x , x ∈ − 2π , 2π 

j) y = tg2 x + 2 

k) y = tgx ⋅ cot gx , x ∈ 0, π 

⎛ π ⎞ 

l) y = 2sin⎜ 

x + ⎟ −1, 

x ∈ − π , π 

⎝ 2 ⎠ 

26. GONIOMETRICKÉ VZORCE 

1) Dokažte a určete pro která x ∈ R má daný výraz smysl: 

a) 

sin( x + y) 

⋅ sin( x − y) 

= sin 

2 

x − sin 

2 

2 

b) cos( x + y) 

⋅ cos( x − y) 

= cos x + cos y −1 

2 

y 

c) cos x + sin x = 

⎛ π ⎞ 

2 cos⎜ 

− x⎟ ⎝ 4 ⎠ 

2) Určete definiční obor daného výrazu a potom ho zjednodušte 

a) 

2 

4 

sin x − sin x 

= 

2 

4 

cos x − cos x 

b) 

cos x cos x 

+ = 

1− 

sin x 1+ 

sin x 

{} 1, x∈R−U 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2 

cos 

k∈Z 

⎧ π 

⎨k 

⎩ 2⎭ ⎬⎫ 

⎫ π 

⎬, 

x ≠ + kπ 

x⎭ 

2 

Strana 23/70 



tgx 

c) = 

2 

1+ tg x 

π 

2 

{ sin x ⋅ cos x} , x ≠ + kπ 

1 + sin 2x 

d) = 

cos2x 

4 

4 

cos x − sin x 

e) = 

cos2x 

3 

sin − sin x 

f) = 

3 

cos − cos x 

g) 

sin x + sin 2x 

cos3x 

− cos x 

: 

1+ 

cos x + cos2x 

sin 3x 

+ sin x 

3) Určete, pro která x jsou definovány následující rovnost a pak je dokažte: 

1 

2 

a) = 1+ 

cot g x 

2 

sin x 

1 

b) − sin x ⋅tgx 

= cos x 

cos x 

2 

1− 

tg x 

c) = cos2x 

2 

1+ 

tg x 

sin 2x 

− cos x 

d) = cot gx 

1− 

cos2x 

− sin x 

4) Dokažte: 

⎛ 2π 

⎞ ⎛ 5π 

⎞ 

a) cos ⎜ x + ⎟ + cos⎜ 

x + ⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

b) sin( x + π ) + sin( x − π ) = −2 

sin x 

cos x + sin x π π 

, x ≠ + k 

cos x − sin x 4 2 

π π 

1, x ≠ + k 

4 2 

⎧ kπ 

⎨cot 

gx, 

x ≠ 

⎩ 2 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

Po161/48 

3 

c) sin 3x 

= 3sin x − 4sin x 

2 x 

d) 1 − 2sin = cos x 

2 

cos2x 

⎛ π ⎞ 

e) = tg⎜ 

− x⎟ 1 + sin 2x 

⎝ 4 ⎠ 

Po162/59 

27. GONIOMETRICKÉ ROVNICE 

Řešte v R rovnice: 

1) tgx = cot gx 

2 

2 

2) sin x + sin 2x 

= 1 

3) 

cos 2x 

− 2cos x = 

1 

2 

Strana 24/70 


2 

2 


= 1 

2 

2 

5) sin x − 6cos x + sin x ⋅ cos x = 1 

4 

4 

6) sin x − cos x = −1 


Strana 25/70 

U{ arctg2 

+ kπ; 

−arctg3 

+ kπ} 

k∈Z 

U{ kπ 

} 

⎧ 2π 

4π 

⎨kπ 

, + 2kπ 

, + 2kπ 


= 0 

⎩ 3 3 ⎭ ⎬⎫ 

1 

sin x ⋅ cos x = 

8) 2 

k∈Z 

⎧ π ⎫ 

⎨ + k π ⎬ 

⎩ 4 ⎭ 

⎧ π 5π 

⎨kπ 

, + 2kπ 

, + 2kπ 

9) sin x + cos2x 

= 1 

⎩ 6 6 ⎭ ⎬⎫ 

⎧ π π 

6 

10) x 6 

sin − cos x = cos 2 

⎨ + k 

x 

⎩ ⎭ ⎬⎫ 4 2 

11) 

sin 2x 

⋅ cos2x 

= 0,5 

x x 

cos − sin = 0 

12) 4 2 

⎧ π kπ 

⎨ + 

⎩ ⎭ ⎬⎫ 8 2 

⎧ 2π 

10π 

⎫ 

⎨2π 

+ 4kπ, 

+ 8kπ, 

+ 8kπ 

⎬ 

⎩ 3 3 ⎭ 

⎧kπ 

π π 

⎨ , + k , 

13) − sin 2x = sin10x 

⎩ 6 8 4 ⎭ ⎬⎫ 

⎛ π ⎞ 

π 

sin⎜ 

x − ⎟ = sin x − sin 

14) ⎝ 6 ⎠ 

6 

15) 

1 

= sin x + cos x 

sin x 

⎫ 

⎨ 

⎧ π + 2k 

π , 2 k ⎬ 

⎩ 6 ⎭ 

⎧π 

π ⎫ 

⎨ + kπ 

, + kπ 

⎬ 

⎩ 2 4 ⎭ 

π π 

k π , + k 

16) sin 2x = tgx 

4 2 

17) 

sin 

2 

x − cos 

2 

x = 0,5 

⎧π 

2π 

⎨ + kπ 

, + kπ 

⎩ 3 3 ⎭ ⎬⎫ 

⎧π 

π π 3π 

⎨ + k , + kπ 

, + kπ 

18) sin 4x = 2 cos2x 

⎩ 4 2 8 8 ⎭ ⎬⎫ 

3 

3 1 

19) sin x + cos x = 1− 

sin x 

2 

x 

20) 2 + cos x = 2tg 

2 

21) 2sin 

2 x = 2 sin x 

⎧ π ⎫ 

⎨ + 2k π , 2k π ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

⎧π 

⎫ 

⎨ + kπ 

⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

⎧ π 3π 

⎫ 

⎨kπ 

, + 2kπ 

, + 2kπ 

⎬ 

⎩ 4 4 ⎭ 

kπ 

π 5π 

22) sin 3x 

= sin 2x 

− sin x 

, + 2kπ 

, + 2kπ 

2 3 3 



Složitější goniometrická rovnice: sin 3x 

− sin( 90° − 2x) 

28. GONIOMETRICKÉ NEROVNICE 

Řešte v R nerovnici: 

1) sin x + sin x ≥ 0 

2) sin x ⋅ cos x > 0 

2 

3) cot g x < 1¨ 

4) sin 2x ≤ sin x 

5) cos 2x 

+ sin x < 1 

6) sin 2x ≤ sin x 

7) 2sin 

2 x + 3 > 7sin 

x 

sin 3x 

= cos 2x 

= 0 

3x 

+ 90° − 2x 

3x 

− 90° + 2x 

2⋅ 

cos 

⋅sin 

= 0 

2 

2 

π 

π 

x + 

2 

5x 

− 

2 

cos = 0 ∨ sin = 0 

2 

2 

π 

π 

x + 

5x 

− 

2 π 

2 

= 

2 

+ kπ 

= kπ 

2 

2 

π 

π 

x = + 2kπ 

x = + 

2 

⎛ 7π 

⎜ − 

⎝ 6 

⎛ π 5π 

⎜ , 

⎝ 6 6 

π 

; π 

3 

10 

⎞ 

⎟ ∪ 

⎠ 

∪ 

2 

5 

kπ 

( π ,2π 

) 

5π 

;2π 

3 

π 

+ 2kπ 

, + 2kπ 

6 

⎧⎛ 

π ⎞ ⎛ 5π 

⎞ 

U ⎨⎜ 

2kπ 

, + 2kπ 

⎟ ∪ ⎜ + 2kπ 

, π + 2kπ 

⎟ 

8) sin x + cos2x 

> 1 

⎩⎝ 

⎠ ⎝ 

⎠ ⎭ ⎬⎫ 

k∈Z 

6 

6 

9) 

cos x ≤ 

1 

cos 

2 

10) cot g x < 1 

1 

11) sin x ≥ − 

2 

x 

U 

k∈Z 

⎧⎛ 

π π ⎞ 

⎨⎜− 

+ 2kπ 

, + 2kπ 

⎟ ∪ 

⎩⎝ 

2 2 ⎠ 

{ π + 2kπ} ⎬ ⎫ 

⎭ 

2 

2 

12) 5sin x + sin 2x 

> 4cos2x 

Po225/22 

13) 2sin 

2 

⎛ π 5 ⎞ 

x > 3cos 

x 

⎜ + 2kπ 

, 

π + 2kπ 

⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ 

14) sin 

2 

2 

+ 2sin x cos x + cos x > 

1 

2 

⎛ π 

⎜ − + kπ 

, 

⎝ 12 

7 

12 

π + kπ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Strana 26/70 



29. TRIGONOMETRIE – ŘEŠENÍ TROJÚHELNÍKA 

1) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká v = 30 m. Křižovatku silnic v údolí vidíme 

z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech α = 32 ° 50′ 

, β = 30 ° 10′ 

. Jak vysoko 

je vrchol hory nad křižovatkou 

2) V lichoběžníku ABCD (AB CD) je AB = 73,6mm, BC =57mm, CD =60mm, 

DA =58,6mm. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů. 

3) Dálkoměrem byly po osmi sekundách změřeny vzdálenosti pozorovatele od přímočaře 

rovnoměrně letícího letadla l 1 = 2,6km, l 2 = 3,2km, l 3 = 4,2km. Vypočítejte rychlost letadla. 

4) Vypočítejte šířku řeky, jestliže na jednom břehu byla vyznačena úsečka KL délky 40m a 

dále byly změřeny úhly LKS = 76 ° 24′ 

a KLS = 43 ° 52′ 

, kde bod S je bod na druhém 

břehu řeky. 

Strana 27/70 

Pe50/91 

5) V lichoběžníku ABCD znáte délky stran AB = 30cm, BC = 15cm, CD = 20cm, AD = 

12cm. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů. 

6) Řešte početně pravoúhlý trojúhelník ABC, je-li délka přepony c = 26 ,71cm, 

β = 40° 

32' 

7) V trojúhelníku ABC znáte : a = 5, b = 4cm, v a = 2cm. Vypočítejte obsah trojúhelníku 

ABC a výšku v b . 

8) Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD , znáte-li délky stran AB = 8cm, BC = 6cm, 

CD = 2cm, AD = 6cm. 

9) Vypočítejte poloměr kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku ABC, je-li délka přepony 

c = 5cm a délka odvěsny a = 3cm. 

10) Vypočítejte poloměr kružnice vepsané pravoúhlému trojúhelníku ABC, je-li pravý úhel u 

vrcholu C, c = 10cm, b = 8cm. 

11) Tři síly F 1 = 10N, F 2 = 20N, F 3 = 27N působí na těleso v jednom bodě v téže rovině a jsou 

v rovnováze. Vypočítejte úhly, které svírají jednotlivé úhly navzájem. 

12) Vypočítejte velikost úhlů pravoúhlého trojúhelníka s přeponou c, jestliže platí: 

2 3 b − a = c 

13) Vypočítejte velikosti stran a úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: S = 131 m 2 , (S – obsah), 

β = 37°35´ , c = 31,7 m. 

14) Řešte početně trojúhelník je-li dáno: 

γ 

a) b = 3cm, 

c = 4,8 cm, 

β = 30° 

Po224/72 

γ 

= 53° 

8', α = 96° 

52', a = 5,96cm 

= 126° 

52', α = 23° 

8', a = 2,36cm 

b) tc = 5 cm, 

va 

= 4cm, 

vb 

= 6cm 

Po225/73 λ = 60 ° 27', a = 6,9cm, 

b = 4,6cm, 

c = 6,12cm, 

α = 78° 

43', β = 40° 

50' 

30. PLANIMETRIE – GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINĚ 

1) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 10 cm. Určete jejich 

vzdálenost. 

2) Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru 12 cm, je 39 cm. Vypočítejte její 

obsah. 



3) V pravidelném n-úhelníku je velikost vnitřního α = 108° 

a poloměr kružnice 

vepsanéθ 

= 5cm 

. Určete, o jaký mnohoúhelník se jedná a vypočítejte jeho obsah. 

4) Který konvexní n úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran. 

5) Na ciferníku hodin vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 11, 8, 4. 

Vypočítejte jeho vnitřní úhly. 

6) Z kruhové výseče vznikne kruhová úseč. Kolik %materiálu odpadne, je-li poloměr kruhu 

15 cm a středový úhel výseče i úseče α = 60° 

. 

7) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je dána odvěsna a = 4cm 

a těžnice t a 

= 6cm 

. 

Vypočítejte těžnici t b 

. 2 6 

8) V lichoběžníku ABCD, jehož základny mají délky a, c je průsečíkem M úhlopříček 

2ac 

vedena příčka EF rovnoběžná se základnami. Určete její délku. Po241/148, 

a + c 

9) Do kružnice je vepsán trojúhelník ABC, jehož vrcholy dělí danou kružnici na tři 

kružnicové oblouky, jejichž délky jsou v poměru 2:3:7. Vypočítejte velikost vnitřních 

úhlů v trojúhelníku ABC. 30°,45°, 105° 

10) Je dána kružnice k( S r 8cm) 

, = a bod M takový, že MS = 10cm 

. 

a) Užitím mocnosti bodu M ke kružnici k určete její sečnu p procházející bodem M a 

vytínající na ní tětivu AB tak, že platí MB : MA = 4 

b) Pro kterou sečnu p je poměr MB : MA největší 

11) Pravidelný n=úhelník má 54 úhlopříček a poloměr kružnice jemu opsané je 14 cm. 

Vypočítejte jeho obvod a obsah. 

uč87/1.171 o = 86,96, 

S = 588cm 

31. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 1 (MNOŽINY VŠECH BODŮ DANÉ 

VLASTNOSTI.) 

1) Je dána úsečka BC ( BC = 5cm) 

. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí 

vb = 4,5 cm, tc = 5,5 cm. 

2) Kružnice k ( O 5cm) , k ( O ;3cm), 

O O 4cm 

1 1; 2 2 

1 2 

= se protínají ve dvou bodech. Označte C 

jeden z těchto průsečíků. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou 

AB tak, aby platilo A ∈ k1 ∧ B ∈ k 

2 

∧ ∠ACB 

= 120° 

. Uveďte rozbor, postup, konstrukci a 

diskusi. 

3) Sestrojte množinu všech bodů pod nimiž je vidět úsečku AB ( ⎟AB⎟= 4 cm) pod úhlem 

49°. Množinu zapište symbolicky. 

4) Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky a prochází dvěma body, které leží uvnitř 

téže poloroviny vyťaté danou přímkou. 

5) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod o = 12 cm, a úhly α = 60° 

, β = 45° 

. 

6) Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky a prochází dvěma body, které leží uvnitř 

téže poloroviny vyťaté danou přímkou. 

7) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestli-že a : b : c = 7 : 3 : 5, vc = 4cm 

( 

2 

Strana 28/70 



32. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 2- ZÁKLADNÍ GEOMETICKÉ 

KONSTRUKCE 

1) Sestroj trojúhelník ABC: c=8 cm, vc=1,5 cm, γ=120 ° 

2) Sestroj trojúhelník ABC: c=3,5 cm , vc= 3 cm, ta=2 cm 

3) Sestroj trojúhelník ABC: tc=4 cm, ta=6 cm, vc=3,5 cm 

4) Sestroj trojúhelník ABC: γ = 75 ° , v a 

= 3,5cm, 

r = 2, 5cm 

, r=poloměr opsané kružnice 

5) Sestroj trojúhelník ABC: a = 5cm, 

α = 45° 

, ρ = 1,5cm, 

poloměr vepsané kružnice 

6) Je dána úsečka |AB|=5 cm. Sestroj všechny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nichž je 

|AC|=e=8 cm , β=120° a ε=105° (úhel AEB= ε ) .E je průsečík úhlopříček. 

7) Jsou dány kružnice k1(O1,5 cm), k2(O2,2 cm), Sestroj všechny kružnice o poloměru 1 

cm, které se dotýkají těchto dvou kružnic.|O1O2 |=6 cm 

8) Je dána úsečka |CS1| =3 cm.Sestroj všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS1 

těžnicí tc a pro které dále platí: α=30°, β=45° 

9) Sestroj všechny trojúhelníky ABC znáte-li b + c=10 , α°β° 

10) Sestrojte úsečky, které při zvolené jednotkové úsečce mají délky 

a) 10 , 13, 15, 35 

11) Jsou dány tři úsečky o velikostech a,b,c. Sestrojte úsečku: 

a) x = a 3 

b) 

c) 

a 

x = 

x = 

a 

2 

a + bc 

b 

2 

− b 

2 

12) K danému pravoúhlému trojúhelníku o odvěsnách a,b sestrojte rovnostranný trojúhelník o 

straně x, který má stejný obsah. 

13) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dán jejich obvod o = 12cm 

a úhly 

α = 60° 

, β = 45° 

14) Jsou dány dvě soustředné kružnice l ( O 1cm) , l ( O, 

4cm) 

1 

, 

2 

a bod A ( OA 3cm ) 

všechny kružnice, které se dotýkají kružnic l ,l 1 2 

a procházejí bodem A. 

= . Sestrojte 

15) Je dána úsečka BC ( BC = 5cm) 

. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí 

v b = 4,5 cm, t c = 5,5 cm 

16) Sestrojte kosodélník ABCD, pro který platí: AC = e = 5 cm, 

BD = f = 3, va = 2, 5cm 

17) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c, t b 

, r( 

poloměrkruřniceopsané) 

Po251/22 

18) Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB, je-li dáno: 

c, θ − poloměr kružnice vepsané 

Po251/23 

33. SHODNÁ ZOBRAZENÍ 

1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která rovnoběžky protíná. Sestrojte 

kružnici, která se dotýká všech přímek. ( Které zobrazení lze použít 

Strana 29/70 



2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte 

kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a, b. 

3) Kružnice k 

1( O1 

, r1 

), k2 

( O2, 

r2 

) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. 

Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A,C ležely po řadě na kružnicích k , k 1 2 

a úhlopříčka BD ( BD = 5cm) 

na přímce p. 

4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a:b = 4:5, v c = 3 cm, γ = 60°. (V rozboru uveďte, 

jaké jste použili zobrazení.) 

5) Do daného rovnoběžníku KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby 

A ∈ KL, 

B ∈ LM , C ∈ MN, 

D ∈ KN 

6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a + b, 

c, 

va 

263/38 

7) Do daného čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník KLM tak, že jeho vrchol 

k bude ležet v daném bodě na straně AB daného čtverce K ∈ AB a vrcholy m,n budou na 

dalších stranách čtverce 

Po267/57, otočení 

8) Jsou dány dvě různoběžky p,q a úsečka MN. Sestrojte takový čtverec ABCD, že platí 

A ∈ p, B ∈ q, 

AB // MN, 

AB = MN 

Po268/65.posunutí 

9) Sestroj všechny trojúhelníky ABC, znáš-li: a+ b+ c =10, v c =3, γ =60° 

10) Je dána kružnice k(O,4 cm) a bod A. Sestroj všechny tětivy XY kružnice k, které mají 

délku 6 cm a pro které platí, že přímka XY prochází daným bodem A. |OA |=3 cm 

11) Je dány úsečka CS 1 , |CS 1 | =3. Sestroj všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS 1 

těžnicí t c a pro které dále platí: b= 8 cm, β =30° 

12) Jsou dány dvě různoběžky p, q a kružnice k. Sestroj úsečku XY tak,aby platilo: X∈p, Y ∈ 

q a úsečka XY je kolmá na přímku q a střed úsečky XY leží na přímce q. Zvolte postupně 

vzájemnou polohu kružnice a přímek tak, aby úloha měla 2, resp. 1, resp. 0 řešení. 

13) Jsou dány dvě různoběžky p,q a bod M( M∉p,M∉q), Sestroj úsečku XY tak, aby platilo: 

X ∈p,Y∈q a bod M je střed úsečky XY. 

14) Je dána úsečka OP, |OP| =4 cm. Sestroj kružnici k(O,2,5 cm) a přímku p, p ⊥ OP∧ P ∈ p. 

Dále sestroj jeden bod M, pro který platí |OM| =3 cm a |POM | =30°. Sestroj všechny 

čtverce ABCD tak,aby platilo A∈k ∧C ∈ p∧ M=S, kde S je střed čtverce ABCD. 

15) Je dána přímka p, kružnice k a bod M. vzájemnou polohu p, k, M volte stejně jako v úloze 

9. Sestroj všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak,aby platilo C∈ k∧ B∈p ∧ A=M 

16) Sestroj všechny trojúhelníky ABC, znáš-li: a+ b +c=12 cm , α = 45°,β =75 ° 

34. PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 

1) Najdi středy stejnolehlostí úseček, kružnic. 

2) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestli-že a : b : c = 7 : 3 : 5, vc = 4cm 

3) Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M ( M ∉ a, 

M ∉ b) 

prochází bodem M a dotýká se přímek a, b. 

4) .Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: 

a) b=4 : 5,γ=60°, v c =3 cm. 

b) α = 45 ° , β = 60° 

,t c 

= 3cm 

Strana 30/70 

PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz 

. Sestrojte kružnici, která


c) a : b : c = 3 : 5 : 6, vc = 4cm 

5) Do trojúhelníku ABC (a=5 cm, b=6 cm, c=7 cm) vepište čtverec KLMN tak, aby platilo 

KL ⊂ AB ∧ M ∈ BC ∧ N ∈ AC 

35. POLOHOVÉ VLASTNOST PŘÍMEK A ROVIN, ŘEZY 

1) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a. Označte po řadě K, L, M středy hran 

AB,BC,CG. Sestrojte řez krychle rovinou KLM a vypočítejte obsah řezu. 

1) Je dána krychle ABCDEFGH, body X, Y, Z jsou po řadě středy hran FB, FE, FG. Určete 

vzájemnou polohu přímek: 

a) XY, EZ mimoběžky 

b) YZ, EH různoběžky 

c) XZ, AH rovnoběžky 

2) Je dána krychle ABCDEFGH; body K, L, M, N jsou po řadě středy stěn ABCD, BCFG, 

EFGH, ADHE. Jaká je vzájemná poloha 

a) Přímky KL a roviny CDH 

b) Přímky LN a roviny ABG 

c) Přímky LM a roviny BCE 

d) Přímky KN a roviny EFG 

3) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou BPQ, bod P je bodem 

hrany AV a bod Q hrany CV tak, AP : PV = VQ : QC = 2 : 1 

4) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou: 

S , S , S 

a) 

AB AD CG 

S , S , S 

b) 

AB BF HG 

. 

c) KLM, M – střed hrany HG, L – střed hrany EF, K – střed hrany BC 

d) XYZ, X – střed hrany CG, Y – střed hrany AD, Z – střed hrany AB 

e) XYZ, X – střed hrany HG, Y – střed hrany EH, 

Strana 31/70 

Z ∈ AB, AZ : ZB = 2 :1 

5) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou S Dv 

, R, 

T , kde 

R∈ 

AB ∧ 

AR = 2 BR 

T ∈CV 

∧ VT = 3CT 

6) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem 

3 

P ∈ DH ∧ DP = DH , B = S QF 

krychle. 

2 

7) Je dán čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MB a roviny ACV, 

M - střed hrany DV 

8) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečnici rovin: 

S , S , D a V, 

S , S 

a) 

AV BV 

AB CD 

b) ACV a SADSBCV 



c) ACV a BDSCV 

d) ABSCV a CDSBV 

9) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečnici rovin: 

a) BGE a HDS, S – střed hrany BC 

b) BFH a EGS, S – střed hrany BC 

c) ACG a AFH 

d) BCG a AEO, O – střed hrany CD 

e) ACF a CGS, S – střed hrany AB 

10) Je dán pravoúhlý čtyřboký jehlan ABCDV, a = 4 cm, v = 6 cm. Určete průsečnici rovin 

BCV a ADV. 

11) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průnik přímky MN 

3 

s jehlanem. M ∈ BA, AM = AB , N - střed výšky 

2 

12) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MN a roviny DBV, 

M – střed hrany AV, N – střed hrany CV. 

13) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek EC, AS GH. 

(Pe 90 / 1d) 

14) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny AG, 

BHS AB . 

(Pe 90/2d) 

15) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin ADE, BCS EF , S AF , 

S CG, S BF . 

(Pe 90/4c) 

16) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Vyšetřete vzájemnou polohu dvou rovin 

BVS AD , DS BC S CV . 

(Pe 90/5c) 

17) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou S AD , S BF , S GH . (Pe 91/7d) 

18) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou RST, 

R ∈ AB ∧ AR = 2 BR 

S ∈CV 

∧ VS = 3CS 

T 

= 

S AV 

(Pe 91/8c) 

19) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečnici rovin ACF, CGS AB . (Pe 91/9f) 

20) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky VS AC s rovinou 

AS BC S CV . 

(Pe 91/12c) 

21) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem krychle. 

P ∈a CB, CP = 1,5 BC , Q ∈a 

EH, 

EQ = 1, 5 EH . Pe 92/13c) 

22) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem 

jehlanu. P = S 

AV 

, Q ∈a DC ∧ DQ = 1, 5 DC . (Pe 92/14c) 


32


36. METRICKÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN 

1) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu délky a a boční hranu délky 

2a. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed strany CV a odchylku roviny podstavy a 

boční stěny 

2) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4. Vypočítejte vzdálenost mimoběžných přímek AC a 

BH. 

( Pe 93/22c) 

3) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4. Vypočítejte vzdálenost bodu F od roviny BEG. 

( Pe 93/24b) 

4) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm 

,v = 6 cm.Vypočítejte vzdálenost 

bodu S AV od roviny BCV. 

( Pe 93/25b) 

5) Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD, AB = 4cm 

.Vypočítejte vzdálenost bodu S BD od roviny 

ABC. 

( Pe 93/26c) 

6) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku přímek DE a BH. ( Pe 94/29h) 


,v = 6 cm.Vypočítejte odchylku 

přímek AC a BV. 

( Pe 94/31f) 

8) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku roviny ABG a BEG. ( Pe 94/35e) 


,v = 6 cm.Vypočítejte odchylku 

rovin ADV a BCS AV . 

( Pe 94/36f) 


,v = 6 cm.Vypočítejte obvod obsah 

mnohoúhelníku, který je shodný s řezem jehlanu rovinou S AV S CV B. 

( Pe 95/44c) 

11) Vypočítejte odchylku rovin ADV a BCV v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, 

a = 4 cm, v = 6 cm 

12) V pravidelném šestibokém jehlanu ABCDEFGH AB = a = 3 cm, 

VS = v = 4cm 

je bod 

S středem jeho podstavy, bod M středem hrany AV. početně i konstrukčně určete 

odchylky přímky a roviny ρ . Přitom: 

a) p =↔ AV, 

ρ = ABC 

b) p = VS, 

ρ =↔ AFV 

c) p = BM , ρ =↔ ABC 

13) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu délky a a boční hranu délky 

2a. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed strany CV a odchylku roviny podstavy a 

boční stěny 

14) Vzdálenost dvou bodů v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm 

a) 

AV 

= 

44 

b) 

S BC 

= 

40 

c) 

AS CV 

= 3 

3 


33


15) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4cm. Vypočítejte vzdálenost bodu F od přímky AH. 

2 6 

16) Odchylky přímek v krychli ABCDEFGH 

a) 

b) 

c) 

↔ AC a ↔ 

↔ HB a ↔ 

↔ AG a ↔ 

CH 

DB 

BH 

↔ DH a ↔ BS 

d) 

GH 

17) Odchylky přímek v prav. jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm 

a) 

b) 

↔ AD a ↔ BV 

(použij rovnoběžnou přímku) 

↔ AV a ↔ DV 

↔ AC a ↔ S 

c) 

CV 

18) Odchylky přímek a rovin v krychli ABCDEFGH, a = 4 cm 

a) přímky EC a roviny CDH 

b) 

c) 

↔ ABC a ↔ 

↔ ABC a ↔ 

BDH 

BEG 

d) 

↔ ACH a ↔ DH 

19) Odchylky přímek a rovin v prav. čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm : 

60° 

35°15‘ 

70°32‘ 

48°11‘23‘‘ 

72° 27'6' ' 

35° 5'48' ' 

90° 

54°44‘ 

a) odchylku rovin BCV a VSABSCD 18°26‘6‘‘ 

b) odchylku přímek CD a BSCV 

c) 

↔ AV a ↔ 

ABC 

64°38‘ 

d) odchylku protějších stěn 36°52‘ 

20) Vzdálenost bodu od přímky nebo roviny v krychli ABCDEFGH, a = 4 cm 

3 

4 ⋅ 

a) Bodu E od roviny AFH (*) 3 

b) bod B a ↔ AD 

a 2 

c) bod B a ↔ AC 

2 

d) bod B a ↔ GH 

a 2 

e) bod B a ↔ AG (*) 

f) bodu E od přímky BH (*) 

21) Vzdálenost bodu od přímky v prav. čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm 

a) bodu A od přímky CV. Řešte početně i konstrukčně. 5,11 


34


AV 

SCV S 

AC 

= 11 = 

b) vzdálenost bodu SCV od přímky BD. 2 

22) Vzdálenost rovnoběžných přímek a rovin v krychli ABCDEFGH a = 4 cm: 

a 2 

a) ↔ AB a S S BG AH 

2 

b) přímek SABSBC a SEHSGH. Řešte početně i konstrukčně. 2 6 

c) 

d) 

↔ BDG a ↔ CFH 

(*) 

a 3 

↔ AFH a ↔ BDG 

3 

↔ BEG a ↔ S 

e) 

EF BF FG 

S 

S 

(*) 

23) Vzdálenost rovnoběžných přímek v prav. čtyřb. jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm 

a) ↔ AB a S S 

3 2 

CV DV 

2 110 

b) ↔ AV a S S 

11 

AB BV 

37. MNOHOSTĚNY A ROTAČNÍ TĚLESA 

1) Určete objem a povrch tělesa, které vynikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně 

délky a kolem přímky, v níž leží delší úhlopříčka šestiúhelníku. 

2) Objem pravidelného šestibokého hranolu V = 540 3 . Délka podstavné hrany a je k 

délce výšky v poměru 3:5. Vypočtěte povrch hranolu 

3) Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně 


4) Vypočítejte objem půdy pod valbovou střechou, která je na obrázku. Půdorys střechy má 

rozměry 18 m x 10 m, výška hřebene je 6 m a všechny střešní plochy mají stejný sklon. 

5) Vypočítejte objem a povrch jednoho z polopravidelných mnohostěnů - tělesa, které 

vznikne z krychle o hraně délky a = 10 cm odříznutím všech jejích vrcholů rovinami 

procházejícími středy hran krychle. 


35


6) Urči obsah lampového stínítka tvaru rotačního komolého kužele, průměry podstav 

d1 = 32 cm, d2 = 12 cm, jeho výšku v = 24 cm. 

7) V rotačním válci je dutina tvaru kužele, přičemž podstavy obou těles jsou společné a 

výšky též.Vypočítejte objem tohoto tělesa, jestliže válec i kužel mají stejné obsahy plášťů. 

Poloměr podstavy je r. 

8) Kulová výseč je tvořena kulovou úsečí a kuželem se společnou podstavou. Výška úseče je 

2cm a poloměr podstavy 6 cm. Vypočti objem a povrch kulové výseče. 

9) Komín tvaru dutého rotačního komolého kužele má výšku 32m, dolní průměry 3,2m a 2m, 

horní průměry 1,7m a 1,2m. Jaká je celková hmotnost komínu, je-li hustota zdiva 

 

10) Koule o středu S a poloměru r = 15cm 

je položena na vodorovné rovině ρ a osvětlena 

zdrojem Z; 

SZ je kolmé na ρ , Zρ 

= h = 45cm 

. Určete: 

a) průměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku v osvětlené části koule 

b) obsah vrženého stínu koule na rovinu ρ 

c) obsah osvětlené části koule 

11) Do nálevky tvaru rovnostranného rotačního kužele o poloměru podstavy r je nalito 

množství vody rovnající se polovině objemu nálevky. Určeme výšku hladiny vody od ústí 

1 3 

nálevky.( x = 4 3r 

) 

2 

38. VEKTOROVÁ ALGEBRA 

1) Určete obsah trojúhelníku A[2,-1,3], B[1,1,1], C[0,0,5]. 

2) Vypočítejte obsah a obvod trojúhelníka ABC velikost úhlu α 

a) A [ 0,1 ], 

B[ 2,3 ], 

C[ 4,0] 

b) A [ 1,3 ], 

B[ 2,0 ], 

C[ 4, −1] 

c) A[ 1,0,2 ], 

B[ 2, − 2,4 ], 

C[ 3,6,1 ] 

d) A[ 4,0, 

− 1 ], 

B[ 2,4, −1 ], 

C[ 5,3,4] 

3) Je dán vektor = ( 4,9) 

u . Určete R 

m ∈ tak, aby vektor ( m,2) 

4) Leží vektory = ( 3,10, 

−5) , b = ( 0, −2,1 ), 

c = ( 1,2, −1) 

a v jedné rovině 

v = byl kolmý k vektoru u . 


36


5) Určete vektor a tak, aby platilo ⊥b 

∧ a = 4 5 

6) Jsou dány vektory u = ( 3, 

−1,0 

), 

v = ( 9, −3,2) 

z ⊥u 

∧ z⊥ 

v ∧ z 

= 1 

a , kde = ( 3,6) 

b . 

. Určete souřadnice vektoru z tak, aby platilo: 

7) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV, znáte-li souřadnice bodů 

A 2,3,4 , B − 1,4,2 , D 0,2, −5 , V 3,2,1 

[1] 

[ ] [ ] [ ] [ ] 

8) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, znáte-li souřadnice bodů 

A 1,0,2 , B 3,4,3 , D −1,4,6 , E 2,1, −5 

[12,24] 

[ ] [ ] [ ] [ ] 

9) Je dán vektor f = (3;2). 

Určete m ∈ R tak, aby pro vektor g = ( 6; m) 

platilo g − f = 5.[- 

2,6] 

10) Určete obsah trojúhelníku A[2,-1,3], B[1,1,1], C[0,0,5]. 

r r r 

11) Jsou dány vektory a = ( 2,3, 

−1 ), 

b = ( 1, −2,3 ), 

c = ( 2, −1,1 

). Určete souřadnice vektoru x r , 

který je kolmý k a r i k b r ; x r ⋅ c 

r = −6 

12) Vypočítejte obsah a obvod trojúhelníka ABC velikost úhlu α 

a) A [ 0,1 ], 

B[ 2,3 ], 

C[ 4,0] 

b) A [ 1,3 ], 

B[ 2,0 ], 

C[ 4, −1] 

c) A[ 1,0,2 ], 

B[ 2, − 2,4 ], 

C[ 3,6,1 ] 

d) A[ 4,0, 

− 1 ], 

B[ 2,4, −1 ], 

C[ 5,3,4] 

13) Je dán vektor = ( 4,9) 

u . Určete R 

m ∈ tak, aby vektor ( m,2) 

14) Leží vektory = ( 3,10, 

−5) , b = ( 0, −2,1 ), 

c = ( 1,2, −1) 

a v jedné rovině 

15) Jsou dány vektory u = ( 3, 

−1,0 

), 

v = ( 9, −3,2) 

z ⊥u 

∧ z⊥ 

v ∧ z 

= 1 

v = byl kolmý k vektoru u . 

. Určete souřadnice vektoru z tak, aby platilo: 

16) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV, znáte-li souřadnice bodů 

A 2,3,4 , B − 1,4,2 , D 0,2, −5 , V 3,2,1 

[1] 

[ ] [ ] [ ] [ ] 

17) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, znáte-li souřadnice bodů 

A 1,0,2 , B 3,4,3 , D −1,4,6 , E 2,1, −5 

[12,24] 

[ ] [ ] [ ] [ ] 

18) Je dán vektor f = (3;2). 

Určete m ∈ R tak, aby pro vektor g = ( 6; m) 

platilo g − f = 5. 

19) Rozhodněte, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý. A [ 4,3 ], 

B[ 12,9 ], 

C[ 1,7] 

[2,6] 

20) Rozhodněte, zda čtyřúhelník KLMN je rovnoběžník. K [ 1,3 ], 

L[ −1,9 ], 

M [ − 2, −4 ], 

N[ 0, −10] 

r 

21) Jsou dány vektory 

a = ( 2,3, 

−1 ), 

b = ( 1, −2,3 ), 

c = ( 2, −1,1 

) 

který je kolmý k a r i k b r ; x r ⋅ c 

r = −6 

r 

r 

. Určete souřadnice vektoru x r , 


37


39. LINEÁRNÍ ÚTVARY V ROVINĚ 

1) Určete parametr m ∈ R tak, aby přímky p a q byly rovnoběžné, pak určete jejich 

vzdálenost a dále velikost úhlu, který tyto přímky svírají s osou x. Přitom 

p : mx + 2y 

− 7 = 0, q : x + 3y 

− 3 = 0 

2) Vypočítejte odchylku přímek p,q: p = {[ + t,5] 

, t ∈ R} 

3) Na přímce p = {[ − t;2 

+ 3t] 

; t ∈ R} 

2 , q : x + 3y − 6 = 0 

1 určete bod C tak, aby jeho vzdálenost od přímky 

q : 5x + 12y 

− 4 = 0 byla 3. 

4) Na přímce p : x − 2y 

+ 5 = 0 určete body, které mají od počátku soustavy souřadnic 

vzdálenost d = 10 

5) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek p,q: 

p : 8x 

− 6y 

+ 3 = 0, q :8x 

− 6y 

− 3 = 0 

6) Určete parametr m ∈ R tak, aby přímky p a q byly rovnoběžné, pak určete jejich 

vzdálenost a dále velikost úhlu, který tyto přímky svírají s osou x. Přitom 

p : mx + 2y 

− 7 = 0, q : x + 3y 

− 3 = 0 

⎡ 7⎤ 

7) V trojúhelníku ABC [ 0, 

−1 ], 

[ 4,1 ], 

C − 1, − ⎥ ⎦ 

A B ⎢ určete 

⎣ 2 

a) obecnou rci přímky, na které leží výška v c , 

b) souřadnice paty výšky v c 

c) velikost výšky v c 

d) velikost úhlu β 

8) Určete vzájemnou polohu přímek popřípadě i jejich odchylku p: 2 x − 3y + 4 = 0 a 

q: 3 x + 4y 

−11 

= 0 

9) Určete souřadnice bodu A, který je souměrně sdružený s bodem B [-2, 5] podle přímky 

p: 5x - 2y - 9 = 0 

10) Na ose y najděte bod Y, který má od bodu A [-4,3] vzdálenost 5. 

11) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, znáte-li S AB [0, -3], S CD [2, 5] 

12) V trojúhelníku ABC [ 2,4 ], 

B[ 4,2 ], 

C[ 4,1] 

A určete 

a) Obecné rovnice přímek v nichž leží o t , v , 

AB, a b 

souřadnice těžiště a velikost v 

b 

. 

b) Obecné rovnice přímek v nichž leží o t , v , souřadnice průsečíku výšek a velikost 

AC 

, 

b c 

c) Obecné rovnice přímek v nichž leží o , v a velikost BC b 

t 

a 

d) Obecné rovnice přímek v nichž leží o , v a velikost AB a 

t 

b 

13) Jsou dány dvě přímky p : ax + y − 4 = 0, q : x + 2y 

+ 8 = 0. 

Určete hodnotu parametru 

a ∈ R tak, aby 

a) p,q byly navzájem kolmé 

b) odchylka přímek p,q byla 45°. 


38


14) Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A [-6, 5] a je kolmá na přímku 

q: x − 2 y + 9 = 0 

15) Určete číslo p, tak aby vektor v byl směrovým vektorem přímky AB 

[ 3 ,1, ] B[ 1, − 3 ], 

v = ( 1, 2 p) 

A + 

16) Pro přímku p sestavte obecnou rovnici, parametrické rovnice a směrnicový tvar rovnice ( 

pokud existuje) a určete směrový úhel a vektor přímky: 

a) A∈ p, A[1;2 3] 

a směrový úhel ϕ = 120° 

b) p⊥ osu y, 

A[ 3, −1] ∈ p 

c) A[ − , 4] ∈ p 

2 , směrnice přímky k=2 

d) p ⊥q, q : 2x 

− y + 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic 

17) V trojúhelníku ABC [ 2,4 ], 

B[ 4,2 ], 

C[ 4,1] 

A určete 

a) Obecné rovnice přímek v nichž leží o t , v , 

AB, a b 

souřadnice těžiště a velikost v 

b 

. 

b) Obecné rovnice přímek v nichž leží o t , v , souřadnice průsečíku výšek a velikost 

v 

c 

. 

AC 

, 

b c 

c) Obecné rovnice přímek v nichž leží o , v a velikost BC b 

t 

a 

d) Obecné rovnice přímek v nichž leží o , v a velikost AB a 

t 

b 

18) Zjistěte, zda bod C leží na přímce AB. A [ 0 ,3], 

B[ − 2,3 2] , C[ 2 + 2,0] 

40. LINEÁRNÍ ÚTVARY V PROSTORU 

1) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka 

p = {[ 2;1 − t;4t] 

, t ∈ R} 

protíná 

2,04 , 2,1,0 , 

souřadnicové roviny. 

[ ] [ ] neexistuje 

2) Napište obecnou rovnici roviny σ , víte-li,že v rovině leží body 

A[ 3,4,5 ], 

B[ − 2,1,0 ] 

je rovnoběžná s rovinou σ . 

3) Vypočítejte vzdálenost bodu A od přímky p: 

A[0,0,5], 

p = {[ 2,0, t] 

; t ∈ R} 

1) Je dána rovina 

ρ :{[ 1+ t + k,2 

+ 3t 

− k,5t 

+ k] 

; t, 

k ∈ R} 

a osa y 

. Vypočítejte průsečík roviny s osou 

x a průsečnice roviny se souřadnicovými rovinami xy a yz. 

2) Určete vzdálenost bodu A [5,-6,6] od přímky p = {[ − 2 + t, 

− 5 + t, 

4] 

, t ∈ R} 

3) Napište obecnou rovnici roviny ρ , ve které leží body 

A[ 2,3,0 ], 

B[ −1,2,2 

] 

a rovina ρ je 

3 x − 2y 

+ z + 6 = 0 

{ x + 3 y + 3z 

−11 

= 0} 

kolmá k rovině : 

A , který je obrazem bodu 

A[ − 3,0,2] 

přímkou BC, kde 

[ ] [ ] 

4) Určete souřadnice bodu ' 

B 0, 

−2,4 , C − 5,3, −6 

5) Určete souřadnice bodu M', který je s bodem 

M [ 1,0,2] 

ρ : x − 2y 

− z + 13 = 0 

v osové souměrnosti dané 

souměrný podle roviny 


39

6) Jsou dány body: 

A[ 0,2, 

−1 ], 

B[ 1,1,1 ], 

C[ 4,6,2] 


. Napište obecnou rovnici roviny určené body 

ABC. Vypočtěte souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. 

11 x − 5y 

− 8z 

+ 2 = 0, D = 3,7,0 

[ [ ] 

7) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin 

ρ a δ 

. Jsou-li roviny různoběžné, napište rovnice 

ρ : x − y + 9 = 0 

jejich průsečnice a určete jejich odchylku. 

δ : y −11 

= 0 

{[ x = 2, y = 1, z = t] 

, t ∈ R} 


ρ a δ 


ρ : x + y − z − 2 = 0 


δ 

: 2x 

− y + z − 4 = 0 


ρ a δ 


ρ : x − 4 = 0 


10) Jsou dány body 

A[ −1,4,5 ], 

B[ 2, −2, 

−1 ], 

C[ 0, −1, 

−3] 

δ : y − 2 = 0 

. Na ose z určete bod Z tak, aby jeho 

vzdálenost od roviny určené body A, B, C byla 5. 

11) Na přímce p: 

x = 4 + t, 

y = 3 + 2t, 

z = −2 

− t, 

t ∈ R 

určete bod C, který má stejnou 

A 1,2,5 

a B −1,0,1 

C 8,11, 

−6 , 

vzdálenost od bodů 

[ ] [ ].Vypočtěte tuto vzdálenost. 

[ ] 251 

12) Je dána přímka 

p = {[ 1+ 

3t;2 

− t;4t] 

, t ∈ R} 

. Vypočítejte odchylky přímky p od 

souřadnicových os. 

13) Je dána přímka ; 

p = {[ 2 + k;1 

− k;1 

− k] 

, k ∈ R} 

vzdálenost od přímky p byla 2. 

14) Vypočítejte odchylku osy z od roviny 


p = {[ 2 + k,1 

− k,1 

− k] 

, k ∈ R} 

. Na ose x určete bod X tak, aby jeho 

ρ : 2x 

− 2y 

+ z + 11 = 0 

{ 19°28¨} 


3 ± 6,0,0 


{[ ]} 

16) Na přímce 

p = {[ k,3 

+ k,2 

+ 4k] 

. k ∈ R} 

τ : 2x 

+ y − z + 12 = 0 

určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od roviny 

byla . 

{[ 1,4,6 ], 

[ 25,28,102] 

} 

17) Napište obecnou rovnici roviny ρ , která prochází body A [ −1 ,0,1] , B [ 2,3,0] 

a) rovnoběžná s osou x 

{ y + 3 z − 3 = 0} 

b) prochází osou y a bodem A 

{ x + z = 0} 

c) Je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz a prochází bodem A 

{ x +1 = 0} 

a je 


40


18) Určete průsečnici rovin: 

δ 

: 2x 

− y − z −1 

= 0, ρ : x + y + 2z 

− 3 = 0 

19) Určete kolmý průmět A bodu [ − 7,8,12] 

20) Pro která c má rovina 3 = 0 

{[ 1 − t, 

−5t,1 

+ 3t 

] t ∈ R} 

x + 2y 

+ z − 33 = 0 

B do přímky p, je-li p: 

2x 

+ y − z + 12 = 0 

{[ − 5,12,14] 

} 

x + y + z + c neprázdný průnik s úsečkou AB, 

A[ 1,0,2 ], 

B[ 0,1,5 ] 

21) Napište obecnou rovnici roviny σ , víte-li,že v rovině leží body 

A[ 3,4,5 ], 

B[ − 2,1,0 ] 

je rovnoběžná s rovinou σ 

22) Je dána rovina 

ρ : {[ 1+ t + k,2 

+ 3t 

− k,5t 

+ k] 

; t, 

k ∈ R} 

− 5, 

−6 

a osa y 

. Vypočítejte průsečík roviny s osou 

x a průsečnice roviny se souřadnicovými rovinami xy a yz. 

23) Dokažte, že body A [2, 1, 6], B [0, -1, -6], C [-1, 2, 0] určují rovinu a na pište její 

parametrické rovnice. 

a) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina ABC protíná osu x,osu y a osu z 

b) Danou rovinu znázorněte ve zvolené soustavě souřadnic 

c) Rozhodněte, zad body K [2, 4, 15], L [-3, 2, 6] leží v rovině ABC 

d) Vypočítejte z ∈ R tak, aby bod M [-2, 1, z] ležel v rovině ABC 

25) Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K [2, 4, 1] a je rovnoběžná 

s osou z. Přímku q nakreslete. 

27) 

28) Je ána přímka ; 

p = {[ 2 + k;1 

− k;1 

− k] 

, k ∈ R} 


A , který je obrazem bodu 

A[ − 3,0,2] 

přímkou BC, kde 

[ ] [ ] 

29) Určete souřadnice bodu ' 

B 0, 

−2,4 , C − 5,3, −6 


v osové souměrnosti dané 

24) Určete hodnotu parametru m ∈ R tak, aby přímky p,q byly různoběžné. Potom vypočítejte 

souřadnice průsečíku přímek 

p = {[2 + k, 3 - 2k, 4] k ∈ R 

, 

q = {[1- 4t, m + t,1- 3t]} t ∈ R 

26) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka 

p = {[2,1- t, 4t] t ∈ R 

protíná souřadnicové 

roviny. 

30) Přímka 

p = {[2 + 2t, -1- t, 5], t ∈ R 

} je kolmá k rovině ρ. Bod M [2, 0, -3] leží v rovině ρ. 

Napište obecnou rovnici roviny ρ. 

31) Napište obecnou rovnici roviny υ, víte –li, že rovina υ prochází počátkem soustavy 

souřadnic, bodem A [1, 2, 3] a rovina υ je kolmá k souřadnicové rovině dané osami x a y. 


ρ a δ 


ρ : x − 4 = 0 


δ : y − 2 = 0 


41


p = {[ 1+ 

3t;2 

− t;4t] 

, t ∈ R} 

souřadnicových os. 


34) Jsou dány body 

A[ −1;4;5 ], 

B[ 2; −2; 

−1 ], 

C[ 0; −1; 

−3] 

. Vypočítejte odchylky přímky p od 

. Na ose z určete bod Z tak, aby jeho 

vzdálenost od roviny určené body A, B, C byla 5. 

35) Určete souřadnice bodu M', který je s bodem 

M [ 1,0,2] 

ρ : x − 2y 

− z + 13 = 0 

souměrný podle roviny 

36) Určete průsečnici rovin ρ: 

x − 2 y + 3z 

− 4 = 0 

, σ: 

2 x − y + 2z 

− 8 = 0 

37) Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ρ a vypočítejte jejich odchylku: 

p = {[ 1+ 

t;2 

− t; 

t] 

}, 

t ∈ R 

; ρ ↔ABC, kde A [1, 0, 2], B [1, 4, 4], C [3, -5, 1] 

38) Určete kolmý průmět A bodu B [ -7, 8, 12] do přímky p, je-li p: 

39) Vypočítejte vzdálenost bodu A [0, 0, 5] od přímky 

41. KRUŽNICE A ELIPSA 

p = {[2, 0, t], t ∈ R 

x + 2y + z - 33 = 0 

2 2 

1) Nalezněte délku nejkratší tětivy kružnice x + y − 6x 

+ 4y 

− 3 = 0 procházející bodem 

M = 4, 

−3 

. 

[ ] 

2) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě S [ − 5,4] 

a dotýká se přímky 

2 

p : 3x − 4y + 6 = 0 

( x + 5) + ( y − 4) 

3) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy y v bodě [ 0, 

−4] 

M [ 6,0] 

2 

{ = 25} 

Y a osu x protíná v bodě 

⎪⎧ 

⎛ ⎞ 

⎨⎜ 

− 

13 2 

x ⎟ + ( y + 4) 

2 

⎪⎩ ⎝ 3 ⎠ 

169⎪⎫ 

= ⎬ 

9 ⎪⎭ 

4) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p : 3x + 4y 

−15 

= 0 , její střed leží na 

přímce 

q : x + 2y 

+ 6 = 0 

a má poloměr 5. 

2 

2 

2 

2 

x − 2 + y + 4 = 25, x − 52 + y + 29 = 25 

{( ) ( ) ( ) ( ) } 

5) Napište rovnici kružnici, která se dotýká osy x i osy y. Střed kružnice leží na přímce 

p : x + 3y 

− 4 = 0 

6) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky 

p : 2x − y − 4 = 0 

2 2 

poloměr = 2 5 

x − 7 + y = 20, x + 1 

v bodě 

P[ 3,2] 

r . 

( ) ( 

2 

2 

) + ( y − 4) 

a má 

= 20 

{ } 

7) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy y a prochází bodem [ 3, 

−6] 

2 

2 

2 

( x −15) + ( y + 15) = 225, ( x − 3) + ( y + 3) 

M . 

2 

{ = 9} 

8) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p x = −2, 

p : y 1 a prochází bodem 

1 

: 

2 

= 

2 

2 

{ = 9} 

2 

2 

M [ 1, 

−5] 

( x −13) + ( y + 14) = 225, ( x −1) + ( y + 2) 

9) Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M [ 1,1 ] a se dotýká přímek 

2 

2 

2 

p x + y − 6 = 0, p : x + y + 2 0 ( x − 3) + ( y + 1) = 8, ( x + 1) + ( y − 3) 

1 

: 

2 

= 

2 

{ = 8} 


42


10) Kružnice k 

1 s poloměrem r = 2 1 

5 a kružnice k2 

s poloměrem r = 3 2 

5 

se dotýkají 

v bodě 

T[ 3,4] 

, jejich společná tečna v tomto bodě má směrový vektor 

s = ( −1,2 ) 

. Napište 

rovnice obou kružnic, mají-li v bodě T vnitřní dotyk, resp. vnější dotyk. St 130/15c 

11) Napište rovnici elipsy, jsou-li její osy rovnoběžné se souřadnicovými osami a víte-li, že 

− 4,0 

B 0,3 

elipsa se dotýká osy x v bodě A [ ] a osy y v bodě [ ] 

12) Napište rovnici elipsy, která prochází bodem M(4,-1) a dotýká se přímky t: x+4y-10=0 

42. PARABOLA A HYPERBOLA 

13) Určete všechny charakteristické údaje následujících křivek a jejich vrcholovou nebo 

středovou rovnici: 

2 

a) y − 4x 

+ 6y 

+ 13 = 0 

2 2 

b) 9x 

− 4y 

+ 8y 

+ 32 = 0 

2 2 

c) 9x 

− 4y 

+ 54x 

− 8y 

+ 41 = 0 

2 

d) x + 4x 

+ 2y 

+ 2 = 0 

e) 4y 

2 − x + 3 = 0 

14) Dokažte, že x 2 – 4y 2 – 6x – 16 – 11 = 0 je rovnicí hyperboly, určete její střed, vrcholy, 

ohniska a asymptoty. 

15) Napište rovnici hyperboly, která se dotýká přímky o rovnici 5x – 6y – 8 = 0 a jejíž 

x x 

asymptoty mají rovnice y = , y = − . 

2 2 

16) Napište rovnici hyperboly, je-li délka hlavní poloosy a = 12 a ohniska jsou body 

[-10,2],[16,2]. 

17) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází 

a/ body A[5,-5], B[-2,-12], C[1,3] 

b/ bodem A[0,-60] a má vrchol V[-2,-64] 

18) Napište rovnici hyperboly, je-li délka hlavní poloosy a=12 a ohniska jsou body [-10,2], 

16,2]. 

19) Je dána hyperbola x 

2 − 4y 

2 − 6x 

−16y 

−11 

= 0. Určete její střed, vrcholy, ohniska, 

asymptoty a danou hyperbolu zakreslete. Napište rovnice přímek, které mají s danou 

hyperbolou společný právě jeden bod 

T [ 5, 

y0 

]. 

2 

2 

⎧( x − 3) ( y + 2) 

1 7⎫ 

[ ] [ ] 

⎪ − = 1, S 3, −2 , a = 2, b = 1, e = 5, F 3 ± 5, −2 , a : y = ± x − 

⎪ 

4 1 

2 2 

⎨ 

[ ] 

⎪ ⎪ ⎬ 

⎪ 

1 9 1 1 

− = = − = − + 

⎪ 

T 5, 2 , x 5, y x , y x 

⎩ 

2 2 2 2 

⎭ 

20) Bodem 

A[ 2,1] 

veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou danou rovnicí 

x 

jediný společný bod. 

2 − 2y 

2 = 

2 


43


21) Určete charakteristické údaje kuželosečky s obecnou rovnicí 

2x 

dále napište rovnici její tečny v jejím bodě 

T[ x 0 

,3]. 

22) Hyperbola je dána středovou rovnicí ( x − 3) − 4 y 

2 = 1 

rovnice tečen v těchto bodech. 

23) Určete charakteristické údaje kuželosečky s obecnou rovnicí 

− x 

T 0, 

y . 

napište rovnici její tečny v jejím bodě [ ] 

24) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska 

F [ − 2,1 ], 

F [ 6,1] 

1 

2 

0 

2 

− 3y 

2 

− 8x 

+ 6 y −1 

= 0 

, 

. Najděte její průsečíky s osou y a 

2 

+ 2x 

− 2 y + 5 = 0 

, dále 

a hlavní vrchol 

A[ 4,1] 

. 

2 1 2 

25) Napište rovnici tečny hyperboly ( x − 4) − ( y − 3) = 1 v jejím bodě [ 6] 

26) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko 

F[ 3, 

−1] 

této paraboly v bodě dotyku 

T[ 3, 

y0 

] 

3 

, . 

a řídící přímku x = 7 . Najděte tečnu 

2 

27) Parabola je dána rovnicí x − 2x 

− y + 4 = 0 . Které její tečny procházejí počátkem 

soustavy souřadnic 

43. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY 

2 2 

1) Napište rovnici tečny elipsy o rovnici 9x 

+ 25y 

= 225 , která je rovnoběžná s přímkou 

p : 4x + 5y − 7 = 0 

2) Napište rovnice tečen z bodu M[0,-1] k parabole 

y + 1 = ( x − 2) 2 

3) Parabola (x – 3)2 = 2p(y + 2) má tečnu t: x + y + 2 = 0. Určete parametr p a bod dotyku 

4) Napište rovnici tečny paraboly dané rovnicí x2 – 2x + y –3 = 0, která je rovnoběžná 

s přímkou a: x + 2y + 1 = 0 

5) Napište rovnici tečny z bodu A[0,1] k parabole y2 – 4x – 2y + 13 = 0 

6) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x dotýká v bodě 

T[ 3,0] 

M [ 0,1] 

. Napište rovnici tečny v bodě M. 

7) Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu 

M [ 0,1] 

Určete souřadnice bodů dotyku a úhel, který obě tečny svírají. 

. 

a prochází bodem 

ke kružnici ( 2) 2 

x − + y = 1 

8) Napište rovnici přímky, která prochází počátkem soustavy souřadnic a je tečnou kružnice 

2 2 

k : x + y − 6x 

− 2y 

+ 8 = 0 

. Určete souřadnice dotykového bodu. 

⎧ 

⎡14 

2⎤⎫ 

⎨ p1 : x − y = 0, p2 

: x + 7 y = 0, T1 

[ 2,2 ], 

T2 

⎢ , − 

⎥⎬ 

⎩ 

⎣ 5 5⎦⎭ 

2 2 

9) Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí 

k : x + y + 4x 

−10y 

−140 

= 0 

v jejích 

průsečících s přímkou 

q : x = 3 

. Určete společný bod obou tečen a poláru tohoto bodu 

vzhledem ke kružnici k. 

10) Veďte bodem 

M [ 2,1] 

5 2 

2 

tečny ke kružnici s rovnicí ( x − ) + ( y − 10) 

= 9 

2 

. 


44


11) Určete tečny ke kružnici ( 1) 2 

( 2) 

2 

x − + y − = 16 procházející bodem dotyku 

T [ 3, 

t 

2 

] 

Určete odchylku těchto tečen. 

12) Najděte tečnu paraboly, která má rovnici 

y 

p : y = x 

13) Napište rovnici elipsy, která prochází bodem M [ 4, 

−1] 

. 

x + 3y 

− 2 3 − 9 = 0, x − 3y 

+ 2 3 − 9 = 0, γ = 60° 

2 

− 4y 

− 6x 

+ 22 = 0 

rovnoběžnou s přímkou 

a dotýká se přímky 

2 2 

2 2 

t : x + 4y 

−10 

= 0 

[ x + 64y 

= 80, x + 4y 

= 20] 

14) Je dána elipsa: x 2 + 4y 

2 − 16 a přímka 2 x − 3y 

+ c = 0 , určete hodnotu reálného 

parametru c, tak aby přímka p byla 

a) sečnou 

b) tečnou 

c) vnější přímkou 

44. BINOMICKÁ VĚTA 

10 

⎛ 3 

2 ⎞ 

1) V binomickém rozvoji výrazu ⎜ x − ⎟⎠ určete člen, který obsahuje x 2 , a dále určete, 

⎝ x 

pro která x˛R + je tento člen větší nebo roven –5. 

2) Určete absolutní člen binomického rozvoje výrazu: 

⎛ ⎞ 

⎜2x 

− ⎟ 

⎝ x ⎠ 

2 3 

6 

n 

⎛ 1 ⎞ 

3) V rozvoji výrazu ⎜ x ⋅ x + ⎟ je součet prvních tří koeficientů roven 67. Určete 

4 

⎝ x ⎠ 

absolutní člen rozvoje. (Člen, který neobsahuje x). 

4) Který člen rozvoje 

⎛ 1 ⎞ 

⎜2x 

− ⎟ 

⎝ x ⎠ 

14 

obsahuje 

5) Umocněte podle binomické věty: 

( 2 − i 2 ) 6 

6) V rozvoji 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ 2 x 

1 ⎞ 

− ⎟ 

2 ⎠ 

10 

určete 

7) Umocněte podle binomické věty: ( 1+ 

i) 7 

6 

x Vypočítejte jeho koeficient. 

x ∈ R tak, aby pátý člen rozvoje byl 105. 

8) Vypočítejte 10. člen binomického rozvoje ( 2a + b) 15 

. 

9) Určete R 

3 

6 

z ∈ tak, aby 7. člen binomického rozvoje ( 1 z + 1− 

z ) 9 

+ byl roven 63 

10) Najděte všechny členy binomického rozvoje , které jsou racionálními čísly: ( 5 + 1) 6 

. 

11) Určete n ∈ N tak, aby koeficient u 

5 

12) Pomocí binomické věty vypočítejte1 ,02 . 

8 

y v binomickém rozvoji ( 

1+ 2y ) 2 n 

byl roven 240. 


45


⎛ ⎞ 

13) Zjistěte, který člen binomického rozvoje výrazu ⎜ 3 ⎟ 

x + , x > 0 neobsahuje 

⎝ x ⎠ 

⎛15⎞ 

proměnnou x. Po98/177 k = 10 , ⎜ ⎟ = 5005 

⎝ 9 ⎠ 

14) Pro které R 

3 6 

4 − 2x 

+ 3 − 2 x roven 

168 {1} 

1 15 

x ∈ je sedmý člen binomického rozvoje výrazu ( ) 9 

45. FAKTORIÁL KOMBINAČNÍ ČÍSLA, PASCALŮV TROJÚHELNÍK 

⎛ n⎞ 

⎛ n + 3⎞ 

⎛ n + 6⎞ 

1) Najděte všechna n˛N, pro která platí: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ < 93− 

⎜ ⎟ 

⎝ 2⎠ 

⎝ n + 1⎠ 

⎝ 2 ⎠ 


1 1 1 

a) − − = 

n! 

( n −1)! 

( n − 2)! 

{ 2 ,3,4} 

b) 

c) 

n 1 

⎨ 

− 

⎩ 

( n − 3) ! ( ( n − 3 ) ! 

⎭ ⎬⎫ 

n − 4)! 

n 

1 

− 

( n + 1) ! ( n −1) ! 

= 

⎧ 

3 

, n ∈ N, 

n ≥ 4 

d) 

2 

n 3n 

2 

− + = 

+ 1 ! n! 

( n 2 )! 

( n + ) 

3) Řešte v N: ( n !) 2 − 7n ! + 6 = 0 

⎛ x −1 

⎞ ⎛ x − 2 

4) Řešte v N ⎟ ⎞ 

⎜ 

⎟ ≤ 4− 

⎜ 

⎝1− 

3 ⎠ ⎝ x − 4⎠ 

5) Řešte rovnici v oboru přirozených čísel (neznámá je zde x): 

⎛ n −1⎞ 

⎛ − 2⎞ 

a) 9 

3 

+ n 

⎜ ⎟ 

⎜ 

4 

⎟ 

⎝n 

− ⎠ ⎝n 

− ⎠ 

= 

b) 

( n −1)! 

+ 2( n −1)! 

+ ........ n( 

n −1)! 

= 

n! 

n! 

n! 

+ + + ....... 

2 4 

⎛ ⎞ ⎛ x + 1⎞ 

c) : ⎜ 

= 25 

2 

⎟ + 

⎜ 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

( n +1)! 

4x 

x { 5} 

⎛ + 1⎞ 

⎛5⎞ 

⎛ + 1⎞ 

⎛4⎞ 

⎛ + 1⎞ 

d) = 1 

1 3 

⋅ x 

⎜⎜ 

⎟ − ⎜ 

3 

⎟ ⋅ x 

⎜⎜ 

⎟ + ⎜ ⎟ 

⎜⎜ 

1 

⎟ 

⎝ x + ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x − ⎠ 

x { 5} 

⎛ + 8⎞ 

⎛ x⎞ 

⎛ x⎞ 

⎛ x + 1⎞ 

⎛ x ⎞ 

e) 5⋅ 

⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅⎜ 

⎟ 

⎝ x + 7⎠ 

⎝1⎠ 

⎝0⎠ 

⎝ x ⎠ ⎝ x −1⎠ 

x moc bych { 5} 


46 

Výsledky 

jsou 

podezřelé, 

jim 

nevěřila.


2 

⎡⎛ 

⎞⎤ 

⎡⎛ 

x −1⎞ 

⎛ x − 2⎞⎤ 

⎛ x − 3⎞ 

f) ⎢⎜ 

⎟⎥ 

−11 

= 2 ⋅ ⎢⎜ 

⎟ + ⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎜ ⎟ 

⎣⎝ 

1⎠⎦ 

⎣⎝ 

1 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 

⎝ 0 ⎠ 

x { 5} 

⎛ ⎞ ⎛ x + 1⎞ 

1 ⎡ ⎞⎤ 

3 ⎛7 

g) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⋅ ⎢x 

− ⎜ ⎟⎥ ⎝ x − 3⎠ 

⎝ x − 2⎠ 

3 ⎣ ⎝4⎠ 

⎦ 

x { 5} 

6) Řešte rovnici s neznámou n ∈ N : 

a) 

b) 

( 2n + 1 )! 

( 3n) 

! ( n + 1 )! 

+ = + 50 

( 2n) 

! ( 3n 

−1 )! 

2n! 

{ 1} 

( + 6 )! 

( n − 4 )! 

− n = 5n 

+ 80 

( n + 4 )! 

( n − 5 )! 

{ 5 } 

7) Řešte nerovnice s neznámou x ∈ _ N 

< n 

{ 8,9,10... } 

a) 72! 

( − 2)! 

b) 

c) 

n! 

+ 24 ≥ 10n 

2 ! 

( n − ) 

16 

− 

1 

≥ 

1 

( n + 1 )! 

( n −1 )! 

n! 

46. PRAKTICKÉ APLIKACE KOMBINATORIKY K,N˛N 

{ 2 ,3,4...} 

{ 1 ,2,3} 

Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků. 

Počet: P ( n) 

= n! 

Variace – k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se 

v ní každý vyskytuje nejvýše jednou. 

Počet: 

n! 

V k 

( n) 

= = n( 

n−1)( 

n−2)...( 

n−k+ 

1); 

( n−k)! 

k ≤n; 

n, 

k∈N 

Kombinace – k-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina množiny těmito 

n prvky určené 

Počet 

⎛n⎞ 

n! 

C k 

( n) 

= ⎜ 

k 

⎟= 

; 

⎝ ⎠ ( n−k)! 

k! 

k≤n; 

n, 

k∈N 

Permutace s opakováním 

n 

P ′( 

n) 

= n 

Variace s opakováním 

k 

V′ ( n) 

= n k ≤ n; 

n, 

k∈N 

⎛n 

+ k −1⎞ 

Kombinace s opakováním C k 

′ ( n) 

= 

⎜ 

k ≤ n n k ∈ N 

k 

⎟ ; , 

⎝ ⎠ 

k 

1) Zvětší-li se počet prvků o 5, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování vytvořených 

z těchto prvků o 1170. Určete původní počet prvků. 

{ 115} 

2) Zmenší-li se počet prvků o 27, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování 

vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. 

{ 46} 


47


3) Při přípitku na oslavě narozenin se ozvalo 15 ťuknutí. kolik lidí bylo na oslavě, jestliže si 

přiťukl každý s každým { 6 } 

4) Je dáno 10 různých bodů v prostoru. Zjistěte kolik rovin tyto body určují, jestliže: 

a) žádné čtyři body neleží v téže rovině 

b) právě 6 bodů leží v téže rovině 

5) Zjistěte dále kolik přímek tyto body určují, jestliže: 

a) žádné tři body neleží v téže přímce 

b) čtyři body leží v jedné přímce a jiné tři body leží v druhé přímce. 

6) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel dělitelných čtyřmi v nichž se vyskytují 

pouze číslice 0,1,3,4,7 

a) Kolik z nich je sudých 

b) Kolik z nich (všech) je větších než 30 000 

c) Rozlište případy, kde se cifry v sestavovaných zápisech mohou či nemohou 

opakovat. 

7) Kolik přirozených čísel větších než 300 můžeme napsat pomocí číslic 1, 2, 3, 4 

a) jestliže se žádná číslice neopakuje 

b) jestliže se mohou opakovat 

c) kolik z jich je dělitelných čtyřmi 

8) Počet pětičlenných variací n prvků je 36 krát větší než počet tříčlenných kombinací 

z n prvků. Určete počet prvků n. 

{n=6} 

9) Kolik různých trikolor lze sestavit z prvků spektrálních barev {7.6.5=210} 

10) Sportovní soutěže zúčastní 8 družstev. Kolik různých umístění může být na prvních třech 

V ( 3,8) = 8.7.6 

místech 

{ } 

11) Kolika způsoby lze postavit 20 žáků do řady při nástupu na tělocvik { 20 !} 

12) Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva 

⎛4⎞ 

⎛ 

tak, aby v každém družstvu byla 2 děvčata a 4 chlapci 

⎟ ⎞ 

⋅ 8 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎝2⎠ 

⎝4⎠ 

13) Kolika způsoby lze rozdělit 20dětí do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve 

⎛20⎞ 

⎛ 

druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek 

⎟ ⎞ 

⋅ 10 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎝10 

⎠ ⎝ 6 ⎠ 

14) Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování 

vytvořených z těchto prvků o 30. Určete původní počet prvků. { 6 } 

15) Zvětší-li se počet prvků o 15, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování 

vytvořených z těchto prvků třikrát. Určete původní počet prvků. 

{ 21} 

16) Kolik značek Morseovy abecedy lze sestavit z teček a čárek, vytváříme-li skupiny o 

jednom až čtyřech prvcích 

17) Kolik přímek je určených 10 různými body v rovině, jestliže: 


48


a) žádné tři neleží v jedné přímce 

b) právě čtyři z nich leží na jedné přímce a žádné další již neleží na jedné přímce. 

18) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky na šachovnici 

⎛64⎞ 

16! 

⎜ ⎟ ⋅ 

⎝16⎠ 

2!2! ⋅ ⋅2! ⋅8! 

19) V cukrárně mají pět druhů dortů v dostatečném množství. Kolika způsoby můžete koupit 

⎛12⎞ 

K ′( 8,5) = ⎜ ⎟ = 495 

8 dortů 

⎝ 8 ⎠ 

20) V cukrárně mají pět druhů dortů, mají už poslední tři rakvičky a pět větrníků, ostatní 

zákusky mají v dostatečném množství. Kolika způsoby můžete koupit 6 dortů 

⎛10⎞ 

⎛5⎞ 

K ′ 6 ,5 − K′ 

2,4 − K ′(1,4) 

− 2 = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − 4 − 2 = 

⎝ 6 ⎠ ⎝2⎠ 

( ) ( ) 94 

47. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 

Jev – podmnožina množiny možných výsledků. 

m( 

A) 

Pravděpodobnost jevu A: P( A) 

= , 

m 

0≤P(A)≤1; jev nemožný, jev jistý, opačný jev 

P(A)+P(A´) = 1 

m(A) – počet příznivých výsledků, m – počet všech možných výsledků 

Sjednocení dvou jevů: P ( A∪ B) 

= P( 

A) 

+ P( 

B) 

- vylučující se jevy 

P( A∪ B) 

= P( 

A) 

+ P( 

B) 

− P( 

A∩ 

B) 

nevylučující se jevy 

Nezávislé jevy: P( A∩ 

B) 

= P( 

A) 

⋅ P( 

B) 

P( 

A ∩ B) 

Podmíněná pravděpodobnost P( 

A/ 

B) 

P( 

B) 

1) Student si losuje 3 otázky z 10, připraven je na 5 z nich.Určete pravděpodobnost, že si 

vylosuje: 

a) Právě jednu, kterou umí 

b) Právě dvě, které umí 

c) Žádnou, kterou umí 

d) Aspoň jednu, kterou umí 

⎛5⎞ 

⎛5⎞ 

⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝2⎠ 

= 

⎛10⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

2) Kolikrát je třeba hodit kostkou, aby pravděpodobnost , že aspoň jednou padne šestka byla 

log3,3 

větší než 70% Po 108/70 p = 7 , p > 

log1,2 

5 

12 

5 

12 

1 

12 

11 

12 


49


3) S jakou pravděpodobností padne při jednom hodu dvěma rozlišitelnými kostkami 

součet 8 

4) Máme tři stejná osudí. V prvním jsou 3 bílé a 5 černých koulí, ve druhém 4 bílé a 

2 červené koule a ve třetím 7 bílých koulí. Z náhodně voleného osudí vytáhneme jednu 

⎧1 

⎛ 3 4 7 ⎞⎫ 

kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá 

St107/15 ⎨ ⎜ + + ⎟⎬ 

⎩3 

⎝ 8 6 7 ⎠⎭ 

5) V urně je 5 bílých koulí. Kolik musíme přidat černých koulí, aby pravděpodobnost, že při 

náhodném tahu dvou koulí budou obě vytažené koule černé, byla alespoň 0,5. Vytažené 

alespoň 13 

koule nevracíme. st107/14 { } 

6) Určete pravděpodobnost, že při hodu 6 kostkami padnou alespoň 4 šestky. po 110/83 

⎛ 6⎞ 

6 

2 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ ⋅5 

+ ⎜ ⎟ ⋅ 5 + 1 

⎝ 2⎠ 

⎝1⎠ 

= 0,0087 

6 

6 

7) V zásilce je 18 dobrých výrobků a 2 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. Určete 

pravděpodobnost, že z nich po 106/56 

a) všech 5 výrobků je dobrých 

b) 4 výrobky jsou dobré a 1 je vadný 

c) 3 výrobky jsou dobré a 2 vadné 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛18⎞ 

⎜ ⎟ ⋅ 

⎝ 4 

20 

5 

⎛18⎞ 

⎜ ⎟ ⋅ 

⎝ 3 

8) V hodině matematiky mají být ze 30 žáků vyzkoušeni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že 

⎛29⎞ 

⎜ ⎟ 

3 

mezi nimi nebude určitý žák po 108/761 

⎠ 

− 

⎝ 

0, 87 

⎛30⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

9) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvojciferné přirozené číslo je dělitelné 

45 30 60 

dvěma nebo třemi. po 111/92 + − = 067 

90 90 90 

10) Z 12 mužů a 14 žen se losují 3 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou (Po 

1004/37) 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

20 

5 

18 

5 

5 

5 

36 

20 

⎛ 2 

⎜ 

⎝1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛2 

⎜ 

⎝2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


50


a) samé ženy 

b) 2 ženy a 1 muž 

P (A) 

⎛12⎞ 

⎜ ⎟⋅ 

⎝ 1 

⎛14⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

= 

⎛26⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛14 

⎜ 

⎝ 2 

26⎞ 

⎟ 

2 ⎠ 

c) alespoň 1 muž 1-P(A) 

11) Ve třídě je 32 žáků, z nichž je připraveno pouze 10. V hodině budou 3 žáci zkoušeni. 

určete pravděpodobnost, že 

a) ani jeden není připraven 

b) právě jeden je připraven 

c) alespoň dva jsou připraveni 

12) Ze 4 studentů a 6 studentek, mezi nimiž je student A a studentka B, mají být vylosováni 

tři pro účast na jisté akci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vylosovanými bude student A 

⎛9⎞ 

⎛9⎞ 

⎛8⎞ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ 

2 2 1 

nebo studentka B po 111/95 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

= 0, 53 

⎛10⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

13) Hodíme 4 kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou buďto samá sudá čísla nebo 

samá čísla větší než 3 

14) Z úplné hry 32 karet vytáhneme 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že budou všechny 

červené nebo všechny esa 

15) V prodejně pánské obuvi zaznamenávali velikosti prodaných párů během dne s tímto 

výsledkem:41,41, 41, 42, 41, 39, 41, 45, 41, 42, 38, 40, 39, 98, 41, 41, 38, 42, 39, 44, 43, 

44, 39, 39, 43, 43, 40, 42, 43, 42, 41, 41, 43, 40, 40, 40, 42, 42, 41, 70, 42. 

a) Určete rozsah souboru 

b) Vypočtěte absolutní a relativní četnosti znaku „velikost“ 

c) Vyjádřete relativní četnosti v procentech 

d) Určete modus a medián 

48. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 

Posloupnost je zobrazení všech přirozených čísel do množiny všech reálných čísel 

∞ 

a , ,... 

n 

= a1 a2 a 

(nekonečná posloupnost reálných čísel) { } ,... 

n 1 n 

= . 

Posloupnost je zobrazení prvních n přirozených čísel do R (konečná posloupnost R) 

k 

a a a ,... a 

{ } , n 

1 2 k 

= n= 1 . 


51


Posloupnost rostoucí: 

r < s ⇔ ar 

< as 

r, 

s ∈ N 

Posloupnost klesající: r < s ⇔ a > a r, 

s ∈ N 

( ) ∞ n n=1 

r 

s 

a je aritmetická posloupnost ∃d 

∈ R, ∀n 

∈ N : a = a d , d – diference 

pro členy platí: 

⇔ 

n +1 n 

+ 

1 

+ ( n −1 

d 

a n 

= a ) 

a 

s 

= a + ( s − r) 

d; 

s, 

r ∈ R 

n 

součet prvních n členů: s 

n 

= ( a1 + an 

) 

2 

r 

1) Nalezněte aritmetickou posloupnost, v níž součet prvních tří členů je 27 a součet jejich 

druhých mocnin je 275. Kolik je součet prvních deseti členů 

2) Součin po sobě tří následujících členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu. 

13 

d = 

Určete tyto tři členy, je-li diference posloupnosti 3 

3) Mezi čísla a1 = 3 a a n = -9 vložte tolik členů aritmetické posloupnosti, aby jejich součet 

byl s n = -33. Kolik členů je nutno vložit 

4) Kolik členů aritmetické posloupnosti, kde a 1 = 3, d = 2, je nutné minimálně sečíst, aby 

jejich součet byl alespoň 120 

5) Zjistěte, zda existuje vypuklý n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a 

každý další vnitřní úhel má velikost o 4° větší než úhel předchozí. 

6) Zjistěte, zda existuje vypuklý n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a 

každý další vnitřní úhel má velikost o 4° větší než úhel předchozí. 

7) Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer 

vrstvy dolní. Do kolika vrstev se 102 roury, má-li nejvrchnější vrstva 3 roury Kolik rour 

má nejspodnější vrstva 

8) V podniku měli v lednu při výrobě součástek 20 kusů závadných. Počet těchto závadných 

součástek se každý měsíc pravidelně zmenšoval o 2 kusy. Kdy (ve kterém měsíci) bylo 

všech závadných kusů dohromady 98 

9) Posloupnost je zadána rekurentně. Napište několik členů. Posloupnost zapište vzorcem 

a , a = 3, a = 2 a − a 

1 

= 5 

+ 

3 − 

n+ 

pro n-tý člen 

2 n 2 

( 

n 

) 

1 

10) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, platí-li : s 5 = 60 , s 10 = 170 . 

11) Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 210, součet následujících deseti 

členů této posloupnosti je 610. Určete a , d 

1 

. 

12) V aritmetické posloupnosti je první člen a 1 = 10 a diference d = -2. Vypočítejte člen, který 

je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. 

13) Určete všechny členy konečné aritmetické posloupnosti ( ) n k k 

a , víte-li, že součet prvních 

= 1 

čtyř členů je 68, součet posledních čtyř je -36 a součet všech jejích členů je 68. 

17 

a , a = 22 

14) Vypočtěte 10. člen aritmetické posloupnosti ( a ) ∞ n n=1 

(Po26/71, ( ) k 

k k k 

− 2 

= 1 

, je-li součet prvních n členů 

s n 

= 3n 

2 − 5n 

(52) 


52


15) Určete součet prvních 20 členů aritmetické posloupnosti ( a ) ∞ n n=1 

, je-li 

a + a + a + a 20 

(Po27/70,100) 

6 9 12 15 

= 

16) Kolik zaplatíme za vyvrtání studny 9 m hluboké, jestliže vyvrtání prvního metru stojí 

60 Kč a za každý další vyvrtaný metr se zaplatí o 15 Kč více než za metr předchozí 

17) Určete aritmetickou posloupnost ( a ) ∞ n n=1 

, v níž součet prvních n členů je roven 

čtyřnásobku druhé mocniny jejich počtu. Po27/66( − 4) ∞ = 

, a = 4, d 8 

8n n 1 1 

= 

18) Určete součet prvních 13 členů aritmetické posloupnosti, v níž součet prvních šesti členů 

se sudými indexy je 90. 

Po26/65 

49. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST 

( ) ∞ n n=1 

a je geometrická posloupnost ∃q 

∈ R, ∀n 

∈ N : a = a ⋅ q , q – kvocient 

pro členy platí: 

a 

a 

a 

n 

s 

n 

= a 

1 

= a 

r 

⋅ q 

⋅ q 

n−1 

s−r 

= an− 

1 

⋅ an+1 

⇔ 

n+1 

; s, 

r ∈ R 

součet prvních n členů: q = 1; 

s = n 

na1 

n 

q −1 

q ≠1; 

sn 

= a1 

q−1 

Úročitel: r = 1 + p , p přírůstek (%) 

Pravidelný růst: 

a = ar 

n 

n 

, a počátek 

n 

n r −1 

Růst s příspěvky: an 

= ar + b ⋅ , b příspěvky 

r −1 

n + 

Jednoduché úrokování (vkládáme po měsíci): a n 

= n ⋅ a + a ⋅ p ⋅ ⋅ 

12 

2 

n 

r −1 

Složité úrokování (roční): an 

= a ⋅ 

r −1 

n 

( 1 ) 

1 

n 

a 

n+ 

1 

q = 

a 

n 

1 

1) V geometrické posloupnosti a1 = 16 

a + = 768 

n 

a n +1 

 

,q = 2. Vypočítejte s 5 , pro který člen platí že 

2) Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby vznikla geometrická posloupnost se součtem 

vložených členů 630. 

3) Součet prvních čtyř po sobě následujících členů geometrické posloupnosti je 80. Určete ji, 

jestliže a 4 = 9a 2 . 

4) V geometrické posloupnosti určete kvocient q a členy a , n−1 an+ 

3 

, jestliže 

3 

a = 6; 

= 

n 

a n + 2 

. 

2 


53


5) V geometrické posloupnosti určené n-tým členem 

kvocient q a množinu všech 

x ∈ R ; pro která platí q < 1. 

6) V geometrické posloupnosti platí: s 

6 

= 9s3 

. Určete a , q 

10 

x ⋅ 2 

a určete člen a n+1 , 

n 

= 

n 

1 

. 

+ 

( x −1) 1 

( n+ 

1 

sin x 

7) V geometrické posloupnosti )∞ n= 

1 

určete všechna 

x ∈ R , pro něž platí q < 1. 

8) Vkladatel uložil na počátku roku na terminovaný vklad na 4 roky částku 12 500 Kč. Roční 

úroková míra je 12,75% daň z úroků je 15%. Jak vysokou částku bude mít na konci 

čtvrtého roku, jestliže nevybíral žádné úroky a úrokovací období je půl roku: 

9) Urči, jak velký je ostrý úhel , tvoří-li sinα , tgα , 

geometrické posloupnosti. 

1 

cosα 

tři po sobě jdoucí členy 

10) Bakterie se množí dělením, ke kterému dochází vždy jednou za půl hodiny. Kolik bakterií 

vznikne za 12 hodin z jedné bakterie. 

1 

1 

a s kvocientem q = − pro p ∈ N je p-tý člen a 

p 

= 

2 

8 

11 

a součet prvních p členů s 

p 

= . Určete toto p, první člen a 

1 

a vyjádření n-tého členu a 

n 

8 

n −n 

pro obecné n ∈ N 

Po31/94,( p a ( ) − 1 2 

= 5 , = 2, = −1 

⋅ 

11) V geometrické posloupnosti ( ) ∞ n n=1 

1 

a n 

2 

12) Kolik zaplatíme za vyvrtání studny 9 m hluboké, jestli-že vyvrtání první prvního metru 

stojí 60 Kč a za každý další vyvrtaný metr se zaplatí o 15 Kč více než za metr předchozí 

(Po36/121,1080 Kč) 

13) Bakterie se množí půlením tak, že k tomuto dělení dochází za příznivých podmínek vždy 

jednou za půl hodiny. Kolik bakterií vznikne z jedné bakterie za 10 hodin 

14) V geometrické posloupnosti platí: 


a1 = 2, q = 3, sn 

= 80 

. Určete 

n,an 

s6 = 9s3, 

a3 

= −12 

. Určete 

a1 , q, 

a6 

, s6 

. 

(Po37/1271048576) 

16) Občan si založil na konci roku 1992 osobní konto s roční úrokovou mírou 11,75% a 

s pololetním úrokovacím obdobím. Na konto uložil 6000 Kč a stejnou částku pak 

pravidelně ukládal koncem každého kalendářního období. Jak vysoká částka byla na jeho 

kontě na konci roku 1994 

17) Kolik peněz musí pan Spořil uložit, aby při ročním úročení 8,5% měl za pět let 25 5000 

Kč (Daně z úroků jsou 15%) 

18) Určete první člen, kvocient a součet prvních osmi členů v geometrické posloupnosti, ve 

a4 = 64 a a3 

= 5 

které platí: 

a1 

. 


54


19) Určete kvocient a první a čtvrtý člen součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti, 

ve které platí: a 

1 

+ a2 

= 240 ∧ a2 

+ a3 

= 60 

20) Určete první člen, kvocient a součet prvních 10 členů posloupnosti, ve které 

a2 

+ a3 

= 60 

platí: 

a + a = 252 

1 

4 

21) Za pět let se počet obyvatel ve městě X zvýšil o 12%. Jaký byl roční přírůstek (Počítejte 

s přesností na setiny.) 


q = − 1 182 

, 

6 

3 

s = 9 

. Určete a1 , a3, 

a6 

. [2b] 

23) Stroj ztrácí každý rok 10% své hodnoty. Jaká byla jeho nákupní hodnota jestliže po 13 

letech měl hodnotu 10 168 Kč. 

24) Teplota Země přibývá do hloubky přibližně o 1°C na 33 metrů. Jaká je teplota na dně dolu 

1015 metrů hlubokého, je-li v hloubce 25 metrů teplota 9°C 

25) Pan Spořil uložil počátkem roku na termínovaný vklad na 2 roky částku 6000 Kč. Roční 

úroková míra je 9%, úrokovací období je půl roku.Jak vysokou částku bude mít v bance 

na konci druhého roku, jestliže nevybíral úroky. (Daně z úroků jsou 15%) 

26) Cena stroje po 12 letech klesne v důsledky opotřebování o 90% kupní ceny. Kolik procent 

ceny stroje v předchozím roce je třeba každoročně odepisovat 

50. VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ, LIMITA POSLOUPNOSTI 

Nekonečná posloupnost – fce, D f =N 

Posloupnost ( a ) ∞ n 

je rostoucí 

n=1 

⇔ ∀n ∈ N je a n < a n+1 

Posloupnost ( ) ∞ n n=1 

Posloupnost ( ) ∞ n n=1 

a je klesají ⇔ ∀n ∈ N je a n > a n+1 

a shora omezená ⇔ ∃ h ∈ R : ∀ n ∈ N je a h . 

Posloupnost ( a ) ∞ n 

zdola omezená ⇔ ∃ d ∈ R : ∀ n ∈ N je a ≥ d . 

n=1 

n 

Posloupnost je omezená ⇔ je omezená shora i zdola. 

a právě tehdy, když 

Číslo a se nazývá limita posloupnosti ( ) ∞ n n=1 

∀ε 

∈ R 

+ 

, ∃n 

: ∀n 

∈ N n ≥ n platí a − a ≤ ε ⇒ posloupnost je konvergentní 

0 

, 

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. 

Každá konvergentní posloupnost je omezená. 

Věty o limitách 

0 

n 

n ≤ 

⎛ 1 

1) Zjistěte,zda posloupnost ⎜ 

⎝ n n 

2) Určete limitu posloupnosti: 

a) 

2 3 

n − n 

lim 

n→∞ 

2 

(3n 

− 2)(1 − n ) 

2 

b) lim ( n − n + n) 

n→∞ 

( 1) 

⎞ 

⎟ 

∞ 

+ ⎠ n= 

1 

rostoucí či klesající. 


55

c) 

⎛1+ 

3 + 5 + ... + 

lim⎜ 

n ∞⎝ 

n + 1 

( 2n 

−1) 


n ⎞ 

− ⎟ 

⎠ 

→ 3 

4 

n + 1 

lim 

n→∞ 

3 

d) n + 2n 

+ 3 

e) 

2 

⎛ 3n 

− 2 ⎞ 

9 

lim⎜ 

⎟ 

n→∞⎝ 

4n 

+ 1 ⎠ 16 

3) Vypočítejte limity posloupností: 

2 

a) lim n + n − n 

b) 

n→ 

1+ 

2 + 3 + ..... + n n 

lim 

− 

n→∞ 

n + 2 2 

4) Pro která čísla x ∈ R je posloupnost 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

nx 

n 

⎞ 

⎟ 

∞ 

+ 1⎠ 

n = 1 

rostoucí a pro která klesající 

51. NEKONEČNÉ ŘADY 

s 1 = a 1 

s 2 = a 1 + a 2 

s 3 = a 1 + a 2 + a 3 

s n = a 1 + a 2 + a 3 +... a n = ∑ 

n 

a n 

k = 1 

s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , - posloupnost částečných součtů nekonečné řady 

neexistuje lim = s, 

s ∈ R - řada je divergentní 

existuje 

s n 

n→∞ 

lim s 

n→∞ 

n 

= ∑ ∞ 

n= 

1 

a 

n 

= s, 

s ∈ R - řada je konvergentní, s – součet nekonečné řady 

Každá aritmetická nekonečná řada je divergentní. 

Geometrická nekonečná řada ∑ ∞ 

n= 

n−1 

a 

1q 

je konvergentní je-li: 

1 

≠ 0; q < 1 

1 

je divergentní, je-li a 

1 

≠ 0; q ≥ 1 

a a 

a1 

s = 1 − q 

1) Nad výškou rovnostranného trojúhelníka je sestrojen rovnostranný trojúhelník,nad jeho 

výškou další atd. Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků 

2) Řešte v R 

4 16 64 2x 

+ 1 

3 − + + + ... = 

2 3 

a) x x x 1x 

−1 

b) 

1− 

tg x + tg 

2 

3 tg2x 

x − tg x + .. = 

1+ 

tg 2x 

x+ 2 

x x−1 

x−2 

c) 

2 ⋅3 

−135 

= 2( 3 + 3 + 3 + ..) 

2 

d) 

1+ 

log x + ( 1+ 

log x) + ( 1+ 

log x) ... = − 6 log x 

3 


56


2 

e) 1+ 3x 

+ 9x 

+ ... = 10 

∑ ∞ 

i= 

1 

f) ( x + 2) 

∑ ∞ 

n= 

1 

2i 

x 

g) ( 2 ) = 1 

h) ∑ ∞ 

= 

n 1 

n 

⎛ 3 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

n−1 

= 

1 

3 

4 

= 

x − 4 

3) Zjistěte pro které hodnoty parametru x ∈ R jsou dané nekonečné řady konvergentní 

geometrické řady a určete jejich součty 

a) ∑ ∞ 

n=1 

b) ∑ ∞ 

= 

x 

1− 

x 

2 

2n 

x s = , x ∈ ( −1,1 

) 

2 

n 1 

⎛ 

⎜ − 

⎝ 

2 

3 

⎞ 

⎟ 

x ⎠ 

n−1 

4) Určete součet nekonečné řady (pokud existuje). 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

g) 

1 

3 

− 

∑ ∞ 

n= 

1 

− 

1 

9 

+ 

1 

29 

− 

1 

81 

n 

( −1) ⋅ ( 2) 

1 

3 

+ 

1 

6 

− 

1 

12 

+ 

n 

+ ... 

1 

24 

1 1 

5 + 1+ 

+ + ... 

5 25 

− ... 

3 3 3 3 

3 + + + + + ... 

2 4 8 16 

3 9 27 81 

1− 

+ − + − ... 

4 16 64 256 

1 

2 

+ 

1 

3 

+ 

1 

4 

+ 

1 

9 

+ 

1 

8 

+ 

1 

27 

+ ... 

h) 

3 − 2 + ( 3 − 2) + ( 3 − 2) + ... 

i) 

5 − 2 + ( 5 − 2) + ( 5 − 2) + .. 

2 

2 

3 

3 

3x 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

s = , x ∈ ⎜ − ∞, 

− ⎟ ∪ ⎜ , ∞⎟ 

3x 

+ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

4 8 

j) 3⋅ 

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅... 

5) Do rovnostranného trojúhelníku o straně a je vepsán kruh, nad tento kruh další kruh, pak 

znovu další atd. Vypočtěte součet obsahů všech těchto kruhů. 

6) Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve 

středech stran daného čtverce°takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve 

středech předchozího čtverce atd. 


57


7) Určete součet obvodů všech čtverců 

8) Určete součet obsahů všech čtverců 

9) Nekonečná spirála se skládá z polokružnic, poloměr první polokružnice je 6cm, poloměr 

1 

každé další polokružnice je o 3 menší než poloměr kružnice předcházející. Vypočítejte 

délku spirály. 

10) Řešte rovnici s neznámou x ∈ R : 

∑ ∞ 

n= 

1 

x n 

( 2 ) = 1 

11) Do čtverce o straně a je vepsán kruh, do tohoto kruhu je vepsán čtverec, do čtverce opět 

kruh atd. Určete součet obsahů všech kruhů a součet obsahů všech čtverců takto 

vytvořených. Určete součet obvodů všech kruhů a součet obvodů všech čtverců takto 

2 

πa 

2 

vytvořených , 2a 

, πa( 2 + 2) , 4a( 2 + 2) 

2 

52. KOMPLEXNÍ ČÍSLA – GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ 

imaginární jednotka i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, i 5 =i ... 

komplexní číslo: z = a + bi, a reálná část, b – imaginární část 

komplexně sdružené číslo: _ z = a – bi 

absolutní hodnota: 

komplexní jednotka: z = 1 

_ 

z = z ⋅ z = 

2 

a + 

Gausova rovina 

Goniometrický tvar: z = z (cosϕ 

+ isin 

ϕ) 

,ϕ = argument, 

cosϕ = 

a 

2 2 

a + b 

, sin ϕ = 

b 

2 2 

a + b 

z 

1 

⋅ z2 

= z1 

⋅ z2 

⋅ cos ϕ 

1 

+ ϕ 

2 

+ isin 

ϕ1 

+ ϕ 

Vzorce: [ ( ) ( )] 

z 

z 

1) Určete graficky: 

1 

2 

2 

b 

z1 

= ⋅ 

1 2 

i 

z 

⎛ 

⎞ 

a) ( 2 − i ) cos + isin 

⎟ 

⎠ 

b) 

2) 1) 

⎜ 

⎝ 

−1+ 

i 

1+ 

i 

5π 

6 

[ cos( ϕ −ϕ 

) + sin( ϕ −ϕ 

)] 

5π 

6 

2 

1 

1− 

2i 

1− 

2i 

z − ≤ z + - znázorni geometricky školní sešit 

i i 

3) z = 3 2 − 3i 

2 - převeď na goniometrický tvar 

4) = π 

2 

2 

⎛ 3π 

3π 

z = 6⎜cos 

+ isin 

⎝ 2 2 

z - převeď na goniometrický tvar 

z = π ( cos0 

+ isin 0) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


58


5) Nakreslete obrazy komplexních čísel z1 = 1+ 

2i 

, z2 = 3 − i . Potom graficky určete : 

a) 

z = z 1 

+ z 

2 

b) z = z 1 

− z2 

6) Převeď na algebraický i goniometrický tvar 

Petáková 135/17.3/14 

3 3 

⎛ 3 3 ⎞ 

a) z = 1+ 

cos π + isin 

π - z = 2 − 2 ⎜cos 

π + isin 

π ⎟ 

4 4 

⎝ 8 8 ⎠ 

⎛ 105 105 ⎞ 

7) Převeď na algebraický i z = 2⎜cos 

π + isin 

π ⎟ z = 1 + i 

⎝ 4 4 ⎠ 

8) V Gausově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro která platí: 

a) z − i = 2 

b) z −1 ≥ z + 1 

c) z = z + z 

z − 2 

d) ≥ 4 

z + 2 

e) 1 < z −1 

≤ 3 

a) z −1 

= z − i = z −1− 

i 

9) Napište všechna komplexní čísla = z z i , pro která platí: 

a) z = 1 a zároveň 

z 

1 

⋅ 3 = z 

2 

b) z = z 

z 

1 

+ 

2 

. Vyjádřete je v goniometrickém tvaru. 

53. KOMPLEXNÍ ČÍSLA – MOIVREOVA VĚTA 

n n 

Moivreova věta: [ z ⋅ cos ϕ + isin 

ϕ] = z ⋅( cosnϕ 

+ isin 

nϕ 

) 

Komplexní odmocnina 

1) Vypočítejte z 10 , jestliže 

a) ( 1+ 

i) 10 

n 

n 

a = z ⇔ a = z , n ∈ N, 

a, 

z ∈ C 

, n- přirozené číslo 

1 + i 

b) z = 

1 − i 


3 

3 

a) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

2 

2 ⎞ 

− i ⎟ 

2 

⎠ 

− 

b) ( ) 8 

3 − i 

4 


59


3) Vypočtěte a 5 15 − 5i 

1− 

3i 

. a = − + (3 + i) 

⋅( 

−1+ 

2i) 

1+ 

2i 

i 

4) Vypočtěte v oboru komplexních čísel: 

a) 

6 

⎧π 

π 5π 

7π 

3π 

11π 

⎫ 

− 1 

St135/7cosϕ + i sin ϕ, 

ϕ ∈ ⎨ , , , , , ⎬ 

⎩ 6 2 6 6 2 6 ⎭ 

b) 3 8i { 3 + i, 

− 3 + i, 

−2i} 

4 

c) 8 + 8i 

− { 3 + i, 

−1+ 

i 3, − 3 − i,1 

− i 3} 

d) 4 81 { 3, 

− 3,3 i, 

−3i} 

5) Pomocí výpočtu třetí mocniny komplexních čísel vypočtěte: 

60 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a) ⎜ 

1 3 

⎟ ⎜ 

1 3 

+ ⎟ 

+ 

− i 

= 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

30 

i Po83/26( − 1) + ( −1) = 2 

60 

⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ 

b) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

+ 

− j 

= 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

30 

20 

i ( ) 1 10 

i 

20 

+ − i 

54. ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL. 

1) V oboru komplexních čísel řešte rovnici: 

a) z 5 + z 4 + z 3 +z 2 + z + 1 = 0 


a) 2x 5 – x 4 – 4x 3 – 4x 2 – x + 2 = 0 

b) 5x 4 – 6x 3 + 6x – 5 = 0 

3) Určete pro které hodnoty reálného parametru p má rovnice (p + 10) x 2 + 6x – p = 0 

s neznámou x dva komlexně sdružené kořeny. 


a) z − z = 1+ 2i 

b) z + z = z − z 

c) − z = ( z) 2 

_ 

d) 

2 

z = z 

e) z = z + z 

5) Nakreslete v Gausově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí: 

a) 1 < z + 3i 

− 2 ≤ 4 

b) z + i + z + 1 − i = 4 


1 + 2i z = 2z 

− i 2 + i 

a) ( ) ( ) 

2 

c) z = z + z 

1+ 

i 

z = 1 − i 

1 

d) ( )( z −1) 

e) − z = ( z) 2 

10 

= 

10 

− 


60


f) 

3 

x + 27 = 0 

g) 

2 

ix + 2x 

− 5i 

= 0 


a) 

3 

x + 27 = 0 

b) 

2 

x − 6ix − 8 = 0 

c) 

2 

x − 2x 

− 2ix 

+ 2i 

= 0 

d) 

2 3 

z − zi + 1 = 0 

2 

e) 

6 

x −1 

= 0 

f) 

2 

ix + 2x 

− 5i 

= 0 

g) 

3 

x − 64i 

= 0 

3 

1− 

i 

i 

h) ( 2 + i) − = x − 4yi 

− y 

2 

⎛1+ 

i ⎞ 1 

i) i − ⎜ ⎟ = 1− 

z ∈ C 

⎝1− 

i ⎠ z 

j) z( z − 4 ) −1 

= 8i 

k) ( 1+ i) z − 3ω 

= −7 

− 6i 

l) 2 z + ( 2 + i) ω = 6 + 5i 

2 

m) x − 20 = ix( 2i 

− x) 

2 

n) x + ( i − 3) x + 2 − 2,5i 

= 0 

4 

o) ( ix ) + 3 − i = 0 

55. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 

1) Vypočítejte limity funkcí v daných bodech: 

a) 

b) 

x − 2 

− 6x 

lim 2 

x→2 

x + 

lim 

x→0 

8 

1− 

cos2x 

+ tg 

x sin x 

2 

x 

c) 

d) 

e) 

f) 

3 

4x 

− 2x 

+ 18 

2 

3x 

1 

lim 

+ 

x→∞ 

2 

1− 

2x 

3 

x→−∞ 

4x 

− 4x 

lim 

5x 

2 − x + 

lim 

x→∞ 

7 − 2x 

lim 

x→∞ 

1 

x + 1 

10 + x − 3 


61


lim 

2 

g) x + 3x 

−1 

− x 

x→−∞ 

lim 

x→ 

0 

h) x ⋅cot 

gx 

i) 

lim 

0 

x 

sin 

x → 4 

x 

j) 

lim 

x→∞ 

x 

2 − 1 

x 

k) 

lim 

x→ 

0 

x 

2 −1 

x 

2 

x + 1 −1 

l) lim 

x→0 

3 

x 

m) 

lim 

x→0 

x + 1 −1 

2 

x 

3 2 

⎧1⎫ 

Po143/15 ⎨ ⎬ 

⎩2⎭ 

⎧1 

⎨ 

Po143/15 ⎩3⎭ ⎬⎫ 

n) 

lim 

x→0 

3 

1+ 

x − 

x 

o) x + 1 − x 

p) 

x→∞ 

3 

1− 

x 

Po142/15 3 

2 

lim 2 { 0 } 

lim 

x→−∞ 

x 

x 

2 + 

1 

q) lim x( x + 1 − x) 

x→−∞ 

{ − 1} 

2 

{ − ∞} 

3 2 

x − x 

y = 

x ⋅ x −1 

2) Je dána funkce: 

. Určete její definiční obor a načrtněte graf. Rozhodněte, ve 

kterých bodech nespojitosti existuje limita funkce a vypočítejte ji. 

56. DERIVACE FUNKCE 

1) Najděte rovnice tečen funkce, které s osou x svírají daný úhel. Znázorněte situaci 

graficky. 

x π 

y = , α = x +1 4 

2) Vypočítejte první derivaci následujících funkcí: 

a) g ( x) 

= x −1 

1 + sin x 

b) h( 

x) 

= 

cos x 

c) 

d) 

f ( x) 

= tg 

2 

2cos x + cos x ⋅sin 

m( 

x) 

= 

3 

2 x 

2 x 


62


e) y = −cot 

g 

2 

3) Vypočítejte první a druhou derivaci následujících funkcí: 

2x 

f ( x) 

= 3 

g ( x) 

= (3e) 

h( 

x) 

= log( x 

m( 

x) 

= e 

x 

sin x 

2 

2 x 

+ 2x 

+ 1) 

x 

e 

n( 

x) 

= ln 

2 

1− 

x 

4) Napište rovnici tečny a normály v bodě T křivky, která je grafem funkce f(x) 

1 2 

a) f ( x) 

= x − 3x 

+ 5, T[ 2,1] 

2 

⎡π 

⎤ 

b) f ( x) 

= x − tg x, 

T ⎢ , 

⎣ 3 ⎥ ⎦ 

f ( x) 

= e 

−x ⋅cos2x, 

T 0, 

c) [ ] 

sin x − cos x ⎡π 

⎤ 

d) f ( x) 

= , T 

+ ⎢ 

, 

sin x cos x ⎣ 4 ⎥ 

⎦ 

2 

5) Napište rovnici tečny a normály ke křivce, která je grafem funkce f ( x) 

= x − 2x 

+ 3 

v takovém bodě, aby směrnice tečny byla k = -1. 

ln x 

6) Je dána funkce f ( x) 

= x . V oboru R řešte nerovnici f ′( x) 

≤ 0 . 

7) Pod jakým úhlem protíná přímka o rovnici 2 y −1 

= 0 graf funkce f ( x) 

= cos x 

57. ÚLOHY O EXTRÉMECH. 

1) Nádrž na vodu o objemu 32 m 3 má tvar hranolu se čtvercovou podstavou. Jaké 

rozměry musí mít, aby spotřeba dlaždiček na obložení stěn a dna byla minimální 

2) Určete, který bod křivky x 2 – y 2 +4 = 0 má od bodu M[1,0] nejmenší vzdálenost. O 

jakou křivku se jedná 

3) Určete globální extrémy funkce f(x) = x 4 – 2x 3 + 1 v množinách 

M = − ,3), M = ( −2,3 

, M = ( 1,3 . 

1 

2 

2 

3 

− 

4) Určete lokální extrémy funkcí 

a) 

2 

x − 3 

y = 9 ⋅ 

2 

x 

b) 

x 

e 

y = ln 

2 

1− 

x 

58. VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE 

1) D f , H f , sudá, lichá, periodická 

2) Body, ve kterých funkce není definována, ale má v nich limity ( i jednostranné), výpočet 

těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti 

3) Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot 

4) Výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých není definována 1. 

derivace 

5) Lokální extrémy, intervaly monotónosti 


63


6) Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých není 2. derivace 

definována 

7) Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti 

8) Asymptoty 

9) Obor hodnot 

10) Graf funkce 

Vyšetřete průběh funkce f(x) a načrtněte její graf: 

3 2 

a) f ( x) 

= x - 3x - 9x 

12( x + 2) 

b) f ( x) 

= 

2 

x 

c) 

d) 

e) 

f) 

f + 

4 3 2 

( x) 

= x − 8x 

13x 

1 

f ( x) 

= x + 

x 

x 

f ( x) 

= 

x 

3 

( −1) 2 

2 

x 

f ( x) 

= x − 2 

2 

g) f ( x) 

= x ⋅ ln x 

2 

h) f ( x) 

= cos x + cos x 

2 

i) f ( x) 

= x ⋅ ln x 

j) 

x 

y = Po191/51 

x 2 −1 

k) 

y 

− x 

= x + e 

Po191/51 

x 

e 

l) y = Po191/51 

x +1 

x 

m) y = Po191/51 

ln x 

1 

n) y = 2 

1+ 

x 

Pe159/54 

2x 

o) y = Pe159/54 

x 2 − 4 

1 

p) y = − x 

x 2 

Pe159/54 

q) y = x 

3 − 2x 

2 − 4x 

Pe159/52 


64


59. PRIMITIVNÍ FUNKCE 

Vypočtěte: 

( x −1) 

1) 

∫ 

x 

2 

2) ∫ sin x dx 

2 

dx 

⎛ 1 1 ⎞ 

3) ∫ ⎜ − ⎟dx 

3 

⎝ x x ⎠ 

dx 

4) ∫ 

2x −1 

x 

5) ∫ cos dx 

2 

2 

6) ∫ 3 x 1+ x dx 

2 

7) ∫ cos x dx 

8) ∫ x 2 sin x dx 

2 

9) ∫ ( 1 − sin x) 

dx 

10) ∫ 

2x −1 

1 

11) ∫ dx 

1+ cos2x 

12) ∫ x dx 

2 

⋅ cos dx 

5 

sin x 2sin 

− 

5 3 

3 

x 

+ sin x + C 

C + 2x 

−1 

ln x ⋅ ( ln x −1) + C 

⎛ 5 ⎞ 

13) ∫ x x⎜1 

+ ⎟ dx 

⎝ x x ⎠ 

⎛ x x ⎞ 

14) ∫ ⎜sin 

+ cos ⎟ dx 

⎝ 2 2 ⎠ 

15) ∫ tg 2 x dx 

5 

x 

16) ∫ 

x + 2 

dx 

∫ 

4 3 

17) sin x ⋅ cos xdx 

18) ∫ xe x dx 

2 


65


1 

19) ∫ xdx 

2 

1) Určete funkci f, jejíž graf prochází bodem B, má-li tečna grafu funkce f v libovolném 

bodě směrnici k. 

a) B [ 2,2 ], 

k = x − 3 

e x sin e x ( sin x − cos x) + c 

⎡π ⎤ 

b) B⎢ 

,2 , k = cos x + sin x 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

1 x −x 

c) B[ 0 ,1] , k = ⋅ ( e − e 2 

) 

d) B [ − 4 ,5], 

k = 2x 

+ 14 

60. URČITÝ INTEGRÁL 

1) Vypočtěte 

4 

dx 

a) ∫ 2 

1 

x 

2 

⎛ 1 ⎞ 

b) ∫ ⎜ x + ⎟ dx 

⎝ x ⎠ 

−2 

2 

2 

c) ∫ x 4 − x dx 

0 

π 

d) ∫ 2 0 

3 

sin 

x 

dx 

π 

∫ π − 

2 

a) 2 

( sin − cos x) 

x dx 

0 

π 

b) 

dx 

∫π 

2 2 

sin 

4 

x 

1 

4 

c) x ( 2 x ) 

∫ 1+ 

dx 

1 

1 

d) ( ) 

2 

∫ x + 3 dx 

21 

− 2 

3 

g x 

0 

2) Určete hodnotu parametru c ∈ R tak, aby pro funkci g( x ) = x 

2 + c platilo ( ) dx = 15 

3) Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí o rovnicích: 

2 

a) f ( x) 

= 2x 

+ 1, g( 

x) 

= 4x 

− 8x 

+ 5 

2 2 4 2 

b) f ( x) 

= x + 4, g( 

x) 

= x + 2 

9 

9 

2 

c) f ( x) 

= ln x, 

g( 

x) 

= 0, x ∈ e, 

e 

d) y = x, y = x − 2 

3 

e) ( ) = x − x∧ 

x∈ 

−1; 

1 

f x 

∫ 


66


x − x 

4) Vypočtěte obsah rovinného útvaru, který je omezen křivkami: y = e , y = e a přímkami: 

x = 1, 

x = −1 

[2b] 

5) Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací rovinného obrazce ohraničeného křivkami o 

rovnicích kolem osy x: 

2 

a) y = 2x, 

y = 0, x = 4 

b) 

y = = 

2 2 

1 − x , y x 

c) xy = 4, 

y = 0, x ∈ 1, 4 

d) , 

6) Odvoďte vzorec pro výpočet: 

a) objemu V rotačního válce s výškou v a poloměrem podstavy r 

b) objemu V komolého kužele s výškou v a poloměrem podstav r 1 , r 2 . 

7) Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně 


61. APLIKACE DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU 

1) Určete rozměry a obsah pravoúhelníku, který je vepsaný do kruhu o daném poloměru r a 

má maximální obsah. 

Po192/61 

2) Jaké rozměry musí mít rotační válec daného povrchu S, má-li jeho objem být co největší 

Po192/62 

3) Na grafu funkce 

4 

f : y = určete takový bod p, jehož vzdálenost od počátku kartézské 

x 

2 , 2 

soustavy souřadnic je nejmenší. [ ] 

4) Odvoďte vzorec pro výpočet: 

a) obsahu kruhu o poloměru r 

b) objemu rotačního válce s výškou v a poloměrem podstavy r 

c) objemu rotačního kužele, je-li poloměr podstavy r a výška v 

d) objemu koule o poloměru r 

5) Závislost dráhy na čase je : 

a) pro pohyb rovnoměrně zrychlený:s = s 0 +v 0 t + 2 

1 at 

2 

b) pro kmitavý pohyb:s = r sin(ωt + ϕ) 

Určete pro oba pohyby okamžitou rychlost,zrychlení a sílu působící na hmotný bod v čase t. 

6) Určete velikost okamžité rychlosti přímočarého pohybu tělesa, pro jehož dráhu v čase t 

platí vztah s = −5 t + 200t 

+ 12 ( v metrech), kde t je čas od začátku pohybu 

(v sekundách). Ve kterém okamžiku těleso zastaví 


67


7) Jakou rychlostí se mění tlak plynu v závislosti na objemu pro reálný plynTlak a objem 

A 

spojuje Van der Waalsova rovnice: (p + 

2 ) (V-b) = k 

V 

8) Najděte rovnici pro rychlost a zrychlení pohybu v závislosti na čase t, je-li dráha pohybu 

1 2 

dána rovnicí s () t = s 

0 + v 

0 t + gt 

2 

9) Najděte rovnici dráhy s tělesa v závislosti na čase t, platí-li pro jeho rychlost: 

v t = sin t ∧ s(0) 

= 

( ) 0 


68


Maturitní okruhy z matematiky 2004 

1. Základy výrokové logiky..............................................................................................1 

2. Množiny a operace s nimi.............................................................................................4 

3. Číselné množiny, elementární teorie čísel....................................................................3 

4. Matematické důkazy. ...................................................................................................3 

5. Matematická indukce...................................................................................................3 

6. Algebraické výrazy.......................................................................................................7 

7. Lineární rovnice a nerovnice (absolutní hodnota)......................................................8 

8. Kvadratické rovnice a nerovnice.................................................................................9 

9. Rovnice s neznámou pod odmocninou.........................................................................9 

10. Nerovnice s neznámou pod odmocninou................................................................10 

11. Soustavy rovnic a nerovnic.....................................................................................11 

12. Lineární rovnice a soustavy s parametrem............................................................12 

13. Kvadratické rovnice s parametrem........................................................................13 

14. Funkce – základní pojmy, vlastnosti......................................................................14 

15. Funkce lineární ( s absolutní hodnotou)................................................................16 

16. Funkce lineární lomené ( s absolutní hodnotou)....................................................16 

17. Funkce kvadratické (s absolutní hodnotou)...........................................................17 

18. Funkce mocninné ( s absolutní hodnotou).............................................................17 

19. Funkce exponenciální a logaritmické.....................................................................18 

20. Exponenciální a logaritmické rovnice....................................................................19 

21. Exponenciální a logaritmické nerovnice................................................................20 

22. Definiční obor složené funkce.................................................................................21 

23. Inverzní funkce.......................................................................................................22 

24. Funkce goniometrické ............................................................................................23 

25. Goniometrické vzorce.............................................................................................23 

26. Goniometrické rovnice...........................................................................................24 

27. Goniometrické nerovnice........................................................................................26 

28. Trigonometrie – řešení trojúhelníka......................................................................27 

29. Planimetrie – geometrické útvary v rovině............................................................27 

30. Konstrukční úlohy 1 (Množiny všech bodů dané vlastnosti.)................................28 

31. Konstrukční úlohy 2- Základní geometické konstrukce .......................................29 

32. Shodná zobrazení....................................................................................................29 

33. Podobná zobrazení..................................................................................................30 

34. Polohové vlastnost přímek a rovin, řezy................................................................31 

35. Metrické vlastnosti přímek a rovin........................................................................33 

36. Mnohostěny a rotační tělesa...................................................................................35 

37. Vektorová algebra ..................................................................................................36 

38. Lineární útvary v rovině.........................................................................................38 

39. Lineární útvary v prostoru.....................................................................................39 

40. Kružnice a elipsa.....................................................................................................42 

41. Parabola a hyperbola..............................................................................................43 

42. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky................................................................44 

43. binomická věta........................................................................................................45 

44. Faktoriál kombinační čísla, Pascalův trojúhelník.................................................46 

45. Praktické aplikace kombinatoriky k,n˛N............................................................47 

46. Pravděpodobnost a statistika.................................................................................49 

47. Aritmetická posloupnost.........................................................................................51 

48. Geometrická posloupnost.......................................................................................53 

49. Vlastnosti posloupností, limita posloupnosti..........................................................55 


69


50. Nekonečné řady ......................................................................................................56 

51. Komplexní čísla – geometrické znázornění............................................................58 

52. Komplexní čísla – Moivreova věta.........................................................................59 

53. Řešení rovnic v oboru komplexních čísel...............................................................60 

54. Limita a spojitost funkce........................................................................................61 

55. Derivace funkce ......................................................................................................62 

56. Úlohy o extrémech..................................................................................................63 

57. Vyšetřování průběhu funkce..................................................................................63 

58. Primitivní funkce....................................................................................................65 

59. Určitý integrál.........................................................................................................66 

60. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu.......................................................67 

 


70

MaturitnÃ­ opakovÃ¡nÃ­ - milana.unas.cz

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

MaturitnÃ opakovÃ¡nÃ - milana.unas.cz