Elektri ja magnetismi ülesandeid

1 ELEKTROSTAATIKA 3
katetele mõjuv jõud pinnaühiku kohta (elektrostaatiline
rõhk). 2 Laengu pindtihedus katetel on ±σ.
Vastus: Katetevahelises ruumis E = σ/ε 0 , väljaspool E = 0;
p = σ 2 /2ε 0 .
Ül. 4. Leidke elektrilaengu keskmine ruumtihedus atmosfääris,
kui on teada, et maapinna lähedal on allapoole suunatud
elektriväli tugevusega ligikaudu 100 V/m, 1500 m kõrgusel
aga 25 V/m.
Vastus: ρ ≈ 4,4 × 10 −13 C/m 3 .
Ül. 5. Leidke peenikese, sirge ja lõpmata pika traadi poolt
tekitatav elektrivälja tugevus kaugusel r traadist, kui laengu
joontihedus piki traati on λ.
Vastus: E = λ/(2πε 0 r).
Ül. 6. Tõestage, et ühtlaselt laetud sfääri sisemuses elektriväli
puudub.
Ül. 7. Leidke elektrivälja tugevus kaugusel r ühtlaselt laetud
kera keskpunktist. Laengu ruumtihedus on ρ ja kera raadius
R.
Vastus:
E(r) =
{
ρr/(3ε 0 ) kui r < R
ρR 3 /(3ε 0 r 2 ) kui r ≥ R .
Ül. 8. Leidke elektrivälja tugevus kaugusel r lõpmata pika,
ühtlaselt laetud silindri teljest. Laengu ruumtihedus on ρ ja
silindri raadius R.
Vastus:
E(r) =
{
ρr/(2ε 0 ) kui r < R
ρR 2 /(2ε 0 r) kui r ≥ R .
Ül. 9. Õhukeses tasapinnalises elektroodis on ümmargune
avaus raadiusega a. Elektroodist ühele poole jäävas poolruumis
(avast eemal) on homogeenne elektriväli E 1 , teiselpool
elektroodi on homogeenne elektriväli E 2 (joonis 1). Elektronide
kimp on fokuseeritud avause teljel paiknevasse punkti
kaugusel z 1 elektroodist. Pärast avause läbimist koondub osakeste
kimp teiselpool elektroodi kaugusel z 2 . Osakeste energia
eU 0 ≫ eE 1 z 1 , eE 2 z 2 ja a ≪ z 1 , z 2 . Näidake, et sellistel
tingimustel kehtib “läätse valem” kujul 1/z 1 + 1/z 2 =
(E 1 − E 2 )/4U 0 . Juhtnöör. Avause vahetus läheduses on väli
tugevalt mittehomogeenne. Elektrivälja radiaalsihilise komponendi
hindamiseks selles piirkonnas rakendage Gaussi teoreemi
lühikesele koaksiaalsele silindrile, mis läbib avaust.
1.2 Superpositsiooniprintsiip
Väljade superpositsiooniprintsiip on hästi teada: laengute süsteemi
poolt antud ruumipunktis tekitatud elektrivälja tugevus
on võrdne nende väljatugevuste vektorsummaga, mida
tekitaksid süsteemi kuuluvad laengud üksikuna (valem 1).
Mõnikord on kasulik selle erijuht: nullise laengutihedusega
ruumipiirkonda võib vaadelda kui kahe võrdvastasmärgilise
laengujaotuse superpositsiooni. Siin on teatud analoogia mehaanikaga,
kus sarnast ideed rakendatakse õõnsate kehade
2 Siin ja edaspidi (kui pole teisiti märgitud) eeldame, et plaatkondensaatori
katete mõõtmed on hulga suuremad nende vahekaugusest.
masskeskme leidmisel.
Joonis 1: vt. ül. 9
Ül. 10. Kella numbrilauale on fikseeritud punktlaengud
suurusega q, 2q, 3q, . . . , 12q (q > 0), mis paiknevad vastavatel
tunnijaotistel. Millist aega näitab tunniosuti hetkel, kui
ta on paralleelne ja samasuunaline nende laengute poolt tekitatud
resultantväljatugevuse vektoriga numbrilaua tsentris
Vihje. Kasutage sümmeetriat ning asjaolu, et vektorite summa
ei sõltu liidetavate järjekorrast (liitmise kommutatiivsus
ja assotsiatiivsus).
Vastus: 15 : 30
Ül. 11. a) Määrake elektriväli õõnsuses, mis moodustub kahe
ühtlaselt laetud kera lõikumisel (joon. 2). Laengu ruumtihedus
ühes keras on ρ ja teises −ρ, mõlema kera raadius on
R ning nende tsentrite vahekaugus on d. b) Lahendage sama
ülesanne kui tegemist on kahe lõpmata pika paralleelse
silindriga.
Vastus: a) E = ρd/(3ε 0 ), b) E = ρd/(2ε 0 ) (homogeenne
väli).
Joonis 2: vt. ül. 11
Ül. 12. Homogeenselt laetud kera (laengu ruumtihedus ρ)
sisemuses on sfääriline õõnsus, mille keskpunkti asukoht kera
tsentri suhtes on r 0 . Leidke elektriväli õõnsuses.
Vastus: E(r) = (ρ/3ε 0 )r 0 (homogeenne väli).
1.3 Elektridipool
Sageli pakub huvi komplitseeritud laengute süsteemi (nt molekuli)
poolt tekitatav elektriväli suurtel kaugustel (so. kau-