Elektri ja magnetismi ülesandeid
Elektri ja magnetismi ülesandeid Elektri ja magnetismi ülesandeid
7 LAETUD OSAKESTE LIIKUMINE ELEKTRI- JA MAGNETVÄLJAS 23 (tuletame relatiivsusteooriast meelde ruumi kontraktsiooni ja aja dilatsiooni nähtusi). Laeng ise, nagu seisumasski, on invariantne. Olgu meil kaks inertsiaalset taustsüsteemi, mille vastavad koordinaatteljed on paralleelsed. Süsteemi K ′ alguspunkt liikugu piki x-telge kiirusega u. Defineerime γ = 1/ √ 1 − u 2 /c 2 . Mitterelativistlikul juhul γ → 1. Väljavektorid teisenevad üleminekul K → K ′ järgmise eeskirja kohaselt: E ′ x = E x , E ′ y = γ(E y − uB z ), E z = γ(E z + uB y ), B ′ x = B x , B ′ y = γ(B y + u c 2 E z), B ′ z = γ(B z − u c 2 E y). Uurides laetud osakeste liikumist elektromagnetväljas, on sageli mõttekas otsida ülesande lahendamiseks selline taustsüsteem, kus mõni väljakomponent on null. Ül. 121. Elektron kiirusega v liigub homogeenses magnetväljas B, kusjuures v⊥B. Leidke elektroni trajektoori raadius. Vastus: R = mv/(eB). Ül. 122. Elektronide kimp alustab liikumist ühest ja samast ruumipunktist. Elektronide kiirused v alghetkel on mooduli poolest võrdsed kuid nende suunad hajuvad kuni α suuruse nurga all ruumis tekitatud homogeense magnetvälja B sihi suhtes, kusjuures α ≪ 1. Kui suurel kaugusel L nimetatud ruumipunktist toimub elektronide kimbu järjekordne fokuseerumine Vastus: L = 2πmv/(eB). Ül. 123. Kaks tasaparalleelset elektroodi (katood ja anood) paiknevad vaakumis üksteisest kaugusel d. Anoodile on rakendatud katoodi suhtes positiivne potentsiaal U. Katoodi pinnalt alustab elektrivälja toimel nullise algkiirusega liikumist elektron. Kui tugev elektriväljaga ristuv magnetväli B tuleb elektroodidevahelises ruumis tekitada, et elektron ei jõuaks enam anoodile Vastus: B = (1/d) √ 2mU/e. Ül. 124. Ruum kahe koaksiaalse silindrikujulise elektrijuhi vahel on õhust tühjaks pumbatud. Sisemise silindri (katoodi) raadius on a, välise silindri (anoodi) sisemine raadius aga b. Anoodile on antud katoodi suhtes postiivne potentsiaal U. Silindritevahelises ruumis on homogeenne magnetväli B, mis on paralleelne silindrite teljega. Katoodi pinnalt alustab elektrivälja toimel nullise algkiirusega liikumist elektron. Leidke B kriitiline väärtus, millest alates elektron ei jõua enam anoodile. Vastus: B = 2b √ 2mU b 2 − a 2 . e Ül. 125. Elektron algkiirusega v 0 liigub homogeenses elektri- ja magnetväljas. Vektorid v 0 , E ja B on kõik omavahel risti ja ˆv 0 = ˆB × Ê. Milline on elektroni trajektoor Keskmine kiirus 〈v〉 Võib lugeda, et E/B ≪ c ja v ≪ c. Vastus: r(t) = 〈v〉t + R cos(ωt)ˆv 0 + R sin(ωt)Ê, kus R = mv 0 /eB, ω = v 0 /R = eB/m ja 〈v〉 = E B ˆv 0. Saadud trajektoori nimetatakse tsükloidiks. 7.2 Laengukandjate liikumine elektrijuhis Sirgvoolust keerukamate voolude korral ei pruugi voolu jaotus olla juhi igas punktis sama (nt radiaalne vool sfäärilises või silindrilises juhis). Detailsemalt võib voolu jaotust iseloomustada voolutihedusega J. J on vektor, mille moodul võrdub laenguga, mis ajaühikus kandub läbi voolu suunaga risti asetatud ühikpinna, ja mille suund näitab positiivsete laengukandjate liikumise suunda. Ühtlase ristlõikega S juhi puhul ilmselt J = I/S. Lihtne arvutus näitab, et J on määratud laengukandjate kontsentratsiooniga n, laenguga q ja triivikiirusega v järgmiselt: J = qnv. (Triivikiirus on laengukandja keskmine kiirus rakendatud välja mõju all.) Voolutiheduse kasutamisel on mõistlik ka Ohmi, Joule-Lenzi ja Ampere’i seaduse rakendamine diferentsiaalsel kujul. On kerge kontrollida, et J kaudu omandab Ohmi seadus kuju J = E/ρ, kus ρ on aine eritakistus. Kui juht liigub magnetväljas kiirusega v, siis elektrijõule lisandub veel Lorentzi jõud, nii et üldisemalt J = (E + v × B)/ρ. Analoogiliselt leiame, et juhi ühikulises ruumalas dissipeeruv energia avaldub J 2 ρ ja vooluga juhi ühikruumalale mõjuv jõud magnetväljas avaldub J × B. Vaatleme joonisel 38 kujutatud situatsiooni. Alalisvooluga metall- või pooljuhtplaat on asetatud vooluga risti olevasse magnetvälja B. Triivikiirusega v liikuvatele laengukandjatele mõjub Laorentzi jõud qv × B, mis on risti nii J-ga kui ka B-ga. Järelikult J-ga ja B-ga paralleelsete tahkude peale (mille külge joonisel on ühendatud voltmeeter) hakkavad kogunema laengud. Laengute kogunemine jätkub seni kuni nende poolt tekitatava elektrivälja mõju kompenseerib Lorentzi jõu. Seega jõudsime järeldusele, et magnetvälja toimel tekib plaadis täiendav ristisihiline elektriväli ja vastavate tahkude vahele ühendatud voltmeeter näitab potentsiaalide vahet. Seda nähtust nimetatakse Halli efektiks. Halli efektil on hulk rakendusi (magnetilise induktsiooni mõõtmine, laengukandajate omaduste uurimine pooljuhis jpm). B Joonis 38: Halli efekt. Ül. 126. Kaks ühesugust metallkera (raadius r) on asetatud homogeensesse juhtivasse keskkonda, mille eritakistus on ρ. Kaugus kerade vahel on hulga suurem nende raadiusest. Kui suur on keradevaheline takistus Vihje. Selle ja järgneva ülesande lahendamisel läheb tarvis ühte ideed jaotisest 3.3. Vastus: R = ρ/(2πr). Ül. 127. Pooljuhi eritakistuse määramisel on üheks probleemiks kontaktidel tekkivad tundmatud pingelangud. Sellest J
7 LAETUD OSAKESTE LIIKUMINE ELEKTRI- JA MAGNETVÄLJAS 24 probleemist on võimalik üle saada järgmise meetodiga, mida me analüüsime siinkohal lihtsuse huvides poollõpmatu õhukese plaadi jaoks (plaadi paksus h). Olgu selle plaadi serva külge joodetud ridamisi neli kontakti nagu kujutatud joonisel 39. a) Kontaktidest A ja B lastakse läbi vool I. Näidake, et kontaktide C ja D vahele lülitatud voltmeeter näitab pinget U = Iρ (a + b + c)b ln πh (a + b)(b + c) . Tähistame suhte U/I sümboliga R AB,CD . b) Näidake analoogiliselt, et juhul, kui voolu lastakse läbi kontaktidest B ja C ning pinget mõõdetakse kontaktide A ja D vahel, siis c) Näidake, et R BC,AD = ρ πh (a + b)(b + c) ln . ac exp(πhR AB,CD /ρ) + exp(πhR BC,AD /ρ) = 1. Saadud seos võimaldab ρ määrata peale suuruste R AB,CD ja R BC,AD mõõtmist. Viimased ei sõltu enam kontaktide takistustest, sest need on hulga väiksemad kui voltmeetri sisetakistus. Vastus: E = (1/nq)B × J; seega metallides, kus n on suur, avaldub Halli efekt nõrgalt. Ül. 131. Pooljuhtseadet, mis Halli efekti vahendusel mõõdab magnetilise induktsiooni väärtust, nimetatakse Halli anduriks. Koosta vattmeetri elektriskeem, kui kasutada on Halli andur, solenoid ja voltmeeter. Ül. 132. Hea elektrijuhtivusega vedelike pumpamiseks saab kasutada elektromagnetilist pumpa, mille tööpõhimõte selgub jooniselt 40. Vedelik eritakistusega ρ liigub pumbas kiirusega v. Vektorid v, B ja E on kõik omavahel risti. a) Näidake, et vedelikule mõjub ühikulise ruumala kohta jõud F = B 2 (u − v)/ρ, kus u = E × B/B 2 . b) Näidake, et seadme maksimaalne kasutegur küündib 0,5-ni. Võib lugeda, et magnetvälja tekitab püsimagnet ja ääre-efektid on tühised. v B E Joonis 39: vt. ül. 127 Joonis 40: vt. ül. 132 Ül. 128. Järgnevalt kirjeldatava meetodiga on võimalik mõõta materjali eritakistust ilma et oleks tarvis kinnitada kontakte materjali külge. Kettakujuliseks prepareeritud ainetükk asetatakse solenoidi sisemuses tekitatavasse homogeensesse magnetvälja, nii et ketta telg on paralleelne solenoidi teljega. Solenoidi toidetakse vahelduvvooluga sagedusel ω, nii et B(t) = B 0 cos ωt. Ketta raadius on R ja paksus d. Leidke ketta materjali eritakistus, kui kettas eraldub Joule’i soojus võimsusega P . Märkus. Tarvis võib minna valemit 〈sin 2 α〉 = 〈cos 2 α〉 = 1/2 ja integraali ∫ x n dx = x n+1 /(n+1). Vastus: ρ = πR 4 B 2 0ω 2 /(16P ). Ül. 129. Metallplaat asetseb homogeenses magnetväljas B, mis on risti tema pinnaga. Hinnake plaadis indutseeritud pöörisvoolude poolt tingitud takistusjõudu, kui plaat liigub kiirusega v, mis on risti B-ga. Plaadi pindala on S, paksus d ning materjali eritakistus ρ. Juhtnöör. Hinnangulise vastuse saamiseks on mitu teed. Üks võimalus on kasutada energia jäävust, hinnates pöörisvoolude tõttu plaadis tekkivat Joule’i soojust ja arvestades, et see soojus saadakse plaadi kulgliikumise kineetilise energia arvelt. Vastus: F ∼ B 2 vSd/ρ. Ül. 130. Leidke Halli efekti tõttu tekkiva ristisihilise elektrivälja tugevus joonisel 38 kujutatud olukorra jaoks. Võib lugeda, et materjalis eksisteerib ainult ühte tüüpi laengukandjaid, mille laeng on q ja kontsentratsioon n. Ül. 133. Homopolaarne mootor koosneb võllile kinnitatud vaskkettast, mis saab pöörelda homogeenses aksiaalses magnetväljas B. Vool suundub kettasse läbi võlli ning väljub kettast külgpinna kaudu. Võlli raadius on a, ketta raadius b ning ketta paksus h. Ketta materjali eritakistus on ρ. a) Leidke magnetvälja poolt kettale avaldatav pöördemoment M voolutugevusel I; b) Leidke kettas dissipeeruv Joule’i soojus P voolutugevusel I; c) Leidke pinge U ketta telje ja serva vahel, kui ketta nurkkiirus on ω ; d) Näidake, et kehtib energia jäävuse seadus kujul V I = Mω + P . Märkus. Ülesanne nõuab paari lihtsa integraali võtmist: ∫ x dx = x 2 /2, ∫ (1/x)dx = ln x. Vastus: a) M = BI(b 2 − a 2 )/2; b) P = I 2 ρ ln(b/a)/(2πh); c) V = ωB(b 2 − a 2 )/2 + Iρ ln(b/a)/(2πh).
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Tartu Ülikooli Tead
- Page 3 and 4: 1 ELEKTROSTAATIKA 2 Eessõna Käeso
- Page 5 and 6: 1 ELEKTROSTAATIKA 4 gustel, mis on
- Page 7 and 8: 1 ELEKTROSTAATIKA 6 denurka, siis F
- Page 9 and 10: 1 ELEKTROSTAATIKA 8 Vastus: F = −
- Page 11 and 12: 2 MAGNETOSTAATIKA 10 ka ülesannete
- Page 13 and 14: 3 ALALISVOOLUAHELAD 12 väiksem sü
- Page 15 and 16: 3 ALALISVOOLUAHELAD 14 Joonis 16: v
- Page 17 and 18: 4 KONDENSAATOREID SISALDAVAD ALALIS
- Page 19 and 20: 5 INDUKTOREID SISALDAVAD ALALISVOOL
- Page 21 and 22: 6 VAHELDUVVOOLUAHELAD 20 M > √ L
- Page 23: 7 LAETUD OSAKESTE LIIKUMINE ELEKTRI
7 LAETUD OSAKESTE LIIKUMINE ELEKTRI- JA MAGNETVÄLJAS 23<br />
(tuletame relatiivsusteooriast meelde ruumi kontraktsiooni<br />
<strong>ja</strong> a<strong>ja</strong> dilatsiooni nähtusi). Laeng ise, nagu seisumasski,<br />
on invariantne.<br />
Olgu meil kaks inertsiaalset taustsüsteemi, mille vastavad<br />
koordinaatteljed on paralleelsed. Süsteemi K ′ alguspunkt<br />
liikugu piki x-telge kiirusega u. Defineerime γ =<br />
1/ √ 1 − u 2 /c 2 . Mitterelativistlikul juhul γ → 1. Väl<strong>ja</strong>vektorid<br />
teisenevad üleminekul K → K ′ järgmise eeskir<strong>ja</strong> kohaselt:<br />
E ′ x = E x , E ′ y = γ(E y − uB z ), E z = γ(E z + uB y ),<br />
B ′ x = B x , B ′ y = γ(B y + u c 2 E z), B ′ z = γ(B z − u c 2 E y).<br />
Uurides laetud osakeste liikumist elektromagnetväl<strong>ja</strong>s,<br />
on sageli mõttekas otsida ülesande lahendamiseks selline<br />
taustsüsteem, kus mõni väl<strong>ja</strong>komponent on null.<br />
Ül. 121. Elektron kiirusega v liigub homogeenses magnetväl<strong>ja</strong>s<br />
B, kusjuures v⊥B. Leidke elektroni trajektoori raadius.<br />
Vastus: R = mv/(eB).<br />
Ül. 122. Elektronide kimp alustab liikumist ühest <strong>ja</strong> samast<br />
ruumipunktist. Elektronide kiirused v alghetkel on mooduli<br />
poolest võrdsed kuid nende suunad hajuvad kuni α suuruse<br />
nurga all ruumis tekitatud homogeense magnetväl<strong>ja</strong> B<br />
sihi suhtes, kusjuures α ≪ 1. Kui suurel kaugusel L nimetatud<br />
ruumipunktist toimub elektronide kimbu järjekordne<br />
fokuseerumine<br />
Vastus: L = 2πmv/(eB).<br />
Ül. 123. Kaks tasaparalleelset elektroodi (katood <strong>ja</strong><br />
anood) paiknevad vaakumis üksteisest kaugusel d. Anoodile<br />
on rakendatud katoodi suhtes positiivne potentsiaal U. Katoodi<br />
pinnalt alustab elektriväl<strong>ja</strong> toimel nullise algkiirusega<br />
liikumist elektron. Kui tugev elektriväl<strong>ja</strong>ga ristuv magnetväli<br />
B tuleb elektroodidevahelises ruumis tekitada, et elektron ei<br />
jõuaks enam anoodile<br />
Vastus: B = (1/d) √ 2mU/e.<br />
Ül. 124. Ruum kahe koaksiaalse silindrikujulise elektrijuhi<br />
vahel on õhust tüh<strong>ja</strong>ks pumbatud. Sisemise silindri (katoodi)<br />
raadius on a, välise silindri (anoodi) sisemine raadius aga b.<br />
Anoodile on antud katoodi suhtes postiivne potentsiaal U. Silindritevahelises<br />
ruumis on homogeenne magnetväli B, mis on<br />
paralleelne silindrite teljega. Katoodi pinnalt alustab elektriväl<strong>ja</strong><br />
toimel nullise algkiirusega liikumist elektron. Leidke B<br />
kriitiline väärtus, millest alates elektron ei jõua enam anoodile.<br />
Vastus: B =<br />
2b<br />
√<br />
2mU<br />
b 2 − a 2 .<br />
e<br />
Ül. 125. Elektron algkiirusega v 0 liigub homogeenses<br />
elektri- <strong>ja</strong> magnetväl<strong>ja</strong>s. Vektorid v 0 , E <strong>ja</strong> B on kõik omavahel<br />
risti <strong>ja</strong> ˆv 0 = ˆB × Ê. Milline on elektroni trajektoor<br />
Keskmine kiirus 〈v〉 Võib lugeda, et E/B ≪ c <strong>ja</strong> v ≪ c.<br />
Vastus: r(t) = 〈v〉t + R cos(ωt)ˆv 0 + R sin(ωt)Ê, kus R =<br />
mv 0 /eB, ω = v 0 /R = eB/m <strong>ja</strong> 〈v〉 = E B ˆv 0. Saadud trajektoori<br />
nimetatakse tsükloidiks.<br />
7.2 Laengukand<strong>ja</strong>te liikumine elektrijuhis<br />
Sirgvoolust keerukamate voolude korral ei pruugi voolu <strong>ja</strong>otus<br />
olla juhi igas punktis sama (nt radiaalne vool sfäärilises<br />
või silindrilises juhis). Detailsemalt võib voolu <strong>ja</strong>otust iseloomustada<br />
voolutihedusega J. J on vektor, mille moodul võrdub<br />
laenguga, mis a<strong>ja</strong>ühikus kandub läbi voolu suunaga risti<br />
asetatud ühikpinna, <strong>ja</strong> mille suund näitab positiivsete laengukand<strong>ja</strong>te<br />
liikumise suunda. Ühtlase ristlõikega S juhi puhul<br />
ilmselt J = I/S. Lihtne arvutus näitab, et J on määratud<br />
laengukand<strong>ja</strong>te kontsentratsiooniga n, laenguga q <strong>ja</strong> triivikiirusega<br />
v järgmiselt: J = qnv. (Triivikiirus on laengukand<strong>ja</strong><br />
keskmine kiirus rakendatud väl<strong>ja</strong> mõju all.)<br />
Voolutiheduse kasutamisel on mõistlik ka Ohmi, Joule-Lenzi<br />
<strong>ja</strong> Ampere’i seaduse rakendamine diferentsiaalsel kujul. On<br />
kerge kontrollida, et J kaudu omandab Ohmi seadus kuju J =<br />
E/ρ, kus ρ on aine eritakistus. Kui juht liigub magnetväl<strong>ja</strong>s<br />
kiirusega v, siis elektrijõule lisandub veel Lorentzi jõud, nii<br />
et üldisemalt J = (E + v × B)/ρ. Analoogiliselt leiame, et<br />
juhi ühikulises ruumalas dissipeeruv energia avaldub J 2 ρ <strong>ja</strong><br />
vooluga juhi ühikruumalale mõjuv jõud magnetväl<strong>ja</strong>s avaldub<br />
J × B.<br />
Vaatleme joonisel 38 kujutatud situatsiooni. Alalisvooluga<br />
metall- või pooljuhtplaat on asetatud vooluga risti olevasse<br />
magnetväl<strong>ja</strong> B. Triivikiirusega v liikuvatele laengukand<strong>ja</strong>tele<br />
mõjub Laorentzi jõud qv × B, mis on risti nii J-ga kui<br />
ka B-ga. Järelikult J-ga <strong>ja</strong> B-ga paralleelsete tahkude peale<br />
(mille külge joonisel on ühendatud voltmeeter) hakkavad kogunema<br />
laengud. Laengute kogunemine jätkub seni kuni nende<br />
poolt tekitatava elektriväl<strong>ja</strong> mõju kompenseerib Lorentzi<br />
jõu. Seega jõudsime järeldusele, et magnetväl<strong>ja</strong> toimel tekib<br />
plaadis täiendav ristisihiline elektriväli <strong>ja</strong> vastavate tahkude<br />
vahele ühendatud voltmeeter näitab potentsiaalide vahet. Seda<br />
nähtust nimetatakse Halli efektiks. Halli efektil on hulk<br />
rakendusi (magnetilise induktsiooni mõõtmine, laengukanda<strong>ja</strong>te<br />
omaduste uurimine pooljuhis jpm).<br />
<br />
B<br />
Joonis 38: Halli efekt.<br />
Ül. 126. Kaks ühesugust metallkera (raadius r) on asetatud<br />
homogeensesse juhtivasse keskkonda, mille eritakistus on<br />
ρ. Kaugus kerade vahel on hulga suurem nende raadiusest.<br />
Kui suur on keradevaheline takistus Vihje. Selle <strong>ja</strong> järgneva<br />
ülesande lahendamisel läheb tarvis ühte ideed <strong>ja</strong>otisest 3.3.<br />
Vastus: R = ρ/(2πr).<br />
Ül. 127. Pooljuhi eritakistuse määramisel on üheks probleemiks<br />
kontaktidel tekkivad tundmatud pingelangud. Sellest<br />
J
Change language