Modele konstytutywne materiaÅów stosowanych w temperaturach ...
Modele konstytutywne materiaÅów stosowanych w temperaturach ...
Modele konstytutywne materiaÅów stosowanych w temperaturach ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
I Kongres Mechaniki Polskiej, Warszawa, 28–31 sierpnia 2007 r.<br />
J. Kubik, W. Kurnik, W.K. Nowacki (Red.) na prawach rękopisu<br />
—————————————————————————————————————————————<br />
<strong>Modele</strong> <strong>konstytutywne</strong> materiałów <strong>stosowanych</strong> w <strong>temperaturach</strong><br />
kriogenicznych<br />
Błażej Skoczeń<br />
Politechnika Krakowska, Instytut Mechaniki Stosowanej<br />
1. WSTĘP<br />
Materiały konstrukcyjne (metale lub ich stopy) o sieci krystalicznej regularnej ściennie<br />
centrowanej, takie jak stale austenityczne, miedź lub niektóre nadprzewodniki, są stosowane w<br />
<strong>temperaturach</strong> kriogenicznych (także w <strong>temperaturach</strong> bliskich absolutnego zera) z uwagi na bardzo<br />
dobre własności fizyczne i mechaniczne a w szczególności wysoką plastyczność. Materiały te,<br />
charakteryzujące się z reguły niską energią błędu ułożenia, podlegają trzem procesom<br />
uwarunkowanym stanem sieci krystalicznej w niskich <strong>temperaturach</strong>: nieciągłemu płynięciu<br />
plastycznemu, przemianie fazowej typu γ→α’ oraz ewolucji mikro-uszkodzeń. Pierwszy proces<br />
przejawia się jako niestateczność płynięcia plastycznego wywołana efektem dynamicznego starzenia<br />
odkształceniowego i występuje powyżej charakterystycznej dla danego materiału prędkości<br />
odkształcenia i poniżej pewnej temperatury krytycznej (T 0 lub T 1 ). Zjawisko to jest silnie związane z<br />
niestabilnością termodynamiczną sieci krystalicznej w <strong>temperaturach</strong> zbliżonych do absolutnego zera.<br />
Bezdyfuzyjna przemiana fazowa typu γ→α’ od sieci regularnej ściennie centrowanej do sieci<br />
regularnej przestrzennie centrowanej zachodzi pod wpływem odkształcenia plastycznego w niskich<br />
<strong>temperaturach</strong> i prowadzi do utworzenia dwu-fazowego kontinuum o strukturze ewolucyjnej i<br />
zmieniających się własnościach fizycznych i mechanicznych. Kontinuum to składa się ze sprężystoplastycznej<br />
matrycy o sieci regularnej ściennie centrowanej zawierającej równomiernie rozłożone<br />
sprężyste, elipsoidalne inkluzje (typu Eshelby’ego) o sieci regularnej przestrzennie centrowanej. W<br />
obszarze kontinuum zachodzi również proces tworzenia się i ewolucji pól mikro-uszkodzeń<br />
wywołanych odkształceniem plastycznym, których końcowym efektem jest propagacja makroszczeliny<br />
i zniszczenie materiału. Wszystkie trzy zjawiska zostaną opisane przy pomocy modeli<br />
konstytutywnych zbudowanych na poziomie mezoskopowym (elementu reprezentatywnego) z<br />
uwzględnieniem mechanizmów zachodzących na poziomie mikroskopowym oraz termodynamiki sieci<br />
krystalicznej w <strong>temperaturach</strong> kriogenicznych. Niestateczność płynięcia plastycznego jest opisana<br />
nowym modelem cztero-etapowym opartym na wynikach eksperymentów przeprowadzonych w<br />
niskich <strong>temperaturach</strong> [1]. Kinetyka procesu przemiany fazowej (modyfikacja modelu Olsona-<br />
Cohena, [2]) uzależnia prędkość przemiany od prędkości kumulacji odkształceń plastycznych i ma<br />
istotny wpływ na proces umacniania się materiału (model nieliniowego wzmocnienia plastycznego<br />
[3]). Ewolucja pól mikro-uszkodzeń opisana jest modelem anizotropowym [4], będącym uogólnieniem<br />
izotropowego modelu Chaboche’a-Lemaitre’a [5, 6]. Wszystkie trzy modele stanowią kompleksowy<br />
opis konstytutywny stosowany do analizy zachowania się struktur metalowych w <strong>temperaturach</strong><br />
kriogenicznych. Istotnym polem zastosowań są magnesy nadprzewodnikowe stosowane w budowie<br />
akceleratorów cząstek elementarnych lub nadprzewodzące linie przesyłu energii bez strat.<br />
2. OBSZARY NIESTABILNOŚCI MATERIAŁÓW W NISKICH TEMPERATURACH<br />
Do typowych materiałów wykazujących wszystkie trzy wyżej wymienione cechy należą stale<br />
austenityczne typu 304L, 316L, 316LN, szeroko stosowane w konstrukcjach pracujących w bardzo<br />
niskich <strong>temperaturach</strong>. Obszary niestabilności materiałowej zostaną pokazane na przykładzie<br />
materiału o niskiej energii błędu ułożenia – stali austenitycznej 316LN. Obszar I (Rys.1) występuje<br />
poniżej temperatury T 1 i odpowiada procesowi nieciągłego płynięcia plastycznego. Proces ten
eprezentuje tzw. oscylacyjny mechanizm płynięcia plastycznego, któremu towarzyszą nieciągłości w<br />
sensie d σ dε<br />
. Temperatura T 1 jest stałą materiałową, która określa przejście od stanu równowagi sieci<br />
krystalicznej z dominacją dyslokacji typu śrubowego (powyżej T 1 ) do stanu równowagi z dominacją<br />
dyslokacji typu krawędziowego (poniżej T 1 ). W przypadku materiałów konstrukcyjnych temperatura<br />
T 1 może sięgać wartości 35K. Obszar II rozciąga się pomiędzy temperaturą T 1 i temperaturą M d , która<br />
jest temperaturą graniczną dla procesu przemiany fazowej typu γ→α’ wymuszonej odkształceniem<br />
plastycznym. W tym obszarze proces płynięcia plastycznego ma charakter klasyczny (ciągły) a w sieci<br />
krystalicznej dominują dyslokacje o charakterze śrubowym. Odkształceniom plastycznym towarzyszy<br />
przemiana fazowa od struktury austenitycznej typu γ do struktury martenzytycznej typu α’. Przemiana<br />
fazowa wywołuje bardzo silne umocnienie materiału i wzrost granicy plastyczności. Wreszcie obszar<br />
III, powyżej temperatury M d stanowi obszar klasycznego stabilnego zachowania się materiału<br />
zarówno w sensie płynięcia plastycznego jak i przemiany fazowej. Należy podkreślić, iż ewolucja<br />
uszkodzeń pod wpływem odkształceń plastycznych występuje we wszystkich trzech obszarach,<br />
niezależnie od stabilnego czy meta-stabilnego zachowania się materiału.<br />
1100<br />
1000<br />
900<br />
R p0,2<br />
Rozproszone<br />
defekty punktowe<br />
σ<br />
800<br />
700<br />
Dyslokacje Przemiana fazowa<br />
krawędziowe typu γ→α’<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
Nieciągłe<br />
płynięcie<br />
plastyczne<br />
Dyslokacje śrubowe<br />
Ciągłe płynięcie plastyczne<br />
σ<br />
T<br />
II<br />
III<br />
200<br />
100<br />
0<br />
Obszar I<br />
T 1<br />
Obszar II<br />
M d<br />
Obszar III<br />
T<br />
I<br />
IV<br />
t<br />
ε<br />
0 50 100 150 200<br />
Temperatura [K]<br />
Rys. 1 Obszary niestabilności materiałów o sieci RSC i niskiej energii błędu ułożenia (316LN)<br />
3. NIESTABILNOŚĆ TERMODYNAMICZNA W NISKICH TEMPERATURACH<br />
Procesy występujące w materiałach w bardzo niskich <strong>temperaturach</strong> zależą ściśle od własności<br />
fizycznych i mechanicznych materiału, rodzaju sieci krystalicznej oraz jej defektów a także od<br />
mechanizmów transportu ciepła. Wraz z obniżaniem temperatury w pobliże zera bezwzględnego<br />
niektóre parametry takie jak współczynnik przewodzenia ciepła czy współczynnik rozszerzalności<br />
termicznej oraz funkcje stanu takie jak ciepło właściwe czy entropia również zmierzają do zera. Ten<br />
fakt pociąga za sobą tzw. niestabilność temodynamiczną sieci krystalicznej [7], która ma istotny<br />
wpływ na procesy płynięcia plastycznego w bardzo niskich <strong>temperaturach</strong>. Jeśli wziąć pod uwagę<br />
fononowy mechanizm transportu ciepła (oparty na kwantach drgań sieci krystalicznej) to energia sieci<br />
krystalicznej (suma energii wszystkich „oscylatorów harmonicznych”) wyraża się wzorem:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
E = ∑⎜<br />
+ N k ⎟h ω(<br />
k)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
(1)<br />
k<br />
gdzie N<br />
k<br />
wyraża sekwencję liczb obsadzeń stanów zdefiniowanych poprzez wektor falowy k .<br />
Dla N<br />
k<br />
= 0 otrzymujemy stan tzw. drgań zerowych sieci krystalicznej, reprezentowany przez<br />
energię stanu podstawowego E . Zatem stan energetyczny sieci krystalicznej wyraża formuła:<br />
0<br />
E = E0 + ∑ N k<br />
h ω( k)<br />
k<br />
(2)
Stan nisko-wzbudzonej sieci krystalicznej (amplitudy drgań małe w porównaniu ze stałą sieci)<br />
występuje w bardzo niskich <strong>temperaturach</strong>, w których dominują fonony akustyczne i spełniony jest<br />
warunek:<br />
T
naprężenia kohezji powodując zniesienie bariery Lomera-Cottrella. W sprzyjających warunkach<br />
proces może nabrać charakteru kaskadowego, angażując dostatecznie dużą liczbę spiętrzeń w<br />
jednostce objętości materiału. Każdy kolektywny ruch dyslokacji w systemach poślizgu prowadzi do<br />
rozproszenia energii w sieci krystalicznej w postaci ciepła. Następstwem niestabilności<br />
termodynamicznej wyrażonej równaniem (11) jest silny wzrost temperatury w obszarze, gdzie<br />
wystąpił proces kaskadowy. Przebieg zjawiska nieciągłego płynięcia plastycznego przedstawia Rys. 1.<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
Stress<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25<br />
Strain<br />
RVE<br />
Grupy dyslokacji<br />
krawędziowych<br />
wokół barier L-C<br />
Rys. 2 Zjawisko nieciągłego płynięcia plastycznego w metalach o sieci RSC (316L w 4.2 K)<br />
W celu opisania procesu dynamicznego starzenia odkształceniowego w niskich <strong>temperaturach</strong><br />
postulowane jest wprowadzenie parametru określającego zawartość objętościową barier L-C i<br />
stowarzyszonych z nimi grup dyslokacji w postaci:<br />
dVB B = ; 0 ≤ B ≤ 1<br />
(12)<br />
dV<br />
gdzie dV<br />
B<br />
oznacza objętość zajmowaną przez wszystkie grupy dyslokacji skupione wokół<br />
barier L-C, zaś dV określa całkowitą objętość elementu reprezentatywnego (Rys. 2).<br />
Zakładamy, iż parametr B jest funkcją odkształcenia plastycznego a kinetyczne prawo<br />
ewolucji zawartości objętościowej barier przedstawia się następująco:<br />
p p p<br />
B & = F T , σ & ε H ε −ε<br />
(13)<br />
LC<br />
( ) ( )<br />
p<br />
gdzie F LC jest pewną funkcją temperatury i naprężenia zaś ε<br />
LC<br />
określa próg, powyżej którego<br />
następuje intensywny przyrost liczby barier w RVE. W przypadku procesu izotermicznego i<br />
małej zmienności naprężenia otrzymuje się prawo ewolucji w liniowej postaci:<br />
p p p<br />
dB = F LC<br />
dε<br />
; ε ≥ ε<br />
(14)<br />
4.2. Kinetyka przemiany fazowej typu γ→α’ (obszar II)<br />
Przemiana fazowa typu γ→α’ zachodzi w materiałach meta-stabilnych o strukturze regularnej<br />
ściennie centrowanej przy udziale odkształceń plastycznych w szerokim zakresie temperatur. Krzywa<br />
przemiany fazowej, opisana przez Olsona, Cohena [2], ma charakter sigmoidalny (Rys. 3). W bardzo<br />
niskich <strong>temperaturach</strong> (np. ciekłego helu) krzywa ta charakteryzuje się trzema wyraźnymi etapami:<br />
niska szybkość transformacji poniżej progu p (etap 1), szybka przemiana fazowa przy stałej<br />
ξ<br />
prędkości przemiany (etap 2), asymptotycznie zanikająca przemiana przy zawartości objętościowej<br />
nowej fazy zmierzającej do poziomu wysycenia ξ<br />
L<br />
(etap 3). W bardzo niskich <strong>temperaturach</strong> stroma<br />
część krzywej przemiany (etap 2) pozostaje w obszarze relatywnie małych odkształceń plastycznych<br />
(poniżej 0.2) i może być opisana następującym kinetycznym prawem:<br />
&<br />
p<br />
ξ A T, & ε , σ pH & p − pξ ξ − ξ<br />
(15)<br />
LC<br />
LC<br />
( ) ( )( )<br />
( )<br />
=<br />
L<br />
gdzie p& jest szybkością kumulacji odkształceń plastycznych zdefiniowaną jako:<br />
2 p p<br />
p& = & ε : & ε<br />
(16)<br />
3<br />
ponadto ξ oznacza zawartość objętościową fazy α’ zaś A(..) jest funkcją temperatury, naprężenia i<br />
w pewnych warunkach także szybkości odkształceń plastycznych. Przemiana fazowa od struktury
RSC do struktury RPC przebiega w niskich <strong>temperaturach</strong> pod wpływem odkształceń plastycznych<br />
przy obciążeniach zarówno monotonicznych jak i cyklicznych. W przypadku procesu izotermicznego i<br />
niewielkich zmian naprężenia kinetyka procesu przebiega według prostego liniowego schematu:<br />
dξ = Adp ; p ≥ pξ , ξ ≤ ξ<br />
(17)<br />
L<br />
1.0<br />
0.9<br />
I II III<br />
Inkluzje fazy α'<br />
(parametr ξ )<br />
RVE<br />
Mikro-szczeliny i<br />
mikro-pustki<br />
(parametr D)<br />
Volume fraction of martensite<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6<br />
Total strain<br />
Rys. 3 Kinetyka procesu przemiany fazowej typu γ→α’ w niskich <strong>temperaturach</strong><br />
4.3. Kinetyka ewolucji mikro-uszkodzeń (obszary I+II+III)<br />
Klasyczne prawo ewolucji uszkodzeń [5, 6] uzależnia parametr zniszczenia D od kumulowanego<br />
odkształcenia plastycznego p w postaci:<br />
s<br />
Y<br />
D& ⎛ ⎞<br />
= ⎜ ⎟ pH & ( p − pD<br />
)<br />
(18)<br />
⎝ S ⎠<br />
gdzie Y jest prędkością uwalniania energii w procesie zniszczenia, S stanowi parametr materiałowy zaś<br />
p D oznacza wartość progową. Ewolucja uszkodzeń może mieć charakter silnie anizotropowy (np. w<br />
cienkościennych powłokach), należy zatem wprowadzić kinetyczne prawo odzwierciedlające<br />
anizotropię uszkodzenia przy zachowaniu dotychczasowej „siły napędowej”, którą jest odkształcenie<br />
plastyczne [4]:<br />
T<br />
D & = CY C pH & p − p<br />
(19)<br />
( )<br />
Parametr D został zastąpiony symetrycznym tensorem uszkodzenia drugiego rzędu D (Murakami<br />
[8]), siłę termodynamiczną Y zastąpiono tensorem Y natomiast parametr materiałowy S został<br />
zastąpiony tensorem własności materiałowych C , który określa kierunki główne<br />
uszkodzenia. W notacji wskaźnikowej postulowane prawo ewolucji przedstawia się<br />
następująco:<br />
D & ij<br />
= CikYklC<br />
jl<br />
pH & ( p − pD<br />
)<br />
(20)<br />
natomiast symetryczny tensor własności materiałowych został zbudowany według zasady:<br />
r r<br />
C = ∑Cini<br />
⊗ni<br />
(21)<br />
i=<br />
1,3<br />
Warto zauważyć, że kontrakcja prawa (19) prowadzi wprost do izotropowego prawa ewolucji (18) i w<br />
tym sensie można model anizotropowy traktować jako uogólnienie modelu izotropowego. W<br />
najprostszym izotropowym przypadku (przy założeniu wykładnika s=1) otrzymujemy:<br />
Y<br />
dD = dp ; p ≥ p D<br />
(22)<br />
S<br />
D<br />
5. MEZOSKOPOWY OPIS NIECIĄGŁEGO PŁYNIĘCIA PLASTYCZNEGO, PRZEMIANY<br />
FAZOWEJ TYPU γ→α’ ORAZ EWOLUCJI USZKODZEŃ W NISKICH TEMPERATURACH<br />
5.1. Opis konstytutywny nieciągłego płynięcia plastycznego (obszar I)<br />
Opis konstytutywny nieciągłego płynięcia plastycznego nawiązuje do mechanizmu tworzenia się<br />
barier Lomera-Cottrella a następnie spiętrzeń słabo mobilnych dyslokacji krawędziowych, które
przełamując bariery uczestniczą w zjawisku kolektywnym o charakterze kaskadowym. Lokalnemu<br />
naprężeniu stycznemu τ towarzyszy odkształcenie γ będące miarą rekonfiguracji sieci<br />
krystalicznej wzdłuż płaszczyzn poślizgu. Wyrażenie opisujące ewolucję gęstości dyslokacji:<br />
d ρ dρ<br />
dρ<br />
= +<br />
; dρ 1<br />
=<br />
; dρ<br />
= −k a<br />
ρ<br />
(23)<br />
dγ<br />
dγ<br />
dγ<br />
dγ<br />
λb<br />
dγ<br />
+ −<br />
+<br />
−<br />
zawiera składowe kreacji (+) i anihilacji (-) dyslokacji. Średnia swobodna droga dyslokacji wynosi:<br />
1 1<br />
= + k1<br />
ρ + k2<br />
B<br />
(24)<br />
λ d<br />
gdzie d jest średnim rozmiarem ziarna, k 1 , k 2 są stałymi materiałowymi, zaś b oznacza długość<br />
wektora Burgersa. Zakładając następujące relacje między mikroskopowymi i mezoskopowymi<br />
wielkościami:<br />
σ = M τ ; γ = Mε<br />
(25)<br />
p<br />
gdzie M jest współczynnikiem Taylora oraz przyjmując, iż ε ≈ ε a także przywołując (14):<br />
p p<br />
B = F LC<br />
( ε −ε<br />
LC<br />
)<br />
(26)<br />
otrzymujemy następujące wyrażenie na ewolucję gęstości dyslokacji:<br />
d ρ ⎡ 1 k1<br />
k<br />
p p ⎤<br />
= M<br />
⎢<br />
+ ρ + ( ε −ε<br />
LC<br />
) 2 FLC<br />
− kaρ<br />
p<br />
dε<br />
⎣db<br />
b b<br />
⎥ (27)<br />
⎦<br />
Średnie naprężenie styczne w sieci krystalicznej można wyrazić za pomocą:<br />
τ = τ 0<br />
+ µαb<br />
ρ<br />
(28)<br />
gdzie τ<br />
0<br />
odpowiada za tarcie wewnętrzne zaś µ jest modułem ścinania a α jest<br />
współczynnikiem interakcji między dyslokacjami. Naprężenie styczne w czole spiętrzenia<br />
dyslokacji jest funkcją kwadratową średniej wartości naprężenia stycznego w sieci:<br />
π ( 1−ν<br />
) 2<br />
τ<br />
e<br />
= λτ<br />
(29)<br />
µ b<br />
Średnia droga swobodna dyslokacji może być tu interpretowana jako odległość od źródła do bariery.<br />
Dla kolektywnego procesu kaskadowego postulujemy:<br />
F ( B, τ<br />
e<br />
) = F ;<br />
cr<br />
τ<br />
e<br />
≥ τ<br />
cr<br />
; B ≥ Bcr<br />
(30)<br />
gdzie F jest pewną funkcją objętościowej zawartości barier oraz naprężenia stycznego w spiętrzeniu.<br />
Najprostsza forma krzywej granicznej określającej stan krytyczny dla procesu kolektywnego:<br />
τ<br />
e<br />
B<br />
a + b =1 ; a = a( T)<br />
; b = b(<br />
T)<br />
τ<br />
(31)<br />
cr<br />
Bcr<br />
ma charakter liniowy i pozwala efektywnie określić obciążenie przy którym następuje utrata<br />
stateczności materiału w sensie Drucker’a.<br />
5.2. Opis konstytutywny przemiany fazowej typu γ→α’ (obszar II)<br />
Model konstytutywny opisujący przemianę fazową typu γ→α’ jest oparty na klasycznej teorii<br />
ciągłego płynięcia plastycznego (obszar II) przy założeniu małych odkształceń. Podstawowe równanie<br />
<strong>konstytutywne</strong> w postaci:<br />
p th bs<br />
σ = E : ( ε −ε<br />
− ε −ξε<br />
)<br />
(32)<br />
bs<br />
zawiera składową ε , która odpowiada za wtórne odkształcenie generowane przez nową fazę<br />
(materiały typu TRIP). Powierzchnia plastyczności ma postać:<br />
f<br />
y<br />
( σ , X , R) = J<br />
2( σ − X ) −σ<br />
y<br />
− R ; 3<br />
J<br />
2( σ − X ) = ( s − X ):<br />
( s − X )<br />
(33)<br />
gdzie tensory s, X oznaczają odpowiednio dewiator naprężeń oraz środek powierzchni<br />
plastyczności zaś σ , y<br />
R oznaczają granicę plastyczności i parametr wzmocnienia<br />
izotropowego. Dla kontinuum dwu-fazowego założono stowarzyszone prawo płynięcia:<br />
p ∂f<br />
y<br />
dε<br />
= dλ<br />
(34)<br />
∂σ<br />
2<br />
oraz model wzmocnienia mieszanego w postaci:
2<br />
p<br />
p 2<br />
p<br />
d X = d X + d X = C(<br />
ξ ) dε<br />
+ G( ξ ) dε<br />
= g(<br />
ξ ) dε<br />
; dR = f ( ξ )dp<br />
(35)<br />
a a+<br />
m<br />
3<br />
3<br />
Ewolucja środka powierzchni plastyczności wynika z oddziaływania poruszających się w sieci<br />
krystalicznej dyslokacji z inkluzjami nowej sprężystej fazy α’:<br />
2 p 2<br />
p 2<br />
p<br />
d X = d X + d X = C dε<br />
C hξdε<br />
C(<br />
ξ ) dε<br />
a a aξ<br />
0<br />
+<br />
0<br />
0<br />
=<br />
(36)<br />
3 3<br />
3<br />
Drugim elementem wpływającym na umocnienie materiału jest wypadkowa sztywność kontinuum<br />
dwu-fazowego wyrażona aktualnym zlinearyzowanym modułem stycznym [3], który otrzymuje się<br />
poprzez zastosowanie schematu homogenizacji typu Mori-Tanaka:<br />
EH = EMT<br />
= 3 kMT<br />
J + 2µ<br />
MT<br />
K<br />
(37)<br />
przy czym moduły sztywności fazy austenitycznej i martenzytycznej mają postać:<br />
E<br />
= 3 k J + 2 K ; E = 3 k J + 2 K<br />
ta ta<br />
µ<br />
ta<br />
m m<br />
µ<br />
m<br />
Przyrost naprężenia wynikający z nadwyżkowej zmiany sztywności kontinuum wynosi:<br />
p<br />
∆σ<br />
= 2 ( µ<br />
MT<br />
− µ<br />
ta<br />
) ∆ε<br />
(39)<br />
a stosowny ruch środka powierzchni plastyczności jest opisany przez:<br />
p<br />
d X a<br />
= 2 ( µ<br />
MT<br />
− µ<br />
ta<br />
) dε<br />
(40)<br />
+ m<br />
Ewolucja parametru wzmocnienia izotropowego wyraża się następującym prawem asymptotycznym:<br />
dR = ( R∞ ( ξ ) − R)dp<br />
; R<br />
∞<br />
( ξ ) = 2( µ<br />
MT<br />
− µ<br />
ta<br />
)<br />
(41)<br />
Po wprowadzeniu parametru Bauschingera β oraz funkcji korekcyjnej b ( ξ ) = 1−<br />
ξ ostateczna<br />
postać równań opisujących wzmocnienie mieszane przedstawia się następująco:<br />
2 p 2<br />
p<br />
d X = C<br />
X<br />
dε<br />
= [ C(<br />
ξ ) + 3βb( ξ )( µ<br />
MT<br />
− µ<br />
ta<br />
)] dε<br />
(42)<br />
3 3<br />
dR = C<br />
Rdp<br />
= b( ξ )( 1 − β )( R∞ ( ξ ) − R)dp<br />
(43)<br />
Pomimo założenia małych odkształceń model może być stosowany nawet w zakresie odkształceń 0.2<br />
– 0.3.<br />
5.3. Opis konstytutywny ewolucji mikro-uszkodzeń (obszary I, II, III)<br />
Założenie modelu anizotropowego ewolucji uszkodzeń wymaga przyjęcia stosownej zasady<br />
równoważności odkształceń wyrażonej związkiem:<br />
~ e<br />
σ = E : ε<br />
(44)<br />
przy czym tensor efektywnych naprężeń ma postać:<br />
~ −1<br />
σ = M :σ ; σ = M : ~ σ<br />
(45)<br />
a symetryczny tensor wpływu uszkodzenia przedstawia się następująco:<br />
1 1<br />
M<br />
ijkl<br />
= ( δ<br />
ikδ<br />
jl<br />
+ δ<br />
ilδ<br />
jk<br />
) − ( Dikδ<br />
jl<br />
+ Dilδ<br />
jk<br />
+ δ<br />
ik<br />
D<br />
jl<br />
+ δ<br />
ilD<br />
jk<br />
)<br />
(46)<br />
2<br />
4<br />
Funkcjonał energii swobodnej Helmholtza ma zatem postać:<br />
1 ⎛ 1 e<br />
e ⎞<br />
Ψ = ⎜ ε : M : E : ε ⎟ + Ψp<br />
(47)<br />
ρ ⎝ 2<br />
⎠<br />
a siła termodynamiczna jest związana z tensorem uszkodzenia prawem:<br />
∂Ψ<br />
Y = −ρ ; 1 e e<br />
e e<br />
Y = [ ε ( E : ε ) + ( E : ε ) ε ]<br />
∂D<br />
4<br />
(48)<br />
Postulując potencjał dyssypacji w postaci:<br />
( ~ ~<br />
s X ) L ( ~ ~<br />
1<br />
− : : s − X )<br />
( C Y C )<br />
T<br />
−1 −1<br />
Φ<br />
D<br />
= : Y<br />
;<br />
~ ~ ~ L( D) = M ( D) M ( D)<br />
(49)<br />
2<br />
s − X : ~ s − X<br />
( ) ( )<br />
i wyznaczając na tej podstawie szybkość ewolucji uszkodzeń, otrzymujemy:<br />
D & ∂Φ<br />
D<br />
T<br />
= & λ = C Y C p&<br />
p p<br />
∂Y<br />
><br />
(50)<br />
D<br />
(38)
Podstawowe równanie <strong>konstytutywne</strong> z uwzględnieniem tensora naprężeń efektywnych ma postać:<br />
~ p th bs<br />
σ = E : ( ε −ε<br />
−ε<br />
−ξε<br />
)<br />
(51)<br />
zaś równanie powierzchni plastyczności i stowarzyszone prawo płynięcia dają się zapisać jako:<br />
f ( X<br />
~<br />
~<br />
~ ~ ~ ~<br />
y<br />
σ , , R ) = J ( ~<br />
2<br />
σ − X ) −σ<br />
y<br />
− R ; p<br />
∂f<br />
( ~ σ X<br />
~<br />
y , , R) dε<br />
= ~ d λ<br />
∂σ<br />
Zmienne efektywne wzmocnienia plastycznego wyrażają się związkami:<br />
X<br />
~ = M<br />
−1<br />
:X ; R<br />
~ = R/ ( 1−<br />
D:D )<br />
(53)<br />
a modele wzmocnienia uwzględniające przemianę fazową mają postać:<br />
~ 2 p 2<br />
~<br />
p<br />
d X = C<br />
X<br />
dε<br />
= g( ξ ) dε<br />
; dR<br />
= CRdp<br />
= f ( ξ )dp<br />
3 3<br />
6. WNIOSKI<br />
Przedstawione powyżej modele odzwierciedlają trzy podstawowe mechanizmy fizyczne<br />
zachodzące w bardzo niskich <strong>temperaturach</strong>, których efektem może być uszkodzenie lub zniszczenie<br />
konstrukcji kriogenicznych. Model nieciągłego płynięcia plastycznego opisuje zjawiska kolektywnego<br />
ruchu dyslokacji w sieci krystalicznej nisko-wzbudzonej i jest oparty na koncepcji stanu granicznego,<br />
którego osiągniecie uruchamia mechanizmy kaskadowe. Pozostałe dwa modele opisują zmianę<br />
struktury materiału poprzez wywołane odkształceniem plastycznym zjawiska przemiany fazowej i<br />
ewolucji mikro-uszkodzeń. <strong>Modele</strong> te znalazły zastosowanie w projektowaniu konstrukcji pracujących<br />
w ekstremalnie niskich <strong>temperaturach</strong> (magnesy nadprzewodzące, linie kriogeniczne).<br />
Podziękowania<br />
Przedstawione wyżej badania zostały wykonane w ramach projektu badawczego PB 4 T07A 027 30.<br />
Bibliografia<br />
[1] Obst, B., Nyilas, A.: Experimental evidence on the dislocation mechanism of serrated yielding in<br />
f.c.c. metals and alloys at low temperatures. Mat. Science and Engrg., A137: 141-150, 1991.<br />
[2] Olson, G.B., Cohen, M.: Kinetics of strain-induced martensitic nucleation, Metallurgical<br />
transactions, 6A: 791-795, 1975.<br />
[3] Garion, C., Skoczeń B.: Modeling of plastic strain induced martensitic transformation for<br />
cryogenic applications. Journ. of Applied Mechanics, 69, 6: 755-762, 2002.<br />
[4] Garion, C., Skoczeń, B.: Combined model of strain-induced phase transformation and orthotropic<br />
damage in ductile materials at cryogenic temperatures. Int. Journ. of Damage Mechanics, 12, 4:<br />
331-356, 2003.<br />
[5] Chaboche, J. L.: Continuum damage mechanics: Part I - General concepts. Journal of Applied<br />
Mechanics, 55: 59-64, 1988.<br />
[6] Lemaitre, J.: A course on damage mechanics. Springer-Verlag, Berlin and New York, 1992.<br />
[7] Skoczeń, B.: Compensation systems for low temperature applications. Springer-Verlag, Berlin,<br />
Heidelberg, New York, 2004.<br />
[8] Murakami, S.: A continuum mechanics theory of anisotropic damage. In : Yielding, damage, and<br />
failure of anisotropic solids, Proceedings of the IUTAM/ICM symposium, EGF 5: 465-482,<br />
1990.<br />
(52)<br />
(54)<br />
Summary in English FCC metals and alloys undergo at very low temperatures three phenomena:<br />
dynamic strain ageing (DSA), plastic strain induced transformation from the parent phase ( γ ) to the<br />
secondary phase ( α ' ) and evolution of micro-damage. The constitutive model presented in the paper is<br />
the first to take into account all three phenomena as well as the relevant thermodynamic background.