x - fyzikazeme.sk

Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
e = x −x*
Nech k k je chyba v k-tom kroku.
( *)
f x
Urobme Taylorov rozvoj okolo
1
2
0 = f ( x* ) = f ( xk) + ( x* − xk) f ′( xk) + ( x* −xk) f ′′( ξ ),
2
ξ
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú k a .
Po úpravách dostaneme
( ξ )
( )
( ξ )
( k)
( ξ )
( x )
( k )
( )
1
2 f ′′ f x
− ( x* − xk)
= + x*
−x
2 f ′ x f ′ x
k
( )
1 f ′′ ⎡ f ( x ) ⎤
k
− ( x* − x ) = x* −⎢x − ⎥= x*
−x
2
⎣ ( ) ⎦
1 2 f ′′
ek
= ek+
1
2 f ′
k
2
k k k+
1
f ′ x ⎢ f ′ x ⎥
k
k
k
xk
x x*