x - fyzikazeme.sk
x - fyzikazeme.sk x - fyzikazeme.sk
Prednáška č. 2 Numerické metódy matematiky I Riešenie nelineárnych rovníc
- Page 2 and 3: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 4 and 5: Úvod Riešiť nelineárnu rovnicu
- Page 6 and 7: Úvod Pre niektoré metódy stačí
- Page 8 and 9: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 10 and 11: Separácia koreňov a určenie poč
- Page 12 and 13: Separácia koreňov a určenie poč
- Page 14 and 15: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 16 and 17: Metóda bisekcie (polenie intervalu
- Page 18 and 19: Metóda bisekcie (polenie intervalu
- Page 20 and 21: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 22 and 23: Rýchlosť konvergencie Príklad: A
- Page 24 and 25: Metóda regula falsi Je veľmi podo
- Page 26 and 27: Metóda regula falsi Priesečník v
- Page 28: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 31 and 32: Metóda sečníc Je veľmi podobná
- Page 33 and 34: Metóda sečníc V k-tom kroku met
- Page 35 and 36: Metóda sečníc V k-tom kroku met
- Page 37 and 38: Metóda sečníc Metóda sečníc m
- Page 39 and 40: Metóda sečníc Metóda sečníc k
- Page 41 and 42: Prednáška č. 2 OBSAH 1. Úvod 2.
- Page 43 and 44: Newtonova metóda (metóda dotyčn
- Page 45 and 46: Newtonova metóda (metóda dotyčn
- Page 47 and 48: Newtonova metóda (metóda dotyčn
- Page 49 and 50: Newtonova metóda (metóda dotyčn
- Page 51 and 52: Newtonova metóda (metóda dotyčn
Prednáška č. 2<br />
Numerické metódy matematiky I<br />
Riešenie nelineárnych rovníc
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Úvod<br />
Riešiť nelineárnu rovnicu<br />
f (x)=0<br />
znamená, hľadať také body x*<br />
∈R, že f (x*)=0.<br />
Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).<br />
(1)
Úvod<br />
Riešiť nelineárnu rovnicu<br />
f (x)=0<br />
znamená, hľadať také body x*<br />
∈R, že f (x*)=0.<br />
Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).<br />
(1)<br />
Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti<br />
nevieme vyjadriť explicitným vzorcom.
Úvod<br />
Riešiť nelineárnu rovnicu<br />
f (x)=0<br />
znamená, hľadať také body x*<br />
∈R, že f (x*)=0.<br />
Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).<br />
(1)<br />
Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti<br />
nevieme vyjadriť explicitným vzorcom.<br />
Iteračné metódy:<br />
z jednej alebo niekoľkých<br />
počiatočných aproximácií hľadaného koreňa x*<br />
generujeme postupnosť x0, x1,<br />
x 2, …,<br />
ktorá ku koreňu x* konverguje.
Úvod<br />
Pre niektoré metódy stačí,<br />
keď zadáme interval ab , ,<br />
ktorý obsahuje hľadaný koreň,<br />
iné vyžadujú,<br />
aby bola počiatočná aproximácia<br />
„dosť“ blízko k hľadanému koreňu.<br />
Často začíname s „hrubou“, avšak spoľahlivou metódou<br />
a až keď sme dostatočne blízko koreňa<br />
prejdeme na „jemnejšiu“,<br />
rýchlejšie konvergujúcu metódu.
Úvod<br />
Pre jednoduchosť budeme uvažovať len problém určenia<br />
jednoduchého koreňa x* rovnice f (x)=0,<br />
t.j. predpokladáme, že f ′ x* ≠ 0.<br />
( )<br />
Budeme tiež predpokladať, že<br />
funkcia f (x) je spojitá a<br />
má toľko spojitých derivácií,<br />
koľko je v danej situácii potrebných.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
Pri hľadaní koreňov rovnice<br />
f (x)=0<br />
naj<strong>sk</strong>ôr zistíme,<br />
koľko koreňov rovnica má<br />
a<br />
nájdeme intervaly obsahujúce práve jeden koreň rovnice.<br />
ab ,<br />
Veta: Ak je funkcia spojitá na intervale a platí<br />
( ) ⋅ f ( b) < 0,<br />
f a<br />
potom na intervale ab , leží aspoň jeden koreň rovnice f (x)=0.
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
x*
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
Počiatočnú aproximáciu koreňov rovnice<br />
f (x)=0<br />
môžeme zistiť z grafu funkcie f (x).<br />
ab ,<br />
( )<br />
⎡x<br />
, f x ⎤<br />
⎣ ⎦<br />
a= x < x < < x < x < < x = b<br />
Inou možnosťou je zostavenie tabuľky i i pre nejaké delenie<br />
0 1 i−1<br />
i n<br />
zvoleného intervalu .
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
Príklad: Zí<strong>sk</strong>ajme hrubý odhad koreňov rovnice f (x)=0, kde<br />
( )<br />
f x = 4sin x−x<br />
−1.<br />
3
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
Príklad: Zí<strong>sk</strong>ajme hrubý odhad koreňov rovnice<br />
x<br />
e<br />
2<br />
+ x − 3=<br />
0<br />
Riešenie: Zadanú funkciu upravíme na tvar<br />
x<br />
e<br />
= 3−x<br />
2
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
Je založená na princípe znamienkových zmien.<br />
Predpokladajme, že funkcia f (x)<br />
( a , b )<br />
má v koncových bodoch intervalu 0 0 opačné znamienka,<br />
t.j. platí f ( a0) ⋅ f ( b0)<br />
< 0.<br />
Zostrojíme postupnosť intervalov<br />
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )<br />
, ⊃ , ⊃ , ⊃ , ⊃,<br />
0 0 1 1 2 2 3 3<br />
ktoré obsahujú koreň.<br />
( )<br />
a + , b + , k = 0,1, …<br />
Intervaly k 1 k 1<br />
určíme rekurzívne<br />
nasledovným spôsobom:
Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
( a , b )<br />
x ( a b )<br />
Nájdeme stred intervalu a označíme ho<br />
1<br />
k k<br />
k 1 .<br />
2 k k<br />
Ak f ( x k + 1)<br />
= 0 potom x* = x k + 1 a končíme.<br />
Ak f ( x k + 1)<br />
≠ 0 potom<br />
( a , b )<br />
k+ 1 k+<br />
1<br />
+ = +<br />
( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+<br />
1)<br />
( x b ) f ( a ) f ( x )<br />
⎧⎪ , , ak < 0,<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+<br />
1 > 0.
Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
Nájdeme stred intervalu a označíme ho<br />
1<br />
k k<br />
k 1 .<br />
2 k k<br />
Ak f ( x k + 1)<br />
= 0 potom x* = x k + 1 a končíme.<br />
Ak f ( x k + 1)<br />
≠ 0 potom<br />
( a , b )<br />
k+ 1 k+<br />
1<br />
Z konštrukcie ak<br />
1,<br />
bk<br />
1 vyplýva, že f ak+ 1 f bk+ 1 < 0, takže<br />
každý interval k k obsahuje koreň.<br />
( a , b )<br />
x ( a b )<br />
+ = +<br />
( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+<br />
1)<br />
( x b ) f ( a ) f ( x )<br />
⎧⎪ , , ak < 0,<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+<br />
1 > 0.<br />
( + + )<br />
( ) ( )<br />
( a , b )
Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
( )<br />
I : = a , b<br />
Po k krokoch je koreň v intervale k k k dĺžky<br />
bk−1−<br />
ak−1<br />
−k<br />
Ik = bk − ak<br />
= = = 2 ( b0−a0)<br />
.<br />
2<br />
x + ( a , b )<br />
Stred k 1 intervalu k k aproximuje koreň x* s chybou<br />
−k−1<br />
( ) ( )<br />
x + − x* ≤ b − a = 2 b − a .<br />
1<br />
k 1 2 k k<br />
0 0<br />
(2)<br />
k →∞ I →0a x → x*.<br />
Pre zrejme<br />
k<br />
k<br />
Príklad: Koľko iterácií metódou bisekcie musíme vykonať,<br />
aby sme spresnili koreň o jednu dekadickú cifru
Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
Metóda bisekcie konverguje pomaly, ale<br />
konverguje vždy.<br />
Rýchlosť konvergencie (2) nezávisí na funkcii f (x),<br />
pretože sme využívali len znamienko funkčných hodnôt.<br />
Keď tieto hodnoty (a prípadne hodnoty derivácií f‘(x) )<br />
využijeme efektívnejšie,<br />
môžeme dosiahnuť rýchlejšiu konvergenciu.<br />
Takéto „spresňujúce“ metódy však konvergujú,<br />
len ak pre ne zvolíme<br />
dostatočne dobrú počiatočnú aproximáciu.<br />
Najčastejšie práve určenú metódou bisekcie.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Rýchlosť konvergencie<br />
x , x , x ,… x*<br />
e = x −x*<br />
p C ≠ 0<br />
Nech 0 1 2 je postupnosť, ktorá konverguje k a<br />
k<br />
k<br />
p<br />
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že<br />
e<br />
lim = C,<br />
→∞<br />
e<br />
k<br />
k+<br />
1<br />
p<br />
k<br />
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti a<br />
C je chybová konštanta.<br />
(3)<br />
Špeciálne hovoríme, že<br />
lineárna,<br />
konvergencia je superlineárna, keď<br />
kvadratická,<br />
p = 1 a C < 1,<br />
p > 1,<br />
p = 2.<br />
Hovoríme, že daná metóda je rádu ,<br />
ak všetky konvergentné postupnosti zí<strong>sk</strong>ané touto metódou<br />
majú rád konvergencie väčší alebo rovný p a<br />
najmenej jedna z nich má rád konvergencie rovný presne .<br />
p<br />
p
Rýchlosť konvergencie<br />
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie<br />
x + ( a , b )<br />
Stred k 1 intervalu k k aproximuje koreň x* s chybou<br />
−k−1<br />
( ) ( )<br />
x + − x* ≤ b − a = 2 b − a .<br />
1<br />
k 1 2 k k<br />
0 0<br />
lim<br />
k→∞<br />
−k−1<br />
x 1 *<br />
k<br />
k+<br />
− x 2 ( b0− a0)<br />
1⎛<br />
2 ⎞<br />
= = p<br />
p<br />
x * k<br />
2 ( )<br />
2 b<br />
k x −<br />
b 0 a<br />
− ⎡ 0<br />
0 a ⎤ ⎜⎝ − ⎟⎠<br />
⎢ −<br />
⎣<br />
0 ⎥⎦<br />
p−1<br />
p= 1, C=<br />
1<br />
2
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Metóda regula falsi<br />
Je veľmi podobná metóde bisekcie.<br />
Deliacim bodom však nie je polovica intervalu,<br />
ale priesečník sečnice vedenej bodmi ⎡a<br />
k,<br />
f ( ak)<br />
⎤ a ⎡b<br />
k,<br />
f b ⎤<br />
k s osou x.<br />
⎣ ⎦ ( )<br />
⎣<br />
⎦
Metóda regula falsi<br />
Priesečník vypočítame podľa vzorca<br />
b −a<br />
x b f b<br />
( )<br />
k k<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( bk) − f ( ak)
Metóda regula falsi<br />
Priesečník vypočítame podľa vzorca<br />
( )<br />
b −a<br />
x b f b<br />
( )<br />
k k<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( bk) − f ( ak)<br />
Ak f x k + 1 = 0 potom x* = x k + 1 a končíme.<br />
Ak f ( x k + 1)<br />
≠ 0 potom<br />
( a , b )<br />
k+ 1 k+<br />
1<br />
Z konštrukcie ak<br />
1,<br />
bk<br />
1 vyplýva, že f ak+ 1 f bk+ 1 < 0, takže<br />
každý interval k k obsahuje koreň.<br />
( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+<br />
1)<br />
( x b ) f ( a ) f ( x )<br />
⎧⎪ , , ak < 0,<br />
= ⎪<br />
⎨ ⎪<br />
⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+<br />
1 > 0.<br />
( + + )<br />
( ) ( )<br />
( a , b )
Metóda regula falsi<br />
( )<br />
I : = a , b<br />
Po k krokoch je koreň v intervale k k k . Na rozdiel od<br />
metódy bisekcie však dĺžka intervalu I k nekonverguje k nule.<br />
Metóda regula falsi je vždy konvergentná.<br />
Rýchlosť konvergencie je len<br />
(podobne ako metódy bisekcie)<br />
lineárna.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Metóda sečníc<br />
Je veľmi podobná metóde regula falsi.<br />
ab ,<br />
Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.<br />
Označíme x0<br />
= a a 1 .<br />
Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a 1 1 a<br />
nájdeme jej priesečník s osou x.<br />
Ten označíme x 2 .<br />
x<br />
= b<br />
⎡x<br />
, f ( x ) ⎤ ⎡<br />
⎣ ⎦<br />
x , f ( x )<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦
Metóda sečníc<br />
Je veľmi podobná metóde regula falsi.<br />
ab ,<br />
Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.<br />
Označíme x0<br />
= a a 1 .<br />
Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a 1 1 a<br />
nájdeme jej priesečník s osou x.<br />
Ten označíme x 2 .<br />
Na rozdiel od metódy regula falsi však<br />
teraz nevyberáme interval obsahujúci koreň, ale<br />
vedieme sečnicu bodmi ,<br />
⎣ 1 1 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦<br />
ich priesečník označíme x 3 .<br />
Potom vedieme sečnicu bodmi 2 2 a 3 3 , atď.<br />
x<br />
= b<br />
⎡x<br />
, f ( x ) ⎤ ⎡<br />
⎣ ⎦<br />
x , f ( x )<br />
⎣<br />
( ) ( )<br />
⎡x , f x ⎤, ⎡x , f x ⎤<br />
⎡x<br />
, f ( x ) ⎤ ⎡<br />
⎣ ⎦ ⎣<br />
x , f ( x )<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦
Metóda sečníc
Metóda sečníc<br />
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa<br />
x = a, x = b.<br />
Kde 0 1<br />
x − x<br />
x x f x<br />
( )<br />
k k−1<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( xk) − f ( xk−1<br />
)<br />
,<br />
xk+ 1 − x* ≤ ε.
Metóda sečníc<br />
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa<br />
Kde<br />
x = a, x = b.<br />
0 1<br />
x − x<br />
x x f x<br />
( )<br />
k k−1<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( xk) − f ( xk−1<br />
)<br />
,<br />
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium<br />
xk+ 1 − xk<br />
≤ ε , prípadne xk+ 1 − xk ≤ε xk<br />
,<br />
alebo<br />
( )<br />
f x<br />
alebo keď narazíme priamo na koreň.<br />
k+ 1 ≤ ε ,
Metóda sečníc<br />
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa<br />
Kde<br />
x = a, x = b.<br />
0 1<br />
x − x<br />
x x f x<br />
( )<br />
k k−1<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( xk) − f ( xk−1<br />
)<br />
,<br />
− ≤<br />
1<br />
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium<br />
xk+ 1 xk<br />
ε , prípadne xk+ 1 xk ≤ε xk<br />
,<br />
alebo f ( xk+ 1 ) ε ,<br />
alebo keď narazíme priamo na koreň.<br />
* .<br />
Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí<br />
xk+ − x ≤ ε
Metóda sečníc<br />
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa<br />
Kde<br />
x = a, x = b.<br />
0 1<br />
x − x<br />
x x f x<br />
( )<br />
k k−1<br />
k+<br />
1 = k −<br />
k<br />
f ( xk) − f ( xk−1<br />
)<br />
,<br />
− ≤<br />
1<br />
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium<br />
xk+ 1 xk<br />
ε , prípadne xk+ 1 xk ≤ε xk<br />
,<br />
alebo f ( xk+ 1 ) ε ,<br />
alebo keď narazíme priamo na koreň.<br />
* .<br />
Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí<br />
xk+ − x ≤ ε<br />
Príklad: Ako sa presvedčíme, že je daná podmienka splnená
Metóda sečníc<br />
Metóda sečníc môže aj divergovať !
Metóda sečníc<br />
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,<br />
ale môže aj divergovať.
Metóda sečníc<br />
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,<br />
ale môže aj divergovať.<br />
Zaručene konverguje vtedy,<br />
ak zvolíme štartovacie body x1<br />
a x 2 dostatočne blízko koreňu x*<br />
.
Metóda sečníc<br />
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,<br />
ale môže aj divergovať.<br />
Zaručene konverguje vtedy,<br />
ak zvolíme štartovacie body x1<br />
a x 2 dostatočne blízko koreňu x*<br />
.<br />
Dá sa odvodiť, že rýchlosť konvergencie je rádu<br />
1<br />
p = ( 1 + 5 ) 1.618 ,<br />
2<br />
t.j. je superlineárna.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať<br />
s dotyčnicami ku grafu funkcie f.<br />
Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať<br />
s dotyčnicami ku grafu funkcie f.<br />
Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.<br />
Zvolíme počiatočnú aproximáciu koreňa x 0 .<br />
⎡<br />
⎣<br />
x<br />
,<br />
( )<br />
f x<br />
⎤<br />
⎦<br />
Bodom 0 0 vedieme dotyčnicu ku grafu funkcie f.<br />
Jej priesečník s osou x označíme x 1 .<br />
Potom vedieme dotyčnicu bodom ,<br />
⎣ 1 1 ⎦<br />
jej priesečník s osou x označíme x 2 ,<br />
atď.<br />
⎡x<br />
,<br />
( )<br />
f x<br />
⎤
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
Predpokladajme, že poznáme x k<br />
a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu x k + 1.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
Predpokladajme, že poznáme x k<br />
a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu k 1.<br />
⎡<br />
⎣<br />
x<br />
,<br />
( )<br />
f x<br />
⎤<br />
⎦<br />
Bodom k k vedieme dotyčnicu ku krivke .<br />
y : = 0<br />
Do rovnice dotyčnice<br />
( ) ′( )( )<br />
y= f x + f x x−x<br />
k k k<br />
x +<br />
y=<br />
f ( x)<br />
dosadíme a zí<strong>sk</strong>ame tak priesečník dotyčnice s osou :<br />
x<br />
k<br />
( k )<br />
( x )<br />
f x<br />
+ = − ′<br />
1 xk<br />
.<br />
f k<br />
x
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
e = x −x*<br />
Nech k k je chyba v k-tom kroku.<br />
( *)<br />
f x<br />
Urobme Taylorov rozvoj okolo<br />
1<br />
2<br />
0 = f ( x* ) = f ( xk) + ( x* − xk) f ′( xk) + ( x* −xk) f ′′( ξ ),<br />
2<br />
ξ<br />
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú k a .<br />
xk<br />
x x*
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
e = x −x*<br />
Nech k k je chyba v k-tom kroku.<br />
( *)<br />
f x<br />
Urobme Taylorov rozvoj okolo<br />
1<br />
2<br />
0 = f ( x* ) = f ( xk) + ( x* − xk) f ′( xk) + ( x* −xk) f ′′( ξ ),<br />
2<br />
ξ<br />
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú k a .<br />
Po úpravách dostaneme<br />
( ξ )<br />
( )<br />
( ξ )<br />
( k)<br />
( ξ )<br />
( x )<br />
( k )<br />
( )<br />
1<br />
2 f ′′ f x<br />
− ( x* − xk)<br />
= + x*<br />
−x<br />
2 f ′ x f ′ x<br />
k<br />
( )<br />
1 f ′′ ⎡ f ( x ) ⎤<br />
k<br />
− ( x* − x ) = x* −⎢x − ⎥= x*<br />
−x<br />
2<br />
⎣ ( ) ⎦<br />
1 2 f ′′<br />
ek<br />
= ek+<br />
1<br />
2 f ′<br />
k<br />
2<br />
k k k+<br />
1<br />
f ′ x ⎢ f ′ x ⎥<br />
k<br />
k<br />
k<br />
xk<br />
x x*
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Keď urobíme limitu<br />
1<br />
f<br />
( ξ )<br />
( x )<br />
′′<br />
2<br />
e<br />
1<br />
2 k = e<br />
f<br />
k +<br />
′<br />
k<br />
k+<br />
1<br />
2<br />
k<br />
( ξ )<br />
( x )<br />
e f ′′<br />
lim = .<br />
→∞<br />
e f ′<br />
k<br />
k<br />
(4)<br />
Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:<br />
x , x , x ,… x*<br />
e = x −x*<br />
p C ≠ 0<br />
Nech 0 1 2 je postupnosť, ktorá konverguje k a<br />
k<br />
k<br />
p<br />
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že<br />
e<br />
lim = C,<br />
→∞<br />
e<br />
k<br />
k+<br />
1<br />
p<br />
k<br />
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti a<br />
C je chybová konštanta.<br />
Newtonova metóda konverguje kvadraticky.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Newtonova metóda môže aj divergovať
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná<br />
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí<br />
1<br />
2<br />
f<br />
f<br />
′′<br />
′<br />
( y)<br />
( x)<br />
≤ m<br />
pre všetky<br />
x ∈I, y∈I.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná<br />
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí<br />
1<br />
2<br />
f<br />
f<br />
e<br />
′′<br />
′<br />
( y)<br />
( x)<br />
≤ m<br />
x<br />
∈<br />
I<br />
pre všetky<br />
x ∈I, y∈I.<br />
Ak k , potom zo (4) vyplýva<br />
2<br />
k+ 1 ≤ 2<br />
m ek<br />
alebo mek+ 1 ≤ mek<br />
.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná<br />
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí<br />
1<br />
2<br />
f<br />
f<br />
e<br />
′′<br />
′<br />
( y)<br />
( x)<br />
≤ m<br />
x<br />
∈<br />
I<br />
pre všetky<br />
x ∈I, y∈I.<br />
Ak k , potom zo (4) vyplýva<br />
2<br />
k+ 1 ≤ 2<br />
m ek<br />
alebo mek+ 1 ≤ mek<br />
.<br />
Opakovaním tejto úvahy dostaneme<br />
2 4 8 2k+<br />
1<br />
k+ 1 ≤ k ≤ k−1 ≤ k−2 ≤≤<br />
0<br />
me me me me me<br />
Ak platí me 0 < 1, potom istotne e k + 1 → 0 a teda xk+ 1 → x*<br />
.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia<br />
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná<br />
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí<br />
1<br />
2<br />
f<br />
f<br />
e<br />
′′<br />
′<br />
( y)<br />
( x)<br />
≤ m<br />
x<br />
∈<br />
I<br />
pre všetky<br />
x ∈I, y∈I.<br />
Ak k , potom zo (4) vyplýva<br />
2<br />
k+ 1 ≤ 2<br />
m ek<br />
alebo mek+ 1 ≤ mek<br />
.<br />
Opakovaním tejto úvahy dostaneme<br />
2 4 8 2k+<br />
1<br />
k+ 1 ≤ k ≤ k−1 ≤ k−2 ≤≤<br />
0<br />
me me me me me<br />
Ak platí me 0 < 1, potom istotne e k + 1 → 0 a teda xk+ 1 → x*<br />
.<br />
Newtonova metóda vždy konverguje za predpokladu,<br />
že počiatočnú aproximáciu zvolíme dostatočne blízko koreňa.
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
Veta: (Fourierova podmienka)<br />
ab ,<br />
Nech v intervale leží jediný koreň rovnice a<br />
f<br />
′( x)<br />
f ′′( x)<br />
nech a sú spojité a nemenia znamienko na intervale .<br />
Ak zvolíme za počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , tak,<br />
aby bola splnená podmienka<br />
( ) ′( )<br />
f x f x<br />
0 ⋅ 0 > 0,<br />
Newtonova metóda bude konvergovať.<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
ab ,<br />
Praktický význam však Fourierova podmienka nemá,<br />
pretože pre veľké b−a<br />
obvykle podmienka neplatí<br />
alebo ju nevieme ľahko overiť.
Kombinovaná metóda<br />
Dobrú počiatočnú aproximáciu x 0 môžeme zí<strong>sk</strong>ať napr. metódou bisekcie.<br />
Vhodným spojením metódy bisekcie a Newtonovej metódy je možné<br />
zostrojiť kombinovanú metódu,<br />
ktorá vždy konverguje.<br />
napr. procedúra rtsafe v Numerical Recipes;<br />
v blízkosti koreňa sa uplatní len Newtonova metóda,<br />
takže konvergencia je rýchla.
Steffensenova metóda<br />
Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy<br />
h<br />
x<br />
k<br />
( k )<br />
( x )<br />
f x<br />
+ = x − ′<br />
1 k ,<br />
f k<br />
v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom<br />
f<br />
( x)<br />
′ ≈<br />
kde k je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule.<br />
f ′<br />
( k + k) − ( k) ,<br />
f x h f x<br />
h<br />
=<br />
h<br />
Volíme k k .<br />
k<br />
( )<br />
f x<br />
k<br />
Oproti metóde sečníc je tu jedno vyhodnotenie funkcie navyše.<br />
Na druhej strane sa dá ukázať, že<br />
rýchlosť konvergencie Steffensenovej metódy je rovnaká<br />
ako Newtonovej metódy, teda kvadratická.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice<br />
je aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,<br />
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice<br />
je aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,<br />
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.<br />
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar<br />
x = g( x).<br />
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice<br />
je aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,<br />
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.<br />
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar<br />
x = g( x).<br />
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.<br />
Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadať<br />
pevný bod funkcie g (x).<br />
Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice<br />
je aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,<br />
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.<br />
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar<br />
x = g( x).<br />
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.<br />
Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadať<br />
pevný bod funkcie g (x).<br />
Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.<br />
Zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 a ďalšie aproximácie počítame ako<br />
xk+ 1 = g( xk)<br />
.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Týmto spôsobom nemusíme prísť k pevnému bodu funkcie g.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Povedali sme si, že<br />
metóda postupných aproximácií konverguje,<br />
ak je zobrazenie,<br />
ktorého pevný bod hľadáme,<br />
kontraktívne.<br />
Pri funkcii jednej premennej<br />
kontraktivita úzko súvisí<br />
s rýchlosťou rastu funkcie.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Veta:<br />
ab<br />
Nech funkcia g zobrazuje interval do seba<br />
a má na tomto intervale deriváciu.<br />
xk+ 1 g( xk)<br />
,<br />
α ∈ 0,1)<br />
( ) α , ,<br />
,<br />
Ak existuje číslo také, že<br />
g′ x ≤ ∀x∈<br />
a b<br />
ab x*<br />
potom v intervale existuje pevný bod funkcie g<br />
a postupnosť postupných aproximácií<br />
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , .
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Veta:<br />
ab<br />
Nech funkcia g zobrazuje interval do seba<br />
a má na tomto intervale deriváciu.<br />
xk+ 1 g( xk)<br />
,<br />
α ∈ 0,1)<br />
( ) α , ,<br />
,<br />
Ak existuje číslo také, že<br />
g′ x ≤ ∀x∈<br />
a b<br />
ab x*<br />
potom v intervale existuje pevný bod funkcie g<br />
a postupnosť postupných aproximácií<br />
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , .<br />
Ďalej platí<br />
xk −x* ≤ α xk −xk−1<br />
.<br />
1−α
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
Veta:<br />
ab<br />
Nech funkcia g zobrazuje interval do seba<br />
a má na tomto intervale deriváciu.<br />
xk+ 1 g( xk)<br />
,<br />
α ∈ 0,1)<br />
( ) α , ,<br />
,<br />
Ak existuje číslo také, že<br />
g′ x ≤ ∀x∈<br />
a b<br />
ab x*<br />
potom v intervale existuje pevný bod funkcie g<br />
a postupnosť postupných aproximácií<br />
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , .<br />
Ďalej platí<br />
xk −x* ≤ α xk −xk−1<br />
.<br />
1−α<br />
Potom sa dá ukázať, že rýchlosť konvergencie je lineárna.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť<br />
x<br />
, je nekonečne veľa.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť<br />
x<br />
, je nekonečne veľa.<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,<br />
potom rovnicu vynásobíme -1<br />
a nakoniec na obe strany pripočítame x.<br />
Dostaneme<br />
( )<br />
( x) .<br />
f x<br />
x= x− f ′
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť<br />
x<br />
, je nekonečne veľa.<br />
( ) 0<br />
f x =<br />
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,<br />
potom rovnicu vynásobíme -1<br />
a nakoniec na obe strany pripočítame x.<br />
Dostaneme<br />
( )<br />
( x) .<br />
f x<br />
x= x− f ′<br />
Newtonova metóda je špeciálnym prípadom<br />
metódy jednoduchých iterácií.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Aitken-Steffensenove metódy<br />
Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:<br />
x , x , x ,… x*<br />
e = x −x*<br />
p C ≠ 0<br />
Nech 0 1 2 je postupnosť, ktorá konverguje k a<br />
k<br />
k<br />
p<br />
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že<br />
e<br />
lim = C,<br />
→∞<br />
e<br />
k<br />
k+<br />
1<br />
p<br />
k<br />
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti a<br />
C je chybová konštanta.<br />
Predpokladajme lineárnu konvergenciu iteračnej metódy<br />
xk+ 1 = g( xk)<br />
,<br />
t.j. platí<br />
x*<br />
lim ≤ C .<br />
→∞ x − x*<br />
k<br />
xk<br />
−<br />
k − 1
Aitken-Steffensenove metódy<br />
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:<br />
Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti<br />
k 1<br />
( )<br />
x −x* ≈C x −x* ,<br />
k<br />
k−1<br />
( )<br />
xk<br />
1 x* C xk<br />
x* ,<br />
+ − ≈ − ( ) 2<br />
z ktorých vypočítame koreň x*<br />
2<br />
xk− 1xk+<br />
1−<br />
xk<br />
xk<br />
− xk−1<br />
xk−1<br />
k+ 1− 2 k + k− 1 k+ 1− 2 k + k−1<br />
x* ≈ = −<br />
,<br />
x x x x x x<br />
( )<br />
( ),<br />
( ) ( )<br />
x = g x x = g x = g g x<br />
pričom k k− 1 k+ 1 k k−1<br />
.
Aitken-Steffensenove metódy<br />
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:<br />
Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti<br />
k 1<br />
( )<br />
x −x* ≈C x −x* ,<br />
k<br />
k−1<br />
( )<br />
xk<br />
1 x* C xk<br />
x* ,<br />
+ − ≈ − ( ) 2<br />
z ktorých vypočítame koreň x*<br />
2<br />
xk− 1xk+<br />
1−<br />
xk<br />
xk<br />
− xk−1<br />
xk−1<br />
k+ 1− 2 k + k− 1 k+ 1− 2 k + k−1<br />
x* ≈ = −<br />
,<br />
x x x x x x<br />
( )<br />
( ),<br />
( ) ( )<br />
x = g x x = g x = g g x<br />
pričom k k− 1 k+ 1 k k−1<br />
.<br />
Takto môžeme definovať nový iteračný vzorec<br />
2<br />
( g( xk)<br />
− xk)<br />
xk+<br />
1 = xk<br />
−<br />
.<br />
g( g( xk)<br />
) − 2g( xk)<br />
+ xk<br />
Dostali sme Aitken-Steffensenovu iteračnú metódu<br />
na výpočet koreňa rovnice .<br />
x * x = g( x)
Aitken-Steffensenove metódy<br />
Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0<br />
dostatočne blízko koreňa x* a<br />
ak g′ x* ≠1,<br />
( )<br />
Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.
Aitken-Steffensenove metódy<br />
Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0<br />
dostatočne blízko koreňa x* a<br />
ak g′ x* ≠1,<br />
( )<br />
Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.<br />
( )<br />
g′ x* = 1<br />
Ak , konvergencia tejto metódy je pomalá.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O násobných koreňoch)<br />
x * f ( x ) = 0<br />
g x = f x / x− x* q x*<br />
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,<br />
( ) ( ) ( )<br />
ak funkcia je v bode definovaná<br />
a koreň v ňom už má, t.j. keď<br />
( )<br />
0 < g x*
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O násobných koreňoch)<br />
x * f ( x ) = 0<br />
g x = f x / x− x* q x*<br />
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,<br />
( ) ( ) ( )<br />
ak funkcia je v bode definovaná<br />
a koreň v ňom už má, t.j. keď<br />
( )<br />
0 < g x*
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O násobných koreňoch)<br />
x * f ( x ) = 0<br />
g x = f x / x− x* q x*<br />
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,<br />
( ) ( ) ( )<br />
ak funkcia je v bode definovaná<br />
a koreň v ňom už má, t.j. keď<br />
( )<br />
0 < g x*
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)<br />
Nech x k je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice f x = .<br />
Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme<br />
( ) = ( ) − ( ) = ′( ξ )( − )<br />
f x f x f x* f x x* ,<br />
k k k<br />
ξ<br />
kde je nejaký bod ležiaci medzi k a .<br />
Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme<br />
len s približnými hodnotami k k k,<br />
δ<br />
pričom k .<br />
Potom najlepší výsledok, dosiahnuteľná aký môžeme dosiahnuť, presnosť koreňa je f ( x x*<br />
k ) = 0.<br />
x<br />
k<br />
V tom prípade k , takže<br />
x*<br />
*<br />
Vypočítať x* s menšou chybou než ε x sa nedá.<br />
x<br />
f x = f x + δ<br />
≤δ<br />
( ) ( )<br />
f ( x ) ≤δ<br />
( k ) δ δ<br />
( x ) f ′( ξ ) f ′( x*<br />
)<br />
−<br />
f x<br />
*<br />
x* = : ε x ,<br />
f ′<br />
≤ ≈ =<br />
k<br />
pokiaľ sa f ′ v blízkosti koreňa príliš nemení.<br />
( ) 0
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)<br />
( )<br />
f ′ x* x*<br />
Ak je smernica v koreni malá,<br />
potom je dosiahnuteľná presnosť veľmi veľká –<br />
- zle podmienený problém
Zopár poznámok<br />
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)<br />
Podobná úvaha pre koreň násobnosti q<br />
dáva dosiahnuteľnú presnosť<br />
ε<br />
⎛ ⎞ ⋅<br />
= ( q<br />
f<br />
) ⎜ ( x*<br />
⎜⎝ ) ⎟⎠<br />
* ⎜<br />
δ q!<br />
x<br />
1<br />
q<br />
.<br />
1/q<br />
Exponent je príčinou toho, že<br />
výpočet násobného koreňa<br />
je všeobecne zle podmienená úloha.
Prednáška č. 2<br />
OBSAH<br />
1. Úvod<br />
2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie<br />
3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)<br />
4. Rýchlosť konvergencie<br />
5. Metóda regula falsi<br />
6. Metóda sečníc<br />
7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)<br />
8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)<br />
9. Aitken-Steffensenove metódy<br />
10. Zopár poznámok<br />
11. Literatúra
Literatúra
Literatúra
Literatúra