x - fyzikazeme.sk

Prednáška č. 2 

Numerické metódy matematiky I 

Riešenie nelineárnych rovníc


OBSAH 

1. Úvod 

2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie 

3. Metóda bisekcie (polenie intervalu) 

4. Rýchlosť konvergencie 

5. Metóda regula falsi 

6. Metóda sečníc 

7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc) 

8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 

9. Aitken-Steffensenove metódy 

10. Zopár poznámok 

11. Literatúra

Úvod 

Riešiť nelineárnu rovnicu 

f (x)=0 

znamená, hľadať také body x* 

∈R, že f (x*)=0. 

Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1). 

(1)

Úvod 


f (x)=0 


∈R, že f (x*)=0. 


(1) 

Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti 

nevieme vyjadriť explicitným vzorcom.

Úvod 


f (x)=0 


∈R, že f (x*)=0. 


(1) 

Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti 

nevieme vyjadriť explicitným vzorcom. 

Iteračné metódy: 

z jednej alebo niekoľkých 

počiatočných aproximácií hľadaného koreňa x* 

generujeme postupnosť x0, x1, 

x 2, …, 

ktorá ku koreňu x* konverguje.

Úvod 

Pre niektoré metódy stačí, 

keď zadáme interval ab , , 

ktorý obsahuje hľadaný koreň, 

iné vyžadujú, 

aby bola počiatočná aproximácia 

„dosť“ blízko k hľadanému koreňu. 

Často začíname s „hrubou“, avšak spoľahlivou metódou 

a až keď sme dostatočne blízko koreňa 

prejdeme na „jemnejšiu“, 

rýchlejšie konvergujúcu metódu.

Úvod 

Pre jednoduchosť budeme uvažovať len problém určenia 

jednoduchého koreňa x* rovnice f (x)=0, 

t.j. predpokladáme, že f ′ x* ≠ 0. 

( ) 

Budeme tiež predpokladať, že 

funkcia f (x) je spojitá a 

má toľko spojitých derivácií, 

koľko je v danej situácii potrebných.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie 

Pri hľadaní koreňov rovnice 

f (x)=0 

najskôr zistíme, 

koľko koreňov rovnica má 

a 

nájdeme intervaly obsahujúce práve jeden koreň rovnice. 

ab , 

Veta: Ak je funkcia spojitá na intervale a platí 

( ) ⋅ f ( b) < 0, 

f a 

potom na intervale ab , leží aspoň jeden koreň rovnice f (x)=0.


x*


Počiatočnú aproximáciu koreňov rovnice 

f (x)=0 

môžeme zistiť z grafu funkcie f (x). 

ab , 

( ) 

⎡x 

, f x ⎤ 

⎣ ⎦ 

a= x < x < < x < x < < x = b 

Inou možnosťou je zostavenie tabuľky i i pre nejaké delenie 

0 1 i−1 

i n 

zvoleného intervalu .


Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice f (x)=0, kde 

( ) 

f x = 4sin x−x 

−1. 

3


Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice 

x 

e 

2 

+ x − 3= 

0 

Riešenie: Zadanú funkciu upravíme na tvar 

x 

e 

= 3−x 

2


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Metóda bisekcie (polenie intervalu) 

Je založená na princípe znamienkových zmien. 

Predpokladajme, že funkcia f (x) 

( a , b ) 

má v koncových bodoch intervalu 0 0 opačné znamienka, 

t.j. platí f ( a0) ⋅ f ( b0) 

< 0. 

Zostrojíme postupnosť intervalov 

( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) 

, ⊃ , ⊃ , ⊃ , ⊃, 

0 0 1 1 2 2 3 3 

ktoré obsahujú koreň. 

( ) 

a + , b + , k = 0,1, … 

Intervaly k 1 k 1 

určíme rekurzívne 

nasledovným spôsobom:


( a , b ) 

x ( a b ) 

Nájdeme stred intervalu a označíme ho 

1 

k k 

k 1 . 

2 k k 

Ak f ( x k + 1) 

= 0 potom x* = x k + 1 a končíme. 

Ak f ( x k + 1) 

≠ 0 potom 

( a , b ) 

k+ 1 k+ 

1 

+ = + 

( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+ 

1) 

( x b ) f ( a ) f ( x ) 

⎧⎪ , , ak < 0, 

= ⎨ 

⎪ 

⎪ 

⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+ 

1 > 0.


Nájdeme stred intervalu a označíme ho 

1 

k k 

k 1 . 

2 k k 

Ak f ( x k + 1) 

= 0 potom x* = x k + 1 a končíme. 

Ak f ( x k + 1) 

≠ 0 potom 

( a , b ) 

k+ 1 k+ 

1 

Z konštrukcie ak 

1, 

bk 

1 vyplýva, že f ak+ 1 f bk+ 1 < 0, takže 

každý interval k k obsahuje koreň. 

( a , b ) 

x ( a b ) 

+ = + 

( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+ 

1) 

( x b ) f ( a ) f ( x ) 

⎧⎪ , , ak < 0, 

= ⎨ 

⎪ 

⎪ 

⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+ 

1 > 0. 

( + + ) 

( ) ( ) 

( a , b )


( ) 

I : = a , b 

Po k krokoch je koreň v intervale k k k dĺžky 

bk−1− 

ak−1 

−k 

Ik = bk − ak 

= = = 2 ( b0−a0) 

. 

2 

x + ( a , b ) 

Stred k 1 intervalu k k aproximuje koreň x* s chybou 

−k−1 

( ) ( ) 

x + − x* ≤ b − a = 2 b − a . 

1 

k 1 2 k k 

0 0 

(2) 

k →∞ I →0a x → x*. 

Pre zrejme 

k 

k 

Príklad: Koľko iterácií metódou bisekcie musíme vykonať, 

aby sme spresnili koreň o jednu dekadickú cifru


Metóda bisekcie konverguje pomaly, ale 

konverguje vždy. 

Rýchlosť konvergencie (2) nezávisí na funkcii f (x), 

pretože sme využívali len znamienko funkčných hodnôt. 

Keď tieto hodnoty (a prípadne hodnoty derivácií f‘(x) ) 

využijeme efektívnejšie, 

môžeme dosiahnuť rýchlejšiu konvergenciu. 

Takéto „spresňujúce“ metódy však konvergujú, 

len ak pre ne zvolíme 

dostatočne dobrú počiatočnú aproximáciu. 

Najčastejšie práve určenú metódou bisekcie.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Rýchlosť konvergencie 

x , x , x ,… x* 

e = x −x* 

p C ≠ 0 

Nech 0 1 2 je postupnosť, ktorá konverguje k a 

k 

k 

p 

. Keď existuje číslo a konštanta taká, že 

e 

lim = C, 

→∞ 

e 

k 

k+ 

1 

p 

k 

potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti a 

C je chybová konštanta. 

(3) 

Špeciálne hovoríme, že 

lineárna, 

konvergencia je superlineárna, keď 

kvadratická, 

p = 1 a C < 1, 

p > 1, 

p = 2. 

Hovoríme, že daná metóda je rádu , 

ak všetky konvergentné postupnosti získané touto metódou 

majú rád konvergencie väčší alebo rovný p a 

najmenej jedna z nich má rád konvergencie rovný presne . 

p 

p

Rýchlosť konvergencie 

Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie 

x + ( a , b ) 

Stred k 1 intervalu k k aproximuje koreň x* s chybou 

−k−1 

( ) ( ) 

x + − x* ≤ b − a = 2 b − a . 

1 

k 1 2 k k 

0 0 

lim 

k→∞ 

−k−1 

x 1 * 

k 

k+ 

− x 2 ( b0− a0) 

1⎛ 

2 ⎞ 

= = p 

p 

x * k 

2 ( ) 

2 b 

k x − 

b 0 a 

− ⎡ 0 

0 a ⎤ ⎜⎝ − ⎟⎠ 

⎢ − 

⎣ 

0 ⎥⎦ 

p−1 

p= 1, C= 

1 

2


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Metóda regula falsi 

Je veľmi podobná metóde bisekcie. 

Deliacim bodom však nie je polovica intervalu, 

ale priesečník sečnice vedenej bodmi ⎡a 

k, 

f ( ak) 

⎤ a ⎡b 

k, 

f b ⎤ 

k s osou x. 

⎣ ⎦ ( ) 

⎣ 

⎦


Priesečník vypočítame podľa vzorca 

b −a 

x b f b 

( ) 

k k 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( bk) − f ( ak)


Priesečník vypočítame podľa vzorca 

( ) 

b −a 

x b f b 

( ) 

k k 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( bk) − f ( ak) 

Ak f x k + 1 = 0 potom x* = x k + 1 a končíme. 

Ak f ( x k + 1) 

≠ 0 potom 

( a , b ) 

k+ 1 k+ 

1 

Z konštrukcie ak 

1, 

bk 

1 vyplýva, že f ak+ 1 f bk+ 1 < 0, takže 

každý interval k k obsahuje koreň. 

( ak xk+ 1) f ( ak) f ( xk+ 

1) 

( x b ) f ( a ) f ( x ) 

⎧⎪ , , ak < 0, 

= ⎪ 

⎨ ⎪ 

⎪⎩ k+ 1, k , ak k k+ 

1 > 0. 

( + + ) 

( ) ( ) 

( a , b )


( ) 

I : = a , b 

Po k krokoch je koreň v intervale k k k . Na rozdiel od 

metódy bisekcie však dĺžka intervalu I k nekonverguje k nule. 

Metóda regula falsi je vždy konvergentná. 

Rýchlosť konvergencie je len 

(podobne ako metódy bisekcie) 

lineárna.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Metóda sečníc 

Je veľmi podobná metóde regula falsi. 

ab , 

Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice. 

Označíme x0 

= a a 1 . 

Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a 1 1 a 

nájdeme jej priesečník s osou x. 

Ten označíme x 2 . 

x 

= b 

⎡x 

, f ( x ) ⎤ ⎡ 

⎣ ⎦ 

x , f ( x ) 

⎣ 

⎤ 

⎦


Je veľmi podobná metóde regula falsi. 

ab , 

Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice. 

Označíme x0 

= a a 1 . 

Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a 1 1 a 

nájdeme jej priesečník s osou x. 

Ten označíme x 2 . 

Na rozdiel od metódy regula falsi však 

teraz nevyberáme interval obsahujúci koreň, ale 

vedieme sečnicu bodmi , 

⎣ 1 1 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ 

ich priesečník označíme x 3 . 

Potom vedieme sečnicu bodmi 2 2 a 3 3 , atď. 

x 

= b 

⎡x 

, f ( x ) ⎤ ⎡ 

⎣ ⎦ 

x , f ( x ) 

⎣ 

( ) ( ) 

⎡x , f x ⎤, ⎡x , f x ⎤ 

⎡x 

, f ( x ) ⎤ ⎡ 

⎣ ⎦ ⎣ 

x , f ( x ) 

⎤ 

⎦ 

⎤ 

⎦

Metóda sečníc


V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa 

x = a, x = b. 

Kde 0 1 

x − x 

x x f x 

( ) 

k k−1 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( xk) − f ( xk−1 

) 

, 

xk+ 1 − x* ≤ ε.



Kde 

x = a, x = b. 

0 1 

x − x 

x x f x 

( ) 

k k−1 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( xk) − f ( xk−1 

) 

, 

Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium 

xk+ 1 − xk 

≤ ε , prípadne xk+ 1 − xk ≤ε xk 

, 

alebo 

( ) 

f x 

alebo keď narazíme priamo na koreň. 

k+ 1 ≤ ε ,



Kde 

x = a, x = b. 

0 1 

x − x 

x x f x 

( ) 

k k−1 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( xk) − f ( xk−1 

) 

, 

− ≤ 

1 


xk+ 1 xk 

ε , prípadne xk+ 1 xk ≤ε xk 

, 

alebo f ( xk+ 1 ) ε , 


* . 

Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí 

xk+ − x ≤ ε



Kde 

x = a, x = b. 

0 1 

x − x 

x x f x 

( ) 

k k−1 

k+ 

1 = k − 

k 

f ( xk) − f ( xk−1 

) 

, 

− ≤ 

1 


xk+ 1 xk 

ε , prípadne xk+ 1 xk ≤ε xk 

, 

alebo f ( xk+ 1 ) ε , 


* . 

Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí 

xk+ − x ≤ ε 

Príklad: Ako sa presvedčíme, že je daná podmienka splnená


Metóda sečníc môže aj divergovať !


Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi, 

ale môže aj divergovať.



ale môže aj divergovať. 

Zaručene konverguje vtedy, 

ak zvolíme štartovacie body x1 

a x 2 dostatočne blízko koreňu x* 

.



ale môže aj divergovať. 

Zaručene konverguje vtedy, 

ak zvolíme štartovacie body x1 

a x 2 dostatočne blízko koreňu x* 

. 

Dá sa odvodiť, že rýchlosť konvergencie je rádu 

1 

p = ( 1 + 5 ) 1.618 , 

2 

t.j. je superlineárna.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Newtonova metóda (metóda dotyčníc) 

Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať 

s dotyčnicami ku grafu funkcie f. 

Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.


Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať 

s dotyčnicami ku grafu funkcie f. 

Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu. 

Zvolíme počiatočnú aproximáciu koreňa x 0 . 

⎡ 

⎣ 

x 

, 

( ) 

f x 

⎤ 

⎦ 

Bodom 0 0 vedieme dotyčnicu ku grafu funkcie f. 

Jej priesečník s osou x označíme x 1 . 

Potom vedieme dotyčnicu bodom , 

⎣ 1 1 ⎦ 

jej priesečník s osou x označíme x 2 , 

atď. 

⎡x 

, 

( ) 

f x 

⎤

Newtonova metóda (metóda dotyčníc)


Predpokladajme, že poznáme x k 

a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu x k + 1.


Predpokladajme, že poznáme x k 

a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu k 1. 

⎡ 

⎣ 

x 

, 

( ) 

f x 

⎤ 

⎦ 

Bodom k k vedieme dotyčnicu ku krivke . 

y : = 0 

Do rovnice dotyčnice 

( ) ′( )( ) 

y= f x + f x x−x 

k k k 

x + 

y= 

f ( x) 

dosadíme a získame tak priesečník dotyčnice s osou : 

x 

k 

( k ) 

( x ) 

f x 

+ = − ′ 

1 xk 

. 

f k 

x

Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia 

e = x −x* 

Nech k k je chyba v k-tom kroku. 

( *) 

f x 

Urobme Taylorov rozvoj okolo 

1 

2 

0 = f ( x* ) = f ( xk) + ( x* − xk) f ′( xk) + ( x* −xk) f ′′( ξ ), 

2 

ξ 

kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú k a . 

xk 

x x*


e = x −x* 

Nech k k je chyba v k-tom kroku. 

( *) 

f x 

Urobme Taylorov rozvoj okolo 

1 

2 

0 = f ( x* ) = f ( xk) + ( x* − xk) f ′( xk) + ( x* −xk) f ′′( ξ ), 

2 

ξ 

kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú k a . 

Po úpravách dostaneme 

( ξ ) 

( ) 

( ξ ) 

( k) 

( ξ ) 

( x ) 

( k ) 

( ) 

1 

2 f ′′ f x 

− ( x* − xk) 

= + x* 

−x 

2 f ′ x f ′ x 

k 

( ) 

1 f ′′ ⎡ f ( x ) ⎤ 

k 

− ( x* − x ) = x* −⎢x − ⎥= x* 

−x 

2 

⎣ ( ) ⎦ 

1 2 f ′′ 

ek 

= ek+ 

1 

2 f ′ 

k 

2 

k k k+ 

1 

f ′ x ⎢ f ′ x ⎥ 

k 

k 

k 

xk 

x x*


Keď urobíme limitu 

1 

f 

( ξ ) 

( x ) 

′′ 

2 

e 

1 

2 k = e 

f 

k + 

′ 

k 

k+ 

1 

2 

k 

( ξ ) 

( x ) 

e f ′′ 

lim = . 

→∞ 

e f ′ 

k 

k 

(4) 

Pripomeňme definíciu rádu konvergencie: 

x , x , x ,… x* 

e = x −x* 

p C ≠ 0 


k 

k 

p 


e 

lim = C, 

→∞ 

e 

k 

k+ 

1 

p 

k 



Newtonova metóda konverguje kvadraticky.


Newtonova metóda môže aj divergovať


Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná


Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná 

Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí 

1 

2 

f 

f 

′′ 

′ 

( y) 

( x) 

≤ m 

pre všetky 

x ∈I, y∈I.




1 

2 

f 

f 

e 

′′ 

′ 

( y) 

( x) 

≤ m 

x 

∈ 

I 

pre všetky 

x ∈I, y∈I. 

Ak k , potom zo (4) vyplýva 

2 

k+ 1 ≤ 2 

m ek 

alebo mek+ 1 ≤ mek 

.




1 

2 

f 

f 

e 

′′ 

′ 

( y) 

( x) 

≤ m 

x 

∈ 

I 

pre všetky 

x ∈I, y∈I. 


2 

k+ 1 ≤ 2 

m ek 


. 

Opakovaním tejto úvahy dostaneme 

2 4 8 2k+ 

1 

k+ 1 ≤ k ≤ k−1 ≤ k−2 ≤≤ 

0 

me me me me me 

Ak platí me 0 < 1, potom istotne e k + 1 → 0 a teda xk+ 1 → x* 

.




1 

2 

f 

f 

e 

′′ 

′ 

( y) 

( x) 

≤ m 

x 

∈ 

I 

pre všetky 

x ∈I, y∈I. 


2 

k+ 1 ≤ 2 

m ek 


. 

Opakovaním tejto úvahy dostaneme 

2 4 8 2k+ 

1 

k+ 1 ≤ k ≤ k−1 ≤ k−2 ≤≤ 

0 

me me me me me 

Ak platí me 0 < 1, potom istotne e k + 1 → 0 a teda xk+ 1 → x* 

. 

Newtonova metóda vždy konverguje za predpokladu, 

že počiatočnú aproximáciu zvolíme dostatočne blízko koreňa.


Veta: (Fourierova podmienka) 

ab , 

Nech v intervale leží jediný koreň rovnice a 

f 

′( x) 

f ′′( x) 

nech a sú spojité a nemenia znamienko na intervale . 

Ak zvolíme za počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , tak, 

aby bola splnená podmienka 

( ) ′( ) 

f x f x 

0 ⋅ 0 > 0, 

Newtonova metóda bude konvergovať. 

( ) 0 

f x = 

ab , 

Praktický význam však Fourierova podmienka nemá, 

pretože pre veľké b−a 

obvykle podmienka neplatí 

alebo ju nevieme ľahko overiť.

Kombinovaná metóda 

Dobrú počiatočnú aproximáciu x 0 môžeme získať napr. metódou bisekcie. 

Vhodným spojením metódy bisekcie a Newtonovej metódy je možné 

zostrojiť kombinovanú metódu, 

ktorá vždy konverguje. 

napr. procedúra rtsafe v Numerical Recipes; 

v blízkosti koreňa sa uplatní len Newtonova metóda, 

takže konvergencia je rýchla.

Steffensenova metóda 

Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy 

h 

x 

k 

( k ) 

( x ) 

f x 

+ = x − ′ 

1 k , 

f k 

v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom 

f 

( x) 

′ ≈ 

kde k je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule. 

f ′ 

( k + k) − ( k) , 

f x h f x 

h 

= 

h 

Volíme k k . 

k 

( ) 

f x 

k 

Oproti metóde sečníc je tu jedno vyhodnotenie funkcie navyše. 

Na druhej strane sa dá ukázať, že 

rýchlosť konvergencie Steffensenovej metódy je rovnaká 

ako Newtonovej metódy, teda kvadratická.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 

Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice 

je aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií, 

tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.




tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy. 

Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar 

x = g( x). 

Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.






x = g( x). 

Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia. 

Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadať 

pevný bod funkcie g (x). 

Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.






x = g( x). 

Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia. 

Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadať 

pevný bod funkcie g (x). 

Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode. 

Zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 a ďalšie aproximácie počítame ako 

xk+ 1 = g( xk) 

.

Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)


Týmto spôsobom nemusíme prísť k pevnému bodu funkcie g.


Povedali sme si, že 

metóda postupných aproximácií konverguje, 

ak je zobrazenie, 

ktorého pevný bod hľadáme, 

kontraktívne. 

Pri funkcii jednej premennej 

kontraktivita úzko súvisí 

s rýchlosťou rastu funkcie.


Veta: 

ab 

Nech funkcia g zobrazuje interval do seba 

a má na tomto intervale deriváciu. 

xk+ 1 g( xk) 

, 

α ∈ 0,1) 

( ) α , , 

, 

Ak existuje číslo také, že 

g′ x ≤ ∀x∈ 

a b 

ab x* 

potom v intervale existuje pevný bod funkcie g 

a postupnosť postupných aproximácií 

k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , .


Veta: 

ab 



xk+ 1 g( xk) 

, 

α ∈ 0,1) 

( ) α , , 

, 


g′ x ≤ ∀x∈ 

a b 

ab x* 



k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , . 

Ďalej platí 

xk −x* ≤ α xk −xk−1 

. 

1−α


Veta: 

ab 



xk+ 1 g( xk) 

, 

α ∈ 0,1) 

( ) α , , 

, 


g′ x ≤ ∀x∈ 

a b 

ab x* 



k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ∈ ab , . 

Ďalej platí 

xk −x* ≤ α xk −xk−1 

. 

1−α 

Potom sa dá ukázať, že rýchlosť konvergencie je lineárna.


( ) 0 

f x = 

Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť 

x 

, je nekonečne veľa.


( ) 0 

f x = 


x 

, je nekonečne veľa. 

( ) 0 

f x = 

Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f, 

potom rovnicu vynásobíme -1 

a nakoniec na obe strany pripočítame x. 

Dostaneme 

( ) 

( x) . 

f x 

x= x− f ′


( ) 0 

f x = 


x 

, je nekonečne veľa. 

( ) 0 

f x = 

Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f, 

potom rovnicu vynásobíme -1 

a nakoniec na obe strany pripočítame x. 

Dostaneme 

( ) 

( x) . 

f x 

x= x− f ′ 

Newtonova metóda je špeciálnym prípadom 

metódy jednoduchých iterácií.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Aitken-Steffensenove metódy 

Pripomeňme definíciu rádu konvergencie: 

x , x , x ,… x* 

e = x −x* 

p C ≠ 0 


k 

k 

p 


e 

lim = C, 

→∞ 

e 

k 

k+ 

1 

p 

k 



Predpokladajme lineárnu konvergenciu iteračnej metódy 

xk+ 1 = g( xk) 

, 

t.j. platí 

x* 

lim ≤ C . 

→∞ x − x* 

k 

xk 

− 

k − 1


Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: 

Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti 

k 1 

( ) 

x −x* ≈C x −x* , 

k 

k−1 

( ) 

xk 

1 x* C xk 

x* , 

+ − ≈ − ( ) 2 

z ktorých vypočítame koreň x* 

2 

xk− 1xk+ 

1− 

xk 

xk 

− xk−1 

xk−1 

k+ 1− 2 k + k− 1 k+ 1− 2 k + k−1 

x* ≈ = − 

, 

x x x x x x 

( ) 

( ), 

( ) ( ) 

x = g x x = g x = g g x 

pričom k k− 1 k+ 1 k k−1 

.


Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: 

Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti 

k 1 

( ) 

x −x* ≈C x −x* , 

k 

k−1 

( ) 

xk 

1 x* C xk 

x* , 

+ − ≈ − ( ) 2 

z ktorých vypočítame koreň x* 

2 

xk− 1xk+ 

1− 

xk 

xk 

− xk−1 

xk−1 

k+ 1− 2 k + k− 1 k+ 1− 2 k + k−1 

x* ≈ = − 

, 

x x x x x x 

( ) 

( ), 

( ) ( ) 

x = g x x = g x = g g x 

pričom k k− 1 k+ 1 k k−1 

. 

Takto môžeme definovať nový iteračný vzorec 

2 

( g( xk) 

− xk) 

xk+ 

1 = xk 

− 

. 

g( g( xk) 

) − 2g( xk) 

+ xk 

Dostali sme Aitken-Steffensenovu iteračnú metódu 

na výpočet koreňa rovnice . 

x * x = g( x)


Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 

dostatočne blízko koreňa x* a 

ak g′ x* ≠1, 

( ) 

Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.


Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 

dostatočne blízko koreňa x* a 

ak g′ x* ≠1, 

( ) 

Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky. 

( ) 

g′ x* = 1 

Ak , konvergencia tejto metódy je pomalá.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Zopár poznámok 

Poznámka (O násobných koreňoch) 

x * f ( x ) = 0 

g x = f x / x− x* q x* 

Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q, 

( ) ( ) ( ) 

ak funkcia je v bode definovaná 

a koreň v ňom už má, t.j. keď 

( ) 

0 < g x*



x * f ( x ) = 0 

g x = f x / x− x* q x* 


( ) ( ) ( ) 



( ) 

0 < g x*



x * f ( x ) = 0 

g x = f x / x− x* q x* 


( ) ( ) ( ) 



( ) 

0 < g x*


Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti) 

Nech x k je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice f x = . 

Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme 

( ) = ( ) − ( ) = ′( ξ )( − ) 

f x f x f x* f x x* , 

k k k 

ξ 

kde je nejaký bod ležiaci medzi k a . 

Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme 

len s približnými hodnotami k k k, 

δ 

pričom k . 

Potom najlepší výsledok, dosiahnuteľná aký môžeme dosiahnuť, presnosť koreňa je f ( x x* 

k ) = 0. 

x 

k 

V tom prípade k , takže 

x* 

* 

Vypočítať x* s menšou chybou než ε x sa nedá. 

x 

f x = f x + δ 

≤δ 

( ) ( ) 

f ( x ) ≤δ 

( k ) δ δ 

( x ) f ′( ξ ) f ′( x* 

) 

− 

f x 

* 

x* = : ε x , 

f ′ 

≤ ≈ = 

k 

pokiaľ sa f ′ v blízkosti koreňa príliš nemení. 

( ) 0



( ) 

f ′ x* x* 

Ak je smernica v koreni malá, 

potom je dosiahnuteľná presnosť veľmi veľká – 

- zle podmienený problém



Podobná úvaha pre koreň násobnosti q 

dáva dosiahnuteľnú presnosť 

ε 

⎛ ⎞ ⋅ 

= ( q 

f 

) ⎜ ( x* 

⎜⎝ ) ⎟⎠ 

* ⎜ 

δ q! 

x 

1 

q 

. 

1/q 

Exponent je príčinou toho, že 

výpočet násobného koreňa 

je všeobecne zle podmienená úloha.


OBSAH 

1. Úvod 










11. Literatúra

Literatúra

Literatúra

Literatúra

x - fyzikazeme.sk

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?