peÅna wersja - pdf - Polimery w Medycynie

More documents

Recommendations

Info

50 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI formalizmu Kedem-Katchalsky’ego, a mających na celu skorygowanie znaku definicji współczynnika odbicia [9] oraz skorygowanie znaków (±) w równaniu fenomenologicznym [10]. Znaki te wprowadzono poprzez przypisanie ich bodźcom termodynamicznym występującym w układzie membranowym. Szczegółowe rozważania na ten temat można znaleźć także w pracy [11]. Wymienieni autorzy wykazali także, że z uwagi na to, że przez pory półprzepuszczalne (σ p = 1) nie zachodzi zarówno dyfuzyjny jak i konwekcyjny (adwekcyjny) transport substancji rozpuszczonej, drugi człon w równaniu (14) redukuje się do postaci L P (1–σ)C – ΔP. W związku z tym równanie (14) należy zapisać w postaci J s = ωΔπ + L (1 − σ) CΔP (17) p Podobnie jak równania (13) prostych (14), równania (13) i (17), przy pomocy prostych manipulacji algebraicznych można przekształcić do postaci 1 1− σ ΔP− Δπ = Jv − Js (18) L ω + L Cσ(1 − σ) p Δπ 1 − σ 1 R = = − Jv + Js C ω + Lp σ (1 − σ) C[ ω + Lpσ(1 − σ)] (19) 1 − σ 1 = − Jv + Js ω + L σ (1 − σ) C[ ω + L σ(1 − σ)] p p Równania (15) i (16) oraz (18) i (19) stanowią transformowane równania transportu membranowego. WYPROWADZENIE MACIERZY WSPÓŁCZYNNIKÓW OPOROWYCH Z TRANSFORMOWANYCH RÓWNAŃ TRANSPORTU MEMBRANOWEGO Układ równań (15) i (16) stanowiący transformowane równania Kedem-Katchalsky’ego, można zapisać w postaci równania macierzowego [5] ⎡ k ΔP − Δπ ⎢ k Δπ ⎢ ⎣ C k ⎤ ⎥ = ⎥ ⎦ p [] R ⎡J ⎢ ⎢⎣ J k v k s ⎤ ⎥ ⎥⎦ (20) gdzie: [R] jest macierzą współczynników oporowych ⎡Z11 [] Z = daną wyrażeniem ⎢ ⎣Z 21 ⎡ 2 C (1 − σ) L + − ⎤ p ω σ 1 ⎡R ⎤ ⎢ ⎥ 11 R12 R = ⎢ ⎥ = ⎢ ωL p ω ⎥ (21) ⎣R21 R22 ⎦ ⎢ σ −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ω ωC ⎦ [] Z Z 12 22 W równaniu (20) indeks górny „k” odnosi się do konfiguracji układu membranowego, w którym membrana jest usytuowana w płaszczyźnie horyzontalnej. W konfiguracji A (k = A) w przedziale nad membraną znajduje się roztwór o stężeniu C l , a w przedziale pod membraną – roztwór o stężeniu C h (C l < C h ). W konfiguracji B (k = B), jest odwrotna kolejność ustawienia roztworów względem membrany. W przypadku roztworów niejednorodnych (nie mieszanych mechanicznie), kinetyka transportu membranowego jest silnie zależna od konfiguracji układu membranowego. Z kolei w przypadku roztworów jednorodnych (jednorodność roztworów jest zapewniana przez ich intensywne mieszanie mechaniczne), kinetyka transportu membranowego nie zależy od konfiguracji układu membranowego. Ten przypadek oznaczamy przez k = 0. Z macierzy (21) wynika, że współczynniki oporowe R 11 , R 12 , R 21 i R 22 można zapisać przy pomocy następujących wyrażeń 2 C ( 1 − σ) Lp + ω 2 C (1 − σ) 11 = + ωLp ω σ − 1 R 12 = = R ω 21 1 L p (22) (23) 1 R22 = (24) ωC Układ równań (18) i (19) stanowiący transformowane równania Kargolów, można zapisać w postaci równania macierzowego ⎡ k ΔP − Δπ ⎢ k Δπ ⎢ ⎣ C k ⎤ ⎥ = ⎥ ⎦ [] Z ⎡J ⎢ ⎢⎣ J k v k s ⎤ ⎥ ⎥⎦ (25) gdzie: [Z] jest macierzą współczynników oporowych daną wyrażeniem ⎡ 1 ⎡Z ⎢ 11 Z12 ⎤ L [] ⎢ ⎥ = ⎢ p Z = ⎣Z ⎦ ⎢ −1 21 Z σ 22 ⎢ ⎣ ω + Lpσ (1 − σ) ⎡ 1 σ −1 ⎤ (26) ⎤ ⎢ L ⎥ ⎢ p ω + LpCσ(1 − σ) ⎥ = ⎥ ⎦ ⎢ σ −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ω + Lpσ (1 − σ) C[ ω + Lpσ (1 − σ)] ⎦ Z macierzy (26) wynika, że współczynniki oporowe Z 11 , Z 12 , Z 21 i Z 22 można zapisać przy pomocy następujących wyrażeń ω + C[ ω +
TRANSPORT MEMBRANOWY 51 1 Z11 = (27) L p C h J s P h Z 12 = σ −1 ω + L Cσ (1 − σ) p = Z 21 (28) M Z 22 = C[ ω + L p 1 σ(1 − σ)] (29) Porównując równania (22) i (27), (23) i (28) oraz (24) i (29) otrzymujemy R Z R Z CL (1 − σ) 2 11 p 11 = 1+ 22 ω = 1+ σ (1 σ) 12 R L − 21 R22 p 12 = Z 21 = Z ω (30) (31) W celu weryfikacji otrzymanego modelu obliczymy na podstawie wyrażeń (22)–(24) i (27)–(29) współczynniki R 11 , R 12 , R 21 , R 22 , Z 11 , Z 12 , Z 21 i Z 22 . Ponadto obliczymy ΔP k −Δπ k na podstawie równań (15) i (18) oraz Δπ k C – –1 − na podstawie równań (16) i (19). Do tego celu wykorzystamy współczynniki R 11 , R 12 , R 21 , R 22 , Z 11 , Z 12 , Z 21 i Z 22 oraz wyznaczone doświadczalnie J v k i J s k w warunkach intensywnego mieszania roztworów rozdzielanych przez membranę (J v 0 i J s0 ), oraz w warunkach braku tego mieszania (J v k i J sk , gdzie k = A, B odnosi się do konfiguracji A i B układu membranowego) dla membrany Nephrophan i wodnych roztworów glukozy. WYNIKI OBLICZEŃ I DYSKUSJA W celu weryfikacji modeli matematycznych przedstawionych w poprzednich paragrafach, wykonamy obliczenia współczynników oporowych R 11 , R 12 , R 21 i R 22 na podstawie równań (22)–(24) oraz współczynników oporowych Z 11 , Z 12 , Z 21 i Z 22 na podstawie równań (27)–(29). Do tego celu wykorzystamy wyznaczone współczynniki transportowe: L p , σ i ω dla membrany Nephrophan i wodnych roztworów glukozy. Wartości tych współczynników wynoszą: L p = 5 × 10 –12 m 3 N –1 s –1 , σ = 0,068 oraz ω = 8 × 10 –10 mol N –1 s –1 [12]. Obliczone na podstawie powyższej procedury współczynniki oporowe mają następujące wartości: R 11 = 2,54 × 10 11 N⋅s⋅m –3 , R 12 = R 21 = −1,16 × 10 9 N⋅s⋅mol –1 , R 22 = 2,5 × 10 7 N⋅s⋅m 3 mol –2 , Z 11 = 2,0 × 10 11 N⋅s⋅m –3 , Z 12 = Z 21 = −1,14 × 10 9 N⋅s⋅mol –1 i Z 22 = 2,5 × 10 7 N⋅s⋅m 3 mol –2 . Z przeprowadzonych obliczeń wynika na podstawie równań (30), że R 11 Z 11 –1 = C l Ryc. 1. Układ membranowy: M – membrana; P h i P l – ciśnienia mechaniczne; C l i C h – stężenia roztworów; J v i J s – strumienie przez membranę M odpowiednio objętościowy i solutu Fig. 1. The membrane system: M – membrane, P h and P l – mechanical pressures; C l and C h – concentrations of solutions, J v and J s – the volume and solute fluxes through membrane, respectively 1,27. Oznacza to, że R 11 > Z 11 . Z kolei z obliczeń przeprowadzonych na podstawie równania (31) wynika, że R 12 = R 21 ≈ Z 12 = Z 21 oraz R 22 = Z 22 . Wyznaczniki stopnia drugiego odpowiadające macierzy (21) i (26) są równe odpowiednio det [R] = 5,0 × 10 18 oraz det [Z] = 3,7 × 10 18 . Występujące w równaniach (15) i (18) oraz (16) i (19) strumienie J v k i J s k można wyznaczyć doświadczalnie w serii niezależnych eksperymentów [12]. Zaczerpnięte z poprzednich prac [12–14] wyniki badań J v k i J s k zestawiono w tabeli 1. Obliczone, na podstawie równań (15) i (18), wartości ΔP k − Δπ k oraz wartości Δπ k C – –1 oraz obliczone na podstawie równań (16) i (19), przedstawiono na ryc. 2 i 3. Należy zaznaczyć, że obliczone na podstawie równań (15) i (18), wartości ΔP k − Δπ k są równe z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Podobne wyniki uzyskano dla wartości ΔπC – –1 , obliczonych na podstawie równań (16) i (19). Oznacza to, że opisy oparte o równania (15) i (16) oraz (18) i (19) dla badanej membrany i roztworów są identyczne. Aby te dwa modele matematyczne dawały znamienne statystycznie różne wartości ΔP k − Δπ k i ΔπC – –1 , dla tych samych wartości J v k i J sk , współczynniki R ij i Z ij (i, j = 1, 2; i ≠ j) występujące w macierzach [R] i [Z] muszą mieć, zdecydowanie różne wartości. Dla badanej membrany i roztworów jedynie R 11 > Z 11 oraz det [R] > det [Z]. Oceńmy zatem, które z parametrów transportowych membrany mają istotny wpływ na wartość współczynników R ij i Z ij . Weźmy pod uwagę dwa skrajne przypadki selektywności membrany. W pierwszym przypadku membrana spełnia kryterium: σ → 1 i ω → 0, a w drugim: σ → 0 i ω → ω max . Z równań (22)–(24) i (27)–(29) wyni- J v P l
Page 1 and 2: Polimery w Medycynie 2010, T. 40, N
Page 3: TRANSPORT MEMBRANOWY ’ego jest na
Page 7: TRANSPORT MEMBRANOWY 53 ka, że dla

peÅna wersja - pdf - Polimery w Medycynie

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

peÅna wersja - pdf - Polimery w Medycynie