Numericke metode u ekonomiji Zadaci za vjezbu

Numeričke metode u ekonomiji
Zadaci za vježbu
1. Izračunajte 2 + √ 2, √ 3 − √ 2 i 3 − √ 3 sa točnošću na četiri decimale te
zbrojite tako dobivene rezultate. Kolika je apsolutna i relativna greška
tog zbroja
2. Ako je ˜x = 20 i G R ≤ 1%, odredite intervale za x i G A .
3. Odredite točnu i približnu vrijednost ako je apsolutna greška 1 a relativna
0.01.
4. Ako je točna vrijednost 237.9147 a približna ima apsolutnu pogrešku
−0.009, koliko korektnih znamenaka ima približna vrijednost
5.
Što je točnije: ako mjereći duljinu od 25 cm pogriješimo za 1 mm ili
ako mjereći udaljenost od 300 000 km pogriješimo za 1111 km
6. Prodajna cijena proizvoda dobije se dodavanjem 22% PDV-a na nabavnu
cijenu. Za koliko se poveća prodajna cijena ako se PDV povećao
na 23% a nabavna cijena je ostala nepromijenjena
7. Trgovina ima dva odjela, A i B. Odjel A ostvaruje 45% ukupnog prometa
a odjel B 55%.
(a) Ako se promet odjela A smanjio za 8% a odjela B povećao za 6%
kako se promijenio promet trgovine
(b) Ako se promet odjela A povećao za 10% za koliko se treba promijeniti
promet odjela B da bi se promet trgovine povećao za 5%
(c) Ako se promet odjela A povećao a odjela B smanjio za isti postotak
kako se to odrazilo na promet trgovine
8. Ako se cijena nekog proizvoda poveća prvo za 1%, zatim za 2% te još
za 3% a onda se smanji za 3%, pa još za 2% i na kraju za 1%, što se
dogodilo sa početnom cijenom
9. Ako sve bridove kocke povećamo za 2%, za koliko se poveća njeno
oplošje (površina) a za koliko volumen
10. Za funkciju f(x) = x 3 + 1000 izračunajte f(0.3) na pet korektnih znamenaka
te odredite apsolutnu i relativnu grešku unaprijed i unazad.

11. Za aproksimaciju
e x ≈ 1 + x + x2
2 + x3
6 + x4
24 + x5
120
odredite apsolutne i relativne greške unaprijed i unazad ako je:
(a) x = 0.2, (b) x = 2.
12. Pomoću uvjetovanosti funkcije y = 21x − 0.05x 2 odredite kolika će
približno biti relativna promjena ove funkcije ako se vrijednost varijable
x poveća za 0.55% sa razine: (a) x = 200, (b) x = 400
13. Ako je |ε i | ≤ u ≪ 1, i = 1, 2, 3, odredite približne donje i gornje ograde
za izraze:
α = (1 + ε 1)(1 + ε 2 )
√ 2
√
, β =
(1 + ε 1) 3 · √1 + ε 2
.
1 + ε3 1 + ε 3
14. Ocjenite relativnu grešku kod izvrednjavanja funkcije
√y
5x ·
f(x, y, z) = ,
z 4
ako varijable x, y, z:
(a) imaju točnu vrijednost;
(b) imaju približnu vrijednost čija relativna greška nije veća od 10u.
15. Kolika je relativna greška izraza 3 √ xy 3 + 5x 2 ako je preciznost računanja
u = 2 −7 a relativne greške vrijednosti varijabli x, y nisu veće od
2 −6
16. Hornerovom shemom odredite vrijednost polinoma
p(x) = x 4 − 2x 3 − 5x 2 − x + 8
i svih njegovih derivacija u točki x = −3.

Rješenja zadataka za vježbu
1. Točan zbroj je 5 a približan 3.4142 + 0.3178 + 1.2679 = 4.9999, pa je
∆ = −0.0001 i δ = −0.00002.
2. 19.80198019... ≤ x ≤ 20.202020..., G A = G R · |x| ⇒ G A ≤ 0.202020...
3. Kako je δ = ∆/x imamo x = ∆/δ = 1/0.01 = 100.
Sada je ˜x − x = ∆ ⇒ ˜x = x + ∆ = 101.
4. ˜x − x = −0.009 ⇒ ˜x = 237.9057.
Kako je | − 0.009| < 0.05 = 1 2 · 10−1 , približna vrijednost ima jednu
korektnu decimalu, odnosno četiri korektne znamenke.
5. G 1 = 1 : 250 = 0.004, G 2 = 1111 : 300 000 = 0.00370333... ⇒ točnije
je drugo mjerenje.
6. P C = NC + 0.22NC = 1.22NC,
1.23NC = (1 + δ) · 1.22NC ⇒ δ = 0.0081967... ≈ 0.82%.
7. A= 0, 45x, B= 0.55x, trgovina= x.
(a) 0.92 · 0.45x + 1.06 · 0.55x = 0, 997x ⇒ smanjio za 0.3%.
(b) 1.1 · 0.45x + (1 + δ) · 0.55x = 1.05x ⇒ δ = 0.0090909... ≈ 0.91%.
(c) (1+δ)·0.45x+(1−δ)·0.55x = (1−0.1δ)·x ⇒ smanjio za desetinu
tog postotka (δ).
8. C ·1.01·1.02·1.03·0.97·0.98·0.99 ≈ C ·0.9986 ⇒ smanjila se za 0.14%.
9. O = 6a 2 , V = a 3 , ã = 1.02a. Imamo:
Õ = 6ã 2 = 6 · 1.02 2 a 2 = 1.0404 O ⇒ za 4.04% ;
Ṽ = ã 3 = 1.02 3 a 3 = 1.061208 V ⇒ za 6.1208% .
10. f(0.3) = 1000.027 ≈ 1000.0 ⇒ ∆y = −0.027, ∆y/y = −2.6999...·10 −5 ,
˜x 3 + 1000 = 1000.0 ⇒ ˜x = 0, ∆x = −0.3, ∆x/x = −1 = −100%.
11. (a) e 0.2 = 1.221402758, P (0.2) = 1.221402667 ⇒ ∆y = −9.1 · 10 −8 ,
∆y/y = −7.45 · 10 −8 ; e˜x = 1.221402667 ⇒ ˜x = ln 1.221402667 =
0.1999999254, ∆x = −7.46 · 10 −8 , ∆x/x = −3.73 · 10 −7 .

(b) e 2 = 7.389056099, P (2) = 7.266666667 ⇒ ∆y = −0.122389432,
∆y/y = −0.016563608; e˜x = 7.266666667 ⇒ ˜x = ln 7.266666667
= 1.983297681, ∆x = −0.016702318, ∆x/x = −0.0083511594.
12. κ = xf ′ (x)
f(x)
=
21 − 0.1x
∆f
. Kako je
21 − 0.05x f
≈ κ · ∆x
x , imamo:
x = 200 ⇒ 1 · 0.55% = 0.05%; x = 400 ⇒ −19 · 0.55% = −10.45%.
11
13. α ≈ 1 + ε 1 + 2ε 2 − 0.5ε 3 ⇒ 1 − 3.5u ≈≤ |α| ≤≈ 1 + 3.5u,
β ≈ √ 1 + 3ε 1 + 0.5ε 2 − ε 3 ≈ 1 + 1.5ε 1 + 0.25ε 2 − 0.5ε 3 ⇒
1 − 2.25u ≈≤ |β| ≤≈ 1 + 2.25u.
14. (a) 7u, (b) 7u + 10u + 0.5 · 10u + 4 · 10u = 62u.
15. |δ| ≤ u + max { 2u + 0.5 ( 2 −6 + 3u + 3 · 2 −6) , 2u + 2 · 2 −6}
= u + {3.5u + 2 · 2 −6 } = 4.5 · 2 −7 + 4 · 2 −7 = 8.5 · 2 −7 .
16. p(−3) = 101, p ′ (−3) = −133, p ′′ (−3) = 2 · 67 = 134,
p ′′′ (−3) = 6 · (−14) = −84, p iv (−3) = 24 · 1 = 24.