2 - VÅ EM
2 - VÅ EM 2 - VÅ EM
V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U 2008 EDICE STUDIJNÍ TEXTY VŠEM VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU
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- Page 6 and 7: Urete, zda jsou vektory lineárn z
- Page 8 and 9: Vyjádete vektor x jako lineární
- Page 10 and 11: 2) x ( 3;9;1), a (1;3;1), b (4;
- Page 12 and 13: Urete, pro jaké hodnoty parametru
- Page 14 and 15: 1 1 1 4 1 2 2 1 1 2 p p Urete hodno
- Page 16 and 17: Urete, pro jakou hodnotu parametru
- Page 18 and 19: Vektory jsou LZ pro jakékoli p. 6)
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- Page 22 and 23: ) ( 3) 3 ( 2 2 x x e e x x x x
- Page 24 and 25: P.: Urete první derivace funkcí:
- Page 26 and 27: P.: Nabídková funkce jisté komod
- Page 28 and 29: P.: Urete, kde funkce f: y = 3x 4 -
- Page 30 and 31: P.: Urete, kde je funkce f: y = x 3
- Page 32 and 33: Q Q B Q A p
V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U<br />
2008<br />
EDICE<br />
STUDIJNÍ<br />
TEXTY<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
VŠEM<br />
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
2<br />
1<br />
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x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
K = [1; -1; 0<br />
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10<br />
15<br />
10<br />
0<br />
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7<br />
0<br />
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3<br />
1<br />
1<br />
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a<br />
(3)<br />
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a
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1<br />
2<br />
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3<br />
1<br />
5<br />
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1<br />
2<br />
3<br />
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1<br />
2<br />
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2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
7<br />
4<br />
4<br />
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0<br />
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8<br />
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3<br />
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8<br />
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1<br />
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1<br />
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2<br />
3<br />
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x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
K = [1; 0; 1
7<br />
2<br />
3<br />
1<br />
6<br />
0<br />
4<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
K = [–5 – 4t; 4 + 2t; t, t R<br />
(2)<br />
(1)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
4<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
8<br />
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2<br />
0<br />
4<br />
2<br />
1<br />
0<br />
4<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
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a<br />
a<br />
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1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
7<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
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1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
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a<br />
a<br />
a<br />
x t<br />
3<br />
t<br />
x<br />
t<br />
t<br />
x<br />
t<br />
x<br />
t<br />
x<br />
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5<br />
1<br />
2<br />
)<br />
2<br />
(4<br />
(1)<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
(2)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
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1<br />
2<br />
0<br />
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2<br />
5<br />
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1<br />
2<br />
1<br />
K = <br />
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10<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
11<br />
8<br />
2<br />
7<br />
0<br />
5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
0 = 10 .... nelze<br />
<br />
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2<br />
1<br />
1<br />
19<br />
8<br />
2<br />
7<br />
0<br />
9<br />
8<br />
2<br />
7<br />
0<br />
5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a
Urete, zda jsou vektory lineárn závislé. Pokud ano, zapište<br />
njakou jejich netriviální kombinaci rovnou nulovému vektoru.<br />
1)<br />
<br />
<br />
<br />
a ( 1;2;1;3), b ( 1;1;2;0),<br />
c (1;0; 1;1)<br />
<br />
x a x b<br />
x c<br />
<br />
1 2 3<br />
o<br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1 <br />
<br />
0 <br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
...<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
1<br />
<br />
2<br />
0 <br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
5t<br />
2t<br />
x1 , x2<br />
, x<br />
3 3<br />
3<br />
LZ<br />
<br />
t<br />
2)<br />
3)<br />
Pi volb nap. t = 3 je x 1 = 5, x 2 = 2, x 3 = 3, požadovaná<br />
lineární kombinace je pak 5a + 2b + 3c .<br />
<br />
a<br />
<br />
a<br />
a b <br />
c <br />
<br />
<br />
( 1; 1;1),<br />
b<br />
( 2;3;5),<br />
c (2;1;2)<br />
<br />
( 1;2; 3),<br />
b (3; 1;0),<br />
c (2; 3;3)
2)<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
( 1; 1;1),<br />
b ( 2;3;5),<br />
c (2;1;2)<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
3)<br />
<br />
a<br />
2 2<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
3 1<br />
a 0<br />
1 3<br />
x1<br />
x<br />
5 2<br />
<br />
1<br />
0 7 0<br />
a <br />
<br />
<br />
( 1;2; 3),<br />
b (3; 1;0),<br />
c (2; 3;3)<br />
1 2<br />
x3<br />
<br />
0<br />
LN<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
2 <br />
<br />
3<br />
3 <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
... 0<br />
<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
x3 t,<br />
x2<br />
t,<br />
<br />
3<br />
0<br />
1<br />
0<br />
LZ<br />
x<br />
<br />
t<br />
Pi volb t = 1 je x 1 = 1, x 2 = -1, x 3 = 1, požadovaná lineární<br />
kombinace je pak a – b + c .<br />
a <br />
b <br />
c
Vyjádete vektor x jako lineární kombinaci vektor a, b, c:<br />
<br />
x <br />
<br />
1) x ( 7;1; 4),<br />
a (1;2; 2),<br />
b (2; 1;1),<br />
c ( 3;2;1<br />
)<br />
<br />
<br />
<br />
a,<br />
b,<br />
c<br />
<br />
<br />
2) x ( 3;9;1), a (1;3;1), b (4; 2;1),<br />
c (2; 8;<br />
1)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3) x ( 0;7), a (1;2), b (3; 1),<br />
c (5;3)
2<br />
1<br />
1<br />
10<br />
5<br />
5<br />
0<br />
13<br />
8<br />
5<br />
0<br />
7<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
7<br />
3<br />
2<br />
1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1) )<br />
3;2;1<br />
(<br />
1;1),<br />
(2;<br />
2),<br />
(1;2;<br />
4),<br />
7;1;<br />
( <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
b<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
13<br />
8<br />
5<br />
7<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
0<br />
0<br />
13<br />
8<br />
5<br />
0<br />
7<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
c<br />
b<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2
2) x ( 3;9;1), a (1;3;1), b (4; 2;1),<br />
c (2; 8;<br />
1)<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
1<br />
4 2 3<br />
1<br />
4 2 3 <br />
<br />
<br />
2 8 9<br />
3a1<br />
0<br />
14<br />
14<br />
0 :<br />
( 14)<br />
1 1<br />
1<br />
<br />
<br />
a1<br />
0<br />
3 3 2<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
4<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3 1<br />
4 2 3 <br />
<br />
<br />
0 0<br />
1 1 0 <br />
2 <br />
<br />
3a2<br />
0<br />
0 0 2<br />
0 3<br />
K<br />
x <br />
a , b,<br />
c .<br />
<br />
a , b,<br />
c<br />
x <br />
Vektor x nelze vyjádit pomocí vektor<br />
<br />
Vysvtlení: vektory a, b, c jsou LZ (viz matice levé strany!),<br />
leží tedy v jedné rovin a vektor x pravdpodobn<br />
leží mimo tuto rovinu.
3)<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
( 0;7), a (1;2), b (3; 1),<br />
c <br />
(5;3)<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
3 5 0<br />
1<br />
3 5 0<br />
<br />
<br />
1 3 7<br />
2a 1 0<br />
7 7 7:<br />
( 7)<br />
<br />
1<br />
3 5 0 <br />
<br />
K 3<br />
2t;<br />
1<br />
t;<br />
t,<br />
0<br />
1 1 1<br />
Pi volb t = 0 je x 1 = 3, x 2 = –1, x 3 = 0, takže:<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
a , b,<br />
c<br />
<br />
3a<br />
b(<br />
0c)<br />
Vysvtlení: vektory a, b, c jsou LZ (jsou 3 a mají 2 souadnice),<br />
vektor x leží v téže rovin ešení musí být více.<br />
t<br />
<br />
R
Urete, pro jaké hodnoty parametru p má soustava ešení:<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
1 0 6<br />
3a1<br />
0<br />
4 6 0 : 2 <br />
<br />
<br />
1<br />
p 1<br />
1<br />
a <br />
<br />
1 0<br />
p 1<br />
3 1<br />
1<br />
1<br />
2 2 1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
2 3 0 (<br />
p 1)<br />
0<br />
2( p 1)<br />
3( p 1)<br />
<br />
<br />
0<br />
p 1<br />
3 1<br />
(<br />
2)<br />
<br />
0<br />
2( p 1)<br />
6<br />
2<br />
<br />
0<br />
: ( p 1)<br />
2<br />
a2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
6 3( p 1)<br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
3 3p<br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
(3 – 3p)x 3 = 2<br />
.... má ešení, je-li p 1<br />
(pro p = 1: 0x 3 = 2 nemá ešení)
Urete, pro jaké hodnoty parametru p má soustava ešení:<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
p<br />
2<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
<br />
2a<br />
a<br />
1<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
p 2<br />
1<br />
2 <br />
<br />
4<br />
5 <br />
<br />
a<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
p 2<br />
p 3<br />
2 <br />
<br />
4<br />
1 <br />
<br />
(p + 3)x 3 = 1 .... má ešení, je-li p –3
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
p<br />
p<br />
Urete hodnost matice v závislosti na hodnot parametru p:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
p<br />
p<br />
a<br />
a<br />
1)<br />
3<br />
)<br />
(<br />
2<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
h<br />
A<br />
h<br />
A<br />
h<br />
p<br />
p<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
p<br />
2)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
9<br />
8<br />
1<br />
3<br />
1<br />
5<br />
4<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
p<br />
3<br />
)<br />
(<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
h<br />
A<br />
h<br />
p<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
6<br />
2<br />
4<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
a<br />
a<br />
p<br />
a<br />
a<br />
a
Urete, pro jaké hodnoty parametru p jsou<br />
vektory uu, v kolmé:<br />
1)<br />
<br />
u<br />
<br />
<br />
( 2; 3; p 1),<br />
v ( 1;<br />
3p;<br />
(2; 3; p –1)(–1; 3p; 2) = –2 + 9p + 2(p –1) = 11p –4<br />
11p – 4 = 0 p = 4/11<br />
2)<br />
2)<br />
<br />
u<br />
<br />
<br />
( 2 p;<br />
2; 1),<br />
v ( p 4; p 1;<br />
2)<br />
(2p; 2; – 1)(p –4; p + 1; 2) = 2p(p –4) + 2(p + 1) – 2 = 2p 2 –6p<br />
2p 2 –6p = 0 p 2 –3p = 0 p(p –3) p 0; 3
Urete, pro jakou hodnotu parametru p jsou vektory LN:<br />
<br />
<br />
<br />
1) a ( 2;3; 1),<br />
b ( 1;2;0),<br />
c (1;4; p)<br />
2 1<br />
1 1 0 p<br />
<br />
3 2 4 3 2 4 3a1<br />
<br />
<br />
1<br />
0 p <br />
2 1<br />
1 2a1<br />
1<br />
0 p 1<br />
0 p <br />
<br />
<br />
<br />
0 2 4 3p<br />
0 2 4 3p<br />
<br />
<br />
<br />
0 1<br />
1<br />
2 p <br />
<br />
2 a 1 0 0 2(1 2 p)<br />
(4 3p)<br />
<br />
1<br />
0 p <br />
<br />
6 + 7p = 0 p = –6/7<br />
0 2 4 3p<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 6 7 p Vektory jsou LN, je-li p rzné od –6/7.<br />
<br />
<br />
<br />
2) a ( 1; 2;<br />
p),<br />
b (0;1;1), c (2; p;<br />
1)<br />
<br />
<br />
<br />
3) a ( 1; p;<br />
2),<br />
b (3; 1;2),<br />
c ( 5;<br />
p 2; 6)
2)<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
( 1; 2;<br />
p),<br />
b (0;1;1), c (2; p;<br />
1)<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
p<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2 <br />
<br />
p <br />
1<br />
<br />
2a<br />
pa<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0 <br />
<br />
p 4 <br />
1<br />
2 p <br />
a<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 <br />
<br />
p 4 <br />
5 3p<br />
<br />
–5 – 3p = 0 p = –5/3<br />
Vektory jsou LN, je-li p rzné od – 5/3.
Vektory jsou LZ pro jakékoli p.<br />
6)<br />
2;<br />
5;<br />
(<br />
1;2),<br />
(3;<br />
2),<br />
;<br />
1;<br />
( <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
p<br />
c<br />
b<br />
p<br />
a<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
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0<br />
0<br />
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3<br />
1<br />
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2<br />
3<br />
1<br />
0<br />
6<br />
2<br />
3<br />
1<br />
0<br />
5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
p<br />
p<br />
a<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
3)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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1<br />
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2<br />
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1<br />
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1<br />
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3<br />
: (1<br />
2<br />
1<br />
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6<br />
2<br />
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1<br />
0<br />
5<br />
3<br />
1<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
:<br />
16<br />
8<br />
0<br />
5<br />
2<br />
3<br />
1<br />
0<br />
5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
6<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
5<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 p<br />
p<br />
p<br />
a<br />
pa<br />
p<br />
p
Jsou dány vektory a = (1; 2; -1), b = (-4; 0; 2).<br />
Urete vektor x, pro který platí:<br />
1)<br />
2)<br />
x <br />
a <br />
<br />
2x<br />
a 3b<br />
4x<br />
5a<br />
2b<br />
4x<br />
a 3b<br />
<br />
2x<br />
6a<br />
b : ( 2)<br />
<br />
b<br />
( 4;0;2)<br />
x 3a<br />
3(1;2;1)<br />
<br />
2<br />
2<br />
( 3;6;3) ( 2;0;1<br />
) (1;6;4 )<br />
<br />
x 2a<br />
b 4x<br />
a 5b<br />
4x<br />
2a<br />
b<br />
<br />
3x<br />
3a<br />
6b<br />
: ( 3)<br />
<br />
x a<br />
2b (1;2;1)<br />
2( 4;0;2)<br />
<br />
b <br />
( 1;<br />
2;<br />
1)<br />
( 8;0;4)<br />
( 9;<br />
2;3)
1<br />
2<br />
6<br />
12<br />
10<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
6<br />
12<br />
24<br />
81<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
5<br />
7<br />
2<br />
6<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
6<br />
55<br />
84<br />
62<br />
6<br />
5<br />
4<br />
2<br />
10<br />
20<br />
30<br />
11<br />
21<br />
31<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5 3<br />
2<br />
4<br />
5 2<br />
3<br />
5<br />
4<br />
6<br />
15<br />
2<br />
6<br />
5<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
7 10<br />
3 4<br />
7 3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
6<br />
1<br />
3<br />
2<br />
14<br />
3<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
2<br />
4 5<br />
3 4<br />
3<br />
5<br />
4<br />
3 2<br />
15<br />
4<br />
5<br />
7<br />
2<br />
5<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
7<br />
8<br />
5<br />
6<br />
3<br />
4<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
7)<br />
6)<br />
4)<br />
5)
1)<br />
5<br />
3x<br />
x<br />
<br />
7<br />
<br />
4x<br />
<br />
<br />
3 2 5<br />
2<br />
x x <br />
3 8<br />
<br />
4 2<br />
2<br />
3<br />
x x 4x<br />
9<br />
<br />
x<br />
2)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
7 2 4 <br />
5<br />
x 2x<br />
5<br />
5 3 3 2<br />
x <br />
6<br />
2<br />
x 10x<br />
<br />
4x<br />
<br />
<br />
<br />
3)<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
7 3 4<br />
4<br />
3 11 x<br />
4) <br />
2<br />
4 9<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
5<br />
x<br />
5)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
3 2<br />
x <br />
x<br />
x<br />
3 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
3<br />
6)<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
x <br />
x <br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
15<br />
16<br />
16<br />
x
)<br />
(<br />
3)<br />
3<br />
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2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
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x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
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<br />
<br />
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2<br />
2)ln<br />
(5<br />
ln<br />
)<br />
2<br />
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4<br />
4<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3)<br />
(<br />
12<br />
2<br />
4<br />
3)<br />
(<br />
2<br />
2)<br />
4<br />
(<br />
3)<br />
(<br />
4)<br />
(2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
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x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
sin<br />
cos<br />
sin<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
2ln<br />
1<br />
ln<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3)<br />
3<br />
ln( 2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
)<br />
1<br />
5<br />
cos(<br />
5)<br />
(2<br />
1)<br />
5<br />
sin(<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
tan<br />
)<br />
ln(cos<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
)<br />
sin(ln<br />
)<br />
cos(ln
P.: Urete první derivace funkcí:<br />
y<br />
x<br />
f<br />
xy<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f<br />
y<br />
x<br />
3<br />
3<br />
,<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
)<br />
3<br />
ln(<br />
)<br />
;<br />
(<br />
2<br />
xy<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(2<br />
11<br />
)<br />
(2<br />
1)<br />
(<br />
)<br />
3<br />
(5<br />
)<br />
(2<br />
3<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f<br />
<br />
<br />
2 3<br />
5<br />
)<br />
;<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(2<br />
11<br />
)<br />
(2<br />
2<br />
)<br />
3<br />
(5<br />
)<br />
(2<br />
5<br />
y<br />
x<br />
y<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a)<br />
b)
P.: Urete rovnici teny funkce f: y = e 3x –6 [2; .<br />
f(x)= e3x –6<br />
<br />
f (2) = 1<br />
f´(x) = 3e 3x –6 f´(2) = 3<br />
<br />
y = 3 x<br />
y –1 = 3 (x –2)<br />
t: y = 3x –5<br />
P.: Urete rovnici teny funkce f: y = ln (x 2 – 3) v bod [–2; .<br />
f(x) = ln (x 2 – 3) f(–2) = 0<br />
f´(x) = 2x/(x 2 –3) f´(–2) = –4 y = –4 x<br />
y – 0 = –4 (x + 2)<br />
t: y = –4x –8
P.: Nabídková funkce jisté komodity má tvar Q(p) p)<br />
= 20p 3 4–40p,<br />
p 1<br />
kde Q je množství v kg a p je cena za 1 kg v K. Nyní je cena<br />
6 K/kg. Odhadnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn<br />
zmní nabídka, pokud cena komodity vzroste na 6,1 K/kg. Jaká<br />
pak bude pibližn tato nabídka<br />
Q( p)<br />
20<br />
4 p 1<br />
Q(6)<br />
100<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
Q( p)<br />
20<br />
(4<br />
p 1)<br />
2<br />
4<br />
<br />
40<br />
4 p 1<br />
<br />
Q(6)<br />
<br />
8<br />
Q 8p<br />
<br />
Q<br />
80,1<br />
<br />
0,8<br />
Nabídka vzroste o pibližn o 0,8 kg, bude se tedy rovnat 100,8 kg.
P.: Urete, kde funkce f: y = x 4 2<br />
xx<br />
f ( x)<br />
e + nabývá lokálních extrém.<br />
f<br />
(<br />
x)<br />
<br />
e<br />
xx<br />
2<br />
(1<br />
2x)<br />
<br />
e x x<br />
2<br />
(1<br />
2x)<br />
<br />
0<br />
<br />
x<br />
<br />
0,5<br />
x<br />
(– ; 0,5)<br />
0,5<br />
(0,5; )<br />
f ´(x)<br />
+<br />
0<br />
–<br />
f(x)<br />
maximum<br />
f(0,5) = e 0,25<br />
Funkce f je na intervalu (-; 0,5) rostoucí, v bod 0,5 nabývá svého<br />
maxima o hodnot e 0,25 , na intervalu (0,5; ) je klesající.
P.: Urete, kde funkce f: y = 3x 4 –16x 3 + 24x 2 – 5 nabývá lokálních<br />
extrém.<br />
f ´(x) = 12x 3 –48x 2 + 48x<br />
12x 3 –48x 2 + 48x = 0<br />
/ :12<br />
x 3 –4x 2 + 4x = 0<br />
x(x 2 –4x + 4) = 0<br />
x(x –2) 2 = 0<br />
x 1 = 0<br />
x 2 = 2<br />
x<br />
(-; 0)<br />
0<br />
(0; 2)<br />
2<br />
(2; )<br />
f ´(x)<br />
–<br />
0<br />
+<br />
0<br />
+<br />
f(x)<br />
minimum<br />
y = –5<br />
stac. bod<br />
y = 11
x<br />
2<br />
6<br />
P.: Urete, kde je funkce f: y = 3 4<br />
f ( x)<br />
2x<br />
5x<br />
3x+ konvexní, kde<br />
konkávní a kde má inflexní body.<br />
6 4 5 3 4<br />
f ( x)<br />
2x<br />
5x<br />
3x<br />
12x<br />
20x<br />
3 60x<br />
60x<br />
60x<br />
4<br />
<br />
2<br />
60x<br />
x<br />
4<br />
x<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
2 ( x<br />
2 1)<br />
<br />
( x 1)(<br />
x 1)<br />
<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
/ : 60<br />
x 1<br />
0<br />
x 2<br />
1<br />
x3 1<br />
x<br />
f ´´(x)<br />
f(x)<br />
<br />
;1<br />
-1 1;0 0 0;1 1 1;<br />
<br />
+<br />
0<br />
<br />
–<br />
<br />
0<br />
IB<br />
zde<br />
IB<br />
není<br />
y 6<br />
IB<br />
y 0<br />
<br />
-<br />
<br />
0<br />
+
P.: Urete, kde je funkce f: y = x 3 12<br />
x<br />
f ( x)<br />
e + 2 konvexní, kde konkávní<br />
a kde má inflexní body.<br />
2 <br />
2 <br />
2 <br />
2<br />
f ( x)<br />
<br />
<br />
12<br />
x 12<br />
x<br />
12<br />
x<br />
12<br />
x<br />
e e (<br />
4x)<br />
e (<br />
4x)<br />
e (<br />
4x)<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
12<br />
x<br />
12<br />
x<br />
e (<br />
4x)<br />
(<br />
4x)<br />
e<br />
2<br />
2<br />
(<br />
4)<br />
16x<br />
2<br />
e<br />
12<br />
x<br />
2<br />
4e<br />
12<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
4e<br />
12<br />
x<br />
2<br />
(4x<br />
2<br />
1)<br />
4e<br />
12<br />
x<br />
2<br />
(4x<br />
2<br />
1)<br />
<br />
0<br />
<br />
x<br />
0,5<br />
x<br />
<br />
;0,5<br />
<br />
0,5 0,5;0,5 0,5 0,5;<br />
<br />
f ´´(x)<br />
+<br />
0 –<br />
0<br />
+<br />
f(x)<br />
inflexní<br />
bod<br />
y e<br />
inflexní<br />
bod<br />
y e
P.: Poptávková funkce jisté komodity je v obchod A dána vztahem<br />
Q A = 2(p –1) –0,5 , ve obchod B vztahem Q B = 3(p –1) –1,5 , kde Q je<br />
poptávané množství v kg a p je cena v K/g.<br />
(a) Urete, pi jaké cen (stejné v obou obchodech) je poptávané<br />
množství v obou obchodech stejné.<br />
(b) Kde je pi této cen poptávka elastitjší<br />
(a)<br />
QA Q B<br />
<br />
0,5<br />
<br />
2( p 1)<br />
3( p 1)<br />
p 1 1,5<br />
p 2,5K<br />
/ g<br />
1,5<br />
(<br />
p 1)<br />
1,5<br />
,<br />
: 2<br />
(b)<br />
<br />
1,5<br />
Q p<br />
1<br />
Q 4,5p<br />
1<br />
Q<br />
A<br />
A<br />
<br />
(2,5) 0,5443<br />
Q<br />
B<br />
B<br />
<br />
2,5<br />
<br />
(2,5) 1,633<br />
elastická poptávka ... malá zmna p zpsobí výraznou zmnu Q,<br />
tj. kivka je strmá<br />
elastitjší je poptávka v B
Q<br />
Q B<br />
Q A<br />
p
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