mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet
mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet
mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Sveučilište u Zagrebu<br />
<strong>Rudarsko</strong>-<strong>geološko</strong>-<strong>naftni</strong> <strong>fakultet</strong><br />
MEHANIKA KONTINUUMA I REOLOGIJA<br />
Lidija Frgić<br />
Mladen Hudec<br />
Zagreb, 2006.
OZNAKE<br />
SADRŽAJ<br />
1. UVOD.............................................................................................................................1<br />
1.1. Pojam <strong>kontinuuma</strong>..................................................................................................1<br />
1.2. Mjerne jedinice........................................................................................................ 3<br />
1.3. Skalari i vektori....................................................................................................... 3<br />
2. TEORIJA NAPREZANJA............................................................................................ 5<br />
2.1. Tenzor naprezanja....................................................................................................7<br />
2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja...........................9<br />
2.3. Simetrija tenzora naprezanja................................................................................. 10<br />
2.4. Statički uvjeti ravnoteže...................................................................................... 11<br />
2.5. Transformacija tenzora naprezanja........................................................................13<br />
2.6. Glavna naprezanja................................................................................................. 15<br />
2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente.............................................................20<br />
3. TEORIJA DEFORMACIJA........................................................................................24<br />
3.1. Tenzor deformacija................................................................................................25<br />
3.2. Glavne deformacije...............................................................................................29<br />
3.3. Oktaedarske deformacije...................................................................................... 30<br />
3.4. Ravninsko stanje deformacija................................................................................31<br />
3.5. Brzina deformacije............................................................................................... 32<br />
3.6. Brzina prirasta naprezanja..................................................................................... 32<br />
4. TEORIJA ELASTIČNOSTI......................................................................................... 33<br />
4.1. Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora<br />
deformacija................................................................................................................... 33<br />
4.2. Ravninsko stanje naprezanja............................................................................... 39<br />
4.3. Ravninsko stanje deformacija..............................................................................40<br />
5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE............................................................... 41<br />
I<br />
str.
5.1. Materijali idealnih svojstava..................................................................................42<br />
5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal..........................................................42<br />
5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal.......................... 44<br />
5.1.3.Viskozan fluid.............................................................................................. 45<br />
5.2. Reološki modeli s dva elementa............................................................................ 48<br />
5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal....................................................48<br />
5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid................................................................ 50<br />
5.2.3. Elastoplastičan materijal............................................................................. 53<br />
5.3. Složeni reološki modeli više elemenata.................................................................54<br />
5.3.1. Bingham-ov model......................................................................................54<br />
5.3.2. Lethersich-ov model....................................................................................55<br />
5.3.3. Schwedoff-ov model................................................................................... 57<br />
5.3.4. Burgerov model...........................................................................................58<br />
6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA...........................................................61<br />
6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA................................ 62<br />
6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA..........................68<br />
6.2.1. Kriterij plastičnosti......................................................................................69<br />
6.2.2. Pravilo tečenja.............................................................................................71<br />
6.2.3. Pravilo očvršćavanja................................................................................... 71<br />
6.2.4. Kriterij loma................................................................................................ 73<br />
6.2.4.1. Von Misesov kriterij loma.............................................................73<br />
6.2.4.2. Trescin kriterij loma...................................................................... 73<br />
6.2.4.3. Mohr - Coulombov kriterij loma...................................................73<br />
6.2.4.4. Drucker-Pragerov kriterij loma..................................................... 75<br />
6.2.4.5. Lade-Duncanov kriterij loma........................................................ 76<br />
6.2.4.6. Hoek-Brownov kriterij loma......................................................... 77<br />
6.2.5. Elastoplastični modeli tla............................................................................ 78<br />
6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA...................................... 81<br />
LITERATURA..........................................................................................................................84<br />
II
OZNAKE<br />
A površina presjeka [m 2 ]<br />
ai<br />
ei<br />
projekcija ubrzanja [m/s 2 ].<br />
energija čestica<br />
r razmak između čestica<br />
r intenzitet radijus vektora<br />
r<br />
radijus vektor<br />
F intenzitet sile<br />
F<br />
F i,<br />
A<br />
vektor sile<br />
projekcija vektora sile na koordinatne osi<br />
N normalna sila<br />
T2, T3<br />
Mt<br />
M2, M3<br />
transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3<br />
moment uvijanja (torzije)<br />
momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.<br />
n normala ravnine presjeka<br />
S + i S - privlačna i odbojna sila između čestica<br />
x projekcija radijus vektora na koordinatne osi<br />
i<br />
α i,<br />
A prikloni kut vektora prema koordinatnoj osi<br />
ε ij tenzor deformacija<br />
•<br />
ε<br />
ij<br />
tenzor brzina deformacija<br />
σ ij tenzor naprezanja<br />
•<br />
σ<br />
ij<br />
tenzor brzine prirasta naprezanja.<br />
σ normalno naprezanje [N/m 2 ]<br />
τ posmično naprezanje [N/m 2 ]<br />
ρ vektor punog naprezanja<br />
ρ projekcija vektora punog naprezanja na koordinatne osi<br />
i<br />
γ gustoća [kg/m 3 ]<br />
Značenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objašnjeno je u samom<br />
tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.<br />
III
1. UVOD<br />
Literatura iz područja podzemne i nadzemne eksploatacije mineralnih sirovina te iz<br />
područja izgradnje podzemnih prostorija i tunela, isto kao i literatura iz područja inženjerske<br />
geologije i hidrogeologije, poziva se na postavke i rezultate mehanike <strong>kontinuuma</strong> i reologije.<br />
Isto se tako takvi podaci mogu naći u literaturi o bušenjima na veliku dubinu i primjenama<br />
tekućina s izraženim reološkim svojstvima u naftnom rudarstvu. Sadržaj i nivo predavanja<br />
prilagođen je predznanju slušača iz podurčja matematike i fizičkih disciplina.<br />
Sadržaj predavanja je u detaljima ograničen na čvrsta tijela, iako daje neke od općih<br />
relacija zajedničkih i za čvrsta tijela i za fluide.<br />
1.1. Pojam <strong>kontinuuma</strong><br />
Čvrsta tijela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, što znači da se sastoje od<br />
molekula, atoma i subatomskih čestica koje su međusobno manje ili više pokretljive. Između<br />
čestica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o<br />
međusobnim razmacima čestica.<br />
Postoji posebna grana mehanike <strong>kontinuuma</strong> - mikro<strong>reologija</strong> - koja objašnjava<br />
fenomene promjene volumena i oblika tijela, polazeći od stvarne mikrostrukture i zakona<br />
nuklearne fizike.<br />
Normalno mjerljive veličine u tehnici daleko prelaze dimenzije unutar kojih treba<br />
voditi računa o utjecajima pojedinih čestica, pa se promjene formi i volumena mogu<br />
promatrati makroskopski, prihvaćajući materiju kao neprekidnu sredinu. Govori se tada o<br />
mehanici neprekidnih (neprekinutih) sredina ili mehanici <strong>kontinuuma</strong> i njezinoj tehničkoj<br />
primjeni makroreologiji ili jednostavno reologiji. U širem smislu tu je obuhvaćena i teorija<br />
elastičnih tijela kao poseban slučaj, isto kao i hidro<strong>mehanika</strong>.<br />
Naziv <strong>reologija</strong> izveden je iz grčkog glagola ρεω (reo) što znači teći ili protjecati.<br />
Mehanika <strong>kontinuuma</strong> prihvaća ponašanje materijala kao činjenicu, kao odgovor<br />
materijala na vanjske utjecaje, bez pokušaja objašnjenja, ali na temelju eksperimentalnih<br />
podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehaničkih karakteristika materijala.<br />
Da bi se mogla uočiti uzročno posljedična veza vanjskih utjecaja i promjene oblika<br />
neka posluži (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za<br />
kristalinične strukture. U takvim tijelima elementarne čestice osciliraju oko nekog<br />
ravnotežnog položaja.<br />
1
Pretpostavljaju se, naime, privlačne i odbojne sile između dviju čestica, koje u svakom<br />
momentu moraju biti uravnotežene. Za privlačnu silu između dviju čestica vrijedi zakon<br />
sličan općem zakonu gravitacije:<br />
S<br />
=<br />
pri čemu su:<br />
+<br />
e<br />
⋅ e<br />
1 2<br />
2<br />
r<br />
e1 , e2 - energije obiju čestica<br />
r - razmak između čestica.<br />
Odbojne sile rastu brže uz smanjivanje razmaka među česticama, po zakonu:<br />
S<br />
−<br />
=<br />
e<br />
⋅ e<br />
1 2<br />
n<br />
r<br />
;<br />
gdje<br />
je n<br />
><br />
2.<br />
Slika 1.1<br />
Na slici 1.1 prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veličinu privlačnih a druga<br />
odbojnih sila između čestica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajuće sile među česticama,<br />
kao razliku navedenih krivulja S + i S - , ovisno o njihovom međurazmaku.<br />
Rezultirajućoj krivulji mogu se dati dva objašnjenja:<br />
2<br />
(1.1)<br />
(1.2)<br />
a) ako se izvana djeluje na česticu tlačnom silom, onda par čestica reagira<br />
smanjivanjem međurazmaka,
) za razmicanje međurazmaka, tj. povećanje r, potrebna je vlačna sila. Postoji<br />
granični međurazmak iza kojeg dolazi do destrukcije materijala.<br />
Kao zaključak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj materija odgovara<br />
promjenom međurazmaka među elementarnim česticama, a to daje ukupnu promjenu<br />
geometrijske forme, odnosno deformaciju tijela.<br />
U mehanici <strong>kontinuuma</strong> se rješavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna<br />
tijela, što je vezano uz dosta složenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje može<br />
kod toga značiti sistematizacija označavanja raznih veličina i pojednostavljenje simbolike.<br />
1.2. Mjerne jedinice<br />
Sve fizičke veličine možemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veličinu bez obzira na to radi<br />
li se o dužini, masi, vremenu, toplini itd. Kao rezultat mjerenja dobiva se neka brojna<br />
vrijednost (intenzitet) koji je vezan uz definiciju mjerne jedinice u kojoj se taj intenzitet<br />
izražava npr.:<br />
masa m = 3,62 [kg] (kilograma)<br />
vrijeme t = 12 [s] (sekunda)<br />
dužina d = 2,88 [m] (metara).<br />
Obvezuje nas Međunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te će<br />
sve veličine biti uvijek označavane u obveznim jedinicama.<br />
1.3. Skalari i vektori<br />
Nekim veličinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.:<br />
temperatura T = 293º [K] (stupnjeva Kelvina).<br />
Istovremeno poznajemo, naročito u mehanici, veličine kojima uz intenzitet treba<br />
odrediti i hvatište i smjer u kojem djeluje ili orijentaciju. Takve orijentirane veličine su npr.:<br />
sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl.<br />
Vektore simboliziramo naznakom vektora<br />
radiusvektor r ili r<br />
sila F ili F .<br />
3
Slika 1.2<br />
Kod računskih operacija s vektorima koristimo projekciju vektora na proizvoljno<br />
odabrani koordinatni sustav. U mehanici <strong>kontinuuma</strong> je, radi jednostavnijeg pisanja formula,<br />
relacija i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi<br />
geometrijskog prostora označavaju se: x1, x2, i x3 odnosno (1), (2) i (3). Tako se radiusvektor r<br />
razlaže na projekcije, prema slici 1.2.<br />
xi = r • cosα<br />
i i = 1,2,3<br />
(1.3)<br />
Analogno se vektor sile F A može razložiti na projekcije<br />
Fi , A A i,<br />
A<br />
= F ⋅ cosα<br />
i = 1,2,3 A = A, B, C ....<br />
(1.4)<br />
Već iz ovoga primjera vidi se ekonomičnost oznaka i pisanja izraza. Obratne veze,<br />
pretvaranje vektora izraženog pomoću koordinata znači izračunavanje intenziteta vektora i<br />
priklonih kutova između vektora i koordinatnih osi:<br />
r = Σ x<br />
i = 1,2,3 (1.5)<br />
2<br />
i<br />
x i<br />
i<br />
r<br />
= α cos (1.6)<br />
Predznacima cosinusa određen je potpuno položaj (orijentacija) vektora u prostoru.<br />
4
2. TEORIJA NAPREZANJA<br />
Ako se tijelo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i FE nalazi u stanju ravnoteže,<br />
mora i svaki dio toga tijela biti uravnotežen. Ako ravninom π presiječemo tijelo na dva dijela<br />
(sl. 2.1 a) i u presječenoj ravnini nadomještavamo djelovanje jednog (odbačenog) dijela na<br />
drugi unutrašnjim silama L R i R D (sl. 2.1 b)<br />
odijeljeni dio<br />
Slika 2.1<br />
Svaka od tih sila je očigledno jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na drugi<br />
R = F + F + F<br />
(2.1)<br />
L<br />
D<br />
A<br />
D<br />
B<br />
E<br />
C<br />
R = F + F<br />
(2.2)<br />
Uobičajena je sistematizacija koja se sastoji u postavljanju lokalnog koordinatnog<br />
sustava Ox 1 x2<br />
x3<br />
u težištu presjeka koji možemo orijentirati kao na sl. 2.1 c. Redukcijom<br />
(paralelnim pomakom) sile R L u ishodište O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila P i<br />
vektor glavnog momenta M , pa projiciranjem vektora na lokalne osi dobivaju se<br />
komponente:<br />
5
pri čemu je<br />
P 2 3<br />
= R L = N i + T j + T k<br />
(2.3)<br />
M t 2 3<br />
= M i + M j + M k<br />
(2.4)<br />
N normalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normale n<br />
T2, T3<br />
M1 = Mt<br />
M2, M3<br />
ravnine presjeka<br />
komponente transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3<br />
moment uvijanja (torzije)<br />
momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.<br />
Slika 2.2<br />
U klasičnoj otpornosti materijala daju se ovisnosti raspodjele unutrašnje sile po<br />
površini poprečnih presjeka za tijela koja imaju oblik štapova. U općem slučaju tijela<br />
podjednakih dimenzija treba zamisliti da se unutrašnja sila RL dijeli na neki način po površini<br />
zamišljenog presjeka, pa na dio površine A otpada dio rezultante ΔR. Smanjujući dimenziju<br />
ΔA do vrlo malih dimenzija dA (slika 2.2) može se za svaku točku presjeka doći do granične<br />
vrijednosti<br />
Δ R d R ⎡ N ⎤<br />
ρ = lim ≈ ; ⎢ 2 ⎥ (2.5)<br />
Δ A→<br />
0 Δ A dA ⎣ m ⎦<br />
6
Dobivena veličina ρ naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici<br />
unutarnje površine. Dimenzija naprezanja slijedi iz te definicije i osnovna jedinica prema SI<br />
mjerama je [N/m 2 ]. U rješavanju tehničkih problema primjenjuju se i [kN/m 2 ] ili [MN/m 2 ].<br />
Principijelno je pitanje da li je formalna pretvorba l [N/m 2 ]= l [Pa] (Pascal) adekvatna za<br />
tehničke primjene. Između tlaka tekućine koji se mjeri paskalima i barima i naprezanja u<br />
čvrstim tijelima postoji fizička razlika gotovo ista kao i između energije koja se mjeri Joulima<br />
(1 J = 1 N∙m) i statičkog momenta koji se isto tako dobiva kao N∙m. Zbog toga je uvijek<br />
razumljivije ostati kod dvostrukih dimenzija: sila/površina [N/m 2 ].<br />
Vektor punog naprezanja ρ treba podijeliti na dvije komponente (slika 2.3), za koje će<br />
se vidjeti da drugačije utječu na materijal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n<br />
i komponentu koja djeluje u ravnini presječne plohe. Definira se:<br />
σ = normalno naprezanje (sigma) i<br />
τ = posmično naprezanje (tau).<br />
Slika 2.3<br />
Komponenta totalnog naprezanja u smjeru normale na presječnu ravninu smatra se<br />
pozitivnom ako je vlačna tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n , odnosno negativnom ili<br />
tlačnom ako je suprotnog smjera.<br />
2.1. Tenzor naprezanja<br />
Radi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x1 x2 x3 i<br />
iz napregnutog tijela izdvaja mali kvadar čije su stranice paralelne s koordinatnim ravninama,<br />
7
Slika 2.4<br />
Na kvadru se mogu uočiti tri ravnine čije su normale n 1 ; n 2 i n3<br />
paralelne s<br />
odgovarajućim koordinatnim osima. Naravno da na svakoj od tih ravnina djeluju različiti<br />
vektori totalnog naprezanja, označeni s 1 2 , ρ<br />
ρ i 3<br />
ρ . Projiciranjem tih vektora u smjerove<br />
odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako<br />
je to prikazano na slici 2.4. Kod toga uvijek prvi indeks označava plohu (zapravo smjer<br />
vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju<br />
po dva ista indeksa σ11, σ22, σ33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente τ12, τ13,<br />
τ21, τ23, τ31, τ32 posmična naprezanja.<br />
U tehničkim primjenama je uobičajeno različito označavanje σ i τ, dok se u teorijskoj<br />
mehanici <strong>kontinuuma</strong> upotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve<br />
komponente možemo jednostavno označiti kao:<br />
σ ij i = 1,2,3 j = 1,2,3 i upisati u matricu:<br />
σ<br />
ij<br />
=<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
τ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
21<br />
31<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
8<br />
(2.6 )<br />
Ukupno stanje naprezanja u jednoj točki napregnutog tijela opisuje 9 komponenata.<br />
Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budući da se svaka od komponenata<br />
definira s dvije oznake (indeksa) kojeg nazivamo tenzorom naprezanja.
2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja<br />
U analizi naprezanja služimo se često metodom presjeka. U općem se slučaju u težištu<br />
zamišljenog presjeka nekog tijela javlja dinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P<br />
i vektora glavnog momenta M (slika 2.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara<br />
sa osi x. Projekcije glavnog vektora sila P u smjeru koordinatnih osi su uzdužna sila N i<br />
poprečne sile T2 i T3, a vektora glavnog momenta M , moment uvijanja (torzije) Mt i momenti<br />
savijanja M2 i M3. Na elementarnoj površini dA ucrtane su komponente naprezanja. Kako je<br />
normalno naprezanje dano izrazom<br />
dN<br />
σ 11 = ⇒ dN = σ 11dA<br />
(2.7 )<br />
dA<br />
ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po površini presjeka:<br />
∫ ∫ dN = ∫ ∫<br />
N =<br />
σ 11dA<br />
(2.8)<br />
A A<br />
Poprečne sile dobivaju se iz definicije posmičnog naprezanja<br />
dT<br />
τ = ⇒ dT = τ dA<br />
(2.9)<br />
dA<br />
pa integriranjem po površini presjeka dobivamo<br />
∫ ∫ dT2<br />
= ∫ ∫<br />
T =<br />
12dA<br />
2 τ (2.10)<br />
A A<br />
∫ ∫ dT3<br />
= ∫ ∫<br />
T =<br />
13dA<br />
3 τ (2.11)<br />
A A<br />
Slika 2.5<br />
9
Kako je elementarni moment savijanja dM jednak umnošku elementarne sile σ11dA i njezinog<br />
kraka oko osi možemo napisati<br />
odnosno<br />
∫ ∫<br />
M 2 = dM 2 = z σ<br />
M<br />
A<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
A<br />
11<br />
dA<br />
10<br />
(2.12)<br />
= dM 3 = − y 11dA<br />
(2.13)<br />
3 σ<br />
A<br />
∫ ∫<br />
A<br />
U ovom slučaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja<br />
momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvijanja možemo<br />
napisati da je jednak<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
( y dA - zτ<br />
dA)<br />
M t = dM t = τ 13 12<br />
(2.14)<br />
A<br />
2.3. Simetrija tenzora naprezanja<br />
A<br />
Elementarni kvadar sa slike 2.6 može se na primjer projicirati na ravninu O x1 x2<br />
Slika 2.6
Na suprotnim stranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali<br />
suprotnog smjera, budući da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencijalne<br />
veličine višeg reda može se uvjet zbroja momenata oko ishodišta Σ MO = 0 napisati u obliku:<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
Nakon kraćenja ostaje:<br />
Kako je<br />
12<br />
slijedi da je:<br />
dx1<br />
( σ 11 A1<br />
− σ 11 A1<br />
) + ( σ 22 ⋅ A2<br />
− σ 22 ⋅ A2<br />
) ⋅ + τ 12 ⋅ A1<br />
⋅ dx1<br />
− τ 21 ⋅ A2dx<br />
2<br />
1<br />
1<br />
21<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
0<br />
11<br />
(2.15)<br />
τ ⋅ A ⋅ dx = τ ⋅ A ⋅ dx<br />
(2.16)<br />
A1 = dx2 × dx3<br />
A2 = dx1 × dx3<br />
τ12 = τ21<br />
(2.17)<br />
(2.18)<br />
(2.19)<br />
Ovo bi se moglo pokazati za sve parove posmičnih naprezanja, pa se Zakon o<br />
jednakosti posmičnih naprezanja može općenito napisati:<br />
τij = τji<br />
(2.20)<br />
Tenzor naprezanja je dakle simetričan, budući da su članovi s jednakim indeksima<br />
jednaki. Treba uočiti da se vektori τij i τji na jednom bridu elementa ili sustižu ili razilaze.<br />
Korištenjem tri uvjeta ravnoteže tipa Σ Mi = 0 smanjen je broj u principu nepoznatih<br />
komponenata tenzora naprezanja s 9 na svega 6, ali je pri tome ostalo samo tri uvjeta<br />
ravnoteže koji se mogu upotrijebiti za pronalaženje 6 preostalih komponenata. Problem<br />
raspodjele naprezanja u tijelu ostaje statički neodređen!<br />
2.4. Statički uvjeti ravnoteže<br />
U općenitom slučaju na element <strong>kontinuuma</strong> djeluju sile vezane na masu elementa.<br />
To su u prvom redu gravitacijske sile ili inercijske sile. Radi toga moraju komponente tenzora<br />
naprezanja dobiti neki prirast Δσij ako se koordinata xi promijeni za dxi (vidi sliku 2.7).<br />
Uvjet ravnoteže Σ F1 = 0 može se napisati u obliku:<br />
( 11 11 11 1 21 21 21 2 31 31 31 3 1<br />
σ + Δ σ − σ ) ⋅ A + ( τ + Δ τ − τ ) ⋅ A + ( τ + Δ τ − τ ) ⋅ A + f ⋅ V = 0 (2.21)<br />
Kada se pokrate istoimeni članovi suprotnih predznaka, ostaje:<br />
Δ σ ⋅ A + Δ τ ⋅ A + Δ τ ⋅ A + f ⋅ V = 0<br />
(2.22)<br />
11<br />
1<br />
21<br />
2<br />
31<br />
3<br />
1
Treba uvrstiti da je:<br />
Slika 2.7<br />
A1 = dx2 . dx3 A2 = dx1 . dx3 A3 = dx1 . dx2 i V= dx1 . dx2 . dx3 (2.23)<br />
∂ σ<br />
11<br />
Δ σ 11 = dx1<br />
(2.24)<br />
∂ x1<br />
∂ τ<br />
21<br />
Δ τ 21 = dx2<br />
(2.25)<br />
∂ x2<br />
Δ<br />
∂ τ<br />
31<br />
τ 31 = dx3<br />
(2.26)<br />
∂ x3<br />
Konačno, kad se pokrati jednadžba s dx1 . dx2 . dx3 dobije se konačni uvjet za Σ F1 = 0:<br />
∂ σ<br />
∂ x<br />
11<br />
1<br />
+<br />
∂ τ<br />
∂ x<br />
12<br />
2<br />
+<br />
∂ τ<br />
∂ x<br />
13<br />
3<br />
+<br />
f<br />
Ovdje je f1 projekcija sile težine ili inercije na os (1), dakle<br />
f1 = i<br />
pri čemu je:<br />
1<br />
=<br />
0<br />
12<br />
(2.27)<br />
a ⋅ γ (2.28)<br />
γ = gustoća [kg/m 3 ] (2.29)<br />
ai = projekcija ubrzanja [m/s 2 ]. (2.30)
Dobiveni uvjeti ravnoteže mogu se napisati i u općem obliku:<br />
∂ σ<br />
∂ x<br />
∂ τ<br />
∂ x<br />
∂ τ<br />
11<br />
1<br />
21<br />
1<br />
13<br />
∂ x<br />
1<br />
+<br />
+<br />
+<br />
∂ τ<br />
12<br />
∂ x<br />
∂ σ<br />
∂ x<br />
∂ τ<br />
∂ x<br />
2<br />
22<br />
2<br />
23<br />
2<br />
+<br />
+<br />
+<br />
∂ τ<br />
13<br />
∂ x<br />
∂ τ<br />
3<br />
∂ x<br />
∂ σ<br />
∂ x<br />
23<br />
3<br />
3<br />
33<br />
+<br />
+<br />
+<br />
f<br />
1<br />
f<br />
f<br />
2<br />
3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
0<br />
0<br />
0<br />
13<br />
(2.31)<br />
(2.32)<br />
(2.33)<br />
Postoji i mogućnost skraćenog pisanja. Deriviranje po nekoj koordinati može se<br />
naznačiti samo zarezom:<br />
∂ σ ij<br />
σ ij,<br />
j =<br />
(2.34)<br />
∂ x<br />
j<br />
U tenzorskom računu vrijedi pravilo da ponavljanje indeksa znači sumiranje po tom<br />
indeksu. Na taj način može se dobiveni uvjet ravnoteže napisati u posve skraćenom obliku:<br />
σ ij,<br />
j + fi<br />
= 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3 (2.35)<br />
U svakoj od triju jednadžbi ravnoteže za smjer "i" postoje tri člana s raznim "j".<br />
Ukupno se mogu napisati samo tri jednadžbe ravnoteže.<br />
2.5. Transformacija tenzora naprezanja<br />
Odabrane geometrijske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati<br />
mogućnost da se isti tenzor prikaže i u koordinatom sustavu koji je rotiran u odnosu na<br />
prvobitno odabrani. Zadatak se može riješiti tako da se nađu komponente naprezanja na nekoj<br />
proizvoljno orijentiranoj plohi, polazeći od komponenata tenzora izraženom za koordinatni<br />
sustav O x1 x2 x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx1 dx2 dx3 presječen ravninom kroz<br />
tri vrha, tako da se dobije tetraedar (slika 2.8).<br />
Slika 2.8
Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su<br />
označeni na slici s αi . Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine<br />
na koordinatnim ravninama projekcije te kose površine:<br />
= A ⋅ cosα<br />
;<br />
= A ⋅ cos α ;<br />
= A ⋅ cos α ;<br />
(2.36)<br />
A1 1<br />
A2 2<br />
Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati:<br />
i<br />
i<br />
A3 3<br />
A = A ⋅ a<br />
(2.37)<br />
Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet:<br />
2 2 2<br />
a + a + a = 1<br />
(2.38)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra<br />
naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na lijevoj polovini slike 2.9 pokazane su<br />
komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O x1x2x3, a na desnoj<br />
komponente vektora totalnog naprezanja ρ1, ρ2 i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi.<br />
Slika 2.9<br />
Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr.<br />
Σ = 0 − σ ⋅ A − τ ⋅ A − τ ⋅ A + ρ ⋅ A = 0<br />
(2.39)<br />
F1 11 1 21 2 31 3 1<br />
Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja:<br />
ρ = σ ⋅ a + τ ⋅ a + τ ⋅ a<br />
(2.40)<br />
1<br />
11<br />
1<br />
21<br />
2<br />
31<br />
3<br />
Iz uvjeta ΣF2 = 0 odnosno ΣF3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:<br />
ρ = τ ⋅ a + σ ⋅ a + τ ⋅ a<br />
(2.41)<br />
2<br />
3<br />
11<br />
13<br />
1<br />
1<br />
22<br />
23<br />
2<br />
2<br />
32<br />
33<br />
3<br />
ρ = τ ⋅ a + τ ⋅ a + σ ⋅ a<br />
(2.42)<br />
3<br />
14
Dobivene projekcije mogu se tek sada razložiti na komponentu koja je u smjeru<br />
normale ravnine presjeka σnn<br />
σ = ρ ⋅ a + ρ ⋅ a + ρ ⋅ a<br />
(2.43)<br />
nn<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
Veličinu posmične komponente τnm moglo bi se dobiti iz rezultirajućeg vektora<br />
naprezanja na kosoj plohi:<br />
pri čemu je<br />
2 2<br />
τ nm = ρ − σ<br />
(2.44)<br />
nn<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
ρ = ρ + ρ + ρ<br />
(2.45)<br />
S druge strane možemo komponente naprezanja na kosoj plohi podijeliti u dvije<br />
komponente, od kojih je jedna u smjeru normale n , a druga u smjeru osi l okomite na<br />
normalu. Orijentacija osi l mora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osi n , zbroj kvadrata<br />
kosinusa mora biti jednak jedinici.<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
b + b + b = 1<br />
(2.46)<br />
Uvjet ortogonalnosti izražen preko kosinusa vektora normale glasi:<br />
a1 1 2 2 3 3<br />
⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b = 0<br />
(2.47)<br />
Ako u ishodištu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraženim preko<br />
osi i, j, k, postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je također ortogonalan, možemo<br />
kosinuse smjera između osi n, l, m i osi i, j, k označiti s ai , aj , ak , bi , bj , bk , ci , cj , ck<br />
Koristeći pravilo sumacije izvode se opći izrazi:<br />
σ = σ ⋅ a ⋅ a<br />
(2.48)<br />
nn<br />
nl<br />
ij<br />
ij<br />
i<br />
i<br />
j<br />
j<br />
τ = σ ⋅ a ⋅ b<br />
(2.49)<br />
τ = σ ⋅ a ⋅ c<br />
(2.50)<br />
nm<br />
2.6. Glavna naprezanja<br />
ij<br />
i<br />
j<br />
Očigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraženi u raznim<br />
(ortogonalnim) koordinatnim sustavima daju različite vrijednosti za pojedine komponente.<br />
Tražeći ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postoje na tri<br />
15
međusobno okomite osi g1, g2, g3 a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim<br />
osima nema posmičnih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadžba koja naravno ima tri<br />
rješenja. Rješenja te jednadžbe su glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3 koja moraju zadovoljiti<br />
jednadžbu:<br />
3 2<br />
g − g Iσ g σ<br />
σ<br />
σ σ ⋅ − σ ⋅ II − III = 0 g = 1,2,3<br />
(2.51)<br />
Kod toga su I σ, II σ i III σ invarijante tenzora naprezanja i iznose:<br />
I = σ + σ + σ<br />
(2.52)<br />
σ<br />
11<br />
11<br />
22<br />
22<br />
33<br />
22<br />
33<br />
33<br />
11<br />
2<br />
12<br />
II = σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ ⋅ σ − τ − τ − τ<br />
(2.53)<br />
σ<br />
III<br />
σ<br />
⎡ σ<br />
= det<br />
⎢<br />
⎢<br />
τ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
21<br />
31<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
2<br />
23<br />
2<br />
31<br />
16<br />
(2.54)<br />
Simbol det označava vrijednost determinante matrice komponenata tenzora<br />
naprezanja. Vrijednost invarijanti ne ovisi o prethodnom izboru položaja koordinatnih osi,<br />
nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj točki.<br />
Vrijednosti glavnih naprezanja dobiju se rješenjem kubne jednadžbe, ona su uvijek<br />
realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi:<br />
2 2 2<br />
a + a + a = 1<br />
(2.55)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
te iz uvjeta da je projekcija totalnog naprezanja na dvije koordinatne osi jednaka projekciji<br />
glavnog naprezanja.<br />
( − σ ) ⋅ + τ ⋅ a + τ ⋅ a = 0<br />
σ (2.56)<br />
21<br />
11<br />
g<br />
a1 12 2 13 3<br />
( σ − σ ) ⋅ a + ⋅ a = 0<br />
τ ⋅ τ<br />
(2.57)<br />
a1 + 22 g 2 23 3<br />
Uvrštavajući redom glavna naprezanja σg = σ1, σ2 i σ3 dobivaju se kosinusi smjerova<br />
svih triju glavnih osi.<br />
Grafički se mogu odnosi naprezanja na raznim plohama povučenim kroz istu točku<br />
napregnutog tijela prikazati pomoću Mohrovih kružnica naprezanja. Za prostorno stanje mogu<br />
se nacrtati tri kružnice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a središta leže<br />
u aritmetičkim sredinama parova glavnih naprezanja, slika 2.10.
Slika 2.10<br />
Smisao traženja glavnih naprezanja je u pronalaženju ekstremnih naprezanja u jednoj<br />
točki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentama σij u koordinatnom<br />
sustavu i, j, k definira se preko glavnih naprezanja σ1 = σmaks , σ2 i σ3 = σmin , uz zadane<br />
odgovarajuće smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike 2.11.<br />
naprezanja.<br />
Slika 2.11<br />
Prema definiciji na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posmičnih<br />
17
Iz Mohrove kružnice može se vidjeti da najveća posmična naprezanja nastaju na<br />
ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kut π/4 = 45 o . Mogu se naći tri<br />
prizme kvadratnog presjeka na čijim ravninama djeluju ekstremna posmična naprezanja.<br />
Intenzitet tih posmičnih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj<br />
plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih<br />
naprezanja.<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
m<br />
n<br />
l<br />
=<br />
=<br />
=<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ σ<br />
2<br />
+ σ<br />
2<br />
+ σ<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
τ<br />
τ<br />
m<br />
τ<br />
n<br />
l<br />
=<br />
=<br />
=<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− σ<br />
2<br />
− σ<br />
2<br />
− σ<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
18<br />
(2.58)<br />
Pronalaženje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavnije u slučaju<br />
ravninskog stanja naprezanja. Tada je σ33,= τ13 = τ23 = 0 pa sekularna jednadžba dobiva<br />
kvadratnu formu, čija su rješenja:<br />
2<br />
σ 11 + σ 22 ⎛ σ 11 − σ 22 ⎞<br />
σ 1,<br />
2<br />
± ⎜<br />
⎟ +<br />
2<br />
= τ<br />
(2.59)<br />
12<br />
2<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom:<br />
2 ⋅ τ 12<br />
tg 2ϕ<br />
= −<br />
(2.60)<br />
σ − σ<br />
11<br />
22<br />
Mohrove kružnice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici 2.12.<br />
Slika 2.12
Elementu s komponentama naprezanja zadanim u koordinatnom sustavu O x1 x2<br />
odgovara na istom mjestu element koji je napregnut glavnim naprezanjima, a stranice mu<br />
imaju orijentaciju ϕ. Istovremeno se može nacrtati i element opterećen najvećim posmičnim<br />
naprezanjima (sl. 2.13).<br />
Slika 2.13<br />
Sva tri elementa opterećena su jednim istim tenzorom naprezanja koji je pri tome<br />
prikazan u tri različita koordinatna sustava.<br />
Tenzor naprezanja može se izraziti na razne načine, a da pri tome to predstavlja jedno<br />
isto stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog tijela. Ovo je u principu isto kao da<br />
vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave.<br />
Tenzor naprezanja je izražen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom<br />
sustavu O x1 x2 x3. Pronalaženjem intenziteta i smjera glavnih naprezanja taj se isti tenzor<br />
izražava komponentama u smjerovima glavnih osi naprezanja g1 g2 g3. Može se, dakle,<br />
izjednačiti:<br />
⎡ σ 11 τ 12 τ 13 ⎤<br />
⎡ σ 1<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎥<br />
= =<br />
⎢<br />
ij ⎢<br />
τ 21 σ 22 τ 23 ⎥<br />
σ g ⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
⎥⎦<br />
⎢<br />
31 τ 32 σ 33<br />
⎣ 0<br />
σ<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0 ⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
σ ⎥ 3 ⎦<br />
Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente:<br />
σ<br />
ij<br />
⎡ σ<br />
= ⎢<br />
⎣ τ<br />
11<br />
21<br />
τ<br />
σ<br />
12<br />
22<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
σ<br />
g<br />
=<br />
⎡ σ 1<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
0 ⎤<br />
σ<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
=<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎣τ<br />
m<br />
maks<br />
τ<br />
σ<br />
maks<br />
m<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
19<br />
(2.61)<br />
(2.62)
2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente<br />
Iako to do sada nije bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa<br />
prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene<br />
u istim koordinatama:<br />
σ = σ ± σ<br />
(2.63)<br />
ij<br />
'<br />
ij<br />
''<br />
ij<br />
Bilo kakav tenzor naprezanja može se podijeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili<br />
antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugačiji:<br />
devijatorsku<br />
- sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod<br />
kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je,<br />
naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih<br />
naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini,<br />
- devijatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje<br />
naprezanja).<br />
Glavna naprezanja u smjerovima osi g1, g2 i g3 dijele se, dakle, na sfernu<br />
D<br />
σ g komponentu:<br />
20<br />
S<br />
σ gl i<br />
S D<br />
σ = σ + σ g = 1,2,3<br />
(2.64)<br />
g<br />
g<br />
σ<br />
g<br />
g<br />
⎡ σ 1<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
σ<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0 ⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
σ ⎥ 3 ⎦<br />
⎡ σ<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
σ<br />
S<br />
g<br />
0<br />
0<br />
σ<br />
0<br />
S<br />
g<br />
0<br />
⎤<br />
0 ⎤ ⎡ σ<br />
⎥ ⎢<br />
0 ⎥ + ⎢<br />
S<br />
σ ⎥ ⎢<br />
g ⎦ ⎣<br />
⎡ σ<br />
1<br />
− σ<br />
0<br />
0<br />
S<br />
g<br />
σ<br />
2<br />
0<br />
− σ<br />
S<br />
D<br />
σ g =<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
g<br />
0<br />
0<br />
S<br />
σ g<br />
0<br />
⎥<br />
0 ⎥ +<br />
S<br />
σ ⎥<br />
g<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
0<br />
0<br />
D<br />
σ 2<br />
0<br />
⎥<br />
0 ⎥ =<br />
D<br />
σ ⎥<br />
3<br />
S<br />
σ i +<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
⎦<br />
Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se<br />
izraziti prvom invarijantom naprezanja:<br />
S<br />
σ g ⋅ Iσ<br />
= 1 2 3 11 22 +<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎦<br />
0<br />
S<br />
g<br />
σ<br />
D<br />
i<br />
σ<br />
3<br />
0<br />
0<br />
− σ<br />
S<br />
g<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
(2.65)<br />
1 1<br />
1<br />
= ( σ + σ + σ ) = ( σ + σ σ 33 )<br />
(2.66)<br />
3 3<br />
3<br />
tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama.
Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima<br />
glavnih naprezanja g1, g2 i g3 (sl. 2.14)<br />
Slika 2.14<br />
Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posmičnih naprezanja. Ta podjela ima<br />
svoj puni fizički smisao kod izučavanja deformacija čvrstih tijela, kao što će se pokazati<br />
kasnije (str. 22).<br />
Iz tijela opterećenog u promatranoj točki glavnim naprezanjima σ S i σ D može se isjeći<br />
pravilni oktaedar kojeg dijagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g1, g2 i g3, što je<br />
prikazano na slici 2.15.<br />
Slika 2.15<br />
Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povučenoj kroz<br />
točku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje<br />
21
posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra<br />
naprezanja:<br />
σ = σ<br />
(2.67)<br />
S<br />
okt<br />
S<br />
g<br />
τ = 0<br />
(2.68)<br />
S<br />
okt<br />
Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g3<br />
1<br />
m i =<br />
i = 1,2,3 (2.69)<br />
3<br />
Naravno da je pri tome:<br />
2 2 2<br />
m + m + m = 1<br />
(2.70)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Devijatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj<br />
plohi, koje iznosi:<br />
ρ<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
1<br />
pa se odatle dobiva:<br />
τ<br />
D<br />
okt<br />
=<br />
ρ<br />
+<br />
2<br />
σ<br />
−<br />
2<br />
2<br />
3<br />
+<br />
σ<br />
2<br />
3<br />
S 2<br />
D<br />
( σ ) σ = 0<br />
okt<br />
Nakon što se uvrsti dobivena vrijednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno:<br />
τ D<br />
okt<br />
=<br />
1<br />
3<br />
( ) ( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
σ − σ + σ − σ + σ − σ<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
22<br />
(2.71)<br />
(2.72)<br />
(2.73)<br />
Ako se, dakle, tenzor naprezanja podijeli na sfernu i devijatorsku komponentu i<br />
promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja<br />
od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja:<br />
σ<br />
σ<br />
S<br />
D<br />
okt<br />
=<br />
=<br />
1<br />
3<br />
0<br />
( σ + σ + σ )<br />
1<br />
2<br />
3<br />
=<br />
1<br />
⋅ I<br />
3<br />
σ<br />
τ<br />
τ<br />
D<br />
okt<br />
S<br />
=<br />
=<br />
0<br />
2<br />
3<br />
⋅<br />
I<br />
2<br />
σ<br />
3<br />
−<br />
II<br />
σ<br />
(2.74)<br />
Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo<br />
da u stvari najopćenitije stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano<br />
na lijevom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba<br />
zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.
Slika 2.16<br />
Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fizički smisao. Pri povezivanju<br />
naprezanja s pripadnim deformacijama za realne materijale uočava se potpuno drugačije<br />
ponašanje za opterećenje materijala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na<br />
reakciju materijala na opterećenje smicanjem, dakle devijatorskom komponentom tenzora<br />
naprezanja.<br />
23
3. TEORIJA DEFORMACIJA<br />
Pod utjecajem vanjskih sila tijelo će se u općem slučaju pomaknuti iz svojeg<br />
prvobitnog položaja I u položaj II. Na tijelu promatramo točku P i diferencijalnu dužinu ds<br />
koje se pomiču zajedno s tijelom.<br />
Promjenu konfiguracije, koja je pokazana na slici 3.1 može se promatrati na dva<br />
načina:<br />
a) pomoću prostornih koordinata u čvrstom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3<br />
b) pomoću prostornog koordinatnog sustava O X1 X2 X3 koji se pomiče zajedno s<br />
tijelom, pa su to materijalne ili prirodne koordinate vezane uz tijelo.<br />
x<br />
3<br />
x 2<br />
0<br />
r<br />
I<br />
P<br />
ds<br />
x 1<br />
X 2<br />
n<br />
b<br />
X 3<br />
Slika 3.1<br />
Euler je dao formulaciju za prvi način promatranja. Da bi se mogla naći deformacija<br />
konfiguracije <strong>kontinuuma</strong> izražava se koordinata u globalnom sustavu xi kao funkcija<br />
prirodne koordinate XL i vremena t:<br />
x L<br />
i xi<br />
( X , t)<br />
= (3.1)<br />
Analogno je Lagrange definirao materijalnu koordinatu XL u ovisnosti o globalnoj<br />
koordinati xi i vremenu t:<br />
X i<br />
koordinatama:<br />
L X L ( x , t)<br />
= (3.2)<br />
Dužina uočenog elementa ds može se također izraziti na oba načina. U globalnim<br />
∂ x ∂ x<br />
= dX<br />
(3.3)<br />
2<br />
i j<br />
ds gij<br />
⋅ dxi<br />
⋅ dx j = gij<br />
⋅ ⋅ ⋅ dX L ⋅ dX M = CLM<br />
⋅ dX L ⋅<br />
∂ X L ∂ X M<br />
II<br />
R<br />
0<br />
P`<br />
ds`<br />
X 1<br />
M<br />
24
te analogno u materijalnim koordinatama:<br />
∂ X ∂ X<br />
ds ⋅<br />
2<br />
L M<br />
= GLM<br />
⋅ dX L ⋅ dX M = GLM<br />
⋅ ⋅ ⋅ dxi<br />
⋅ dx j = cij<br />
⋅ dxi<br />
dx j<br />
∂ xi<br />
∂ x<br />
(3.4)<br />
j<br />
Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformacije<br />
C<br />
c<br />
relacijom:<br />
∂ x<br />
∂ x<br />
i j<br />
LM = gij<br />
⋅ ⋅<br />
(3.5)<br />
∂ X L ∂ X M<br />
∂ X<br />
∂ X<br />
L M<br />
ij = GLM<br />
⋅ ⋅<br />
∂ xi<br />
∂ x<br />
(3.6)<br />
j<br />
Razlika između deformirane i prvobitne dužine u prostornim koordinatama izražena je<br />
( g − c )<br />
1<br />
ε ij = ⋅ ij ij<br />
(3.7)<br />
2<br />
a u materijalnim koordinatama:<br />
1<br />
ELM = ⋅ ( CLM<br />
− GLM<br />
)<br />
(3.8)<br />
2<br />
Promjena položaja točke naziva se pomakom, pa se tenzori deformacija mogu izraziti<br />
pomoću pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva:<br />
1 ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
∂ u ∂ u i j ∂ uk<br />
∂ uk<br />
ε =<br />
+ + ⋅ ⎟<br />
ij ⎜<br />
⎟<br />
(3.9)<br />
2<br />
⎝<br />
∂ x j ∂ xi<br />
∂ xi<br />
∂ x j ⎠<br />
Istovremeno u materijalnim koordinatama imamo:<br />
1 ⎛ ∂ u<br />
⎞<br />
⎜ L ∂ uM<br />
∂ uk<br />
∂ uk<br />
E LM =<br />
+ + ⋅ ⎟<br />
(3.10)<br />
2 ⎝ ∂ X M ∂ X L ∂ X M ∂ X L ⎠<br />
Na kraju, ako se radi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na<br />
dimenzije tijela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u trećim članovima postaju<br />
kao diferencijalne veličine drugog reda zanemarivi:<br />
ε<br />
ij<br />
≈<br />
1 ⎛ ∂ u<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂ u<br />
( u u )<br />
i j<br />
E LM ≈<br />
+ = i , j +<br />
2 ⎜ ∂ x j ∂ x ⎟<br />
i 2<br />
3.1. Tenzor deformacija<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
j , i<br />
25<br />
(3.11)<br />
Ove dobivene definicije tenzora deformacija mogu se za male deformacije pokazati i<br />
direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao što je to pokazano na slici 3.2.
u 2C<br />
u 2A<br />
x 2<br />
C<br />
u A<br />
A B<br />
u u<br />
1A<br />
u C<br />
A`<br />
C`<br />
Slika 3.2<br />
Ako točka A kvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x1 x2 ima pomak<br />
u A (vektor!), onda su komponente tog pomaka u1,A i u2,A. Pomaci susjednih točaka B i C mogu<br />
se naći po pravilu totalnog diferencijala - uz zanemarenje viših članova:<br />
u<br />
∂ u<br />
∂ u<br />
1B<br />
i<br />
i<br />
i = ui,<br />
A + dxi<br />
+ dx j<br />
(3.12)<br />
∂ xi<br />
∂ x j<br />
Ovo se može primijeniti na sve četiri komponente deformacija elementa, kao što je to<br />
pokazano na slici 3.3.<br />
dx 2<br />
A B B`<br />
A<br />
u 1 =(u 1C-u 1A)<br />
C<br />
12<br />
dx<br />
1 1<br />
B<br />
dx<br />
C<br />
A<br />
C`<br />
C<br />
A<br />
Slika 3.3<br />
B`<br />
u B<br />
x<br />
1<br />
dx1<br />
21<br />
dx<br />
2<br />
dx 2<br />
u 2 =(u 2C-u 2A)<br />
26
Za produljenje stranica Δdx1 se dobiva:<br />
∂ u<br />
1<br />
1<br />
Δ dx1 = u1B<br />
− u1A<br />
Δ dx1<br />
= dx1<br />
ε 11 = = u1,<br />
1<br />
(3.13)<br />
∂ x1<br />
dx1<br />
Analogno za produljenje Δdx2<br />
∂ u<br />
2<br />
2<br />
Δ dx2 = u 2B<br />
− u 2 A Δ dx2<br />
= dx2<br />
ε 22 = = u 2,<br />
2<br />
(3.14)<br />
∂ x2<br />
dx2<br />
Kutevi zaokreta stranica mogu se dobiti vrlo jednostavno, naravno uz pretpostavku<br />
malih deformacija:<br />
ε<br />
12<br />
Δ u1<br />
∂ u1<br />
= = =<br />
dx ∂ x<br />
2<br />
Isto se tako dobiva:<br />
ε<br />
21<br />
Δ u<br />
=<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
2<br />
∂ u<br />
=<br />
∂ x<br />
2<br />
1<br />
=<br />
u<br />
1,<br />
2<br />
u<br />
2,<br />
1<br />
Δ x<br />
Δ x<br />
27<br />
(3.15)<br />
(3.16)<br />
Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne<br />
predstavlja karakterističnu deformaciju. Iz slike 3.2 vidi se da se prilikom deformiranja<br />
elementa mijenjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut γ12<br />
Iz slike 3.4 je vidljivo da je<br />
γ = ε + ε<br />
(3.17)<br />
12<br />
12<br />
21<br />
12<br />
x 2<br />
12<br />
12<br />
21<br />
Slika 3.4<br />
Dobivene komponente deformacija čine tenzor deformacija koji za ravninsko stanje<br />
naprezanja ima članove:<br />
0 ⎡ ε 11 ε 12 ⎤<br />
⎡ ε 11 γ 12 ⎤<br />
| ε ij | = ⎢<br />
⎥ ε ij = ⎢<br />
⎥<br />
(3.18)<br />
⎣ ε 21 ε 22 ⎦<br />
⎣ γ 21 ε 22 ⎦<br />
Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformacija za koje je dobiveno:<br />
12<br />
12<br />
x 1
∂ u<br />
∂ u<br />
1<br />
2<br />
1 2<br />
ε 11 =<br />
ε 22 =<br />
γ 12 = ε 12 + ε 21 = +<br />
(3.19)<br />
∂ x1<br />
∂ x2<br />
∂ x2<br />
∂ x1<br />
Ovo se može poopćiti i napisati:<br />
ε<br />
ij<br />
=<br />
1<br />
2<br />
( u + u )<br />
i , j<br />
j , i<br />
Za prostorno stanje deformacija ostaju iste definicije, samo se tenzor proširuje:<br />
ε<br />
ij<br />
=<br />
⎡<br />
⎢ ε<br />
⎢ 1<br />
⎢ γ<br />
⎢ 2<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
γ<br />
⎣ 2<br />
11<br />
21<br />
31<br />
1<br />
2<br />
ε<br />
1<br />
2<br />
γ<br />
22<br />
γ<br />
12<br />
32<br />
1<br />
γ<br />
2<br />
1<br />
γ<br />
2<br />
ε<br />
33<br />
13<br />
23<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
∂ u<br />
∂ u<br />
28<br />
(3.20)<br />
(3.21)<br />
Treba napomenuti da, osim komponenata koje su ovdje simetrične, postoje i<br />
nesimetrične, odnosno antimetrične.<br />
Kada element samo rotira, a ne kliže kao što je to pokazano na slici 3.4, dolazi do<br />
rotacije elementa (vidi sliku 3.5).<br />
znači da je<br />
Kut rotacije se može pokazati kao razlika kutova<br />
∂ u<br />
∂ x<br />
1<br />
2<br />
i<br />
∂ u<br />
∂ x<br />
2<br />
1<br />
, dakle:<br />
1<br />
ω 12 = ( u 2,<br />
1 − u1,<br />
2 )<br />
(3.22)<br />
2<br />
Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja γ12, što<br />
u = − u<br />
(3.23)<br />
1,<br />
2<br />
dobiva se:<br />
2,<br />
1<br />
1<br />
ω 12 = ( u 2,<br />
1 + u 2,<br />
1 ) = u 2,<br />
1<br />
(3.24)<br />
2<br />
12 = u 1,2<br />
x 2<br />
21 = u 2,1<br />
Slika 3.5<br />
x 1
3.2. Glavne deformacije<br />
U tenzoru deformacija postoje dijagonalni članovi εii koji predstavljaju stvarnu<br />
dilataciju, tj. produljenje jedinične dužine u pojedinim smjerovima. Članovi izvan dijagonale<br />
εij su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!).<br />
γ ij<br />
ε ij = (3.25)<br />
2<br />
Na isti način kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomoću sekularne jednadžbe:<br />
3 2<br />
g + g Iε g ε<br />
ε<br />
ε ε ⋅ + ε ⋅ II + III = 0 g = 1,2,3<br />
(3.26)<br />
naći glavne deformacije. Pri tome se pojavljuju invarijante tenzora deformacija<br />
I = ε + ε + ε = ε + ε + ε<br />
(3.27)<br />
ε<br />
11<br />
11<br />
22<br />
22<br />
33<br />
22<br />
1<br />
33<br />
2<br />
33<br />
3<br />
11<br />
2<br />
12<br />
2<br />
23<br />
II = ε ⋅ ε + ε ⋅ ε + ε ⋅ ε − ε − ε − ε<br />
(3.28)<br />
ε<br />
III<br />
ε<br />
⎡ ε<br />
= det<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
21<br />
31<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
12<br />
22<br />
32<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
Proračun veličina glavnih deformacija kao i smjerova u kojem se te deformacije<br />
pojavljuju je analogan proračunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformacija<br />
nema klizanja. To znači da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa<br />
smjerovima glavnih deformacija zadržava sve prave kuteve, a samo mu se mijenjaju dužine<br />
stranica ( Δ dsi = ε i ⋅ dsi<br />
).<br />
Slika 3.6<br />
2<br />
31<br />
29<br />
(3.29)
a odatle:<br />
Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 može se naći kao:<br />
Δ V<br />
( 1 + ε ) dx + ( 1 + ε ) dx + ( 1 + ε )<br />
1 1 2 2 3 3 1 2 3<br />
θ = =<br />
(3.30)<br />
V<br />
dx1<br />
⋅ dx2<br />
⋅ dx3<br />
θ = ε + ε + ε = I<br />
1<br />
3.3. Oktaedarske deformacije<br />
2<br />
3<br />
ε<br />
dx<br />
− dx ⋅ dx ⋅ dx<br />
30<br />
(3.31)<br />
Kada su pronađene glavne deformacije ε1, ε 2 i ε 3 mogu se, slično kao i kod tenzora<br />
naprezanja, naći deformacije na oktaedru, kojem su dijagonale paralelne sa smjerovima<br />
glavnih deformacija.<br />
I ovdje se može deformacija podijeliti na sferni dio ε S - to se ovdje naziva izotropna<br />
deformacija i na distorzioni dio ε D , tj. devijatorsku komponentu deformacija. Bez izvoda daju<br />
se konačni izrazi:<br />
S 1<br />
1<br />
ε = ε okt = ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = ⋅ Iε<br />
(3.32)<br />
3<br />
3<br />
D<br />
ε = γ okt<br />
=<br />
2<br />
3<br />
( ) ( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
ε − ε + ε − ε + ε − ε<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
(3.33)<br />
Kao objašnjenje treba reći da se ukupna deformacija dijeli na izotropnu, koja<br />
predstavlja čistu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez<br />
promjena volumena.<br />
Slika 3.7
Na slici 3.7 prikazane su obje te deformacije, od kojih se prva ostvaruje bez promjena<br />
kuteva a druga bez promjena volumena.<br />
3.4. Ravninsko stanje deformacija<br />
U nizu slučajeva nema deformacije ε33, jer je npr. ravnina O x1 x2 tako ukliještena u<br />
tijelu da se dvije paralelne ravnine ne mogu međusobno pomicati. Tada su<br />
ε = ε = ε = 0<br />
(3.34)<br />
33<br />
13<br />
23<br />
Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente<br />
ε<br />
ij<br />
⎡<br />
⎢ ε<br />
= ⎢ 1<br />
⎢ γ<br />
⎣ 2<br />
11<br />
21<br />
1<br />
2<br />
ε<br />
γ<br />
22<br />
12<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je σ33 = 0, ovdje je ε33 = 0.<br />
31<br />
(3.35)<br />
Relacije između komponenata tenzora naprezanja mogu se, isto kao i naprezanja,<br />
prikazati pomoću Mohrove kružnice deformacija (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri<br />
tome osi ε i γ/2.<br />
2<br />
2<br />
1<br />
11<br />
Slika 3.8<br />
2<br />
12<br />
2
3.5. Brzina deformacije<br />
Ako se pretpostave male deformacije, može se pojednostavljeno naći:<br />
x = x + u<br />
i<br />
0<br />
i<br />
i<br />
Odatle se brzina gibanja točke može naći kao:<br />
0<br />
i<br />
• dxi<br />
dx du •<br />
i<br />
x i = = + = u i =<br />
dt dt dt<br />
S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao:<br />
( + u )<br />
v<br />
i<br />
32<br />
(3.36)<br />
(3.37)<br />
1<br />
ε ij = u i,<br />
j i,<br />
i<br />
(3.38)<br />
2<br />
Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo:<br />
•<br />
ε<br />
ij<br />
≅<br />
.<br />
dε ij<br />
j<br />
dt<br />
Odatle se konačno dobiva:<br />
1 ⎡ d ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎤ ⎡ ∂<br />
∂ ⎤<br />
⎢ ⎜<br />
∂ u u<br />
du<br />
i ⎟<br />
d j 1 dui<br />
=<br />
+<br />
⎜<br />
⎟ ⎥ = ⎢<br />
+<br />
⎥<br />
2 ⎢<br />
⎜ ⎟<br />
⎣<br />
dt ⎝ ∂ x j ⎠ dt ⎝ ∂ xi<br />
⎠ ⎥⎦<br />
2 ⎢⎣<br />
∂ x j dt ∂ xi<br />
dt ⎥⎦<br />
( + v )<br />
(3.39)<br />
• 1<br />
ε ij ≈ v i,<br />
j j,<br />
i<br />
(3.40)<br />
2<br />
Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija.<br />
3.6. Brzina prirasta naprezanja<br />
Na sličan način kao i za brzine deformacija može se pokazati da za tenzor naprezanja<br />
σij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja σ ij = σ ( , t)<br />
Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) možemo napisati:<br />
•<br />
σ ij =<br />
dσ ij<br />
dt<br />
•<br />
ij<br />
x k<br />
(3.41)
4. TEORIJA ELASTIČNOSTI<br />
U "Otpornosti materijala" rješavali smo samo najjednostavnije slučajeve tj.<br />
ravne štapove tako da taj dio mehanike čvrstih tijela često nazivamo "Mehanika štapova". U<br />
"Teoriji elastičnosti" također se kao i u "Otpornosti materijala" promatra promjena stanja na<br />
prezanja i deformacija čvrstog elastičnog tijela pod djelovanje statičkih ili dinamičkih utjecaja<br />
kojima uzroci mogu biti različiti npr. gravitacija, inercija, promjena temperature i drugo. Me<br />
đutim dok se u "Otpornosti materijala" u tumačenju pojedinih pojava polazi od jednostavnijih<br />
prema složenijim, i od pojedinačnih zaključaka na opće zaključke i pravila, u "Teoriji elastič<br />
nosti" se iz općih razmatranja i općih zakonitosti ide na rješavanje pojedinačnih slučajeva.<br />
Kao u "Otpornosti materijala", i u "Teoriji elastičnosti" se pretpostavlja da materija ima svoj<br />
stvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodijeljena po obujmu tijela. Kod svih je pro<br />
blema zajedničko da treba istovremeno zadovoljiti veći broj jednadžbi. Rješavanje problema<br />
postaje teže što je oblik konture tijela i opterećenja na konturi složenije pa se tako više ne<br />
mogu naći točna rješenja nego se zadovoljavamo približnim rješenjima numeričkih metoda<br />
(metode konačnih razlika, metode konačnih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim<br />
je slučajevima povoljnije probleme rješavati eksperimentalnim putem. Sličnost oblika jed<br />
nadžbi u teoriji elastičnosti i elektrici omogućuju razne analogije. Ako se utvrde karakteristike<br />
rješenja diferencijalne jednadžbe na temelju analogne električne pojave može se riješiti pro<br />
blem iz teorije elastičnosti. U rješavanju ravninskih problema neobično se korisnom pokazala<br />
fotoelastičnost, gdje je na modelu izrađenom od posebnog materijala u polariziranom svijetlu<br />
moguće utvrditi stanje naprezanja.<br />
4.1 Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija<br />
Da bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformacija potrebno je neprekinutoj<br />
deformabilnoj sredini (promatranom tijelu) dati određena fizikalna svojstva tj. odrediti veze<br />
između naprezanja i deformacija :<br />
σij = f (εij ) (4.1)<br />
odnosno između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija:<br />
{ } [ C ] { ε }<br />
σ = (4.2)<br />
ij<br />
ij<br />
33
pri čemu je [ C ] - matrica elastičnosti.<br />
Inverzna veza između deformacija i naprezanja glasi:<br />
odnosno:<br />
εij = f -1 (σij ) = g (σij ) , (4.3)<br />
{ } [ S ] { σ }<br />
ε = (4.4)<br />
ij<br />
ij<br />
Općenito se komponente tenzora naprezanja u jednoj točki mogu izraziti kao funkcije<br />
komponenata tenzora deformacija:<br />
σ11= f1 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) σ22= f2 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)<br />
σ33= f3 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ12 = f4 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)<br />
τ23 = f5 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ31 = f6 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)<br />
τ21 = f7 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ32 = f8 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)<br />
τ13 = f9 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) (4.5)<br />
U općem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehničkih materijala može prikazati<br />
beskonačnim redom potencija:<br />
σ1 = c10 + c11ε11 + c12ε2 + c13ε33 + c14ε12 + c15ε23 + c16ε31 + c17ε11 2 + ...........+ c1mε31 n<br />
σ2 = c20 + c21ε11 + c22ε22 + c23ε33 + c24ε12 + c25ε23 + c26ε31 + c27ε11 2 + ..........+ c2mε31 n<br />
σ3 =c30 + c31ε11 + c32ε2 + c33ε33 + c34ε12 + c35ε23 + c36ε31 + c37ε11 2 + ..........+ c3mε31 n<br />
τ12 = c40 + c41ε11 + c42ε21 + ... +c46ε31 + c47ε11 2 + ..........+ c4mε31 n<br />
τ23 = c50 + c51ε11 + c52ε22 + .... +c56ε31 + c57ε11 2 + ..........+ c5mε31 n<br />
τ31 = c60 + c61ε11 + c62ε22 + …. +c66ε31 + c67ε11 2 + ..........+ c6mε31 n<br />
τ21 = c70 + c71ε11 + c72ε22 + .... +c76ε31 + c77ε11 2 + ...........+ c7mε31 n<br />
τ32= c80 + c81ε11 + c82ε22 + .... +c86ε31 + c87ε11 2 + ...........+ c8mε31 n<br />
τ13 = c90 + c91ε11 + c92ε22 + .... +c96ε31 + c97ε11 2 + .......... + c9mε31 n (4.6)<br />
Rješavanje problema tako izraženim vezama je isuviše složeno. Kako pri eksploataciji većine<br />
konstrukcija naprezanja i deformacije ostaju u području linearnosti izostavljaju se članovi s<br />
potencijama različitim od 1, i to je tzv. linearna teorija. Početni članovi cm 0 u gore navedenim<br />
izrazima nisu poznati. Oni se mogu mijenjati od točke do točke tijela, a uzrokuju ih različiti<br />
utjecaji: temperatura prije nego što je tijelo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi,<br />
34
higrometrijsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su početna naprezanja<br />
jednaka nuli:<br />
cm 0 = σm 0 = 0 (4.7)<br />
Pretpostavljamo također da su deformacije povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka<br />
deformiranja, tijelo poprima svoj prvotni oblik. Takovo tijelo od idealno elastičnog materijala<br />
kod kojeg su veze između naprezanja i deformacija linearne nazivamo Hookeovo tijelo.<br />
Danas su već razrađene nelinearne teorije elastičnosti koje uzimaju u obzir<br />
nelinearnost između naprezanja i deformacija (materijalna nelinearnost) ili nelinearnost<br />
između deformacija i derivacija pomaka (geometrijska nelinearnost).<br />
Linearna zavisnost između naprezanja i deformacija te deformacija i derivacija<br />
pomaka dovoljna je ako deformacije nisu suviše velike. Kod većine tehničkih konstrukcija<br />
deformacije ne prelaze 1% pa nas točnost rješenja po linearnoj teoriji malih deformacija može<br />
zadovoljiti.<br />
Veza između komponenata naprezanja i komponenata deformacija po linearnoj teoriji<br />
malih deformacija može se izraziti pomoću 3 4 = 81 koeficijenata:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
τ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
21<br />
31<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡ c<br />
⎢<br />
⎢<br />
c<br />
⎢ c<br />
⎢<br />
⎢ c<br />
= ⎢ c<br />
⎢<br />
⎢ c<br />
⎢ c<br />
⎢<br />
⎢ c<br />
⎢<br />
⎣ c<br />
11<br />
21<br />
31<br />
41<br />
51<br />
61<br />
71<br />
81<br />
91<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
52<br />
62<br />
72<br />
82<br />
92<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
13<br />
23<br />
33<br />
43<br />
53<br />
63<br />
73<br />
83<br />
93<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
54<br />
64<br />
74<br />
84<br />
94<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
15<br />
25<br />
35<br />
45<br />
55<br />
65<br />
75<br />
85<br />
95<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
Kako su posmična naprezanja na međusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o<br />
jednakosti posmičnih naprezanja):<br />
16<br />
26<br />
36<br />
46<br />
56<br />
66<br />
76<br />
86<br />
96<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
17<br />
27<br />
37<br />
47<br />
57<br />
67<br />
77<br />
87<br />
97<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
18<br />
28<br />
38<br />
48<br />
58<br />
68<br />
78<br />
88<br />
98<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
19<br />
29<br />
39<br />
49<br />
59<br />
69<br />
79<br />
89<br />
99<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡ ε<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
21<br />
31<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
12<br />
22<br />
32<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
35<br />
(4.8)<br />
τ = τ , τ = τ , τ = τ<br />
(4.9)<br />
21<br />
12<br />
31<br />
13<br />
32<br />
23<br />
veze između šest komponenata naprezanja i komponenata deformacija izražavamo pomoću<br />
6 2 = 36 koeficijenata:
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
τ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
21<br />
31<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎡ σ 11 ⎤ ⎡ c11<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎢<br />
σ 22 ⎥ ⎢<br />
c21<br />
⎤<br />
⎥ ⎢ σ ⎥ ⎢ 33 c31<br />
⎥<br />
= ⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎢ τ 12 ⎥ ⎢ c41<br />
⎦ ⎢ τ ⎥ ⎢<br />
23 c51<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎢⎣<br />
τ 31 ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
c61<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
52<br />
62<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
U općem slučaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacijama ali i o<br />
kutnim deformacijama dok posmična naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim<br />
deformacijama. Može se pokazati da su koeficijenti matrice [C] izvan dijagonale međusobno<br />
jednaki:<br />
cm n = cn m<br />
čime se broj koeficijenata smanjuje na 21. Ako su poznate komponente tenzora deformacija<br />
Hookeovog materijala pune anizotropije, uz poznavanje 21 koeficijenta mogu se odrediti<br />
komponente tenzora naprezanja.<br />
Materijal pune anizotropije je takav materijal koji ima istaknute fizikalne<br />
karakteristike (npr. modul elastičnosti E, Poissonov koeficijent ν) u tri međusobno kosa<br />
smjera (primjer za takav materijal je triklinski kristal). Kod takvog materijala nije moguće<br />
postaviti niti jednu os simetrije i niti jednu ravninu simetrije ili zrcalenja niti za raspored<br />
materijalnih diskretnih čestica niti za mehanička svojstva. Karakteristično je za takve<br />
materijale da čak i u slučaju malih deformacija, komponente naprezanja zavise od svih<br />
komponenata deformacija i obratno.<br />
Kod materijala koji posjeduju osi ili ravnine simetrije ili ravnine rotacije, broj<br />
koeficijenata se smanjuje. Matrica koeficijenata za materijal s tri ortogonalne osi simetrije<br />
(ortotropno tijelo) smanjuje se na 9:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢ σ<br />
⎢<br />
⎢ τ<br />
⎢ τ<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤ ⎡ c11<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
c12<br />
⎥ ⎢ c13<br />
⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
c<br />
c<br />
c<br />
13<br />
23<br />
33<br />
0<br />
0<br />
0<br />
c<br />
0<br />
0<br />
0<br />
44<br />
0<br />
0<br />
c<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
55<br />
0<br />
13<br />
23<br />
33<br />
43<br />
53<br />
63<br />
0 ⎤ ⎡ ε<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
ε<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
⎥ ⎢<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
⎥ ⎢<br />
c66<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
Karakteristično je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim)<br />
deformacijama, a pomična naprezanja o kutnim (posmičnim) deformacijama.<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
54<br />
64<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
15<br />
25<br />
35<br />
45<br />
55<br />
65<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
16<br />
26<br />
36<br />
46<br />
56<br />
66<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡ ε<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢ ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
36<br />
(4.10)<br />
(4.11)<br />
(4.12)
Broj koeficijenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima<br />
elastične karakteristike jednake. Za izotropno tijelo s jednakim karakteristikama u tri<br />
ortogonalna smjera (npr. čelik), broj koeficijenata se smanjuje na 3 te matrica koeficijenata<br />
glasi:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢ σ<br />
⎢<br />
⎢ τ<br />
⎢ τ<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤ ⎡ c11<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
c12<br />
⎥ ⎢ c12<br />
⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
11<br />
12<br />
0<br />
0<br />
0<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
12<br />
11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
c<br />
0<br />
0<br />
0<br />
44<br />
0<br />
0<br />
c<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
44<br />
0<br />
0 ⎤ ⎡ ε<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
ε<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
⎥ ⎢<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
0 ⎥ ⎢ ε<br />
⎥ ⎢<br />
c44<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
Samo za izotropne materijale vrijedi da normalna naprezanja ovise o normalnim<br />
deformacijama, a posmična naprezanja o posmičnim deformacijama.<br />
Može se dokazati da su samo dva koeficijenta c11 i c12 nezavisna, dok je treći c44<br />
zavisan, a izraziti se mogu pomoću tzv. Laméovih koeficijenata elastičnosti λ i μ :<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
37<br />
(4.13)<br />
c = λ + 2 μ , c = λ , c = c - c = 2 μ<br />
(4.14)<br />
11<br />
12<br />
44<br />
11<br />
12<br />
Elastične konstante materijala: modul elastičnosti E , Poissonov koeficijent ν i modul<br />
posmika G , vezane su Laméovim koeficijentima slijedećim relacijama:<br />
ν E<br />
λ =<br />
, μ = G<br />
(4.15)<br />
ν<br />
( 1 + ) ( 1 − 2)<br />
Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora<br />
deformacija, jednadžba 4.2 { } [ C ]{ ε }<br />
odnosno:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢ σ<br />
⎢<br />
⎢ τ<br />
⎢ τ<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
=<br />
E<br />
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν<br />
)<br />
σ = , glasi:<br />
ij<br />
⎡ ( 1 − ν )<br />
⎢<br />
⎢<br />
ν<br />
⎢ ν<br />
⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
E<br />
σ =<br />
+<br />
11<br />
ij<br />
ν<br />
( 1 − ν )<br />
[ ( 1 − ν ) ε 11 + ν ε 22 ν ε 33 ]<br />
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν<br />
)<br />
ν<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ν<br />
ν<br />
( 1 − ν )<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( 1<br />
−<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2ν<br />
)<br />
0<br />
0<br />
( 1<br />
−<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2ν<br />
)<br />
0<br />
0 ⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
( 1 − 2ν<br />
) ⎥⎦<br />
⎡ ε<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢ ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(4.16)<br />
(4.17)
E<br />
σ =<br />
+<br />
22<br />
33<br />
[ ( 1 − ν ) ε 22 + ν ε 33 ν ε 11 ]<br />
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν<br />
)<br />
E<br />
σ =<br />
+<br />
12<br />
[ ( 1 − ν ) ε 33 + ν ε 11 ν ε 22 ]<br />
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν<br />
)<br />
E<br />
E E<br />
τ =<br />
=<br />
ε = 2•<br />
ε =<br />
23<br />
[ ( 1 − 2ν<br />
) ε 12 ]<br />
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν<br />
)<br />
23<br />
12<br />
( 1 + ν ) 2 ( 1 + ν )<br />
12<br />
G γ<br />
12<br />
38<br />
(4.18)<br />
(4.19)<br />
(4.20)<br />
G γ<br />
τ = (4.21)<br />
G γ<br />
τ = (4.22)<br />
31<br />
31<br />
Inverzna je veza komponente tenzora deformacija izražena pomoću komponenata<br />
tenzora naprezanja:<br />
odnosno:<br />
− 1<br />
-1<br />
[ C ] { σ } = [ C ] [ C ] { ε }<br />
− 1 [ C ] { σ } = { ε }<br />
{ } [ S ] { σ }<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
(4.23)<br />
(4.24)<br />
ε = (4.4)<br />
Poznavajući koeficijente cij matrice elastičnosti [C] mogu se inverzijom odrediti<br />
koeficijenti sij kvadratne matrice [ S ]:<br />
⎡ ε<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢ ε<br />
⎢ ε<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
odnosno :<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
1<br />
=<br />
E<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
− ν<br />
⎢<br />
⎢ − ν<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
− ν<br />
1<br />
− ν<br />
1<br />
ε 11 = 11 22 −<br />
E<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− ν<br />
− ν<br />
( σ − ν σ ν σ )<br />
1<br />
ε 22 = 22 33 −<br />
E<br />
33<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( σ − ν σ ν σ )<br />
1<br />
ε 33 = 33 11 −<br />
E<br />
11<br />
( σ − ν σ ν σ )<br />
22<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( 1 + ν )<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( 1 + ν )<br />
0<br />
0 ⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
( 1 + ν ) ⎦<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢ σ<br />
⎢<br />
⎢ τ<br />
⎢ τ<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(4.25)<br />
(4.26)<br />
(4.27)<br />
(4.28)
( 1 + ν )<br />
1 + ν<br />
2<br />
1<br />
τ 12<br />
ε 12 = τ 12 γ 12 = 2•<br />
ε 12 =<br />
τ 12 = τ 12 ⇒ γ 12 =<br />
(4.29)<br />
E<br />
E G<br />
G<br />
τ 23<br />
γ 23 = (4.30)<br />
G<br />
τ 31<br />
γ 31 = (4.31)<br />
G<br />
4.2. Ravninsko stanje naprezanja<br />
σ3 = τ31 = τ32 = 0 (4.32)<br />
ε<br />
33<br />
1<br />
1<br />
≠ ⇒ ε 33 = 33 22 11<br />
22 ν σ<br />
E<br />
E<br />
( σ − ν σ − ν σ ) = ( − ν σ − ) ≠ 0<br />
0 11<br />
1<br />
ε 11 = 11 −<br />
E<br />
( σ ν σ )<br />
1<br />
ε 22 = 22 −<br />
E<br />
ε<br />
12<br />
ili inverzna veza:<br />
22<br />
( σ ν σ )<br />
11<br />
39<br />
(4.33)<br />
(4.34)<br />
(4.35)<br />
1 + ν<br />
= τ 12<br />
(4.36)<br />
E<br />
E<br />
σ 11 = 2 11 +<br />
1 − ν<br />
( ε ν ε )<br />
E<br />
σ 22 = 2 22 +<br />
1 − ν<br />
τ<br />
12<br />
E<br />
= ε<br />
1 + ν<br />
22<br />
( ε ν ε )<br />
12<br />
=<br />
E<br />
11<br />
( 1 − ν )<br />
1 − ν<br />
odnosno u matričnom obliku:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
12<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
=<br />
E<br />
1 − ν<br />
2<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
ν<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
0<br />
2<br />
ν<br />
1<br />
0<br />
ε<br />
12<br />
0 ⎤ ⎡ ε<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
ε<br />
1 − ν ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
22<br />
12<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(4.37)<br />
(4.38)<br />
(4.39)<br />
(4.40)
4.3. Ravninsko stanje deformacija<br />
ε3 = ε31 = ε32 = 0 (4.41)<br />
σ<br />
ε<br />
33<br />
33<br />
≠<br />
0<br />
1<br />
=<br />
E<br />
⇒<br />
( σ − ν σ − ν σ ) = 0 ⇒ ( σ − ν σ − ν σ ) = 0 ⇒ σ = ν ( σ + σ )<br />
33<br />
22<br />
Transformacijama se dobivaju izrazi za deformacije:<br />
pri čemu je:<br />
2<br />
11<br />
33<br />
22<br />
11<br />
*<br />
( σ ν σ )<br />
33<br />
11<br />
22<br />
40<br />
(4.42)<br />
1 − ν ⎛<br />
ν<br />
⎞<br />
1<br />
ε 11 = ⎜ σ 11 − σ 22 ⎟ ⇒ ε 11 =<br />
* 11 − 22<br />
(4.43)<br />
E ⎝ 1 − ν ⎠<br />
E<br />
2<br />
*<br />
( σ ν σ )<br />
1 − ν ⎛<br />
ν<br />
⎞<br />
1<br />
ε 22 = ⎜ σ 22 −<br />
σ 11 ⎟ ⇒ ε 22 =<br />
* 22 − 11<br />
(4.44)<br />
E ⎝ 1 − ν ⎠<br />
E<br />
( 1 + ν )<br />
1 + ν<br />
2<br />
1<br />
ε 12 = τ 12 ⇒ 2ε<br />
12 =<br />
τ 12 ⇒ γ 12 = τ<br />
* 12<br />
(4.45)<br />
E<br />
E<br />
G<br />
E<br />
*<br />
E<br />
=<br />
2<br />
(4.46)<br />
1 − ν<br />
ν<br />
ν =<br />
1 − ν<br />
(4.47)<br />
G * = G. (4.48)<br />
Inverzna veza komponenata naprezanja izraženih pomoću komponenata deformacija u<br />
matričnom obliku je:<br />
⎡ σ<br />
⎢<br />
⎢<br />
σ<br />
⎢⎣<br />
τ<br />
11<br />
22<br />
12<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
=<br />
1<br />
⎡<br />
*<br />
E<br />
* 2<br />
− ν<br />
⎥ ⎥⎥<br />
*<br />
1 ν 0<br />
⎢ *<br />
⎢ν<br />
1 0<br />
*<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
1 − ν<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡ ε<br />
⎢<br />
⎢<br />
ε<br />
⎢⎣<br />
ε<br />
11<br />
22<br />
12<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, što omogućuje<br />
analogno rješavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacija.<br />
(4.49)
5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE<br />
Zadatak reologije je pronalaženje analitičkih veza između komponenata tenzora<br />
deformacija i komponenata tenzora naprezanja. Svrha je posve praktična, što znači da se<br />
dobivene veze koriste u tehnici za zaključivanje o ponašanju materijala i konstrukcija.<br />
Reologija se u prvom redu oslanja na rezultate ispitivanja mehaničkih svojstava pojedinih<br />
materijala s jedne strane, a na postavke i rezultate teorijske mehanike <strong>kontinuuma</strong> s druge<br />
strane.<br />
Stvarno ponašanje pojedinih materijala ponekad je vrlo složeno, pa su i veze<br />
deformacija i naprezanja složenije. Klasična <strong>mehanika</strong> <strong>kontinuuma</strong> poznavala je dvije vrste<br />
materijala - elastična čvrsta tijela i idealne fluide, ali su detaljnija ispitivanja pokazala da u<br />
skupini čvrstih materijala gotovo uvijek ima ili viskoznih ili drugih neelastičnih pojava, pa<br />
sadašnja <strong>reologija</strong> posebno razmatra upravo takve pojave.<br />
Uz navedena dva idealna tijela - elastično Hookeovo tijelo i Newtonov fluid - postoje i<br />
neka druga tipična ponašanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoriju<br />
elastičnosti i mehaniku fluida nastala i teorija plastičnosti, čije rezultate koristi statika čeličnih<br />
i betonskih konstrukcija. Kao posebno poglavlje u teoriji plastičnosti uvodi se plastično<br />
ponašanje nekih tijela i tla.<br />
Reologija polazi od najjednostavnijih tijela, čije se ponašanje može idealno prikazati s<br />
jednostavnim matematskim modelima (analitičkim vezama), a pri tome se takav matematski<br />
model vizualizira, tj. daje se modelu fizički smisao. Tako se na primjer ponašanje elastičnog<br />
tijela može simbolizirati ponašanjem elastičnog pera, a da pri tome to pero nema nikakve<br />
veze s promatranim materijalom i problemom koji se razmatra.<br />
Od fizičkih veličina koje treba uzeti u račun imamo:<br />
ε ij tenzor deformacija<br />
•<br />
ε<br />
ij<br />
tenzor brzina deformacija<br />
σ ij tenzor naprezanja<br />
•<br />
σ<br />
ij<br />
tenzor brzine prirasta naprezanja.<br />
Za sva četiri tenzora treba posebno voditi računa o sfernoj i devijatorskoj komponenti<br />
svakog tenzora.<br />
Ako se istoimenim indeksima označe sferne komponente, a s raznoimenim<br />
devijatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadžbe:<br />
41
C ⋅ ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ<br />
1<br />
5<br />
•<br />
kk<br />
• .<br />
D<br />
ij<br />
2<br />
6<br />
kk<br />
D<br />
ij<br />
3<br />
7<br />
•<br />
kk<br />
•<br />
D<br />
ij<br />
C ⋅ ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ<br />
pri čemu se pretpostavlja:<br />
4<br />
7. da je materijal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama<br />
8. da su deformacije infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile složenije)<br />
8<br />
kk<br />
9. da su veze izotropne tj. da su koeficijenti C1 do C8 skalari odnosno konstante za<br />
D<br />
ij<br />
linearne veze ili funkcije invarijanata tenzora kada su veze između naprezanja i<br />
deformacija “kvazilinearne”.<br />
Prva jednadžbi naziva se obujamska (volumetrijska) jednadžba i daje vezu između<br />
42<br />
(5.1)<br />
(5.2)<br />
obujamske deformacije εv i srednjeg normalnog naprezanja σ S kao i njihovim derivacijama po<br />
vremenu. Druga distorzijska jednadžba predstavlja vezu između devijatorskog tenzora<br />
deformacije - distorzije i devijatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacijama po<br />
vremenu. Sa svake strane po jedan je član različit od nule samo kod osnovnih materijala.<br />
Osnovni idealni materijalu su: idealno elastičan, idealno plastičan i viskozan materijal.<br />
Karakteristična svojstva osnovnih idealnih materijala prikazuje se elementarnim mehaničkim<br />
modelima za slučaj aksijalnog naprezanja uz definiranje veza između naprezanja i<br />
deformacija. Za prikaz ponašanja materijala sa složenim mehaničkim svojstvima<br />
upotrebljavaju se reološki modeli.<br />
5.1. Materijali idealnih svojstava<br />
5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal<br />
Uz pretpostavku idealne linearne veze između deformacija i naprezanja<br />
(C1 = C3 = C5 = C7 = 0) konstitutivne jednadžbe glase:<br />
C ⋅ ε = C ⋅ σ<br />
(5.3)<br />
2<br />
6<br />
kk<br />
D<br />
ij<br />
4<br />
8<br />
kk<br />
D<br />
ij<br />
C ⋅ ε = C ⋅ σ<br />
(5.4)<br />
Uvodeći obujamski modul kompresije K kao vezu između obujamske deformacije i srednjeg<br />
normalnog naprezanja obujamsku jednadžbu možemo napisati kao:<br />
kk<br />
K σ<br />
1<br />
ε = ⋅<br />
3 ⋅<br />
kk<br />
(5.5)
pri čemu je:<br />
E<br />
K = (5.6)<br />
3 ⋅ ( 1 − 2ν<br />
)<br />
izražen preko modula elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν.<br />
Za devijatorske komponente modul posmika G je veza između tangencijalnog<br />
naprezanja i kuta klizanja:<br />
pa uz:<br />
τ ij<br />
γ ij =<br />
(5.7)<br />
G<br />
γ ij<br />
ε ij =<br />
(5.8)<br />
2<br />
distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:<br />
D<br />
D ij<br />
ij =<br />
2 ⋅ G<br />
σ<br />
ε . (5.10)<br />
Sređivanjem i razvijanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadžbe:<br />
σ<br />
ij<br />
= 2 ⋅ μ ⋅ ε<br />
ij<br />
+ λ ⋅ δ<br />
ij<br />
⋅ ε<br />
U slučaju jednoosnog naprezanja:<br />
kk<br />
;<br />
δ<br />
ij<br />
δ<br />
= 1 za i = j;<br />
ij<br />
( ε + ε<br />
)<br />
11 2 ⋅ μ ⋅ ε 11 + λ ⋅ 11 22 ε 33<br />
= 0 za i ≠ j<br />
43<br />
(5.11)<br />
σ = +<br />
(5.12)<br />
σ 12 = 2 ⋅ μ ⋅ ε 12<br />
(5.13)<br />
U četvrtom poglavlju detaljno su prikazane veze između komponenata tenzora<br />
naprezanja i komponenata tenzora deformacija za elastična tijela.<br />
Slika 5.1
Hooke-ovo tijelo simbolički se u reološkim modelima prikazuje u formi elastičnog<br />
pera (slika 5.1). U reološkim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformaciju<br />
linearnog elementa (npr. vlačnog štapa), može se odnos deformacije i pripadnog naprezanja<br />
pokazati kao:<br />
σ<br />
ε =<br />
(5.14)<br />
E<br />
Za idealno elastično tijelo pretpostavlja se da deformacija nastupa trenutno i to u<br />
konačnom iznosu, pa između komponenata tenzora brzine deformacija i brzine prirasta<br />
naprezanja postoje iste veze kao i za odgovarajuća statička stanja. Ponašanje materijala<br />
može se prikazati u obliku dijagrama (slika 5.2) koji povezuju deformaciju odnosno<br />
naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformacije i naprezanja (sile) za<br />
stalno opterećenje u trajanju t1, a za rastuće i padajuće naprezanje na slici b). Pri ovakvim<br />
se prikazima uvijek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu<br />
oscilacije.<br />
Slika 5.2<br />
5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal<br />
Saint Venant je predložio model idealno kruto-plastičnog materijala koji ima svojstva da<br />
ne pokazuje nikakve deformacije ε dok naprezanje σ ne dosegne izvjesnu kritičnu<br />
vrijednost:<br />
σ 〈 σ Y ε = 0<br />
(5.15)<br />
44
Nakon što je dosegnuto kritično naprezanje σy:<br />
σ = σ<br />
ε ≠ 0<br />
(5.16)<br />
Y<br />
materijal se plastično deformira.<br />
Slika 5.3 Slika 5.4<br />
Veličina deformacije (slika 5.3) pri tome nije određena nikakvim odnosom s<br />
intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaciji ili<br />
deformacijama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fizički model tijela savršeno<br />
plastičnih svojstava, a sastoji se od dviju ploča koje su međusobno pritegnute i među kojima<br />
postoji Coulomb-ovo (suho) trenje:<br />
R = f ⋅ R<br />
(5.17)<br />
T<br />
N<br />
Sila trenja popušta kada sila F= σ ∙ A pređe graničnu silu trenja.<br />
5.1.3. Viskozan fluid<br />
Da bi definirali Newtonov materijal treba u osnovne konstitutivne jednadžbe uvrstiti<br />
C2 = C4 = C6 = C7 = 0. Za obujamsku jednadžbu to znači da pri izvjesnoj brzini prirasta<br />
sferne komponente tenzora naprezanja postoji odgovarajuća brzina deformacija. Nakon što<br />
prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformacije pa jednadžba (5.1) glasi:<br />
C<br />
1<br />
•<br />
⋅ ε = C ⋅ σ<br />
kk<br />
3<br />
•<br />
odnosno izražena preko modula kompresije K:<br />
kk<br />
45<br />
(5.18)<br />
• 1 •<br />
ε kk = ⋅ σ kk . (5.18)<br />
3 ⋅ K
Ova jednadžba odnosi se na elastičnu promjenu obujma fluida pod utjecajem<br />
hidrostatičkog pritiska. Ova veza kod plinova zamjenjuje se jednadžbom stanja, jer su<br />
promjene uslijed temperature značajnije.<br />
Distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:<br />
D<br />
5 ⋅ ij<br />
•<br />
C ε = C ⋅ σ<br />
8<br />
D<br />
ij<br />
Supstitucijom poznate relacije između brzine prirasta deformacija v i,<br />
j i devijatorske<br />
komponente tenzora naprezanja D<br />
σ ij za tekućine u jednadžbu (5.19):<br />
dobiva se:<br />
j<br />
46<br />
(5.19)<br />
D ∂ vi<br />
σ ij = μ<br />
(5.20 )<br />
∂ x<br />
•<br />
D 1<br />
ε ij = ⋅ σ<br />
2 ⋅ μ<br />
D<br />
ij<br />
(5.21)<br />
pri čemu je μ Newtonov koeficijent viskoznosti. Utjecaj sferne deformacije je vrlo malen jer<br />
1<br />
se tekućine smatraju nestišljivim (K = ∞). Uvodeći srednji normalni pritisak − p = σ ii , uz<br />
3<br />
•<br />
• D<br />
ε kk = 0 tj. D<br />
ε ij = ε u izraz za tenzor naprezanja<br />
σ<br />
ij<br />
pri čemu je:<br />
δ<br />
ij<br />
S<br />
ij<br />
D<br />
ij<br />
D<br />
ij<br />
= σ + σ = δ ⋅ p + σ = - δ ⋅ p + 2 ⋅ μ ⋅ ε<br />
⎡ 1<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
ij<br />
Ako se u diferencijalnu jednadžbu ravnoteže:<br />
ij<br />
•<br />
D<br />
ij<br />
(5.22)<br />
(5.23)<br />
σ + ρ ⋅ = 0<br />
(5.24)<br />
ij , j<br />
f i<br />
uvrste inercijske sile, te izrazi za ubrzanje i brzinu deformacije:<br />
f<br />
i<br />
=<br />
f<br />
0<br />
i<br />
+<br />
a<br />
i<br />
=<br />
f<br />
0<br />
i<br />
d vi<br />
+<br />
d t<br />
dobiju se Navier-Stokes-ove jednadžbe gibanja viskoznog fluida:<br />
∂<br />
∂<br />
v<br />
t<br />
i<br />
0 1 μ<br />
+ v i,<br />
j • v j = f i − p,<br />
i + ( vi,<br />
jj + v<br />
ρ ρ<br />
j,<br />
ij<br />
)<br />
(5.25)<br />
(5.26)
Slika 5.5<br />
Mehanički reološki model Newtonovog materijala prikazuje se hidrauličkim<br />
odbojnikom (slika 5.5), probušenim klipom koji se pomiče unutar cilindra ispunjenog<br />
tekućinom. Takav cilindar, kakav je približno amortizer automobila, ponaša se kao viskozno<br />
tijelo pa za linearan slučaj imamo da je:<br />
odnosno<br />
∂ ε<br />
∂ t<br />
=<br />
σ<br />
μ<br />
47<br />
(5.27)<br />
σ<br />
ε = ⋅ t<br />
(5.28)<br />
μ<br />
Idealno viskozno tijelo povećava deformaciju tijekom vremena tako dugo dok traje<br />
opterećenje (slika 5.6). Nakon rasterećenja ostaje trajna, nepovratna deformacija.<br />
Slika 5.6
5.2. Reološki modeli s dva elementa<br />
U reologiji treba obuhvatiti materijale sa poznatim mehaničkim-reološkim svojstvima, ma<br />
kakvi bili odnosi naprezanja, deformacija i vremena. Očigledno da se ponašanje materijala<br />
pod naprezanjima ne može opisati samo sa ova tri osnovna modela. Složeni reološki<br />
modeli su tako zamišljeni da mogu pružiti kvalitativnu sliku o ponašanju različitih<br />
materijala pod opterećenjem. Radi boljeg opisivanja mehaničkih karakteristika pojedinih<br />
materijala međusobno povezujemo dva, tri pa i više osnovnih modela “H”, St. V” i “N”.<br />
Uključivanje više elemenata koji ulaze u model ponašanja nekog materijala dovodi do<br />
potrebe određivanja većeg broja konstanata koje opisuju djelovanje svakog elementa u<br />
sklopu, a time se gubi pouzdanost konačnih rezultata npr. kod numeričkih metoda<br />
proračuna a pogotovo iznalaženja analitičkih rješenja. Postoje dva načina na koja se mogu<br />
međusobno povezati dva osnovna modela i to su:<br />
2. paralelno jedan kraj drugoga i<br />
3. u seriju jedan za drugim.<br />
U analizi ovih modela polazi se od činjenice da su kod paralelnog spajanja produženja svuda<br />
jednaka, dok je ukupno naprezanje jednako zbroju komponentnih naprezanja. Kod serijskog<br />
su spajanja naprezanje u svim dijelovima jednaka, dok je produženje jednako zbroju<br />
pojedinačnih.<br />
5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal<br />
Kelvin i Voigt pretpostavljaju materijal koji polagano dosiže konačnu deformaciju,<br />
zadržava ju duže vrijeme bez daljnjeg primjetnog povećanja, a prilikom rasterećenja ta<br />
deformacija se polagano gubi i tijelo se vraća u prvobitni oblik. Takovo ponašanje<br />
materijala može se objasniti istovremenim djelovanjem elastične i viskozne komponente.<br />
U trenutku nanošenja opterećenja cijelo opterećenje preuzima samo viskozni element. U<br />
svakom trenutku deformacija oba elementa je ista:<br />
ε = ε<br />
(5.29)<br />
H<br />
N<br />
Popuštanjem viskoznog elementa se sve više angažira elastični element, tako dugo dok<br />
na kraju cijelo opterećenje ne preuzme elastični element u modelu. Na slici 5.7 prikazane su<br />
dvije moguće kombinacije paralelnog spajanja osnovnih modela (Hooke-ovog i Newton-<br />
ovog) koji se simbolički označava kao:<br />
K = H || N<br />
48
Slika 5.7<br />
Za ovaj se model može ponašanje prikazati konstitutivnim jednadžbama s time da se u<br />
obujamskoj jednadžbi zanemaruje isčezavajuća viskozna promjena obujma, pa je dakle C1<br />
= C3 = 0. U drugoj distorzijskoj jednadžbi otpada promjena naprezanja, pa je samo C7 = 0,<br />
te imamo:<br />
C ⋅ ε = C ⋅ σ<br />
(5.30)<br />
2<br />
kk<br />
D<br />
5 ⋅ ij<br />
•<br />
4<br />
6<br />
kk<br />
D<br />
ij<br />
C ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ<br />
8<br />
D<br />
ij<br />
Opće rješenje iz kojega se mogu poslije izvesti i rješenja za neke probleme raspodjele<br />
deformacija i naprezanja u viskoelastičnom kontinuumu glasi:<br />
1<br />
ε ⋅<br />
3 ⋅ K<br />
μ<br />
G<br />
49<br />
(5.31)<br />
kk = σ kk<br />
(5.32)<br />
D<br />
⋅ ε ij<br />
•<br />
+ ε<br />
D<br />
ij<br />
=<br />
1<br />
⋅ σ<br />
2 ⋅ G<br />
D<br />
ij<br />
Svedeno na linearni slučaj – aksijalno opterećen štap jednadžba (5.32) nema utjecaj, dok<br />
druga daje:<br />
σ = E ⋅ ε + μ ⋅ ε ; ε =<br />
•<br />
•<br />
dε<br />
dt<br />
(5.33)<br />
(5.34)
Slika 5.8<br />
Pretpostavimo slučaj da puno opterećenje djeluje trenutno u cijelom iznosu i zadržava<br />
se kroz vrijeme t1. Iz općeg se rješenja (5.34) za linearni slučaj dobiva:<br />
• E σ<br />
ε + ⋅ ε =<br />
μ μ<br />
Rješenje u eksponencijalnom obliku:<br />
0<br />
50<br />
(5.35)<br />
⎛ E<br />
σ<br />
− × t ⎞<br />
0<br />
= ⋅<br />
⎜<br />
μ<br />
ε ( t ) 1 − e<br />
⎟<br />
E ⎜<br />
⎟<br />
(5.36)<br />
⎝<br />
⎠<br />
kao rezultat daje asimptotsko približavanje deformacije konačnoj deformaciji koja je jednaka<br />
σ 0<br />
čistoj elastičnoj deformaciji<br />
E<br />
dolazi do postepenog nestajanja deformacije:<br />
ε<br />
=<br />
ε<br />
t<br />
1<br />
⋅ e<br />
σ 0<br />
− •<br />
μ<br />
( t − t )<br />
1<br />
(slika 5.8). Ako se u trenutku t = t1 prekine opterećivanje,<br />
t 〉 t<br />
5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid<br />
1<br />
(5.37)<br />
Na slici 5.9 je prikazan Maxwell-ov model koji se sastoji od Hooke-ovog i Newton-<br />
ovog tijela povezanih u seriju i simbolički označenog:<br />
M = N – H
Slika 5.9<br />
Maxwell je opisao i dao rješenja za materijal koji ima ograničena elastična svojstva a<br />
kojemu deformacije mogu rasti bez ograničenja, budući da ima karakteristike fluida. U<br />
obujamskoj konstitutivnoj jednadžbi se isto kao i u prethodnom slučaju konstatira da se<br />
obujamska deformacija ostvaruje praktički trenutno, dakle neovisno o brzini prirasta<br />
naprezanja. U distorzijskoj jednadžbi treba prikazati da se materijal ponaša kao fluid, što<br />
znači da sam tenzor brzine deformacija ovisi o devijatorskom dijelu tenzora naprezanja i o<br />
tenzoru brzina prirasta naprezanja. Ovo dovodi do konstitutivnih jednadžbi oblika:<br />
C ⋅ ε = C ⋅ σ<br />
(5.38)<br />
2<br />
5<br />
kk<br />
•<br />
D<br />
ij<br />
4<br />
7<br />
kk<br />
•<br />
D<br />
ij<br />
C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ<br />
i njihovog rješenja:<br />
1<br />
ε ⋅<br />
3 ⋅ K<br />
8<br />
D<br />
ij<br />
51<br />
(5.39)<br />
kk = σ kk<br />
(5.5)<br />
•<br />
D 1 •<br />
D 1<br />
ε ij = ⋅ σ ij + ⋅ σ<br />
2 ⋅ G 2 ⋅ μ<br />
D<br />
ij<br />
Za linearni element – štap može se napisati:<br />
(5.40)<br />
σ 0 1<br />
ε = + ⋅ σ 0 ⋅ t<br />
(5.41)<br />
E μ<br />
Pri tome se zanemaruje prirast naprezanja •<br />
σ<br />
(kod promatranja statičkih modela<br />
pretpostavlja se da se opterećenje nanosi dovoljno polagano da ne izaziva oscilacije). Na slici<br />
5.10 prikazan je vremenski tijek deformacija Maxwell-ovog tijela, uz pretpostavku da se<br />
cijelo opterećenje nanosi odjednom. Elastična deformacija nastaje odmah, a nakon toga se<br />
tijelo deformira tako dugo dok traje opterećenje. Nakon rasterećenja vraća se samo elastični<br />
dio deformacije, dok viskozni ostaje kao trajna deformacija.
Slika 5.10<br />
Maxwell-ovo tijelo pokazuje karakteristično ponašanje prilikom nanašanje određene<br />
deformacije ε0 i zadržavanja te deformacije konstantnom (slika 5.11). Iz jednadžbe (5.41) za<br />
t = 0 početno naprezanje je σ0 = ε0 ∙E. Zbog viskoznih svojstava tijela dolazi do postepenog<br />
rasterećivanja tj. relaksacije. Ako se u vezu deformacije i naprezanja, jednadžbu (5.41) uvrsti<br />
ε = ε0 = konstantno dobivamo:<br />
ε<br />
0<br />
= σ ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E<br />
1 ⎞<br />
+ ⋅ t ⎟<br />
μ ⎠<br />
→<br />
σ ( t ) = ε<br />
Nakon vremena t1 preostalo naprezanje iznosi:<br />
σ<br />
t<br />
=<br />
ε<br />
0<br />
μ<br />
μ<br />
+<br />
E<br />
t1<br />
0<br />
μ<br />
μ<br />
+ t<br />
E<br />
dok nakon duljeg vremena (t→∞) naprezanje u tijelu potpuno isčezava. Ovo vrijedi u<br />
potpunosti za ponašanje metala prilikom žarenja, a djelomično za beton u području malih<br />
deformacija.<br />
52<br />
(5.42)<br />
(5.43)
5.2.3. Elastoplastičan materijal<br />
Slika 5.11<br />
Serijskim spajanje elastičnog Hooke-ovog i idealno plastičnog Saint Venant-ovog<br />
tijela (slika 5.12) dobiva se tijelo svojstava kako su ga definirali Prandtl i Reuss. Simbolička<br />
oznaka takvog modela je:<br />
R = H – St. V<br />
Slika 5.12<br />
Za linearan odnos deformacija i naprezanja tijelo zadržava oba svojstva. Ako je<br />
naprezanje manje od kritičnog deformacije ostaju u granicama Hooke-ovog zakona<br />
1<br />
σ 〈 σ Y ε = ⋅ σ<br />
(5.44)<br />
E<br />
Ako je naprezanje jednako kritičnom σY onda se deformacija povećava, i ne ovisi o<br />
intenzitetu naprezanja nego o deformaciji susjednih elemenata. Odnosi naprezanja i<br />
deformacija tijekom vremena za slučajeve σ < σY i σ = σY pokazani su na slici 5.13.<br />
Naprezanje veće od kritičnog σ > σY nije moguće.<br />
53
5.3. Složeni reološki modeli više elemenata<br />
Slika 5.13<br />
U daljnjem tekstu bit će prikazano nekoliko složenih reoloških modela i razmatrat će se<br />
linearni odnos deformacija i naprezanja.<br />
5.3.1. Bingham-ov model<br />
Kod Bingham-ovog modela (slika 5.14) paralelno spojeni St. Venant-ov i Newton-ov<br />
model, serijski su spojeni s Hooke-ovim modelom. Shematski se može označiti:<br />
B = H – (St.V || N).<br />
Slika 5.14<br />
54
Slika 5.15<br />
Karakterističan dijagram deformacija i naprezanja u ovisnosti o vremenu prikazan je na<br />
slici 5.15. Ponašanje mu se može opisati u dva područja:<br />
σ<br />
) σ 〈 σ<br />
ε =<br />
(5.45)<br />
E<br />
a Y<br />
b )<br />
σ Y σ<br />
σ = σ Y ε = + ⋅ t<br />
(5.46)<br />
E μ<br />
U pogledu ponašanja podsjeća na elastoplastičan materijal, ali je trajna deformacija<br />
vezana uz vremensko trajanje opterećenja.<br />
5.3.2. Lethersich-ov model<br />
Elastični “sol” predstavlja materijal u kojem se naprezanja preko viskozne komponente<br />
prenose na čvrstu komponentu. Simbolički označen model prikazan na slici 5.16<br />
L = N – ( H || N )<br />
predstavlja serijski spoj Newton-ovog i Kelvinov-og modela (u dijelu literature se naziva<br />
Schofield-ov model ili model Scott Blair-a). Tijek deformacije za stalno opterećenje σ0 u<br />
trajanju t1 prikazan je na slici 5.17. Ukupna deformacija ε jednaka je zbroju Newton-ove i<br />
Kelvinov-e deformacije:<br />
55
⎛ E<br />
− •t<br />
σ σ<br />
⎞<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎜<br />
μ 2<br />
ε t 1 − e<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
(5.47)<br />
μ 1 E<br />
⎝<br />
⎠<br />
Slika 5.16<br />
Slika 5.17<br />
Kao i kod drugih modela u kojima prevladava viskozna komponenta i ovdje se<br />
prilikom nanašenja određene deformacije te uz njezino zadržavanje ε = ε0 = konst. (slika<br />
5.18), naprezanje pomalo gubi da bi se za t = ∞ asimptotski približavalo nuli prema izrazu:<br />
56
σ<br />
=<br />
0<br />
E<br />
− •t<br />
t μ<br />
μ<br />
1<br />
+<br />
1<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
1 − e<br />
E ⎜<br />
⎝<br />
5.3.3. Schwedoff-ov model<br />
ε<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Slika 5.18<br />
57<br />
(5.48)<br />
Po svojstvima ovaj model predstavlja tzv. plastičan gel. Pod gelovima se smatraju<br />
materijali u kojima prevladava čvrsta faza. Simbolički se može prikazati kao paralelan spoj<br />
Saint Venant-ovog i Maxwell-ovog modela, serijski spojen s Hooke-ovim modelom:<br />
S = H – [ St.V || ( H-N )]<br />
Slika 5.19<br />
Ispod kritičnog naprezanja (σ < σY) materijal se ponaša elastično, odnos deformacija i<br />
naprezanja je linearan (slika 5.19) dok pri kritičnom naprezanju σ = σY počinje viskozna
deformacija. Nakon rasterećenja povratni je samo elastični dio deformacije dok viskozna<br />
ostaje kao trajna deformacija (slika 5.20).<br />
5.3.4. Burgerov model<br />
Slika 5.20<br />
To je kombinacija Maxwell-ovog i Kelvin-ovog modela serijski spojenih:<br />
B = M – K = ( H1 – N1 ) - ( H2 || N2 )<br />
Slika 5.21<br />
58
Ukupna deformacija jednaka je zbroju:<br />
odnosno<br />
ε = ε + ε<br />
(5.49)<br />
M<br />
K<br />
⎛ E2<br />
− •t<br />
σ σ σ<br />
⎞<br />
= + ⋅ + ⋅<br />
⎜<br />
μ 2<br />
ε t 1 − e<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
(5.50)<br />
E1<br />
μ 1 E2<br />
⎝<br />
⎠<br />
pri čemu se E1 i μ1 odnose na Maxwell-ov, a E2 i μ2 na Kelvin-ov dio modela (slika 5.21).<br />
Tijek deformacija pri konstantnom naprezanju σ0 zadržanom kroz vrijeme t1 prikazan<br />
je na slici 5.22.<br />
Slika 5.22<br />
Ako se pak deformacija zadržava konstantnom ε0 = konst. kroz vrijeme t1 dolazi do<br />
relaksacije tj. postepenog gubljenja naprezanja kao što je prikazano na slici 5.23.<br />
59
Slika 5.23<br />
Reološki modeli za prostorno stanje naprezanja su vrlo složeni, naročito ako veze<br />
deformacija i naprezanja nisu linearne. Postoje međutim i neki jednostavniji modeli za<br />
prostorno naprezanje kao npr. model Anagnostija koji predlaže vezu sfernih dijelova tenzora<br />
naprezanja i deformacija pomoću Kelvin-ovog modela (K = H || N) (slika 5.7), a devijatorskih<br />
Maxwell-ovim modelom (M = N – H) (slika 5.9).<br />
60
6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA<br />
Mehanika <strong>kontinuuma</strong> tlo idealizira različitim matematičkim modelima kojima se nastoji<br />
jednostavno i sveobuhvatno opisati ponašanje tla.<br />
Propisane veze zavise o fizikalnim svojstvima tla, a ova ne samo o unutrašnjoj strukturi nego i o<br />
vanjskim utjecajima. Tako se definiraju idealni materijali koji pod određenim uvjetima manje ili<br />
više odražavaju stvarno ponašanje realnih materijala. Osnovna reološka svojstva materijala s<br />
kojima se susrećemo u prirodi su: elastičnost, plastičnost i viskoznost (sl. 6.1).<br />
Slika 6.1 Osnovni jednoosni reološki modeli<br />
Razvijene su različite teorije koje u mehanici <strong>kontinuuma</strong> pomoću konstitutivnih jednadžbi<br />
opisuju ponašanje pojedinih vrsta materijala ovisno o dominantnom svojstvu. Na osnovu<br />
podudarnosti pojedinih svojstava razlikujemo: elastične, elastoplastične, viskoelastične,<br />
viskoplastične, elastoviskoplastične materijale. Razlike u ponašanju materijala ogledaju se u<br />
ciklusu opterećenje-rasterećenje-ponovno opterećenje. Dok je kod elastičnih materijala veza<br />
naprezanja i deformacija jednoznačna (sl. 6.2a) kod elastoplastičnih materijala naprezanja ne<br />
ovise samo o veličini deformacija nego i o čitavom procesu deformiranja (sl. 6.2b).<br />
Matematički modeli opisani teorijom elastičnosti primjenjivani su prvotno i u idealizaciji tla.<br />
Kasnije su razrađeni modeli koji na osnovu teorije plastičnosti sveobuhvatnije opisuju ponašanje<br />
tla.<br />
61
Slika 6.2 Dijagrami deformiranja idealiziranih materijala u ciklusu:<br />
opterećenje-rasterećenje-opterećenje<br />
Konstitutivne jednadžbe izražavaju ovisnost naprezanja o deformacijama, kao i o brzini prirasta<br />
deformacija.<br />
6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA<br />
Konstitutivna jednadžba elastičnog anizotropnog <strong>kontinuuma</strong>, kod kojeg svaka od komponenata<br />
naprezanja σ ij tenzora σ ij ovisi o svakoj komponenti deformacija ε kl tenzora ε kl i obratno,<br />
može se izraziti<br />
odnosno<br />
gdje su ijkl D - tenzor elastičnosti , i ijkl C - tenzor podatljivosti, oba tenzori četvrtog reda. Za<br />
elastičan izotropan kontinuum veza polja naprezanja i deformacija definira se pomoću Lameovih<br />
koeficijenata λ i μ<br />
odnosno recipročno<br />
pri čemu je:<br />
e<br />
ij ijkl<br />
kl<br />
62<br />
σ = D ⋅ ε<br />
(6.1)<br />
ε = ij Cijkl<br />
⋅ σ kl<br />
(6.2)<br />
σ ij = λ ε kk δ ij +2μ<br />
ε ij<br />
(6.3)<br />
[ ( 1 + ν ) ⋅ σ − ν ⋅ σ δ ]<br />
1<br />
ε ij = ij kk ⋅<br />
(6.4)<br />
ij<br />
E
ε kk = e = ∑ ε ii - prva invarijanta deformacija<br />
σ kk = I 1σ = ∑ σ ii - prva invarijanta naprezanja<br />
a Croneckerov simbol δ ij tenzor za koji vrijedi:<br />
i = j δ = 1<br />
i ≠ j δ =0<br />
(6.5)<br />
Komponente tenzora elastičnosti ijkl D za izotropan kontinuum su modul elastičnosti E i<br />
Poissonov koeficijent ν . Između E, ν , G modula posmika i K modula volumenske deformacije,<br />
koji se u inženjerskoj praksi koriste kao fizikalne konstante kojima se opisuje elastično ponašanje<br />
materijala i Lameovih koeficijenata postoje veze, tako da se svaki od koeficijenata dade izraziti<br />
pomoću ostalih<br />
Kod rješavanja problema elastičnog <strong>kontinuuma</strong> 2 μ +3λ<br />
uz pretpostavljenu λ ⋅ E<br />
E = μ<br />
λ =<br />
konstitutivnu vezu potrebno<br />
je istovremeno zadovoljiti uvjetne jednadžbe: μ + λ (1+ ν ) ⋅ (1- 2 ν )<br />
(i) uvjete ravnoteže<br />
λ<br />
E<br />
(ii) uvjete neprekinutosti ν = μ<br />
μ = = G<br />
2 ⋅ ( μ + λ ) 2 ⋅ (1+ ν )<br />
(iii) uvjete na konturi i druge.<br />
E<br />
K =<br />
(6.6)<br />
(i) Osnovne jednadžbe koje opisuju 3 ⋅ravnotežu (1 - 2 ν ) za bilo koju točku <strong>kontinuuma</strong>, izvedene na<br />
paralelopipedu diferencijalnih veličina d x 1 , d x 2 i d x 3 , čije su stranice paralelne s<br />
koordinatnim osima, mogu se napisati u obliku<br />
što predstavlja sustav Navier - Cauchyevih diferencijalnih jednadžbi pri čemu σ ij označava<br />
normalne i posmične komponente tenzora naprezanja σ ij , a Zi zapreminske sile u smjeru<br />
x 1, x 2 i x3<br />
. U tekstu je upotrebljena Einsteinova notacija pomoću indeksa, a indeks iza zareza<br />
uz osnovnu oznaku predstavlja derivaciju po koordinatama.<br />
(ii) St. Venantove jednadžbe kompatibilnosti deformacija<br />
σ ij, j +Z i =0 i, j =1,2,3<br />
(6.7)<br />
ε ij,kl + ε kl,ij + ε ik, jl + ε jl,ik = 0 i, j,k,l = 1,2,3<br />
(6.8)<br />
povezuju normalne i posmične komponente tenzora deformacija ε ij u tri ravnine.<br />
(iii) Ovisno o načinu na koji su zadani uvjeti Φ na plohi Γ , koja predstavlja konturu<br />
elastičnog <strong>kontinuuma</strong> Ω , razlikujemo:<br />
- fundamentalni problem I vrste, ako su na konturi zadana naprezanja<br />
- fundamentalan problem II vrste, ako su na konturi zadani pomaci.<br />
Rubni uvjeti (sl. 6.3) mogu biti zadani vrijednostima same funkcije Φ (Dirichletov rubni uvjet)<br />
na dijelu granične plohe Γ Φ prostora Ω<br />
63
ili derivacijom funkcije Φ , n (Neumannov rubni uvjet) na dijelu granične plohe Γ q<br />
Očito je da za konturu Γ elastičnog <strong>kontinuuma</strong> Ω vrijedi<br />
Φ = Φ (x i ) za xi<br />
∈ Γ Φ<br />
(6.9)<br />
Φ , = Φ , ( x ) za x ∈ Γ<br />
(6.10)<br />
n n i i q<br />
te da je Φ ( x i ) zadani pomak, a Φ , n( x i ) zadano naprezanje na konturi Γ .<br />
Slika 6.3 Rubni uvjeti <strong>kontinuuma</strong><br />
Ovisno o načinu na koji su zadani rubni uvjeti, u rješavanju problema elastičnosti, uzimaju se<br />
kao osnovne nepoznate veličine ili naprezanja ili pomaci.<br />
- Ako su na konturi Γ poznate komponente naprezanja, supstitucijom konstitutivnih<br />
jednadžbi u jednadžbe neprekinutosti i uz derivirane jednadžbe ravnoteže dobivamo<br />
Beltrami - Michellove jednadžbe:<br />
σ<br />
+ 1<br />
1+ ν σ<br />
ij, kk kk,ij i, j j,i k, k<br />
Za prostorne probleme treba postaviti šest uvjeta. Zadatak se pojednostavljuje uvođenjem<br />
funkcije naprezanja<br />
64<br />
Γ = Γ Φ ∪ Γ q<br />
(6.11)<br />
ν<br />
+( Z + Z )+ Z = 0 i, j, k = 1,2,3<br />
1- ν<br />
(6.12)
kao osnovne nepoznate funkcije. G. B. Airy prvi je uveo funkciju naprezanja Φ kod<br />
rješavanja ravninskih problema. Komponente naprezanja izražene su kao derivacije<br />
funkcije naprezanja<br />
pa su uvjeti ravnoteže a priori zadovoljeni. Za prostorne probleme mogu se komponente<br />
tenzora naprezanja izraziti pomoću dvije funkcije naprezanja, dok je za ravninsko stanje<br />
naprezanja ili deformacija dovoljna samo jedna. Ispunjavanje uvjeta neprekinutosti<br />
deformacija s tako određenim komponentama naprezanja dovodi nas do Maxwell-ove<br />
parcijalne diferencijalne jednadžbe<br />
pri čemu je<br />
2<br />
dvostruka primjena Laplaceovog diferencijalnog operatora Δ .<br />
U slučaju zadanih pomaka, rješavanje se svodi na određivanje funkcije pomaka<br />
koja zadovoljava uvjete na konturi Γ .<br />
Supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe ravnoteže dobivamo Lameove<br />
jednadžbe<br />
Funkcija pomaka mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu na promatranom području Ω i mora<br />
biti kontinuirana funkcija koordinata kako bi i jednadžbe neprekinutosti bile zadovoljene.<br />
6.1.1. Elastični modeli tla<br />
Φ = Φ (x 1 ,x 2 ,x 3 )<br />
(6.13)<br />
σ ii = Φ , jj<br />
(6.14)<br />
σ ij = - Φ , ij + Zi ⋅ x j + Z j ⋅ x i i, j = 1,2,3<br />
(6.15)<br />
Za anizotropna tla Duncan i Dunlop [1970] predlažu promjenu modula elastičnosti ovisno o kutu<br />
β što ga pravac najvećeg glavnog naprezanja zatvara s horizontalom u slijedećem obliku:<br />
E h i Ev<br />
su moduli elastičnosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru.<br />
65<br />
4<br />
Δ Φ =0<br />
(6.16)<br />
= , ,<br />
4 2<br />
Δ ∂ ii ⋅ ∂<br />
2<br />
ii<br />
Φ Φ ( u , u , u )<br />
(6.17)<br />
= 1 2 3<br />
μ ⋅ μ +( λ + μ )e i, jj , i +Z i =0 i, j = 1,2,3 (6.18)<br />
2<br />
E = Eh -( Eh - E v ) ⋅ sin β (6.19)
Linearno elastično modeliranje materijala u mnogim inženjerskim problemima nije odgovarajuće<br />
za opis stvarnog ponašanja materijala, koje je u osnovi nelinearno. Postoje dvije vrste<br />
nelinearnosti: materijalna i geometrijska. Materijalna ili fizička nelinearnost proizlazi iz<br />
nelinearnosti veze između naprezanja i deformacija, dok geometrijska nelinearnost obuhvaća<br />
nelinearne veze između deformacija i pomaka kao i konačne promjene u geometriji<br />
deformiranog <strong>kontinuuma</strong>.<br />
R. L. Kondner [1963] predložio je nelinearan konstitutivan model tla (sl. 6.4) predstavljen<br />
jednadžbom hiperbole:<br />
ε 1<br />
σ 1 - σ 3 =<br />
a+b ε<br />
pri čemu je:<br />
σ 1 - veće glavno naprezanje kod triaksijalnog ispitivanja<br />
σ 3 - manje glavno naprezanje, bočni pritisak kod triaksijalnog ispitivanja<br />
ε 1 - uzdužna deformacija<br />
a i b - konstante materijala čije se vrijednosti mogu odrediti eksperimentalno.<br />
Slika 6.4 Konderov hiperbolični model tla<br />
Konstanta a prema slici 6.4 predstavlja recipročnu vrijednost inicijalnog modula E i , a b<br />
recipročnu vrijednost razlike naprezanja ( σ 1 - σ 3 ) za beskonačnu deformaciju.<br />
Kako se vidi konstanta b može se izraziti iz eksperimentalne krivulje pomoću koeficijenta loma<br />
Rf i razlike naprezanja pri slomu odnosno čvrstoće na pritisak ( σ 1 - σ 3 ) f . Ovisno o vrsti tla<br />
koeficijent Rf poprima vrijednost od 0,5 do 1,0.<br />
Veza između inicijalnog modula E i i bočnih pritisaka σ 3 može se prema N. Janbu [1963]<br />
izraziti:<br />
1<br />
66<br />
(6.20)
⎛ σ 3 ⎞<br />
E i = K ⋅ pa<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ p ⎠<br />
gdje je:<br />
pa - atmosferski pritisak<br />
K - koeficijent modula primarnog opterećenja<br />
n - eksponent modula<br />
Od posebnog značaja je određivanje vrijednosti tangentnog modula elastičnosti:<br />
E<br />
t<br />
=<br />
∂<br />
( σ − σ )<br />
Usvajanjem Mohr-Coulombovog uvjeta loma (vidi 6.2.4.) dobiva se:<br />
E<br />
f<br />
Ponašanje modela u slučaju rasterećenja i ponovnog opterećenja određeno je jedinstvenim<br />
modulom E ur prema izrazu:<br />
gdje je K ur koeficijent modula rasterećenja i ponovnog opterećenja i uvijek je veći od K .<br />
Postoji nekoliko varijanti hiperboličnog modela tla. Na osnovu laboratorijskih triaksijalnih<br />
ispitivanja kojima se određuju svojstva, vrši se izbor modela koji uključuju:<br />
(i) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost Poissonovog<br />
koeficijenta<br />
(ii) promjenljive vrijednosti i modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta<br />
(iii) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost modula volumenske<br />
deformacije.<br />
6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA<br />
1<br />
∂ ε<br />
1<br />
3<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
1<br />
E<br />
( 1 − sinφ<br />
)( σ − σ )<br />
⎡ R f<br />
= ⎢ 1 −<br />
⎣ 2c<br />
cosφ<br />
+ 2σ<br />
E<br />
ur<br />
= K<br />
ur<br />
⋅<br />
3<br />
i<br />
1<br />
+<br />
a<br />
sinφ<br />
n<br />
( σ − σ )<br />
3<br />
1<br />
1<br />
E<br />
i<br />
R<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ σ 3<br />
p ⎟<br />
a ⎜ ⎟<br />
⎝ pa<br />
⎠<br />
2<br />
n<br />
f<br />
3<br />
K ⋅<br />
f<br />
p<br />
⎤<br />
ε 1 ⎥<br />
⎥⎦<br />
a<br />
2<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝ p<br />
3<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
67<br />
(6.21)<br />
(6.22)<br />
(6.23)<br />
(6.24)
Elastično ponašanje materijala može se pretpostaviti samo za djelovanje do nekog određenog<br />
ograničenog opterećenja, iznad kojeg nastaju trajne odnosno plastične deformacije.<br />
Prvi teoretski radovi o plastičnom ponašanju materijala vezani su za radove Coulomba, Rankina<br />
i Trescae. Eksperimentalnim radovima pridružili su se Saint Venant, von Mises, Hencky,<br />
Prandlt, Nadai i drugi što je rezultiralo formuliranjem klasične teorije plastičnosti tridesetih<br />
godina ovog stoljeća, objavljene u knjizi R. Hilla [1950].<br />
Po njoj osnovna veza između naprezanja i deformacije predstavlja nepovratan proces<br />
deformiranja koji je vremenski neovisan i koji nastupa nakon što je dostignut određen nivo<br />
naprezanja.<br />
Ukupna deformacija na granici popuštanja može se prikazati zbrojem elastične i plastične<br />
komponente<br />
Analogno elastičnoj konstitutivnoj jednadžbi (6.1)<br />
može se napisati konstitutivna jednadžba elastoplastičnosti<br />
i plastičnosti u slijedećem obliku:<br />
p<br />
pri čemu se tenzorom plastičnosti Dijkl<br />
opisuje inkrement plastične deformacije.<br />
Osnovni teoretski izrazi kojima se modelira plastično ponašanje materijala su:<br />
- kriterij plastičnosti<br />
- pravilo tečenja<br />
- pravilo očvršćavanja<br />
p<br />
Tenzor plastičnosti D ijkl ovisi o kriteriju plastičnosti i pravilima plastičnog popuštanja.<br />
6.2.1. Kriterij plastičnosti<br />
Plastično ponašanje materijala može se opisati skalarnom funkcijom plastičnosti<br />
ε<br />
ep<br />
ij<br />
68<br />
e p = ε + ε<br />
(6.25)<br />
ij<br />
ij<br />
e − 1<br />
[ ijkl ] kl<br />
ε ij = D ⋅ σ<br />
ep<br />
ep − 1<br />
[ ijkl ] kl<br />
ε ij = D ⋅ σ<br />
p<br />
p − 1<br />
[ ijkl ] kl<br />
ε ij = D ⋅ σ<br />
p<br />
ijkl<br />
ep<br />
ijkl<br />
e<br />
ijkl<br />
(6.26)<br />
(6.27)<br />
(6.28)<br />
D = D - D (6.29)
F( , ,k) = f( , )-Y(k)<br />
ij ij ij ij<br />
σ ε σ ε (6.30)<br />
pri čemu uvjet plastičnosti f ovisi o tenzorskim komponentama naprezanja i deformacija, a<br />
naprezanje tečenja Y o parametru očvršćavanja (omekšavanja) k, koji uključuje prethodna stanja<br />
naprezanja i deformacija.<br />
Slika 6.5 Ploha popuštanja u prostoru glavnih naprezanja<br />
Za elastično stanje funkcija plastičnosti F( σ ij , ε ij ,k) manja je od nule. Uvjet plastičnosti (sl. 6.5)<br />
kojim se definira granica između elastičnog i plastičnog ponašanja materijala odnosno ono<br />
naprezanje iznad kojeg nastupaju plastične deformacije glasi:<br />
f( σ ij , ε ij )-Y(k) = 0<br />
(6.31)<br />
Za izotropan idealno plastičan materijal, kriterij plastičnosti koji ovisi samo o komponentama<br />
naprezanja može se prikazati u obliku:<br />
pri čemu su σ 1 , σ 2 i σ 3 glavna naprezanja. Površina popuštanja f definirana jednadžbom (6.32) u<br />
koordinatnom sustavu 0σ 1σ 2 σ 3 predstavlja simetrično tijelo obzirom na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 ,<br />
jer je eksperimentalno dokazano da popuštanje izotropnih materijala ne ovisi o hidrostatskom<br />
pritisku odnosno rastezanju.<br />
U devijatorskoj ravnini koja je okomita na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 i prolazi ishodištem, leži<br />
krivulja tečenja - presječnica površine popuštanja i devijatorske ravnine. Dvije moguće krivulje u<br />
devijatorskoj ravnini 0 s1s 2 s3<br />
su šesterokut odnosno kružnica. Osi s 1 ,s 2 ,s 3 su projekcije glavnih<br />
69<br />
f( , , )=0<br />
1 2 3<br />
σ σ σ (6.32)
naprezanja σ 1 , σ 2 , σ 3 na devijatorsku ravninu i predstavljaju glavne vrijednosti devijatorskog<br />
dijela tenzora naprezanja ij s .<br />
6.2.2. Pravilo tečenja<br />
Slika 6.6 Prikaz principa ortogonalnosti kod pravila tečenja<br />
Pravila tečenja opisuju vezu između inkrementalnih prirasta naprezanja i inkrementalnih prirasta<br />
plastičnih deformacija. Plastična deformacija proporcionalna je gradijentu naprezanja plastičnog<br />
potencijala Q prema izrazu:<br />
70
pri čemu je koeficijent plastičnosti dλ uvijek pozitivan. Ukoliko je inkrement plastične<br />
deformacije u smjeru vanjske normale (princip ortogonalnosti) radi se o pridruženom pravilu<br />
tečenja Q ≡ F (sl 6.6).<br />
Podudarnost plohe popuštanja i plastičnog potencijala vrijedi za tzv. stabilne materijale za koje je<br />
prema Druckerovom postulatu ploha tečenja konveksna i vektor prirasta plastičnih deformacije u<br />
regularnoj točki površine tečenja ima smjer vanjske normale čime se osigurava jedinstvenost<br />
rješenja problema rubnih uvjeta.<br />
Nepridruženo pravilo tečenja javlja se u slučaju kada je Q ≠ F čime se opisuju omekšavajuća<br />
ponašanja nestabilnih materijala.<br />
6.2.3. Pravilo očvršćavanja<br />
Pravila očvršćavanja predstavljaju kriterije za nastavak tečenja nakon što je dostignuta granica<br />
popuštanja.<br />
Iz uvjeta plastičnosti<br />
p<br />
d ε = dλ<br />
da točka u prostoru glavnih naprezanja ne može ležati izvan plohe popuštanja proizlazi da s<br />
porastom naprezanja ploha popuštanja mijenja svoj oblik i veličinu. Razlikujemo:<br />
(i) izotropno pravilo očvršćavanja<br />
(ii) kinematičko pravilo očvršćavanja.<br />
(i) Izotropno pravilo očvršćavanja pretpostavlja da se ploha popuštanja širi jednoliko iz<br />
središta prostora naprezanja (sl. 6.7a). Postoje dva osnovna načina povezivanja kritičnog<br />
naprezanja Y(k) s razvojem plastičnih deformacija:<br />
a) radno očvršćavanje kod kojeg je parametar očvršćivanja k jednak ukupnom plastičnom<br />
radu<br />
b) deformaciono očvršćavanje kod kojeg kritično naprezanje Y ovisi o efektivnoj plastičnoj<br />
deformaciji.<br />
Istraživanja se provode u smjeru objedinjavanja oba navedena načina.<br />
(ii) Kinematičko pravilo očvrščavanja pretpostavlja translaciju plohe popuštanja uz<br />
zadržavanje prvobitnog oblika (sl. 6.7b). Složenija pravila očvršćavanja pretpostavljaju<br />
mogućnost postojanja kombiniranog očvršćavanja, izotropnog i kinematičkog.<br />
ij<br />
⋅ ∂<br />
∂<br />
Q<br />
σ<br />
ij<br />
71<br />
(6.33)<br />
p<br />
p<br />
F( σ , ε , k) = f( σ , ε ) - Y(k) = 0<br />
(6.34)<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij
6.2.4. Kriterij loma<br />
Slika 6.7 Pravila očvršćavanja<br />
Kriterijem plastičnosti opisuje se posjedovanje mogućnosti plastičnog deformiranja materijala.<br />
Stanje naprezanja u materijalu pri kojem deformacije postaju neograničene predstavlja stanje<br />
loma i opisuje se kriterijima loma.<br />
72
Najčešće primjenjivani kriteriji loma izraženi pomoću glavnih naprezanja σ 1 , σ 2 i σ 3 su:<br />
(i) Von Misesov<br />
(ii) Trescin<br />
(iii) Mohr - Coulombov<br />
(iv) Drucker - Pragerov<br />
6.2.4.1 Von Misesov kriterij loma<br />
Do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada distorzijska energija<br />
dostigne kritičnu vrijednost. U slučaju jednoosnog naprezanja (<br />
vrijednost distorzijske energije bit će jednaka<br />
1 = Y ;<br />
Izjednačavanjem jednadžbi (6.35) i (6.36) dobiva se:<br />
σ σ 2 3<br />
73<br />
σ = σ =0) kritična<br />
Plohu popuštanja predstavlja kružni valjak koji je okomit na devijatorsku ravninu a presjek s<br />
istom daje kružnicu kao krivulju plastičnog tečenja (sl. 6.8).<br />
6.2.4.2 Trescin kriterij loma<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[ ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − ) ]<br />
1 + ν<br />
U dist = 1 2 2 3 3 σ 1<br />
(6.35)<br />
6E<br />
2<br />
U dist = Y<br />
1+ ν<br />
σ (6.36)<br />
3E<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( σ 1 - σ 2 ) +( σ 2 - σ 3 ) +( σ 3 - σ 1 ) = 2σ<br />
Y<br />
(6.37)<br />
Prema ovome kriteriju do plastičnog popuštanja materijala doći će onda kada maksimalno<br />
tangencijalno naprezanje dostigne kritičnu vrijednost (sl. 6.8). Matematički se to može<br />
formulirati kao<br />
{ }<br />
max | σ 1 - σ 2|,| σ 2 - σ 3|,| σ 3 - σ 1| = σ Y<br />
(6.38)<br />
U skladu s konvencijom da je σ 1 > σ 2 > σ 3 ovaj se kriterij može napisati u obliku<br />
σ 1 - σ 3 = σ Y<br />
(6.39)
Slika 6.8 Ploha popuštanja po von Misesu i Tresci<br />
Eksperimentalnim istraživanjima Tresca je dokazao da je u stanju plastičnog popuštanja<br />
materijala maksimalno tangencijalno naprezanje konstantno u svim točkama i jednako granici<br />
popuštanja materijala pri čistom smicanju.<br />
Navedeni kriteriji dobro opisuju ponašanje metala i njihovih legura. Nedostatak spomenutih<br />
kriterija je u pretpostavci da srednje normalno naprezanje σ 2 nema utjecaja na pojavu plastičnih<br />
deformacija u materijalu, što ne vrijedi prvenstveno za stijene i tla.<br />
6.2.4.3 Mohr - Coulombov kriterij loma<br />
Po ovom kriteriju, slično kao u prethodnom, do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada<br />
maksimalno posmično naprezanje prekorači kritičnu vrijednost i glasi<br />
pri čemu je:<br />
τ posmično naprezanje<br />
σ n normalno naprezanje<br />
c kohezija<br />
ϕ kut unutrašnjeg trenja<br />
Izraz (6.40) predstavlja tangentu na najveću Mohrovu kružnicu za troosno stanje naprezanja<br />
kako je prikazano na slici 6.9. Uzevši u obzir da je σ 1 > σ 2 > σ 3 može se izraz (6.40) napisati u<br />
obliku:<br />
74<br />
τ σ ϕ<br />
= c + tan<br />
n ⋅ (6.40)
ili nakon sređivanja<br />
σ - σ<br />
2<br />
Slika 6.9 Prikaz Mohr-Coulombovog uvjeta plastičnosti pomoću Mohrove kružnice<br />
Dok je kod Trescinog kriterija maksimalno tangencijalno naprezanje mjerodavno za nastanak<br />
tečenja, konstantno i predstavljeno polumjerom najveće Mohrove kružnice ( σ 1 - σ 3 ) / 2 , dotle se<br />
po Mohrovom kriteriju taj isti polumjer mijenja i funkcija je koordinata središta najveće<br />
Mohrove kružnice.<br />
Uvjet plastičnog tečenja (6.42) predstavlja u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja<br />
0 σ 1σ<br />
2 σ 3 nepravilnu šesterostranu piramidu kojoj je pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 os. Presjek ove<br />
piramide ravninom okomitom na hidrostatsku os daje u devijatorskoj ravnini nepravilan<br />
šesterokut (sl. 6.10).<br />
6.2.4.4 Drucker-Pragerov kriterij loma<br />
⎛ σ + σ σ -σ<br />
⎞<br />
⋅ cosϕ = c + ⎜ - ⋅ sin ϕ ⎟ ⋅ tanϕ<br />
(6.41)<br />
⎝ 2 2<br />
⎠<br />
1 3 1 3 1 3<br />
σ + σ σ - σ<br />
-<br />
2 2<br />
1 3 1 3<br />
Drucker-Pragerov kriterij tečenja predstavlja aproksimaciju Mohr-Coulombova kriterija tečenja<br />
odnosno modifikaciju von Misesovog. Utjecaj sfernog tenzora naprezanja na pojavu popuštanja<br />
u materijalu uzet je u obzir uključivanjem dodatnog člana u von Misesov kriterij tečenja i glasi<br />
75<br />
⋅ sin ϕ = c ⋅ cos ϕ<br />
(6.42)<br />
α ⋅ ( σ + σ + σ )+ σ σ σ σ σ σ<br />
′<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 2 3 ( 1 - 2 ) +( 2 - 3 ) +( 3 - 1 ) = k<br />
6<br />
(6.43)
Slika 6.10 Ploha popuštanja po Mohr-Coulombu i Drucker-Prageru<br />
Parametri α i k' određuju se pomoću Mohr - Coulombovih parametara čvrstoće c i ϕ . Izraz<br />
(6.43) predstavlja uspravni stožac u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 0σ 1σ 2 σ 3 .<br />
Ukoliko Drucker-Pragerov stožac dodiruje bridove Mohr-Coulombove šesterostrane piramide<br />
izvana, tada parametri α i k' poprimaju slijedeće vrijednosti:<br />
α =<br />
dok u slučaju da stožac dodiruje plašt piramide iznutra parametri α i k' iznose<br />
α =<br />
Kao odgovarajući za opis loma tla koriste se Mohr-Coulombov i Drucker-Pragerov kriterij.<br />
Osim navedenih potrebno je spomenuti Lade-Duncanov i Hoek-Brownov kriterij loma.<br />
6.2.4.5 Lade-Duncanov kriterij loma<br />
2sin<br />
ϕ<br />
;k ′ =<br />
3 ⋅ (3 - sin ϕ )<br />
2sin<br />
ϕ<br />
;k ′ =<br />
3 ⋅ (3 + sin ϕ )<br />
6ccosϕ<br />
3 ⋅ (3 - sin ϕ )<br />
6ccosϕ<br />
3 ⋅ (3 + sin ϕ )<br />
Za nekoherentno tlo Lade-Duncan [1975] definirali su plohu popuštanja jednadžbom:<br />
3<br />
I 1σ<br />
- k ϕ I 3 σ =0<br />
gdje su I1σ i I 3σ<br />
prva i treća invarijanta tenzora naprezanja σ ij .<br />
76<br />
(6.44)<br />
(6.45)<br />
⋅ (6.46)
Konstanta oblika k ϕ funkcija je kuta unutrašnjeg trenja ϕ i određuje oblik plohe popuštanja. U<br />
prostoru glavnih naprezanja površina popuštanja ima oblik stošca, kojemu je os hidrostatički<br />
pravac (sl. 6.11). Presjek stošca ovisi o vrijednosti konstante k ϕ , koja se određuje<br />
eksperimentalno.<br />
6.2.4.6 Hoek-Brownov kriterij loma<br />
Slika 6.11 Ploha popuštanja po Lade-Duncanu<br />
Hoek-Brown [1982] predložili su kriterij loma za stijenski masiv (sl. 6.12) oblika:<br />
σ = σ + m σ σ +s σ (6.47)<br />
1 3 c 3<br />
2<br />
c<br />
pri čemu su:<br />
σ 1 i σ 3 - veće odnosno manje tlačno glavno naprezanje<br />
σ c - jednoaksijalna tlačna čvrstoća stijene<br />
m i s - bezdimenzionalne konstante masiva kojima se definira kompaktnost stijenskog<br />
masiva<br />
Razmatranjem jednoaksijalnog tlačnog odnosno vlačnog naprezanja konstante imaju fizikalno<br />
značenje i mogu se odrediti eksperimentalno. Za jednoaksijalni tlak kada je σ 3 = 0 uz vrijednost<br />
s =1 glavno tlačno naprezanje izjednačava se s jednoaksijalnom tlačnom čvrstoćom stijene<br />
( σ 1 = σ c ) . Iz toga slijedi da je za stijenski masiv bez pukotina s =1 .<br />
Slično se za slučaj jednoaksijalnog vlaka kada je σ 1 = 0 a σ 3 = σ t može odrediti vrijednost<br />
koeficijenta m. Ovisno o raspucalosti stijenskog masiva konstante se kreću u slijedećim<br />
relacijama:<br />
0,05 s 0,90<br />
≤ ≤ (6.48)<br />
5 m 20<br />
≤ ≤ (6.49)<br />
77
Slika 6.12 Hoek-Brownov kriterij loma<br />
Primjena ovog kriterija omogućava uočavanje područja u kojima dolazi do vlačnog loma<br />
odnosno klizanja.<br />
6.2.5. Elastoplastični modeli tla<br />
Cam-clay model zadovoljava navedene kriterije i pravila plastičnosti te se uz izbor<br />
odgovarajućih parametara upotrebljava za opis ponašanja različitih vrsta tla.<br />
Originalni Cam-clay model (sl. 6.13) definira:<br />
(i) Ploha popuštanja izražena jednadžbom:<br />
(ii) Pridruženo pravilo tečenja<br />
(iii) Izotropno pravilo očvršćivanja određeno parametrom p c′<br />
koji ujedno definira plohu<br />
popuštanja<br />
pri čemu je:<br />
q = σ 1 - σ 3 - devijator naprezanja<br />
pc′<br />
q = M ⋅ p′<br />
⋅ ln (6.50)<br />
p′<br />
78<br />
p p p<br />
p′ ⋅ d ε v + q ⋅ d ε = M ⋅ p′ ⋅ d ε (6.51)
+ +<br />
p ′ =<br />
σ σ σ<br />
3<br />
1′ 2′ 3 ′<br />
- efektivno hidrostatsko naprezanje<br />
d v p<br />
ε - inkrement volumenske plastične deformacije<br />
d p<br />
ε - inkrement posmične plastične deformacije<br />
M - konstanta materijala kojom se definira linija kritičnog stanja<br />
Slika 6.13 Ploha popuštanja za originalni Cam-clay model tla<br />
Vrijednost konstante ovisi o kutu unutrašnjeg trenja prema izrazu:<br />
Prirast volumenske plastične deformacije je:<br />
M = 6 sin ϕ ′<br />
3 -sin<br />
ϕ ′<br />
pri čemu je e koeficijent pora, λ volumenski modul stišljivosti, a κ modul povratne<br />
deformacije.<br />
Na osnovu originalnog modela pretpostavljen je čitav niz sličnih. Osnovna razlika između<br />
originalnog Cam-clay modela i modificiranog modela (sl. 6.14) je u obliku plohe popuštanja.<br />
Modificirani Cam-clay model definiran je eliptičnom površinom popuštanja<br />
79<br />
(6.52)<br />
d<br />
p 1+<br />
e pc′<br />
d ε v =<br />
(6.53)<br />
λ - κ p′<br />
2 2 2 2<br />
q + M ⋅ p ′ = M ⋅ p′ ⋅ p ′ (6.54)<br />
c
i pridruženim pravilom tečenja oblika<br />
d<br />
d = M p<br />
ε v p′ -q<br />
p<br />
ε 2p′ q<br />
2 2 2<br />
Slika 6.14 Ploha popuštanja za modificirani Cam-clay model tla<br />
All-Tabba [1990] pretpostavlja model s dvije plohe popuštanja (sl. 6.15) unutar veće površine<br />
popuštanja pretpostavlja manju površinu popuštanja (gnijezdo).<br />
Slika 6.15 Modificirani Cam-clay model tla s dvije plohe popuštanja<br />
Noviji modeli zahtijevaju više parametara za definiranje ponašanja modela, složeniji su od Camclay<br />
modela, ali bolje opisuju anizotropno popuštanje materijala.<br />
80<br />
(6.55)
6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA<br />
Vremenski neovisne konstitutivne jednadžbe ne mogu na zadovoljavajući način simulirati<br />
ponašanje realnih materijala kojima svojstva ovise o vremenu.<br />
Samo u nekim uvjetima plastične deformacije mogu biti vremenski neovisne ali općenito su<br />
ovisne. Osim pojave plastičnosti uzrok materijalne nelinearnosti vezan je uz fenomen tečenja<br />
materijala, preraspodjela naprezanja odnosno deformacija tokom vremena.<br />
Početak promatranja ponašanja materijala kao jedinstvenog modela kombinirajući efekte<br />
plastičnosti i tečenja vezan je uz radove Binghama, Henckya i Pragera. Osnove teorije elastovisko-plastičnosti<br />
postavio je Perzyna [1960].<br />
Model prikazan na sl. 6.16 (jednoosni problem) reagira trenutno elastično, pri čemu<br />
viskoplastičan element ostaje neaktivan sve dok je σ < σ Y .<br />
Slika 6.16 Jednoosni reološki elastoviskoplastični model<br />
Viskoplastično ponašanje javlja se nakon pojave popuštanja. Prirast naprezanja uzrokuje pojavu<br />
prirasta viskoplastičnih deformacija. Kod viskoplastičnog modela s odloženom plastičnosti ne<br />
dozvoljava se znatniji plastični tok.<br />
U elastoviskoplastičnom modelu ukupna deformacija na granici popuštanja sastoji se od<br />
elastične i viskoplastične komponente<br />
81<br />
e vp<br />
ε = ε + ε<br />
(6.56)<br />
ij<br />
ij<br />
ij
Analogno inkrement elastoviskoplastične deformacije možemo izraziti:<br />
Elastične deformacije mogu se izraziti slijedećim oblikom<br />
gdje je s ij = σ ij - δ ij σ m devijatorski dio tenzora deformacija, σ m = σ kk / 3 hidrostatsko<br />
naprezanje, δ ij Croneckerov simbol prema izrazu 6.5, a G, ν i E konstante materijala.<br />
Prirast elastičnih deformacija može se napisati u obliku<br />
Prirast viskoplastičnih deformacija funkcija je trenutnog stanja naprezanja, a prema P. Perzynu<br />
definira se u sličnom obliku pravilom tečenja kao kod elastoplastične teorije<br />
odnosno<br />
γ v - koeficijent plastične viskoznosti, eksperimentalno određen parametar koji<br />
kontrolira brzinu viskoplastičnog toka<br />
F - skalarna funkcija plastičnosti<br />
Q - funkcija plastičnog potencijala<br />
Φ (F) - pozitivna monotono rastuća funkcija plastičnog toka<br />
Funkcija plastičnosti je oblika<br />
pri čemu su ε vp<br />
ij viskoplastične deformacije, k parametar očvršćavanja a 0<br />
F jednoosno kritično<br />
naprezanje. Elastično stanje je u slučaju da je F ; za F > 0; Φ (F) ≠ 0<br />
(6.60)<br />
∂ σ<br />
ij<br />
vp<br />
ε�<br />
= 0 za F ≤ 0; Φ (F) = 0<br />
(6.61)<br />
ij<br />
F ij 0<br />
vp = F(<br />
σ ij , ε ) - F (k) = 0<br />
(6.62)
Prirast viskoplastičnih deformacija uz pretpostavku pridružene viskoplastičnosti u vektorskom<br />
obliku glasi:<br />
Vektor tečenja a predstavlja derivaciju funkcije plastičnosti F po vektoru naprezanja σ .<br />
P. Perzyna [1966], D. Owen i E. Hinton [1980] predlažu dva oblika funkcije plastičnog toka:<br />
Φ (F)=e<br />
M F - ⎛ F ⎞ 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ F 0 ⎠<br />
Φ (F) = F - ⎛ F ⎞ 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ F 0 ⎠<br />
gdje su M i N konstante, tako odabrane da što bolje simuliraju eksperimentom utvrđeno<br />
ponašanje materijala.<br />
-1<br />
N<br />
83<br />
(6.64)<br />
(6.65)<br />
Na osnovu Perzynove teorije elastoviskoplastičnosti H. Sekiguchi [1985] polazeći od Cam-clay<br />
modela predlaže slijedeće izraze za:<br />
– funkciju plastičnosti<br />
- i funkciju plastičnog toka<br />
~ ε<br />
vp<br />
ij<br />
= γ<br />
< Φ<br />
(F) ><br />
∂ F<br />
= γ<br />
∂ σ<br />
Parametri c0 i m′<br />
odnose se na viskoplastičnost.<br />
Površina popuštanja F kod stacionarne viskoplastičnosti ovisi o trenutnom stanju naprezanja i<br />
mijenja se samo promjenom plastičnih deformacija. Olszak-Perzynova teorija<br />
elastoviskoplastičnosti pretpostavlja nestacionarnu viskoplastičnost što znači da može doći do<br />
< Φ<br />
promjene plohe popuštanja bez promjena plastičnih deformacija.<br />
v<br />
v<br />
(F) a<br />
(6.63)<br />
F = q p′<br />
ln (6.66)<br />
M ⋅ p′<br />
pc′ m F<br />
Φ (F) = c ⋅ e<br />
(6.67)<br />
0<br />
′
LITERATURA<br />
Al Tabbaa A. (1990): Permeability and stress-strain response of speswhite kaolin, Ph. D.<br />
Thesis, University of Cambridge.<br />
Bland, D.R. (1960): The theory of linear viscoelasticity, Pergamon Press, Oxford.<br />
Drucker, D.C. and Prager, W. (1952): Soil mechanics and plastic analysis or limit design,<br />
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,Vol. 10, No. 2, 157-165.<br />
Duncan, J.M. and Chang, C.Y. (1970): Nonlinear analysis of stress and strain in soils, J. Soil<br />
Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, No.SM 5, 495-498.<br />
Findlay, W.N., Lai, J.S. and Onaran, K. (1976): Crep and relaxation of nonlinear viscoelastic<br />
materijals, North Holland Publishing-Co.<br />
Hill, R. (1950): The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press, Oxford.<br />
Hinton, E. Owen, D.R. (1977): Finite element programing, London Academic Press, London.<br />
Hoek, E. and Brown, E.T. (1982): Underground excavation in rock. Institution of mining and<br />
metalurgy, London.<br />
Hudec, M.: Odabrana poglavlja iz mehanike <strong>kontinuuma</strong>, bilješke<br />
Konder, R.L. (1963): Hyperbolic stress-strain response; Cohesive soils, J. Soil Mechanics<br />
and Foundation Division, ASCE, Vol. 89, No. SM 1.<br />
Konder, R.L. and Zelasko, J.S. (1963): A hyperbolic stress-strain formulation for sands, Proc.<br />
2nd Panam. CSMFE, Brasil.<br />
Kostrenčić, Z.: Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb 1982.<br />
Kovačić, D. (1977): Nelinearni modeli tla, Građevinar, Vol. 29. No. 3, Zagreb.<br />
Lade, V.P. and Duncan, M.J. (1975): Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil,<br />
J. Geotechn. Engin. Div., Vol. 101 No. 10.<br />
Mohr, O. (1900): Welche Umsaende bedingen die Elastizitaetsgrenze und den Bruch eines<br />
Materials, ZS. d. Vereins Deutscher Ingenieure, Vol. 44, 1524-1572.<br />
Naylor, D.J., Pande, G.N., Simpson, B. and Tabb, R. (1981): Finite elements in geotechnical<br />
engineering, Pineridge Press, Swanse.<br />
Olszak, W. and Perzyna, P. (1970): Stationary and non-stationary viscoplasticity; Inelastic<br />
behavioutr of solis, McGraw-Hill Book Co.<br />
84
Perzyna, P. (1960): The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Arch.<br />
Mech. Stos., Vol. 15, 113-130.<br />
Perzyna, P. (1966): Fundamental problems in viscoplasticity. Recent Advances in Applied<br />
Mechanics, Academic Press, Vol. 9, 243-377, New York.<br />
Šuklje, L. (1969): Rheological aspects of soil mechanics, John Wiley, London.<br />
Zienkiewicz, O.C., Valliappan S. and King, I.P. (1969): Elastic-plastic solution of<br />
enginnering problems; Initial stress. Finite element approach, Inter. J. Numerical method in<br />
Engineering, Vol. 1, 75-100.<br />
85