11 Tenzori naprezanja i deformacija

Teorija naprezanja
i deformacija
11. dio
1

• 3D – Prostorno stanje naprezanja
• 2D – Ravninsko stanje naprezanja
• 1D – Jednoosno stanje naprezanja
2

Tenzor naprezanja
• 3D - Prostorno stanje naprezanja
puni” tenzor:3 2 = 9 podataka
σ
ij
=
σ
τ
τ
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
σ
xz
yz
3
z

Simetri nost tenzora naprezanja
σ
ij
=
σ x
τ yx
τ
zx
τ xy
σ y
τ
zy
τ xz
τ yz
σ
z
Zakon o jednakosti
posmi nih naprezanja:
τ
τ
τ
yx
zx
zy
=
=
=
τ
τ
τ
xy
xz
yz
6 podataka
4

Dokaz za 2D - ravninsko stanje naprezanja
Σ M = 0
( τ dy ⋅1)
⋅ 2 - ( τ dx ⋅1)
τ
xy
xy
=
M
τ
yx
dx
2
yx
dy
2
⋅ 2
=
0
/
:
dx
dy
5

σ gl
=
σ1
0
0
0
σ 2
0
Glavna naprezanja
0
0
σ
3
Nema posmi nih naprezanja !!
6

σ
x
Prva invarijanta naprezanja
+ σ + σ = σ + σ + σ
y
z
1
2
3
=
konst.
7

Mohrove kružnice naprezanja 3D
8

2D - Ravninsko stanje naprezanja:
σ x
σ y
τ xy
Glavna naprezanja: σ 1 i σ 2 i njihov smjer ϕ:
σ x + σ y σ x −σ
y
σ 1,
2 = ±
+ τ
2 2
tg2ϕ
=
σ
2τ
x
xy
−σ
y
2
2
xy
9

Glavna naprezanja i njihov smjer
10

Glavna naprezanja i njihov smjer
B (σ y;τ yx)
A (σ x;τ xy)
C (σ 1 ;0)
D (σ 2;0)
11

Najve e posmi no naprezanje
H (σ s;τ maks)
σ
τ
s
=
maks
σ
x
+ σ
y
2
σ1
− σ
= r =
2
12
2

Mohrove kružnice tipi nih stanja
naprezanja
1. Jednoosno naprezanje:
a) vla no σ x > 0
b) tla no σ x < 0
2. Izotropno naprezanje σ y = σ x
3. isto smicanje τ xy
13

1. a) Jednoosno vla no naprezanje
14

Glavna naprezanja:
σ 1 = σ x
σ 2= 0
A (σ x;0)
B (0;0)
15

Maksimalno
posmi no
naprezanja:
τ maks = τ C= r = σ 1/2
16

1. b) Jednoosno tla no naprezanje
17

Glavna naprezanja:
σ 1= 0
σ 2 = - σ x
A ( - σ x;0)
B (0;0)
18

Maksimalno
posmi no
naprezanje
τ maks = τ C
19

A (σ x ;0)
B (σ y ;0)
2.a) Izotropno
rastezanje
20

A ( - σ x ;0)
B ( - σ y ;0)
2. b) Izotropno
sabijanje
21

3. a)
Smicanje
τ xy
>
A (0; τ xy)
B (0; τ yx )
0
Glavna naprezanja:
σ 1= τ xy
σ 2 = - τ xy
22

3. b)
Smicanje
τ xy
<
0
(uvijanje)
A (0; -τ xy )
B (0; τ yx )
Glavna naprezanja:
σ 1= τ xy
σ 2 = - τ xy
23

1D- Jednoosno stanje naprezanja
N
N
A = b ⋅
24
h

N
Σ
−
p
F
N
=
x
+
=
N
A
0
p
⋅
=
A
σ
x
=
0
=
σ
1
25

Ovisnost naprezanja o presjeku
N
Presjek C - C
27

N
A
A
h
= b ⋅
cosϕ
=
A
cosϕ
28

N
Σ
−
p
F
N
=
x
+
=
N
A
0
p
⋅
=
A
N
A
=
0
⋅cos
ϕ
=
σ
x
cos
ϕ
29

σ = p ⋅ cosϕ
= σ x
σ = σ
τ =
1
⋅
cos
2
σ1
⋅sin
2ϕ
2
ϕ
τ = p
⋅sin
ϕ = σ x
⋅
cos
2
31
ϕ
⋅ cosϕ
⋅sin
ϕ

Mohrova kružnica naprezanja
σ
τ
=
=
σ
τ
ϕ
ϕ
=
=
σ
1
2
1
σ
⋅cos
1
2
ϕ
⋅sin
2ϕ
32

Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
M
33

Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
P =
N ⋅ i + T ⋅ j + T
y z
⋅
k
M
34

Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
M =
M t ⋅ i + M y ⋅ j + M z
⋅ k
35
M

Veze izme u unutrašnjih sila i
komponenata tenzora naprezanja
36

Tenzor naprezanja
Normala ravnine presjeka podudara s osi x
Naprezanja: σ x; τ xy τ xz
σ
ij
=
σ
τ
τ
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
σ
37
xz
yz
z

Posmi no naprezanje
dT
τ
= dT = τ ⋅ dA
dA
Normalno naprezanje
σ
x
dN
= dN = σ x
dA
⋅
dA
38

Posmi no naprezanje
dT
τ = dT = τ ⋅ dA
dA
Popre ne sile
T = dT = τ
y
y
A A
T = dT = τ
z
z
A A
xz
xy
⋅ dA
⋅ dA
Normalno naprezanje
σ
x
dN
= dN = σ x
dA
⋅ dA
Uzdužna sila N
= = x ⋅ dA
dN N σ
A A
39

Momenti savijanja M y i M z
M = z ⋅σ
y
A
M = − y ⋅σ
z
A
x
x
⋅
⋅
dA
dA
40

Moment uvijanja - torzije
( )
y ⋅ ⋅ dA − z ⋅ ⋅ dA
M = M = τ
τ
t
x
A
xz
xy
41

Deformacije
42

1. Duljinska (normalna) deformacija ε
2. Kutna (posmi na) deformacija γ
3. Obujamska deformacija Θ
43

ε
ij
=
ε
ε
ε
x
yx
zx
Tenzor deformacija
ε
ε
ε
xy
y
zy
– tenzor drugog reda
ε
ε
ε
xz
yz
z
=
1
2
1
2
3 2 = 9 podataka+mjerna jedinica
ε
x
γ
γ
yx
zx
1
2
1
2
γ
ε
y
γ
xy
zy
1
2
1
2
γ
γ
ε
z
xz
yz
44

Simetri nost tenzora deformacija
ε
xy
• 6 podataka
ε
ij
=
=
ε
ε
x
1
γ
2
1
γ
2
yx
zx
yx
=
1
γ
2
ε
y
1
γ
2
1
2
xy
zy
γ
xy
1
γ
2
1
γ
2
ε
z
xz
yz
45

ε
=
l →0
1. Duljinska deformacija ε
lim
∆l
l
46

A1B
1 − AB
ε AB = lim = ε x
B→
A AB
ε
AC
=
A1C
1 − AC
lim = ε
AC
C→
A
y
47

• Kutna
deformacija
π
γ BAC = lim
− ∠ B1A1C1
= γ
2
B→
A
C → A
xy
48

2. Kutna deformacija γ
ili posmi na deformacija
49

Predznaci deformacija
50

Ravinsko stanje deformacija
ε z = ε zx = ε zy = 0
51

Glavne deformacije (γ = 0)
ε 1 = ?
ε 2= ?
ϕ 0 = 0
52

Mohrova kružnica deformacija
55

57
Glavne deformacije
2
2
2
,
1
2
1
2
2
+
−
±
+
= xy
y
x
y
x
γ
ε
ε
ε
ε
ε
y
x
xy
y
xy
tg
ε
ε
γ
ε
ε
γ
ϕ
−
=
−
⋅
=
2
2
1
2
x
0
y
x
xy
tg
ε
ε
γ
ϕ
−
=
0
2

3. Obujamska deformacija
relativna promjena elementarnog obujma
Θ
59

ε
ε
ε
z
3. Obujamska deformacija
relativna promjena elementarnog obujma
x
y
= lim
a→0
=
b→0
=
c→0
∆a
a
∆b
lim
b
∆c
lim
c
60
Θ

Θ = lim
V →0
Θ
sr
≈
∆a
a
3. Obujamska deformacija
∆V
V
+
∆V
Θ = lim
V →0 V
∆b
b
+
x
∆c
c
≈ ε + ε + ε
y
z
Θ
61

3. Obujamska deformacija
Θ = ε
+ ε + ε = ε + ε + ε
x
y
z
1
2
3
=
konst.
62