Modelovánà proudÄnà vody na mÄrném pÅelivu - kvhem
Modelovánà proudÄnà vody na mÄrném pÅelivu - kvhem
Modelovánà proudÄnà vody na mÄrném pÅelivu - kvhem
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE<br />
FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ<br />
DIPLOMOVÁ PRÁCE<br />
Modelování proudění <strong>vody</strong> <strong>na</strong> měrném přelivu<br />
Vedoucí práce: Ing. Jiří Pavlásek, Ph.D.<br />
Diplomant: Roman Kožín<br />
2009
Prohlášení<br />
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně pod<br />
vedením Ing. Jiřího Pavláska, Ph.D., a že jsem uvedl všechny literární<br />
prameny ze kterých jsem čerpal.<br />
V Praze 30.7.2009<br />
…………………………
Poděkování<br />
Rád bych poděkoval vedoucímu diplomové práce, Ing. Jiřímu Pavláskovi,<br />
Ph.D., za rady a připomínky. Dále pak Ing. Martinu Kantorovi a Ing. Aleši<br />
Macálkovi, kteří mi pomáhali s praktickou částí řešení ve FLUENTu. Ing.<br />
Petru Baštovi za pomoc při interpolaci gridu a Šárce Brdlíkové za pomoc při<br />
měření s totální stanicí.
Abstrakt<br />
Diplomová práce se zabývá 3D simulací neustáleného proudění<br />
v korytě Ptačího potoka <strong>na</strong> Šumavě, kde byl vybudován měrný profil<br />
s Thomsonovým přelivem. Měrný profil i koryto byly zaměřeny za účelem<br />
vytvoření výpočetní sítě sloužící k simulaci proudění v potoce a <strong>na</strong> měrném<br />
přelivu. Prostřednictvím variantních výpočtů byly určeny body kozumpční<br />
křivky přelivu a její zpřesnění při extrémním průtoku. K tomu bylo využito<br />
matematického modelování CFD a softwarového prostředí FLUENT. Přínos<br />
práce je v ověření přesnosti měření průtoků a zpřesnění konzumpční křivky<br />
v oblasti extrémních průtoků.<br />
Klíčová slova: CFD modelování, otevřená koryta, konzumpční křivka<br />
Abstract<br />
This thesis deals with 3D simulation of unsteady flow in open channel<br />
of Ptaci Potok in Sumava. A V-notch scharp-crested weir was built up there<br />
with a hydrometric profile. The weir and the channel were located in order to<br />
set up a numerical grid for the flow simulation. Computatio<strong>na</strong>l fluid dy<strong>na</strong>mics<br />
(CFD) and FLUENT software was used for the simulation. Using the variant<br />
calculus the points of discharge curve and its extrapolation for extreme<br />
discharge can be determined. This type of simulation can verify the actual<br />
values of discharge measurements and improves the accuracy of the<br />
discharge curve for extreme discharges.<br />
Key words: CFD modeling, open channel, discharge curve
Obsah<br />
1. Úvod .......................................................................................................... 8<br />
2. Cíle práce................................................................................................... 8<br />
3. Charakteristika území ................................................................................ 9<br />
3.1 Charakteristiky povodí........................................................................ 10<br />
3.2 Měrný přeliv........................................................................................ 10<br />
4. Mechanika tekutin .................................................................................... 11<br />
4.1 Newtonské tekutiny ............................................................................ 11<br />
4.2 Nenewtonské tekutiny ........................................................................ 12<br />
4.3 Fyzikální vlastnosti tekutin.................................................................. 12<br />
4.4 Hydrostatika ....................................................................................... 14<br />
4.5 Hydrody<strong>na</strong>mika .................................................................................. 15<br />
4.5.1 Základní pojmy z hydrody<strong>na</strong>miky................................................. 15<br />
4.5.2 Režim proudění ........................................................................... 18<br />
4.5.2.1 Ustálené rovnoměrné proudění ................................................ 18<br />
4.5.2.2 Ustálené nerovnoměrné proudění ............................................ 19<br />
4.5.2.3 Neustálené proudění................................................................. 20<br />
4.5.2.4 Proudění bystřinné, kritické a říční............................................ 21<br />
4.5.3 Rovnice proudění tekutin ............................................................. 24<br />
4.5.3.1 Rovnice kontinuity..................................................................... 24<br />
4.5.3.2 Eulerova rovnice ideální tekutiny .............................................. 26<br />
4.5.3.3 Navier-Stokesova rovnice pro nestlačitelnou tekutinu............... 28<br />
4.5.3.4 Bernoulliho rovnice ................................................................... 29<br />
4.5.4 Proudění v korytech a jeho řešení ............................................... 31<br />
4.5.4.1 Ustálený rovnoměrný průtok ..................................................... 32<br />
4.5.4.2 Ustálený nerovnoměrný průtok ................................................. 33<br />
4.5.4.3 Neustálený průtok..................................................................... 36<br />
5. Přepad ..................................................................................................... 37<br />
5.1 Přepad přes ostrou hranu................................................................... 37<br />
5.1.1 Obecný tvar rovnice přepadu....................................................... 39<br />
6. Thomsonův přeliv..................................................................................... 40<br />
6.1 Omezení použitelnosti........................................................................ 43
6.2 Konzumpční křivka při extrémních průtocích...................................... 44<br />
7 Matematické CFD modelování.................................................................. 45<br />
7.1 Výpočetní síť ...................................................................................... 45<br />
7.2 Gambit................................................................................................ 46<br />
7.2.1 Kvalita sítě ................................................................................... 47<br />
7.3 Fluent ................................................................................................. 48<br />
7.3.1 Metoda konečných objemů .......................................................... 49<br />
7.3.2 Numerické řešení turbulence ....................................................... 52<br />
7.3.3 Vícefázové proudění.................................................................... 56<br />
7.3.4 Solver........................................................................................... 57<br />
7.3.5 Konvergence................................................................................ 59<br />
8 Interpolační metoda IDW .......................................................................... 60<br />
9 Metodika ................................................................................................... 62<br />
9.1 Sběr a zpracování dat ........................................................................ 62<br />
9.2 Tvorba geometrie a sítě...................................................................... 63<br />
9.3 Vlastní výpočet ................................................................................... 69<br />
9.3.1 Nastavení výpočtu ....................................................................... 69<br />
10. Výsledky a diskuze ................................................................................ 74<br />
11 Závěr....................................................................................................... 78<br />
12 Použitá literatura ..................................................................................... 79<br />
13 Příloha 1.................................................................................................. 80
Použité z<strong>na</strong>čky<br />
p – tlak [Pa]<br />
T – teplota [°C, °K]<br />
C p – měrné teplo [J/Kg/K]<br />
ρ − hustota [Kg/m3]<br />
m – hmotnost [Kg]<br />
V – objem [m3]<br />
β – objemová roztažnost<br />
χ − objemová stlačitelnost [m 2 .N -1 ]<br />
η − dy<strong>na</strong>mická viskozita [N.s.m -2 ]<br />
ν – kinematická viskozita [m 2 .s -1 ]<br />
σ – povrchové <strong>na</strong>pětí [N.m -1 ]<br />
τ – tangenciální <strong>na</strong>pětí [N.m -2 ]<br />
R e – Reynoldsovo číslo [-]<br />
R – hydraulický poloměr [-]<br />
F r – Froudovo číslo [-]<br />
S – obsah, plocha [m 2 ]<br />
v – rychlost [m.s -1 ]<br />
Q – průtok [m 3 .s -1 ]<br />
Q m – hmotnostní průtok [kg.s -1 ]<br />
F – síla [N]<br />
a – zrychlení [m.s -2 ]<br />
l – délka [m]<br />
g – gravitační zrychlení [m.s -2 ]<br />
ζ − ztrátový součinitel [-]<br />
e z –ztrátová energie [-]<br />
h, z, H – výška, hloubka [m]<br />
C e – přepadový součinitel [-]<br />
Θ – úhel v koruně přelivu [°]<br />
α – rychlostní koef. [-]<br />
E – specifická energie [-]<br />
i 0 , i e , i f – sklon d<strong>na</strong>, čáry energie, čáry ztrát [-]<br />
m – sklon břehů [-]<br />
b, B – šířka [m]<br />
K h – koef. vlastnosti kapalin [-]<br />
C – Chezyho rychlostní součinitel [m 0.5 .s -1 ]<br />
n – Manningův součinitel drsnosti [-]
1. Úvod<br />
Řešení odtoku z malých lesnických a zemědělských povodí a jeho<br />
měření je problém, kterým se zabývá současná hydrologie. Právě<br />
zpřesňování měření průtoků, zvláště pak měření popř. simulace<br />
povodňových vln jsou faktory, které nám pomohou poskytnout informace o<br />
chování daného povodí. Diplomová práce se zabývá simulací proudění<br />
v korytě Ptačího potoka, přesněji jeho části v pramenné oblasti, kde byl<br />
vybudován měrný profil s Thomsonovým přelivem. Ptačí potok odvodňuje<br />
experimentální povodí Modrava 2, které se <strong>na</strong>chází <strong>na</strong> severním svahu Malé<br />
Mokrůvky <strong>na</strong> Šumavě.<br />
Modravská povodí byla vybudová<strong>na</strong> Katedrou vodního hospodářství a<br />
Katedrou biotechnických úprav krajiny FLE ČZU v roce 1998 v rámci<br />
výzkumných aktivit grantového projektu VaV 620/6/97 „Obnova biodiverzity a<br />
stability lesních ekosystémů v pásmu přirozeného rozšíření smrku <strong>na</strong> území<br />
NP Šumava“. V současné době jsou spravová<strong>na</strong> Katedrou vodního<br />
hospodářství a environmentálního modelování. (www.<strong>kvhem</strong>.cz)<br />
2. Cíle práce<br />
Práce si klade za cíl zaměřit měrný profil a koryto Ptačího potoka.<br />
Vytvořit výpočetní síť a <strong>na</strong>simulovat proudění v potoce a <strong>na</strong> měrném přelivu.<br />
Prostřednictvím variantních výpočtů určit měrnou křivku (kozumpční křivku)<br />
přelivu a její zpřesnění při extrémních průtocích. K tomu bude využito<br />
matematického modelování s numerickými metodami CFD (Computatio<strong>na</strong>l<br />
Fluid Dy<strong>na</strong>mics) a softwarového prostředí FLUENT, který s těmito metodami<br />
pracuje. Následně vyhodnocení výsledků simulace a jejich porovnání<br />
s výsledky měření a ověření tak správné funkce měrného přelivu.<br />
8
3. Charakteristika území<br />
Experimentální povodí Modrava 2 se <strong>na</strong>chází <strong>na</strong> severním svahu Malé<br />
Mokrůvky v pramenné oblasti Ptačího potoka (hydrologické pořadí povodí 1-<br />
08-01-002), 5 km jižně od Filipovy Huti, <strong>na</strong> hranici s Bavorskem.<br />
Po kůrovcové kalamitě byla v této lokalitě povole<strong>na</strong> těžba <strong>na</strong>padeného<br />
smrkového porostu. Původní smrkový porost byl starý přibližně 160 let a <strong>na</strong><br />
části plochy se vyskytoval porost starý 26 let. Porost rovnoměrně pokrýval<br />
celou plochu povodí. Po těžbě byla paseka zalesně<strong>na</strong> smrkem a částečně<br />
jeřábem a klenem.<br />
V současné době tvoří povrch terénu vysazené a náletové dřeviny,<br />
travní porost, tlející větve a pařezy, které zde zbyly po těžbě. Na povodí se<br />
jako půdní typy vyskytují především podzoly nebo kryptopodzoly s velkým<br />
zastoupením skeletu ve všech půdních horizontech. Hloubka půdního profilu<br />
je 0,6–0,8 m (www.<strong>kvhem</strong>.cz).<br />
Z hydrologického hlediska jde o oblast srážkově <strong>na</strong>dprůměrnou.<br />
Spadne zde v průměru 1224 mm za rok. V oblasti je půda obvykle velmi<br />
saturová<strong>na</strong>, takže po vydatnějších deštích dochází k povrchovému odtoku.<br />
Ten má pak za následek extrémní průtoky. Zatím největší průtok byl změřen<br />
8.8.2008 o hodnotě 277 l.s -1 . Průměrný průtok činí 2,68 l.s -1 . Co se týče<br />
teploty je oblast chladná a její průměrná teplota je 5,52 °C. Minimum je -17,4<br />
a maximum 31,5 °C.<br />
9
Obr. 3.1 Povodí Modrava 2 (www.<strong>kvhem</strong>.cz, 2009)<br />
3.1 Charakteristiky povodí<br />
• Plocha povodí: 0,16 Km 2<br />
• Min. <strong>na</strong>dmořská výška: 1197 m.n.m.<br />
• Max.<strong>na</strong>dmořská výška: 1330 m.n.m.<br />
• Délka údolnice: 0,745 Km<br />
• Sklon svahů: 0,21<br />
(www.<strong>kvhem</strong>.cz 2009)<br />
3.2 Měrný přeliv<br />
Průtok v profilu je vypočítáván z přepadové výšky <strong>na</strong> trojúhelníkovém<br />
Thomsonově přelivu, která je automaticky snímá<strong>na</strong> tlakovým čidlem v<br />
časovém kroku 1 hod. Přeliv je s bočními kontrakcemi jak je vidět <strong>na</strong> (Obr.<br />
3.2).<br />
10
Obr. 3.2 Měrný přeliv (www.<strong>kvhem</strong>.cz 2009)<br />
4. Mechanika tekutin<br />
4.1 Newtonské tekutiny<br />
Jsou tekutiny, které mají lineární závislost mezi tangenciálním <strong>na</strong>pětím a<br />
rychlostním gradientem ve směru kolmém k proudu (Kolář et al. 1966). Tzn.,<br />
že u nich platí Newtonův zákon dy<strong>na</strong>mické viskozity (Obr. 4.2).<br />
dv<br />
τ = η [N.m<br />
−2 ]<br />
(4.1)<br />
dy<br />
11
Obr. 4.1. Rozdělení tekutin (Kolář et al. 1966)<br />
Mezi tyto tekutiny patří větši<strong>na</strong> plynů i kapalin o nízké molekulární tíze, <strong>na</strong>př.<br />
voda.<br />
Obr. 4.2 Newtonův zákon dy<strong>na</strong>mické viskozity (Drábková et al. 2007)<br />
4.2 Nenewtonské tekutiny<br />
Nemají vztah mezi tečným <strong>na</strong>pětím a gradientem rychlosti lineární.<br />
Mezi takovéto tekutiny patří tekutiny dilatantní (silně koncentrované<br />
suspenze), pseudoplastické (roztoky polymerů jako jsou polyethylen a<br />
polystyren) a Binghamovy plastické hmoty (řídké kaše, bahno, kaly a<br />
pasty) (Kolář et al. 1966).<br />
4.3 Fyzikální vlastnosti tekutin<br />
• Skupenství <strong>vody</strong> může být pevné, kapalné a plynné. Bod tání a<br />
výparu se obecně mění s tlakem a samozřejmě s teplotou. U <strong>vody</strong><br />
existuje tzv. trojný bod <strong>vody</strong>, ve kterém může voda existovat ve všech<br />
třech skupenstvích současně (Obr. 4.3). V tomto bodě je rovnováha<br />
12
mezi pevnou, kapalnou a plynnou fází. Souřadnice pro TP jsou<br />
p=611,73 Pa a T=273,16 °K (Kolář et al. 1966).<br />
Obr. 4.3 Trojný bod <strong>vody</strong> (www.wikipedia.org 2009)<br />
Na (Obr. 4.3) je ještě důležitý kritický bod. Ve kterém může existovat<br />
voda ve skupenství plynném i kapalném současně. V tomto bodě je<br />
tedy rovnováha mezi kapalnou a plynnou fází. Hodnoty pro CP jsou<br />
T=374 °C a p=22,064 MPa (<strong>na</strong>vajo.cz 2009).<br />
• Měrné teplo <strong>vody</strong> je teplo Cp, které 1 Kg <strong>vody</strong> potřebuje k ohřátí o<br />
1°C. Se pohybuje v rozmezí 4217,8 – 4216 J.Kg -1 .K -1 pro teploty 0°C –<br />
100°C při tlaku 1013,25 hPa (Kolář et al. 1966).<br />
• Hustota, neboli měrná hmotnost je definová<strong>na</strong> jako<br />
[ Kg.m ]<br />
−3<br />
m<br />
ρ = (4.2)<br />
V<br />
Nejvyšší hustota <strong>vody</strong> za normálního tlaku <strong>na</strong>stává při teplotě 3,98 °C<br />
(Kolář et al. 1966).<br />
• Objemová roztažnost tekutin je definová<strong>na</strong> jako<br />
(Kolář et al. 1966).<br />
1 ∂V<br />
β =<br />
(4.3)<br />
V ∂T<br />
0<br />
13
• Objemová stlačitelnost tekutin je definová<strong>na</strong> jako<br />
(Kolář et al. 1966).<br />
1 ∂V<br />
2 −<br />
χ = − [m .N<br />
1 ]<br />
(4.4)<br />
V ∂p<br />
0<br />
• Tepelná vodivost tekutin vyjadřuje schopnost látky vést teplo,<br />
nemění-li částice svou polohu vzhledem ke zdroji tepla (Kolář et al.<br />
1966).<br />
• Viskozita (vazkost) tekutin vzniká v důsledku tečných <strong>na</strong>pětí a tedy<br />
tření, které je způsobeno pohybem sousedních vrstev tekutiny<br />
s různými rychlostmi. V kapalině je způsobená kohezí částic a<br />
v plynech výměnou hybnosti mezi vrstvami s různou rychlostí.<br />
Dy<strong>na</strong>mická viskozita je tedy definová<strong>na</strong> jako<br />
dy<br />
η = τ [N.s.m<br />
−2 ]<br />
(4.5)<br />
dv<br />
Kinematickou viskozitu vyjadřuje poměr dy<strong>na</strong>mické viskozity a<br />
hustoty. Tedy:<br />
η<br />
ν = [m 2 .s<br />
−1<br />
]<br />
(4.6)<br />
ρ<br />
Se stoupající teplotou viskozita kapalin klesá, kdežto u plynů roste<br />
(Kolář et al. 1966).<br />
• Povrchové <strong>na</strong>pětí volného povrchu kapaliny je způsobeno<br />
molekulárními silami, které se jej s<strong>na</strong>ží zmenšit. Napětí je dáno<br />
vztahem<br />
d F<br />
σ = [N.m −1<br />
]<br />
(4.7)<br />
dl<br />
vyjadřující účinek kohezních sil mezi molekulami kapaliny vztažený <strong>na</strong><br />
jednotku délky uzavřené hranice (Kolář et al. 1966).<br />
4.4 Hydrostatika<br />
Zabývá se zákony tlaku a jeho rozdělení v kapalinách, které jsou v klidu<br />
vzhledem ke stěnám nádoby jež je obsahuje (Kolář et al. 1966). Z<strong>na</strong>mená to<br />
tedy, že tvar objemu kapaliny se nemění. Touto částí mechaniky se však<br />
práce nezabývat nebude. Práce je zaměře<strong>na</strong> <strong>na</strong> část druhou –<br />
hydrody<strong>na</strong>miku.<br />
14
4.5 Hydrody<strong>na</strong>mika<br />
Zabývá se prouděním kapalin. Proudění reálných kapalin je složitý problém<br />
proto se zavádí zjednodušení ve formě ideální nevazké kapaliny. Proudění<br />
se může vyšetřovat v prostoru, rovině nebo po křivce, známé také jako 3D,<br />
2D a 1D proudění (Drábková et al. 2007).<br />
4.5.1 Základní pojmy z hydrody<strong>na</strong>miky<br />
• Laminární proudění: částice tekutiny se pohybují v tenkých vrstvách,<br />
aniž se přemísťují po průřezu viz. (Obr. 4.4). U laminárního proudění v<br />
potrubí je rychlostní profil rotační paraboloid viz. (Obr. 4.5).<br />
Obr. 4.4 Laminární proudění (Drábková et al. 2007)<br />
Obr. 4.5 Rychlostní profil (Drábková et al. 2007)<br />
• Turbulentní proudění: částice tekutiny mají kromě podélné rychlosti<br />
také turbulentní (fluktuační) rychlost, jíž se přemísťují po průřezu viz.<br />
(Obr. 4.6). Částice tekutiny neustále přecházejí z jedné vrstvy do<br />
druhé, přičemž dochází k výměně kinetické energie a jejich rychlosti<br />
po průřezu se z<strong>na</strong>čně vyrovnávají. Protože při přemístění částic<br />
dochází též ke změně hybnosti, což se projevuje brzdícím účinkem,<br />
bude výsledný odpor proti pohybu větší než odpovídá smykovému<br />
<strong>na</strong>pětí od vazkosti při laminárním proudění. Rychlostní profil<br />
turbulentního proudu v potrubí se proto více podobá obdélníku, a to<br />
15
tím více, čím větší je turbulence (Drábková et al. 2007), tj. čím větší je<br />
Reynoldsovo číslo R e viz. (Obr. 4.7).<br />
Obr. 4.6 Turbulentní proudění (Drábková et al. 2007)<br />
Obr. 4.7 Rychlostní profil (Drábková et al. 2007)<br />
• Trajektorie je pomyslná čára po které probíhá částice tekutiny. Za<br />
ustáleného proudění se trajektorie s časem nemění <strong>na</strong>opak u<br />
neustáleného mohou být trajektorie v každém časovém okamžiku jiné<br />
(Drábková et al. 2007).<br />
• Proudnice jsou obálkou vektorů rychlostí a jejich tečny udávají směr<br />
vektoru rychlosti. U neustáleného proudění vytvářejí proudnice různé<br />
částice a nejsou totožné s drahami částic. U ustáleného proudění se<br />
nemění rychlosti s časem, a proto mají proudnice stále stejný tvar a<br />
jsou totožné s drahami částic (Drábková et al. 2007).<br />
16
Obr. 4.8 Proudnice rychlosti v čerpadle (Soukal et Sedlář 2009)<br />
• Proudová trubice je tvoře<strong>na</strong> svazkem proudnic, které procházejí<br />
zvolenou uzavřenou křivkou k. Plášť proudové trubice má stejné<br />
vlastnosti jako proudnice viz. (Obr. 4.9).<br />
Obr. 4.9 Proudová trubice (Drábková et al. 2007)<br />
Protože směr rychlosti je dán teč<strong>na</strong>mi k proudnicím, je v každém bodě<br />
pláště proudové trubice normálová složka rychlosti nulová v n = 0 .<br />
Nemůže tedy žádná částice projít stěnou proudové trubice. Proudová<br />
trubice rozděluje prostorové proudové pole <strong>na</strong> dvě části. Částice<br />
tekutiny nemohou přetékat z jedné části proudového pole do druhého,<br />
a proto platí, že všechny částice protékající průřezem S proudové<br />
trubice, musí protékat libovolnými průřezy S 1 , S 2 téže proudové<br />
trubice. Jestliže průřez proudové trubice S → 0 , dostane se proudové<br />
vlákno. Proudová trubice představuje pomyslné potrubí (Drábková et<br />
al. 2007).<br />
17
• Reynoldsovo číslo charakterizuje daný proud a režim proudění.<br />
Vypočítá se dle vztahu<br />
v.l<br />
Re = (4.8)<br />
ν<br />
kde v je rychlost, l je charakteristická délka (u otevřených koryt se za l<br />
dosazuje hydraulický poloměr<br />
S<br />
R = (4.9)<br />
O<br />
O je omočený obvod), ν je kinematická viskozita. Pro proudění<br />
v korytech není hodnota R e rozdělující laminární (Obr. 4.4) a<br />
turbulentní (Obr. 4.6) režim. Jedná se spíše o interval <br />
charakterizující zónu přechodu. Kde může být proudění jak laminární<br />
tak turbulentní. R e < 530 zaručuje proudění laminární a R e > 3450<br />
proudění turbulentní (Boor et al. 1968).<br />
• Froudovo číslo je dáno výrazem<br />
2<br />
v<br />
Fr = (4.10)<br />
g.<br />
y<br />
Dle Froudova čísla se rozlišuje proudění bystřinné, kritické a říční, viz.<br />
níže.<br />
4.5.2 Režim proudění<br />
Kromě proudění laminárního a turbulentního, jejichž definice je uvede<strong>na</strong><br />
výše, se rozděluje proudění ještě do následujících kategorií.<br />
4.5.2.1 Ustálené rovnoměrné proudění<br />
Je neproměnné časově i místně, tedy:<br />
∂v<br />
∂v<br />
∂Q<br />
∂Q<br />
= 0 , = 0 , = 0 , = 0<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂t<br />
∂t<br />
Může vzniknout jen v pravidelných prizmatických korytech stálého sklonu,<br />
jehož všechny příčné řezy jsou stejné a je stálý průtok. Hladi<strong>na</strong> je<br />
rovnoběžná se dnem (při zanedbání místních ztrát), takže sklony hladiny a<br />
d<strong>na</strong> se rov<strong>na</strong>jí. Jelikož jsou střední rychlosti ve všech průřezech stejné, bude<br />
i čára energie rovnoběžná se dnem (Kunštátský et Patočka 1971). Čili jak<br />
18
uvádí Kolář (1966), jsou-li v rovnováze síly působící pohyb kapaliny a síly<br />
tento pohyb brzdící. Pohyb kapaliny způsobuje gradient tlaku nebo složka<br />
gravitačního zrychlení působící ve směru proudění.<br />
4.5.2.2 Ustálené nerovnoměrné proudění<br />
Tento pohyb můžeme ještě dále rozdělit do dvou kategorií.<br />
• Zvol<strong>na</strong> se měnící<br />
Charakterizuje při stálém průtoku zvol<strong>na</strong> se měnící střední rychlost a<br />
tedy v prizmatickém korytě změnu hloubky proudu. Tento pohyb<br />
vzniká v prizmatickém kanálu kde je <strong>na</strong>př. překážka proudění jako je<br />
jez nebo změ<strong>na</strong> spádu. Vzdutí a snížení vznikající při tomto druhu<br />
pohybu závisí především <strong>na</strong> tření kapaliny o stěny koryta. Pohyb<br />
definují tyto rovnice<br />
∂Q<br />
∂Q<br />
∂v<br />
∂v<br />
= 0,<br />
= 0, = 0, ≠ 0.<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂t<br />
∂x<br />
Vlastnosti proudu a koryta se nemění po uvažovanou dobu. Proudnice<br />
se považují za rovnoběžné – což umožňuje předpoklad<br />
hydrostatického rozdělení tlaků v celém průtočném průřezu a dále<br />
možnost zanedbat svislou a příčnou složku vektoru rychlosti a<br />
vyšetřovat pohyb jako rovinný. Pro střední rychlost platí vztah<br />
Q<br />
v = (4.11)<br />
S<br />
Hloubka po svislici nebo po kolmici ke dnu je prakticky stejná.<br />
Součinitel drsnosti nezávisí <strong>na</strong> hloubce (Kolář et al. 1966).<br />
• Náhle se měnící<br />
Tento pohyb se vyz<strong>na</strong>čuje především velkou křivostí proudnic,<br />
příkladem je třeba vodní skok. V místě náhlé změny křivosti se vytvoří<br />
oblast silné turbulence. Díky zakřivení proudnic dochází při proudění<br />
k šikmému rozdělení tlaků, které již pak nelze považovat za<br />
hydrostatické (Sturm 2001). Rychlá změ<strong>na</strong> je v krátkém úseku, takže<br />
tření je zanedbatelné. Náhlá změ<strong>na</strong> pohybu závisí <strong>na</strong> geometrii<br />
překážek. Rozdělení rychlostí v proudu není pravidelné takže neplatí<br />
rovnice (4.11). Tvoří se víry a válce takže účinná plocha proudu není<br />
19
dá<strong>na</strong> pevnými stě<strong>na</strong>mi, ale plochou mezi vírovými oblastmi (Kolář et<br />
al. 1966).<br />
4.5.2.3 Neustálené proudění<br />
Nastává jestliže průtok, rychlost, průtočná plocha a hloubka proudu<br />
jsou proměnné, závislé <strong>na</strong> poloze a čase. Tedy:<br />
∂Q<br />
∂Q<br />
∂v<br />
∂v<br />
≠ 0,<br />
≠ 0, ≠ 0, ≠ 0<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂t<br />
∂x<br />
Základní typy tohoto proudění jsou oscilační pohyb a translační pohyb.<br />
• Oscilační pohyb<br />
Je charakterizován kmitáním částic <strong>vody</strong> kolem rovnovážné polohy<br />
bez přenosu průtoku od místa vzniku vlnového pohybu (vlny <strong>na</strong><br />
hladině, vlny vyvolané nárazem apod.).<br />
• Translační (vlnový) pohyb<br />
Je kromě vychýlení hladiny z původní polohy charakterizován<br />
přenosem průtoku od místa vzniku translačního pohybu (povodňové<br />
vlny). Jinými slovy translační vl<strong>na</strong> je neustálený pohyb v podélném<br />
směru, který vyvolává změny průtoku, rychlosti a hloubky v čase<br />
(Kolář et al. 1966). Rozlišují se čtyři charakteristiky translačního<br />
pohybu.<br />
Čelo vlny: přechod mezi původním prouděním a prouděním<br />
vyvolaným změnou polohy hladiny či průtoku. V případě pomalu<br />
proměnného proudění je čelo vlny prakticky nepostřehnutelné, kdežto<br />
u rázových vln zasahuje konečnou oblast. V případě vln poměrně<br />
vysokých (y max : y 0 > 1,8 m) vzhledem k hloubce původního proudění je<br />
čelo tvořeno překlápějícím se provzdušněným vodním válcem. Pro 1,8<br />
< y max : y 0 < 1,4 je čelo tvořeno menším provzdušněným válcem a<br />
zvlněnou hladinou v kratším úseku. Pro y max : y 0 < 1,4 je čelo tvořeno<br />
řadou vln, obdobným oscilačním vlnám, jejichž amplituda se postupně<br />
směrem od původního proudění zmenšuje, přičemž hladi<strong>na</strong> kolísá<br />
kolem určité střední polohy, v kterou postupně přechází (Kolář et al.<br />
1966).<br />
Tělo vlny: je oblast za čelem vlny, kde dochází mezi krajním<br />
profilem čela vlny a obecným profilem těla vlny ke změně průtoku ΔQ.<br />
20
Ten je definován jako vlnový průtok, tj. průtok přenášený vlnou v této<br />
oblasti (Kolář et al. 1966).<br />
Absolutní postupivost čela vlny je rychlost, kterou postupuje<br />
čelo vlny po proudu nebo proti proudu původniho proudění vzhledem k<br />
pozorovateli stojícímu <strong>na</strong> břehu (Kolář et al. 1966).<br />
Relativní postupivost čela vlny je rychlost, kterou postupuje<br />
čelo vlny vzhledem k pozorovateli pohybujícímu se rychlostí<br />
původního proudění. Pohybuje-li se translační vl<strong>na</strong> po hladině v klidu,<br />
potom je absolutní postupivost rov<strong>na</strong> relativní postupivosti. (Kolář et al.<br />
1966).<br />
4.5.2.4 Proudění bystřinné, kritické a říční<br />
Jak již bylo uvedeno výše, bystřinné, kritické a říční proudění rozděluje<br />
Froudovo číslo. Toto číslo je velmi spjato s energií proudění a tak jeho<br />
odvození začne definicí specifické energie čili energetické výšky.<br />
Specifická energie (energetická výška)<br />
Tento termín poprvé zavedl v roce 1912 Bakhmeteff a definoval ho<br />
jako<br />
P<br />
ρg<br />
+ z = h<br />
kde h je hloubka. Takže výška specifické energie se definuje jako<br />
H<br />
(4.12)<br />
2<br />
v<br />
= h +<br />
(4.13)<br />
2g<br />
0<br />
α<br />
kde α je koeficient rozdělení rychlosti. Je vidět, že specifická energie se<br />
rovná součtu hloubky v korytě a rychlostní výšky. Ovšem za předpokladu, že<br />
proudnice jsou nezakřivené a rovnoběžné. Platí-li rovnice (4.11) potom<br />
H<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
= h + α<br />
(4.14)<br />
2<br />
2gS<br />
kde S je plocha průřezu a Q je průtok tímto průřezem. Z této rovnice je vidět,<br />
že za konstantního průtoku v dané části koryta je specifická energie funkcí<br />
pouze hloubky <strong>vody</strong> (Bos et al. 1976). Grafické vynesení závislosti hloubky<br />
<strong>vody</strong> h a specifické energie dává křivku specifické energie viz. (Obr. 4.10).<br />
21
Obr. 4.10 Vztah hloubky <strong>na</strong> specifické energii (Bos et al. 1976)<br />
Pro daný průtok a příslušnou specifickou energii jsou dvě „alter<strong>na</strong>tivní“<br />
hloubky. V bodě C je specifická energie <strong>na</strong> minimu pro daný průtok a dvě<br />
„alter<strong>na</strong>tivní“ hloubky se rov<strong>na</strong>jí. Tato hloubka se <strong>na</strong>zývá kritickou a z<strong>na</strong>čí se<br />
h c . Vztah mezi touto minimální specifickou energií a kritickou hloubkou udává<br />
diferenciální rovnice, kde průtok Q je konstantní.<br />
dH<br />
dh<br />
0<br />
2<br />
2<br />
Q dS v dS<br />
= 1−α<br />
= 1−α<br />
(4.15)<br />
3<br />
gS dh gS dh<br />
dosadí se dS = B.dh<br />
, potom je tedy<br />
dH<br />
dh<br />
0<br />
2<br />
v B<br />
= 1−<br />
α<br />
(4.16)<br />
gS<br />
dH<br />
Je-li specifická energie minimální, platí 0<br />
= 0 a může se psát<br />
dh<br />
v S =<br />
g B<br />
2<br />
α<br />
c c<br />
(4.17)<br />
c<br />
Tato rovnice platí pouze za předpokladu ustáleného proudění<br />
s rovnoběžnými proudnicemi a koryta s malým sklonem d<strong>na</strong>.<br />
Je-li rychlostní koeficient α roven jedné, kriterium pro kritické proudění je<br />
následující:<br />
čili<br />
2<br />
v<br />
c =<br />
g<br />
S<br />
B<br />
c<br />
c<br />
(4.18)<br />
22
S<br />
= gh<br />
(4.19)<br />
c<br />
v<br />
c<br />
g =<br />
Bc<br />
kde v c je kritická rychlost, S c –průřez, B c – šířka. Výraz pro v c tedy udává<br />
Froudovo číslo, které je v tomto případě rovno jedné.<br />
v<br />
c<br />
c<br />
c<br />
F<br />
r<br />
= (4.20)<br />
gh<br />
(Bos et al. 1976)<br />
Je-li hloubka větší než hloubka kritická proudění se <strong>na</strong>zývá podkritické<br />
(říční) a F r < 1, je-li nižší než kritická hloubka, proudění je <strong>na</strong>dkritické<br />
(bystřinné) a F r > 1. Bystřinné proudění tedy charakterizuje malá hloubka a<br />
velká rychlost a říční proudění <strong>na</strong>opak větší hloubka a menší rychlost (Bos et<br />
al. 1976). Při říčním proudění je rychlost <strong>vody</strong> menší než kritická, tedy menší<br />
než rychlost šíření vln, které proto mohou postupovat po hladině směrem po<br />
proudu i proti němu. Naopak při bystřinném proudění nemůže vl<strong>na</strong><br />
postupovat proti proudu (Kunštátský et Patocka 1971).<br />
Jestliže <strong>na</strong>stane rychlá změ<strong>na</strong> v hloubce proudu z vyšší hladiny <strong>na</strong><br />
hladinu nižší, <strong>na</strong>stává tzv. hydraulický propad. Na druhou stranu, stoupne-li<br />
rychle hladi<strong>na</strong> z nižší úrovně <strong>na</strong> vyšší <strong>na</strong>stává tzv. hydraulický (vodní)<br />
skok, který se projevuje turbulencemi (Bos et al. 1976). A je vždy provázen<br />
z<strong>na</strong>čnou ztrátou energie. Zpravidla <strong>na</strong>stává při přechodu z bystřinného do<br />
říčního proudění. (Kunštátský et Patočka 1971). Vodní skok je ilustrován <strong>na</strong><br />
(Obr. 4.11).<br />
23
Obr. 4.11 Vodní skok (Sturm 2001)<br />
Turbulentní víry disipují energii hlavního proudu, mimo to se disipuje<br />
také kinetická energie turbulence. Proto je kinetická energie velmi malá <strong>na</strong><br />
konci vodního skoku. Pro výpočet vodního skoku je vhodné používat rovnice<br />
hybnosti, protože přesný matematický popis tohoto proudění je prakticky<br />
nemožný. Výpočet a detailnější popis uvádí (Sturm 2001).<br />
4.5.3 Rovnice proudění tekutin<br />
4.5.3.1 Rovnice kontinuity<br />
Rovnice kontinuity, často <strong>na</strong>zývaná také rovnice spojitosti, vyjadřuje<br />
obecný fyzikální zákon o zachování hmotnosti. Pro elementární objem,<br />
kterým proudí tekuti<strong>na</strong>, musí být hmotnost tekutiny konstantní m = konst. , a<br />
tedy celková změ<strong>na</strong> hmotnosti nulová dm = 0 . Celkovou změnu hmotnosti lze<br />
dělit <strong>na</strong> lokální a konvektivní, kde lokální (časová) změ<strong>na</strong> probíhá v<br />
elementárním objemu samém (tekuti<strong>na</strong> se stlačuje nebo rozpíná) a<br />
konvektivní změ<strong>na</strong> je způsobe<strong>na</strong> rozdílem hmotnosti přitékající a vytékající<br />
tekutiny z elementárního objemu. Součet konvektivní a časové změny<br />
průtoku je roven nule. Rovnici kontinuity je možné definovat také tak, že<br />
rozdíl vstupující hmotnosti do kontrolního objemu a vystupující hmotnosti z<br />
kontrolního objemu je roven hmotnosti, která se v tomto kontrolním objemu<br />
24
akumuluje (Drábková et al. 2007) Tímto kontrolním objemem<br />
dV = dx.dy.dz tedy protéká tekuti<strong>na</strong> o rychlosti v = (v , v , v )<br />
x<br />
y<br />
z<br />
• Změny způsobené konvekcí - hmotnostní průtok elementem plochy<br />
dS je dán vztahem<br />
→ →<br />
dQ m<br />
= ρ v n . dS<br />
(4.21)<br />
kde vektor rychlosti se skalárně násobí normálovým vektorem<br />
vzhledem k ploše dS , protože průtok je definován v kolmém směru <strong>na</strong><br />
průtočnou plochu dS . Celkový průtok plochou S je tedy určen plošným<br />
integrálem<br />
Q<br />
→ →<br />
m<br />
.<br />
∫∫<br />
= ρ v n dS<br />
(4.22)<br />
S<br />
Ten se pomocí Gaussova – Ostrogradského věty o divergenci vektoru<br />
převede <strong>na</strong> objemový viz. rovnice (4.23).<br />
Q<br />
m<br />
=<br />
∫∫<br />
S<br />
→→<br />
→→ ⎛∂(<br />
ρv<br />
x)<br />
∂(<br />
ρv<br />
y)<br />
∂(<br />
ρv<br />
)<br />
n . dS ∫∫∫div(<br />
v n)<br />
dxdydz<br />
∫∫∫<br />
. dxdydz<br />
x y z ⎟ ⎞<br />
z<br />
ρ v = ρ =<br />
⎜ + +<br />
(4.23)<br />
V<br />
V ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠<br />
(Drábková et al. 2007).<br />
• Změny časové - hmotnost je také definová<strong>na</strong> vztahem m = ρV<br />
.<br />
Jelikož hustota nemusí být v celém objemu konstantní, definuje se <strong>na</strong><br />
elementárním objemu dm = ρ ⋅ dV<br />
, potom je tedy celková hmotnost<br />
objemu<br />
∫∫∫<br />
Průtok za čas t je dán vztahem.<br />
m = ρ .dV<br />
(4.24)<br />
Q<br />
m<br />
=<br />
V<br />
∫∫∫<br />
V<br />
∂ρ<br />
dV =<br />
∂t<br />
∫∫∫<br />
V<br />
∂ρ<br />
d<br />
∂t<br />
x<br />
d<br />
y<br />
d<br />
z<br />
(4.25)<br />
Podle záko<strong>na</strong> zachování hmotnosti (hmotnostního průtoku) platí, že součet<br />
konvektivní a časové změny je roven nule.<br />
∫∫∫<br />
V<br />
∂ρ<br />
d<br />
∂t<br />
x<br />
d d +<br />
y<br />
∫∫∫<br />
V<br />
⎛ ∂(<br />
ρv<br />
⎜<br />
⎝ ∂x<br />
x<br />
) ∂(<br />
ρv<br />
+<br />
∂y<br />
y<br />
) ∂(<br />
ρv<br />
+<br />
∂z<br />
) ⎞<br />
⎟.<br />
d<br />
xd<br />
⎠<br />
z<br />
y<br />
d<br />
z<br />
= 0 (4.26)<br />
Jelikož tato rovnice platí pro libovolný objem V, může se rovnice kontinuity<br />
zapsat v diferenciálním tvaru<br />
25
∂ρ<br />
∂(<br />
ρv<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
x<br />
) ∂(<br />
ρv<br />
+<br />
∂y<br />
y<br />
) ∂(<br />
ρv<br />
+<br />
∂z<br />
z<br />
)<br />
= 0<br />
(4.27)<br />
Při proudění kapalin se předpokládá vzhledem k minimálním změnám<br />
hustoty že<br />
∂ρ<br />
ρ = konst a = 0<br />
∂t<br />
Potom se dá rovnice kontinuity zapsat ve zjednodušeném tvaru<br />
∂v<br />
∂x<br />
nebo ve vektorovém tvaru<br />
x<br />
∂v<br />
y<br />
+<br />
∂y<br />
∂v<br />
z<br />
+<br />
∂z<br />
= 0<br />
(4.28)<br />
(Drábková et al. 2007).<br />
→<br />
v<br />
div ( ) = 0<br />
(4.29)<br />
4.5.3.2 Eulerova rovnice ideální tekutiny<br />
Rovnice vyjadřuje rovnováhu sil hmotnostních (objemových),<br />
→ → →<br />
S<br />
=<br />
O P<br />
tlakových a setrvačných F F + F (Obr. 4.14).<br />
Obr. 4.12 Rozdělení sil <strong>na</strong> elementární objem (Drábková et al. 2007)<br />
26
Diferenciál síly hmotnostní je dán vztahem<br />
→<br />
→<br />
→<br />
d F O<br />
= a.<br />
dm = ρ a.<br />
dV<br />
(4.30)<br />
a diferenciál síly tlakové udává vztah<br />
→ →<br />
d F p = p n.<br />
dS<br />
(4.31)<br />
Celková síla je pak dá<strong>na</strong> objemovým integrálem pro sílu hmotnostní<br />
→ →<br />
F = ρ a . dV<br />
O<br />
∫∫∫<br />
a plošným integrálem pro sílu tlakovou<br />
V<br />
(4.32)<br />
→<br />
→<br />
p<br />
.<br />
Diferenciál setrvačné síly je dán zrychlením<br />
D →<br />
v<br />
Dt<br />
F<br />
∫∫<br />
= − p n dS<br />
(4.33)<br />
S<br />
D → v<br />
(4.34)<br />
Dt<br />
je tzv. substanciální derivace a rozpis pro jednu složku <strong>na</strong>př. x vypadá<br />
následovně:<br />
Dv<br />
Dt<br />
∂v<br />
∂v<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂t<br />
∂v<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂t<br />
∂v<br />
∂z<br />
∂t<br />
∂v<br />
x x x<br />
x<br />
x<br />
x x x x<br />
= + + + = + vx<br />
v<br />
y<br />
vz<br />
(4.35)<br />
∂t<br />
∂z<br />
Pro všechny tři složky je tedy zrychlení<br />
∂t<br />
∂v<br />
∂x<br />
∂v<br />
∂y<br />
∂v<br />
∂z<br />
→<br />
D v<br />
Dt<br />
→<br />
∂ v<br />
→ →<br />
= + ( v . grad)<br />
v<br />
(4.36)<br />
dt<br />
kde<br />
→<br />
→<br />
( v . grad)<br />
v<br />
představuje zrychlení konvektivní. Převede – li se plošný<br />
integrál <strong>na</strong> integrál objemový dle Gaussovy – Ostrogradského věty,<br />
může se psát<br />
→<br />
→<br />
∫∫−<br />
p n dS = −∫∫∫<br />
F = . gradp.<br />
dV<br />
(4.37)<br />
p<br />
S<br />
V<br />
∫∫∫<br />
V<br />
→<br />
D v<br />
→<br />
ρ . dV = ∫∫∫ρ<br />
a.<br />
dV − ∫∫∫ gradp.<br />
dV (4.38)<br />
Dt<br />
Jelikož vztah platí pro libovolný objem tekutiny, bude platit i pro výraz stojící<br />
u integrálu.<br />
V<br />
V<br />
27
Tedy:<br />
Nebo ještě lépe<br />
→<br />
D v<br />
Dt<br />
1<br />
= → a−<br />
gradp<br />
ρ<br />
(4.39)<br />
→<br />
∂ v<br />
→ → →<br />
1<br />
+ ( v . grad)<br />
v = a−<br />
gradp<br />
dt<br />
ρ<br />
(4.40)<br />
Což je Eulerova rovnice ve vektorovém tvaru pro neustálené proudění ideální<br />
tekutiny (Drábková et al. 2007). Podobné odvození uvádí i (Kolář et al. 1966)<br />
nebo (Boor et al. 1968).<br />
4.5.3.3 Navier-Stokesova rovnice pro nestlačitelnou tekutinu<br />
N-S rovnice vyjadřuje rovnováhu sil při proudění kapaliny, kdy<br />
setrvačná síla je rov<strong>na</strong> součtu síly hmotnostní, tlakové a třecí<br />
→<br />
F<br />
S<br />
→ → →<br />
= FO<br />
+ FP<br />
+ Ft<br />
→<br />
. Třecí síla Ft je způsobe<strong>na</strong> viskozitou tekutiny. Základ pro<br />
N-S rovnici tvoří Eulerova rovnice<br />
→<br />
∂ v<br />
→ → →<br />
1<br />
+ ( v . grad)<br />
v = a−<br />
gradp<br />
dt<br />
ρ<br />
(4.41)<br />
→<br />
N-S rovnice se získá přičtením členu ν Δ v , který představuje sílu potřebnou<br />
k překonání viskózního tření tekutiny. Jeho rozpis pro složku x je následující<br />
2 2 2<br />
Δ ⎛ ∂ v<br />
⎞<br />
x<br />
∂ vx<br />
∂ vx<br />
ν v = ⎜<br />
+ + ⎟<br />
x<br />
ν<br />
2 2<br />
(4.42)<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
2<br />
⎠<br />
Výsledný vztah N-S rovnice pro nestlačitelnou tekutinu je pak následující<br />
→<br />
∂ v<br />
→ → →<br />
1<br />
→<br />
+ ( v . grad)<br />
v = a−<br />
gradp + νΔ<br />
v (4.43)<br />
dt<br />
ρ<br />
Při řešení proudění se zpravidla určuje rozložení rychlostí a tlaků. V systému<br />
N-S rovnice a rovnice kontinuity jsou neznámé čtyři veličiny. Složky rychlosti<br />
v x , v y , v z a tlak p. Pro řešení těchto rovnic tedy musíme znát vnější zrychlení<br />
→<br />
a , hustotu tekutiny ρ a okrajové podmínky. Rovnice se řeší numericky<br />
metodou konečných objemů nebo konečných prvků (Drábková et al. 2007).<br />
28
4.5.3.4 Bernoulliho rovnice<br />
Bernoulliho rovnice se dá odvodit z rovnice Navier – Stokesovy, která<br />
vyjadřuje rovnováhu sil při proudění reálných tekutin.<br />
→<br />
∂ v<br />
→ → →<br />
1<br />
→<br />
+ ( v . grad)<br />
v = a−<br />
gradp + νΔ<br />
v (4.44)<br />
dt<br />
ρ<br />
Předpokladem je jednorozměrné proudění v trubici, tedy předchozí rovnice<br />
se zjednoduší tak, že se uvažuje pouze jeden souřadný směr. Vektor<br />
rychlosti má jen jednu souřadnici a rozměr je oz<strong>na</strong>čen l.<br />
∂v<br />
dl +<br />
∂t<br />
1<br />
2<br />
∂v<br />
∂l<br />
2<br />
2<br />
1 ∂p<br />
∂ v<br />
dl = a.cosϕ . dl − dl + ν dl (4.45)<br />
2<br />
ρ ∂l<br />
∂l<br />
Jednotlivé členy rovnice odpovídají jednotlivým energiím. Zleva to je energie<br />
zrychlení (při neustáleném proudění), kinetická energie, potenciální energie,<br />
tlaková energie a ztrátová energie.<br />
Integrací výše uvedené rovnice a zavedením potenciálu silového pole<br />
dU=a.cosϕ.dl se dostane následující rovnice<br />
∫<br />
∂v<br />
dl +<br />
∂t<br />
∫<br />
1<br />
2<br />
∂v<br />
∂l<br />
2<br />
dl +<br />
∫<br />
1 ∂p<br />
dl −<br />
ρ ∂l<br />
2<br />
∂ v<br />
ν dl −<br />
2<br />
∂l<br />
∫<br />
∫<br />
dU.<br />
dl = 0<br />
(4.46)<br />
Obr. 4.13 Schéma proudění v trubici<br />
Pro nestlačitelné proudění se vyčíslí integrály pro průřez 1 a 2 proudové<br />
trubice.<br />
∫<br />
1<br />
2<br />
∂v<br />
⎛ v<br />
dl +<br />
⎜<br />
∂t<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
− v<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⎞ 1<br />
⎟ + ( p<br />
⎠ ρ<br />
2<br />
− p ) −<br />
1<br />
∫<br />
2<br />
∂ v<br />
ν dl − ( U<br />
∂l<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
−U<br />
1<br />
) = 0<br />
(4.47)<br />
Vyčíslení integrálu vyjadřujícího třecí síly je obtížné, proto se prakticky určuje<br />
29
poloempirickými vztahy a oz<strong>na</strong>čuje se e z . Představuje práci třecích sil <strong>na</strong><br />
jednotku hmotnosti proudící tekutiny, což je rozptýlená (disipovaná) energie,<br />
nebo též ztrátová energie spotřebovaná <strong>na</strong> překonání hydraulických odporů<br />
<strong>na</strong> úseku 1 – 2 proudové trubice. Tato ztrátová energie zmenšuje<br />
mechanickou energii (tlakovou + kinetickou + polohovou) tekutiny a mění se<br />
v teplo (Drábková et al. 2007).<br />
Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné tekutiny za neustáleného<br />
režimu a za předpokladu netlakového proudění, kde působí pouze tíhové<br />
zrychlení a = -g a tedy U = -gh je následující<br />
2<br />
2<br />
v1<br />
p1<br />
v2<br />
p2<br />
∂v<br />
+ + gh = + + gh + ∫ 2<br />
1<br />
2<br />
dl +<br />
2 ρ 2 ρ<br />
1<br />
∂t<br />
Ztrátová energie e z se může vyjádřit jako násobek kinetické energie<br />
e z<br />
e z<br />
(4.48)<br />
2<br />
v<br />
= ζ<br />
(4.49)<br />
2<br />
nebo tlakové ztrátové energie<br />
pz<br />
e<br />
z<br />
= (4.50)<br />
ρ<br />
popřípadě ztrátové výšky<br />
e z = h z g (4.51)<br />
Srovnáním uvedených vztahů se dostane<br />
p<br />
2<br />
v<br />
= hz<br />
ρg<br />
ζ ρ<br />
(4.52)<br />
2<br />
z<br />
=<br />
ζ je ztrátový součinitel a závisí <strong>na</strong> druhu hydraulického odporu či ztráty.<br />
Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné tekutiny za ustáleného<br />
∂v<br />
režimu, kde = 0 má tvar<br />
∂t<br />
2<br />
2<br />
p1<br />
v1<br />
p2<br />
v2<br />
+ + gh1<br />
= + + gh2<br />
+<br />
ρ 2 ρ 2<br />
Bernoulliho rovnice vyjádře<strong>na</strong> ve výškách, tj. polohové, tlakové,<br />
kinetické a ztrátové je <strong>na</strong> (Obr. 4.14). Rozdíl mezi čarou celkové energie H a<br />
čarou mechanické energie představuje rozptýlenou (ztrátovou) energii.<br />
e z<br />
(4.53)<br />
30
Obr. 4.14 Beroulliho rovnice vyjádřená ve výškách (Drábková et al. 2007)<br />
4.5.4 Proudění v korytech a jeho řešení<br />
Proudění v říčních korytech je proudění o volné hladině, které vzniká,<br />
když omočený obvod netvoří uzavřenou křivku (Kolář et al. 1966). Volná<br />
hladi<strong>na</strong> je místem, kde se stýká proud kapaliny s ovzduším (atmosférickým<br />
tlakem). Zpravidla se jedná o turbulentní proudění. U otevřených profilů není<br />
tečné <strong>na</strong>pětí rozděleno stejnoměrně podél omočeného obvodu a rozdíl tlaků<br />
způsobuje v jednotlivých profilech druhotná proudění, která zkreslují<br />
rozdělení rychlostí a zvětšují ztráty při proudění. U vodní hladiny jsou tato<br />
proudění <strong>na</strong>víc ovlivně<strong>na</strong> prouděním vzduchu (což se však často zanedbává)<br />
(Drábková et al. 2007).<br />
Rychlost proudění se mění jak s hloubkou tak po šířce koryta.<br />
Maximální rychlost ovšem není uprostřed koryta <strong>na</strong> hladině, ale jak je zřejmé<br />
z izočar rychlosti (Obr. 4.15), je oblast maximální rychlosti posunuta pod<br />
hladinu, což je způsobeno brzděním hladiny o okolní prostředí, tedy o<br />
vzduch. Ztráta rychlosti po obvodu je způsobe<strong>na</strong> třením <strong>vody</strong> o dno a stěny<br />
koryta (Drábková et al. 2007).<br />
Tření vzniká v důsledku drsnosti, která se zpravidla dost liší<br />
v jednotlivých úsecích, kynetě a bermách. Drsnost, která je způsobe<strong>na</strong> jak<br />
elementy ve dně (písek, štěrk, kameny), tak vegetací při březích či jinými<br />
překážkami jako větve, kmeny apod. je těžko určitelná. Základním a<br />
důležitým parametrem po popis proudění v korytě je Froudovo číslo (Sturm<br />
2001).<br />
31
Obr. 4.15 Rychlostní profil v korytě (Drábková et al. 2007)<br />
Komplexnost proudění v korytech často bývá řeše<strong>na</strong> kombi<strong>na</strong>cí teorie<br />
a experimentů, tak jako v ostatních odvětvích mechaniky tekutin. Musí být<br />
splněny základní principy kontinuity, zachování energie a hybnosti. Výsledný<br />
vztah pro řešení je často komplikovaný, zejmé<strong>na</strong> jsou-li průřezy z<strong>na</strong>čně<br />
variabilní. Dříve se řešilo neustálené proudění pomocí numerických<br />
nomogramů a grafických závislostí jednotlivých proměnných kvůli nelinearitě<br />
řídících rovnic a složité geometrii. Dnes nám pro tato řešení pomáhají<br />
výkonné počítače spolu s numerickou matematikou (Sturm 2001).<br />
4.5.4.1 Ustálený rovnoměrný průtok<br />
Rozdělení hydrostatického tlaku ukazuje (Obr. 4.16). Na hladině (1) je<br />
p2<br />
hydrostatický tlak p 1 = 0, kdežto v bodě (2) je tlaková výška = h 0<br />
− z tudíž<br />
ρg<br />
tlak p = ρ g h − ) . To platí za předpokladu nezakřivených proudnic (Bos et<br />
al. 1976).<br />
2<br />
( 0<br />
z<br />
Obr. 4.16 Rozdělení hydrostatického tlaku (Bos et al. 1976)<br />
32
Obr. 4.17 Rovnoměrný průtok v korytě<br />
Hladi<strong>na</strong> <strong>vody</strong> je v tomto případě rovnoběžná se dnem koryta viz. (Obr. 4.17).<br />
Bernoulliho rovnice pro body <strong>na</strong> hladině 1 a 2 je stejná jako rovnice (4.53).<br />
Pro ztráty třením platí vzorec:<br />
2<br />
Δl<br />
v<br />
h z<br />
= z = λ (4.54)<br />
d 2g<br />
kde d = 4R a R je hydraulický poloměr. λ.je součinitel tření.<br />
Poměrný spád koryta je dán vzorcem<br />
2<br />
2<br />
z λ v λ v<br />
i = = =<br />
(4.55)<br />
Δl<br />
d 2g<br />
8g<br />
R<br />
Střední rychlost rovnoměrného průtoku v korytě je potom<br />
8g<br />
v = i.<br />
R = C i.<br />
R<br />
λ<br />
(4.56)<br />
což je Chezyho rovnice a C je tedy rychlostní součinitel. Standardně se ale C<br />
vyjadřuje empirickými vztahy <strong>na</strong> základě drsnosti koryta. Uvedu vztah dle<br />
Manninga<br />
1<br />
6<br />
1<br />
C = R<br />
(4.57)<br />
n<br />
kde n je stupeň drsnosti (Drábková et al. 2007). C je tedy funkcí Reynoldsova<br />
čísla, tvaru profilu, charakteru stěn a Froudova čísla (Kolář et al. 1966).<br />
4.5.4.2 Ustálený nerovnoměrný průtok<br />
V místech, kde se spád koryta mění, takže z ≠ h z , vzniká pohyb<br />
nerovnoměrný. Při proměnném spádu se průtočná rychlost v a tím i hloubka<br />
h mění po délce koryta viz. (Obr. 4.18), nikoliv však v závislosti <strong>na</strong> čase<br />
(Drábková et al. 2007).<br />
33
Obr. 4.18 Nerovnoměrný průtok v korytě (Drábková et al. 2007).<br />
Energie kapaliny v libovolném průřezu je opěr dá<strong>na</strong> Bernoulliho rovnicí,<br />
ovšem s tím rozdílem, že musíme uvážit rozdíl výšek hladin h 1 , h 2 . Obecné<br />
koryto se rozdělí <strong>na</strong> úseky délky ΔL, v nichž lze přepokládat, že se průtočné<br />
průřezy a tedy i rychlosti spojitě mění z horního úseku k úseku dolnímu.<br />
Vychází se opět z rovnice (4.53) a platí tedy vtah<br />
2<br />
2<br />
αv1 αv2<br />
Δ z + = Z +<br />
(4.58)<br />
2g<br />
2g<br />
kde Δz je<br />
α<br />
Δz<br />
= Z +<br />
( v<br />
2 2<br />
− v )<br />
d<br />
2g<br />
h<br />
(4.59)<br />
Δz je rozdíl hladin v obou průřezech, v 1 je rychlost v horním průřezu a v 2 je<br />
rychlost v průřezu dolním. Z je celková ztrátová výška, která se skládá ze<br />
ztrát třením Z t a ztrát místních Z m , které vznikají zúžením či rozšířením<br />
koryta. Ztráty třením Z t se dají vyjádřit pomocí Chezyho jako<br />
Ztráty místní se vyjádří<br />
Z<br />
Z<br />
2<br />
vs<br />
iΔL<br />
=<br />
2<br />
C R<br />
2<br />
Q<br />
ΔL<br />
=<br />
2<br />
C R S<br />
t<br />
=<br />
2<br />
s s<br />
s s s<br />
m<br />
ΔL<br />
(4.60)<br />
vs<br />
= ±ζ<br />
(4.61)<br />
2g<br />
kde ζ je součinitel místní ztráty a z<strong>na</strong>ménka ± ukazují, jedná-li se o zúžení či<br />
rozšíření ve směru proudu. Více podrobností v (Kunštátský et Patocka 1971)<br />
a (Roub et Pech 2003).<br />
(Sturm 2001) uvádí výpočet, kde změny hloubky jsou počítány <strong>na</strong><br />
základě specifický změn vzdáleností. Opět z Bernoulliho rovnice (4.53)<br />
vyplívá<br />
34
2<br />
v<br />
H = z + h +<br />
(4.62)<br />
2g<br />
kde z je výška d<strong>na</strong> od srovnávací roviny a h je hloubka a v je střední rychlost.<br />
Změ<strong>na</strong> této výšky ve směru x je<br />
dH<br />
dx<br />
dE<br />
= −ie = −i0<br />
+<br />
(4.63)<br />
dx<br />
kde i e je sklon čáry energie, i 0 je sklon d<strong>na</strong> a E je specifická energie.<br />
dE<br />
dx<br />
= i 0<br />
−<br />
i e<br />
Jak je vidět z rovnic, specifická energie roste nebo klesá v závislosti <strong>na</strong><br />
sklonu d<strong>na</strong> a čáry energie.<br />
Platí, že<br />
a z rovnice (4.16) vyplívá, že<br />
(4.64)<br />
dE dE dh = (4.65)<br />
dx dh dx<br />
dE<br />
dh<br />
2<br />
1−<br />
Fr<br />
= (4.66)<br />
následně je možno již určit změnu hladiny podél osy x, tedy<br />
kde F r je froudovo číslo.<br />
dh<br />
dx<br />
i − i<br />
= (4.67)<br />
0 e<br />
2<br />
1−<br />
Fr<br />
Výpočet hloubky h se provede z rovnice<br />
x<br />
i+<br />
1<br />
i+<br />
1<br />
i0<br />
− ie<br />
hi+<br />
1<br />
− hi<br />
= ∫ dx = ∫ f ( h)<br />
dx<br />
(4.68)<br />
2<br />
1−<br />
F<br />
Z rovnice je vidět, že integrand obsahuje neznámou hloubku h. Je tedy nutné<br />
použít alter<strong>na</strong>tivy – rozvoj Taylorovy řady pro h i+1 , který je následující<br />
h<br />
i+1<br />
x<br />
i<br />
= h + f ( h ) Δx<br />
, kde<br />
i<br />
i<br />
r<br />
x<br />
x<br />
i<br />
dh<br />
f ( h)<br />
=<br />
(4.69)<br />
dx<br />
Tato metoda se <strong>na</strong>zývá Eulerova metoda nebo také metoda prvního řádu,<br />
která v obecnosti potřebuje malý časový krok k dosažení dobré přesnosti.<br />
Pro dosažení vyšší přesnosti se používá metoda Runge-Kutta, která má<br />
přesnost čtvrtého řádu. Více ve (Sturm 2001).<br />
35
4.5.4.3 Neustálený průtok<br />
Pro popis neustáleného proudění potřebujeme dvě diferenciální<br />
rovnice reprezentující principy kontinuity a hybnosti. Tato forma<br />
diferenciálních rovnic se <strong>na</strong>zývá Saint-Ve<strong>na</strong>ntova rovnice. Větši<strong>na</strong> případů<br />
použití těchto rovnic nemá a<strong>na</strong>lytické řešení a tak se řeší numericky. Teorie<br />
je založená <strong>na</strong> pohybu tzv. translačních vln. Při říčním proudění se mohou<br />
vlny šířit i proti směru proudu. Účelem získání řešení řídících rovnic je popis<br />
rychlosti proudění a hloubky jako funkci prostoru a času.<br />
Výsledný tvar Saint-Ve<strong>na</strong>ntovy rovnice je následující<br />
∂Q<br />
∂ ⎛ Q<br />
+ β<br />
t x<br />
⎜<br />
∂ ∂ ⎝ S<br />
2<br />
⎞ ∂<br />
⎟ +<br />
⎠ ∂x<br />
( gh S ) = gS( i − i ) + q v cosφ<br />
c<br />
0<br />
f<br />
L<br />
L<br />
(4.70)<br />
kde Q je průtok, S je plocha, h c je kritická hloubka, i 0 je sklon d<strong>na</strong>, i f je sklon<br />
ztrátové výšky, q L je boční přítok <strong>na</strong> jednotku délky, v L rychlost bočního<br />
přítoku, φ úhel, který svírá vektor rychlosti bočního přítoku s osou x ( Sturm<br />
2001). Celé odvození Saint-Ve<strong>na</strong>ntovy rovnice lze <strong>na</strong>lézt ve (Sturm 2001)<br />
nebo (Havlík et al. 1992). Toto platí pouze pro 1D proudění.<br />
rovnic.<br />
Pro 2D proudění, uvádí Havlík et al. (1992) soustavu tří diferenciálních<br />
2<br />
∂(<br />
v ) ∂(<br />
) ∂(<br />
+ ) ∂(<br />
hv v )<br />
xh<br />
vx<br />
h h z<br />
x y<br />
+ + gh + +<br />
∂t<br />
dx ∂x<br />
∂y<br />
gv<br />
x<br />
v<br />
2<br />
x<br />
Cx<br />
2<br />
+ v<br />
2<br />
y<br />
1<br />
− τ<br />
ρ<br />
wx<br />
−<br />
fhv<br />
y<br />
= 0<br />
∂(<br />
v<br />
yh)<br />
∂(<br />
v<br />
y<br />
h)<br />
∂(<br />
h + z)<br />
∂(<br />
hvxv<br />
+ + gh +<br />
∂t<br />
dy ∂y<br />
∂x<br />
∂h<br />
∂(<br />
v ) ∂(<br />
v h)<br />
xh<br />
y<br />
+ + = 0<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
2<br />
y<br />
)<br />
+<br />
gv<br />
x<br />
v<br />
2<br />
x<br />
Cy<br />
2<br />
+ v<br />
2<br />
y<br />
1<br />
− τ<br />
ρ<br />
wy<br />
−<br />
fhv<br />
x<br />
= 0<br />
kde C x je rychlostní součinitel ve směru osy x, C y ve směru osy y. τ w resp.<br />
τ wy je tečné <strong>na</strong>pětí <strong>na</strong> hladině vlivem větru v ose x resp. v ose y. f je<br />
geostropický parametr f=2ω r sinφ, kde ω r je úhlová rychlost otáčení země a<br />
φ je zeměpisná šířka.<br />
Pro 3D proudění se obvykle užívá rovnice Navier-Stokesova doplněná<br />
o další rovnice resp. software který tyto rovnice řeší numericky. Více<br />
v kapitole 7.<br />
x<br />
36
5. Přepad<br />
Přepad je výtok otvorem ve stěně, jehož hrany mohou mít různý<br />
geometrický tvar, je-li přepadová výška menší než výška otvoru ve stěně<br />
nebo není-li obrys otvoru uzavřen. Přepadová výška h je výška hladiny <strong>na</strong>d<br />
nejnižším místem otvoru – korunou přelivu. Většinou se měří ve vzdálenosti<br />
od přelivu 3 – 10 h. Přepad je jev, který vzniká <strong>na</strong> hydrotechnické konstrukci<br />
– přelivu. Stě<strong>na</strong> přelivu může být tenká ostrohranná nebo masivní široká jak<br />
je to vidět u různých hydrotechnických staveb viz. (Kolář.et al. 1966) Základní<br />
úlohou je určení přepadové výšky a <strong>na</strong> jejím základě průtok v daném korytě.<br />
5.1 Přepad přes ostrou hranu<br />
Tvar přepadového paprsku přes ostrou hranu závisí <strong>na</strong> poměru tlaku<br />
vzduchu v prostoru pod paprskem k atmosférickému tlaku vzduchu. Při malé<br />
přepadové výšce přilne paprsek ke stěně, čímž vznikne paprsek lpící (Obr.<br />
5.1a).<br />
Obr 5.1 Tvary přepadového paprsku (Kolář et al. 1966)<br />
Ten se vytvoří, měníme-li průtok pomalu od malého k většímu. Jeho<br />
výkonnost může být až o 30% větší než přepad dobře zavzdušněný jako<br />
následek podtlaku v prostoru A. Přibývá-li přepadové výšky, paprsek se od<br />
stěny odlepí, a není-li umožněn volný přístup vzduchu, vznikne pod<br />
paprskem nestabilní podtlak. Jeli h < 0,4s je podtlakem paprsek stlačován a<br />
hladi<strong>na</strong> v prostoru pod paprskem je výše než dolní hladi<strong>na</strong> (Obr. 5.1b).<br />
Takový paprsek se <strong>na</strong>zývá snížený nebo stlačený. Zvětší-li se dále<br />
přepadová výška a h > 0,4s , bude všechen vzduch pod paprskem postupně<br />
vysáván proudící vodou a dolní voda stoupne, až zaplní celý prostor pod<br />
paprskem. Vznikne paprsek spodem ponořený (Obr. 5.1c). Nebrání-li nic<br />
37
volnému přístupu vzduchu pod paprsek, vytvoří se paprsek volný (Obr.<br />
5.1d).<br />
Varianty <strong>na</strong> (Obr. 12.1a – c), vznikají při nedoko<strong>na</strong>le zavzdušněném<br />
přepadu. Tyto jevy jsou při měření průtoků nežádoucí. Na základě dat, která<br />
změřil (Howe 1955 in Bos et al. 1976), byli autoři schopni <strong>na</strong>jít vztah, který<br />
udává množství vzduchu potřebné pro doko<strong>na</strong>lé zavzdušnění přepadajícího<br />
paprsku.<br />
qw<br />
qair = 0.1<br />
(5.1)<br />
1.5<br />
⎛ y<br />
p ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ h 1 ⎠<br />
kde q w je průtok přes přeliv, h 1 je přepadová výška a y p je výška vodní<br />
hladiny v prostoru pod přepadajícím paprskem, jak ukazuje (Obr. 5.2).<br />
Obr. 5.2 Potřeba zavzdušnění přepadu (Bos et al. 1976)<br />
Za předpokladu dobrého zavzdušnění je přepadový průtok při volném<br />
paprsku konstantní a dá se přesně určit. Jedná se o tzv. doko<strong>na</strong>lý přepad.<br />
S tím samozřejmě souvisí i podmínka, že hladi<strong>na</strong> spodní <strong>vody</strong> nesmí<br />
ovlivňovat hladinu <strong>vody</strong> horní a tím i velikost přepadajícího množství.Tzn. je-li<br />
hladi<strong>na</strong> dolní <strong>vody</strong> níže než koru<strong>na</strong> přelivu Proto jedině tento paprsek je<br />
vhodný k měření průtoků (Bos et al. 1976). V opačném případě vzniká<br />
přepad nedoko<strong>na</strong>lý, zatopený. V tomto případě uvedené rovnice neplatí a<br />
je třeba zavést opravný součinitel, více o problematice uvádí <strong>na</strong>př. (Kolář et<br />
al. 1966).<br />
38
Obr. 5.3 Rozdělení tlaku a rychlosti při doko<strong>na</strong>lém přepadu (Bos et al. 1976)<br />
Při doko<strong>na</strong>lém přepadu s plně zavzdušněným prostorem pod přepadovým<br />
paprskem <strong>na</strong>cházíme atmosférický tlak v obou bodech 1 i 2, zatímco v toku<br />
před přelivem existuje určité rozdělení hydrostatického tlaku. Tato odchylka<br />
je hlavně způsobe<strong>na</strong> hodnotou integrálu<br />
2<br />
∫<br />
1<br />
2<br />
v<br />
dn<br />
gr<br />
viz. (Obr.5.3).<br />
Klesající piezometrická výška následkem dostředivého zrychlení gr nutně<br />
vyvolává vzrůst výšky rychlostní, tedy<br />
2<br />
v2<br />
2g<br />
2<br />
v1<br />
−<br />
2g<br />
2 2<br />
v<br />
= ∫ dn<br />
gr<br />
1<br />
(5.2)<br />
(Bos et al. 1976).<br />
5.1.1 Obecný tvar rovnice přepadu<br />
Základní rovnice pro přepad bez uvažování přítokové rychlosti se<br />
stanoví jako výtok otvorem ve svislé stěně (Obr. 5.4) předepsaný pro<br />
integrační meze 0,h tedy jako<br />
h<br />
∫<br />
Q = C 2g<br />
z y dz<br />
(5.3)<br />
e<br />
.<br />
Kde C e je přepadový součinitel jehož hodnota se mění s výškou h a podle<br />
různých vlastností přepadu. Uvážíme-li vliv přítokové rychlosti, dostaneme<br />
rovnici<br />
0<br />
kde v 0 je přítoková rychlost.<br />
h<br />
⎛ v 2<br />
⎞<br />
Q C g z<br />
0<br />
=<br />
e<br />
2 ∫<br />
⎜ + y.<br />
dz<br />
2g<br />
⎟ (5.4)<br />
0 ⎝ ⎠<br />
39
Obr. 5.4 (Kolář et al. 1966)<br />
Práce se však věnuje přepadu vznikajícímu přes trojúhelníkový přeliv. Tento<br />
typ přelivu je zvlášť vhodný pro měření malých průtoků. Při výpočtu průtoků<br />
vycházíme ze základní rovnice (5.2), kterou integrujeme pro<br />
Θ<br />
y = 2( h − z)<br />
tg<br />
(5.5)<br />
2<br />
je-li trojúhelník rovnoramenný, platí<br />
8<br />
Q =<br />
15<br />
C e<br />
5<br />
2<br />
Θ<br />
2g<br />
⋅ tg ⋅ h<br />
(5.6)<br />
2<br />
kde Θ je úhel v koruně přelivu. Speciální případ trojúhelníkového přelivu je<br />
jeho pravoúhlá varianta Θ = 90° zvaná Thomsonův přeliv.<br />
6. Thomsonův přeliv<br />
Je jedním z nejpřesnějších měrných přelivů užívaných k měření<br />
průtoků v přírodě, zejmé<strong>na</strong> <strong>na</strong> malých vodních tocích. Přeliv a jeho detail<br />
zachycují (Obr. 6.1) a (Obr. 6.2).<br />
40
Obr. 6.1 Thomsonův přeliv (Bos et al. 1976)<br />
Obr 6.2 Detail koruny Thomsonova přelivu (Bos et al. 1976)<br />
Přepad má velikost součinitele C e = 0,5926. Rovnice pro výpočet průtoku je<br />
tedy<br />
5<br />
2<br />
Q = 1,4h<br />
(6.1)<br />
Tento vzorec odvodil Thomson již v roce 1861. Zpřesnění výpočtu uvádí<br />
(Gourley et Crimp 1915 in Kolář et al. 1966), kde průtok se vypočte dle<br />
vztahu<br />
Θ<br />
Q 1,32tg<br />
h<br />
2<br />
A nejpřesnější výsledky jsou v rozmezí výšky přepadového paprsku<br />
0,06m < h < 0,65m, kde však h + s > 3h.<br />
2,47<br />
= (6.2)<br />
41
Další zpřesnění přinášejí (Kindsvater et Carter in Bos et al. 1976), kteří<br />
rovnici (5.6) modifikovali <strong>na</strong><br />
8 Θ 2.5<br />
Q = Ce 2g<br />
tan h e<br />
(6.3)<br />
15 2<br />
kde h e je efektivní výška, která se rovná h 1 + K h . K h reprezentuje vlastnosti<br />
kapaliny a je funkcí úhlu Θ. Jak ukazuje (Obr 6.3).<br />
Obr. 6.3 Závislost K h <strong>na</strong> úhlu v koruně přelivu (Bos et al. 1976)<br />
(Bos et al. 1976) uvádí, že součinitel přepadu Ce platí pro rozmezí teplot 5 –<br />
⎡h1<br />
p ⎤<br />
30 °C a je funkcí tří proměnných C e<br />
= f ⎢ , ,Θ⎥ . Jestliže jsou poměry<br />
⎣ p B1<br />
⎦<br />
h 1<br />
≤ 0.4<br />
p<br />
p<br />
a ≤ 0. 2 , pak závisí C e pouze <strong>na</strong> úhlu Θ jak je vidět <strong>na</strong> (Obr. 6.4).<br />
B<br />
Obr. 6.4 Závislost C e <strong>na</strong> úhlu v koruně přelivu (Bos et al. 1976)<br />
42
h<br />
Budou-li poměry 1 p<br />
> 0. 4 a > 0. 2 pak pro odvození C e pro Thomsonův<br />
p B<br />
přeliv můžeme použít grafu <strong>na</strong> (Obr.6.5).<br />
Obr. 6.5 Koeficienty C e v závislosti <strong>na</strong> různých h 1 /p (Bos et al. 1976)<br />
Koeficienty C e jsou v případě (Obr. 6.4) s přesností <strong>na</strong> 1% a v případě (Obr.<br />
6.5) <strong>na</strong> 1-2%. Tolerance K h se pohybuje v rozmezí ±0.3mm (Bos et al. 1976).<br />
6.1 Omezení použitelnosti<br />
Použitelnost vztahu dle Kindsvater a Carter je možné pouze za předpokladů,<br />
které uvádí (Bos et al. 1976):<br />
• poměr p<br />
h 1 by měl být roven nebo menší než 1.2<br />
• poměr B<br />
h 1 by měl být roven nebo menší než 0.4<br />
• výška přepadající hladiny by měla být v rozmezí 0.05 až 0.6 m<br />
• šíře koryta by měla být aspoň 60 cm<br />
• úhel přelivu mezi 25 a 100 °<br />
• spodní voda by měla zůstat pod korunou přelivu<br />
43
6.2 Konzumpční křivka při extrémních průtocích<br />
Stanovení konzumpční křivky přelivu pro extrémní průtoku může být<br />
v některých případech komplikované. Při překročení návrhového průtoku,<br />
dochází ke zkreslení měření a výsledek je tak zatížen určitou chybou. Aby se<br />
minimalizovala velikost chyby, musí být použit vhodný koncepční přístup.<br />
Ke stanovení a ověření platnosti konzumpční křivky v oblasti<br />
extrémních průtoků se <strong>na</strong>bízí několik metod.<br />
• matematická extrapolace<br />
• hydraulický výpočet<br />
• matematické CFD modelování<br />
• fyzikální modelování<br />
Obr. 6.7 Konzumpční křivka (Kantor 2007)<br />
Matematická extrapolace spočívá v proložení stávající konzumpční<br />
křivky polynomem n-tého stupně a v následné extrapolaci hodnot do oblasti<br />
průtoků extrémních. Výhodou této metody je její nenáročnost a je vhodná<br />
v případě, kdy proudění není ovlivněno vnějšími vlivy (různé překážky, velká<br />
nerovnost terénu apod.)<br />
Hydraulický výpočet je založen <strong>na</strong> výpočtu rovnice přepadu viz. výše,<br />
zohledňující jen základní charakteristiky proudu. Tato metoda je použitelná<br />
pouze u jednoduchých geometrií.<br />
44
Matematické CFD modelování je založené <strong>na</strong> metodě konečných<br />
prvků resp. konečných objemů a stále více se uplatňuje v nejrůznějších<br />
odvětvích. Je možné ji aplikovat <strong>na</strong> hydrotechnické výpočty, avšak některé<br />
úlohy mohou být z<strong>na</strong>čně náročné – záleží <strong>na</strong> charakteru modelu a použitých<br />
omezení. Nutností využití této metody je dobré výpočetní zázemí, čas a<br />
z<strong>na</strong>lost z oboru CFD.<br />
Fyzikální modelování slouží k ověření proudění <strong>na</strong> přelivu za pomoci<br />
modelu ve zmenšeném měřítku. Metoda vychází z mechanické podobnosti<br />
dvou fyzikálně stejnorodých dějů. Následně umožňuje extrapolaci výsledků<br />
získaných výzkumem do skutečnosti. Metoda je náročná <strong>na</strong> materiální a<br />
prostorové zázemí laboratoří. Více v (Čábelka et Gabriel 1987).<br />
(Kantor 2007)<br />
7 Matematické CFD modelování<br />
Matematické modelování je jed<strong>na</strong> z možností jak popsat reálný jev<br />
matematickými vztahy. Jednou z oblastí matematického modelování je CFD<br />
(Computatio<strong>na</strong>l Fluid Dy<strong>na</strong>mics), což je modelování proudící tekutiny. CFD je<br />
numerické modelování metodou konečných prvků (2D) nebo konečných<br />
objemů (3D). Proto je nezbytné před samotným výpočtem vytvořit výpočetní<br />
síť pro požadovanou úlohu.<br />
7.1 Výpočetní síť<br />
Síť představuje systém rozdělení výpočtové oblasti <strong>na</strong> dílčí <strong>na</strong> sebe<br />
<strong>na</strong>vazující 2D (v rovině) nebo 3D (v prostoru) elementy. Tyto elementy<br />
mohou být trojúhelníky či čtverce ve 2D nebo čtyřstěny či šestistěny ve 3D.<br />
Takto vysíťovaná oblast je základem matematického modelování. Neboť<br />
samostatný matematický model (systém matematických vztahů) je pouze<br />
„pasivním“ nástrojem, který <strong>na</strong>bývá smyslu až ve chvíli, kdy je aplikován <strong>na</strong><br />
konkrétní problém - výpočtovou oblast pokrytou sítí (Kozubková 2008).<br />
Platí zde několik zásad:<br />
• výpočet je o to náročnější, čím více rovnic je v rámci<br />
matematického modelu do výpočtu zahrnuto<br />
45
• výpočet je o to náročnější, čím více má výpočetní oblast buněk<br />
• výpočet je o to náročnější, čím méně kvalitní je výpočtová síť<br />
Počet buněk patří k hlavním limitujícím faktorům matematického<br />
modelování. Jsou případy, kdy se počty výpočetních buněk pohybují v řádu<br />
milionů. Proto je cílem s ohledem <strong>na</strong> budoucí čas tento počet redukovat <strong>na</strong><br />
nutné minimum. Obrovský nárůst představuje hlavně vytváření mezních<br />
vrstev. Redukování počtu elementů by však nemělo být <strong>na</strong> úkor kvality sítě.<br />
Elementy by měly mít rovněž přiměřenou velikost, aby bylo možné jimi v<br />
dostatečné míře zachytit modelovaný fyzikální děj (<strong>na</strong>příklad turbulentní<br />
vírové struktury). Proto se používá zhušťování sítě v místech, která jsou z<br />
hlediska proudění tekutin pro řešitele zajímavá nebo pro výpočet stěžejní a<br />
<strong>na</strong>opak použití řidší sítě v místech jiných. Zvláštním případem zhuštění<br />
buněk je vytvoření tzv. mezní vrstvy v blízkosti stěn, která má za úkol zachytit<br />
velké změny fyzikálních veličin u stěny. Zhušťování buněk by mělo být<br />
plynulé. Pokud by byla změ<strong>na</strong> ve velikosti buněk provede<strong>na</strong> příliš velikou<br />
skokovou změnou, projevilo by se to z<strong>na</strong>telně <strong>na</strong> průběhu výpočtu (problémy<br />
s konvergencí úlohy) i konečném výsledku výpočtu (chybný výsledek v<br />
daném místě výpočtové oblasti) (Kozubková 2008).<br />
7.2 Gambit<br />
Je program <strong>na</strong> tvorbu geometrií a výpočetních sítí ve 2D i 3D.<br />
Umožňuje také importovat geometrie z nejrůznějších CAD/CAE programů.<br />
Strukturovaná síť – starší typ, který je složen ze čtyřstěnů nebo<br />
šestistěnů ve 3D či z obdélníků nebo čtyřúhelníků ve 2D. Kde základním<br />
pravidlem je, že hranice prvků musí sousedit pouze s jedinou hranicí<br />
sousedního elementu, nelze tedy libovolně zhušťovat síť – je a<strong>na</strong>logií<br />
k metodě konečných diferencí. Výsledná oblast je pak obdélník nebo kvádr.<br />
Nestrukturovaná síť – novější typ, kde konečným objemem je kvádr,<br />
čtyřstěn, prizmatický a pyramidový prvek. Také umožňuje libovolné zahuštění<br />
v bodě, při hraně a v prostoru.<br />
46
Obr. 7.1 Typy elementů (Kantor, 2007)<br />
Jednotlivé typy objemů či elementů je možno kombinovat k dosažení<br />
nejlepšího vyplnění prostoru. Pokud je to možné, je výhodné používat<br />
obdélníky (2D) a šestistěny (3D), protože jsou při stejné velikosti hrany<br />
prostorově úspornější než ostatní elementy. Je také s nimi dosaže<strong>na</strong> vyšší<br />
stabilita výpočtu a rychlejší konvergence. Při síťování složitých geometrií se<br />
používají trojúhelníkové a čtyřstěnové elementy. Tzv. polyhedron tvoří<br />
přechod mezi šesti a čtyřstěny.<br />
7.2.1 Kvalita sítě<br />
Kvalita sítě se posuzuje dle velikosti buněk s ohledem <strong>na</strong> přesnost<br />
výpočtu, vhodnosti prostorového uspořádání buněk, kvality buněk z hlediska<br />
nesouměrnosti – Skewness a poměru hran prvků – Aspect ratio.<br />
Nejvýz<strong>na</strong>mnějším kriteriem pro posouzení kvality buňky je<br />
nesouměrnost, kdy se posuzuje, jak hodně se buňka svým tvarem blíží<br />
ideálnímu pravidelnému geometrickému tvaru. Pokud je buňka jakkoliv<br />
deformová<strong>na</strong>, je její kvalita horší. Obecně se kvalita každé buňky vyjadřuje<br />
bezrozměrným číslem v rozsahu 0 – 1, kde 0 z<strong>na</strong>mená výsledek nejlepší a<br />
<strong>na</strong>opak 1 výsledek nejhorší, tedy problematickou buňku pro výpočty. Tato<br />
hodnota se <strong>na</strong>zývá „míra skosení buňky“ (skewness).<br />
47
Obr. 7.2 Princip posuzování kvality buňky (Kozubková, 2008)<br />
Pro určení kvality 2D buňky, resp. míry její deformace slouží následující<br />
vztah<br />
Soptimal<br />
− S<br />
real<br />
Skewness = (7.1)<br />
S<br />
optimal<br />
kde S optimal představuje „optimální plochu buňky“, S real „reálnou plochu buňky“<br />
a Skewness je „míra deformace buňky“ vztahující se ke 2D trojúhelníkovému<br />
schématu sítě. U jiných schémat se vychází z obdobné logiky. Kozubková<br />
(2008) uvádí, že výsledná hodnota by neměla přesáhnout 0.85. Pokud by se<br />
tak stalo, je třeba buňku nebo schéma sítě upravit, aby nebyla ohrože<strong>na</strong><br />
realizovatelnost a přesnost výpočtu.<br />
Pro určení kvality 3D buňky čtyřstěnu platí vztah<br />
Voptimal<br />
−Vreal<br />
Skewness = (7.2)<br />
V<br />
optimal<br />
kde V optimal představuje „optimální objem buňky“, V real „reálný objem buňky“.<br />
Kozubková (2008) uvádí, že výsledná hodnota by neměla přesáhnout 0.9.,<br />
ale Gambit toleruje deformaci až do hodnoty 0.97. Pokud by však byla<br />
hodnota vyšší, je třeba buňku nebo schéma sítě upravit v zájmu dobré<br />
konvergence výpočtu. Kvalita sítě se dá testovat v preprocesoru Gambit<br />
pomocí příkazu Examine Mesh. Okno poskytuje několik možností, jak<br />
kontrolovat lokálně či globálně kvalitu sítě v celé výpočtové oblasti.<br />
7.3 Fluent<br />
Je program obsahující matematické modely postihující široké možnosti<br />
potřebné k modelování proudění, turbulence, přenosu tepla a reakcí pro<br />
průmyslové aplikace. Ty sahají od proudění vzduchu kolem leteckých profilů<br />
48
po spalování v pecích, od modelování probublávání po ropné plošiny, od<br />
toku krve po výrobu polovodičů a od návrhu ventilace místností po úpravu a<br />
čištění <strong>vody</strong>. Speciální modely, které dávají softwaru možnosti modelovat<br />
multifyzikální úlohy, umožňuje rozšíření působnosti tohoto programu<br />
(www.techsoft-eng.cz).<br />
Fluent řeší parciální diferenciální rovnice metodou konečných objemů,<br />
která spočívá ve třech základních bodech<br />
• dělení oblasti <strong>na</strong> diskrétní objemy užitím obecné křivočaré sítě<br />
• bilancování neznámých veličin v individuálních konečných<br />
objemech a diskretizace<br />
• numerické řešení diskretizovaných rovnic<br />
Fluent definuje diskrétní konečné objemy užitím non-staggered<br />
schématu, kdy všechny proměnné jsou uchovávány ve středech konečných<br />
objemů.<br />
7.3.1 Metoda konečných objemů<br />
Integrace diferenciálních rovnic je vysvětle<strong>na</strong> <strong>na</strong> rovnicích o jedné<br />
proměnné v ustáleném režimu.<br />
Rovnice kontinuity:<br />
∂v<br />
= 0<br />
(7.3)<br />
∂x<br />
Rovnice zachování hybnosti<br />
2<br />
∂v<br />
∂x<br />
1 ∂p<br />
∂ ⎡ ∂v<br />
⎤<br />
= − + + S<br />
x ∂x<br />
⎢ν<br />
ρ ∂ x ⎥<br />
⎣ ∂ ⎦<br />
(7.4)<br />
Rovnice pro přenos skalární veličiny ξ<br />
∂vξ<br />
∂ ⎡ ∂ξ<br />
⎤<br />
= α<br />
ξ<br />
+ S<br />
∂x<br />
∂x<br />
⎢<br />
⎣ ∂x<br />
⎥<br />
⎦<br />
ξ<br />
(7.5)<br />
49
Obr. 7.3 Souřadnicové schéma se speciálním z<strong>na</strong>čením buněk pro 1D a 3D model<br />
(Kozubková, 2008)<br />
Integrací těchto rovnic přes konečné objemy se převedou výchozí<br />
diferenciální rovnice <strong>na</strong> objemový integrál (dV=dx.dy.dz, dA=dy.dz) a užitím<br />
Gaussovy – Ostrogradského věty <strong>na</strong> plošný. Velká písme<strong>na</strong> oz<strong>na</strong>čují středy<br />
konečných objemů a malá písme<strong>na</strong> hranice, tj. stěny mezi konečnými<br />
objemy, viz (obr. 7.3). Kozubková (2008) uvádí tuto diskretizaci <strong>na</strong> výsledný<br />
algebraický tvar.<br />
∫<br />
V<br />
∂v<br />
dV<br />
∂x<br />
=<br />
∫<br />
V<br />
∂v<br />
dxdydz =<br />
∂x<br />
∫<br />
V<br />
vdA = ( vA)<br />
− ( vA)<br />
(7.6)<br />
e<br />
w<br />
Integrace rovnice kontinuity (7.3) vede <strong>na</strong> tvar<br />
( vA ) − ( vA)<br />
= 0<br />
(7.7)<br />
e<br />
Fyzikálně, výrazy <strong>na</strong> levé straně oz<strong>na</strong>čují rozdíl objemových průtoků<br />
w<br />
Q − Q = 0<br />
(7.8)<br />
e<br />
w<br />
Integrací rovnice zachování hybnosti (7.4) se získá<br />
Q v<br />
e<br />
e<br />
− Q<br />
w<br />
v<br />
w<br />
1<br />
= −<br />
ρ<br />
v − v<br />
Δx<br />
− v<br />
E P<br />
P W<br />
( p − p ) A + ⎜v<br />
⎟A<br />
− ⎜v<br />
⎟A<br />
+ SΔV<br />
e<br />
w<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
(7.9)<br />
kde A je plocha a S je zdrojový člen.<br />
e<br />
e<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
w<br />
v<br />
Δx<br />
w<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
50
Rovnice pro skalární veličinu (7.5) se upraví shodným postupem <strong>na</strong> tvar<br />
⎛ ξ<br />
E<br />
− ξ<br />
P<br />
ξ<br />
P<br />
− ξW<br />
⎞<br />
Qeξ e<br />
− Qwξ<br />
w<br />
=<br />
⎜α<br />
e<br />
−α<br />
w<br />
A + S ΔV<br />
xe<br />
x<br />
⎟<br />
ξ<br />
(7.10)<br />
⎝ Δ Δ<br />
w ⎠<br />
V předchozích rovnicích se používají veličiny a koeficienty jed<strong>na</strong>k definované<br />
ve středech konečných objemů a jed<strong>na</strong>k <strong>na</strong> stěnách těchto objemů (<strong>na</strong>př.<br />
rychlost v rovnici (7.9). To je určitá nevýhoda a je nutné sjednotit ukládání<br />
veličin pouze ve středech konečných objemů. Pokud tato veliči<strong>na</strong> bude<br />
urče<strong>na</strong> <strong>na</strong> stěně, použije se interpolační schéma pro interpolaci této veličiny<br />
do středu buňky. Pro ilustraci je použito nejjednodušší schéma - aritmetický<br />
průměr a diferenční schéma se zjednoduší. Např. rovnici (7.9) lze upravit<br />
následovně:<br />
Q<br />
e<br />
v<br />
E<br />
+ v<br />
2<br />
P<br />
− Q<br />
w<br />
v<br />
P<br />
− v<br />
2<br />
W<br />
1<br />
= −<br />
ρ<br />
v − v<br />
Δx<br />
− v<br />
P E P W<br />
( p − p ) A + ⎜v<br />
− v ⎟A<br />
+ SΔV<br />
e<br />
w<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
e<br />
e<br />
w<br />
v<br />
Δx<br />
w<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(7.11)<br />
Rovnice pro skalární veličinu (obecnou proměnou) se upraví takto:<br />
Q<br />
e<br />
ξ<br />
P<br />
+ ξ<br />
E<br />
2<br />
− Q<br />
w<br />
ξ<br />
P<br />
− ξ<br />
2<br />
W<br />
⎛<br />
=<br />
⎜α<br />
e<br />
⎝<br />
ξ<br />
P<br />
− ξ<br />
E<br />
Δx<br />
e<br />
− α<br />
w<br />
ξ − ξ<br />
P<br />
Δx<br />
w<br />
W<br />
⎞<br />
⎟A<br />
+ Sξ<br />
ΔV<br />
⎠<br />
(7.12)<br />
Pak lze pro tuto obecnou rovnici v jednorozměrném případě vyjádřit ξ P<br />
pomocí hodnot v sousedních konečných objemech následujícími úpravami<br />
⎛Qe<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
Qw<br />
− + αe<br />
2<br />
Platí že<br />
A<br />
Δx<br />
e<br />
−α<br />
A = + ξ +<br />
w<br />
A<br />
Δx<br />
w<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ξ<br />
P<br />
=<br />
⎜−αe<br />
⎠ ⎝<br />
A<br />
Δx<br />
= −<br />
e<br />
Qe<br />
⎞ ⎛<br />
−<br />
⎟ξ<br />
E<br />
+<br />
⎜αw<br />
2 ⎠ ⎝<br />
Pξ P<br />
AEξ<br />
E<br />
AW<br />
W<br />
SC<br />
kde AP<br />
AE<br />
AW<br />
SC<br />
−<br />
−<br />
A<br />
Δx<br />
w<br />
Qw<br />
⎞<br />
+<br />
⎟ξW<br />
2 ⎠<br />
+ S ΔV<br />
(7.13)<br />
ξ<br />
Potom rovnici (7.13) lze ještě upravit <strong>na</strong><br />
P<br />
∑<br />
i<br />
( − A<br />
i<br />
− S<br />
P<br />
) = Aiξ<br />
i<br />
+ SC<br />
∑<br />
ξ (7.14)<br />
kde součet se provede přes sousední buňky (v jednorozměrném případě je<br />
i= E, W; v trojrozměrném případě i=N, S, E, W, F, B,). A i jsou koeficienty,<br />
které obsahují příspěvky od konvektivních, difúzních a zdrojových členů a S C<br />
a S P jsou složky linearizovaných zdrojových členů a S ξ = S C + S P .ξ P . Použité<br />
oz<strong>na</strong>čení je patrné z (obr. 7.3). Rovnice řešené ve Fluentu jsou rozšířením<br />
předchozích <strong>na</strong> třídimenzionální křivočarý souřadný systém. Každá iterace<br />
sestává z kroků, které jsou zobrazeny diagramem <strong>na</strong> (obr. 7.4).<br />
i<br />
51
Obr. 7.4 Algoritmus řešení ve Fluentu (Kozubková, 2008)<br />
• pohybové rovnice pro neznámé složky rychlosti jsou řešeny s užitím<br />
hodnot tlaků tak, aby se aktualizovalo rychlostní pole<br />
• rychlosti určené v předchozím bodě nemohou splňovat rovnici<br />
kontinuity, proto se určují tzv. tlakové korekce a následně i korekce<br />
rychlostního pole<br />
• pomocí nových hodnot rychlostí se řeší rovnice pro turbulentní energii<br />
k a disipaci ε<br />
• řeší se další rovnice pro určení teploty a dalších skalárních veličin<br />
• aktualizují se fyzikální vlastnosti kapalin (<strong>na</strong>př. viskozita)<br />
• kontrola konvergence<br />
7.3.2 Numerické řešení turbulence<br />
Numerické řešení turbulence se rozděluje <strong>na</strong>:<br />
• přímou numerickou simulaci (DNS – direct numerical simulation)<br />
• simulaci velkých vírů (LES – large eddy simulation)<br />
• Navier – Stokesova rovnice s Reynoldsovým zprůměrováním (RANS –<br />
Reynolds Average Navier – Stokes)<br />
52
Jak ukazuje (obr. 7.5) jednotlivé metody řeší (počítají) vírovou kaskádu až do<br />
určité mezní velikosti Δ, víry menší jsou pak již odhadnuty (domodelovány).<br />
Samozřejmě, že čím menší víry jsou počítány, tím hustší musí být výpočetní<br />
síť. Tím se však stává výpočet náročnějším.<br />
Obr 7.5 Metody řešení turbulence a jejich přesnost (Kantor 2007, Kozubková, 2008)<br />
Jak je vidět z (obr. 7.5) turbulentní proudění je charakterizováno fluktuací<br />
rychlostního pole. Jednotlivé výpočetní přístupy mají větší či menší přesnost.<br />
FLUENT používá spoustu turbulentních modelů. Z hlediska časové<br />
náročnosti je asi nejlepší použít metodu RANS spolu se standardním k-ε<br />
modelem jejichž rovnice a předpoklady jsou uvedeny níže.<br />
Reynoldsovy podmínky<br />
v<br />
v<br />
i<br />
i<br />
i<br />
= v<br />
i<br />
v′<br />
= 0<br />
= v + v′<br />
= v<br />
i<br />
+ v′<br />
i<br />
i<br />
i<br />
kde<br />
v i a v′ i<br />
jsou střední a fluktuační rychlost pro i=1,2,3. Pro tlak a další<br />
skalární veličiny platí<br />
ξ = ξ + ξ ′<br />
53
RANS rovnice je následující<br />
∂p<br />
∂ρv<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂ρv<br />
∂t<br />
i<br />
i<br />
∂ρviv<br />
+<br />
∂x<br />
i<br />
= 0<br />
j<br />
j<br />
∂p<br />
= −<br />
∂x<br />
i<br />
∂<br />
+<br />
∂x<br />
j<br />
⎡ ⎛ v<br />
⎢ ⎜<br />
∂<br />
μ<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ ∂x<br />
i<br />
j<br />
∂v<br />
+<br />
∂x<br />
j<br />
i<br />
2 ∂v<br />
⎞⎤<br />
i ∂<br />
− δ ⎟<br />
ij ⎥ +<br />
3 ∂x<br />
i ⎠⎥⎦<br />
∂x<br />
j<br />
( − ρv′<br />
v′<br />
)<br />
(7.15)<br />
kde R ij = − ρ v iv ′ ′<br />
j<br />
je Reynoldsovo <strong>na</strong>pětí.<br />
Samotná RANS rovnice je neřešitelná a je třeba <strong>na</strong>hradit Reynoldsova <strong>na</strong>pětí<br />
Boussinesqovou hypotézou. Tato hypotéza předpokládá, že podobně jako<br />
při laminárním proudění, kdy platí v zjednodušeném dvourozměrném<br />
proudění pro smykové <strong>na</strong>pětí Newtonův vztah, jsou turbulentní <strong>na</strong>pětí a<br />
turbulentní toky úměrné gradientu střední rychlosti, teploty, koncentrace<br />
apod.<br />
Její vztah je následující<br />
R<br />
ij<br />
⎛ v<br />
μ ⎜<br />
∂<br />
=<br />
t<br />
⎝ ∂x<br />
i<br />
j<br />
∂v<br />
+<br />
∂x<br />
j<br />
i<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
2 ∂v<br />
−<br />
⎜ ρi<br />
+ μ<br />
t<br />
⎠ 3 ⎝ ∂x<br />
i<br />
i<br />
⎟ ⎞<br />
δ<br />
ij<br />
(7.16)<br />
⎠<br />
kde μ t je turbulentní viskozita a δ je Kroneckerovo delta (δ ij = 0; i≠j).<br />
i<br />
j<br />
7.3.2.1 Standardní k-ε model<br />
Je nejjednodušší kompletní model turbulence skládající se ze dvou<br />
rovnic. Rovnici pro k – turbulentní kinematickou energii a rovnici pro ε –<br />
disipaci turbulentní kinematické energie. Tento model je ekonomický, co se<br />
týče náročnosti <strong>na</strong> čas CPU a poskytuje rozumnou přesnost pro široký<br />
rozsah turbulentního proudění. Rovnice modelu jsou následující<br />
∂ρk<br />
∂ρkv<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂ρε<br />
∂ρεv<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
∂<br />
=<br />
∂x<br />
∂<br />
=<br />
∂x<br />
j<br />
j<br />
⎡⎛<br />
μt<br />
⎞ ∂k<br />
⎢<br />
⎜ μ +<br />
⎟<br />
⎢⎣<br />
⎝ σ<br />
k ⎠ ∂x<br />
j<br />
⎤<br />
⎥ + G<br />
⎥⎦<br />
⎡⎛<br />
μt<br />
⎞ ∂ε<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎜ μ +<br />
⎟ ⎥ + C<br />
⎢⎣<br />
⎝ σ<br />
ε ⎠ ∂x<br />
j ⎥⎦<br />
k<br />
+ G<br />
ε<br />
k<br />
b<br />
− ρε − Y<br />
M<br />
1 e<br />
( Gk<br />
+ C3eGb<br />
)<br />
+ S<br />
k<br />
− C<br />
2e<br />
2<br />
ε<br />
ρ<br />
k<br />
+ S<br />
e<br />
(7.17)<br />
kde G k reprezentuje vytváření turbulentní kinetické energie následkem<br />
gradientu střední rychlosti, G b reprezentuje vytváření turbulentní kinetické<br />
energie následkem vztlaku, C x jsou konstanty, σ x jsou Prandtlova čísla pro<br />
k a ε, S x jsou uživatelem definované členy. Více ve FLUENT User’s guide.<br />
54
7.3.2.2 Řešení v blízkosti pevné stěny<br />
V rámci řešení turbulence v blízkosti stěny jsou dvě možnosti. Buď<br />
použít metodu standardní stěnové funkce nebo metodu přímého<br />
numerického řešení.<br />
Metoda stěnové funkce je vhodná v případě hrubé sítě v blízkosti<br />
stěny. Tato metoda je založe<strong>na</strong> <strong>na</strong> modelování proudu v oblasti viskózní a<br />
přechodové vrstvy. Je doporučeno, aby střed buňky přiléhající ke stěně<br />
náležel do intervalu 50≤y + ≤500.<br />
Metoda přímého numerického řešení řeší přímo proudění ve viskózní<br />
a přechodové vrstvě, nutností je ovšem zahuštění sítě v blízkosti stěny tak,<br />
aby ve viskózní vrstvě byly alespoň 4 buňky (Kantor, 2007).<br />
Obr. 7.6 Možnosti řešení proudění v blízkosti stěny<br />
Obr. 7.7 Závislost rychlosti u <strong>na</strong> vzdálenosti od stěny y<br />
55
Hodnota y + je definová<strong>na</strong> vztahem<br />
y<br />
+<br />
=<br />
ρu<br />
τ<br />
μ<br />
Δy<br />
(7.18)<br />
7.3.3 Vícefázové proudění<br />
FLUENT umožňuje řešit vícefázové proudění kapalin, plynů a pevných<br />
látek a jejich vzájemnou interakci. Pro vícefázové proudění nemísitelných<br />
látek slouží model VOF (volume of fluid), který se tedy hodí pro sledování<br />
rozhraní dvou látek. Tzn., že je možné jej využít pro prouděné o volné<br />
hladině – fáze voda x vzduch.<br />
Model VOF počítá proudění pro všechny fáze obdobně, mění se<br />
pouze objem fáze ve výpočetní buňce α q<br />
α q = 0 – výpočetní buňka neobsahuje danou fázi<br />
α q = 1 – výpočetní buňka je zaplně<strong>na</strong> danou fází<br />
0 < α q < 1 – výpočetní buňka obsahuje obě fáze (rozhraní fází)<br />
Rozhraní fází je řešeno rovnicí kontinuity pro jednotlivé fáze<br />
1<br />
ρ<br />
q<br />
⎡∂α<br />
q<br />
ρ<br />
q<br />
⎢<br />
⎣ ∂t<br />
+ ∇<br />
n ⋅ ⋅<br />
⎛ ⎞⎤<br />
( α<br />
q<br />
ρ<br />
qvq<br />
) = Sα<br />
+ ∑⎜m<br />
pq<br />
− mqp<br />
⎟<br />
q<br />
⎥<br />
⎦<br />
p=<br />
1<br />
⎝<br />
⎠<br />
(7.19)<br />
⋅<br />
m qp<br />
kde je hmotnostní tok z fáze q do fáze p a je hmotnostní tok z fáze<br />
⋅<br />
m pq<br />
p do fáze q. Defaultně je zdrojový člen<br />
S α q<br />
roven nule, ale uživatel jej může<br />
definovat pro každou fázi zvlášť. Rovnice pro podíl jednotlivých fází není<br />
řeše<strong>na</strong> pro primární fázi, která je počítá<strong>na</strong> <strong>na</strong> základě předpisu:<br />
n<br />
∑<br />
q=<br />
1<br />
α = 1<br />
(7.20)<br />
Časová diskretizace při užití implicitního schématu je následující:<br />
α<br />
n+<br />
1<br />
q<br />
ρ<br />
n+<br />
1<br />
q<br />
Δt<br />
−α<br />
n<br />
q<br />
n<br />
ρ<br />
q<br />
V +<br />
q<br />
⎡<br />
n ⋅ ⋅ ⎤<br />
n+<br />
1 n+<br />
1 n+<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
∑( ρ U α<br />
q f<br />
) = S m<br />
pq<br />
mqp<br />
V<br />
q f , ⎢ α<br />
+<br />
q ∑⎜<br />
− ⎟⎥ ⎦<br />
f<br />
⎣<br />
p=<br />
1<br />
⎝<br />
⎠<br />
(7.21)<br />
Implicitní schéma dovoluje užití 4 interpolačních metod pro interpolaci<br />
hodnoty <strong>na</strong> stěně buňky do středu buňky a <strong>na</strong>opak. Jsou to First Order<br />
Upwind, Second Order Upwind, QUICK a Modified HRIC.<br />
56
7.3.4 Solver<br />
7.3.4.1 Interpolační metody<br />
• First Order Upwind – hodnota ve středu buňky je stejná jako <strong>na</strong> stěně<br />
buňky.<br />
• Second Order Upwind (SOU) – interpoluje veličinu φ podle výrazu:<br />
r<br />
φ ,<br />
= φ + ∇φ<br />
⋅<br />
(7.22)<br />
f SOU<br />
kde<br />
∇ φ je gradient veličiny φ a r je vektor posunutí ze středu <strong>na</strong><br />
stěnu buňky.<br />
• QUICK – je založen <strong>na</strong> váženém průměru SOU a středové interpolace<br />
proměnné φ.<br />
⎡ S<br />
d<br />
Sc<br />
⎤ ⎡Su<br />
+ 2Sc<br />
Sc<br />
⎤<br />
φe<br />
= θ ⎢ φP<br />
+ φE<br />
⎥ + ( 1 −θ<br />
) ⎢ φP<br />
− φW<br />
⎥ (7.23)<br />
⎣Sc<br />
+ S<br />
d<br />
Sc<br />
+ S<br />
d ⎦ ⎣ Su<br />
+ Sc<br />
Su<br />
+ Sc<br />
⎦<br />
θ = 1/8<br />
Obr. 7.8 Princip interpolace<br />
• Modified HRIC – je přesnější pro VOF výpočty v porovnání<br />
s QUICK a SOU. Je však náročnější <strong>na</strong> výpočetní čas.<br />
Více o interpolačních schématech ve Fluent User’s guide.<br />
7.3.4.2 Výpočet gradientu veličin<br />
Získání gradientu veličin je nutné nejen pro dopočtení hodnot <strong>na</strong><br />
stěnách buňky, ale také pro získání rychlostí. FLUENT poskytuje tři metody<br />
pro jeho výpočet.<br />
• Green – Gauss Cell – Based: stěnová hodnota veličiny<br />
φ<br />
f<br />
je<br />
získá<strong>na</strong> aritmetickým průměrem ze středových hodnot<br />
sousedních buněk.<br />
57
φ<br />
f<br />
φc0 + φc1<br />
= (7.24)<br />
2<br />
• Green – Gauss Node – Based: φ f<br />
je počítáno z nodových<br />
hodnot dané stěny<br />
φ<br />
f<br />
=<br />
1<br />
N<br />
f<br />
N f<br />
∑<br />
n<br />
φ<br />
n<br />
(7.25)<br />
kde N f je počet nodů <strong>na</strong> stěně.<br />
• Least Squares Cell – Based: změ<strong>na</strong> hodnot mezi středy buněk<br />
c 0 a c i podél vektoru r i je vyjádře<strong>na</strong> jako<br />
( φ) ⋅ Δ = ( φ − )<br />
∇<br />
c<br />
r φ<br />
(7.26)<br />
0 i ci c0<br />
Obr. 7.9 Princip výpočtu gradientu<br />
7.3.4.3 Výpočetní algoritmy pro tlak – rychlost<br />
FLUENT <strong>na</strong>bízí řadu algoritmů pro výpočet tlakového a rychlostního<br />
pole. Základní rozdělení je <strong>na</strong> segregovaný (Segregated) a sdružený<br />
(Coupled) algoritmus. Segregovaný algoritmus obsahuje přístupy SIMPLE,<br />
SIPLEC a PISO. Sdruženým algoritmem je Coupled. Jejich detailní popis lze<br />
<strong>na</strong>lézt ve FLUENT User’s Guide. Hlavní rozdíl tkví v tom, že Segregated<br />
algoritmus řeší rovnice odděleně. Tato semi – implicitní metoda ústí<br />
v pomalou konvergenci. Naproti tomu Coupled algoritmus řeší rovnice<br />
dohromady – je tedy rychlejší a lépe konverguje. Dává robustnější a<br />
efektivnější řešení v případě ustáleného proudění a je nutný pro neustálené<br />
proudění, je-li kvalita sítě malá. Je však náročnější <strong>na</strong> operační paměť<br />
počítače, a to zhruba 1,5x.<br />
58
7.3.5 Konvergence<br />
7.3.5.1 Reziduály<br />
Při simulaci proudění pomocí programu FLUENT je velmi důležité<br />
získat konvergentní řešení. Mírou konvergence jsou reziduály, které<br />
představují maximum rozdílu dvou odpovídajících si veličin ve stejném bodě<br />
sítě ve dvou po sobě následujících iteracích. Reziduály jsou vyhodnocovány<br />
pro všechny počítané veličiny v každém kroku iterace a zobrazovány pro<br />
vybrané veličiny (Kozubková 2008).<br />
Obr. 7.10 Iterace při numerickém výpočtu (Kozubková 2008)<br />
Takže <strong>na</strong>př. pro rovnici<br />
A ξ = A ξ + A ξ + S<br />
(7.27)<br />
P<br />
P<br />
E<br />
E<br />
W<br />
W<br />
C<br />
je reziduál definován součtem přes všech<strong>na</strong> P následovně<br />
R =<br />
∑<br />
P<br />
A ξ + A ξ + S − A ξ<br />
(7.28)<br />
E<br />
E<br />
W<br />
W<br />
R je nenormalizovaný reziduál, který má fyzikální rozměr odpovídající<br />
rozměru každého členu rovnice a číselně se reziduály, <strong>na</strong>př. pro tlak a<br />
rychlost, mohou lišit o řády. Proto se obvykle používá normalizovaný reziduál<br />
definovaný následovně:<br />
R =<br />
∑<br />
P<br />
A ξ + A ξ<br />
E<br />
E<br />
∑<br />
P<br />
W<br />
W<br />
A ξ<br />
P<br />
+ S<br />
P<br />
C<br />
C<br />
P<br />
P<br />
− A ξ<br />
P<br />
P<br />
(7.29)<br />
Reziduály lze vyhodnocovat graficky v každém kroku iterace a snižující se<br />
hodnota reziduálu svědčí o dobře konvergující úloze. Obecně řešení velmi<br />
59
dobře konverguje, když se normalizované reziduály snižují řádově k hodnotě<br />
1.10 -3 (Kozubková 2008).<br />
7.3.5.2 Relaxační faktory<br />
Z důvodu nelinearity diferenciálních rovnic není obecně možné získat<br />
hodnoty všech proměnných řešením původně odvozených aproximačních<br />
diferenčních schémat. Konvergence lze však dosáhnout užitím relaxace,<br />
která redukuje změny každé proměnné v každé iteraci. Jednoduše řečeno,<br />
nová hodnota ξ P,i+1 v konečném objemu obsahujícím bod P závisí <strong>na</strong> staré<br />
hodnotě z předešlé iterace ξ P,i , nové hodnotě z aktuální iterace ξ P,i+1,vyp (resp.<br />
vypočtené změně Δξ P = ξ P,i+1,vyp - ξ P,i ) a relaxačním parametru α є <br />
následovně<br />
ξ<br />
( −α<br />
)<br />
P i<br />
P , i 1<br />
= αξ<br />
P,<br />
i+<br />
1, vyp<br />
+ 1 ξ<br />
,<br />
+<br />
(7.30)<br />
Tyto relaxační parametry se mohou <strong>na</strong>stavit pro všechny počítané<br />
proměnné. Zvláště pro rychlosti se <strong>na</strong>stavují velmi malé, řádově desetiny až<br />
setiny. Přitom je vhodné během výpočtu tyto hodnoty měnit a tím urychlovat<br />
konvergenci, tzn. jestliže změny reziduálů jsou velké při přechodu od jedné<br />
iterace k druhé, <strong>na</strong>staví se malý relaxační faktor a tím se tlumí nelinearity,<br />
pokud se změny reziduálů stávají konstantní, je vhodné relaxační faktory<br />
zvětšit (Kozubková 2008).<br />
8 Interpolační metoda IDW<br />
Metoda IDW (inverse distance weighted) je založe<strong>na</strong> odhadu hodnoty<br />
interpolovaného bodu metodou vážených průměrů z <strong>na</strong>měřených hodnot<br />
okolních bodů, kde váhy jsou reprezentovány inverzními vzdálenostmi od<br />
okolních bodů.<br />
Základní rovnice pro metodu IDW je<br />
∧<br />
z<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
( p0 ) λ<br />
i ( p )<br />
(8.1)<br />
i=<br />
1<br />
z<br />
i<br />
kde<br />
z ∧ ( p 0 ) představuje odhad výšky interpolovaného bodu p 0 a z( )<br />
p i<br />
reprezentuje výšku okolního bodu p i a λ i je váha, která přiřazuje hodn otě<br />
60
z ( p i ) poměrnou důležitost při procesu interpolace, tzn. jakou měrou ovlivní<br />
výška z ( p ) výsledný odhad výšky z ∧ ( p 0 ).<br />
i<br />
Výpočet váhy se řídí rovnicí<br />
λ i<br />
=<br />
n<br />
w<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
w<br />
i<br />
(7.2)<br />
Jak bylo uvedeno, hodnocení vlivu okolních bodů <strong>na</strong> výsledný odhad<br />
v bodě interpolovaném, je založen <strong>na</strong> inverzních vzdálenostech. Tedy čím<br />
blíže k interpolovanému bodu se vzorový bod <strong>na</strong>chází, tím větší váhu získá.<br />
Hodnota w i je dá<strong>na</strong> rovnicí<br />
w (8.3)<br />
−β<br />
i<br />
= d , i<br />
0<br />
( )<br />
kde d 0,i -β je vzdálenost mezi body p 0 a p i , β je exponent definovaný<br />
uživatelem. Sloučením rovnic (8.1), (8.2) a (8.3) obdržíme tvar<br />
∧<br />
z<br />
( p )<br />
0<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
z<br />
p i<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
d<br />
d<br />
−β<br />
0, i<br />
−β<br />
0, i<br />
(8.4)<br />
(Bartier et al., 1996 in Bašta 2008). Zápornost exponentu β způsobuje inverzi<br />
délek.<br />
Dále platí<br />
n<br />
∑λ i<br />
i=<br />
1<br />
= 1<br />
(8.5)<br />
Výsledný odhad je tedy závislý <strong>na</strong> počtu n měřených (okolních) bodů,<br />
které jsou použity v procesu interpolace, a <strong>na</strong> hodnotě exponentu β. Počet<br />
bodů je obvykle volen z intervalu od jednoho do třiceti, exponent pak z<br />
intervalu od jedné do pěti. Konkrétní hodnoty obou parametrů je třeba zvolit<br />
tak, aby interpolační technika poskytovala co nejlepší odhady. Volba jejich<br />
hodnot se provádí <strong>na</strong> základě výsledků procesu kalibrace parametrů IDW,<br />
který je tedy nutno provést před vlastním procesem interpolace. Proces<br />
kalibrace parametrů interpolační techniky se provádí tak, že si pro každý bod<br />
ze souboru <strong>na</strong>měřených dat vypočteme odhady jejich výšek, a to <strong>na</strong> základě<br />
všech kombi<strong>na</strong>cí hodnot parametrů n a β. Je-li n = (1; 2; …; 30) a β= (1; 2;<br />
61
…; 5), získáme celkem 150 hodnot odhadů výšek pro každý <strong>na</strong>měřený bod.<br />
Vybrány jsou potom takové kombi<strong>na</strong>ce hodnot parametrů n a β, jejichž<br />
odhady poskytují celkově nejlepší odhady. Nejlepší kombi<strong>na</strong>ci parametrů lze<br />
odvodit buď jednu, která bude platit plošně pro celé zájmové území, nebo<br />
(<strong>na</strong>př. při členitější morfologii terénu) <strong>na</strong> základě prostorové a<strong>na</strong>lýzy odchylek<br />
mezi odhady a <strong>na</strong>měřenými hodnotami vytvořit distribuovaný model těchto<br />
parametrů měnících se v závislosti <strong>na</strong> poloze (Bašta 2008).<br />
9 Metodika<br />
9.1 Sběr a zpracování dat<br />
Zaměření měrného profilu bylo provedeno totální stanicí Topcon.<br />
Koryto a okolí měrného přelivu se měřilo ve čtvercové síti s hustotou přibližně<br />
0.5 x 0.5 m. Změřené body byly přeneseny z totální stanice do počítače<br />
programem Geoman. Následně se musely změřené body interpolovat do<br />
pravidelné sítě, vhodné pro import do programu Gambit. Před interpolací byly<br />
ze souboru dat vyjmuty body zaměřeného přelivu, aby nedošlo ke zkreslení.<br />
Samotná interpolace byla provede<strong>na</strong> pomocí <strong>na</strong>programovaných skriptů<br />
v programu R, které pocházejí z diplomové práce Petra Bašty (2008).<br />
Interpolovalo se metodou IDW kde každý bod byl vypočítán z okolí 7 bodů.<br />
Obr. 9.1 Kritérium pro výběr interpolačních parametrů<br />
62
Pomocí předprogramovaných skriptů byla odvoze<strong>na</strong> jed<strong>na</strong> kombi<strong>na</strong>ce<br />
parametru n a β pro celé zájmové území a to n=7 a β=1 viz. (Obr. 9.1).<br />
Výsledkem byl vyinterpolovaný grid 0.2 x 0.2 m viz. (Obr. 7.2), který byl pak<br />
použit pro vlastní vytvoření výpočetní sítě.<br />
Obr. 9.2 Povrch vytvořeného gridu<br />
9.2 Tvorba geometrie a sítě<br />
Výpočetní síť byla vytvoře<strong>na</strong> v software GAMBIT a to tak, že výsledný<br />
vyinterpolovaný grid ve formě xyz byl <strong>na</strong>čten do Gambitu přes Open – import<br />
– vertex.<br />
Obr. 9.3 Grid zájmového území 20 x 20 cm<br />
63
Následně bylo nutné grid upravit <strong>na</strong> stejný počet řádků i sloupců aby se dala<br />
vytvořit plocha (face) pomocí funkce Create Face From Vertex Rows. Dále<br />
byly importovány body přelivu. Tyto body se pospojovaly úsečkami – Create<br />
Edge, kde spodní část přelivu byla protaže<strong>na</strong> až pod plochu tvořící dno, tak<br />
aby se obě plochy protí<strong>na</strong>ly. Následně byla vytvoře<strong>na</strong> plocha přelivu funkcí<br />
Create Face From Edges. Už zbývá jen tyto plochy (oříznout) spojit do<br />
geometrie, aby <strong>na</strong> sebe přesně <strong>na</strong>vazovaly. K tomu slouží funkce Subtract<br />
Faces.<br />
Obr. 9.4 Tvorba d<strong>na</strong> a přelivu<br />
Aby se s geometrií dalo dále pracovat je nutné plochu umístit do souřadnic<br />
tak, aby středem koryta procházela osa x a vstup ležel v souřadnicích 0,0,0.<br />
K tomu je určená funkce Align Face, více v Gambit User’s Guide.<br />
Jelikož toto území je příliš velké <strong>na</strong> výpočet je třeba ho oříznout tak, aby<br />
zůstalo koryto s přelivem – oblast hlavního zájmu. To se provede opět funkcí<br />
Subtract Faces podle (Obr. 9.5). Vytvořenou pomocnou plochou ořízneme<br />
jak dno tak přeliv.<br />
64
Obr. 9.5 Postup ořezu<br />
Všechny zbylé plochy se smažou funkcí Delete Face. Teď se již může <strong>na</strong>d<br />
touto geometrií vystavět objem. A to tak, že se rozkopírují hraniční body ve<br />
směru osy z do určité výšky, aby tvořily rovinu. K tomu slouží funkce<br />
Move/Copy Vertices. Následně se všechny body pospojují. Z jednotlivých<br />
spojnic se vytvoří v logickém pořadí plochy nástrojem Create Face from<br />
Wireframe. Z těchto ploch se zkonstruuje objem pomocí funkce Stich Faces<br />
(Obr. 9.6).<br />
Obr. 9.6 Výpočetní objem<br />
65
Za přeliv byl připojen další objem, kvádr který <strong>na</strong>hradil zbývající část koryta.<br />
Jelikož se ukázalo během testování výpočtů, že je výhodné, když úsek koryta<br />
blízko spodní okrajové podmínce je nezvlněný a pravidelný. Pokud tomu tak<br />
není <strong>na</strong>stávají z<strong>na</strong>čné problémy s konvergencí a funkcí okrajové podmínky.<br />
Výpočet buď po určité době spadne nebo se okrajová podmínka začne<br />
chovat jako nepropustná. Druhý objem se vytvoří a připojí dle postupů<br />
uvedených výše.<br />
Dalším krokem je <strong>na</strong>stavení okrajových podmínek. GAMBIT spolu<br />
s FLUENTem umožňují <strong>na</strong>stavit několik typů okrajových podmínek. Jejich<br />
použití záleží <strong>na</strong> typu úlohy a <strong>na</strong> informacích, které má uživatel ohledně<br />
vstupu, výstupu, teploty apod. V případě této úlohy jsou k dispozici okrajové<br />
podmínky pro vstup Velocity Inlet a Mass Flow Inlet. Vybrá<strong>na</strong> byla Mass Flow<br />
Inlet (modře), jelikož je znám průtok. Na výstupu se <strong>na</strong>skýtá použití<br />
podmínek Outflow a Pressure Outlet. Byla použita Pressure Outlet (červeně),<br />
protože je citlivější a v kombi<strong>na</strong>ci s Mass Flow Inlet dokáže jako jediná<br />
definovat sklon d<strong>na</strong>. Všechny ostatní plochy byly definovány jako Wall (šedě<br />
a zeleně) viz. (Obr. 9.7). Okrajové podmínky je samozřejmě možné definovat<br />
ve FLUENTu. Více k tématu ve FLUENT User’s Guide.<br />
Obr. 9.7 Kompletní model koryta<br />
66
Předposledním krokem je tvorba sítě. Správné vytvoření sítě je jednou<br />
z nejdůležitějších věcí celé úlohy. Jelikož správnost a přesnost výpočtu, ale i<br />
doba jeho trvání závisí <strong>na</strong> hustotě a celkovém uspořádání sítě. Síť byla<br />
vytvoře<strong>na</strong> operací Mesh Volumes, které předcházelo vytvoření Size function<br />
dle (Obr. 9.8), kde hrany přelivu byly zahuštěny <strong>na</strong> 2 cm a postupně se<br />
hustota směrem od přelivu zmenšovala faktorem 1,1 až do finální velikosti 10<br />
cm.<br />
Obr. 9.8 Postup vytvoření Size function<br />
Obr. 9.9 Vytvořená síť<br />
67
Vzhledem ke komplikovanosti geometrie byly pro síťování zvoleny čtyřstěny,<br />
které lépe vyplní prostor (Obr. 9.9). Jejich nevýhodou je, že jich muselo být<br />
použito při stejné konfiguraci 4x více než v případě hexa prvků. Celkový<br />
počet činil 180 000 buněk. Což v případě takového výpočtu není mnoho. Ale<br />
vzhledem k nedostatku času i výpočetní kapacity a hlavně licencí, kdy se<br />
výpočet dal paralelizovat pouze <strong>na</strong> 2 části je to dost. Bohužel kvůli tomu byla<br />
sníže<strong>na</strong> ostrost fázového rozraní tekutin (hladiny).<br />
Posledním krokem je zhodnocení kvality sítě. Jak již bylo uvedeno,<br />
neměla by míra zkosení buňky přesáhnou hodnoty 0.9 a v žádném případě<br />
hodnotu 0.97. Ke zkoumání kvality sítě slouží nástroj Examine Mesh. Ten<br />
umožňuje zobrazení kvality buněk v barevné škále a prostorové prohlédnutí<br />
sítě ve všech třech směrech, viz. (Obr. 9.10).<br />
Obr. 9.10 Kvalita sítě ve směrech x,y, z.<br />
Nejhorší elementy (červeně) mají zkosení 0.74 a jejich počet je 42 což je<br />
0.02% z celkového počtu. Na základě tohoto faktu se dá síť klasifikovat jako<br />
68
vhodná pro výpočet. Na závěr se síť vyexportuje, aby se dala použít pro<br />
výpočet ve FLUENTu. Provede se tak přes File – Export – Mesh.<br />
9.3 Vlastní výpočet<br />
Výpočet probíhal v programu Fluent. Úloha byla řeše<strong>na</strong> trojrozměrně a<br />
nestacionárně. Pro výpočet byl použit model vícefázového proudění (VOF).<br />
Testovací výpočty probíhaly <strong>na</strong> počítači se 4GB operační pamětí<br />
s procesorem Intel Core 2 Quad Q9300, což je 4 jádrový procesor s taktovací<br />
frekvencí 2,5 GHz, 6MB L2 Cache a frekvencí sběrnice 1333MHz. Následně<br />
se <strong>na</strong>skytla možnost využití stroje se 2GB operační paměti a s procesorem<br />
Intel Xeon X5550 2.67GHz, který má 8 jader, 8MB L2 Cache a FSB 1066<br />
MHz a všechy další výpočty probíhaly zde. Tento procesor byl o poz<strong>na</strong>ní<br />
rychlejší a jeden výpočet <strong>na</strong> něm trval necelých 72 hodin při <strong>na</strong>počítaném<br />
čase 600 sekund.<br />
Celkem se počítaly 3 průtoky, které byly vybrány z měření v roce 2008.<br />
Dva průtoky byly kalibrační, sloužily pro určení výšky hladiny v koruně<br />
přelivu. Tzn., jaký poměr fáze voda – vzduch tvoří skutečnou hladinu. Tyto<br />
průtoky byly 53.07 l.s -1 z 22.04.2008 v 16:00 a 100.59 l.s -1 z 1.03.2008 ve<br />
14:00. Průtokem, který bylo třeba ověřit, bylo doposud maximálně<br />
<strong>na</strong>měřených 277 l.s -1 ze 7.08.2008 v 0:00.<br />
Průtoku jsou měřeny pomocí thomsonova přelivu, který má délku<br />
rame<strong>na</strong> 74.1 cm, maximální měřitelnou výšku h 1 od koruny 52.4 cm a výšku<br />
koruny ode d<strong>na</strong> p = 45.57 cm a střední šířku B = 337.3 cm.<br />
Celková délka modelovaného úseku je 12.63 m a průměrný sklon d<strong>na</strong><br />
činí 11%.<br />
9.3.1 Nastavení výpočtu<br />
Pře File – Read – Case se <strong>na</strong>hraje do FLUENTu vytvořená síť *.msh.<br />
Poté je vhodné síť zkontrolovat Grid – Check. Dalším krokem je už vlastní<br />
<strong>na</strong>stavení modelů a solveru přes Define – Model viz. (Obr. 9.11, 9.12, 9.13).<br />
Schéma pro výpočet gradientu bylo zvoleno Least Square Cell Based<br />
popsané v kapitole 7.3.4.2. VOF schéma lze pro Open Channel použít pouze<br />
69
implicitní – to je však výhodné, jelikož umožňuje použití většího časového<br />
kroku a je stabilnější <strong>na</strong> výpočet. .<br />
Obr. 9.11 Nastavení modelů<br />
70
Obr 9.12 Nastavení okrajových podmínek<br />
71
Obr 9.13 Nastavení Solveru<br />
Jako model turbulence byl použit standardní model k – ε se standardní<br />
stěnovou funkcí, který je popsán v kap. 7.3.2. Proudící médium – voda bylo<br />
vybráno z databáze fluentu. Hodnoty jsou platné pro standardní teplotu 20<br />
°C. Drsnost povrchu se <strong>na</strong>stavuje dost netradičně přes Wall – Roughness ve<br />
vlastnostech stěny. Ve FLUENT User’s Guide doporučují pro koryta použít<br />
hodnotu 0.5 a <strong>na</strong>stavit jakousi požadovanou výšku této drsnosti. Po dohodě<br />
s Jirkou Pavláskem bylo <strong>na</strong>stave<strong>na</strong> výška 1cm. Nastavení <strong>na</strong> (Obr. 9.13)<br />
odpovídá použitým výpočetních algoritmů, interpolačních schémat a<br />
relaxačních faktorů, které jsou vysvětleny v kap. 7.3.<br />
Výpočet se začne inicializací Solve – Initialize – Initialize, kde se<br />
„<strong>na</strong>střelí“ počáteční hodnoty parametrů pro celou oblast. Rychlosti <strong>na</strong><br />
hodnotu 0, přetlak <strong>na</strong> 0, turbulentní kinetická energie a její disipace <strong>na</strong> 1 a<br />
podíl <strong>vody</strong> taky <strong>na</strong> 1. To nám zajistí vyplnění celého výpočetního prostoru<br />
vodou. Následně se provede adaptace regionu Adapt – Region, která umožní<br />
definovat prostor, který má být vyplněn vzduchem. Bylo zadáváno od výšky<br />
0.5m po celém výpočetním prostoru. Vybrané buňky se oz<strong>na</strong>čí Mark a<br />
následně se vybraná oblast přepíše hodnotou nula pro voda volume fraction<br />
přes Solve – Initialize – Patch, dle (Obr. 9.14). Tzn. že vybraná oblast bude<br />
obsahovat pouze vzduch. Grafické zobrazení výpočtu v čase v t = 0 ukazuje<br />
(Obr. 9.15).<br />
72
Obr. 9.14 Oz<strong>na</strong>čení regionu a <strong>na</strong>stavení požadované hodnoty<br />
Obr. 9.15 Počátek výpočtu v čase t = 0<br />
Paralelizace úlohy se vytvoří přes Parallel – Partition, kde se vybere<br />
metoda rozdělení a počet částí, které mají vzniknout. Následně se tento<br />
projekt uloží do souboru *.cas. Pro zpuštění paralelního výpočtu je nutné<br />
FLUENT spouštět z příkazového řádku s parametry 3D a –t2 (fluent.exe 3D –<br />
t2). Po spuštění se <strong>na</strong>čte soubor *.cas a výpočet se spustí přes Solve –<br />
Iterate. Výpočet musí začí<strong>na</strong>t <strong>na</strong> velmi malém časovém kroku, aby bylo<br />
dosaženo konvergence. Konverguje-li výpočet může se postupně časový<br />
73
krok zvyšovat. Výhodné je když výpočet konverguje tak po 5 až 10 iteracích.<br />
Míra konvergence se sleduje pomocí reziduálů jednotlivých veličin, ty se<br />
zobrazí v Solve – Monitor – Residuals.<br />
Obr. 9.16 Nastavení iterací a monitoring reziduálů<br />
Výpočet byl spuštěn s časovým krokem 1.10 -6 s a průběžně pomalu<br />
zvyšován až <strong>na</strong> krok 0,05 s. Počet iterací během výpočtu byl udržován<br />
v rozmezí 5 – 10 <strong>na</strong> jeden časový krok.<br />
10. Výsledky a diskuze<br />
Jak již bylo předesláno, výpočty jsou pro 3 průtoky Q 1 = 53.07 l.s -1 , Q 2 =<br />
100.59 l.s -1 a Q 3 = 277 l.s -1 . První dva jsou kalibrační, kdy bylo potřeba zjistit<br />
jaký poměr fází voda – vzduch vlastně tvoří hladinu. Jestli to je 20% <strong>vody</strong><br />
v buňce nebo 15% A <strong>na</strong> základě známé hladiny potom ověřit jestli průtok<br />
277 l.s -1 je změřený správně či nikoli popř. s jakou chybou. K této jednoduché<br />
a<strong>na</strong>lýze poslouží grafy závislosti poměru fází ku přepadové výšce <strong>vody</strong> <strong>na</strong><br />
přelivu. Grafy zachycuje (Obr. 10.1). Tabulka (Tab. 10.1) ukazuje jednotlivé<br />
průtoky, kde h 1 je přepadová výška, Q je průtok a S jsou srážky.<br />
date time h 1 (mm) Q (l/s) S (mm)<br />
22.4.2008 16:00 0.272 53.07654 0<br />
1.3.2008 14:00 0.3515 100.5943 -<br />
7.8.2008 0:00 0.5275 277.0086 73.6<br />
Tab. 10.1 Tabulka průtoků<br />
74
poměr fáze<br />
1<br />
0.95<br />
0.9<br />
0.85<br />
0.8<br />
0.75<br />
0.7<br />
0.65<br />
0.6<br />
0.55<br />
0.5<br />
0.45<br />
0.4<br />
0.35<br />
0.3<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0 0.05 0.1<br />
Závislost poměru fází <strong>na</strong> přepadové výšce<br />
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15<br />
přepadová výška [m]<br />
Q1 53.07 l.s-1<br />
Q2 100.59 l.s-1<br />
Q3 277 l.s-1<br />
Obr. 10.1 Grafy závislostí poměru fází <strong>na</strong> přepadové výšce<br />
Z grafu je vidět že pro průtok Q 1 s přepadovou výškou 0.272m je poměr fází<br />
0.1435 a pro průtok Q 2 s přepadovou výškou 0.3515m činí hodnota 0.1516<br />
75
(přesné hodnoty byly získány lineární interpolací). Pro získání skutečné<br />
přepadové výšky průtoku Q 3mod zprůměrujeme hodnoty 0.1435 a 0.1516.<br />
Výsledná hodnota je 0.1475. Zprůměrováním vznikla chyba ± 1mm <strong>na</strong><br />
přepadové výšce pro Q 3mod , která činí 0.5019 m. Rozdíl oproti původní výšce<br />
0.5275 m měřeného průtoku je tedy 0.0256 m. Souhrn výsledků uvádí (Tab.<br />
10.2.).<br />
Q 1 Q 2 Q 3simul Q 3mer<br />
frakce 0.1435 0.1516 0.1475 -<br />
prep. vyska 0.2720 0.3515 0.5019 0.5275<br />
prutok 53.0746 100.5907 277.0000 277.0000<br />
Tab. 10.2 Souhrn kalibračních a modelovaných průtoků<br />
Výpočet průtoku je realizován dle rovnice (6.3) (s koeficientem C e = 0.578),<br />
která pro přepadovou výšku 0.5275 m udává průtok 277 l.s -1 . To je ale<br />
v rozporu pro modelovaný průtok Q 3mod 277 l.s -1 .pro který je přepadová výška<br />
0.5019 m. Když se do vzorce (6.3) dosadí výška 0.5019 vychází průtok<br />
244.27 l.s -1 .Z toho vyplívá, že při použití rovnice (6.3) pro výpočet průtoku<br />
přes Thompsonův přeliv <strong>na</strong> povodí Modrava2, dochází k podhodnocení<br />
větších a extrémních průtoků. V konkrétním případě průtok 277 l.s -1<br />
podhodnotí o 32.73 l.s -1 , což je výz<strong>na</strong>mný rozdíl. Z<strong>na</strong>mená to tedy, že při<br />
změřené přepadové výšce 0.5275 muselo téci přes přeliv určitě větší<br />
množství než 277 l.s -1 . Při stávajícím trendu konzumpční křivky (Obr. 10.2)<br />
lze odhadnout průtok v rozmezí 300 – 310 l.s -1 .<br />
Tento rozdíl je zřejmě způsoben vlivem přítokové rychlosti, kterou<br />
rovnice (6.3) neuvažuje. Nádrž před přelivem je totiž relativně malá, přičemž<br />
platí zásada, čím menší nádrž tím větší vliv přítokové rychlosti. Na obrázcích<br />
v příloze 1 lze pozorovat zvýšení rychlosti v blízkosti přelivu zejmé<strong>na</strong><br />
v případě průtoku 277l.s -1 .<br />
Dále jsou v příloze obsaženy grafické výstupy sledovaných veličin<br />
v korytě a <strong>na</strong> přelivu – rychlost, tlak, poloha hladiny.<br />
76
h 1 [m]<br />
0.6<br />
0.55<br />
0.5<br />
0.45<br />
0.4<br />
0.35<br />
0.3<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
Konzumpční křivka měrného přelivu<br />
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300<br />
Q [l.s -1 ]<br />
Měřená<br />
Kalibrační<br />
Modelovaná<br />
Obr. 10.2 Konzumpční křivka měrného přelivu <strong>na</strong> Modravě 2<br />
77
11 Závěr<br />
Práce si kladla za cíl využití metody CFD a<strong>na</strong>lýzy <strong>na</strong> praktickém<br />
příkladě proudění tekutin. CFD modelování je určitě silný nástroj pro<br />
vyšetřování proudění. Ikdyž příprava veškerých podkladů pro uskutečnění<br />
výpočtu je celkem náročná. Výpočet vyžaduje hodně trpělivosti a času,<br />
zejmé<strong>na</strong> má-li řešitel malé zkušenosti z této oblasti.<br />
Přesnost výpočtu je silně závislá <strong>na</strong> počtu výpočetních elementů. Avšak<br />
při dobře sestaveném modelu a dostatečném výpočetním výkonu se může<br />
dosáhnout výborné přesnosti. I tak ale výpočet zabere řádově dny. Metoda<br />
CFD je použitelná v případě, máme-li k dispozici nějaká kalibrační<br />
(srovnávací) data ať z fyzikálního modelování nebo ze skutečného měření.<br />
V opačném případě je CFD modelování těchto typů úloh nevyhovující.<br />
Nicméně tato forma simulace může poskytnout náhled do procesů<br />
v proudění, které se ji<strong>na</strong>k těžko odhalují Pro tento typ úlohy se tato metoda<br />
osvědčila nejen v této práci, ale <strong>na</strong>př. i v (Kantor 2007). Takže bych tuto<br />
metodu doporučil i při <strong>na</strong>vrhování způsobů měření průtoků, kde může být<br />
užitečným pomocníkem.<br />
78
12 Použitá literatura<br />
BOOR B. (ed.), 1968: Hydraulika pro vodohospodářské stavby, Praha.<br />
BOS M.G. (ed.), 1976: Discharge Measurement Structures, Wageningen.<br />
BAŠTA P., 2008: Digitální model terénu povodí Modrava 2, Nepublikováno.<br />
ČÁBELKA J. et GABRIEL P., 1987: Matematické a fyzikální modelování<br />
v hydrotechnice, Praha.<br />
DRÁBKOVÁ S. (ed.), 2007: Mechanika tekutin, Ostrava.<br />
HAVLÍK V. (ed.), 1992: Matematické modelování neustáleného proudění,<br />
Praha.<br />
KANTOR M., 2007: Hydraulika bezpečnostních přelivů vodních děl za<br />
extrémních průtoků, Nepublikováno.<br />
KOLÁŘ V. (ed.), 1966: Hydraulika, Praha.<br />
KOZUBKOVÁ M., 2008: Modelování proudění tekutin, Ostrava.<br />
KUNŠTÁTSKÝ J. et PATOČKA C., 1971: Základy hydrauliky a hydrologie pro<br />
inženýrské konstrukce a dopravní stavby, Praha.<br />
ROUB R. et Pech P., 2003: Hydraulika příklady, Praha.<br />
ŠOUKAL J. et SEDLÁŘ M., 2009: CFD a<strong>na</strong>lýza článkových čerpadel<br />
v turbínovém režimu, Nepublikováno.<br />
STURM T. W., 2001: Open Channel Hydraulics, New York.<br />
Fluent Inc., 2006: FLUENT User’s guide.<br />
Fluent Inc., 2006: Gambit User’s guide.<br />
Internetové zdroje<br />
www.techsoft-eng.cz<br />
www.wikipedia.org<br />
www.<strong>kvhem</strong>.cz<br />
www.<strong>na</strong>vajo.cz<br />
www.cfd-online.com<br />
79
13 Příloha 1<br />
Sledované veličiny pro průtok 53.07 l.s -1 v čase t = 100s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází.<br />
Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
80
Histogram rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
V čase t = 300s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází.<br />
Obr. Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
81
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
Histogram (rozdělení) rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
V čase t = 600s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází.<br />
82
Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
Histogram (rozdělení) rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
83
Sledované veličiny pro průtok 277 l.s -1 v čase t = 100s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází.<br />
Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
84
Histogram (rozdělení) rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
V čase t = 300s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází<br />
Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
85
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
Histogram (rozdělení) rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
V čase t = 600s<br />
Zobrazení průběhu hladiny v podélném profilu a <strong>na</strong> přelivu. Stupnice ukazuje podíl<br />
fází<br />
86
Rychlost [m.s -1 ] a tlak [Pa] v podélném profilu<br />
Rozdělení vektorů rychlosti [m.s -1 ] v blízkosti přelivu u a hladi<strong>na</strong> s rychlostmi [m.s -1 ]<br />
Histogram (rozdělení) rychlostí a tlaků v celé oblasti<br />
87