uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

76 3. Parametri signalov
DOKAZ 3.2
Veljavnost enačaja pri linearno odvisnih signalih enostavno dokažemo s substitucijo
x = αy ali y = αx, α ∈ C v (3.16). Na primer, pri x = αy dobimo:
|〈x,y〉| = |〈αy,y〉| = |α|〈y,y〉
= |α| ‖y‖ 2 2 = ‖αy‖ 2 ‖y‖ 2 = ‖x‖ 2 ‖y‖ 2 .
Veljavnost neenakosti pri linearno neodvisnih signalih dokažemo s signalom z = x +
αy. Z upoštevanjem aksiomov (3.12) izpeljimo:
0 〈z,z〉 = 〈x + αy,x + αy〉 = 〈x,x + α〉 + 〈αy,x + αy〉
= 〈x,x〉 + α ∗ 〈x,y〉 + α〈x,y〉 + αα ∗ 〈y,y〉 .
Zgornja izpeljava velja tudi v posebnem primeru, ko za skalar α upoštevamo:
α = − 〈x,y〉
〈y,y〉
, y ≠ 0 .
Sledi:
0 〈x,x〉 − 〈x,y〉∗ 〈x,y〉
〈y,y〉
Drugi in četrti člen se izničita, tako ostane:
− 〈x,y〉〈y,x〉
〈y,y〉
+ 〈x,y〉〈x,y〉∗ 〈y,y〉
〈y,y〉〈y,y〉
.
0 〈x,x〉 − 〈x,y〉〈y,x〉
〈y,y〉
= 〈x,x〉 − |〈x,y〉|2
〈y,y〉
, (3.17)
od koder dobimo:
|〈x,y〉| 2 〈x,x〉〈y,y〉 . (3.18)
Primerjava (3.18) s (3.11) in (3.16) potrdi veljavnost Cauchy-Schwarzove neenakosti.□
Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) je bil po izobrazbi gradbeni
inženir. Deloval ja na področju realne in kompleksne analize, teorije
permutacijskih grup. Raziskoval je konvergenco in divergenco neskončnih
vrst, diferencialne enačbe, determinate, verjetnost in matematično
fiziko.
Viktor Jakovlevič Bunjakovski (1804 – 1889) je deloval na področju
teorije števil, geometrije, mehanike in hidrostatike. Cauchy–
Schwartz neenakost je odkril 25 let pred Cauchyjem ali Schwarzom.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315