uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

3.1 Signalni prostor 75
Evklidski prostor
Realni vektorski prostor, nad katerim je definiran skalarni produkt, imenujemo
Evklidski prostor.
Hilbertov prostor
Kompleksni vektorski prostor, nad katerim je definiran skalarni produkt, je
unitarni prostor. Poln, neskončno dimenzionalen unitarni prostor imenujemo
Hilbertov prostor.
Pomembne lastnosti Hilbertovega prostora so:
Cauchy-Schwarzova ali Bunjakovski-Schwarzova neenakost
enakost paralelograma:
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2(‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 ) . (3.15)
Ker je Hilbertov prostor podprostor Banachovega prostora, ima tudi vse lastnosti
Banachovega prostora.
David Hilbert (1862 – 1943) je deloval na področju geometrije. Po
Evklidu je imel nanjo največji vpliv. Sistematski študij aksiomov Evklidske
geometrije je Hilberta pripeljal k predlogu 21 takih aksiomov
in analizi njihovega pomena. Prispeval je na mnogih področjih matematike
in fizike.
3.1.7 Cauchy-Schwarzova neenakost
Med pomembnimi lastnostmi Hilbertovega prostora je Cauchy-Schwarzova
neenakost. Z njeno pomočjo lahko načrtujemo sisteme, ki maksimirajo razmerje
signal/šum. Glasi se:
DEFINICIJA 3.1.5 (Cauchy-Schwarzova neenakost)
Za vsak par elementov x in y prostora s skalarnim produktom velja relacija:
|〈x,y〉| 2 〈x,x〉〈y,y〉 . (3.16)
V (3.16) velja znak enakosti le, če sta x in y linearno odvisna signala, to je, če je en od
signalov mnogokratnik drugega.
datoteka: signal_A