uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

74 3. Parametri signalov
Iz primerjave definicije skalarnega produkta zaporedja ali signala s samim
seboj in definicije Evklidske norme, na primer pri zaporedjih:
〈x,y〉 = ∑ N
x[n]y ∗ [n] = ∑ N
|x[n]| 2 ↔
(
‖x‖ 2 = ∑N |x[n]| 2)1 /2
, (3.10)
uvidimo povezavo
‖x‖ 2 = √ 〈x, x〉 . (3.11)
Torej skalarni produkt obstaja v normiranih prostorih z Evklidsko normo,
oziroma pravimo, da jo teh prostorih inducira.
Skalarni produkt mora izpolniti naslednje aksiome:
(i) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∗ (3.12a)
(ii) 〈α x + β y, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉 (3.12b)
(iii) 〈x, x〉 0 , 〈x, x〉 = 0 če in samo če x = 0 , (3.12c)
kjer so α,β ∈ C skalarji in 0 ničelni vektor.
Posplošitev skalarnega produkta
Splošna definicija skalarnega produkta vsebuje tudi utežno funkcijo ali utežno
matriko. Pri zveznih signalih x(t) in y(t) je v tem primeru skalarni produkt
definiran z:
∫
〈x, y〉 = g(t)x(t)y ∗ (t) dt , (3.13a)
T
kjer je g(t) realna utežna funkcija, za katero velja g(t) > 0, t ∈ T . Podobno
velja za zaporedja. Tu utežno funkcijo nadomesti utežna matrika. velja:
〈x, y〉 = x H Gy , x, y ∈ C N . (3.13b)
Matrika G mora biti realna, pozitivno definitna matrika. To pomeni, da velja
G H = G T = G in da so lastne vrednosti λ i večje od nič.
Matrična oblika skalarnega produkta
Skalarni produkt lahko zapišemo tudi v matrični obliki:
〈x, y〉 = x H y , (3.14)
kjer sta vektorja x in y vrstična vektorja. Z eksponentom H smo označili
transpozicijo vektorja in konjugacijo vektorja x. Vektor x H imenujemo tudi
Hermitski vektor, zanj velja x H = [x ∗ ] T .
Matrični zapis 3.14 je izhodišče za funkcije, ki jih imajo definirana orodja,
ki jih uporabljamo pri obdelavi signalov. Na primer, pri Matlabu.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315