uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

3.1 Signalni prostor 71
ZGLED 3.1.2 (norma zaporedja v prostoru l ∞ [1,3])
Prostor l ∞ [1,3] vsebuje množico zaporedij treh podatkov, za katere obstaja norma
‖·‖ ∞ . Na primer, za zaporedje x[1] = (1, j), x[2] = (1, j2), x[3] = (3, j) je norma ‖·‖ ∞
enaka:
(
‖x‖ ∞ = sup
k
|1|,| j| ,|1|,| j2| ,|3|,| j|
} {{ } } {{ } } {{ }
x[1] x[2] x[3]
)
,
= max(1,1,1,2,3,1) = 3 .
♦
3.1.3 Metrični prostori
Funkcijo, ki priredi realno število dvem elementom nepraznega normiranega
prostora X, imenujemo metrika, če izpolnjuje naslednje aksiome:
d(x,y) 0 d(x,y) = 0 če in samo če je x = y (3.4a)
d(x,y) = d(y,x)
(3.4b)
d(x,z) d(x,y) + d(y,z) (trikotniška lastnost) (3.4c)
Metriko d(x,y) si lahko predstavljamo kot razdaljo med x in y. Določa jo
norma vektorja razlike
d(x, y) = ‖x − y‖ , (3.5)
zato so normirani prostoti tudi metrični prostori. To lahko dokažemo z aksiomi
v (3.4).
DOKAZ 3.1 (norma razdalje je metrika)
Za d(x, y) = ‖x − y‖ veljavnost (3.4a) sledi iz (3.3b). Z α = −1 v (3.3c) dobimo
‖x − y‖ = ‖y − x‖, torej izpolnimo (3.4b). Za dva vektorja x = a − b in y = b − c v
skladu z (3.3b) velja
a − c = x + y ‖x‖ + ‖y‖ = ‖a − b‖ + ‖b − c‖ .
Torej velja d(a, c) d(a, b) + d(b, c), kar pomeni, da je velja tudi (3.4c).
□
Primer metrike je Evklidska metrika, ki jo izračunamo z Evklidsko normo:
[ zaporedja
∣ ∣
d(x, y) = ∑N ∣x[n] − y[n] 2 ]1 /2
[ analogni signali
∫ ]1 ∣ / 2
. (3.6) d(x, y) = ∣ x(t) − y(t) 2 dt
T
. (3.7)
Kasneje bomo pokazali, da z Evklidsko metriko lahko določimo velikost
energije, za katero se dve zaporedji ali signala razlikujeta. To se pogosto
izkorišča pri detekciji zaporedij ali signalov, ko je znana le energija, ne pa
potek zaporedja ali signala.
datoteka: signal_A