uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

A.3 Verjetnost dogodkov 231
Izračunati je treba verjetnost P(B). Ker tvorijo dogodki A i poln sistem, lahko
pišemo:
B = B ∩ (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n )
= (B ∩ A 1 ) ∪ (B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ (B ∩ A n ) .
(A.34)
Dogodki A∩A 1 ,A∩A 2 ,...,A∩A n so paroma nezdružljivi, zato je po obrazcu
(A.20):
P(B) = P(B ∩ A 1 ) + P(B ∩ A 2 ) + ··· + P(B ∩ A n ) . (A.35)
Uporabimo še izrek za verjetnost produkta:
P(B) = P(A 1 )P(B|A 1 ) + P(A 2 )P(B|A 2 ) + ···
=
N
∑
i=1
··· + P(A n )P(B|A n )
P(A i )P(A|A i ) . (A.36)
To je do tako imenovani obrazec za popolno verjetnost dogodka. Strnimo
sedaj podano razlago v izrek, ki ga ponavadi imenujemo po avtorju obrazca:
DEFINICIJA A.3.2 (Bayesov izrek)
Če so dogodki A i , i = 1,2,...,N medsebojno nezdružljivi tako, da njihova unija tvori
zbirko S :
N
∪ A i = S . (A.37)
i=1
(tvorijo poln sistem) in je A poljuben dogodek z neničelno verjetnostjo P(A), potem
velja:
P(A i |A) = P(A i ∩ A)
P(A)
= P(A|A i)P(A i )
N
P(A|A j )P(A j )
∑
j=1
. (A.38)
Thomas Bayes (1702 – 1761) angleški nekonformistični teolog in
matematik. Postavil je matematične osnove verjetnostnega sklepanja.
Njegove zaključke je privzel Laplace in so ostali nespremenjeni
do Boola. Od takrat naprej so predmet polemik med matematiki.
V Bayesovem obrazcu verjetnost P(A i ) imenujemo a priori ali v naprej
dano verjetnost, pogojno verjetnost P(A i |A) pa a posteriori ali končna verjetnost.
Ta pove, kolikšna je verjetnost, da se bo dogodek A i zgodil prav pri
dogodku A. Dogodke A i , ki tvorijo polno grupo, imenujemo hipoteze.
datoteka: signal_A