uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

230 A. Verjetnostni račun
A.3.6
Verjetnost neodvisnih dogodkov
Dogodka A in B sta (statistično) neodvisna, takrat in samo takrat, če velja
Če sta A in B neodvisna, potem velja
P(A ∩ B) = P(A)P(B) . (A.30)
P(B|A) = P(B) in P(A|B) = P(A) . (A.31)
Za množico v celoti neodvisnih dogodkov velja, da je vsak izmed dogodkov
neodvisen od produkta preostalih dogodkov. Torej velja:
P(A 2 |A 1 ) = P(A 2 )
P(A 3 |A 1 ∩ A 2 ) = P(A 3 )
P(A n |A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) = P(A n )
(A.32)
Če (A.30) upoštevamo v (A.29), ta dobi bolj preprosto obliko:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) = P(A 1 )P(A 2 )···P(A n ) . (A.33)
Tu moramo poudariti, da za neodvisnost med dogodki v celoti ni dovolj, da
so dogodki le paroma neodvisni, torej P(A j |A i ) = P(A j ), i = 1,2,...,n, i ≠ j.
Veljati mora (A.30).
A.3.7
Bayesova enačba
Zelo važna relacija verjetnostnega računa je Bayesov izrek. Preden ga bomo
formalno zapisali, opišimo znan poskus s tremi žarami, v katerih so črne
in bele kroglice, katere izbiramo z metanjem kocke. Napravimo naslednji
poskus: mečimo kocko, in če je rezultat metanja na primer 1, 2 ali 3, vlečemo
kroglice iz prve žare, če je rezultat 4 ali 5, vlečemo iz druge žare, če pa je 6,
pa iz tretje. Kolika je verjetnost, da bomo izvlekli črno kroglico?
V opisanem poskusu lahko takoj izračunamo verjetnosti izbire žare. Imenujmo,
da so to dogodki A i , i = 1,2,3. Ti dogodki tvorijo poln sistem, torej
∑ 3 i=1 P(A i) = 1. Če je število belih in črnih kroglic v žarah znano, lahko določimo
tudi verjetnost dogodka B, da potegnemo črno kroglico iz prve, druge
ali tretje žare – to so pogojne verjetnosti P(B|A 1 ), P(B|A 2 ) in P(B|A 3 ). Opišimo
problem kar na splošno. Znane so verjetnosti
in pogojne verjetnosti
P(A 1 ),P(A 2 ),...,P(A n )
P(A|A 1 ),P(A|A 2 ),...,P(A|A n ) .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315