uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

228 A. Verjetnostni račun
Ta stavek moremo razširiti na več nezdružljivih dogodkov:
P i (∪ n i=1A i ) = ∑ i
P(A i ) , (A.21)
kjer ∪ n i=1 A i pomeni unijo med n dogodki A 1 ∪ A 2 ∪ ··· ∪ A n . Če tvorijo dogodki
A 1 ,A 2 ,...,A n poln sistem nezdružljivih dogodkov, je njihova unija zanesljiv
dogodek:
P i (∪ n i=1A i ) =
n
∑
i
P(A i ) = P(S ) = 1 . (A.22)
Primer polnega sistema je A ∪ A. Verjetnost te unije je 1, ker če se ne zgodi
A, se zgodi A. Iz (A.15), (A.21) in (A.22) sledi:
P(A) = 1 − P(A)
P(∅) = 0
P(A) P(B) ⇒ A ⊂ B
(A.23a)
(A.23b)
(A.23c)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) . (A.23d)
Izpeljavi (A.23a) in (A.23b) sta očitni, veljavnost (A.23c) uvidimo iz naslednjega
sklepanja: dogodek A in dogodek B tvori unija realizacij elementov
prostora S . Zato je njuna verjetnost vsota verjetnosti realizacij posameznih
elementov. Če sta si dogodka enaka, imata iste elemente in s tem isto verjetnost,
če pa dogodek A določajo elementi, ki so podmnožica elementov
dogodka B, je verjetnost njegovega pojava seveda manjša.
A.3.4
Verjetnost vsote soodvisnih dogodkov
Obrazec (A.23d) določa verjetnost soodvisnih dogodkov. Sodvisnot dveh
dogodkov pomeni, da se je na primer v n, n ≫ 1, poskusih m a -krat zgodil
dogodek A, m b -krat dogodek B in m ab -krat sta se hkrati zgodila oba dogodka
(torej dogodek A ∩ B). Po definiciji za matematično verjetnost velja:
P(A) = m a
n
, P(B) = m b
n
, P(A ∩ B) = m ab
n
. (A.24)
Preštejmo poskuse, v katerih se je zgodil dogodek A ∪ B! Ko bi bila dogodka
A in B nezdružljiva, bi bilo teh poskusov m a + m b . Toda v m ab poskusih
sta se zgodila oba dogodka hkrati, zato smo v vsoti m a + m b upoštevali tudi
m ab dogodkov A ∩ B. Potemtakem se zgodi dogodek A ∪ B v m a + m b − m ab
poskusih. Torej je matematična verjetnost tega enaka:
P(A ∪ B) = m a + m b − m ab
n
= m a
n + m b
n − m ab
n
, (A.25)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315