uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

210 8. Sistemi
takrat, če so si konvolucije vseh period signalov z impulznim odzivom enake.
To pa so lahko le, če je impulzni odziv periodičen. Vemo pa, da je impulzni
odziv po definiciji odziv sistema na Diracov impulz, torej aperiodičen pojav.
Zato na (8.79) gledamo kot transformacijo aperiodičnega signala v periodičnega,
oziroma jo imenujemo periodično podaljšanje.
Periodično podaljšanje je splošna transformacija, ki jo lahko opravimo
tako na realnih kot kompleksnih zveznih ali diskretnih signalih. Njen pomen
poudarimo z naslednjo definicijo.
DEFINICIJA 8.8.1 (Periodično podaljšanje)
Za kompleksni signal x, ki je definiran nad diskretno signalno osjo T ∈ Z ali zvezno
signalno osjo T ∈ R periodično podaljšanje p x s periodo T0 > 0 definira
če vsota obstaja za t ∈ T .
p x(t) =
∞
∑
k=−∞
x(t − kT0) , (8.80)
Torej pri periodičnem podaljšanju neskončni interval stisnemo v končni interval
T 0 . Pri tem se vrednosti pri −∞ prenesejo v −T 0 /2 in pri ∞ v T 0 /2.
Pri −kT 0 oziroma kT 0 ,k ∈ Z pa se ponavljajo vrednosti signala pri t = 0.
Definicijo ilustrira slika 8.25.
8.8.2 Računanje ciklične konvolucije
Zaradi periodičnosti p h(t) in v(t) velja p h(t) = p h(t ± kT 0 ) in v(t) = v(t ±
kT 0 ), zato lahko (8.78) zapišemo tudi v obliki:
y(t + T 0 ) =
=
∫ T0
0
∫ T0
0
p h(t + T 0 − τ)v(τ) dτ
p h(t − τ)v(τ) dτ = y(t) . (8.81)
Konvolucijski integral v (8.78) sedaj ne računamo več po vsej osi R, ampak
le nad intervalom [0,T 0 ). S tem smo prišli do definicije ciklične konvolucije:
∫ T0
y(t) =
0
p h [ t − τ (mod T 0 ) ] v(τ) dτ , t ∈ [0,T 0 ) (8.82)
V (8.82) je (mod T 0 ) operator računanja po modulu T 0 . Računaje po
modulu pomeni, da se vrednosti po meji modula ponavljajo. Torej, če sta a in
b realni števili, pri čemer naj bo b pozitiven, potem velja a (mod b) = a−kb,
pri čemer je k celo število izbrano tako, da velja 0 a − kb < b.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315