uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

8.8 Ciklična konvolucija 209
Pri periodičnih signalih lahko podatke ali potek signala, ki ga zaradi premika
signala za m oziroma za τ zajemamo iz ”sosednje” periode, uporabimo
za enako ležeče podatke iz obravnavane periode. Konvolucijski račun, ki to
zmore, imenujemo ciklična konvolucija. Postopek najprej izpeljimo za zvezne
signale oziroma sisteme. Pri tem izkoristimo linearnost integriranja in
konvolucijski integral razcepimo v vsoto integralov definiranih nad posameznimi
periodami signala:
∫ ∞
y(t) = h(t − τ)v(τ) dτ
−∞
= ··· +
∫ 0
−T 0
h(t − τ)v(τ) dτ +
∫ T0
0
∫ 2T0
h(t − τ)v(τ) dτ + h(t − τ)v(τ) dτ + ··· . (8.77)
T 0
Vidimo, da se integrali medsebojno razlikujejo le v integracijskih mejah.
Zato z upoštevanjem lastnosti pomika vse integrale premaknemo na isti integracijski
interval:
∫ T0
y(t) = ··· +
=
∞
∑
k=−∞
0
∫ T0
0
∫ T0
∫ T0
h(t − τ + T 0 )v(τ − T 0 ) dτ + h(t − τ)v(τ) dτ + h(t − τ − T 0 )v(τ + T 0 ) dτ + ···
0
0
h(t − τ − kT 0 )v(τ + kT 0 ) dτ , t ∈ R .
Zamenjamo zaporedje seštevanja in integriranja ter upoštevajmo, da je zaradi
periodičnosti v(τ) = v(τ + kT 0 ):
]
kjer
y(t) =
∫ T0
0
∫ T0
=
0
p h(t) =
[ ∞∑
h(t − τ − kT 0 )
k=−∞
v(τ) dτ
p h(t − τ)v(τ) dτ , t ∈ R , (8.78)
∞
∑
k=−∞
h(t − kT 0 ) , t ∈ R (8.79)
imenujemo periodična razširitev ali periodično podaljšanje impulznega odziva.
8.8.1 Periodično podaljšanje signala
Periodično podaljšanje opisuje zelo pomembno operacijo nad signali. Pri
njej aperiodični signal “podaljšamo” v periodični signal. Operacija izhaja iz
naslednjega pojava oziroma dejstva. Pri periodičnem vhodu je izhod sistema
tudi periodičen in to z isto periodo T 0 kot vhod. To je lahko takrat in samo
datoteka: signal_A