uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

8.6 Frekvenčna karakteristika 205
kar se ujema z rezultatom zgleda 8.6.1 na strani 202.
8.6.3 Odziv diskretnega sistema
na diskretni harmonični signal
Frekvenčna karakteristika obstaja tudi pri časovno diskretnih sistemih. Definiramo
jo podobno kot pri zveznih sistemih, le da moramo upoštevati, da
imamo na vhodu namesto harmoničnega signala h v(t) harmonično zaporedje
h v[n], katerega ovojnica je harmonični signal (glej razdelek ?? na strani ??).
Časovno diskretni konvolucijski sistem s časovno osjo T ∈ Z in impulznim
odzivom h[n] se na harmonično zaporedje na vhodu
h v[n] = e jωn , n ∈ Z
odzove z
h y[n] = H( jω)e jωn , n ∈ Z . (8.75)
H( jω) je zvezna frekvenčna karakteristika sistema, odvisen je od kotne hitrosti
ω. Določa ga:
H( jω) =
∞
∑
n=−∞
8.6.4 Pogoj obstoja frekvenčne karakteristike
h[n]e jωn , ω ∈ R . (8.76)
Iz (8.62) in (8.75) sledi, da obstaja frekvenčna karakteristika le, če je jakost
impulznega odziva omejena: ‖h‖ 1 < ∞. Le v tem primeru lahko frekvenčno
karakteristiko izračunamo. Ker je dokaz za to trditev pri zveznih sistemih
podoben dokazu pri diskretnih sistemih, ga navajamo le za slednje:
DOKAZ 8.2
Predpostavimo, da je ‖h‖ 1 končen. V tem primeru velja:
∣ ∞ ∣∣∣∣
|H( jω)| =
∣
∑
n=−∞h[n]e jωn
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
∣
∣h[n] ∣ ∣·∣∣e jωn∣ ∣
∣ h[n]
∣ ∣ =
∥ ∥h[n]
∥
∥1 < ∞ ,
(Cauchy-Schwarzova neenakost)
saj velja |e jωn | = 1.
□
Schwarzovo neenakost, ki smo jo uporabili v dokazu, smo opisali na strani
75. Poudarimo še, da je pogoj obstoja frekvenčne karakteristike enak pogoju
datoteka: signal_A